Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Variációszámítás és alkalmazásai Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011

TARTALOMJEGYZÉK 1. Függvények széls értéke 7 1.1. Függvények................................... 7 1.2. Egyváltozós függvények széls értéke..................... 12 1.3. Többváltozós függvények széls értéke. Sylvester tétele........... 12 1.4. Feltételes széls érték.............................. 13 2. Variációszámítás 17 2.1. Funkcionálok.................................. 17 2.2. A variációs feladat............................... 18 2.2.1. Variáció fogalma és az Euler-Lagrange egyenlet........... 19 2.2.2. Az Euler-Lagrange egyenletek invarianciája............. 23 2.2.3. Az alapfüggvény F (x, y ) alakú.................... 25 2.2.4. Az alapfüggvény F (y, y ) alakú.................... 26 2.2.5. Széls értékfeltétel szabad perempontok esetén........... 26 2.2.6. Kezdetiérték és peremérték feladatok egyenérték sége....... 27 2.2.7. A brachisztochron probléma megoldása............... 27 2.2.8. Minimális forgásfelület......................... 29 2.2.9. Lánc alakja homogén gravitációs térben............... 30 2.2.10. Több egyváltozós függvényt l függ funkcionál........... 30 2.2.11. Az Euler-Lagrange dierenciálegyenlet-rendszerek primintegráljai. 32 2.2.12. Két pont közötti minimális távolság a térben............ 32 2.2.13. Geodetikus görbék mint variációs feladat.............. 34 2.2.14. Függvények magasabb rend deriváltjaitól függ funkcionálok... 41 2.2.15. Többváltozós függvényekt l függ funkcionálok........... 45 2.2.16. Az E.O. egyenlet primintegraljai................... 48 2.2.17. Izoperimetrikus feladat........................ 48 2.3. Feltételes variációs széls értékek....................... 52

6 TARTALOMJEGYZÉK

1. FEJEZET Függvények széls értéke 1.1. Függvények A zikai elméletek és modellek dönt többsége egy vagy több matematikai egyenlet formáját öltik és az illet jelenségre, zikai rendszerre vonatkozó kérdéseinkre a választ ezen egyenletekben megjelen függvények matematikai tulajdonságai adják, úgy mint a zérushelyeik vagy másszóval gyökeik, széls értékeik, aszimptótikus viselkedésük, bizonyos matematikai m veletekkel szembeni viselkedésük, stb. Függvény alatt két számhalmaz egymásra való leképezését értjük, azaz minden értéknek az értelmezési tartományból legfeljebb egy értéket feleltetünk meg az értéktartományból. Matematikai jelölésben f : X Y, ahol az X és Y értelmezési illetve értéktartományok a valós számok halmazának valamely alhalmazai lehetnek, azaz X, Y R. 1 Az egyváltozós függvények grakus képe egy síkgörbe. Példa 1. Egyenletesen gyorsuló pont : Pillanatnyi x helyzetét a t id függvényében az x(t) = + v 0 t + at2 2, x : [0, + ) [, + ) függvény adja meg, ahol és v 0 a kezdeti helyzetet és sebességet jelölik, míg a jellemzi a gyorsulást. Harmonikus oszcillátor : Ha a gyorsulás nem egyenletes, hanem harmonikus, akkor az x(t) = A cos ωt ϕ 0, x : [0, + ) [ A, A] függvény egy oszcillátor kilengésének id függését írja le. A t változó mellett megjelennek az A amplitudó, ω körfrekvencia és ϕ 0 kezdeti fázis paraméterek. 2. Barometrikus képlet s A p légköri nyomás z magassággal való változásának egy egyszer modellje: p(z) = p 0 e αz, p : [0, + ) [0, p 0 ), 1 Ezeket valós függvényeknek nevezzük. A meghatározás kiterjeszthet a komplex számok halmazán értelmezett ún. komplex függvényekre 7

8 FEJEZET 1. FÜGGVÉNYEK SZÉLSŽÉRTÉKE ahol p 0 a felszínen mért nyomás és α egy a leveg vegyi összetétele, h mérséklet és a gravitációs gyorsulás függvényében felírható állandó. 3. Kepler-probléma A két égitest egymás körüli kering mozgását jól leíró modell megadja a két test relatív távolságát a keringés fázisa (szöge) függvényében: Ez esetben r : R [0, + ). r(ϕ) = p 1 ε cos ϕ. A függvényt megadó kifejezésben megjelenhetnek a változótól független mennyiségek, mint a fenti példákban az, v 0 és a, az A, ω és ϕ 0, a p 0 és α, a p és ε vagy m 1, m 2,..., m N. Ezek a paraméterek is bizonyos megkötéseknek eleget tev halmazból vesznek fel értékeket, például pozitívak vagy egész számok. Egy egyváltozós a paraméteres függvények esetén elterjedt az y a (x) vagy y(x; a) jelölési mód. Mivel a paraméter minden értékére egy teljes érték függvényt kapunk a paraméteres függvény egy függvénycsaládot, grakus képe pedig egy görbecsaládot (görbesereget) határoz meg. A paraméteres függvénycsalád elemei a közeli rokonság ellenére min ségileg eltér tulajdonságot mutathatnak. Kétváltozós függvény esetén bármely két értéket egymástól függetlenül megadhatunk és a függvény ennek a két értéknek megfeleltet egy harmadik értéket. Az összefüggésben szerepet játszó mennyiségek függvényében jobbára ízlés szerint eldönthet, hogy a leképezés két változós vagy inkább paraméteres egy változós függvény. Matematikai jelölésben egy kétváltozós valós függvényt az f : X 1 X 2 Y, X 1, X 2, Y R módon határozunk meg. Grakusan egy háromdimenziós térbe merített kétdimenziós felületként ábrázolható. Többváltozós függvények változóinak száma lehet tetsz legesen nagy, akár végtelen is. Példa 1. A Föld Kelvinben meghatározott felszíni h mérsékletét egy T = T (θ, φ) azaz egy T : [ π/2, π/2) [0, 2π) [0, + ), ahol θ és ϕ egy adott pont szélességi és hosszúsági köre. 2. Egy gáz bels energiáját megadó Hamilton-függvény az egyes molekulák helyzetének és impulzusának a függvénye: H(r 1,..., r N, p 1,..., p N ) = N i=1 p 2 i 2m i +V (r 1,..., r N ), H : R 6N R, (1.1) ahol V : R 3N R a molekulák kölcsönhatási potenciális energiája. N tipikus értéke az N A 6 10 26 Avogadro-szám nagyságrendjébe esik. A legtöbb esetben a modellekben megjelen függvények folytonosak minden pontban, azaz nem rendelkeznek szakadási pontokkal. Az értelmezési tartomány egy adott pontra vonatkoztatott folytonossága alatt azt értjük, hogy a függvény határértéke az illet pontban megegyezik behelyettesítési értékével, azaz lim x x0 = f( ). Példa Az { x ha x [, +1), y(x) = x 1 ha x [1, + ),

1.1. FÜGGVÉNYEK 9 függvény mindenütt folytonos kivéve az x = 1 pontban. Itt a baloldali határértéke egy, míg behelyettesítési értéke nulla. Azon függvények halmazát melyek folytonosak az Ω tartomány minden pontjában C(Ω)-val jelöljük. A fenti példában egy els fajú szakadási pontot láttunk, mivel úgy bal mint jobboldali határérték létezik, ezek viszont különböznek. Ha a két határérték közül legalább az egyik ±, akkor másodfajú szakadásról beszélünk. Erre példa az 1/x függvény a nulla pontban. Egy y : R R valós függvény meredekségét egy x pont környezetében a ponton áthaladó húr tan α = y x, y = y(x + x) y(x) iránytangense jellemzi. Ez a húr a x = 0 határértékben a függvény grakus képéhez illesztett érint egyenesbe megy át melynek iránytangensét a függvény deriváltjának nevezzük: y (x) dy(x) dx = lim y(x + x) y(x) tan α = lim x 0 x 0 x Az érint iránytangense pontról pontra változhat, tehát y (x) is egy függvény. Mint ilyen maga is deriválható. Ez utóbbit másodrend deriváltnak nevezzük. A derivált meghatározásából azonnal következnek az alábbiak. Ha függvény egy adott Ω intervallumon: sima, akkor meghatározás szerint minden pontban értelmezett a deriváltja és folytonos. Úgy is nevezzük, hogy folytonosan deriválható, eleme a C 1 (Ω) osztálynak. folytonos de nem sima, akkor minden pontban értelmezett a deriváltja, de van els fajú szakadási pontja (lásd a bemutató anyagot). nem folytonos, hanem van els fajú szakadási pontja, akkor deriváltjának másodfajú szakadási pontja van az illet pontban. Azon függvények osztályát melyek n-edrend deriváltja folytonos az Ω intervallumon C n (Ω)-val jelöljük. A zikában el forduló y(x) típusú függvények többségére fennáll, hogy egy pont környékén tetsz legesen jól megközelíthet k a T m (x) = y( )+ y ( ) 1! x+ y ( ) 2! x 2 + + y(m) ( ) x m = y(x)+o( x m+1 ) (1.2) m!

10 FEJEZET 1. FÜGGVÉNYEK SZÉLSŽÉRTÉKE Taylor-sorral. Az O( x m+1 ) egy olyan hibatagot jelöl, melynek nagysága x x - nak m+1-ik vagy annál nagyobb hatványával tart a nullához. 2 Könnyen belátható, hogy a T 0 (x) = y( ) nulladrend közelítés egy állandó függvény, melynek grakus képe egy y( ) magasságban húzott vízszintes egyenes; T 1 (x) = y( ) + y ( )(x ) els rend közelítés az (, y( )) pontokon áthaladó, y ( ) iránytangens egyenes; T 2 (x) = y( ) + y ( )(x ) + y ( )(x ) 2 másodrend közelítés egy olyan -ban illeszked parabola, melynek érint iránytangense és görbülete is megegyezik a függvényével. Az y(x) függvény dierenciája alatt az x pontban a dy y (x)dx elemi mennyiséget értjük. Úgy dx mint dy tetsz legesen kicsi, határértékben nullához tartó értékek. A Taylor-sorból kiindulva mondhatjuk, hogy a fenti meghatározás azt fejezi ki, hogy miképpen válaszol els rendben(!) az y az x-ben történ változásra. A zikai modellek megalkotásakor általában eleminek tekinthet minden olyan változás, mely elhanyagolhatóan kicsi az y(x) két zikai mennyiség kapcsolatát leíró függvény karakterisztikus méretéhez vagyis az illet zikai mennyiségek skáláját viszonyítva. Ugyanakkor, az illet elemi skálán még érvényes kell legyen az y(x) által jellemzett modell. Példa 1. Kétváltozós u(x, y) : R R R függvény az, y 0 pontban számolt x illetve y szerinti parciális deriváltjai u(, y 0 ) x u(, y 0 ) y u( + x, y 0 ) u(, y 0 ) u x (, y 0 ) = lim x 0 x u y (, y 0 ) = lim y 0 u(, y 0 + y) u(, y 0 ) y (1.3) A fentiekb l kitetszik, hogy egy adott változó szerinti parciális deriválás esetén a határérték számolásakor a másik változó egy állandó paraméterként viselkedik és így a parciális deriválás m velete visszavezethet egyváltozós függvény deriváltjára. A termodinamikában elterjedt az állandónak tartott változók explicit megjelölése: u x ( u x ) y, u y ( u y 2 Egy valós y(x) függvény analitikus az x0 pontban, ha egy x < R környezetében a függvény felírható az y(x) = k=0 y (k) ( ) x k. k! hatványsor segítségével. ( R, + R) az y(x) függvény -ra vonatkoztatott Taylor-sorának konvergencia tartománya. Ha a konvergencia fennáll bármilyen R értékre, akkor a függvényt teljesnek nevezzük. Teljes függvényre példa az exponenciális, szinusz és koszinusz függvények. Ezzel szemben a logaritmus vagy tangens függvények analitikus, de nem teljes függvények. Ha x a tartományon kívül esik, akkor a hatványsor divergens és a magasabb rend Taylor-közelítések nagyobb hibát eredményeznek. Ezt nevezzük Runge-hatásnak. ) x.

1.1. FÜGGVÉNYEK 11 Példa u(x, y) = x 2 y, u x (x, y) = 2xy, u y (x, y) = x 2 A u(x, y), kétváltozós függvény m.-fokú Taylor-polinomja: T m (x, y) = u(, y 0 )+ + u(, y 0 ) x + 1 2 u(, y 0 ) 2 + 1 m! x + u(, y 0 ) y+ y x 2 x 2 + 2 u(, y 0 ) x y. [ x x + ] m y y u(, y 0 ) x y + 1 2 u(, y 0 ) 2 x 2 y 2 + Kétváltozós függvény esetén értelmezhetjük az x-szerinti d x u(x, y) u x (x, y)dx illetve az y szerinti d y u(x, y) u y (x, y)dy dierenciákat. Ezen dierenciák összege adja az u teljes dierenciáját du = d x u(x, y) + d y u(x, y) = u x (x, y)dx + u y (x, y)dy, Példa Ha u(x, y) = x 2 y, akkor du = 2xydx + x 2 dy. Az u(x 1, x 2,..., x n ) u(x), n-változós függvény parciális deriváltjának meghatározása azonosan történik a kétváltozós függvények esetében felírt (1.3) egyenletekhez. A segítségükkel felírható u-nak az pontra vonatkoztatott m.-fokú Taylor-polinom: T m (x) = u( )+ i=1 u( ) x i x i + 1 2 i,j=1 ahol x = x. A teljes dierencia a kétváltozós esettel analóg módon: du = [ 2 u( ) x i x j + + 1 n ] m x i u( ), x i x j m! x i=1 i u xi (x)dx i = pl. Potenciál és er kapcsolata. Az er vektoriális természete : i=1 ahol V = V (x, y), dv = V V dx + x y dy = F xdx F y dy = F dr F = F x i + F y j, dr = dxi + dyj

12 FEJEZET 1. FÜGGVÉNYEK SZÉLSŽÉRTÉKE 1.2. Egyváltozós függvények széls értéke A derivált zérushelyeiben tan α = y (x) = 0, tehát az érint vízszintes. Ezeket stacionárius pontoknak nevezzük. A függvénynek széls értéke van -ban, ha y(x) y( ) különbség el jeltartó tetsz legesen kis környezetében. Ellenkez esetben áthajlási (inexiós) pont. A stacionárius pont típusát széls érték vagy áthajlási pont az a legkisebb rend derivált adja meg, mely nem elt n. Ha ez m, akkor a T m (x) y( ) = y(m)(x0) (x ) m m 2 m! polinom páros m esetén széls értéket, páratlan esetén pedig áthajlást eredményez -ban. Amennyiben az y ( ) másodrend derivált nem nulla, a T 2 (x) másodrend megközelítés egy parabola, melynek csúcsa az (, y( )) pontban helyezkedik el. Ha y (x) < 0, akkor a széls érték egy maximum ellenkez esetben minimum. 1.3. Többváltozós függvények széls értéke. Sylvester tétele Legyen u : D R n R egy többváltozós függvény. a D tartomány bels pontja és x D egy elég kis környezetében lev tetsz leges pont. u megközelíthet másodrend Taylor polinomjával: u(x) T 2 (x) = u( ) + u xi ( ) x i + 1 2! i=1 u xix j ( ) x i x j, Elég kis környezet alatt azt a tartományt értjük melyen belül a másodrend tag sokkal kisebb mint az els rend. A széls érték feltétele, hogy u xi ( ) x i + 1 2! i=1 i,j=1 u xix j ( ) x i x j, x i = x i i (1.4) i,j=1 el jeltartó. Mivel a másodrend tag a x i -k nagysága függvényében teljesen elhanyagolható is lehet az els rend höz képest, ezért az utóbbi el jeltartása szükséges feltétel. Az egyes x i -k viszont egymástól és az u függvényt l függetlenek, ezért az els rend tag el jeltartása kizárt. A (1.4) kifejezés el jeltartását csak úgy biztosítható, hogy megköveteljük az els rend tag elt nését és a másodrend tag el jeltartását. Tehát u xi ( ) = 0, i = 1, n azaz u stacionárius az pontban. Ez egy u(x, y) kétváltozós függvény esetén annak felel meg, hogy a függvény által meghatározott felülethez az (, y 0 )-ban illeszthet sík párhuzamos az xoy síkkal. A széls érték feltétele, hogy u xix j ( ) x i x j i,j=1 el jeltartó legyen. Ha u xix j (P 0 ) = 0 minden i és j-re, akkor magasabbrend megközelítésekre is szükség van.

1.4. 13 FELTÉTELES SZÉLS ÉRTÉK A fenti négyzetes alak D1 = ux1 x1, D2 = pozitív de nit, ha a ux1 x1 ux2 x1 ux1 x2 ux2 x2 determinánsok mindegyike pozitív és D1 < 0, 1.1. ábra. Az 1.4.,... Dn = ux1 x1 ux2 x1 ux1 x2 ux2 x2...... ux1 xn ux2 xn........... uxn x1 uxn x2.... uxn xn negatív de nit, ha D2 > 0,..., ( 1)n Dn > 0 u(x, y) = x2 + my 2 függvény gra kus képe különböz m értékekre Feltételes széls érték f (x, y) függvény széls értékét, hogy közben eleget g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Ez úgy képzelhet el, hogy az xoy síkban elhelyezked g görbét rávetítjük az z = f (x, y) kétdimenziós felületre. Az így kapott felületi görbén keressük azokat a pontokat, melyekben a z magasság nagyobb (vagy Keressük úgy egy kétváltozós tegyünk egy másik, kisebb) mint a görbe mentén a közvetlen környezetben elhelyezked más pontokban. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba helyezhet maximális térfogatú henger adatait. Legyen

14 FEJEZET 1. FÜGGVÉNYEK SZÉLSŽÉRTÉKE 1.2. ábra. Ellipszoidba írható maximális térfogatú henger x 2 + y 2 a 2 + z2 b 2 = 1 a forgásellipszoid egyenlete. Ha r a sugara és h a magassága az ellipszoidba írandó hengernek, akkor a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. A henger és az ellipszoid érintkezési pontjaiban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2. A mellékfeltétel tehát r 2 a 2 + h2 4b 2 = 1. Az általános megoldáshoz tételezzük fel, hogy a g függvény által leírt implicit kapcsolatot felírhatjuk az explicit y = φ(x) módon. Az u(x) f(x, φ(x)) függvény deriváltja Ugyanakkor Kiküszöbölve φ (x)-et du dx = f x + f y φ (x). g x + g y φ (x) = 0. f x g x = f y g y, g(x, y) = 0. A fenti egyenletrendszer megoldása legyen (, y 0 ). Ekkor f x (, y 0 ) g x (, y 0 ) = f y(, y 0 ) g y (, y 0 ) = λ

1.4. FELTÉTELES SZÉLSŽÉRTÉK 15 tehát a keresett széls értékpont kielégíti a következ egyenletrendszert: A fenti három egyenlet egyenérték az f x + λg x = 0, f y + λg y = 0, F (x, y; λ) = f(x, y) + λg(x, y) g = 0 ; (1.5) háromváltozós segédfüggvény mellékfeltétel nélküli széls értékeire kirótt feltételeivel, azaz: F x = 0, F y = 0, F λ = 0, λ-t a Lagrange féle multiplikátornak nevezzük. Példa Az elipszoidba írt maximális térfogatú henger esetében: ( ) r F (r, h, λ) = πr 2 2 h + λ a 2 + h2 4b 2 1 A széls értékhelyeket a F r = 2πrh + 2λ r a 2 = 0, F h = πr 2 + λ h 2b 2 = 0, F λ = r2 a 2 + h2 4b 2 1 = 0. egyenletrendszer megoldásai szolgáltatják. Ezek:. (1.6) r 0 = 2 3 a, h 0 = 4 3 b, λ 0 = 4 3 πa2 b, és V max = 4π 3 a 2 b. 9

16 FEJEZET 1. FÜGGVÉNYEK SZÉLSŽÉRTÉKE

2. FEJEZET Variációszámítás 2.1. Funkcionálok Az el z szakaszban a számoknak számokra való leképezésének egyes tulajdonságait vizsgáltuk. Az így értelmezett függvények tulajdonságaiktól függ en végtelen számosságú halmazokba sorolhatók. Példa C n (R) n-szeresen folytonosan deriválható valós függvények halmaza; L 2 (C) négyzetesen integrálható függvények halmaza; b egy felület két pontját összeköt görbék. a f(x) 2 dx < + ; Sok esetben kézenfekv az problémában megjelen függvények számunkra jelent séggel bíró tulajdonságát egyetlen számmal jellemezni. Ilyenképpen egy leképezést valósítunk meg a függvények és a számok halmaza között. Ezt a típusú leképezést funkcionálnak nevezzük. Matematikailag egy funkcionált az F : X f Y, leképezésként határozunk meg, ahol X f függvények és Y pedig számok halmaza. Példa Függveny normája + N[y] y = y(x) 2 dx. Függvény maximuma az [x 1, x 2 ] intervallumon M[y] = max y(x). x [x 1,x 2] 17

18 FEJEZET 2. VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS Egy y(x) síkgörbe alatti terület S[y] = y(x)dx ; Megtett útnak változó sebességt l való függése x[v] = t1 t 0 v(t)dt ; Egy síkgörbe ívhossza l[y] = 1 + y (x) 2 dx ; Egy T h mérsékleten egyensúlyban lev gáz szabadenergiája F [H] = kt log dr 1... dr N dp 1... p N e H(r1,...,r N,p 1,...,p N )/kt, ahol k a Boltzmann állandó és H pedig a gáz (1.1)-ben megadott Hamiltonfüggvénye. Az integrálás a térkoordináták esetén a gázt tartalmazó edény belterére, míg az impulzusok esetén a teljes R 3N térre történik. 2.2. A variációs feladat Láttuk, hogy sok matematikai és zikai feladat megoldása függvények széls értékének meghatározására vezethet vissza. Ugyanakkor a feladatok egy nagy osztálya esetében nem egy értéket keresünk, hanem egy függvényt. Mihelyt a funkcionálok segítségével számot tudunk rendelni egy függvényhez, értelmezhet a funkcionál széls értékének fogalma. Másszóval egy adott funkcionál esetén keressük, hogy mely függvények esetén vesz fel széls értéket. Példák: Legegyszer bb variácios feladat Adott az I[y] = F (x, y, y )dx funkcionál, ahol az F függvényt alapfüggvénynek nevezzük. Keressük azt az y kétszer folytonosan deriválható egyváltozós függvényt, melyre adott y( ) = y0 és y(x 1 ) = y1 feltételek mellett az I[y] széls értéket vesz fel. brachisztochron probléma Johann Bernoulli 1696-ban a következ feladatot vetette fel kortárs tudósok számára: A homogénnek tekintett gravitációs térben keressük azt a függ leges síkban fekv y = y(x) egyenlet görbét, amely az adott

2.2. A VARIÁCIÓS FELADAT 19 2.1. ábra. Brachisztochron feladat P 0 és a nála nem feljebb elhelyezked P 1 pontokat úgy köti össze, hogy a P 0 -ból kezd sebesség nélkül induló anyagi pont súrlódásmentesen mozogva a lehet legrövidebb id alatt jusson a P 1 pontba. (brachisztochron=legrövidebb id ) Ez a feladat jelentette a variációszámítás kezdetét (2.1). tehát v = dl dt, E P = mv2 2 dl dt = v, dl = dx 2 + dy 2 = 1 + y 2 dx, mgy = E P0 = 0 v = 2gy, dt = 1 + y 2 2gy dx, azaz a T [y] = funkcionál széls értékét keressük. 0 1 + y 2 dx 2gy Adott hosszúságú egyeneshez illeszked görbe alatti terület széls értéke (2.2). S[y] = ydx széls értéket keressük a következ mellékfeltétellel: l = 1 + y 2 dx. 2.2.1. Variáció fogalma és az Euler-Lagrange egyenlet Tekintsük az I[y] = F (x, y, y )dx (2.1) funkcionált, melyben y = y(x) egy megfelel en sima tetsz leges egyváltozós valós függvény és kielégíti az y( ) = y 0 és y(x 1 ) = y 1 peremfeltételek.

20 FEJEZET 2. VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS 2.2. ábra. Adott hosszúságú egyeneshez illeszked görbe alatti terület széls értéke Miképpen a függvények széls értékének meghatározásakor történt, a funkcionálok esetében is szükséges bevezetnünk a funkcionál argumentumának, azaz az közvetlen kis környezetének fogalmát. Ez alatt az ahol δy egy megfelel en sima kis variáció. y(x) Szigorúbb matematikai értelemben az y(x) + η(x) függvényt, variációja alatt pedig a y + δy ún. variált függvénye alatt egy δy = η egy megfelel en sima, de amúgy tetsz leges valós függvény, valós paraméter. Az Z x1 I[Y ] I( ) = y függvény variált függvényt értjük, Y (x) = η(x) függvényt értjük, ahol pedig egy tetsz legesen kis F (x, Y, Y 0 ). x0 variált funkcionált egyúttal függvényeként foghatjuk fel. 2.3. ábra. A variációs feladat. Az (x0, y0 ), (x1, y1 ) rögzített végpontok között keresett y(x) behelyettesítve az I[y] funkcionálba annak széls értékét adja. Elképzeljük a függvény tetsz leges δy(x) variációt, melyek elt nnek a végpontokban, hogy az y(x) +δy(x) variált függvények is kielégítsék a peremfeltételeket. A széls érték feltétele, hogy I[y+δy] I[y] δi[y] legyen el jeltartó A variációkra δy(x1 ) = 0, azaz kiszabott peremfeltételek η(x0 ) = η(x1 ) = 0. Az y0 rögzített végpontok variációjára fennáll, hogy azaz a variáció deriváltja megegyezik a derivált variációjával. δy(x0 ) = δy 0 = η 0 = (δy)0, esetén

2.2. A VARIÁCIÓS FELADAT 21 A széls érték feladatot, legyen az például minimum, a funkcionál variációjának el jeltartása révén deniálhatjuk: tetsz legesen kicsi δy variációra, vagyis tetsz leges η(x) esetén. A Taylor képlet alapján δi[y] = I[y + δy] I[y] > 0, I(ɛ) I(0) > 0, δi[y] = = = ɛ [F (x, y + δy, y + δy ) F (x, y, y )] dx = (F y δy + F y δy ) dx + 1 2 (F y η + F y η ) dx + ɛ2 2 A stacionaritás feltétele δ 1 I[y] = ún. els variációnak az elt nése, azaz Tehát δ 1 I[y] = F y δy ( Fyy δy 2 + 2F yy δyδy + F y y δy 2) dx + = ( Fyy η 2 + 2F yy ηη + F y y η 2) dx +.... (F y δy + F y δy ) dx di dɛ = 0 ɛ=0 F y δy = d ( ) d dx (F y δy) dx F y δy. x1 x1 + A peremfeltételek miatt az els tag elt nik és az ( F y d ) dx F y δydx = 0, δy (2.2) F y d dx F y = 0 (2.3) ún. Euler-Lagrange egyenletet kapjuk Annak szükséges feltétele, hogy az y függvény az I funkcionál relatív maximumát (minimumát) adja, az, hogy az [, x 1 ] intervallum minden egyes pontjában fennálljon az F y y 0(illetveF y y 0) úgynevezett Legendre-feltétel. Ez analógja a függvények szels értékének vizsgálatánál a másodrend deriváltra kirótt feltételeknek. Viszont amíg a függvényeknél az y ( ) < 0[y ( ) > 0] feltételek a maximum (illetve minimum) elégséges feltételei, addig a funkcionálok esetében a Legendre feltétel csupán szükséges, de általában nem elégséges.

22 FEJEZET 2. VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS Az Euler-Lagrange egyenlet kifejtett alakja F y F xy y F yy y F y y = 0, (2.4) azaz a variációs feladatot visszavezettük egy másodrend dierenciálegyenlet integrálására. Ennek y = y(x, C 1, C 2 ) általános megoldásában megjelen két tetsz leges integrációs állandót a megadott peremfeltételekb l határozhatjuk meg. Ha a keresett y függvény az és x 1 pontok egyikében (vagy mindkett ben) nem rögzített, tehát δy( ) 0 vagy δy(x 1 ) 0 akkor az (2.2) els rend variáció elt néséhez az Euler-Lagrange egyenleten kívül még az F y = 0, F y = 0 x=x0 x=x1 feltételek is szükségesek, amelyek segítségével meghatározhatók az integrációs állandók. Az így kapott függvény természetesen a funkcionál egy er sebb széls értékét adja, mint rögzített végpontok esetében, a fent kiszabott peremfeltételek ugyanis egyenérték ek az I[y(x, C 1, C 2 )] kétváltozós (C 1 és C 2 ) függvény széls értékének szükséges feltételeivel. Példa: Adott az: I[y] = 2 1 (y 2 2xy)dx funkcionál, és keressük azt az y = y(x) egyenlet görbét, amelyre I-nek széls értéke van az y(1) = 0 és az y(2) = 1 peremfeltételek mellett. Itt az alapfüggvényünk F (x, y, y ) = y 2 2xy, és F y = 2x; F y = 2y ; df y/dx = 2y, tehát a megfelel Euler-Lagrange egyenlet: less. Ebb l két integrálás után az 2x 2y = 0 y(x) = x2 6 + C 1x + C 2 általános megoldást kapjuk. A C 1 és C 2 állandókat az adott peremfeltételekb l határozzuk meg C 1 + C 2 = 1 6 2C 1 + C 2 = 1 3 ahonnan C 1 = 1 6 és C 2 = 0 következik. Tehát ha létezik a széls érték, akkor az csak az y(x) = x 6 (1 x2 ) egyenlet görbe lehet. Mivel F y y = 2 > 0 az [1,2] intervallum minden pontjában, a széls érték minimum kell hogy legyen, és ennek értéke 223 90 = 2.477... Ha kiszámoljuk a funkcionál értékét a peremfeltételeket teljesít, de az Euler- Lagrange egyenletet nem kielégít y = x + 1 egyenes esetében, akkor 8 3 = 2.66... -ot kapunk, ami nagyobb az el bb kapott minimumnál.

2.2. A VARIÁCIÓS FELADAT 23 Az y(x, a) = ax 2 (3a+1)x+2a+1 az a paramétert l függ parabolacsalád minden egyes tagja kielégíti az y(1) = 0 és az y(2) = 1 peremfeltételeket. Ha kiszámítjuk a funkcionál megfelel értékét az a paraméter függvényében, akkor I[y(x, a)] = 1 6 (2a2 + 3a + 15). A funkcinál minimumát az a = 3 4 értékre következik be, és a funkcionál értéke a megfelel y = 1 4 (3x2 5x + 2) parabola esetén 119 48 = 2.479, ami valamivel nagyobb, mint az Euler-Lagrange egyenlet alapján kapott minimumérték. Vizsgáljuk, hogyan változik a funkcionál széls értéke, ha az x = 2 pontban nem rögzítjük az y értéket. Felhasználva az y(1) = 0 peremfeltételt, az y(x, C 1 ) = x3 6 + C 1 x + 1 6 C 1 görbesereget kapjuk, ahol a C 1 paramétert az F y = 2y (2) = 0 x=2 feltételb l határozhatjuk me. Ekkor C 1 = 2 értéket kapunk, és a keresett függvény y = 1 6 (x3 12x+11) a funkcionál minimuma pedig 53 60, jóval kisebb (er sebb) mint kötött peremérték esetén. Ehhez az eredményhez úgy is eljuthattunk volna, ha kiszámítjuk az I[y(x, C 1 )] C 1 - ben egyváltozós függvényt, és keressük ennek a minimumát: I[y(x, C 1 )] = C 2 1 4C 1 + 187 60, amelynek C 1 = 2-ben, éppen 53 60 -nal egyenl minimuma van. 2.2.2. Az Euler-Lagrange egyenletek invarianciája Sok feladatban hasznos, hogy az I[y] = F (x, y, y )dx funkcionálban áttérjünk az x = x(u, v) és y = y(u, v) transzformációk segítségével az új u, illetve v változókra. Ekkor u1 F (x, y, y )dx = F [x(u, v), y(u, v), y u + y v v ] u1 x u + x v v (x u +x v v )du Φ(u, v, v )du, u 0 u 0 a keresett extremális görbe v = v(u), és ennek (u szerinti) deriváltját jelöltük v -tel. A széls érték szükséges feltétele most már a Euler-Lagrange egyenlet, amelyet az Φ u d du Φ v = 0, F y d dx F y = 0 egyenletb l közvetlenül is megkaphatnánk a transzformációk felhasználásával, de jóval hosszadalmasabb számítások után. Ez az Euler-Lagrange-egyenletek invarianciáját fejezi

24 FEJEZET 2. VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ki a transzformációkkal szemben, és természetesen fennáll bonyolultabb funkcionálok esetében is. Ha a transzformáció során a független paraméter nem változik, azaz x = u, akkor x u = 1 és x v = 0, ahonnan Φ(u, v, v ) = F [u, y(u, v), y u + y v v ]. Mechanikai rendszerek esetén, a kényszerek vagy valamilyen szimmetriák miatt elvégzett koordinátatranszformációk esetén is ez a helyzet áll fenn. Vannak olyan esetek, amikor az F alapfüggvény alakjában eszközölt változtatások egyáltalán nem módosítják az Euler-Lagrange egyenletet. 1. Mivel az egyenlet lineáris F -ben, tetsz leges F = c F többszöröse is ugyanahhoz az egyenlethez vezet, azaz Fy d dx F y = F y d dx F y = 0. Ezt nem csak formailag, hanem intuitíven is könnyen beláthatjuk, ha gyelembe vesszük, hogy az F (x, y, y ) alapfüggvényhez egy I [y] = c I[y] funkcionál tartozik, mely széls értékét ugyanarra az y(x) függvényre veszi fel, mint I[y]. Függvények esetében is az f(x) és c f(x) függvények széls értékhelyei megegyeznek. 2. Az F (x, y, y ) F (x, y, y ) = F (x, y, y ) + d f(x, y) dx alapfüggvények is egyenérték ek a variációs feladat szempontjából hiszen I [y] = F (x, y, y )dx = I[y] + f(x 1, y(x 1 )) f(, y( )). A fenti funkcionál variációjakor a jobboldali két állandó elt nik, tehát δi [y] = δi[y]. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy az alapfüggvényb l additív módon leválasztható teljes derivált kifejezés egyszer en elhagyható. Példa a) b) δ y (x 2 y + 2)dx = δ δ (xy ) 2 + 2y dx = δ (xy ) 2 dx (xy d + y 4x)dx = δ dx (xy 2x2 )dx = 0

2.2. A VARIÁCIÓS FELADAT 25 3. Ha az F (x, y, y ) alapfüggvényhez hozzáadunk egy G(x, z, z ) másik függvényt, akkor az így képezett I [ y, z] = funkcionál széls értékét az [F (x, y, y ) + G(x, z, z )] dx F y d dx F y = 0, G z d dx G z = 0 (2.5) független egyenletek megoldásai adják, tehát ugyanazok az y(x) és z(x) függvények, melyek az F illetve G alapfüggvényekkel megadott független variációs feladatok esetén is kapnánk. 2.2.3. Az alapfüggvény F (x, y ) alakú Az F (x, y, y ) alapfüggvény gyakran hiányos, vagyis nem függ expliciten x-t l, vagy nem tartalmazza y-t vagy y -t. Ilyen esetekben az Euler-Lagrange egyenlet sokkal könnyebben integrálható. Ha F = F (x, y ), akkor F y = 0, és az Euler-Lagrange egyenletb l csupán marad, ahonnan nyilván d dx F y = 0 F y = C 1 következik, amely már csak egy els rend dierenciálegyenlet. Erre az esetre példa az x 1 L[y] = 1 + y 2 dx funkcionál, amely a P 0 (, y 0 ) és P 1 (x 1, y 1 ) pontok, közötti y = y(x) egyenlet görbe mentén mért távolságot adja meg. Mi azt a görbét keressük, amely mentén ez a távolság minimális. Az L funkcionál széls értékének szükséges feltétele F y = y 1 + y 2 = C 1 lesz. Vezessük be az y = m állandó jelölést, ahonnan a dierenciálegyenletet nyerjük, és így az dy = mdx y = mx + n

26 FEJEZET 2. VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS egyenlet egyenes lesz a két pontot összeköt legrövidebb útnak megfelel görbe. Az m és n integrációs paraméterek értékét az y 0 = m + n és y 1 = mx 1 + n egyenletekb l számíthajuk ki. F y y = 1 (1 + y 2 ) 3/2 > 0 miatt az egyenes valóban az L funkcionál minimumát adja. 2.2.4. Az alapfüggvény F (y, y ) alakú Amennyiben az F alapfüggvény nem függ közvetlenül x-t l, azaz a funkcionált I[x] = F = F (y, y ) y1 y 0 F (y, 1x ) x dy formában írhatjuk át, felhasználva az y = 1/x összefüggést, és független változónak az y-t tekintjük. Ha az y-tól és x -t l függ új F ( ) y, 1 x x alapfüggvényt F (y, x )-tel jelöljük, a funkcionál. I[x] = y1 y 0 F (y, x ) dy alakú lesz. Mivel F nem függ expliciten az x függvényt l, alkalmazhatjuk a 2.2.3 pontban tárgyalt eljárást, vagyis F x = C 1 els rend dierenciálegyenletet kell megoldanunk. Ezt az egyenletet kifejtjük visszahelyettesítve az eredeti alapfüggvényt vagyis (y, 1x ) ] x x [ F és ismét y = 1/x helyettesítéssel az = C 1 b l F (y, 1x ) 1x F y (y, 1x ) = C 1 F (y, y ) y F y (y, y ) = C 1 gyakran alkalmazott primintegrált kapjuk. Ez ugyancsak egy els rend dierenciálegyenlet. 2.2.5. Széls értékfeltétel szabad perempontok esetén Nézzük meg, mi történik abban az esetben, hogyha a perempontokban csak y értékeit rögzítjük, az x értékeket pedig szabadon hagyjuk. Használjuk ismét y-t mint független változót, és keressük azt az x függvényt, amelyre az I[x] = y1 y 0 F (y, x, x )dy

2.2. A VARIÁCIÓS FELADAT 27 funkcionálnak széls értéke van, tehát a δ 1 I[x] = F x δx y 1 y1 + y 0 y 0 ( F d ) dy F x δxdy els variáció tetsz leges δx-re elt nik. Ennek feltételei az F x y=y0 = F x y=y1 = 0, mivel ezekben a pontokban a δx variáció tetsz legs lehet. Visszatérve az eredeti F (x, y, y ) függvényre az Euler-Lagrange egyenlet F x d dx (F y F y ) = 0 alakú, és könny belátni, hogy ez ekvivalens az eredeti Euler-Lagrange egyenlettel. A perempontokban pedig (F y F y ) = (F y F y ) = 0 y=y0 y=y1 természetes feltételekhez jutunk. Ha F nem függ expliciten x-t l, akkor F x = 0 és az Euler-Lagrange egyenletnek fentebb kapott alakjából azonnal következik az primintegrál létezése. F y F y = C 2.2.6. Kezdetiérték és peremérték feladatok egyenérték sége Sok esetben, különösen a zikában, az y(x) függvényre kirótt két plusz feltételt nem a végpontokra kötjük ki y 1 = y(x 1 ) és y 2 = y(x 2 ) formában, hanem csupán a kezdeti pontban úgy a függvényre mint annak deriváltjára. Azaz y(x 1 ) = y 1, y (x 1 ) = y 1. (2.6) A variációs feladat lényege ezzel nem változik, tehát az Euler-Lagrange egyenlet megoldásaként kapott kétparaméteres y = y(x, C 1, C 2 ) függvényben az integrálási állandók meghatározhatók a kezdeti feltételekb l. Ha vesszük azon peremfeltételek halmazát, melyekre létezik megfelel C 1 és C 2 integrálási állandó, akkor ezen a peremfeltételek mindegyikének egyértelm en megfeleltethet nk egy egyenérték (2.6) típusú kezdeti feltételt. 2.2.7. A brachisztochron probléma megoldása A 2 részben levezettük a brachisztochron problémának megfelel T [y] funkcionált. Itt az 1 + y F (y, y 2 ) = 2gy

28 FEJEZET 2. VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS alapfüggvény nem függ expliciten x-t l. Ezért a megfelel Euler-Lagrange egyenletnek felírhatjuk az F y F y = C alakú primintegrálját, ami az 1 2gC 2 y = 1 + y 2 dierenciálegyenlethez vezet. Legyen y = cot θ/2 és 1/2gC 2 = 2r, ahol θ paraméter, r pedig egy állandó. Így azonnal kijön, hogy y = 2r sin 2 θ = r(1 cos θ). 2 Ezt dierenciálva és ezáltal y = cot θ/2-b l dy = r sin θdθ dx = dy = 2r sin 2 θ 2 dθ következik.tehát cot θ 2 x = r(θ sin θ) + K. A kezdeti feltétel alapján a P 0 pontban x = y = 0 belátható, hogy P 0 -ban θ = 0, és ezért K = 0 lesz. A P 0 P 1 görbe paraméteres egyenletei x = r(θ sin θ), y = r(1 cos θ). Ez az úgynevezett cikloisz, amelyet egyenes vonal mentén csúszás nélkül gördül r sugarú kör kerületének egy pontja ír le (lásd a bemutató anyagot). Az r állandót abból a feltételb l számítjuk ki, hogy az anyagi pontnak át kell haladnia a P 1 (x 1 y 1 ) ponton. Az ábrán (lásd a bemutató anyagot)a ciklois két ívét rajzoltuk meg, a mozgás azonban nyilván csak a folytonso vonalla húzott szakaszon történik. A cikloisznak még az érdekes 2.4. ábra. A cikloisz és a brachisztochron feladat megoldása tulajdonsága van, hogy két azonos magasságban lev pontja között súrlódás nélkül csúszó pont mozgása izochron, azaz a mogás periódusa nem függ a két pont közötti távolságtól. Ezt a tuljdonságot Christian Huygens (1629-1695) alkalmazta pontos ingaóra készítésére.

2.2. A VARIÁCIÓS FELADAT 29 Ha a P 1 pont szintén az O x tengelyen található, tehát y 1 = 0, akkor az y = r(1 cos θ) = 0 egyenletb l a végpontra θ 1 = 2π értéket kapunk. Ezt behelyettesítve az kifefejezésbe, következik, hogy x = r(θ sin θ) r = x 1 2π. Határozzuk meg most az id tartamot megadó funkcionál értékét a P 0 (0, 0) és a P 1 (x 1, 0) pontok között: θ1 x T ciklois = 2 + y 2 r dθ = 2gy g θ 1. Behelyettesítve θ 1 -t és r-t, a teljes cikloisív megtételéhez szükséges id 0 2πx1 T ciklois = g x1 2.507 g. Ha megvizsgáljuk a fenti P 0 és P 1 pontok közötti út megtételéhez szükséges id t egy x 1 /2 sugarú félkör mentén, akkor a körív paraméteres egyenletei lesznek, a megfelel id pedig nagyobb, mint a ciklois esetében. 2.2.8. Minimális forgásfelület x = x 1 (1 + cos ϕ), 2 y = x 1 2 sin ϕ ϕ [0, π] x1 T félkör = 2.622 g Az P 0 (, y 0 ) és P 1 (x 1, y 1 ) (y 0, y 1 > 0) y = y(x) ds = 2πydl = 2πy 1 + y 2 S[y] = 2π y 1 + y 2 y y 1 + y 2 dx F y F y = C 1 yy = y = C 1, 1 + y 2 1 + y 2 ahonnan ( y y = ± c 1 ) 2 1

30 FEJEZET 2. VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS és innen a dy dx = ( ) 2 ± y c 1 1 dierenciálegyenletet kapjuk, amelynek megoldása az egyenlet, úgynevezett láncgörbe. y(x) = C 1 cosh x C 2 C 1 2.2.9. Lánc alakja homogén gravitációs térben A láncgörbe elnevezés onnan származik, hogy a fentebb kapott függvény egyszersmind megadja a két végpontjában felfüggesztett homogén láncnak állandó gravítácós térben elfoglalt alakját. Ugyanis egyensúlyi állapotban a lánc (ideálisan hajlítható huzal) olyan helyzetet foglal el, amelyben helyzeti energiája minimális. du = ρsgydl = ρsgy 1 + y 2 dx U[y] = ρsg y 1 + y 2 dx Mivel egy állandó pozitív tényez t l eltekintve F y y = y (1 + y 2 ) 3/2 > 0 2.2.10. Több egyváltozós függvényt l függ funkcionál Tételezzük fel, hogy a vizsgált funkcionál alapfüggvénye F = F (x, y 1, y 2,..., y n ; y 1, y 2,..., y n) alakú tehát n egyváltozós y i : [, x 1 ] R, (i = 1,..., n) függvényt l és ezek els rend deriváltjaitól függ. Keressük azokat az y i (x), (i = 1,..., n) függvényeket, amelyekre az I[y 1, y 2,..., y n ] = F (x, y 1, y 2,..., y n ; y 1, y 2,..., y n)dx funkcionál széls értéket vesz fel az y i ( ) = y (0) i és y i (x 1 ) = y (1) i adott peremfeltételek mellett. Az (x, y 1, y 2,..., y n ) valós számok tulajdonképp egy (n+1) dimenziós térbeli pontot jelképeznek, s így y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x),..., y n = y n (x) egy görbe egyenletei ebben a térben. Ezért ezt a feladatot térbeli variációs problémának is nevezik. Amennyiben a funkcionál csak egyetlen y függvényt l függ, akkor síkbeli feladatról beszélünk. Az y 1, y 2,..., y n számokat egy n-dimenziós vektor koordinátáinak is tekinthetjük: y = (y 1, y 2,..., y n ) és az y = (y 1, y 2,..., y n) jelöléssel a funkcionál rövidebben I[y] = F (x, y, y )dx

2.2. A VARIÁCIÓS FELADAT 31 alakban írható, a peremfeltételek pedig y( ) = y (0), y(x 1 ) = y (1) lesznek. Akárcsak a többváltozós függvények stacionárius pontjaiban, ahol a teljes dierenciál elt nése volt a széls érték szükséges feltétele, itt is az els variációnak kell elt nnie ahhoz, hogy a funkcionál stacionárius függvényeit megtaláljuk: δ 1 I = [(F y1 δy 1 + F y2 δy 2 + + F yn δy n )+ Felhasználva ismét az azonosságokat F y i δy i = d dx (F y i δy i) δ 1 I = i=1 ( d dx F y i + (F y 1 δy 1 + F y 2 δy 2 + + F y n δy n)]dx = 0 ) δy i, (i = 1,..., n) [ F y x x1 ( 1 i δy i + F yi d ) ] dx F y i δy i dx = 0 ahol δy i -vel az y i függvények variációit jelöltük, és a rögzített peremfeltételekb l δy i ( ) = δy i (x 1 ) = 0, (i = 1,..., n) következik. Ez utóbbi kikötés miatt a δ 1 I variációban szerepl F y x 1 i δy i kifejezések elt nnek. Mivel a δy i variációk egymástól teljesen függetlenek, és tetsz legesek, ezért a megmaradt integrálokban a δy i (i = 1,..., n) variációkat választhatjuk úgy, hogy egy kivételével mindegyik elt njön. Ekkor viszont alkalmazhatjuk a Lagrange-lemmát mindegyik egyenl ségre, ahonnan az ( F yi d dx F y i ) δy i dx = 0, (i = 1,..., n) F yi d dx F y i = 0, (i = 1,..., n) Euler-Lagrange másodrend dierenciál-egyenletrendszerhez jutunk. A rendszer általános megoldása 2n tetsz leges integrációs állandót tartalmaz: y i = y i (x, C 1, C 2,..., C 2n ), (i = 1,..., n), melyek meghatározása az adott 2n számú peremfeltétel segítségével lehetséges. Annak eldöntésére, hogy a kapott megoldás a funkcionál széls értéke-e, és az milyen jelleg, a második variáció el jelének tanulmányozása szükséges. A Legendre-feltétel ebben az esetben a többváltozós függvények széls értékének elégséges feltételéhez hasonló alakban jelentkezik. Annak szükséges feltétele, hogy az y i, (i = 1,..., n) függvények az I funkcionál minimumát adják, az, hogy az [, x 1 ] intervallum minden pontjában az F y 1 y F 1 y 1 y... F 2 y 1 y n F y 2 y 1 F y 2 y 2... F y 2 y n F y 1 y 1 0 ; F y 1 y 1 F y 1 y 2 F y 2 y 1 F y 2 y 2 0 ;... ;........ 0 F y n y 1 F y n y 2... F y n y n

32 FEJEZET 2. VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS egyenl tlenségek teljesüljenek. A maximum feltétele megegyezik a F alapfüggvényre fennálló fenti minimumfeltételekkel. 2.2.11. Az Euler-Lagrange dierenciálegyenlet-rendszerek primintegráljai Az Euler-Lagrange másodrend dierenciálegyenlet-rendszer megoldása egyszer södik abban az esetben, ha az alapfüggvény nem tartalmazza valamelyik y i függvényt, csak ennek deriváltját. Ezt az y i függvényt ciklikus változónak nevezzük, és mivel F yi = 0, a megfelel Euler-Lagrange egyenletb l marad, ahonnan az d dx F y i = 0 F y i = C i primintegrált kapjuk. Ha az F alapfüggvény nem függ expliciten az x független változótól, akkor szintén egy primintegrált kaphatunk meg. Ugyanis, ha kiszámítjuk az F (y 1, y 2,..., y n ; y 1, y 2,..., y n) függvény x szerinti deriváltját, akkor következik. De az F yi df dx = n i=1 (F yi y i + F y i y i ) = d dx (F y i ) Euler-Lagrange egyenletek miatt a df dx = n i=1 [ y i ] d dx F y i + F y i y i összefüggést kapjuk. A szögletes zárójelben éppen az y i F y i így a [ ] d F y dx if y i = 0 egyenl ségb l az primintegrálhoz jutunk. F i=1 szorzat deriváltja található, s y if y i = C (2.7) 2.2.12. Két pont közötti minimális távolság a térben i=1 Legyen P 0 (, y 0, z 0 ) és P 1 (x 1, y 1, z 1 ) a tér két tetsz leges pontja. Keressük azon görbét, amely mentén mért távolság a két pont között a lehet legkisebb. Nyilván ez a két pontot összeköt egyenes szakasz. Az elemi távolság a háromdimenziós euklideszi térben dl = dx 2 + dy 2 + dz 2 = 1 + y 2 + z 2 dx,

2.2. A VARIÁCIÓS FELADAT 33 amennyiben az x-et választjuk független változónak. A távolságot kifejez funkcionál: l[y, z] = 1 + y 2 + z 2 dx. Az alapfüggvény nem tartalmazza az y és z változókat, csak ezek deriváltjait, és ezért a megfelel Euler-Lagrange egyenletb l az alábbi primintegrálok következnek: y 1 + y 2 + z 2 = C 1 z 1 + y 2 + z 2 = C 2 ahonnan y = α 1 (állandó) és z = α 2 (állandó). Ezáltal y = α 1 x + β 1 z = α 2 x + β 2 lesznek a keresett görbe általános egyenletei. Ezek tulajdonképpen egy-egy síkot határoznak meg, amelyeknek metszésvonala egy egyenes. Az α 1, α 2, β 1 és β 2 állandókat abból a feltételb l kell kiszámítanunk, hogy a kapott egyenes áthalad a P 0 és P 1 pontokon. Könnyen belátható, hogy a kapott megoldás a Legendre-feltétel alapján is a minimális távolságot adja, ugyanis: Megjegyezzük, hogy a dl elemi távolságot F y y = 1 + z 2 (1 + y 2 + z 2 ) > 0 3/2 F y y F y z F z y F = 1 z z (1 + y 2 + z 2 ) 0. 1/2 dl = x 2 + y 2 + z 2 dt alakban is írhattuk volna, ahol t egy tetsz leges paraméter. Ekkor három dierenciálegyenletet kapunk, amelyek azonban nem függetlenek egymástól. Ez azért van, mert a funkcionál független (invariáns) a paraméter választástól. Valóban, ha a t = t(τ) paramétercserét alkalmazzuk, akkor a funkcionál kifejezése τ1 x τ 2 + y τ 2 + z τ 2 dτ, τ 0 ahol x τ -al x-nek τ szerinti deriváltját jelöltük. Paraméteres formában a tárgyalás szimmetrikusabb és ugyanakkor általánosabb, mert az y és z függvények egy x értékhez csak egy y, illetve egy z értéket rendelnek, míg megfelel parametrizálással ez az egyértelm megfeletetés általánosabb görbékre is elérhet. Például az xoy síkban tekintett egységkör egyenletei z = 0 és x 2 + y 2 = 1. Az utóbbi egyenlet y = ± 1 x 2, x [ 1, 1] alakban írható, ami nem ad egyértelm megfeleltetést, viszont parametrikus formában például x = cos t, y = sin t felírás esetében minden t [0, 2π) értékhez egyetlen (x, y) értékpár rendelhet.

34 FEJEZET 2. VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS 2.2.13. Geodetikus görbék mint variációs feladat Már bizonyítottuk, hogy két pont között a legrövidebb út az egyenes. Most azt szeretnénk megtudni, hogy egy adott felület két pontja között mely görbe adja meg a legrövidebb távolságot. Ezeket a görbéket a felület geodetikus vonalainak nevezzük. Egy Σ felületet megadhatunk a z = f(x, y) explicit vagy a G(x, y, z) = 0 implicit egyenlet segítségével. Leggyakrabban azonban az általánosabb parametrikus x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) egyenleteket használjuk, amelyeket vektoriálisan r = r(u, v) alakban is írhatunk. Az u és v paraméterek (koordináták) egyértelm en megadják a felület (kétdimenziós görbült tér) pontjait. A felületen elhelyezked görbéket u = u(v) vagy általánosabban az u = u(t) és v = v(t) parametrikus egyenletekkel adhatjuk meg (lásd a bemutató anyagot). Az (u, v) pontból az (u + du, v + dv) pontba mutató vektor dr = r u du + r v dv. A neki megfelel távolság négyzete pedig dl 2 = (dr) 2 = Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2 alakban írható (ez a felület els alapformája), ahol E = r 2 u = x 2 u + y 2 u + z 2 u, F = r u r v = x u x v + y u y v + z u z v, G = r 2 v = x 2 v + y 2 v + z 2 v, Legyen P 0 (u 0, v 0 ) és P 1 (u 1, v 1 ) a felület két adott pontja. Határozzuk meg a felületen azt a P 0 és P 1 pontokat összeköt u = u(t) és v = v(t) egyenlet görbét, amely mentén mért távolság a két pont között a lehet legkisebb. Ezt a távolságot az l[u, v] = t1 t 0 Eu 2 + 2F u v + Gv 2 dt funkcionál fejezi ki, ahol u = du/dt, v = dv/dt és u(t 0 ) = u 0, v(t 0 ) = v 0, valamint u(t 1 ) = u 1, v(t 1 ) = v 1. A geodetikus görbe u = u(t) és v = v(t) egyenleteit, ennek a funkcionálnak megfelel Euler-Lagrange egyenletrendszer megoldásával számíthatjuk ki. 2.2.13.1. Geodetikus vonalak forgásfelületeken Mutassuk be ezeket a számításokat konkréten egy forgásfelület esetében. Itt u = ρ, v = ϕ paraméterekkel az Oz tengely forgásfelület egyenletei: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = f(ρ). Innen E = 1 + f 2, F = 0, és G = ρ 2. Keressük a felületen a ρ = ρ(ϕ) egyenlet geodetikus görbét. Ennek szükséges feltétele az, hogy az I[ρ] = ϕ1 ϕ 0 (1 + f 2 )ρ 2 + ρ 2 dϕ

2.2. A VARIÁCIÓS FELADAT 35 2.5. ábra. Forgásfelület geodetikus görbéi funkcionál minimális legyen. Mivel az F alapfüggvény nem függ expliciten ϕ-t l, az Euler-Lagrange egyenletb l primintegrál következik, avagy F ρ F ρ = állandó ρ 2 (1 + f 2 )ρ 2 + ρ 2 = állandó, vagy pedig gyelembe véve, hogy röviden írhatjuk, hogy dl = (1 + f 2 )ρ 2 + ρ 2 dϕ ρ 2 dϕ dl = állandó. Adjunk ennek egy geometriai értelmezést: Az ábrán (lásd a bemutató anyagot)látható, hogy az ABC derékszög háromszögben az AB befogó ρdϕ, az AC átfogó pedig a geodetikus vonalon mért dl elemi távolság. Ha ω az A ponton áthaladó meridián és geodetikus

36 FEJEZET 2. VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS vonal által bezárt szög, következik, hogy ρdϕ = sin ω. dl Így az Euler-Lagrange egyenletb l kapott összefüggést ρ sin ω = állandó alakban írhatjuk, ami Clairaut tétele néven ismeretes. Ha a forgásfelület henger, akkor ennek a síkra lefejtett palástján a meridiánok (alkotók) párhuzamos egyenesek, a geodetikus görbe megfelel je pedig szintén egyenes, amely ezeket állandó szög alatt metszi (itt a ρ=állandó a henger sugara). Tehát a geodetikus görbék csavarvonalak. Kúp esetén a ρ sin ω =állandó összefüggés azt fejezi ki, hogy a kúpnak a síkra kifejtett palástján a geodetikus görbének szintén egy egyenes felel meg (2.6 ábra). P A geodetikus görbe tetsz leges OM = OP sin ω =állandó pontjára ugyanis fennáll, hogy ρ = OP sin α és az egyenes bármely pontjára és ezáltal ρ sin ω = állandó, sin α tehát teljesül a Clairaut-összefüggés. Ha a forgástest gömb, akkor igazolhatjuk, hogy a 2.6. ábra. Geodetikus görbék a kúpon (a., b.) és a gömbön (c.) f körök teljesítik a Clairaut-tételt, tehát geodetikus vonalak. Legyen gömb választot szimmetriatengelye és AP0 A 0 ABA B 0 kör, hogy sin B sin P0 sin A = =, sin AOP0 sin AOB sin BOP0 Az OM P0 R sugarú BP0 B 0 f kör kielégíti a Clairaut-feltételt. Mindig válaszható úgy az az ABP0 szög 90 legyen. Az ABP háromszögben felírjuk a gömbhá- romszögtan sinustételét: ahonnan az egy tetsz leges meridiánkör (2.6 ábra). Iga- zolni fogjuk, hogy a 0 AA0 sin 90 sin ω =. sin AOP0 sin AOB derékszög háromszögb l sin AOP0 = ρ. R

2.2. A VARIÁCIÓS FELADAT 37 Behelyettesítve a fenti összefüggésbe ρ sin ω = R sin AOB = állandó következik, amit bizonyítani akartunk. Megemlítjuk, hogy a forgásfelület P 0 és P 1 pontjait két különböz geodetikus szakasszal is összeköthetjük, amelyek hossza egy-egy relatív minimum. Ezek közül a rövidebbik az abszolút minimum. Az ábrán (lásd a bemutató anyagot)a P 0 és P 1 pontokat a P 0 NP 1 és a P 0 BB P 1 körív köti össze. Itt nyilván P 0 NP 1 lesz az abszolút minimális távolság. Ha P 0 P 1 átmér sen ellentett pontok, akkor minden ket összekapcsoló meridiánkör ugyanazt a távolságot adja. Loxodromának nevezzük egy forgásfelület olyan görbéjét, amely minden egyes meridiángörbét állandó ω szög alatt metsz. A Clairaut-tétel értelmében mivel a forgástengelyt l mért távolság változó a geodetikus vonalak ρ sin ω =állandó feltétele nem vezet az ω =állandó-val jellemzett loxodromához. Csupán a körhenger esetében egyezik meg a loxodroma a geodetikus vonallal. Annak ellenére, hgoy egy felületen két pont között a legrövidebb távolság a geodetikus vonal, a hajók és a repül k bizonyos navigációs szempontok miatt a loxodroma mentén haladnak. Kiszámítható, hogy például Bukarest és Melbourne között légvonalban a távolság körülbelül 15000 km a geodetikus vonal (f kör) mentén, s ennél a loxodroma csak 120 km-rel hosszabb, azaz 0.8%-al. Ha Melbourne helyett a vele azonos hosszúságú körön elhelyezked Hokkaidó szigetének és Bukarestnek a távolságait vizsgáljuk, mivel ezek ugyanazon a szélességi körön találhatók, a loxodroma éppen a szélességi kör lesz, a geodetikus vonal viszont itt jóval rövidebb. Az eltérés mintegy 12%. Fizikai szempontból a térbeli egyenes megegyezik a kifeszített fonal alakjával, illetve a szabadon mozgó anyagi pont pályájával is. Ez tulajdonság érvényes egy felület mentén is, ahol az egyenes szerepét a geodetikus vonal tölti be. A felület mentén szabadon mozgó pontra minden pillanatban hat a felületre mer leges, úgynevezett kényszerer, amely egyben a mozgásgörbének geodetikus vonalnak is a f normálisa irányában hat. Innen adódik a geodetikus vonalaknak az a fontos tulajdonsága, hogy a f normális iránya minden pontjukban megegyezik az adott pontban a felületre húzott normális irányával. 2.2.13.2. Geodetikus vonalak a Riemann-térben Riemann kiterjesztette a kétdimenziós felületek vizsgálatát olyan n-dimenziós, úgynevezett Riemann-terekre, amelyben az ívelemnégyzet dl 2 = g ik (x 1,..., x n )dx i dx k i,k=1 alakú, ahol g ik = g ki mennyiségeket a Riemann-tér metrikus alaptenzorának nevezzük. A tanulmányozott kétdimenziós felület esetén u = x 1, v = x 2, E = g 11, F = g 12 = g 21 és G = g 22. Határozzuk meg e tér geodetikus vonalait. A P 0 (x (0) 1, x(0) 2,..., x(0) n ) P 1 (x (1) 1, x(1) 2,..., x(1) n ) pontokat összeköt x i = x i (t), (i = 1,..., n) görbe hosszát megadó funkcionál P1 t1 l[x 1,..., x n ] = g ik dx i dx k = g ik ẋ i ẋ k dt, P 0 i,k=1 t 0 i,k=1

38 FEJEZET 2. VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ahol t egy tetsz leges paraméter. Paraméterként célszer a görbe mentén mért l távolságot (természetes paramétert) választani. Ekkor ugyanis g ik ẋ i ẋ k = 1. i,k=1 A geodetikus görbét megadó Euler-Lagrange egyenletek ahol Mivel ahonnan és d dl F ẋ j F xj = 0, (j = 1,..., n), Fẋj = 1 2F F = g ik ẋ i ẋ k i,k=1 (g ik ẋ k + g kj ẋ k ) = k=1 g jk ẋ k, k=1 d dl F g jk x j = g jk ẍ k + ẋ i ẋ k x i k=1 i,k=1 = g jk ẍ k + 1 ( gjk + g ) ij ẋ i ẋ k 2 x i x k k=1 i,k=1 F xj = 1 g ik ẋ i ẋ k. 2 x j Visszahelyettesítve az Euler-Lagrange egyenletbe, és bevezetve Γ jik = 1 ( gjk + g ij g ) ik 2 x i x k x j els fajú Christoel-szimbólumokat a g jk ẍ k = k=1 Γ jik ẋ i ẋ k i,k=1 dierenciálegyenletrendszert kapjuk. A g jk mennyiségekhez hozzárendelhetjük egyértelm en úgy a g jk mennyiségeket, hogy g jk g jl = δ kl j=1 ahol δ kl a Kronecker-szimbólum (δ kl = 1, ha k = l és δ kl = 0, ha k l). A geodetikus vonalra kapott dierenciálegyenleteket szorozzuk rendre g lj -vel, és összegezzük j szerint. Bevezetve a Γ l ik = g lj Γ jik j=1

2.2. 39 A VARIÁCIÓS FELADAT úgynevezett másodfajú Christo el-szimbólumokat a di erenciálegyenletek végs formája x l = n X Γlik x i x k, (l = 1,..., n) i,k=1 lesz. A fenti egyenletrendszer egyben megadja a Riemann-térben tehetelenségi mozgást végz anyagi pont pályáját. Azt, hogy a zikai tér nem euklideszi, hanem Riemann-metrikával rendelkezik, annak idején már Riemann és Cli ord is megsejtették, azonban Einstein öntötte olyan elméleti formába, amely a kísérletekkel is egyez eredményeket nyújtott. A riemanni térid szerkezetét (metrikáját) megadó g ik (i, k = 1, 2, 3, 4) mennyiségeket a térben jelenlév anyageloszlás határozza meg. Tehát a gravitációs térben való mozgás tulajdonképpen a megfelel riemanni (görbült) térben létrejöv ( szabad ) tehetetlenségi mozgás. 2.2.13.3. Egy rugóból és merev rúdból álló rendszer Alkalmazzuk a fenti eljárást szintes Ox N = 2 anyagi pontra, amelyek közül az egyik a víz- tengely mentén súrlódás nélkül mozoghat a tengely mentén elhelyezked rugalmassági együtthatójú rugó végére kapcsolva. A második l m2 k tömeg teste egy olyan hosszúságú, elhanyagolható tömeg merev rúd egyik végéhez kapcsoljuk, amelyeknek másik vége az els m1 tömeg testhez kapcsolódik, és állandóan a függ leges xoy síkban található (2.7). Természetesen jelen van a Föld homogén gravitációs tere. 2.7. ábra. Rugóból és merev rúdból álló rendszer Az m1 tömeg test x tengely menti mozgása két kötést jelent az m2 test függ le- ges síkban való mozgása adja a harmadik kényszerfeltételt, és a kett közötti állandó távolság eredményezi a negyedik kötést. A meghatározandó általános koordináták száma megegyezik a rendszer n = 3N s = 3 2 4 = 2 l