Mérték- és integrálelmélet

Debreceni Egyetem Mérték- és integrálelmélet Jegyzet Készítette: Ngy Gergő Dr. Molnár Ljos elődási lpján

Trtlomjegyzék Bevezetés 3 1. Mértékterek, mértékek 3 1.1. Alpfoglmk 3 1.2. Mértékek konstruálás, külső mérték 7 1.3. A Lebesgue-mérték számegyenesen 10 1.4. A Lebesgue-mérték topológii tuljdonsági 12 1.5. A Cntor hlmz 17 1.6. Nem Lebesgue-mérhető hlmz létezése (Vitli) 18 1.7. Lebesgue-Stieltjes mérték számegyenesen 19 2. Mérhető függvények 19 2.1. Mérhető függvények lptuljdonsági 19 2.2. Mérhető függvények sorozti 23 2.3. Mértékben vló konvergenci 24 3. Az integrál 27 3.1. A Lebesgue-integrál 27 3.2. Integrálhtó függvények 33 3.3. Komplex függvények integrálj 38 3.4. L p -terek 40 3.5. A Riemnn- és Lebesgue-integrál kpcsolt 43 4. Mértékek szorzt 46 4.1. Mértékterek szorzt 46 4.2. A Lebesgue-mérték R n -n 47 5. Vlós függvénytn 47 5.1. Lebesgue differenciálhtósági tétel 47 5.2. Korlátos változású és bszolút folytonos függvények 49 5.3. A Newton-Leibniz-formul 51 2

Bevezetés A mérés mtemtik egyik lpvető problémáj. A hlmzokt többféle módon lehetséges mérni, ennek megfelelően különböző mértékfoglmkt vezettek be. A Riemnnintegrál foglmához kpcsolódó mérték Jordn-mérték. Az euklideszi sík esetén ez következő módon vn definiálv. Tekintsük z [, b[ lkú intervllumok Descrtesszorztként előálló hlmzokt síkon. Egy ilyen tégllp Jordn-mértéke z oldlhosszi szorztként vn definiálv. A következőkben egyszerű hlmz ltt z utóbbi típusú tégllpok véges uniójként előálló hlmzt értünk. Könnyű látni, hogy egy egyszerű hlmz előáll ilyen tégllpok diszjunkt uniójként, továbbá z unióbn levő tégllpok Jordn-mértékeinek összege független z előállítástól. Ezen közös értéket nevezzük z egyszerű hlmz Jordn-mértékének. A sík egy korlátos részhlmz belső Jordn-mértékének benne levő egyszerű hlmzok Jordn-mértékei supremumát, külső Jordn-mértékének pedig z őt trtlmzó egyszerű hlmzok Jordn-mértékei infimumát hívjuk. Egy korlátos hlmz Jordn-mérhető, h belső, illetve külső Jordn-mértéke zonos, s ekkor ezen közös értéket hívjuk hlmz Jordn-mértékének. Ismert tény, hogy egy korlátos hlmz pontosn kkor Jordn-mérhető, h krkterisztikus függvénye Riemnn-integrálhtó. Megmutthtó, hogy véges sok Jordnmérhető hlmz uniój és metszete, vlmint Jordn-mérhető hlmzok különbsége is Jordn-mérhető. Nem Jordn-mérhető hlmzr péld [0, 1] [0, 1] négyzet rcionális koordinátákkl rendelkező pontjink hlmz. A mértékelmélet egyik lpvető foglm Lebesgue-mérték, melyet későbbiekben fogunk tárgylni. A definíció Lebesgue 1902-es disszertációjábn szerepelt először. A Lebesgue-mérték áltlánosbb Jordnnál bbn z értelemben, hogy minden Jordnmérhető hlmz Lebesgue-mérhető. Lényeges különbség kétféle mérték között, hogy Jordn-mérhető hlmzok rendszere véges, míg Lebesgue-mérhetőeké tetszőleges megszámlálhtó unió-, illetve metszetképzésre zárt. Tetszőleges mértékfoglomhoz trtozik egy integrálfoglom. Ez Jordn-mérték esetén Riemnn-, Lebesgue-mérték esetén pedig Lebesgue-integrál. Az integrálszámítás egyik lptétele Newton-Leibnizformul. Ezzel kpcsoltbn megjegyezzük, hogy Lebesgue-integrál esetén formul pontosn z úgynevezett bszolút folytonos függvényekre teljesül, míg Riemnn-integrál esetén nem lehet jellemezni zon függvényeket, melyekre igz z állítás. 1. Mértékterek, mértékek 1.1. Alpfoglmk. A továbbikbn R jelöli bővített vlós számok hlmzát. R - on műveletek z lábbi módon vnnk definiálv. Vlós számok között z összedás, kivonás és szorzás szokásos módon vn értelmezve. H műveletek operndusi 3

között ± is szerepel, kkor z lábbi definíciókt hsználjuk. + =, x + =, x + ( ) =, (x R), ( ) + ( ) =,, h t > 0 t = 0, h t = 0, h t < 0, λ ( ) = ( λ) (λ R), =, ( ) =, ( ) ( ) = A és ( ) ( ) kifejezéseket nem értelmezzük. 1.1. Definíció. Legyen I egy indexhlmz, továbbá 0 c i (i I). Ekkor c i mennyiségek összegét következőképpen definiáljuk. H I egy nemüres véges hlmz, kkor definíció értelemszerű. Egyébként z összeg z lábbi módon vn értelmezve. { 0, } h I = c i = sup c i F I véges, h I i I i F H c i R (i I) tetszőleges, kkor legyen c i = c i i I i I, c i >0 i I, c i <0 feltéve, hogy jobboldli összegek vlmelyike véges. ( c i ), 1.2. Definíció. Legyen X egy hlmz, A P(X) pedig egy hlmzcslád úgy, hogy: (1), X A (2) h A A, kkor A c ( =X\A) A (3) h I egy megszámlálhtó hlmz, és A i A (i I), kkor i I A i A. Ekkor A-t σ-lgebránk, (X, A)-t (vgy röviden X-t) pedig mérhető térnek hívjuk. A elemeit mérhető hlmzoknk nevezzük. 1.3. Definíció. Legyen (X, A) mérhető tér. A µ : A [0, ] függvényt mértéknek nevezzük, h teljesülnek rá z lábbi tuljdonságok. (1) µ( ) = 0 (2) Tetszőleges I megszámlálhtón végtelen hlmz, és {A i A i I} páronként diszjunkt hlmzrendszer (zz A i A j =, h i, j I és i j) esetén ( ) µ A i = µ(a i ). i I i I (σ-dditivitás) Ekkor (X, A, µ)-t mértéktérnek nevezzük. 1.4. Péld. Legyen X egy hlmz, továbbá tetszőleges A X véges hlmz esetén jelölje A z A elemei számát. Definiáljuk µ : P(X) [0, ] függvényt következő módon. { A, h A véges µ(a) =, h A végtelen 4

Ekkor µ mérték z (X, P(X)) mérhető téren, melyet számláló mértéknek nevezünk. 1.5. Definíció. Legyen (X, A, µ) egy mértéktér. (X, A, µ)-t végesnek mondjuk, h µ(x) <. H µ(x) = 1, kkor (X, A, µ)-t vlószínűségi mértéktérnek nevezzük (z ilyen mértékterek modern vlószínűségszámításbn központi szerepet játsznk). Az A A hlmzt σ-végesnek hívjuk, h lefedhető X megszámlálhtó sok, véges mértékű mérhető részhlmzánk uniójávl. Az (X, A, µ) tér σ-véges, h z X hlmz σ-véges. (X, A, µ)- t teljesnek mondjuk, h bármely A A és B A esetén, melyekre µ(a) = 0 teljesül, B A is fennáll. 1.6. Állítás. Legyen (X, A) mérhető tér. Ekkor A-ból nem vezet ki különbség- (, szimmetrikus differenci-), és megszámlálhtó metszetképzés. Bizonyítás. nyilván Legyen I egy megszámlálhtó hlmz, továbbá A i A (i I). Ekkor ( c A i = Ai) c, i I ebből pedig definíció szerint kpjuk, hogy i I A i A. Legyenek most A, B A mérhető hlmzok. Az i I A \ B = A B c egyenlőségből kpjuk, hogy ekkor A \ B A is teljesül, s ezzel z állítást igzoltuk. 1.7. Tétel. Legyen (X, A, µ) mértéktér. Ekkor fennállnk következők. (1) H {A i A i = 1,..., n} egy páronként diszjunkt hlmzrendszer, kkor ( n ) n µ A i = µ(a i ). i=1 (véges dditivitás) (2) H A, B A úgy, hogy A B, kkor µ(a) µ(b) (monotonitás). (3) H A, B A úgy, hogy A B és µ(a) <, kkor µ(b \ A) = µ(b) µ(a) (szubtrktivitás). (4) H I egy megszámlálhtó hlmz és A i A (i I), kkor ( ) µ A i µ(a i ). i I i I (σ-szubdditivitás) (5) H A n A (n N) úgy, hogy A 1 A 2..., kkor ( ) µ A n = lim µ(a n ). n=1 ( mérték 1. folytonossági tuljdonság) i=1 5

(6) H A n A (n N) úgy, hogy A 1 A 2... és µ(a 1 ) <, kkor ( ) µ A n = lim µ(a n ). n=1 ( mérték 2. folytonossági tuljdonság) Bizonyítás. Az (1) állításhoz vegyük észre, hogy mérték σ-dditivitás mitt µ(a 1... A n...) = µ(a 1 ) +... + µ(a n ) + 0 + 0 +..., mit igzolnunk kellett. (2)-höz tekintsük B = A (B \ A) diszjunkt felbontást. Felhsználv, hogy µ nemnegtív értékű kpjuk, hogy µ(b) = µ(a) + µ(b \ A) µ(a), mi bizonyítndó állítást dj. H µ(a) <, kkor ezen egyenlőségből könnyen dódik µ(b \ A) = µ(b) µ(a) zonosság, s így kpjuk (3)-t. (4) igzolásához feltehetjük, hogy I megszámlálhtón végtelen, tudniillik véges eset ebből z (1) bizonyításához hsonló módon dódik. Ekkor z I = N bezonosítást hsználv definiáljuk következő hlmzokt. B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ (A 1 A 2 ),... Könnyű látni, hogy {B n n N} egy páronként diszjunkt hlmzrendszer A-bn, melyre n=1 B n = n=1 A n. A mérték már bizonyított tuljdonságit hsználv ( ) ( ) µ A n = µ B n = µ(b n ) µ(a n ) n=1 dódik, mit állítottunk. (5) esetén értelmezzük B i (i N) hlmzokt következőképpen. n=1 n=1 n=1 B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2,... Triviális, hogy B n A (n N), {B n n N} hlmzrendszer páronként diszjunkt, továbbá n=1 B n = n=1 A n. H létezik olyn k N, melyre µ(a k ) =, kkor mérték monotonitását felhsználv könnyen kpjuk (5)-t. Egyébként pedig szubtrktivitás mitt fennáll, hogy ( ) µ A n = µ(b n ) = lim (µ(b 1 ) +... + µ(b n )) = lim µ(a n ), n=1 n=1 miből dódik (5). (6)-hoz legyen C n = A 1 \A n (n N). Ekkor nyilván C n A (n N), és C 1 C 2... Továbbá eme hlmzok uniójár fennáll, hogy ( ) ( ) c ( ) C n = (A 1 A c n) = A 1 = A 1 A n = A 1 \ A n. n=1 n=1 n=1 A c n n=1 n=1 6

Ezt felhsználv könnyen dódik következő egyenlőségsor. ( ) ( ( )) ( µ(a 1 ) µ A n = µ A 1 \ A n = µ n=1 n=1 n=1 C n ) = lim µ(c n ) = lim µ(a 1 \ A n ) = lim (µ(a 1 ) µ(a n )) = µ(a 1 ) lim µ(a n ) A bizonyítndó állítás ennek egy zonnli következménye. 1.8. Megjegyzés. Vitlitól szármzik z z állítás, mely szerint P(R)-n nem létezik eltolásinvriáns mérték. Bnch és Kurtowski megmuttt, hogy ennél több is igz. Nevezetesen, P(R)-n nem dhtó meg olyn mérték, melynél [0, 1] mértéke 1. Vitli tételének bizonyításábn kiválsztási xióm is szerepet játszik. Ez utóbbi segítségével lehet belátni Bnch-Trski prdoxont is, mely következőt állítj. Tekintsük z egységgömbfelületet R 3 -bn. Ezt fel lehet bontni 5 olyn páronként diszjunkt hlmz uniójár, melyek közül tetszőlegesen kiválsztv kettőt, léteznek olyn T 1 és T 2 egybevágósági trnszformációk, melyekre fennáll, hogy ezen 2 hlmz T 1, illetve mrdék 3 hlmz T 2 áltli képeinek uniój külön-külön z eredeti egységgömbfelülettel zonos. 1.2. Mértékek konstruálás, külső mérték. 1.9. Definíció. Legyen X dott hlmz. A µ : P(X) [0, ] hlmzfüggvényt külső mértéknek nevezzük, h σ-szubdditív, zz bármely I megszámlálhtó hlmz és A, A i P(X) (i I) esetén, melyekre A i I A i teljesül, µ (A) i I µ (A i ) is fennáll. 1.10. Megjegyzés. H µ külső mérték z X hlmzon, kkor µ ( ) = 0 és bármely A B X esetén µ (A) µ (B). 1.11. Definíció (Crthéodory). Legyen µ külső mérték z X hlmzon. Az A X hlmzt (µ )-mérhetőnek hívjuk, h bármely T X esetén µ (T ) = µ (T A)+µ (T \A) (más szóhsználttl élve egy hlmz mérhető, h bármely teszthlmzt jól vág ketté). 1.12. Megjegyzés. A fenti feltétel ekvivlens következő állítássl: H T X úgy, hogy µ (T ) <, kkor µ (T ) µ (T A) + µ (T \ A). 1.13. Tétel. Tegyük fel, hogy X egy hlmz, µ pedig egy külső mérték X-n. Ekkor z X hlmz µ -mérhető részhlmzink A µ rendszere σ-lgebr, továbbá µ Aµ teljes mérték. 1.14. Állítás. Legyen X egy hlmz, H P(X) egy hlmzcslád és ν : H [0, ] egy hlmzfüggvény. Ekkor { µ (A) = inf ν(a i ) I megszámlálhtó, A i H (i I), A } A i (A X) i I i I módon definiált µ : P(X) [0, ] függvény külső mérték. 7

Bizonyítás. Legyen I egy megszámlálhtó hlmz, továbbá A, A i X (i I) úgy, hogy A i I A i. Az állítás igzolásához zt kell megmuttni, hogy ekkor µ (A) i I µ (A i ). Az áltlánosság sérelme nélkül feltehető, hogy I N és bármely i I esetén µ (A i ) <. Legyen ε > 0 tetszőleges. µ definíciój mitt bármely i I esetén létezik olyn J i megszámlálhtó hlmz, és B ij H (j J i ) hlmzok, melyekre teljesülnek z lábbik: A i B ij, ν(b ij ) < µ (A i ) + ε 2. i j J i j J i Nyilvánvló, hogy {B ij i I, j J i } hlmzrendszer megszámlálhtó. Az is világos, hogy A i I A i i I j J i B ij, ezért µ (A) ν(b ij ) (µ (A i ) + ε ) µ (A 2 i i ) + ε. i I j J i i I i I Mivel ε tetszőleges volt, így z utóbbi egyenlőtlenségsorból z ε 0 htárátmenettel kpjuk, hogy µ (A) i I µ (A i ), mit bizonyítni kellett. 1.15. Állítás. A fenti állítás jelöléseivel, µ pontosn kkor kiterjesztése ν-nek, h ν z 1.9 Definíció értelmében σ-szubdditív. Bizonyítás. Triviális, hogy, h µ kiterjesztése ν-nek, kkor ν függvény σ-szubdditív. A másik irányú implikációhoz legyen A H. Vegyük észre, hogy ekkor ν(a) egy lsó korlátj { ν(a i ) I megszámlálhtó, A i H (i I), A } A i i I i I hlmznk. µ definícióját felhsználv ebből ν(a) µ (A) egyenlőtlenség dódik. Mivel A H, ezért nyilvánvlón µ (A) ν(a). Tehát µ (A) = ν(a), s ezzel bizonyítás kész. 1.16. Állítás. A fenti jelölésekkel, H elemei pontosn kkor µ -mérhetők, h bármely A, B H esetén ν(a) µ (A B) + µ (A \ B). Bizonyítás. Tegyük fel, hogy H elemei µ -mérhetők, és legyen A, B H. Ekkor ν(a) µ (A) µ (A B) + µ (A \ B), hol z első egyenlőtlenségnél µ definícióját, másodiknál pedig B mérhetőségét hsználtuk fel. Az utóbbi egyenlőtlenségsorból következik, hogy ν(a) µ (A B) + µ (A \ B), s ezzel beláttuk z egyik implikációt. A másikhoz legyen B H és T X úgy, hogy µ (T ) <. Belátjuk, hogy ekkor µ (T ) µ (T B) + µ (T \ B), 8

mi épp B hlmz µ -mérhetőségét jelenti. Ehhez legyen ε > 0 tetszőleges. µ (T ) értelmezése mitt létezik olyn I megszámlálhtó hlmz és olyn A i H hlmzok, melyekre T i I A i, µ (T ) + ε > i I ν(a i ) teljesül. Nyilvánvló, hogy T B i I (A i B) és T \ B i I (A i \ B). Ebből µ σ-szubdditivitását felhsználv kpjuk, hogy ν(a i ) µ (A i B) + µ (A i \ B) µ (T B) + µ (T \ B). i I i I i I Az utóbbi két egyenlőtlenségsorból következik, hogy µ (T ) + ε µ (T B) + µ (T \ B), ebből pedig z ε 0 htárátmenettel épp bizonyítndó egyenlőtlenséghez jutunk. Így beláttuk másik irányú implikációt, s ezzel bizonyítás kész. 1.17. Definíció. Legyen X egy hlmz, H P(X) egy hlmzcslád, ν : H [0, ] pedig egy hlmzfüggvény, melyre teljesülnek következők. (1) ν σ-szubdditív z 1.9 Definíció értelmében. (2) A ν-ből szármzó µ külső mértékre fennáll, hogy ν(a) µ (A B) + µ (A \ B) (A, B H). Ekkor ν-t premértéknek nevezzük. Az lábbi tétel z eddigi állításokt fogllj össze. 1.18. Tétel. Legyen X egy hlmz, H P(X) egy hlmzcslád, ν : H [0, ] pedig egy hlmzfüggvény. Jelölje µ ν-ből szármzó külső mértéket, A µ z ehhez trtozó mérhető hlmzok rendszerét, µ = µ Aµ pedig µ -ból szármzó teljes mértéket. Ekkor H A µ és µ H = ν pontosn kkor teljesül, h ν premérték. Más szvkkl, pontosn kkor teljesül, hogy H elemei µ -mérhetők, s mértéküket ν dj meg, h ν premérték. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy H A µ és µ H = ν. Ekkor µ H = ( µ Aµ ) H = µ H = ν, tehát µ H = ν. Ebből rögtön dódik, hogy ν σ-szubdditív. Az 1.17 Definícióbn levő (2) tuljdonság H A µ trtlmzás egyszerű következménye. Az eddigiekből kpjuk, hogy ν premérték. A fordított implikációhoz tegyük fel, hogy ν premérték. Ekkor ν σ- szubdditivitás mitt z 1.15 Állítás lpján kpjuk, hogy µ H = ν. Az 1.17 Definíció (2) tuljdonságából z előző állítást hsználv dódik, hogy H A µ. Az utóbbikból következik, hogy µ H = ν. Ezzel másik implikációt is beláttuk, tehát tételt igzoltuk. 9

1.19. Megjegyzés. Az eddigiekben megismert állítások mértékek kiterjesztésének zon módját teszik lehetővé, mellyel egy premértékből külső mértéket bból pedig teljes mértéket konstruálhtunk. Könnyű látni, hogy bármely mérték premérték. Emitt fenti konstrukcióvl tetszőleges mértékből teljes mértéket generálhtunk, melyet z eredeti mérték természetes kiterjesztésének mondunk. 1.3. A Lebesgue-mérték számegyenesen. 1.20. Definíció. Jelölje I z R korlátos intervllumi rendszerét. Adott I I esetén legyen ν(i) z I hossz. Jelölje λ ν-höz trtozó külső mértéket, L λ -mérhető hlmzok rendszerét, illetve λ λ -hoz trtozó mértéket (λ = λ L ). Ekkor λ -r Lebesgue külső mérték számegyenesen elnevezést hsználjuk, továbbá L elemeit Lebesgue-mérhető hlmzoknk, λ-t pedig Lebesgue-mértéknek nevezzük. 1.21. Tétel. A fenti ν hlmzfüggvény premérték. Bizonyítás. Legyen Γ N; I, I k I (k Γ) úgy, hogy I k Γ I k. Igzoljuk, hogy ν(i) k Γ ν(i k ). Legyen ε > 0. Könnyű látni, hogy létezik olyn Z I zárt intervllum, melyre ν(i) ε < ν(z). Az is világos, hogy bármely k Γ esetén létezik olyn N k I k korlátos nyílt intervllum, melyre ν(i k ) + ε 2 k > ν(n k). Z nyilván korlátos és zárt, ezért kompkt. Triviális, hogy Z k Γ N k. A kompktság mitt létezik olyn F Γ véges hlmz, melyre Z k F N k. Egyszerű számolás muttj, hogy ν(z) ν(n k ), s ezt felhsználv z lábbi egyenlőtlenségsor dódik k F ν(i) ε < ν(z) ν(n k ) ν(n k ) (ν(i k ) + ε ) ν(i 2 k k ) + ε. k F k Γ k Γ k Γ Ebből ε 0 htárátmenettel kpjuk z igzolndó egyenlőtlenséget, miből pedig ngyon könnyen dódik ν σ-szubdditivitás. A tétel bizonyításához még zt kell megmuttni, hogy bármely I, J I esetén ν(i) λ (I J) + λ (I \ J). Jelölje b z I, illetve c d J végpontjit. Az I és J egymáshoz viszonyított elhelyezkedése szerint több esetet különböztethetünk meg. Az egyenlőtlenséget csk két esetben igzoljuk, többi eset bizonyítás hsonló módon történhet. Az 1. esetben tegyük fel, hogy c b d. Ekkor könnyen dódik, hogy λ (I J) ν(i J) és λ (I \ J) ν(i \ J), tehát λ (I J) + λ (I \ J) ν(i J) + ν(i \ J). 10

ν definíciój mitt ν(i) = ν(i J) + ν(i \ J), ebből pedig bizonyítndó egyenlőtlenség dódik. A 2. esetben tegyük fel, hogy J I, továbbá D 1 és D 2 legyenek olyn intervllumok, melyekre D 1, D 2 és J páronként diszjunktk és uniójuk I. Ekkor teljesülnek z lábbi egyenlőtlenségek: λ (I J) = λ (J) ν(j), λ (I \ J) ν(d 1 ) + ν(d 2 ). Triviális, hogy ν(i) = ν(d 1 ) + ν(d 2 ) + ν(j), ebből pedig z utóbbikt is figyelembe véve már dódik kívánt egyenlőtlenség. Az eddigiekből kpjuk tétel állítását. 1.22. Következmény. Tetszőleges korlátos intervllum Lebesgue-mérhető, és Lebesguemértéke hossz. Az lábbi tétel Lebesgue-mérték lpvető tuljdonságit dj meg. 1.23. Tétel. Bármely A R és c R esetén λ (A + c) = λ (A) (zz λ eltolásinvriáns), és λ (ca) = c λ (A). Ezekből következik, hogy tetszőleges A L és c R esetén A + c, ca L és λ(a + c) = λ(a), λ(ca) = c λ(a). Bizonyítás. Legyen A R és c R. Megjegyezzük, hogy A + c = { + c A}, ca = {c A} definíció szerint. Tekintsünk egy I α I (α Γ) intervllumrendszert, hol Γ egy megszámlálhtó hlmz. Könnyen dódik, hogy ekkor továbbá A α Γ I α A + c α Γ(I α + c), ν(i α + c). ν(i α ) = α Γ α Γ Ezekből egyszerűen kpjuk, hogy λ (A) = λ (A + c). A szorzást illetően, h A R és c = 0, kkor nyilván λ (ca) = c λ (A). Tegyük fel, hogy 0 c R, továbbá legyen Γ egy megszámlálhtó hlmz, I α I (α Γ) pedig egy intervllumrendszer. Ekkor nyilván A α Γ I α ca α Γ ci α, illetve c α Γ ν(i α ) = α Γ ν(ci α ), mivel ν(ci α ) = c ν(i α ) (α Γ). Így kpjuk, hogy { c λ (A) = c inf ν(i α ) Γ megszámlálhtó, I α I (α Γ), A } I α α Γ α Γ { = inf ν(ci α ) Γ megszámlálhtó, I α I (α Γ), ca } ci α = λ (ca). α Γ α Γ 11

Az állítás fennmrdó részéhez még zt kell belátni, hogy tetszőlegesen rögzített A L és c R esetén A + c, ca L. Ehhez először megjegyezzük, hogy tetszőleges vlós számhlmz (teszthlmz) T + c lkú, hol T R. Elemi átlkításokt és már bizonyítottkt hsználv kpjuk, hogy továbbá A feltételek mitt λ (T + c) = λ (T ), λ ((T + c) (A + c)) = λ (T A + c) = λ (T A), λ ((T + c) \ (A + c)) = λ (T \ A + c) = λ (T \ A). s ebből z előzőek lpján következik, hogy λ (T ) = λ (T A) + λ (T \ A), λ (T + c) = λ ((T + c) (A + c)) + λ ((T + c) \ (A + c)). Az eddigiekből dódik, hogy A + c L. A ca L trtlmzás igzolásához először megjegyezzük, hogy h c = 0, kkor nyilván ca L. Most tegyük fel, hogy c 0. Ekkor minden vlós számhlmz ct (T R) lkú. Továbbá egyszerűen dódik, hogy és λ (ct ) = c λ (T ), λ (ct ca) = λ (c(t A)) = c λ (T A), λ (ct \ ca) = λ (c(t \ A)) = c λ (T \ A). A feltételeket figyelembe véve ebből már könnyen kpjuk ca L relációt. 1.24. Megjegyzés. A Lebesgue-mérhető hlmzok rendszerén Lebesgue-mérték z egyetlen olyn teljes, eltolásinvriáns mérték, melynél [0, 1] mértéke 1. Az is beláthtó, hogy tetszőleges, R Borel-hlmzin dott, σ-véges, eltolásinvriáns mérték Lebesgue-mérték sklárszoros. 1.4. A Lebesgue-mérték topológii tuljdonsági. 1.25. Definíció. Legyen X egy hlmz, S P(X) pedig egy hlmzrendszer. Az S-t trtlmzó P(X)-beli σ-lgebrák metszetét (mi σ-lgebr) z S áltl generált σ-lgebránk nevezzük, és σ(s)-sel jelöljük. 1.26. Definíció. Legyen X egy metrikus tér. Az X nyílt hlmzink rendszere áltl generált B(X) σ-lgebrát Borel σ-lgebránk, elemeit Borel-hlmzoknk hívjuk. 1.27. Tétel. A B(R) σ-lgebrát generálják z R nyílt, zárt, illetve félig nyílt - félig zárt intervllumi (külön-külön). Bizonyítás. Jelölje N nyílt, Z pedig zárt intervllumok összességét R-ben. Mivel tetszőleges nyílt intervllum nyílt hlmz, s bármely nyílt hlmz Borel-hlmz, ezért minden nyílt intervllum Borel-hlmz. Így kpjuk, hogy N B(R), tehát σ(n ) B(R). Másrészt, h N R nyílt, kkor előáll megszámlálhtó sok nyílt intervllum 12

uniójként, ezért N σ(n ), mi dj, hogy B(R) σ(n ). Ebből következik, hogy nyílt intervllumok generálják B(R)-t. Ami zárt intervllumokt illeti, könnyű belátni, hogy bármely nyílt intervllum előáll benne levő rcionális végpontú zárt intervllumok uniójként. Hsonlón, bármely zárt intervllum zonos z őt trtlmzó rcionális végpontú nyílt intervllumok metszetével. Tehát tetszőleges N R nyílt intervllum esetén N megegyezik megszámlálhtó sok zárt intervllum uniójávl. Ebből dódón N σ(z), melyből jön, hogy σ(n ) σ(z). Megfordítv, h Z R zárt intervllum, kkor Z felírhtó megszámlálhtó sok nyílt intervllum metszeteként. Következésképpen Z σ(n ), melyből kpjuk, hogy σ(z) σ(n ). Tehát zt kptuk, hogy σ(n ) = σ(z), ez pedig már dj, hogy zárt intervllumok generálják B(R)-t. Az állítás fennmrdó része ehhez hsonló módon igzolhtó. Megjegyezzük, hogy fenti gondoltmenet lklms nnk igzolásár is, hogy R korlátos nyílt intervllumi is generálják B(R)-t. Eme állítás egy fontos következménye z lábbi tétel. 1.28. Következmény. R bármely Borel-hlmz Lebesgue-mérhető. 1.29. Megjegyzés. R fontosbb σ-lgebráink számosságávl kpcsoltbn megmutthtó, hogy kontinuum sok Borel-hlmz vn, míg z R-beli Lebesgue-mérhető hlmzok csládjánk számosság 2 c, hol c jelöli kontinuum számosságot. Az utóbbi állítás egyszerűen beláthtó, míg z előbbi bizonyítás komolybb eszközöket igényel. 1.30. Tétel (A nyílt hlmzok struktúrtétele (R-ben)). R bármely nyílt részhlmz előáll megszámlálhtó sok, páronként diszjunkt nyílt intervllum uniójként. Bizonyítás. Legyen N R nyílt hlmz és x N. Jelölje m x (M x ) z x-t trtlmzó, N-beli nyílt intervllumok bl (jobb) végpontji hlmzánk infimumát (supremumát). Könnyű látni, hogy ]m x, M x [ N (x N). Megmuttjuk, hogy z ]m x, M x [ (x N) hlmzok páronként diszjunktk. Indirekt tegyük fel, hogy léteznek olyn x, y N vlós számok, melyekre ]m x, M x [ ]m y, M y [, ]m x, M x [ ]m y, M y [. Ekkor ]m x, M x [ ]m y, M y [ egy olyn N-beli nyílt intervllum, mely trtlmzz x-t és y-t. Mivel x és y szerepe szimmetrikus ezért feltehető, hogy m x m y. Ekkor m x bl végpontj ]m x, M x [ ]m y, M y [-nk, s ebből m y definíciój lpján könnyen kpjuk, hogy m y m x. Tehát m x = m y. Ehhez hsonlón láthtó be, hogy M x = M y. Ebből dódik, hogy ]m x, M x [=]m y, M y [, mi nyilvánvló ellentmondás. Tehát zt kptuk, hogy {]m x, M x [ x N} páronként diszjunkt hlmzok egy olyn rendszere, mely N-beli nyílt intervllumokból áll. Triviális, hogy x N ]m x, M x [= N. Mivel bármely x N esetén ]m x, M x [-ben vn rcionális szám, így ezen intervllumok páronkénti diszjunktságát felhsználv zt kpjuk, hogy megszámlálhtó sok ]m x, M x [ (x N) lkú hlmz vn. Ezeket felhsználv már dódik tétel állítás. 13

1.31. Tétel. A Lebesgue-mértékkel kpcsoltbn teljesülnek z lábbi állítások. (1) Bármely K R kompkt hlmz esetén K L és λ(k) <. (2) Tetszőleges A R esetén (külső regulritás) (3) Minden U R nyílt hlmzr (belső regulritás) λ (A) = inf{λ(u) A U R nyílt} λ(u) = sup{λ(k) K U kompkt} Bizonyítás. Az (1) állításhoz legyen K R egy kompkt hlmz. Ekkor K zárt, tehát egy nyílt (és így Borel-) hlmz komplementere. Ebből dódik, hogy K Borel-hlmz, s így K L. Másrészt K belefogllhtó I vlmely elemébe, ezért mértéke véges. A (2)-höz legyen A R tetszőleges. H λ (A) =, kkor (2)-beli egyenlőség nyilvánvlón fennáll. Tegyük fel, hogy λ (A) < és legyen ε > 0. Ekkor létezik olyn N N indexhlmz és olyn I n I (n N) intervllumok, melyekre A n N I n, λ (A) + ε > n N ν(i n ). Továbbá könnyen látszik, hogy bármely n N esetén létezik olyn J n I n korlátos nyílt intervllum, melyre ν(j n ) < ν(i n ) + ε 2. n Az utóbbi egyenlőtlenségből jön, hogy ν(i n ), n N ν(j n ) ε < n N miből z eddigieket felhsználv kpjuk, hogy λ (A) + 2ε > n N ν(j n ) = n N λ(j n ) λ ( n N Triviális, hogy A n N J n, s ezekután már könnyen kpjuk, hogy λ (A) inf{λ(u) A U R nyílt}. Másrészt bármely A U R nyílt hlmz esetén λ (A) λ (U) = λ(u), így dódik λ (A) inf{λ(u) A U R nyílt} egyenlőtlenség. Ezzel igzoltuk (2)-t. A (3) állításhoz legyen U R nyílt hlmz és U n = U ] n, n[ (n N). Ekkor U n (n N) nyílt, vlmint U n U (zz U n trtlmzásr nézve egy monoton növekvő sorozt, s n N U n = U). Emitt (λ(u n )) monoton növekvő és lim λ(u n ) = λ(u). Legyen α < λ(u) egy vlós szám. Ekkor létezik olyn n 0 N, melyre α < λ(u n0 ). A nyílt hlmzok struktúrtétele mitt létezik olyn N megszámlálhtó indexhlmz J n ). 14

és olyn {I k k N} nyílt intervllumokból álló, páronként diszjunkt hlmzrendszer, melyekre U n0 = k N I k. Ezért λ(u n0 ) = k N λ(i k ), s z előbbiekből dódik, hogy létezik olyn F N véges hlmz, melyre α < j F λ(i j ). Könnyű látni, hogy λ(i j ) számok tetszőleges pontossággl megközelíthetőek I j -beli zárt intervllumok Lebesgue-mértékeivel (j F ). Ezekután zt kpjuk, hogy léteznek olyn Z j I j (j F ) zárt intervllumok, melyekre Nyilván α < j F λ(z j ). Z j U n0 U, j F így j F Z j egy U-beli korlátos, zárt hlmz, mi ezért kompkt. Emitt ( ) α < λ Z j sup{λ(k) K U kompkt}, miből j F λ(u) sup{λ(k) K U kompkt} dódik (itt felhsználtuk, hogy α tetszőleges volt). Mivel fordított irányú egyenlőtlenség triviális, ezért (3) bizonyítását befejeztük. 1.32. Állítás (Approximációs tétel). Legyen A L úgy, hogy λ(a) <. Ekkor bármely ε > 0 esetén létezik olyn K R kompkt és olyn U R nyílt hlmz, melyekre K A U és λ(u \ K) < ε. Bizonyítás. Legyen ε > 0. Az előző tétel lpján létezik olyn A U R nyílt hlmz, melyre λ(u) < λ(a) + ε, zz (1) λ(u \ A) < ε. Továbbá létezik olyn K U kompkt hlmz, melyre λ(u) ε < λ(k), vgyis λ(u \ K) < ε. Az (1) egyenlőtlenségből könnyen dódik, hogy létezik olyn U \A V R nyílt hlmz, melyre λ(v ) < ε. Azt állítjuk, hogy K V c A. Tegyük fel indirekt, hogy létezik olyn x R, melyre teljesül, hogy x K, x / V és x / A. Ekkor nyilván x U is fennáll, ebből viszont 15

feltételek figyelembe vételével x V dódik, mi ellentmondás. Tehát K V c egy kompkt részhlmz A-nk. Az eddigiek lpján fennáll következő: λ(u \ (K V c )) = λ(u (K c V )) = λ((u K c ) (U V )) λ(u \ K) + λ(v ) < 2ε. Ezekután z eredeti állítás már ngyon könnyen dódik. 1.33. Megjegyzés. Legyen T R egy korlátos hlmz. Ekkor T hlmz λ b (T ) Lebesgue-féle belső, illetve λ k (T ) Lebesgue-féle külső mértékét z lábbik szerint definiáljuk: λ b (T ) = sup{λ(k) K T kompkt} λ k (T ) = inf{λ(u) T U R nyílt}. A nyílt hlmzok struktúrtételét lklmzv könnyen látszik, hogy eme mennyiségek Lebesgue-mérték felhsználás nélkül is megdhtók. Fennáll, hogy T L λ b (T ) = λ k (T ). A bizonyításhoz először tegyük fel, hogy T Lebesgue-mérhető. Ekkor z pproximációs tétel lpján bármely ε > 0 esetén létezik olyn K R kompkt és olyn U R nyílt hlmz, melyekre K T U és Ebből kpjuk, hogy λ(u) λ(k) < ε. λ(t ) λ(k) < ε, λ(u) λ(t ) < ε. Mivel ε tetszőleges volt, így eme egyenlőtlenségekből következik, hogy λ(t ) = λ b (T ) = λ k (T ). A másik irányú implikációhoz tegyük fel, hogy T Lebesgue-féle külső és belső mértéke zonos. Egyszerűen láthtó, hogy ekkor bármely n N esetén létezik olyn K n R kompkt, és olyn U n R nyílt hlmz, melyekre K n T U n, λ(u n ) λ(k n ) < 1 n, zz λ(u n \ K n ) < 1/n. Az is feltehető, hogy (U n \K n ) csökkenő hlmzsorozt. Legyen S = n N (U n \ K n ). Az utóbbi egyenlőtlenségből mérték folytonosságát felhsználv kpjuk, hogy λ(s) = 0. S definíciój mitt fennáll, hogy ( ) T K n S. n N Eme trtlmzás mindkét oldlát T -vel metszve, s figyelembe véve z n N K n trtlmzást, egyszerűen dódik, hogy ( ) T = K n (S T ). n N T λ teljessége mitt S T Lebesgue-mérhető, hisz részhlmz nullmértékű S hlmznk. Továbbá nyilvánvló, hogy K n L (n N), s így n N K n L. Ezekután már kpjuk, hogy T L, s ezzel kívánt ekvivlenciát beláttuk. 16

1.5. A Cntor hlmz. Tekintsük [0, 1] egységintervllumot. Definiáljuk C n (n N {0}) hlmzokt következő módon. Legyen C 0 = [0, 1], továbbá legyen C 1 zon intervllumok uniój, melyeket úgy kpunk [0, 1] intervllumból, hogy nnk középső hrmdát ( végpontok nélkül) eltávolítjuk. Hsonlón, legyen C 2 zon intervllumok uniój, melyeket úgy kpunk C 1 hlmzt lkotó intervllumokból, hogy zok középső hrmdát ( végpontok nélkül) eltávolítjuk. Ily módon definiálhtjuk C n (n N {0}) hlmzokt. A C = n N {0} hlmzt Cntor hlmznk nevezzük. Az lábbikbn C fontosbb tuljdonságiról lesz szó. A következőkben 0, 1 sorozt ltt egy 0 és 1 elemekből álló, 0, 2 sorozt ltt pedig egy 0 és 2 elemekből álló soroztot értünk. A Cntor hlmz elemei és 0, 2 soroztok bijektív módon megfeleltethetők egymásnk következőképpen. Legyen x C és n N. Ekkor x C n -t lkotó intervllumok közül pontosn egynek z eleme. A konstrukció mitt eme intervllum vlmely C n 1 -beli intervllum bl, vgy jobb szélső hrmd. Az előbbi esetben legyen x n = 0, z utóbbibn pedig legyen x n = 2. Rendeljük hozzá x-hez z így kpott (x n ) soroztot. A definíció mitt bármely x C esetén létezik egymásb sktulyázott intervllumoknk egy olyn sorozt, mely tgjink hosszi 0-hoz konvergálnk, s x benne vn eme intervllumok metszetében. Ezen metszetről könnyű látni, hogy egyelemű. Ebből dódik, hogy fenti hozzárendelés egy bijektív függvény. Elemi hlmzelméleti tény, hogy 0, 1 soroztok hlmzánk számosság kontinuum. Az előzőek lpján C számosság zonos 0, 2 (s így 0, 1) soroztok hlmzánk számosságávl, tehát Cntor hlmz kontinuum számosságú. Világos, hogy C n L (n N {0}), s ezért C Lebesgue-mérhető. Továbbá egyszerű számolás muttj, hogy λ(c n ) = (2/3) n (n N {0}). Tehát mérték folytonosság mitt λ(c) = 0. Ebből dódik, hogy Cntor hlmz minden részhlmz Lebesguemérhető. Figyelembe véve, hogy C kontinuum számosságú, z utóbbikból egyszerűen következik, hogy L számosság 2 c. A Cntor hlmz zárt hlmzok metszeteként áll elő, így zárt részhlmz kompkt [0, 1] hlmznk, ezért C kompkt. Belátjuk, hogy Cntor hlmz seholsem sűrű, zz lezártjánk belseje üres. Mivel C zárt, ezért ehhez zt kell megmuttni, hogy nincs belső pontj. Vlóbn, h Cntor hlmz belseje nem lenne üres, kkor trtlmzn egy vlódi intervllumot, mely zonbn pozitív Lebesgue-mértékű. Ez viszont ellentmond C nullmértékűségének. Azt állítjuk, hogy Cntor hlmz perfekt, zz megegyezik torlódási pontji hlmzávl. Ehhez először megjegyezzük, hogy mivel C zárt, így trtlmzz minden torlódási pontját. Másrészt könnyű látni, hogy Cntor hlmz bármely x pontjához tetszőlegesen közel vn olyn x-től különböző vlós szám, mely vlmely n N {0} esetén végpontj C n -beli egyik intervllumnk. Mivel ezen végpontok C-beliek, így dódik, hogy x torlódási pontj Cntor hlmznk. Ebből kpjuk, hogy C minden pontj torlódási pont. C n 17

Az eddigieket z lábbikbn foglljuk össze. Hlmzelméleti tuljdonságit tekintve Cntor hlmz kontinuum számosságú. Mértékelméleti szemszögből C nullmértékű, és bármely részhlmz Lebesgue-mérhető. Részben z előbbi tuljdonságokhoz kpcsolódik z tény, hogy Lebesgue-mérhető hlmzok számosság 2 c. Topológii szempontból C egy kompkt, seholsem sűrű, perfekt hlmz. Figyelemre méltó tény, hogy bármely kompkt metrikus tér Cntor hlmz vlmely folytonos függvény áltli képe. Megjegyezzük, hogy h C konstrukciójábn megfelelő intervllumok nem 1/3-nyi, hnem vlmely más, dott rányú részét távolítjuk el, kkor Cntor hlmzhoz hsonló struktúrájú hlmzhoz jutunk. H eme rány C n (n N {0}) hlmzok esetén n növekedtével nő, kkor z ily módon keletkezett hlmz hlmzelméleti és topológii tuljdonsági zonosk C megfelelő jellemzőivel, zonbn mértéke egy 1-nél kisebb pozitív szám. Az rányokt megfelelően válsztv ily módon tetszőleges ]0, 1[-hez konstruálhtó olyn Cntor típusú hlmz, melynek mértéke. Eme hlmzokt hívjuk kövér Cntor hlmzoknk. 1.6. Nem Lebesgue-mérhető hlmz létezése (Vitli). Az lábbikbn példát muttunk olyn hlmzr, mely nem Lebesgue-mérhető. Tekintsük [0, 1] intervllumot. Ezen definiáljuk relációt z lábbi módon: x y x y Q (x, y [0, 1]). Könnyű látni, hogy ekvivlencireláció. A kiválsztási xióm mitt megdhtó olyn A [0, 1] hlmz, mely áltl indukált minden egyes ekvivlenciosztályból pontosn egy elemet trtlmz. Másrészt, mivel [ 1, 1] Q hlmz megszámlálhtón végtelen, ezért elemei egy injektív soroztb rendezhetők, melyet jelöljön (r n ). Bebizonyítjuk, hogy z A + r n (n N) hlmzok páronként diszjunktk. Ehhez tegyük fel, hogy m, n N úgy, hogy (A + r n ) (A + r m ). Ekkor léteznek olyn, b A számok, melyekre + r n = b + r m, zz b = r m r n. Így nyilván b, mely dj, hogy = b, s emitt r n = r m. Ebből dódik páronkénti diszjunktság. Egyszerű számolás muttj, hogy [0, 1] n N(A + r n ) [ 1, 2]. Tegyük fel, hogy A L. Ekkor bármely n N esetén A + r n L, λ(a + r n ) = λ(a). Az eddigiekből mérték monotonitását és σ-dditivitását felhsználv dódik, hogy 1 λ(a + r n ) 3, n N miről könnyen láthtó, hogy ellentmondás. Ezért A nem Lebesgue-mérhető. Ezen gondoltmenetből következik z is, hogy λ nem σ-dditív, vlmint, hogy nem létezik olyn eltolásinvriáns mérték P(R)-n, melynél bármely korlátos intervllum mértéke 18

hossz. Az is beláthtó, hogy R bármely pozitív Lebesgue-féle külső mértékű részhlmzánk vn nem Lebesgue-mérhető részhlmz. 1.34. Megjegyzés. Láttuk, hogy R minden Borel-hlmz Lebesgue-mérhető. Megmutthtó, hogy ezen állítás megfordítás nem igz, ugynis Cntor hlmznk (mely Borel-hlmz) vn olyn részhlmz, mely nem B(R)-beli, ám utomtikusn L-beli. Ebből dódik, hogy λ B(R) mérték nem teljes. Az se áll fenn, hogy R nyílt hlmziból megszámlálhtó unió képzésével és komplementer vételével előállíthtók B(R) elemei. 1.7. Lebesgue-Stieltjes mérték számegyenesen. Legyen g : R R egy dott monoton növekvő függvény. Jelölje I g vlós számhlmz zon korlátos intervllumi hlmzát, melyeknek végpontjibn g folytonos. Definiáljuk ν g : I g [0, ] hlmzfüggvényt z lábbi képlettel: ν g (I) = g(sup I) g(inf I) (I I g ). 1.35. Tétel. A fenti ν g hlmzfüggvény premérték. Jelölje λ g ν g -hez trtozó külső mértéket (Lebesgue-Stieltjes külső mérték), L g λ g-mérhető hlmzok σ-lgebráját (ennek elemei Lebesgue-Stieltjes-mérhető hlmzok), továbbá legyen λ g = λ g Lg (Lebesgue- Stieltjes mérték). Ekkor R minden Borel-hlmz eleme L g -nek és bármely, b R, < b esetén λ g ([, b]) = g(b+) g( ) λ g ([, b[) = g(b ) g( ) λ g (], b]) = g(b+) g(+) λ g (], b[) = g(b ) g(+), hol g(x+) (g(x )) jelöli g jobboldli (bloldli) htárértékét x-ben (x R). 1.36. Tétel. Tetszőleges K R kompkt hlmz esetén λ g (K) <, továbbá λ g(a) = inf{λ g (U) A U R nyílt} (A R) λ g (U) = sup{λ g (K) K U kompkt} (U R nyílt). A Lebesgue-Stieltjes mérték vlószínűségszámítási lklmzásibn lpvető fontosságú z lábbi állítás. 1.37. Állítás. Legyen g : R R egy monoton növekvő, jobbról folytonos függvény, úgy, hogy lim g(x) = 0 és lim x x Ekkor λ g B(R) z egyetlen olyn vlószínűségi mérték B(R)-n, melyre λ g (], x]) = g(x) (x R). 2. Mérhető függvények 2.1. Mérhető függvények lptuljdonsági. 19

2.1. Definíció. Legyen X egy hlmz, P pedig egy pontbeli tuljdonság. Ekkor jelölje X{P } z {x X P (x) értelmezve vn és teljesül} hlmzt. Például, h f és g z X hlmz vlmely részhlmzán értelmezett vlós függvények, kkor X{f g} = {x X x D f, x D g, f(x) g(x)}, mit még rövidebben {f g} lkbn is írunk. Legyen (X, A, µ) mértéktér, P pedig pontbeli tuljdonság. Azt mondjuk, hogy P µ mjdnem mindenütt (vgy röviden µ-m.m.) teljesül z A X hlmzon, h z {x A P (x) nem értelmezett, vgy értelmezve vn, de nem teljesül} hlmz mérhető és µ-mértéke 0. 2.2. Tétel. Legyen (X, A) mérhető tér, A A, illetve f : A R. Ekkor következő állítások ekvivlensek. (1) R : {f > } A. (2) R : {f } A. (3) R : {f < } A. (4) R : {f } A. Továbbá h f vlós értékű, kkor z lábbi állítások fentiekkel ekvivlensek. (5), b R : { < f < b} A. (6), b R : { < f b} A. (7), b R : { f < b} A. (8), b R : { f b} A. Bizonyítás. Az {f } = n N { f > 1 } n {f < } = A \ {f } {f } = { f < + 1 } n n N {f > } = A \ {f } ( R) egyszerű zonosságok és σ-lgebr tuljdonságink felhsználásávl kpjuk rendre z (1) (2), (2) (3), (3) (4) és (4) (1) implikációkt. Ebből dódik, hogy z (1) (4) állítások ekvivlensek. Még zt kell belátnunk, hogy vlós értékű f esetén z (5) (8) állítások mindegyike ekvivlens z (1) (4) állításokkl. Ezt z (5) kijelentés esetén igzoljuk, többire hsonlón dódik. Az { < f < b} = {f > } {f < b} (, b R) 20

egyenlőségből egyszerűen kpjuk, hogy z (1) (4) állítások bármelyike implikálj (5)-öt. Megfordítv, z {f < b} = n N{ n < f < b} (b R) zonosságból következik, hogy (5) implikálj z (1) (4) kijelentések bármelyikét. 2.3. Definíció. Az előző tétel feltételei és jelölései mellett zt mondjuk, hogy z f : A R függvény mérhető, h rendelkezik z (1) (4) tuljdonságok bármelyikével (vlós értékű f esetén z (1) (8) tuljdonságok bármelyikével). 2.4. Megjegyzés. A fenti jelölésekkel, h f : A R, kkor A = implikáció z f mérhető f 1 (U) A bármely U R nyílt hlmz esetén. f 1 (], b[) = { < f < b} (, b R, < b) egyenlőségből következik. A másik irányú implikációhoz legyen U R egy nyílt hlmz. Ekkor léteznek olyn I n =] n, b n [ ( n, b n R, n < b n (n N)) intervllumok, melyekre U = n N I n. Ezt felhsználv kpjuk, hogy ( ) f 1 (U) = f 1 I n = f 1 (I n ) = n < f < b n }, n N n N n N{ miből dódik kívánt állítás. 2.5. Megjegyzés. H f : R R egy folytonos függvény, kkor f Borel-mérhető, s így Lebesgue-mérhető is. 2.6. Megjegyzés. Legyen (X, A) mérhető tér és A A. Ekkor z A A = {B A B A} hlmzcslád egy σ-lgebr A-n. Az (A, A A ) párt (X, A) egy mérhető lterének nevezzük. H f : X R mérhető és A A, kkor f A mérhető z (A, A A ) ltérre vontkozón. Eme állítás zonnl dódik z egyenlőségből. {f A < } = {f < } A ( R) 2.7. Tétel. Legyen (X, A) mérhető tér, f és g bővített vlós értékű mérhető függvények (ebbe beleértjük zt is, hogy f és g z X egy-egy mérhető részhlmzán vn értelmezve), továbbá c R. Ekkor 1 cf, f,, mx{f, g}, min{f, g}, f + g, fg f mérhetők (eme függvények D f D g zon legbővebb részhlmzán vnnk értelmezve, melynek elemeire megfelelő kifejezések definiálv vnnk). 21

Bizonyítás. A bizonyítást m esetben végezzük el, mikor c R, D f = D g = X, továbbá f és g vlós értékűek. Ehhez először legyen R. Ekkor nyilván { {f > }, h c > 0 {cf > } = c, {f < }, h c < 0 c továbbá {cf > } z X, hlmzok vlmelyike, h c = 0. Ebből jön, hogy cf mérhető. Az f függvény mérhetősége z { f < } = { < f < } = { < f} {f < } egyenlőségsor következménye. A tétel 1/f-re vontkozó része igzoláskor z áltlánosság sérelme nélkül feltehetjük, hogy {f = 0} =. Ekkor könnyen kpjuk, hogy { } ({ } 1 1 {f ) ({ } 1 {f ) f > = f > > 0} f > < 0} = ({1 > f} {f > 0}) ({1 < f} {f < 0}), mi dj, hogy {1/f > } A. Ebből következik 1/f mérhetősége. A {mx{f, g} < } = {f < } {g < } A, {min{f, g} < } = {f < } {g < } A relációkból kpjuk mx{f, g}, illetve min{f, g} mérhetőségét. Egyszerűen dódik, hogy {f + g > } = {f > g} = r Q ({f > r} {r > g}) = r Q({f > r} {g > r}), miből jön, hogy {f + g > } A. Ez muttj, hogy f + g mérhető. Az eddigiekből következik, hogy speciálisn f g = f + ( 1)g is mérhető. Az f g függvény mérhetőségéhez először belátjuk, hogy mérhető függvény négyzete is mérhető. Ehhez nyilván zt kell igzolni, hogy {f 2 > b} A (b 0). Ez zonnl dódik f mérhetőségéből és z {f 2 > b} = { f > b} (b 0) egyenlőségből. Ezekután fg mérhetőségét z zonosságból kpjuk. fg = 1 2 ((f + g)2 f 2 g 2 ) 2.8. Tétel (Luzin). Legyen A L és f : A R egy mérhető függvény úgy, hogy λ(a) <. Ekkor bármely ε > 0 esetén létezik olyn K A kompkt hlmz, melyre teljesül, hogy λ(a \ K) < ε és f K folytonos. Bizonyítás. Legyen {V n n N} hlmzcslád R rcionális végpontú, korlátos, nyílt intervllumi összessége. Nyilvánvló, hogy ekkor f 1 (V n ) A (n N) egy mérhető hlmz. Rögzítsünk egy ε > 0 számot. Ekkor z pproximációs tétel mitt bármely n N esetén léteznek olyn K n f 1 (V n ) és K n A \ f 1 (V n ) kompkt hlmzok, melyekre λ(a \ (K n K n)) < ε 2. n 22

A K = n N(K n K n) A hlmz kompkt, hisz kompkt hlmzok metszete. Másrészt z ( ) A \ K = A (K n K n) c = A \ (K n K n) n N n N egyenlőségből mérték σ-szubdditivitás és z előzőek lpján jön, hogy λ(a \ K) < ε. Igzoljuk, hogy f K folytonos. Ehhez legyen x K, továbbá n N úgy, hogy f(x) V n. Ekkor x f 1 (V n ), tehát x / K n. Innen kpjuk, hogy x K \ K n = K (K n) c, mi nyílt környezete x-nek K ltérben. Legyen y K \ K n tetszőleges. Ekkor y K n K n és y / K n, ezért y K n, tehát f(y) V n. Ez muttj, hogy f(k \ K n) V n. Mivel f(x) bármely nyílt környezete trtlmz V n (n N) lkú hlmzt, így z utóbbikból folytonosság egy ekvivlens átfoglmzását felhsználv könnyen dódik, hogy f folytonos x-ben. Ezzel bizonyítást befejeztük. 2.2. Mérhető függvények sorozti. 2.9. Tétel. Legyen (X, A) egy mérhető tér, f n, f : X R pedig függvények úgy, hogy f n (n N) mérhető és f n f (n ) pontonként. Ekkor f mérhető. Bizonyítás. A htárérték definíciój mitt {f } = {{ f m > 1 } m N, n m}, k k N n N miből {f } A dódik ( R). Ebből kpjuk, hogy f mérhető. 2.10. Tétel. Legyen (X, A) mérhető tér, f n : X R (n N) pedig mérhető függvény. Ekkor is mérhetők. sup f n, inf f n, lim inf n N n N f n, lim sup f n Bizonyítás. A sup f n függvény mérhetősége n N { } sup f n > = n > } ( R) n N n N{f zonosság következménye. Az inf f n = sup( f n ) egyenlőséget felhsználv következik, n N n N hogy inf f n mérhető. A n N lim sup f n = inf sup{f m m N, m n} n N egyenlőségből lim sup f n mérhetősége dódik. Hsonlón láthtó be, hogy lim inf f n mérhető. 23

2.11. Állítás. Legyen (X, A, µ) teljes mértéktér, f : X R mérhető függvény, g : X R pedig egy függvény úgy, hogy f = g µ-m.m. Ekkor g mérhető. Bizonyítás. Legyen R. Elemi átlkításokból kpjuk, hogy {g > } = ({g > } {f = g}) ({g > } {f g}) = ({f > } {f = g}) ({g > } {f g}). Nyilván {f g} A és µ({f g}) = 0, így teljesség mitt {g > } {f g} A. Másrészt {f > }, {f = g} A, így z eddigiekből {g > } A dódik, miből z állítást kpjuk. 2.12. Tétel. Legyen (X, A, µ) teljes mértéktér, f n : X R (n N) mérhető függvény, f : X R pedig egy függvény úgy, hogy f n f µ-m.m. Ekkor f mérhető. Bizonyítás. A bizonyításbn felhsználjuk z lábbi segédállítást. Legyen A X. Ekkor χ A pontosn kkor mérhető, h A A (χ A jelöli A krkterisztikus függvényét). Ezen állítás {χ A > } =, h 1 A, h 0 < 1 X, h < 0 egyenlőségből dódik. A tétel bizonyításár térve, legyen { } J = x X lim f n (x) = f(x) és R = J c. Ekkor R A és µ(r) = 0 feltételek mitt, így J A. Egyszerűen kpjuk, hogy lim (f n χ J )(x) = (fχ J )(x) bármely x X esetén. Másrészt segédállítás mitt f n χ J (n N) mérhető, ezért 2.9 Tétel lpján fχ J mérhető. A teljességet felhsználv dódik, hogy fχ J = f µ-m.m., így z előző állítás lpján f mérhető. 2.3. Mértékben vló konvergenci. 2.13. Definíció. Legyen (X, A, µ) mértéktér, f m, f : X R (m N) pedig mérhető µ függvények. Azt mondjuk, hogy (f n ) konvergál f-hez µ mértékben (jelben f n f, vgy f n f), h bármely σ > 0 esetén lim µ({ f n f σ}) = 0. 2.14. Tétel (Lebesgue). Legyen (X, A, µ) véges mértéktér, f n, f : X R (n N) pedig mérhető függvények. H f n f µ-m.m., kkor f n µ f. Bizonyítás. Könnyű ellenőrizni, hogy { f m f 1 } = {f l f}. k k N n N n m Ebből tétel feltételei mitt jön, hogy ( µ k N n N n m { f m f > 1 k } ) = 0, 24

miből könnyen dódik, hogy ( µ Adott k N esetén z n N n m { f m f > 1 k } ) = 0 (k N). n m { f m f > 1 } k hlmzsorozt szűkülő, így mérték folytonosság mitt ( { lim µ f m f > 1 } ) = 0 (k N). k Mivel n m ({ µ f n f > 1 }) ( { µ f m f > 1 } ) (k, n N), k k n m így z utóbbikból könnyen kpjuk, hogy f n µ f. 2.15. Megjegyzés. A fenti tétel nem véges mértéktér esetén nem igz, mint zt z lábbi péld is muttj. Legyen f n z ]n, [ hlmz R-re vontkozó krkterisztikus függvénye (n N). Ekkor nyilván f n 0 pontonként, tehát λ-m.m. is, de nem teljesül, hogy f n λ 0. 2.16. Tétel (Jegorov). Legyen (X, A, µ) véges mértéktér, f n, f : X R (n N) pedig mérhető függvények. H f n f µ-m.m., kkor bármely ε > 0 esetén létezik olyn A A, melyre µ(a c ) < ε és f n f z A hlmzon egyenletesen. Bizonyítás. A Lebesgue-tétel bizonyításábn láttuk, hogy véges mértéktér esetén mjdnem mindenütti konvergenciából következik, hogy ( { lim µ f m f > 1 } ) = 0 (k N). k n m Legyen ε > 0. A fentiekből következik, hogy bármely k N esetén létezik olyn n k természetes szám, melyre ( { µ f m f > 1 } ) < ε k 2. k Ekkor µ ( n k m k N n k m { f m f > 1 k } ) < k=1 ε 2 k = ε. Legyen A = { f m f 1 }. k k N n k m Az előzőkből kpjuk, hogy µ(a c ) < ε. A definíció mitt tetszőleges k N és n k m természetes szám esetén f m (x) f(x) 1/k teljesül minden x A-r. Ezek után már dódik, hogy f m f z A hlmzon egyenletesen. 25

Az előző megjegyzésben szereplő példát felhsználv láthtó, hogy Jegorov-tétel nem véges mértéktér esetén nem igz. 2.17. Tétel (Riesz kiválsztási tétel). Legyen (X, A, µ) mértéktér, f n, f : X R (n N) pedig mérhető függvények. H f n µ f, kkor létezik olyn (fnk ) részsorozt (f n )-nek, melyre f nk f µ-m.m. Bizonyítás. Legyen k N. A mértékben vló konvergenci definíciój mitt ({ lim µ f n f 1 }) = 0. k Ezért létezik olyn (n k ) szigorún monoton növekvő, természetes számokból álló sorozt, melyre ({ µ f nk f 1 }) < 1 k 2. k Legyen A k = { f nk f 1/k}. Könnyen dódik, hogy A k A. Jelölje lim A k k l N l m A m hlmzt. A fentieket is felhsználv kpjuk, hogy ( ) ( ) µ lim A k lim µ A m k l és ( ) µ A m l m m=l l m 1 (l N). 2m ( ) Eme egyenlőtlenségek lpján µ lim A k = 0. Másrészt k ( Legyen x lim k A k ( ) c lim A k = k l N l m { f nm f < 1 }. m ) c. Ekkor létezik olyn l természetes szám, melyre bármely l m természetes szám esetén f nm (x) f(x) < 1/m. Következésképp lim m f n m (x) = f(x). Az eddigiekből kpjuk, hogy f nk f µ-m.m. 2.18. Megjegyzés. Az lábbi péld muttj, hogy z előző tétel nem élesíthető oly módon, hogy minden mértékben konvergens sorozt mjdnem mindenütt is konvergens. Definiáljunk egy, [0, 1] hlmzon értelmezett függvényekből álló soroztot következőképpen. Legyen f 1 = 1. A sorozt következő két tgj legyen rendre χ [0,1/2], illetve χ [1/2,1] függvény. Az első három tgot követő négy tgot z f 3+k = χ [(k 1)/2 2,k/2 2 ] (k = 1, 2, 3, 4) képlettel definiáljuk. Az eljárást folyttv olyn (f n ) függvénysoroztot kpunk, melyről könnyen láthtó, hogy f λ n 0, ugynkkor f n (x) 0 (n ) bármely x [0, 1] esetén. Ebből következik, hogy z f n 0 λ-m.m. állítás nem teljesül. 26

A következőkben egyszerű függvény ltt egy mérhető téren értelmezett, vlós értékű, véges értékkészletű, mérhető függvényt értünk. Továbbá, h X egy hlmz, f n, f : X R pedig függvények, kkor f n f (n ) módon jelöljük zt tényt, hogy (f n ) pontonként monoton növekvőleg konvergál f-hez. 2.19. Tétel (Approximációs lemm). Legyen (X, A) mérhető tér, illetve f : X [0, ] mérhető függvény. Ekkor léteznek olyn s n : X [0, [ (n N) egyszerű függvények, melyekre s n f (n ). Továbbá, h f korlátos, kkor s n f egyenletesen. Bizonyítás. Definiáljuk z (s n ) függvénysoroztot z lábbi módon: s n = n2 n 1 k=0 k 2 n χ { k 2 n f< k+1 2 n } + nχ {n f} (n N). Egyszerűen kpjuk, hogy s n (n N) egyszerű függvény és s n f (n ). H f korlátos, kkor konstrukció mitt dódik, hogy elég ngy n N-re sup{ s n (x) f(x) : x X} 1 2 n, tehát lim sup{ s n(x) f(x) : x X} = 0. Ez pedig zt jelenti, hogy s n f egyenletesen. 3. Az integrál 3.1. A Lebesgue-integrál. 3.1. Definíció. Legyen (X, A, µ) mértéktér, f pedig [0, ]-beli értékű, µ mjdnem mindenütt értelmezett mérhető függvény. Az f fdµ, fdµ vgy f(x)dµ(x) módon jelölt Lebesgue-integrálján X X y i µ(a i ) i F lkú kifejezések supremumát értjük, hol F egy véges hlmz, z A i -k páronként diszjunkt mérhető hlmzok (A i X), továbbá z y i -k nemnegtív vlós számok úgy, hogy y i f(x) (x A i, i F ). 3.2. Megjegyzés. (1) A fenti definícióbn szereplő supremum értéke változtln mrd, h z y i f(x) feltételt csk µ mjdnem minden x A i -re követeljük meg (i F ). Ez z egyenlőség következménye. y i µ(a i ) = y i µ(a i {y i f}) (i F ) 27

(2) Egy mértéktér mérhető részhlmz feletti Lebesgue-integrált úgy értelmezünk, mint z eme hlmzhoz trtozó ltér feletti Lebesgue-integrált. 3.3. Tétel. Legyen (X, A, µ) mértéktér, c nemnegtív vlós szám, f és g pedig [0, ]- beli értékű, µ-mjdnem mindenütt értelmezett, mérhető függvények. Ekkor teljesülnek következő állítások. (1) H f g µ-m.m., kkor fdµ gdµ. (2) H f = g µ-m.m., kkor fdµ = gdµ. (3) cµ({f c}) fdµ (Mrkov-egyenlőtlenség). (4) H fdµ <, kkor f < µ-m.m. (5) H fdµ = 0, kkor f = 0 µ-m.m. (6) c fdµ = cfdµ. (7) H f egyszerű, és f(x) = {y 1,..., y n }, kkor fdµ = n y i µ({f = y i }). i=1 Bizonyítás. Az (1) állítás bból dódik, hogy z dott feltételek mellett f bármely integrálközelítő összege g-nek is integrálközelítő összege. A (2) állítás (1) zonnli következménye. Mivel cµ({f c}) egy integrálközelítő összege f-nek, ezért (3) is fennáll. (4)-hez jelölje A z {f = } hlmzt. Nyilván A = n N {f n}, így A A. Indirekt tegyük fel, hogy µ(a ) > 0. A Mrkov-egyenlőtlenség mitt nµ(a ) fdµ (n N). Ebből htárátmenettel z fdµ = ellentmondáshoz jutunk, miből kpjuk, hogy (4) vlóbn fennáll. (5) esetén z ({ 1 n µ f 1 }) n egyenlőtlenségből feltételek mitt µ({f 1/n}) = 0 dódik (n N). Triviális, hogy {f > 0} = n N {f 1/n}. Tehát ({ µ({f > 0}) µ f 1 }) = 0, n n=1 miből µ({f 0}) = 0 következik. Így kpjuk (5)-t. (6) kpcsán feltehető, hogy c > 0, hisz c = 0 eset nyilvánvló ( 0dµ = 0). Ekkor legyen F egy véges hlmz, A i A páronként diszjunkt hlmzok, továbbá z y i -k nemnegtív vlós számok úgy, hogy y i f(x) (x A i, i F ). Triviális, hogy fdµ c i F y i µ(a i ) = i F cy i µ(a i ), és z y i f(x) feltétel ekvivlens cy i cf(x) feltétellel (x A i, i F ). Következésképpen cf integrálközelítő összegei épp f integrálközelítő összegeinek c-szeresei. Innen már dódik (6). 28

Mivel (7) egyenlőség jobb oldl z dott feltételek mellett integrálközelítő összege f-nek, ezért ezen kifejezés nem ngyobb bl oldlnál. A fordított irányú egyenlőtlenséghez tekintsük f egy j F z jµ(a j ) lkú integrálközelítő összegét. Egyszerű számolás muttj, hogy z j µ(a j ) = n n z j µ(a j {f = y i }) = z j µ(a j {f = y i }). j F j F i=1 i=1 H i {1,..., n}, j F úgy, hogy A j {f = y i }, kkor z j y i. Tehát n n n z j µ(a j {f = y i }) y i µ(a j {f = y i }) = y i µ({f = y i } A j ), i=1 j F másrészt Ebből kpjuk, hogy i=1 j F µ({f = y i } A j ) µ({f = y i }) j F n y i µ({f = y i } A j ) i=1 j F j F i=1 j F (i = 1,..., n). n y i µ({f = y i }). A fentiekből következik, hogy f bármely integrálközelítő összege kisebb vgy egyenlő, mint (7) jobb oldl, ebből pedig fordított irányú egyenlőtlenség dódik. 3.4. Tétel (Beppo Levi). Legyen (X, A, µ) egy mértéktér, f n, f : X [0, ] (n N) pedig mérhető függvények úgy, hogy f n f. Ekkor ( f n dµ ) egy monoton növekvő sorozt, továbbá lim f n dµ = fdµ (Megjegyezzük, hogy mivel ( f n dµ ) monoton, ezért létezik htárértéke R-bn). Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy f vlós értékű, továbbá legyen 0 < t < 1 egy vlós szám. Ekkor H n = {f n tf} (n N) jelöléssel H 1 H 2... és htárérték definíciój mitt n N H n = X. Rögzítsünk egy tetszőleges F véges indexhlmzt, A i A páronként diszjunkt hlmzokt, továbbá y i 0 vlós számokt, melyekre y i f(x) (x A i, i F ). A mérték folytonosságát is felhsználv egyszerűen kpjuk, hogy y i µ(a i ) = y i lim µ(a i H n ) = lim y i µ(a i H n ). i F i F i F Nyilvánvló, hogy bármely i F, n N és x A i H n esetén ty i tf(x) f n (x). Így z előző egyenlőségsort t-vel szorozv dódik, hogy t y i µ(a i ) = lim ty i µ(a i H n ) lim f n dµ, i F i F hol felhsználtuk, hogy i=1 ty i µ(a i H n ) i F 29