Sokszínû mtemtik. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logik, bizonítási módszerek. Logiki feldtok, kijelentések. Feltéve, hog középsõ kérdésre válszolt: középsõ lókötõ, hrmdik lovg.. Aki ellopt z elefántot, mindig hzudik.. Piki.. Lovg plinket, lókötõ plnkot mond. 5. Kiss Kt, Szbó Rék, Ng Sár, Vrg Eszter. 6. Zoli: villmos, kosárlbd; Bálint: bicikli, kézilbd; Pisti: busz, úszás. Rejtvén: Német.. Logiki mûveletek negáció, konjunkció, diszjunkció. Fehér dobozbn: piros, zöld goló. Piros dobozbn: fehér, sárg goló. Kék dobozbn: sárg, piros goló. Zöld dobozbn: kék, fehér goló. Sárg dobozbn: zöld, kék goló.. Øp = A négzetnek vn oln szöge, melik nem derékszög. Øq = Vn oln háromszög, melik nem derékszögû. Ør = A szbálos ötszögnek vn oln szöge, melik derékszög. Øs = Nincs oln deltoid, melik rombusz = Egetlen deltoid sem rombusz. Øt = Minden trpéz prlelogrmm. Øu = Nincs homorúszögû háromszög. = Minden háromszög nem homorúszögû. Øw = Vn oln háromszög, mel köré nem írhtó kör. ØA = A ngobb vg egenlõ, mint p. ( ³ p) ØB = A kisebb, mint 5. ØC = Szbálos dobókockávl dobhtunk 6-nál ngobbt is. ØD = 9-nek -nál kevesebb osztój vn. ØE = Minden másodfokú egenletnek -nál kevesebb göke vn.. A= p A p p= p } = ØA = Minden flubn vn post. ØB = Vn oln ember, ki nem kékszemû. ØC = Vn oln pók, meliknek 8-nál több szeme vn. ØD = A február sose 0 npos. ØE = Vn oln szállod, melben vn oln szob, hol nincs telefon. ØF = Minden munkhel oln, hog senki sem dolgozik.
. Mit szoktál mondni kkor, mikor vlki megkérdezi, hog plink z jelenti, hog igen? 5. ) Piki igzmondó, Niki és Tiki hzug. b) Tiki biztosn igzmondó, Niki hzug, Pikirõl nem tudjuk. 6. ) ØH Ø(ØH) = M hétfõ vn. b) H Ù F Ø(H Ù F) = M nem hétfõ vn, vg nem vgok fárdt. = ØH ÚØF c) H ÙØF Ø(H ÙØF) = M nem hétfõ vn, vg fárdt vgok. = ØH Ú F d) ØH Ù F Ø(ØH Ù F) = M hétfõ vn, vg nem vgok fárdt. = H ÚØF e) ØH ÙØF Ø(ØH ÙØF) = M hétfõ vn, vg fárdt vgok. 7. ) M Ú T hétfõn igz Ø(M Ú T) = M nem hétfõ vn és tegnp nem vsárnp volt. = ØM ÙØT b) ØM ÚØT csk hétfõn nem igz Ø(ØM ÚØT) = M hétfõ vn és tegnp vsárnp volt. = M Ù T c) ØT Ú M minden np igz Ø(ØT Ú M) = Tegnp vsárnp volt és m nincs hétfõ. = T ÙØM d) ØM ÚØT csk hétfõn nem igz Ø(ØM ÚØT) = M hétfõ vn és tegnp vsárnp volt. = M Ù T 8. ) Én megek veled vg Ottóvl. b) Veled megek, vg Ottóvl megek. c) Nem megek veled. d) Te nem még, vg én nem megek. = Nem megek veled. 9. ) A Ù B ÙØC b) (A Ú B) ÙØC c) ØA ÙØB) ÙØC d) (A Ù B) Ú C 0. A, B, D vg A, C, E, tehát csk A-ról mondhtjuk biztosn, hog hzudik.. ) Az ABCD húrnégszög és átlói nem merõlegesek. LEHET IGAZ b) Az ABCD húrnégszög és ADC<) < 90º és BCD háromszög egenlõ szárú. HAMIS = NEM LEHET IGAZ c) Az átlók nem merõlegesek, z ADC<) < 90º és BCD háromszög nem egenlõ szárú. BIZTOS IGAZ d) Nem húrnégszög és z átlók merõlegesek és z ADC<) ³ 90º. HAMIS = NEM LEHET IGAZ Rejtvén: A leghátsó kivételével mindenki megszbdulht következõ strtégiávl: leghátsó fehéret mond, h pártln számú fehér spkát lát, különben feketét mond.. Logiki mûveletek implikáció, ekvivlenci. ) B A b) ØA ØB c) A B d) A Ú AØB. ) A B b) ØB ØA c) B A d) B A e) ØB ØA ( 00-es kidásbn sjtóhib vn feldt szövegében: szombt helett vsárnp áll) f) B «A g) A «B
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. ) H z n szám 6-r végzõdik, kkor -gel oszthtó. b) H z n szám -vel oszthtó, kkor nem prím. c) H z n szám -gel oszthtó, kkor nem prím és páros. d) Az n szám páros és számjegeinek összege -ml oszthtó, kkor és csk kkor, h 6-tl oszthtó. e) Az n szám -vel oszthtó kkor és csk kkor, h -gel oszthtó és számjegeinek összege -ml oszthtó. f) H n nem páros, de számjegeinek összege oszthtó -ml, kkor n nem oszthtó 6-tl.. ) (T Ù O) N b) D «C c) A (B Ú C) d) S Ø(A Ù B) 5. Kti. 6. Gbi csk lán lehet. 7. Igen válsz: vn rn, nem válsz: nincs rn. Rejtvén: Vn oln eset, mikor kártát kell megfordítni, még kkor is, h kihsználjuk, hog minden számjegbõl vn.. Teljes indukció. n = -re =. T.f. n-re, biz. n + -re: n +... + + = + = nn ( + ) ( n+ )( n+ ) n + ( n+ )( n+ ) nn ( + ) + ( n + ) n + = = =. ( n + )( n + ) ( n+ )( n+ ) n +. ) n = -re 9½8. T.f. n-re, biz. n + -re: 5 n+ n+ + n+ n+ = 50 5 n n+ + n+ n = = 8 5 n n+ + (5 n n+ + n+ n ). b) A feldt helesen: ½6 n + n+ + n. n = -re ½66. T.f. n-re, biz. n + -re: 6 n+ + n+ + n+ = 6 6 n + n+ + n = 6 n + (6 n + n+ + n ). c) A feldt helesen: 7½ 5n+ +5 n n+. n = -re 7½9. T.f. n-re, biz. n + -re: 5(n+)+ +5 n+ n+ = 5n+ + 5 5 n n+ = = 5n+ + 7 5 n n+ ( 5n+ +5 n + n+ ).
*. IGAZ ( ) háromszögek szám -ml növelhetõ. n = 6, 7, 8-r:. 5, 6, 7 (= 5 ), 8 kifizethetõ, után hármsávl bármi. 5. Pisti tévedett. -rõl indulv drbok szám minden lépésben -vel nõ, íg csk pártln lehet. 6. -rõl indulv drbok szám minden lépésben -ml vg 5-tel nõ. ) 00 = + 00 = + 667 elérhetõ. b) 00 = + 0 + 99 = + 5 + 66. c),, 5, 8 kivételével minden szám lehet: (,, 6, 7 lehet) 9 (= + + 5), 0 (= + ), (= + 5)-rõl indulv hármsávl minden elérhetõ. 7. ) A tgok szimmetrikusk középsõre nézve: n = n +(n + ) +... + (n ) +... + (n ) + (n ) = (n ). Teljes indukció második lépése: (n ) +n +n +n + n = n n + +8n = (n +). b) n n + +... + ( ) n = ( ) ( ) 8. Becsléssel: nn ( + ), nn ( + ) + + ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( ) ( + )( + n n n n ) n n =. n n n n + +... + n = n. n n Teljes indukcióvl: n = : ³. T.f. n-re, biz. n + -re: +... + + + + + = nn ( + ) + n n n n n + n + = n + n + + = n +. n 9. Egenesek szám:... n nn ( + ) Síkrészek szám: 7... + = (sejtés) = ( + + +... + n) +. Az n + -edik egenes z elõzõ n egenest n pontbn metszi, ezek n + részre osztják z egenest, és mindegik egenesdrb kettévág eg-eg síkrészt, íg síkrészek szám n + -gel nõ. 5
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE * 0. Körök szám:... n. nn ( ) Síkrészek szám: 8... + = + ( + +... + ( n )) sejtés. T.f.h. n körre igz. Az n + -edik kör n pontbn metszi z elõzõ n kört, ez n ív körön, melek kettévágnk eg síkrészt, íg n-nel nõ síkrészek szám. Kiszínezhetõ. körre igz. T.f.h. n körre igz. Rjzoljuk be z n + -edik kört, és minden, körön belüli síkrészt színezzük z ellenkezõjére. Ezzel z új htárvonlk jók lesznek, régiek nem változnk. A háromszögek esete bbn különbözik, hog két háromszögnek mimum 6 metszéspontj lehet. *. n = -re igz: T.f.h. létezik ilen konve n-szög. Ennek eg tompszögét levágv konve n + szöget kpunk. -nál több hegesszög nem lehet. T.f.h. vn, ezek összege 80º-nál kisebb. A konve n-szög szögösszege (n ) 80º. A megmrdt n db szög összege (n ) 80º-nál ngobb kellene legen, mi nem lehet. *. n = -re igz. T.f.h. minden n+ -nél nem ngobb tömeg,,..., n tömegekkel kimérhetõ. Adott eg n+ -nél ngobb, de n+ -nél nem ngobb tömeg. n+ -bõl n+ -t levéve n+ mrd, íg eg n+ -et hsználunk, mi mrd, n+ -nél nem ngobb, tehát,,..., n tömegekkel kimérhetõ. Rejtvén: A szemüveg kkor párásodik be, h hidegrõl melegre meg be. 6
Számsoroztok. A számsorozt foglm, példák soroztokr. A pozitív páros számok soroztánk n-edik tgj: n, sorozt elsõ n tgjánk összege: n(n + ).. ) n n( n + ) b) c) (n )(n n +). A bizonításokt például teljes indukcióvl lehet elvégezni.. ) Érdemes n -t átlkítni íg: b) Az n -t itt íg érdemes felírni: n n n n n =... ( + )... ( )... n n = + + + + + n + n + + +....... n 5. A sejtés áltlánosn íg írhtó fel: n + n + +... + n + n = n + n + +n + n + +... + n +n. Az összegzés után bizonítás közvetlenül dódik.. Példák rekurzív soroztokr. ), b), c) teljes indukcióvl könnû igzolni.. =. Az eges ferde vonlk mentén dódó összegek következõk:,,,, 5, 8,,,, 55, 89,... Az áltlános sejtés tehát z lehet, hog z n-edik sorbn álló számok öszege f n. A sejtés teljes indukcióvl igzolhtó. = +. ábr. A sorozt tuljdonságit teljes indukcióvl igzolhtjuk. A szemléltetést z. ábrán lehet elvégezni. = 5. A sorozt tuljdonságit teljes indukcióvl igzolhtjuk, sorozt tgjink szemléltetését. ábrán végezhetjük el.. ábr 7
. Számtni soroztok. + 6 + 9 +... + 999 = + = 668.. A feltételbõl = és d = dódik. Íg zt legkisebb pozitív egész n-et keressük, melre + ( n ) n 000. Az eredmén: n =.. Elég igzolni, hog z + c =b és egenlõségek ekvivlensek. b+ c + + b = + c. ) = 7, d =. b) Két megoldás vn: =, d =, 59 =, d =. c) A kitûzött feldt hibás. A heles feldt: + 7 =, + 7 =. Ennek két megoldás vn: = 7, d =, 67 =, d = 9. 5 5 5. Nem. Indirekt bizonítást lklmzv rr z ellentmondásr jutunk, hog rcionális szám. 6. 7. 5050. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. 50,5 másodperc ltt esik le test 0 m mgsról. 9. + ( + +... + ) = = 56. 0. Az egenlõtlenséget kielégítõ egész koordinátájú pontok szám.. Mértni soroztok. = 6, q =... q =. 0. 8
5. ) =, q = b) A feldtbn hib vn, heles feldt: 7 = 6, 5 = 7. Az egetlen megoldás: =, q = ( q = eset nem d jó megoldást). c) Két megoldás vn: = 5, q =, = 5, q =. 6. 7. A helesen kitöltött táblázt: 7 5 08 6 9 8 6 7 6 8 8. Két megoldás vn:, 8, ;,, (A második megoldás esetében számtni sorozt differenciáj 0, mértni sorozt hándos.) 9. A számtni sorozt elsõ tgj, különbsége 5. 5. Kmtszámítás, törlesztõrészletek kiszámítás 0. Jelölje p z + = számot (ez z eghvi kmt kiszámításához szükséges), kkor 00 00 hvi törlesztõ részlet: p 5000 p 57 Ft.. Feltesszük, hog hvont egenlõ részletekben törlesztjük kölcsönt, ekkor szükséges 0 hvi összeg q = + = jelölés felhsználásávl: 00 00 Tehát kölcsönt felvehetjük. q 50000 q 0 0 76 Ft. 9
Térgeometri. Térelemek SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. 5 rész. ) 5 vg 8 rész. b) 9, 0 vg rész.. ) b) c). 5. 90º; 0º 6. 5,6º; 90º 7. ; 5; 9,º; 8,º *9. Igz. A sík és tér felosztás n. n+ véges; n végtelen trtomán.. 5. 5. n nn ( ) = n n n n n = ( + ) ( )( ) 8 6. 550 *7. n n + 0
. Testek osztálozás, szbálos testek. Igen. Pl. ilen eg térbeli kereszt.. Legkevesebb 6, legfeljebb 0.. tetréder kock oktéder dodekéder ikozéder. 5. ; ; 0 6 cm 6. 8,6 cm; 6, cm *7. *8. 6. A terület foglm, sokszögek területe.. cm; 5,8º; 5,6º. 7,8 cm;,7 cm; 6,68º. 7-szerese. 5. része. 7 6. A súlvonl megfelelõ egenes. 7. 7,05 cm. 8 9. területegség. * 0. Igen. Az oldli lehetnek: és 6, vg és. *. b) n =, vg 6 esetén.
5. A kör és részeinek területe. ; 9 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE.. Igen.. 6,8 km-rel 5. ),09 cm b) cm c),9 cm 6. 0,56 m 7. ) 5,5 cm b) 5,8 cm c) 5,7 cm d),5 cm 8. ) b) 0. Egenlõk.. 5, cm. 6,77 cm *. 6,88 cm 6. A térfogt foglm, hsáb és henger térfogt. 8 féle. A m = 6 (; ; 6). A min = 66 (; ; ).. Élei: 6 ; 8 ; 0 ; V = 960 ; A = 75; 5º; 6,9º. Élei: cm; 6 cm; 8 cm. A = 08 cm. Élei: 0 cm; 5 cm; 0 cm. V = 000 cm 5. ) A = 686,6 cm ; V = 866 cm b) A =, cm ; V = cm c) A = 79,6 cm ; V = 596, cm d) A = 58,8 cm ; V = 68, cm 6. ) V = 785, cm ; A = 7, cm b) V = 0000 cm ; A = 68, cm c) V = 790,9 cm ; A = 5080,99 cm 7.,6% 8. V =,76 cm ; A = 58,7 cm V = 58,9 cm ; A = 9,57 cm 9. V = 68, cm ; A = 08, cm V = 005, cm ; A = 65,5 cm 0. V = 88,5 cm ; V = 7,5 cm A = 0,9 cm ; A = 500, cm *. A = cm ; V = 6 cm *. féle.
7. A gúl és kúp térfogt. ) 76,9 cm ;,78 cm b) 6,6 cm ; 87, cm c) 08,09 cm ; 656,7 cm d) 500 cm ; 80,77 cm. ) 57,08 cm ; 0, cm b) 0,59 cm ; 0,59 cm c) 0,59 cm ; 0,59 cm. 58,9 cm. 678, cm 5. 78,55 cm 6. 65,5 cm 7.,6 cm ;,. cm 8. 66,6. cm ; 7, cm 9. 0,6 cm ; 5,78 cm *. A= ; V = *. = r esetén. 8 8. A csonk gúl és csonk kúp. ) 6,69 cm b) 8,58 cm ; 70, cm c) 8,76º. ) 5,9 cm ; 75,96 cm b) 8,9 cm ; 88,5 cm. ) 57,75 cm ; 9,8 cm b) 5,9 dm ; 58,58 dm c) 07,9 dm ; 57,58 dm. 97,9 cm ; 9,8 cm 5. V =,. cm ; V =,. cm A = 7,7 cm ; A = 66,5 cm 6. A = 60 cm ; = 5,º 7 7 7. π dm ; π dm 8. ) 8,9 cm; 6, cm b),85 cm; 8,5 cm 9. 67,87 dm 0. 90, dm
9. A gömb térfogt és felszíne SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. ) 5 575 80 cm ; 5 05 cm b) 50 cm ; 507 cm. 97 m. 0 cm π r. ; rész 6 5. 7. 7, N 8.,6 dm ; 6,6 dm *9. * 0. 5 5 r π V = h ( r h) π R 8 *. 68 08 cm ; 0 06 cm 0. Egmásb írt testek. 0 cm. 6,7 cm. ) 0 cm; cm; cm b) 60 cm ; 55,6 cm. 6 cm 5. 0 6. 0,% 7. r =,07 cm; A = 89,6 cm ; igz 8. 8 7,57 cm ; 68, cm *9. 9,% 0. A A V = ; = 8 V., cm. 5 m 9 (m kúp mgsság)
Vlószínûségszámítás, sttisztik. Geometrii vlószínûség. 0,9.. 0,5.. = 8,» 7.. 0,5. 5. 5 = 6. 6. p = = 6. 7. 0,. +, p =. 8. 5 b 5, b ³ 0, ½b½³. p = 6 0. 5
9. 0 <. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE + ( ) p =. Rejtvén: A vlószínûség, mert három pont meghtároz eg síkot.. Várhtó érték. Tornádór fogdv nereség várhtó értéke: 0,. Villámr fogdv nereség várhtó értéke: 0. Szélvészre fogdv nereség várhtó értéke: 0,. Tehát Villámr érdemes fogdni.. 80 Ft.. 6 60 8 6 5 6 6 0 0 5 + + =..» 0,75. 5. Páros: -ml oszthtó: 0 0 5-tel oszthtó: 50 0 0 8 0 =. 0 =. 0 =. Tehát -ml oszthtór érdemes tippelni. 6. 500 50 6 5 5 5 + 5 5 5 + 5 5 =. 5 7. 00 Ft helett 00 Ft-tl számolv: 00 = 0, = 00 (Ft).. Sttisztik. Mgrország minden tekintetben utolsó. Nugti nelveket tekintve Szlovéni vezet, Csehország második. Vlmel idegen nelveknél számít, hog z ország korábbn más országokkl egütt lkotott eg állmot. 6
. d) Budpesten szállodát.. ) Többség z iskolábn tnórán tlálkozott z internettel. b) Egütt nem 00%. c) Mit jelent megismerkedni? Lehet, hog megismerkedett vele, de nem szokott internetezni! 5. ) b),68»,7 6. Zöldek, mert bár z dtok ugnzok, z õ grfikonjuk szemre erõteljesebb növekedést mutt. 7. Péter jvított, ezért z tengelen z egség ngobb legen. Péter rontott, ezért z tengelen z egség kisebb legen. 8. b),5. c) 6,8. d) Ahol z 50%-ot eléri: 500 999 osztálközepe: 750 ezer. 0. ) 00 = 59. b) Az egmás utáni tgok távolság felezõdik: 9; 99; 59; 79; 69; 7;.... ) Az átlg -ml nõ, szórás nem változik. b) Az átlg és szorzás is z 5-szöröse lesz.. H legngobb 5 lenne, terjedelem mitt legkisebb 7. Középen medián mitt 8, 8 vg 7, 9 áll. Ezen szám összege 8, többi összege 6 8 = 6 kellene legen, de z nem lehet, mert egik sem kisebb 7-nél. A legngobb szám lehet legkisebb 6, középen 7, 9 vg 8, 8 közül csk 8, 8 lehet, mert 8 módusz, íg számok: 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8,.. c) Iskoli végzettség, testvérek szám. = 99 0 + + 7 + +..., 00 00 7
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Gondolkodási módszerek összefogllás. Hlmzok, kijelentések, esemének. ((Z \ H) \ E) È (H Ç E) = (Z Ç _ H Ç _ E) È (H Ç E) (p Z ÙØp H ÙØp E ) Ú (p H Ù p E ) (E Z E H E E ) + (E H E E ) = (E Z _ E H _ E E ) + (E H E E ) görög slát, tirmisu. ) Nem igz. b) Nem igz. c) Nem igz. d) Nem igz.. Április 0 npos. A hlmzábrán láthtón eddig np volt felsorolv, íg hiánzó szám 0 = 7. ) N npos: 5. b) E _ nem esõs:. c) E S N = E S N 7: nem esõs, nem szeles és nem npos. d) S È E: szeles vg esõs: 0. e) E S = E S nem esõs és nem szeles: 0. f) N Ç (S È E) npos és (szeles vg esõs):.. ) Minden -vel és 5-tel oszthtó természetes szám oszthtó 0-zel. Vn oln -ml oszthtó szám, mel 0-zel is oszthtó. H eg szám oszthtó 0-zel, kkor oszthtó -vel és 5-tel is. b) Vn egenlõ szárú derékszögû háromszög. Nincs oln egenlõ szárú háromszög, melnek pont eg 60º-os szöge vn. H eg háromszögnek pont eg 60º-os szöge vn, kkor nem lehet egenlõ szárú.. Kombintorik, vlószínûség. 5 0 8 60 85 8 89 600 = =.. ) 6! b) 5!! c)! 7! 8
. ) 9 980 b) =. = 05, 8 08 5. Ugnnni: 6. Páros: páros vg páros és pártln. Pártln: pártln vg pártln és páros. (Szimmetri elv.) 6. többszöröseinek szám + 7 többszöröseinek szám 7 többszöröseinek szám = 8 = 00 + 5 = 8. Íg keresett vlószínûség: = 0, 95. 00 50! 7. Komplementer: mind különbözõ 5!. 9 8. 0 70 = =, 7 9. ) b) 6 0. 6 0 9 5 = 6 50 5 5 + = =0,9658 6. 0,6 0,8 +0,6 0, 0, +0, 0, 0,65 = 0,606. P(két fej) = + =. 5 8 P(szbálos érme, feltéve, hog két fejet dobunk) = 8 = = 0,. 8 5 5 9
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Algebr és számelmélet összefogllás. Számok és mûveletek... Igen, négzete is irrcionális.. Pl.:,.... km. 5. 96%-át. 6. 7%-os hszon. 7.» 77%,» 9%. 8. 0 tnuló.. Számelmélet, oszthtóság. 8 5 7 0.. A számjegek összege, nem lehet prím.. Nincs. p és p + közül z egik páros, p = -re nem igz.. Igen, 00 = 7, minden prímténezõ kisebb 5-nél. 5. ) Pl.: 988 = 00000 b) Pl.: 988 = 6 6. 7-es, 8-s, 9-es. 7. 805. *8. n = 5 és n =.. Htván, gök, logritmus. 5.. 5 nullár végzõdik.. ) 8 éves, 70 kg-os tnuló esetén 7 00 m. b) 89 60 kg.. ) 5 = b) 5 c) 0 =
5. ) 9 5 = 5 b) 6. ) Az elsõ ngobb. b) Az elsõ ngobb. 7. ) ; > b) 6; b ³ 0; b ¹ ; b ¹ 6 0 *8. A kifejezés = n. ( ) 9. ) b) 6 c) 6 0. ) 8 5 5 7 9 5 5 9 = 9< 9 = 7 b) c) log 5 log7 7 5 7 7 5 7 log75 log log9 = < 7 7 5 7 log7 = < = < = < = < 9 = 7 5 log = = log 0, 5 < log7 = < log5 5 = < log 8= 6 7. ) = 0 b) 5 5 = = =, 5 8 c) =. Mûveletek rcionális kifejezésekkel. ) ( ) b) b (5b + )(5b ) c) 7(c +). Pl. d ½(d ) + (d ) +(d ). ) 000 b) 6 6 7 = ( 7). ) b) c) ( 9) b 8 ( + ) 5. Egenletek, egenlõtlenségek. 7,5 liter 0%-os és,5 liter 80%-os.. 5.. 90 km.. 50. 5. 80 km. 6. Legkésõbb órkor. 7. ) n = 8; 9; ; 5 b) n = 0; ; ; ; ; 5; 6 c) 7 < n <
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. m széles, m hosszú. 9. I. 0 órát, óránként 0 db. II. 6 ór; óránként 5 db. 0. 0 -ért vette. *. p= ; p= ; p= *. p = 0 5. b) = 6,5; =,5 c) =. ) = 7 b) = c) = ; = 0 * 5. n = 6. ) < vg > b) 5 < < vg < 7. ) π π π 8π = + k k b) = + kπ; + lπ ; k, l Z ; Z 9 5 5 c) π π = + lπ ; l Z d) = kπ; = + lπ ; k, l Z π 7π 5 8. ) kπ + + kπ; b) lπ + π π + lπ ; l Z 6. Egenletrendszerek. ) Kb. 65 Ft liter üdítõ ár. b) Ft-nk dódik liter ár. Az ár nem rános z üdítõ menniségével.. 8 piros; kék.. 9 polc; könv.. ) 77-szerese. b) 98,7%-kl kisebb. 5. ) = ; = b) = ; = ; 5 5 c) = 0; = ; = 0; = 7 6. ) = ; = 9; = ; Î R\{0} b) = ; = c) = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; 5 = 5; 5 = ; 6 = 5; 6 = ; 7 = 5; 7 = ; 8 = 5; 8 = = ; =
Függvének összefogllás. A függvén foglm, grfikonj, egszerû tuljdonsági. ) = sin p p p p b) c) =lg 0, 0 d) e) =tg p p p p 9 f) A függvén görbéje nem rjzolhtó meg pontosn, két szksz mentén mindenütt sûrûn elhelezkedõ pontokból áll.. ) injektív; b) egik sem; c) egik sem; d) szürjektív; e) bijektív; f) injektív.. Mûveletek függvénekkel. ) f f: R R, ; b) f g: R R, ; c) g f: R R, ; d) g g: R R,.. f f: R R, ; f f f: R R, ; + + f f... f: R R,, z fn-szer szerepel. + n
. ) f : R R, ; b) g : R \ { } R \ { }, ; + c) h : [0; ] [0; ], ; d) k : [0; ] [ ; 0], ; SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Függvéntuljdonságok. ) b) c) 8 6 =( +) ( ) 6 6. ) b) c) 6 5 6 5 6 5 5 5 6 7 8 5 Zérushel: =. Zérushel: = 7. Zérushel: =.. ) b) c) A kitûzött feldtbn hib vn. A heles függvén: log, 5 6 log Î [; + [ 5 5 6 log Minimumhel = 0, mini- Minimumhel =, mini- A függvénnek minimumum értéke: ; mimum- mum érték: ; mimum- m nincs (lulról nem helek: =, =, hel: = 5, mimum ér- korlátos), mimumhemimum értéke: 5. ték: 6. le =, mimum érték:.
d) = sin½½ p p p p p p p p Minimumhelek: és = π = π, minimum értéke:, mimumhelek: és = π = π, mimum értéke:, z = 0 helen heli minimum vn függvénnek, minimum értéke 0. e) Minimumhel = 0, minimum értéke: 0, π π mimumhelek =, =, mimum értéke.. A függvén zérushele: = 0, minimumhele =, minimum értéke:, mimumhele =, mimum értéke:. p p p p 5. ) Az egetlen vlós gök: =. b) Az egetlen vlós gök: =. c) A két vlós gök: = és =. 6. ) A kitûzött feldtbn hib vn. A heles feldt: log log, >, ¹. A megoldás: <. b) A megoldás: < <. π π c) A megoldások következõ intervllumok: + kπ < < + kπ, k Z. 7. ) Eg vlós göke vn: =. b) Két vlós göke vn: = 0, =. c) A két vlós gök: = és =. 8. Nem periodikus, indirekt úton lehet bizonítni. 5
Geometri összefogllás. Alpvetõ foglmk. ) hmis; b) igz. ) AB cm; b) igz SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A szögek ngság: º, 57º, 7º, 87º, 0º.. A hjó z észki iránnl +05º-ot bezáró, közelítõleg délnugti iránbn hld. 5. Jelölje prk hosszbbik oldlánk hosszát, rövidebbikét b. H kkor köz- b, refogott lkzt négzet, h kkor z ösvének és prk htár eg htszöget fog b >, közre. 6. Legfeljebb pontot kphtunk íg. Nincs mindig megfelelõ pont. 7. A metszéspontok szám 0. 8. ) 8 térrész; b) 5 térrész; c) 6 térrész; d) 9 térrész.. Geometrii trnszformációk. Két megfelelõ négzet vn, csúcsik rendre (6; 0), 0; 6), ( 6; 0), (0; 6), illetve (8; 8), ( 8; 8), ( 8; -8), (8; 8).. ) A közös rész eg oldlú szbálos háromszög. K = cm, T = cm 9» 0,77 cm. 68 b) Az egesítés eg konkáv hétszög. K = 0 cm, T = cm, 087 cm. 9 7. ) A'( ; 0), B'(; 6), C'(6; ) b) A'( 0; ), B'( ; ), C'(0; 6) cm 8. A ngítás 80-szoros, kép és vászon távolság,95 m.. Vektorok. Szögfüggvének. h»,9 m.. d» 8,5 m..» 5,5º.. ) sin = 0,6; tg = ctg = ;. 6
b) cos = 0,8; tg = ctg = ;. c) sin» 0,909; cos» 0,99; ctg» 0,76. d) tg = 5+»,6; sin» 0,909; cos» 0,99. 5. Az osztópontok helvektori rendre B csúcstól C csúcs felé hldv: 5b + c b + c b + c b + c b + 5c,,,,. 6 6 b b c c b c 6. fab = +, fbc = +, fca = +, s ABC = + +. + c b + d + + b + c + d + c b + d b c d 7. ) b), c) = + + + Az átlók felezõpontjit összekötõ szksz felezõpontj zonos középvonlk metszéspontjávl. 9. = 6. Nevezetes síkidomok tuljdonsági. ) = 0º; b» 7,5 cm; c» 7,05 cm. b)»,97 cm;»,º; g»,69º. c) c» 8,88 cm;» 6,9º; b» 7,8º. d)» 59,6º; b» 8,05º; g» 9,59º.. A befogók:» 8,6 cm; b» 8,6 cm. A hegesszögek:» 65,9º; b»,08º; 68 T = cm, 087 cm. 9. )» 75,5º; T» 7557,8 m. b) A mimális területû játéktér oldli 9,6 m és 7,9 m, területe T» 8779, m. 5. ) = 50º; b = 60º; g = 70º. b)»,06 cm; b»,6 cm; c»,76 cm; T»,99 cm. c) T»,5 cm ; T b»,6 cm ; T c»,6 cm. 6. A belsõ szögfelezõk áltl meghtározott négszög szögei vlmelik körüljárási iránbn: 87,5º; 5º; 9,5º; 65º. H eg konve négszög belsõ szögfelezõi közrefognk eg négszöget, kkor z mindig húrnégszög. 7. ) Az oldlfelezõ pontok áltl meghtározott négszög tégllp, íg z eredeti négszög átlói merõlegesek egmásr. b) Az oldlfelezõ pontok áltl meghtározott négszög rombusz, íg z eredeti négszög átlói egenlõ hosszúk. 7
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. ) n = 9; b) n ( sokszög oldlszám) lehetséges értékei:, 5, 6, 7, 8. 9. A sokszög oldlink szám: n = k +. 0. A legkisebb szög 7º-os, legngobb 7º-os. 5. Koordinátgeometri. ) A'(; 0), B'(8; ), C'( 6; ) b) c) S ; 8 97 8 60 89 d) K ABC = ( 5 + 58 + ), 6 e) T ABC = 86. Az érintõ egenlete: + =.. A csúcsok koordinátái (0; 0), (0; ), (; 0), háromszög területe 6 egség.. A H ( ; 5) hrmdoló pontr illeszkedõ érintõk egenlete = és 8 5 = 5, H ( ; 7) hrmdoló pontr illeszkedõ érintõk egenlete pedig = + 6 + 9 + 7 7 és = 6 + 9 7. 7 6 5. A súlpontok hlmz z = + egenletû egenes kivéve ; pontot, 9 9 ugnis ekkor nem jön létre háromszög. 6. ) = ; = b) = 7. T = 9 8. A két érintõ hjlásszöge»,06. 9. = ; T =. 0. ) b) c) 8 7 6 5 5 5 5 5 5 5 8
Középszintû érettségi gkorló feldtsorok. Feldtsor I. rész. 9 =. 6. A kock eg lpján Pitgorsz-tétével kpjuk lpátló hosszát: l = 6 cm; mjd BDH è -ben szintén Pitgorsz tételével kock testátlóját, mel: d = 6 cm. E A D H l d F B G C. B állítás hmis. Pl.: D C Az ábrán láthtó derékszögû trpéz nem húrnégszög. A. A bl oldlon lévõ szorzást (zárójelfelbontást) elvégezve, mjd -et kiemelve két tgból kpjuk, hog +(b +) +b. Ez kifejezés egenlõ + c + 6-tl, melbõl másodfokú polinomok egütthtóink egenlõségébõl következik, hog b + = c és b = 6, ezekbõl egenesen ered b = és c = 5 érték. B 5. BDC =?; =? Az ABC è hrmdik szöge ekkor 70º. BD szögfelezõ két háromszögre bontj z ABC è -et: CDB è -ben belsõ szögek összegére vontkozó összefüggés lpján: = 80º (90º + 5º) = 55º. B 5 5 0 C D A 6. A két germek életkoránk összege:. Az p életkor feldt feltétele szerint ekkor:. Nég év múlv germekek életkoránk összege: +8. Az p életkor nég év múlv: +. A feldt szerint felírhtó + = + 6 egenletbõl következik, hog jelenleg két germek életkoránk összege év, íg z p most 6 éves. 7. Két egenes párhuzmosságánk feltétele, hog irántngenseik (meredekségük) megegezzen. Jelölje rendre z egeneseket e és f. Az e egenes egenletébõl leolvsv nnk normálvektorát, mjd iránvektorát kpjuk, hog: n e (; 0) v e (0; ) me = 0. -vel beszorozv z f egenes egenletét, leolvsv szintén norálvektorát, iránvektorát, ered: 9
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE n f (; 8) v f (8; ) A párhuzmosság feltételébõl most már következik, hog: = 0 8 vgis: m f = 8. = 5. 8. Célszerû feldtot grfikus úton megoldni. Ábrázoljuk z egenlõtlenség bl oldlán álló p p f() = cos függvént ; -on, mjd g ()= f ( ) = cos jobb oldlon álló g ( )= konstns függvént, és olvssuk le z egenlõtlenség meg- oldásit, (figelve nitott-zárt intervllumokr). p ; p p ; p 9. Az,,,, 5 számjegekbõl képezhetõ ötjegû számok szám: 5! = 60.! 0. ( ) ( ) kifejezés szorzttá lkításánál hsználjuk fel z ( + b)( b) = b zonosságot, mjd emeljük ki z ( )-t. Íg kpjuk z ( )( + ) szorztot.. A feldt eredméne számolhtó klsszikus vlószínûséggel. Jelentse A esemén, hog pontosn fejet dobunk. Ekkor mivel lehetõségek következõ: FFF; III; FII; IIF; IFI; IFF; FIF; IFF. kedvezõ eset PA ( ) = =. összes eset 8 p p p p. Az dott egenlõtlenség megoldhtó lgebri úton, de tlán itt is, mint 8. feldtnál lénegesen egszerûbb, h ábrázoljuk z egenlõtlenség bl és jobb oldlán álló kifejezéseket függvénként, mjd leolvssuk kpott eredmént. Legen: f() = ½ 5½ és g() = 8. Megjegzés: Az lgebri megoldásnál hsználjuk fel, hog bármel ½½ ( ÎR + ) esetén, íg itt: 8 5 8 egenlõtlenséget kell csk megoldnunk. 8 g () 5 f () 0
. Feldtsor II. rész / A. z út hossz: km A B [ km] s km A v = képletbe helettesítve: 60 t h = [ h] 5 ) mibõl ered, hog z út hossz: km. 60 + 6 + 6 km b) = 6, 66. h c) A töltõállomáson 59 Ft-ot fizetett (50 Ft/l-t) gépkocsi vezetõje. Az egész úton ( km-en) összesen 59 : 50 = 0,68 l volt z üzemngfogsztás, ezért egenes ránossággl számolv 00 km-en 7, l átlgfogsztást kpunk.. A szbálos tetréder minden éle 0 cm élû kock egeg lpátlój. A lpátló hossz Pitgorsz-tételével: A szbálos tetréder felszíne: A = 00 cm. A szbálos tetréder térfogt 000 V =, cm. l = 0 cm. A= l, mibõl: mibõl Megjegzés: Részletesebb megoldássl számoljnk fkultációs és z emelt szintû mtemtikát tnulók, felhsználv, hog bármel tetréder térfogt számolndó: V T = m képlettel, hol z lplp területére hsznál- b ják Tè = sing összefüggést, vlmint testmgsság hosszánk számolásánál bizonítsák be, hog test m- gsságánk tlppontj z lplp súlpontjáb esik. Innen Pitgorsz tételével ered testmgsság hossz. V = l, A E A H D l =0cm F B D m S G C C B 5. A megoldott tesztek szám: n. Ekkor:. + +... + n + 97 = 90 n + +... + n + 97 = 90n és. + +... + n + 7 = 87 n + +... + n + 7 = 87n.
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Az. egenletbõl kivonv. egenletet kpjuk: 97 7 = 90n 87n melbõl ered, hog kitöltött tesztek szám n = 8 db. 6. ) ÎR A feldt átfoglmzv: ½ + ½ + ½ ½ = 0. Középszinten nem kötelezõ tudni e feldtot grfikusn megoldni, kezdjük hát lgebri úton. Ismert, hog: +, h + = {, h < és, h = { +, h < Számegenes segítségével könnebben felírhtók z értelmezési trtománok és hozzájuk trtozó egenletek.. esetben z < ÉT-on felírjuk hozzá trtozó egenletet, mel: ( ) + ( + ) = 0, 0 ÉT: () < () < () ³ melbõl kpjuk: = 9, mi z ÉT-nk megfelel.. esetben z ÉT: <, hozzá trtozó egenlet most íg lkul: ( + ) + ( + ) = 0, melbõl 7 ¹ 0, tehát nincs megoldás.. esetben z ÉT: ³, z egenlet: ( + ) + ( ) = 0, z = 5,5 = mel szintén megfelel z ÉT-nk, hog. esetben kpott megoldás is., A feldtnk tehát két megoldás vn 9 és. Mtemtik fkultáción vg emelt szintû mtemtikát tnulók oldják meg feldtot függvének segítségével is. Legen f() = ½ +½ + ½ ½ és g() = 0 konstns függvén. +, h < f( ) = + + = 7, h <, h g () 7 f (),5 5,5
b) Kezdjük feldtot feldt ÉT-nk vizsgáltávl. A logritmus mitt + < 0 és > 0 és + > 0 egenlõtlenségek metszeteként ered, hog: > feldt ÉT-. A logritmusok összegére vontkozó összefüggésbõl z egenlet átírhtó következõ lkb: log [( + )( )] = log ( + ). Mivel log függvén szigorún monoton (vlmint felhsználv z ( + b)( b) = = b zonosságot) ered: 9 = + mel másodfokú egenlet rendezés utáni gökei: = 5 és =. Az egenletnek eg megoldás vn, z = 5, mel megfelel z ÉT-nk.. Feldtsor II. rész / B 7. ) Készítsünk elõbb koordinát-rendszerben rjzot! AB egenlete: = ; z AC átló párhuzmos z tengellel, tehát mivel ez z egenes áthld z M(; 6) átló metszésponton, ezért = 6 z egenlete. Készítsünk megoldástervet, mjd lássunk hozzá feldt megoldásához. Terv:. AC Ç AB = A.. C kiszámítás felezõpont segítségével, hiszen M pont felezi AC átlót.. BC egenletének felírás.. BC Ç AB = B. Megjegzés: emelt szintûek tehetik, hog felírják M középpontú r = AM sugrú Thlész-kört, mjd e kör és AB egenes metszetének egik pontjként kpják B pontot (másik metszéspont kkor éppen A pont). 5. D kiszámítás felezõpont segítségével, mert M pont felezi BD átlót. Megoldás:.= = 6 A = } (; 6). C(; 6). n AB = v BC (; ); P 0 : C(; 6) Þ BC: + = 0. B(; ) 5. D(0; 0) Megoldás: A(; 6), B(; ), C(; 6), D(0; 0). b) Számítsuk ki elõször z AD távolságot! dad = AD = ( d ) + ( d ) = 60 8, 97 D(0; 0) 0 0 Mivel feldt szövege szerint egség cm ngságú, ezért AD» 8,97 cm. A vlóságbn 80 m = 8 000 cm, íg kicsinítés mértéke kb. : 99. 0 AB: = A(; 6) B(; ) M(; 6) AC: =6 C(; 6)
8. Készítsünk tábláztot! SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Lánok Úszók: 80 fõ 6 Atletizálók: 95 fõ 9 76 Tornászok: 5 fõ 85 0 ) Jelentse A esemén, hog kiválsztott sportolók mindegike lán. 0 PA ( ) = 0, 00 b) Jelentse B esemén, hog kiválsztott fõ mindegike tletizál. 95 PB ( ) = 00, 00 c) Jelentse C esemén, hog kiválsztottk mindegike tletizáló lán. 9 PC ( ) = 0, 00075 00 d) D esemén: A kiválsztott sportolók ugnzt sportágt ûzik. Ekkor kiválsztott fõ kikerülhet z úszók körébõl, z tletizálók körébõl vg tornászok körébõl. 80 + PD ( ) = 95 + 5 0, 097 00 9. Nézzünk elõször néhán dtot. A jnuári lklmzottk szám: 60 fõ A jnuári forglom: 0 millió Ft A jnuári fõre esõ forglom: 500 ezer Ft p Februárbn válllt létszámemelkedését z + szorzó jelzi, kkor z fõre esõ 00 p forglomnövekedést z + kell, hog jelezze. 00 Íg februári 5,5%-os összforglom növekedés következõ egenlettel írhtó fel: Fiúk Összesen: 00 fõ 0 60 650 000 = 500 000 + p 00 60 + p 00
Mindkét oldlt osztjuk 0 000-rel, mjd elvégezve beszorzásokt és rendezve z egenletet p + 50p 775 = 0 másodfokú egenlethez jutunk, melnek gökei p = 5 és p = 55. A megoldás p = 5. ) A válllt 0 millió,55 = 650 000 forglmt bonolított le. b) Az eg fõre esõ forglom februárbn 0%-kl nõtt jnuárihoz képest. c) Februárbn vállltnál 60,05 = 6 fõ dolgozott. Ellenõrizzük feldtot! A februári fõre esõ forglom 500 000, = 550 000 Ft volt, h ezt beszorozzuk februárbn ott dolgozók számávl, tehát 6 fõvel, kkor z egész februári forglmt kell kpnunk. 550 000 6 = 650 000 Ft. Vgis számolásunk heles.. Feldtsor I. rész. Igen. Igen, pl. lepkék.. Két megoldást is djunk. () () () () () () () () () (). Nem. A 00 pártln, íg két szám összegeként csk úg írhtó fel, h z egik páros, másik pártln. A z egetlen páros prímszám, íg másik szám 00 lenne, de 00 oszthtó -ml, íg nem prím. 5. A Ç B = [; [ A B 0 6 6. -féle lehet: 0 : 0; : 9; : 8; : 7; : 6; 5 : 5; 6 : ; 7 : ; 8 : ; 9 : ; 0 : 0. 7. f () = +; ³ [ ; 7[-on 7 5