4. Az a) és c) egyenlő, mindkettő a {12; 13} halmaz, valamint a b) és d) egyenlő mindkettő a {11; 12; 13; 14; 16; 17; 18} halmaz.
|
|
- Márta Hegedűsné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Megoldások hlmzok feldtink eredménei. Számhlmzok. ) 48 0 c) ; ; ; 6; 3 7. ; 3; 9; 30; 73; Műveletek rcionális számokkl. ) 3 0 c) 5 3. ) z első: 4, második:,48. második ngo z első:,35, második:,. z első ngo m 4. megtkrított pénz: Ft. lekötött pénz: Ft. 5. ) 33 liter 675 liter 6. ) 60 kg,8% 7. 50; 350; 490; 686; 960, cm oldls fő 4. Részhlmz foglm. K = {; ; 3; ; 44}, L = {; 3; 43}, L Ì K. ) Ì, Ì R Ì T, R Ì D c) N Ì G Ì P Ì T d) Ì M, L Ì M Kételemű részhlmzok: {3;8} {3;3} {3;8} {3;33} {8;3} {8;8} {8;33} {3;8} {3;33} {8;33} Ez lpján már können megdhtók háromelemű részhlmzok. 5. [-3 ; ]Ì- ] 3 ; ], [ 063, ;, [Ì[ 0; 008] 5. Műveletek hlmzok között. ) {;3;6} Æ c) {; ; 3; 6; 7} d) {; ; 3; 6; 7} e) {4;8} f) {5; 9; 0} g) {4;8} h) Æ i) Æ j) Æ k) {, 5; 7; 9; 0} l) {, 4, 5; 7; 8; 9; 0} m){;3;6} 3. z ) és d) egenlő, mindkettő { 0; ; ; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 0} hlmz, vlmint és c) egenlő, mindkettő {0; 3; 4; 7} hlmz. 4. z ) és c) egenlő, mindkettő {; 3} hlmz, vlmint és d) egenlő mindkettő {; ; 3; 4; 6; 7; 8} hlmz. 5. ) = { ; 3; 4; 0}, = {4; 5; 6; 7; 0} = {; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, = {; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} 6. = {; 3; 4; 5; 7}, = {; ; 3; 5; 6; 7; 8; 9}, = {4; 5; 6; 7} 7. = { (;3), (;4), (;5), (;3), (;4), (;5), (3;3), (3;4), (3;5), (4;3), (4;4), (4;5)} 6. Logiki szit, egszerű összeszámlálások. Mindkettő szkkörre -en járnk.. z osztál létszám: 30. Közepes dolgoztot 9-en írtk. 3. evétel 5840 Ft 4. ngol: 4, német: 8, spnol: 9 5. Mindhárom szkkörre -en járnk. 6. Leglá z egikkel 57, pontosn z egikkel 500, egikkel sem 49 dr szám oszthtó. 7. ) c) 734 d) d ötjegű számot kphtunk, 35 d számn nem szerepel z -es, 465 d számn szerepel z 5-ös.
2 d htjegű, különöző számjegekől álló szám képezhető megdott számjegekől, eől 30 oszthtó öttel ór 40 perc. ) z lger, számelmélet feldtink eredménei. etűs kifejezések mtemtikán 5. ) 4-7 c) -3 d),5 e) ì3 6. ) \ í ü î 5þ \{} 0 c) \ ì í 7ü - î 4þ f) 38 7 ì d) \{ 0; -5} e) \ í ü ;-4 î þ ì 3 f) \ í ü 3; - î þ. Pozitív egész kitevőjű htván. ) = 34, = -864, = 6 = 5, = -9, = c) = 49, = 54, = 656 d) =, = 050, = 04 ì g) \ í ü - ; ; î 5þ 3. ) c) 5 d) 50 e) 96 f) 0,03 4. ) 0 4 c) c d) e) c f) Ft 3. Egész kitevőjű htván. ) 7 c) 00 d) 000 e) ) 0-9 c) d) 4 7 f) ) egenlők z első ngo c) második ngo d) z első ngo 4. Számok normállkj 4.» 9460, km , , , N 8. 96,6%-kl 9. cm g) 3 h) 45 i) lgeri egész kifejezések 4. ) c) d) e) c- + 4 c- c- 5c + 7 f) ) c) d) e) f) g) ) c) -5- d) e) f) g) h) i) j) k) ) c) d) e) f) g) h) - 3
3 Megoldások 6. Nevezetes szorztok 9. ) c) d) e) c + c f) - 8z+ 00z g) h) c c + i) j) k) c - 4c + 9c l) n n - n - n n - n ) c) 9-6c d) 4 - e) f) c 6 g) ) c) d) néges mrdék 5. 0 z ötös mrdék ) c) 3 c c 8 c d) - 6 c + c - 8c e) z z 0 + 8z 5 9. ) c) 6-64 d) ) c + 4+ c+ 4c c) c - 8+ c- 8c d) + + 4z -- 4z+ 4z 3 3. ) Szorzttá lkítás 3 3. ) 3 ( - 3) 7 ( - 3) c) ( - 4) d) ( + ) e) 5( ) 8 0. ) ( - ( 4+ 3 ) ( -)( -4 ) c) ( 7-5c)( 3-4 d) ( -)( - 5 e) ( + )( + ) 3. ) ( -6) æ3 94 ( + ) c) ( - 8) d) èç æ g) 4 èç öæ 3 4 ö + ø - èç 3ø ö -c ø e) ( - 9)( + 9) f) ( + )( + )( - ) æ 7 53öæ 7 3ö h) ( -3-)( - 3+ ) i) ( - 4)( + 8 ) j) + èç ø - èç ø k) ( k-7-)( k- 3+ ) 4. ) ( -)( -6 ) ( + )( + 8 ) c) ( -7)( -7 ) d) 5( -5)( - ) e) -3( -3)( -) f) - ( + 6)( + 4) 5. ) ( + )( -- ) 4( - ) c) ( -)( --3 ) d) ( )( ) e) ( -6)( - )( + ) f) ( + + )( - + ) ì 6. ) {0;} í 0 ; ü î 3þ c) {0} d) ì í - î 3ü 4þ ì e) {; 0} f) {-3; -} g) í ü 0; - ; î þ 7. ) ( + ) 3 ( - 3 c) ( +) 3 d) ( c-) 3 e) ( 3+ ) 8. ) ( - )( + + 4) ( + 3)( ) e) ( - 3( ) f) ( 4+ 5)( ) 8. lgeri törtek. ) 3( + ) -3 ¹ 0 ; ( + 3) ¹ 3; -3; 0 c) +5 5 e) ¹ 8; 4 ( + f) ¹ g) 3( - ( + ). ) ¹ 0 e) - ¹ ; - f) ( + 33 ) 8 ( + 3) ¹-3 c) ¹ 0; -3 g) c) ( - )( + + ) + + 5( -4) -4-6 ( + ) ( -) ¹3; 0 d) 3 h) {} d) ( 5c+ )( 5c - 5c + ) + 3 ( -5) ¹ 5; 0 ¹ h) - ( - + ) ¹- ¹4 d) ( + )( -) ¹ 0 ; ;- ¹ ; - h) ¹ 4
4 3. ) + ¹ 0 ; ;- + ( -) ¹ ; c) ( - ) e) ¹ 5-6 ; 6 f) + ¹ ¹ 0, ¹ 0 4. ) + 4 ¹- 5 ; 4 ¹ ; -,-3 c) ¹- ;; 5 5 ¹ 0; -0; 0 d) +6 ¹ 3; - 9. Számelmélet. ) i i c) i d) i e) n. ) c) d) e) f) g) 3. szám végződése: Nem, mert mindig oszthtó 7-tel, h négzetszámok végződése: 0,, 4, 4, 6, 9. Nem, mert 7-re végződik. 6. szorzt: Mind z ) mind eseten eg Igen pl Eg tízes számrendszereli szám kkor és csk kkor oszthtó nolccl, h z utolsó három számjegéől képezett szám oszthtó nolccl.. ) pl. 6, 0, 5 4. Leglá 385 csempére vn szükség. 5. ) és 39, ill. 8 és ) H = 0, kkor = 0; 3; 6; 9, h = 5 kkor = ; 4; 7. H = 0, kkor = ; 4; 7, h = 4, kkor = 0; 3; 6; 9, h = 8, kkor = ; 5; 8. c) H = 0, kkor = 6, h = 5, kkor =. d) H = 4, kkor = Háromszor. 9. négzetszámok. 0. Számrendszerek. ) 96 7 c) 3635 d) 5. ) c) d) ) ()(34)(54)(0) c) ) = 3; 7 6. = 0; 3 7. ) = 0 lehet ármel -nél ngo pozitív egész szám. függvének feldtink eredménei. függvén foglm, jelölések, elnevezések. ) z f és h függvén. z f kölcsönösen egértelmű. D ={ 0 ;; 3 ; }, R = {-50, ; ; ; p }, f ( ) = f f D ={ 0 ;; 3 ; }, R = {-50, ; ; p }, h( ) = 0 h h 5
5 Megoldások. ) függvén nem függvén c) függvén d) nem függvén e) függvén f) nem függvén ) f ( )=-, f ()=- f 7 f 6 g g, (- )=-, æ ö - èç 3ø =-, ( )=- () 5, = ( - )=- æ ö 4-5 èç 3ø = 69, g, g 5 5 c) -3,5 d) ) egenlők egenlők c) egenlők d) nem egenlők. koordinát rendszer I.. ( 5;7) (3; 8) E(0; 3) F( 6;0) D( ; 3) (4; 4). háromszög területe: 48,5 cm 3. ) (5; 7) (4; 6) (3; 5) D(; 4) E(; 3) (5; 0) (4; 8) (3; 6) D(; 4) E(; ) c) (9; 8) d) E( 3; 4) (3; ) D(0; ) (6; 5) (6; 4) (5; 3,5) (4; 3) D(3;,5) E(; ) F(;,5) G(0; ) H( ;0,5) F G 4. ) c) d) () = 4 () = () = 3 (; 5) () = 4 6
6 e) f) g) () 3 h) () E e k 5. ) c) e k d) e) f) 6. Q( ;5) P(3;5) P( ; ) F(; ) Q(3; ) négszög tégllp, területe 4 (t.e.) helre jutht el olh. 8. helre jutht el olh. 3. Függvének szemléltetése. ) f ( )= 6 ; g( )=--. Mindkét függvén grfikonj izolált pontól áll, grfikon megrjzolásához ezek pontok nem köthetők össze. 7
7 Megoldások. ) D f =- [ 48 ; [, R f =- [ 38 ; ], zérushelek: = 0, = 6; f ()= 5; c) = - 4, =, = 3 d) ]-4 ; [È ] 38 ; [. 4. Lineáris függvének, egenes ránosság. d) f) 3 g) c) e) ). d) c) f) h) ) f ( )= -3; g( )=- + 6; 3 c) h( )= + 3 ; 4 d) i( )= ; e) j( )=- - ; 3 f) k( )= ; g) l( )=-3 ; h) m( )= 0. g) e) 3. d) f) ) f ( )= + ; g( )= ; c) h( )=--4; d) i( )=-3 ; e) j( )=- ; f) k( )= 3 ; ) h) g) l( )=-4 ; h) m( )= 0. g) c) e) 4. kg liszt, 6 3 dkg cukor, 5 3 kg prdicsom, 3 3 dkg oregno, 0 dkg élesztő, kg sjt szükséges. 5. plckn levő gáz nomás 5%-kl nő. 5. Másodfokú függvén. d) c) ) h) n) j) k) g) i) m) f) l) e) 8
8 Hozzárendelési szál Zérushel Szélsőérték Monotonitás Pritás Grfikon = - = + Nincs ) -4 c) 3 = 0 d) = 0 3 e) - = 0 f) - = 0 g) ( -3) = 3 h) ( + 4) = -4 i) ( -) = j) ( + 5) = -5 k) ( -) - = 3 = - = l) -( + ) + 4 = -3 m) 3( -5) -3 3 n) - ( -3) + 6 = 4 = 6 = = 5 Minimum hele: = 0 Minimum értéke: = -4 Minimum hele: = 0 Minimum értéke: = Minimum hele: = 0 Minimum értéke: = 0 Minimum hele: = 0 Minimum értéke: = 0 Mimum hele: = 0 Mimum értéke: = 0 Mimum hele: = 0 Mimum értéke: = 0 Minimum hele: = 3 Minimum értéke: = 0 Minimum hele: = -4 Minimum értéke: = 0 Minimum hele: = Minimum értéke: = 0 Minimum hele: = -5 Minimum értéke: = 0 Minimum hele: = Minimum értéke: = - Mimum hele: = - Mimum értéke: = 4 Minimum hele: = 5 Minimum értéke: = -3 Mimum hele: = 3 Mimum értéke: = 6 ]- ;0]-on szig. mon. csökkenő, [ 0; [-on szig.mon. növekvő ]- ;0]-on szig. mon. növekvő, [ 0; [-on szig.mon. csökkenő ]- ;3]-on szig. mon. csökkenő, [ 3; [-on szig.mon. növekvő ]- ;-4]-on szig. mon. csökkenő, [- 4; [-on szig.mon. növekvő ]- ;]-on szig. mon. csökkenő, [ ; [-on szig.mon. növekvő ]- ;-5]-on szig. mon. csökkenő, [- 5; [-on szig.mon. növekvő ]- ;]-on szig. mon. csökkenő, [ ; [-on szig.mon. növekvő ]- ;-]-on szig. mon. növekvő, [- ; [-on szig.mon. csökkenő ]- ;5]-on szig. mon. csökkenő, [ 5; [-on szig.mon. növekvő ]- ;3]-on szig. mon. növekvő, [ 3; [-on szig.mon. csökkenő páros páros páros páros páros páros Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Negtív irán níló prol Negtív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Pozitív irán níló prol Negtív irán níló prol Pozitív irán níló prol Negtív irán níló prol 6. négzetgök foglm, négzetgökfüggvén ) ³ 35, ; ³- ; ³ ; - ³ > 0; > 4; 3 > ; - > 3 c) ³ 5, ; 4³ ³- ; ³-5, 5 d) = ; Æ ; > 9
9 Megoldások 3. ) c) d) e) f) c f d e jellemzés grfikonok lpján már nem nehéz. g 4. ) lt ( )= T, T Î + 0 T: 0,68 s, 4,44 s,,99 s; l:,6 m, 4,33 m, 39,8 m p c) nég-, ill. kilencszeresére d) 75%-kl e) 5%-kl 7. z szolútérték-függvén. ) [-50 ; ] -on szigorún monoton csökkenő függvén, [ 03 ; ]-on pedig szigorún monoton növekvő. Zérushele: 0 = 0. Szvkn: mínusz öt, három zárt intervllum minden eleméhez rendeljük hozzá z szolút értékét! ]- ;0]-on szigorún monoton csökkenő függvén, [ 0; [-on pedig szigorún monoton növekvő. Zérushele: =- 5 és = 5. Szvkn: Minden vlós számhoz rendeljük hozzá z szolút értékénél öttel kise számot! c) ]- ;0]-on szigorún monoton csökkenő függvén, [ 0; [-on pedig szigorún monoton növekvő. Zérushele: nincs. Szvkn: Minden vlós számhoz rendeljük hozzá z szolút értékénél háromml ngo számot! d) ]-4 ; ]-on szigorún monoton csökkenő függvén, [ 47 ; [-on pedig szigorún monoton növekvő. Zérushele: 0 = 4. Szvkn: mínusz kettő, hét nílt intervllum elemeihez rendeljük hozzá náluk néggel kise számok szolút értékét! 0
10 e) ]- ;-3] -on szigorún monoton csökkenő függvén, [-30 ; [-on pedig szigorún monoton növekvő. Zérushele: 0 =- 3. Szvkn: negtív vlós számokhoz rendeljük hozzá náluk háromml ngo számok szolút értékét!. ) Minimum vn z =- helen: ( - ) =-3. z 5-öt két helen veszi föl: =-0 -nél és = 6 -nál. Mimum vn z = 0 helen: ( 0)= 0. függvén nem veszi fel sehol z 5-öt. c) Mimum vn. M. hele: = 3, mimum: 0. függvén nem veszi fel sehol z 5-öt. d) Minimum vn. Min. hele: =-4, minimum:. függvén z 5-öt két helen veszi föl: =-8 -nál és = 0 -nál.
11 Megoldások e) Minimum vn z = 0 helen: e( 0) =- 4. függvén z 5-öt két helen veszi föl: =-9 -nél és = 9 -nél. f) Mimum vn z = 0 helen: f ( 0) = 7. függvén z 5-öt két helen veszi föl: =- -nél és = -nél. 3. ) D f =- [ 66 ; ], R f =- [ 59 ; ], menete: [-6 ; ]-on szig. mon. csökk; z [ 6 ; ]-on szig. mon. növ. z = helen minimum f () =- 5. z =-6 helen mimum f (- 6) = 9. Zérushelei: =- 5, és = 35,. Nem páros. D g =, R g =- ] ;], menete: ]- ;-4]-on szig. mon. növ; [- 4; [-on szig. mon. csökk. z = 4 helen mimum g( - 4) =. Zérushelei: =- 6 és =-. Nem páros. c) D h =- ] 74 ; [, R h =- ] 65, ;-3], menete: ]-70 ; ]-on szig. mon. növ.; z [ 04 ; [-on szig. mon. csökk z = 0 helen mimum h( 0) =- 3. Minimum nincs. Zérushele nincs. Nem páros. függvének -, illetve 5 helen felvett helettesítési értékei: f (- ) =- ; f ( ) =- 3; f () 5 = 3; g( - ) =- ; g( ) =- 4; g( 5) =-7; h( - ) =-3, 5 ; h( ) =- 4; h( 5 ) nincs értelmezve.
12 4. ) Növekvő z f függvén pl. ]- ; [-on, ]-75 ; [-on vg ] 67 ; [-on. z f függvén növekvő pl. ]-75 ; [-on, ]-3; -[-on vg ] 78 ; [-on. c) z f függvén növekvő pl. ]-3; -[-on, de ezen z intervllumon z f függvén csökkenő. 5. ) f ]- ;-7]-on csökkenő, [-7;-4]-on növekvő, [-4;-]-on csökkenő, [- ; [-on növekvő. g Észrevehető, hog g = f, íg képük és menetük is ugnoln. c) ]- ;]-on csökkenő, [ 6 ; ]-on növekvő, [ 60 ; ]-on csökkenő, [ 0; [ -on növekvő. 6. ) D f =, R f = + 0, menete: ]- ;-5]-on csökkenő, [-5;-3]-on növekvő, [-3; -] -on csökkenő, [- ; [-on növekvő. Két zérushele vn: =- 5 és =-. Ugnezeken heleken vn minimum függvénnek, mi 0. z =-3 helen függvénnek heli mimum vn. Nem páros. f D g =, R g =- [, [. függvénnek 7 töréspontj, ezeknek hele: -6,-3, 0470,,,,. Ezek 8 intervllumr ontják z tengelt, melek közül z elsőn függvén csökkenő, mjd váltkozv növ. és csökk. Nolc zérushele vn: -7,-5,-359,,,,,. Minimum, mit 6-nál, 0-nál, 4-nél és 0-nél vesz föl. Heli mimum vn z =-3 helen és z = 7 helen, hol heli mimum:, és z = helen is, hol heli mimum:. Nem páros. 3
13 Megoldások 7. ) ]- ;-]-on csökkenő, [-4 ; ]-on konstns, [ 4; [-on növekvő. ]- ;-5]-on konstns, [-5 ; ]-on növekvő, [ ; [-on konstns. c) ]- ;-]-on növekvő, [- ; [-on csökkenő. 8. Fordított ránosság, lineáris törtfüggvén. méterre forgástengeltől.. legdrágá lm kilój 400 Ft. legolcsó lmáól 60 kilót is meg tudunk venni. Pl.:50 Ft-os lmáól vehetünk 40 kilót, 0 Ft-osól 50 kilót, 40 Ft-osól 5 kilót. z lm kilónkénti ár és z áltlunk megvásárolhtó menniség között fordított ránosság áll fenn (z állndó 6000 Ft-ot feltételezve). 3. fennálló fordított ránosság mitt nomás 0-szorosár változik. (Feltételeztük z állndó hőmérsékletet.) 4. Egedül z f függvén pártln (és egik sem páros). f i g h 5. ) D f = \{-6}, R f = \{} 0 ; D g = \{}, R g = \{} ; f g c) D h = \{} 0 ; R h = \{} 5 ; d) D i = \{-5}, R i = \{} ; 5 h i 5 e) D j = \{}, R j = \{}. j 4
14 6. ) D f = \{} 3, R f = \{}, zérushele: = 4, menete: ]- ;3]-on csökk., és [ 3; [-on is csökk. f D f = \{-}, R f = \{} 3, zérushele: =- 5, menete: ] ; ] -on csökk., és [- ; [-on is csökk. g c) D f = \{-4}, R f = \{-}, zérushele: =, menete: - ] ;3 ] -on csökk., és [ 3; [-on is csökk. h d) D f = \{}, R f = \{-4}, zérushele: = 3, menete: - ] ; ] -on növ., és [ ; [ -on is növekvő. i e) D f = ì í ü \ - î 3 þ, R ì f = í 5ü \ î 3 þ, zérushele: = ù ù, menete: - ;- -on növ., és 5 ûú 3ûú é é - ; -on is növekvő. ëê 3 ëê 5
15 Megoldások 9. Egészrész-, törtrész- és előjelfüggvén (Kiegészítő ng). ) I f I D f =, Rf = { n n Î }= { páros számok }, monoton csökkenő, zérushele [ 0 ; [ intervllum minden eleme. I H H H H D g =, R g = {-0 ; ; }, zérushele: =-, -nél ngo számok hlmzán konstns függvén értéke, -nél kise számok hlmzán konstns. g c) F F F F G G G D h =- [ 54, ; ], R h =- [ ; ], minden n Î{ -; -; 0; ; ; 3} esetén monoton növekvő függvén z [ nn ; + [ intervllumon, továá [-5, ; [ intervllumon is. ì Zérushelei: í ü - - ; ; - ; ; î ; 3 ; þ d) F Z F E F G F K G G G D F J c) feldteli h függvénen lklmzott előjel-függvén. hol h függvén pozitív volt, ott lesz j függvénnek z értéke, hol h függvén értéke negtív volt, ott lesz j függvénnek z értéke. j függvén zérushelei ugnzok, mint h függvénéi. D j =- [ 54, ; ], R j = {-0 ; ; }.. függőleges tengelen fizetendő pénzt árázoltuk, minek grfikonj soh nem meg lá nnk jó közelítéssel egenes grfikonú függvénnek, mit kkor kpnánk, h másodperc lpú számlázást árázolnánk. Viszont 60. másodperceket kivéve mindig fölötte hld. Tehát semmi kockázt, minden töredék perc plusz evételt jelent. 3. árák: ) f f D E I J H g g D G E F G 6
16 : 4 = 30. H minden megkezdett eszélgetés lklmávl pontn z 59-edik másodpercen tette le telefont kisválllkozó, kkor szélsőséges eseten lehetett eg összesen 30 perc 59 mp-es eszélgetése (k. 6 ór). Különen hánszor hívást kezdeménezett, nni másodpercet kell levonnunk 30 percől. legrossz eseten minden kezdeménezett hívás zonnl meg is szkdt, íg tárcsázhtott kár 30-szer is nélkül, hog másodpercet is eszélt voln. 0. koordinát-rendszer II.. ) c) d) ) 3 c) 0,3 d),5 3. ) c) d) ) 3 d) 6 3 0,5 c) 0, ) ) c) 4 4. hlmz: e) 5 hlmz: U hlmz: f) e) D f) 5 ) c) t z u v w c 7
17 Megoldások d) e) f) 5. ) = {(, ) Î, Î, = } = {(, ) Î, Î, - + } c) = {(, ) Î, Î, 4, < } 6. ) = geometri feldtink eredménei. Térelemek kölcsönös helzete, szöge Ismétlés I Felezzük meg derékszöget! 5. Rjzoljunk! Két lehetőség dódik: vg tompszög: z 3 -os, vg hegesszög: z 80-3 = Ötlet: ) Hosszítsuk meg z egik szögszárt! Állítsunk merőlegest szög csúcsán vlmelik szögszárr! ngoik szöge közös csúccsl másoljuk át kiseik szöget úg, hog z egik szögszár közös legen. másik szögszárk áltl lkotott szög lesz két szög különsége. 0. ) 63 vg 7 ; 90 (Itt csk ez z eg megoldás vn, mert 90 -nk kiegészítő szöge is 90.) c) 35 vg Sokszögek Ismétlés II.. ) 4; 35; c) ; 36 ; 96. külső szögek rán: ::7. 6. Készítsünk táláztot! n: sokszög oldlszám, min : legkise, m : legngo szöge n min m
18 3. Térelemek távolság, sokszögek osztálozás Ismétlés III.. K 600 m.. z újszülöttek fejátmérője k 0 cm. élszerű tehát 0 cm-nél sűrű rácsozású ágt hsználni. 3. Pl.: 3; 5; 7 vg ; 3; d, köztük mindössze 3 háromszögnek különöző hosszú minden oldl. 5. Pl.: ; ; 4; 8 vg ; 3; 5; ) c) c c d 3 d 3 F D c c o G H I J K L M f g h i j k l d N m d E z c n Z w e d 3 e d 3 P Q R S T U V p q r s t u v W 7. e H d 4 d I 3 d 3 K f J d 3 8. ) c) Eg tégllp htároló és első pontji. 9. ) zon pontok hlmz, melek z e egenestől leglá 3 cm és z f egenestől leglá 4 cm távolságr vnnk. zon pontok hlmz, melek z e egenestől legfelje 3 cm vg z f egenestől legfelje 4 cm távolságn vnnk. 4. Speciális sokszögek. leghossz átló: 6 cm. ( szálos htszög ht egevágó szálos háromszögre onthtó.) 9
19 Megoldások. Rövid válsz: 00, 40, 80, 40 vg , 55, 38, 7. Hosszú válsz: három dott ránú szög közül semelik kettő nem lehet egmássl szemközti. H z 5 egségni szög nem illeszkedik szimmetritengelre, kkor nég szög rán: 5::5:, íg ngságuk 38 6, , 38, 7. H z egségni szög nem illeszkedik szimmetritengelre, kkor nég szög rán: 5:::, íg ngságuk 00, 40, 80, 40. ln deltoid pedig nincs, minek egségni szög nem illeszkedik szimmetritengelére, mert nnk lenne eg 80 -os szöge , 0, 70, rövide átló is hosszúságú, és z oldlkkl 60 -os szöget zár e ) -féle: romusz; -féle: húrtrpéz; c) 3-féle: szálos háromszög, prlelogrmm, konkáv ht szög. 5. kör és részei. _merõleges F d I. Állítsunk merőlegest kör középpontján át z dott egenesre! Ennek körrel vett metszéspontji keresett érintőknek z érintési pontj. II. z érintési pontokn állítsunk merőlegest z imént szerkesztett egenesre. _dott E e. Nég megoldás. r r 3. z ponttól cm-nél távol, de 5 cm-nél közele lévő pontok hlmz. Vg: Eg középpontú 3 cm vstgságú körgűrű, melnek középköre 3,5 cm sugrú. 4. o o 0
20 ) Eg ilen kör vn. Nég ilen kör vn. (lásd ár) z árákon láthtó kétféle elhelezkedése lehet három körnek. I. H páronként kívülről érintik egmást, kkor J = K, K = I és I = J. Ezért háromszög kerületének fele egenlő három kör sugránk összegével. Ez teszi lehetővé szerkesztést: z körül szerkesztendő kör sugr = K -. Hsonló összefüggés teljesül töire is, ár zokt J és K pont ismeretéen már egszerűen is meg tudjuk J I szerkeszteni. K II. Q P N H z egik kört (áránkon körülit) másik két csúcs köré rjzolt kör elülről érinti, kkor z N szkszt kiforgtv z pont körül z z Q szksz, N szksz pedig körüli forgtás után P szksz meg át. Íg itt körüli ng kör sugránk kétszerese lesz háromszög kerülete. z körüli kör sugr tehát: K -. II. eseten ng kör természetesen ármelik csúcs körül lehet, íg z három különöző esetet d. Minden háromszög esetéen létezik mind nég elrendezésen három páronként egmást érintő kör. Megjegzés: körök érintési pontji eírt körnek háromszög oldlivl vett érintési pontji (I. eset), illetve háromszöghöz hozzáírt köröknek háromszög oldlegeneseivel lkotott érintési pontji (II. eset) lásd 7.lecke.
21 Megoldások 6. háromszög köré írhtó kör. tnákt összekötő szksz felezőmerőlegesének és z országút egenesének metszéspontjá helezzük postládát. z első két árán - megoldás dódik. H két tnát összekötő szksz felezőmerőlegese párhuzmos z országút egenesével, kkor nincs megoldás. (3. ár) H pedig egeesik z országút egenesével, kkor végtelen sok megoldás vn. (4. ár). ár. ár 3. ár 4. ár T _felezõmerõleges _felezõmerõleges T T T _felezõmerõleges _országút T P P P 3 P 4 P 5 _országút P_postlád T _országút P_postlád _országút T _felezõmerõleges T. P f ( 6, ) (, 04) (, 0 ) Q (, ) ) (;0); (0;4); c) (;); ( ;6) 3. Eg ktuális térképen megszerkesztve három várostól egenlő távolságr lévő pontot láthtjuk, hog országhtáron kívülre esne toron. 4. Próáljuk minél kevese körzőhsználttl megoldni szerkesztést! F G D 5. ) és c) Áltlános prlelogrmmánál és trpéznál nég ilen kör vn. Tetszőleges tégllpnál csk kör vn. 7. háromszöge írhtó kör. z szögfelezőjének és z oldlnk metszéspontj. e_szögfelezõ D
22 . szerkesztendő félkör középpontjánk egenlő távolságr kell lennie háromszög másik két oldlától. (Lásd. feldt) Nincs ilen félkör, h háromszög oln oldlár illeszkedne z átmérője, melhez cstlkozó szögek közül z egik tompszög. e_szögfelezô E D G 3. Kettő. Ugnoln gondoltmenet kell hsználnunk, mint nnk igzoláskor, hog háromszög szögfelezői eg pontn metszik egmást. 4. z egenesek két szögfelezője csúcson kívül ott metszi kört, hol z oldl felezőmerőlegese. f g E e D 5. Más-más kert lkul ki, h másik átlót válsztnk. 3
23 Megoldások 6. Ötletek: szemközti szögek szögfelezői egiránúk. kkor esnek ege, h prlelogrmm romusz is egen. Ekkor másik két szögfelező is átmeg romusz középpontján. H pedig nem romusz, kkor szemközti szögek szögfelezői párhuzmosk, tehát prlelogrmmát lkotnk. De z árán pl. z G háromszögről könnű elátni, hog derékszögű (mivel α + β = 80 ). D G H F E 7. δ = 58, ε = 69, ζ = 53 g 64 z e d z háromszögnek külső szöge δ, ezért d = +. Ugníg e g = + és z g = +. g z e d 8. Területszámítás. m = m c, m = m, m 3 = m Hsználjuk háromszög területképletét! T. 3 cm 3. Mindkét válsz: p» 57,. 4. ) 5-szörsére, 49-szeresére, c) n -szeresére változik. m m cm c = = =. 5. ) 6-szorosár, 0-szeresére, c) k-szorosár, d) n -szeresére nőtt. 6. Kössük össze csúcsot szemközti oldl felezőpontjávl. (súlvonl) 7. K = 60 cm 8. 4 cm (Gondolkozzunk el rjt, hog iztosn vn-e ilen háromszög!) 9. háromszög ármelik mgsság legfelje kkor, mint vele közös csúcsól kiinduló oldlk. Íg 6 cm-es oldl csk 6 merőleges lehet 8 cm-es mgsságr, tehát T = 8 = 44 ( cm ). 0. Prézli számár nem tiltott háromszög lkú terület eírhtó körének középpontjá érdemes leszúrni krót. Hsználjuk Kr Heron-képletet és T = összefüggést! 4
24 T K = 36 m, T = s( s-)( s-( s- c) = 8 89 = 36 ( m ), r = = ( m). Legfelje m hosszú pórázon köthetik ki Prézlit. K 9. Pitgorsz-tétel I.. ) 5 cm, 5 cm, c) 6 cm. ) 30, 380» 9, 49. c) + 3. szárk hossz: 0 egség, hozzájuk trtozó mgsságok hossz: 9,6 egség. 4. Két eset vn: 3 egség vg 7 egség. 5. z átlók hossz cm, kerület: K = 45+ 7» 35, 05 (cm) cm 0. Pitgorsz-tétel II.. m = 4 3» 693, egség, T = 6 3» 77, t.e.. 0 cm és 5 3» 866, cm 3. K. 9%-át ár jelöléseivel: (mindegik sokszögnek legfelje kétféle hosszúságú oldl vn) 5. T = 0 cm, eírt kör sugr: r = 5 4 Síkidom etűjele Egik oldl Másik oldl Területe (t.e.) c d e 6. 7 cm. z átló felezőmerőlegesének és z oldlnk metszéspontj. cm, körülírt kör középpontj háromszögön kívül vn, sugr: R = 89 6 cm. 7. z ), és d) eseten derékszögű háromszöget kpunk Pitgorsz-tétel megfordítás szerint, c) és z e) eseten pedig nem derékszögű háromszöget kpunk Pitgorsz-tétel szerint.. Geometrii trnszformációk (evezetés). Ezt z olvsór ízzuk.. ) '( -6; ), '(-; 4 ), '( 3 ; ); '( 6; - ), '( ; - 4), '(-;-3); c) '( -4; ), '( 4 ; ), '( 43 ; ); d) '( 6 ; ), '( 4 ;), '( 3; - ). 3. '( -; 7 ); '(-5; ); '(-3;-6); D '(-;-) 4. '( 30 ; ); '( 7 ; ); '( 4 ; ) (lásd ár) E D 5. nolc vg nnál tö os szöge csk eg lehet, íg másik két szög egenlő: 45 -os. Egenlő szárú, derékszögű háromszög. 5
25 Megoldások 7. Tégllp vg romusz. 8. Néhán péld: tengelesen szimmetrikus pl.: és forgásszimmetrikus pl.: 9. tengeles, középpontos, és htodrendű forgásszimmetriávl. Geometrii trnszformációkkl kcsoltos szerkesztések. Tükrözzük középpontot!. Hsználjuk ki négzet középpontj körüli negedrendű forgásszimmetriáját! c c D c 3. Prlelogrmm c c 6
26 cm. közös rész szálos htszög, íg tengelesen is, középpontosn is szimmetrikus, és htodrendű forgásszimmetriávl is rendelkezik. D 6. H z e és z f eg pontn metszi egmást, kkor háromszög mindig egértelműen létezik (hcsk ez metszéspont -vel összekötve nem merőleges szimmetritengelre: ekkor nem szerkeszthető háromszög). H e és f nem metszi egmást, kkor szintén nincs háromszög. És h e egeesik f-fel, kkor végtelen sok háromszög szerkeszthető megdott feltételekkel. (Mindkét utói eseten egenlő ngságú szöget zár e z e és z f egenes t-vel.) e_dott t_dott _dott e_dott t_dott _dott f_dott e e_dott t_dott _dott f_dott e f_dott 7. Forgssuk el z dott pont körül pl. z f egenest. Mivel pont körüli 60 -os elforgtottj pont, íg = f Çe. (lásd ár) z f egenes -60 -os elforgtásávl másik háromszöghöz jutunk, ezt z árán már nem rjzoltuk meg. f f f e _dott f d _dott e 3. Geometrii trnszformációkkl kcsoltos izonítások. M, vgis m c z M há- ^ és m ^ romszög M csúcsához trtozó mgsságvonl, oldl egenese pedig z M háromszög csúcsához trtozó mgsságvonl. m c m z M háromszög mgsságpontj, mivel mc c. 98, H derékszögű háromszög, kkor nincs KML. H α és β is hegesszög, kkor KML = +. H α vg β tompszög, kkor KML = 80 - ( + = g. 3. Ötlet: z egik átló két háromszögre ontj négszöget. négszög szomszédos oldlfelező pontjit összekötő szkszok e háromszögek középvonli. 7
27 Megoldások 4. z árán P ponthoz menjen z út. Más (Q) pont esetén hossz z Q = Q töröttvonl. foló Q P 5. m c közös mgsság z F és z F háromszögnek, és F = F. s c m c F 6. F s c S E s s c D s S s E s c F Tükrözzük z háromszöget z egik oldl felezőpontjár (D)! S = s, S ' = s és 3 3 SS ' = SD = sc = sc. z SS háromszög mindig létezik. Íg ( háromszög-egenlőtlenség szerint) létezik z s 3 3, s, s c oldlú háromszög is. 7. Q P e e e P Q Q P z árán láthtó PQ töröttvonl legrövide. Szerkesztési eljárás: P-t tükrözzük z egik szögszárr, Q-t másikr úg, hog PP és QQ szksz ne menjen át PQ szögtrtománon! és P Q metszéspontji szögszárkkl. tükrözés gondolt koráik lpján indokolt lehet. (Gondoljuk végig! Másik töröttvonl csk hossz lehetne.) De miért nem mindeg, melik szögszárr tükrözünk? z egform színnel jelölt szkszok tükrözések mitt egenlők, és = ', = ', e= e' = e '. kék P Q háromszögnek -nál + + 3e ngságú szöge vn, és z ezt közrefogó két oldl egenlő P Q (piros) háromszög két -ól induló oldlávl, de zok szöge csk: + + e. Íg (kék) P Q szksz hossz, mint (piros) P Q szksz. 4. Thlész tétele. e E = E = 40» 63, cm E Thlész_kör E e 8
28 . Eg m sugrú neged körívet létr kezdeti tlppontj körül körvonl pontjiól derékszögen látszik z dott szár, íg körvonl lppl vló metszéspontjáól is. T tehát merőleges -re, vgis z oldlhoz trtozó mgsság, mi felezi z egenlő szárú háromszög lpját. F m c T 4. négzet középpontj minden oldl mint átmérő fölé emelt körre illeszkedik. 5. F G r D r FG = D, D r r r r r rr r r = ( + ) -( - ) = rr - r = 4rr FG = r r = d d 6. két tlppontól derékszögen látszik M szksz, íg rjt vnnk M Thlész-körén. ármilen (tompszögű, derékszögű) háromszögre teljesül, minek -nél nincs derékszöge. (Ekkor ugnis nég pont egeesik.) F D E M 7. Pl. eg konkáv deltoid. 8. Három eset vn: 3 cm, 5 cm vg 6 cm. 9. ) Vegünk fel eg kört és nnk eg tetszőleges átmérőjét, vlmint eg erre nem illeszkedő E pontját! z átmérő két végpontján állítsunk merőlegest z átmérőre (z lpok egenese)! z E pontn pedig szerkesszünk szintén érintőt körhöz (z egik szár egenese)! Ezt tükrözzük felvett átmérő egenesére ( másik szár egenese)! z lpokkl párhuzmos középvonl hossz z lpok összegének fele, mi egenlő szárk összegének felével, vgis eg-eg szár hosszávl. 5. Körív hossz, körcikk területe, ívmérték. ) 4 p dm» 4, 66 dm ; p dm» 65, 97 dm ; c) 33 p dm» 9, 85 dm ) 89,95 90 ; 7,9 ; c) rd 57,3 ; d) rd 4, m 4. K. 670 km-t tesz meg, kerületi seessége: 670 km h. 9
29 Megoldások 5., 5 = p rd m 7. ) p ; p 4 ; c) p 4p ; d) ; 3 3 p 49 e) ; f) 5 60 p 8. ) 90 ; 70 ; c) 5 ; d) 300 ; e) 5 ; f) Vektorok, műveletek vektorokkl. = ; D =- ; = + ; D = - ; K = + ; KD = -. ) Pl. z árán láthtó módon; c) lásd ár F E D G D E H 3. lásd ár c 4. lásd ár c d c 5. DN DK DN felé km, K felé km» 7 km. z árán szggtott vonlll megrjzoltuk másik lehetőséget is. K 6. Hsználjuk 3.6. árát! S+ S + S = S+ S ' + SS ' = SS = =- 3i+ 5 j ; - =-4 i- j ; + = 7i-4 j ; - = i- j; = i-7 j 7. Síkidomok egevágóság. ); ; e); f) igz, c), d) nem igz. Hsználjuk ki, hog z átlók merőlegesen felezik egmást! 30
30 3. Nem. Pl. két árán páronként egevágó háromszögekől áll z D és z D négszög, mégsem egevágók. (Más típusú ellenpéld is tláhtó.) e d D c e d D c z egenletek, egenlőtlenségek feldtink eredménei. Egenlet foglm é. ) ; [- 4; [\{} 3 ; c) \{}; 3 d) ; e) ]- ;]; f) ; g) ëê ; é ; h) {}. ëê. z =- 6, z =-, z = 0 5,, z = 5 nem megoldási z ),, d), e), f) pontok ltti egenleteknek. z =- 6 5, z =-, z = 0, nem megoldási c) pont ltti egenletnek. z = 5 megoldás c) pont ltti egenletnek. 3. ) állítás, logiki értéke hmis; állítás, logiki értéke igz; c) nem állítás; d) állítás, logiki értéke hmis; e) állítás, logiki értéke igz; f) állítás, logiki értéke igz; g) nem állítás. 4. = =- = 3 Igzsághlmz ) hmis hmis hmis {} hmis igz hmis { ;-} c) hmis hmis hmis ì í - î d) hmis hmis hmis {} ü 3þ e) hmis hmis hmis [ 6; [ f) igz hmis hmis { ; 3; 5; 9; 5; 45} 5. ) prlelogrmm; 30, 60, 90 -os elsőszögekkel rendelkező háromszög; c) trpéz; d) szálos háromszög.. Egenletek megoldás grfikus úton. ) Megoldás: =. Megoldás: =, = 4. c) Megoldás:» 3,. 4 ( ) , 3
31 Megoldások d) Megoldás: = 0, = -3. e) Megoldás: =, = -5. ( ) 6. ) - = ( Î ) + = - ( Î ) c) - = ( Î ) Megoldás: {}. Megoldás: {}. 4 Megoldás: {}. d) - = - ( Î ) e) + = ( + ) ( Î ) Megoldás: {}. Megoldás: {-;- ; }. 3. ) p <- esetén nincs megoldás; p =- vg p > 3 esetén kettő megoldás vn; p = 3 -nál három megoldás vn; - < p < 3 esetén nég megoldás vn; p<- p> 4 vg 4 esetén nincs megoldás; - p 4 0 vg p = 4 esetén eg megoldás vn; 0 < p < esetén kettő 4 megoldás vn; c) ármel vlós p prméter esetén kettő megoldás vn. 3. Egenletek megoldás lgeri úton ì0. ) í ü ; î 3 { 30 þ }; c) ì3 í ü ; d) î { 9 þ }. ì70. ) í ü î 93 þ ; {}; 3 c) ì53 í ü î 78þ. 3. ) {}; {}; 6 c) ì í ü - î 30 þ ; d) ì 3 í ü î þ ; e) {}; f) { - 3 }. ìæ 4. ) {}; 4 {}; c) {(-3;-6; 9) }; d) {( 3; -; 5) }; e) 5 ; ö í ü èç ø ; f) {( ; );( ; -)}; g) {}; 9 h) {-}. î þ 5. ) { 0}; { }; c) { 8}; d) { 53}. 3
32 6. keresett egészek: 5 és 5; 5 és -5; -5 és -5; - és 7; - és -7; és -7; és ) ]- ;]; [- 4; [; c) {}; 9 d) [ 0; [. 8. ) ì í ü - î ; 9 ; 5 þ ; {-35 ; ; }; c) ì í î - 3 ü ; 59 ; þ ; d) ì í î - - ü ; ; e) {-34 ; ; }. 5þ 4. Egenlőtlenségek, egenlőtlenség rendszerek. termelés zon kiocsátások mellett nereséges, melekre Î[ , ;, [ teljesül.. )Megoldás: [ 9 ; ]. Megoldás: ]-;-[È ] 0 ; [. c) Megoldás: [-3 ; ]. d) Megoldás: \ {-4}. 3 4 ( ) ) - È{ 0 ;; }; + ; c) - È{ 0 ; }. ù é 4. ) - - ûú ; ëê È ] 5 3 ; [ ù é ; ]-34 ; ]; c) ]-73 ; ]; d) ]- ;-6]È[ ; 5 ]; e) [-8 ; [; f) -0;- ; ûú ëê g) ]- ;-[È[ 0; ]; h) ]- - [Èé é ; ; ëê 7 4 ëê. 5. ) \{}; 0 { 46 ; }; c) {( ; );(- ; )}; d) {}. 5. szolútértéket trtlmzó egenletek és egenlőségek ì. ) {-7 ; }; {-5 ; }; c) { 5; }; d) {}; e) {-33, }; f) í 0 ; ü î 3þ ; g) ]-4 ; [; ù 3 é h) ]- ;-]È[ 0 ; [; i) [ 097, ;, ]; j) ]- ;-4]È[ ; [; k) - - ûú ëê È ù ûú é ; ; ; l) \ {-5}. ëê ì8. ) í ü î 5þ ; ì í î - ü 5 ì ; ; c) í 90 ü - - é ; 6 ; d) ]- ;-]; e) [- 3; [ ; f) 5 7 þ î 7 þ ëê ; é ëê. ì 3. ) {}; {}; c) í 8 ü ; d) ; e) {}; f) ù é - ; 8 î 3þ ûú 3 ëê. é9 é 4. ) {-8 ;, }; ]- ;-6]È[ 0; 3]È ; ; c) {-;-0;-6;-4; 068 ; ; ; }; d) - ëê ëê [ ]È é ù 93 ; ë 6 ê ; 5 ûú. 6. Szöveges feldtok I.. keresett kétjegű szám 7.. Tehát 750 pólót nereséggel, 50 pólót veszteséggel dott el. 3. ) liter 3%-os és liter 35%-os sóoldtot kell összekeverni hhoz, hog 4 liter 9%-os sóoldtot kpjunk. 30 liter 3%-os és 6 liter 35%-os sóoldtot kell összekeverni hhoz, hog 36 liter 5%-os sóoldtot kpjunk. 4. teljes vgon 000 livres volt, mind nég fiú ugnnnit, zz 3000 livrest örökölt. 5. z első játékos 39, második, hrmdik pedig louis-vl ült le játszni. 6. urkolt 0 np ltt készült el. 7. ) H ugnn z iránn közlekednek, kkor,8 s ltt hldnk el egmás mellett. H egmássl szemen közlekednek, kkor, s ltt hldnk el egmás mellett. 7. Szöveges feldtok II.. háromszög elsőszögei: ) 45, 60, 75 ; 8, 63, 99 ; c) ,,
33 Megoldások. háromszög elsőszögei: ,, trpéz szögei rendre: ,,, vg ,,, vg 67, 5,, 5, 45, 35 vg , 5,, 5, 35, deltoid szögei rendre: 5, 75, 95, 75 vg 8, 34, 8, 90 vg ,,, ) háromszög oldli 48, 90, 0 cm hosszúságúk, eírt kör sugránk hossz 8 cm. keresett pont hosszik efogó zon pontj, mel derékszögű csúcstól 3, cm távolságn vn. 6. keresett pont z ponttól 5,5 cm, ponttól,5 cm távolságn vn. 7. keresett háromszög oldlink hossz 3,3,. 8. Elsőfokú egenletrendszerek ìæ 4 7ö. ) í ü ; èç ø ; {(-; -5)}; c) {(-; -)}. î þ ìæ. ) 5 ; ö í ü èç ø ; {( 0 ; )}; c) {( ;-) }; d) {( ; 4+ Î )}; e) {( 6 ; )}; f) {( 6 ; )}. î þ 3. ) =- ; ¹ ; c) = ; d) nincsen ilen ; e) ¹. 4. ) =- 4, = ; =- 4, ¹ ; c) ¹-4 ; d) ¹. 9. Egenletrendszerrel megoldhtó feldtok. z egik sokszög 8, másik 6 oldlú. sokszögeknek egütt 359 átlój vn.. képkeret első mérete: cm. 3. jetski seessége állóvízen 8 km h, foló seessége km h. ìæ 3 ö 4. ) {( 0 ; )}; í ü ; èç 5 5ø ìæ 3 ö ; c) í ü ; Î \ {} 0 î þ èç 5 ø. î þ 5. {( 0 ; ;-)}. 6. tégltest eg csúcs futó élei: 9 cm, cm, 4 cm hosszúságúk, testátlój 3 89 cm. 7. tégltest térfogt 44 cm 3, eg csúcs futó élei 3 cm, 4 cm, cm, testátlój 3 cm. sttisztik feldtink eredménei. dtok megdás, szemléltetése. ) testmgsság 3 cm-es csoportgkoriság: Testmgsság (cm) Intervllumhoz trtozó gkoriság gkoriság éves fiúk testmgsság szerinti eloszlás testmgsság (cm) 34
34 mtemtik osztálztok gkorisági eloszlás: sztálzt Gkoriság Középértékek. ) = 357,, Mo = 3, Me = 4; 36% 4% 33% 7% 3% % 0% 9% 7% elégséges közepes jó jeles elégtelen elégséges közepes jó jeles 5 éves fiúk mtemtik osztálzt szerinti eloszlás z osztál történelem osztálzt szerinti eloszlás. z említett játékos mgsság pálán mrdt játékosok mgsságánk átlgánál 6 cm-rel ngo. 3. ) Mind z átlg, mind módusz, mind medián 5-tel nő. Mind z átlg, mind módusz, mind medián (-)-szeresére változik. 4. ) Hét tnuló írt jó osztálztú dolgoztot. gkoriság osztálztok eloszlás 0 elégtelen elégséges közepes jó jeles osztálztok c) Mo = Me = ) Vn feltételeknek eleget tevő számsokság. Pl.: ,,,,,,,, 904 ; Vn feltételeknek eleget tevő számsokság. Pl.:, 33888,,,,,,, 7977 ; c) Vn feltételeknek eleget tevő számsokság. Pl.:, 33,,,, 848, 848, 848, 57 ; d) Nem létezik feltételeknek eleget tevő számsokság. 35
Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon
Pdáni Ktolikus Gkorlóiskol, Veszprém Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Cél: pontos, kitrtó
Részletesebben9. évfolyam Hány darab ötjegyű kettes számrendszerbeli szám van?
9. évfolym 00. Ktink vn egy supsz áj. A ához már kpott kétféle klpot, három különöző lúzt, vlmint három különöző szoknyát. Hányféleképpen öltöztetheti fel előlük áját Kti, h egy szoknyát, egy lúzt és egy
RészletesebbenA VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL
MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenHatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
RészletesebbenFüggvények, 7 8. évfolyam
Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
Részletesebben9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
Részletesebben5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai
A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton
RészletesebbenV. Koordinátageometria
oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
/0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:
Részletesebben2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)
. Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló
RészletesebbenMATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok
MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!
RészletesebbenBevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton
011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet
Részletesebbenl.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
Részletesebben823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.
Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (
RészletesebbenDifferenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke
Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)
RészletesebbenEMELT SZINTÛ FELADATSOROK
EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenMATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent
RészletesebbenGyakorló feladatsor 11. osztály
Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB
Részletesebbena b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a
44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy
Részletesebbena.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont
1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenKözépiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L
Részletesebbenmateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2
Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.
RészletesebbenVI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek
Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások
) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!
RészletesebbenFüggvények tanulmányozása 211
Függvének tnulmánozás KÚPSZELETEK A KÖR A kör értelmezését mint mértni helet már z áltlános iskoláól ismeritek. A foglmk rögzítése céljáól felelevenítjük ezt z értelmezést: Értelmezés. Az O ponttól r távolságr
RészletesebbenFrissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Eg kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 1. péld: Számítsk ki súlponti és tengelekre számított másodrendű nomtékokt! Megjegzés:
Részletesebben11. évfolyam feladatsorának megoldásai
évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenMATEMATIKA II. (GEOMETRIA)
1. Mi z lpfoglom? lpfoglom: olyn foglom, mit ismertnek fogdunk el, nem tudunk más foglmk segítségével meghtározni, legfelje szemléletesen körülírjuk. Minden tudomány ilyen lpfoglmkr épül fel.. geometri
RészletesebbenMinta feladatsor I. rész
Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára
4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
2008. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 26. 11:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenSokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik
RészletesebbenSokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállította: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tanár A Kombinatorika, halmazok c. fejezetet szakmailag ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egetemi docens Tartalom
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
Részletesebben4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük
RészletesebbenÁrki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009
Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009 TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek
RészletesebbenVIII. Függvények tanulmányozása
5 Függvének tnulmánozás VIII. Függvének tnulmánozás 8.. A monotonitás vizsgált, egenlőtlenségek Tekintsük z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvént. A de- f ( ) f ( ) rivált értelmezésében szereplő
Részletesebbenc.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3
1. Az alái feladatok egyszerűek, akár fejen is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonan erre a papírra írja! a.) Írja fel egy olyan egész együtthatós másodfokú egyenlet
RészletesebbenMAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0
RészletesebbenN-ed rendű polinomiális illesztés
ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen
RészletesebbenF.I.1. Vektorok és vektorműveletek
FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg
Részletesebben0852. MODUL GEOMETRIAI ISMÉTLÉS. Geometriai szerkesztések ismétlése KÉSZÍTETTE: PUSZTAI JULIANNA
0852. MODUL GEOMETRII ISMÉTLÉS Geometrii szerkesztések ismétlése KÉSZÍTETTE: PUSZTI JULINN 0852. Geometrii ismétlés Geometrii szerkesztések ismétlése Tnári útmuttó 2 MODULLEÍRÁS modul célj Időkeret jánlott
RészletesebbenMatematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV
Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák
RészletesebbenMatematika érettségi 2015 május 5
( ) A 6-tl vló oszthtóság feltétele, hogy szám oszthtó legyen -vel és -ml. 60 6 64 66 68 X {;8} X {;8} A minden tgdás: vn olyn A brn tgdás: nem brn Vn olyn szekrény, melyik nem brn (A) A D 49 b 4 ( 0)
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenKonfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012
Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
Részletesebben9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!
HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem
RészletesebbenAz ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.
5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k
RészletesebbenII. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET
MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok
RészletesebbenHáromszögek hasonlóságával megoldható feladatok. szelôk tételének megfordítását az ABC AC és A 2. AC. Hasonlóan belátható, hogy AC ; C1 D 2 = 3
64 Hsonlóság Háromszögek hsonlóságávl megoldhtó feldtok 0 0 Húzzuk meg négyszög AC átlóját! Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z ABC AC és A B szelôire: AC ; A B Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok
RészletesebbenSokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
Sokszínû mtemtik. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logik, bizonítási módszerek. Logiki feldtok, kijelentések. Feltéve, hog középsõ kérdésre válszolt: középsõ
RészletesebbenMatematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!
RészletesebbenMatematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS
Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.
RészletesebbenSíkgeometria Megoldások
Síkgeometri Megoldások Síkgeometri - megoldások 1) Döntse el, hogy következő állítások közül melyik igz és melyik hmis! ) A háromszög köré írhtó kör középpontj mindig vlmelyik súlyvonlr esik. b) Egy négyszögnek
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást
RészletesebbenMatematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
RészletesebbenPtolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor
RészletesebbenM. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:
Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente
RészletesebbenGyakorló feladatsorok 9. évfolyam
Gykorló feldtsorok 9. évfolym 1.) Legyen U {1;;;4;5;;7}, A {;4;;7} és B {1;;5;;7}. Készíts Venn-digrmot, mjd dd meg következő hlmzokt!.) A B; b.) B U c.) B \ A d.) A B.) Htározd meg z A és B hlmzokt, h
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.
RészletesebbenDr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu
/ KÜLÖNBÖZİ SZÁMHALMAZOK ) Kkukktojást keresünk! ) b) 60 0 0 8 6 8 0 c) d) π 8 0,000. 0,666. 0 0.) (nincs értelmezve 0-vl vló osztás) kidobjuk! 0 A megmrdt számhlmzbn 8 irrcionális szám: : dobjuk ki! nem
RészletesebbenJuhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai
Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,
RészletesebbenFüggvények, 7 8. évfolyam
Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 011. márius 1. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:
Részletesebben