6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos üggvéyre létezik a határérték és F az egy olya primitívje amelyre F. Bizoyítsd be F t hogy létezik a lim dt határérték! t lim t d t 3. Bizoyítsd be hogy az : e üggvéyek létezik olya F primitívje amelyre határértéket! 4. Tetszőleges lim F majd számítsd ki a határozzuk meg hogy teljesüljö az lim F e eseté legye a ahol az a -et úgy d egyelőség. Jelöljük g- el az azo primitívjét amelyre g és F -el a g azo primitívjét amelyre F. Bizoyítsd be hogy az sup F összeüggéssel értelmezett N sorozat koverges és lim. 5. Az : [ + üggvéy bijektív. Létezik-e olya primitívvel redelkező g: [ + üggvéy amelyre gog? 6. Határozd meg az a k k és az a valós számsorozatokat úgy si hogy az : si a k Z * és a k kπ
A primitív üggvéy létezése 7 üggvéy az \ {} halmazo olytoos legye és -ek létezze -e primitív üggvéye! 7. Határozd meg az a valós paraméter értékét úgy hogy az : cos üggvéyek létezze primitív üggvéye majd úgy a hogy Darbou tulajdoságú legye külö-külö! 8. Bizoyítsd be hogy az : üggvéy si cos > em redelkezik primitív üggvéyel! 9. Bizoyítsd be hogy ha az : üggvéyek létezik primitív üggvéye a g: üggvéy olytoosa deriválható és g eseté a h: üggvéy pedig az g üggvéy egy primitív üggvéye akkor az oh üggvéyek is létezik primitív üggvéye! si. Bizoyítsd be hogy az : arctg üggvéyek létezik primitív üggvéye!. Az : üggvéyre az + és + üggvéyekek létezik primitív üggvéye. Következik-e ebből hogy az -ek is létezik primitív üggvéye?. Határozd meg az összes olya : üggvéyt amelyre y y +y + y és -ek létezik primitív üggvéye! 3. Határozd meg az összes olya : primitívvel redelkező üggvéyt amelyre y y + ky y k! 4. Határozd meg az a valós paraméter értékét úgy hogy az : e üggvéy: a a primitív üggvéyel redelkezze; b Darbou tulajdoságú legye! 5. Az g: üggvéyek egy-egy primitívjét jelöljük F-el illetve G- G + g F + vel. Határozd meg az és g üggvéyeket ha és g!
8 A primitív üggvéy létezése 6. Számítsd ki a + t t 3 d lim határértéket! 7. Bizoyítsd be hogy ha az : a b üggvéyek olytoosak és akkor az üggvéyek ics primitív üggvéye! Országos olimpia 98 Q Q \ ] [ ] [ b a b a 8. Az : üggvéy olytoos és periodikus. Bizoyítsd be hogy a g: c g üggvéyek potosa akkor létezik primitív üggvéye ha T T c d ahol T az egy periódusa! 9. Határozd meg az a paraméter értékét úgy hogy az : si a üggvéyek létezze primitív üggvéye!. Határozd meg az a paraméter értékét úgy hogy az si a üggvéyek létezze primitív üggvéye!. Igaz-e hogy ha az : üggvéyek létezik primitív üggvéye akkor -ek is létezik primitív üggvéye?. Igaz-e hogy ha az : üggvéyek létezik primitív üggvéye akkor -ek is létezik primitív üggvéye? 3. Bizoyítsd be hogy az : si üggvéyek potosa akkor létezik primitív üggvéye ha páratla! Megyei olimpia 98. 4. Vizsgáld meg a következő üggvéyek primitívjeiek létezését: a ; cos : R R
A primitív üggvéy létezése 9 b cos si m g : R R g. 5. Határozd meg az : 3 + si + cos primitívjeit! 6. Az g: [ab] üggvéyek teljesítik az alábbi eltételeket: a -ek létezik primitív üggvéye F egy primitívje; b g olytoos; c g [a b]; F F d létezik [a b] úgy hogy sup g. b a [ a b] Bizoyítsd be hogy g kostas üggvéy! 7. Bizoyítsd be hogy az : a arcsi + arctg a a + üggvéyek létezik primitív üggvéye a -a a itervallumo majd számítsd ki egy primitívjét! 8. Bizoyítsd be hogy ha az : üggvéyek a primitívjei em ijektívek akkor létezik c úgy hogy c! 9. Legye P egy em idetikusa ulla poliom és : I egy em kostas üggvéy I itervallum. Bizoyítsd be hogy ha P o I akkor -ek ics primitív üggvéye I-! 3. Bizoyítsd be hogy ha : I I itervallum egy szigorúa csökkeő üggvéy akkor em létezik olya primitívvel redelkező sőt Darbou tulajdoságú sem g: I üggvéy amelyre gog! 3. Bizoyítsd be hogy ha az : üggvéyek létezik primitív üggvéye és g: olytoosa deriválható akkor a h: h g üggvéyek is létezik primitív üggvéye! 3. Létezek-e olya primitívvel redelkező : * üggvéyek amelyekek valamely F primitívjére FF F.? 33. Bizoyítsd be hogy ha az : üggvéyek létezik primitív üggvéye akkor a g: g üggvéyek is létezik primitív üggvéye! M. Rădulescu 98
A primitív üggvéy létezése 34. Az : deriválható üggvéy teljesíti a lim lim egyelőségeket. Bizoyítsd be hogy a g: ' g üggvéyek létezik primitív üggvéye! 35. Létezik-e a h: cos h üggvéyek primitívje? 3 36. Az : üggvéyek létezik primitív üggvéye és mide valós eseté teljesül az + egyelőtleség. Bizoyítsd be hogy az tetszőleges F primitív üggvéyéek potosa egy ipotja va! 37. Szerkessz olya g: üggvéyeket amelyekek em létezik primitívjük de amelyekre az o g üggvéyek létezik primitívje! 38. Milye értékekre létezik az : si cos < cos + si > üggvéyek primitív üggvéye? 39. Darbou tulajdoságú-e az : si cos > üggvéy? 4. Bizoyítsd be hogy egy alulról vagy elülről korlátos és primitívvel redelkező üggvéy és egy olytoos üggvéy szorzatáak létezik primitív üggvéye! 4. Bizoyítsd be hogy ha az : * üggvéyek létezik primitív üggvéye és a g: üggvéy olytoos akkor az g üggvéyek is létezik primitív üggvéye!
A primitív üggvéy létezése 4. Határozd meg az a paraméter értékét úgy hogy az : [ + l si ha > üggvéyek létezze primitív üggvéye! a ha 43. Az g és h: üggvéyek teljesítik a következő tulajdoságokat: a páratla okszámú poliomüggvéy; b g olytoos -; c g ; g ha d h ahol λ rögzített. λ ha Létezik-e a h üggvéyek primitívje? 44. Bizoyítsd be hogy ha a [ + és m * akkor az : a ha m üggvéyek em létezik primitívje! si cos ha > 45. Határozd meg a c k k sorozatot úgy hogy az : π * cos si ha k Z π k si üggvéyek * ck ha k Z és c ha k létezze primitív üggvéye! 46. Az : mooto üggvéy olya hogy -ek létezik primitív üggvéye. Bizoyítsd be hogy 4 -ek is létezik primitív üggvéye! Igaz- 3 e hogy -ek is létezik primitív üggvéye? Mihai Piticari 47. Bizoyítsd be hogy ha az : üggvéyek létezik primitív üggvéye - akkor a g : g üggvéyek is létezik primitív üggvéye! Sori Rădulescu 48. Határozd meg az g és h: primitívvel redelkező üggvéyeket ha G + H g F + H h F + G. F G H redre az g h üggvéyek egy-egy primitívje! 49. Bizoyítsd be hogy egy szigorúa mooto : üggvéyek potosa akkor létezik primitív üggvéye ha o-ek létezik primitív üggvéye!
A primitív üggvéy létezése 5. Létezek-e olya : bijektív üggvéyek amelyekre o d? 5. Az : olytoos üggvéyre lim d M y y. Bizoyítsd be hogy a g: g ha M ha üggvéyek létezik primitív üggvéye! 5. Bizoyítsd be hogy ha az : [ + primitívvel redelkező üggvéyek -ba szakadási potja va akkor létezik olya a amelyre a g: [ + ha g a ha üggvéy Darbou tulajdoságú! 53. Bizoyítsd be hogy ha az : üggvéyek létezik primitív üggvéye és egy F primitívjére lim F akkor a g: l ha > g üggvéyek csak a eseté létezik primitív a ha üggvéye! 54. Vizsgáld meg az alábbi kijeletések igazságértékét: a páros és primitívvel redelkező üggvéy primitívje páratla; b páratla és primitívvel redelkező üggvéy primitívje páros. 55. Az a paraméter milye értékeire létezik az :[ ] si ha [ üggvéyek primitív üggvéye? a ha 56. Bizoyítsd be hogy az : cos ha l + + ha üggvéyek létezik primitív üggvéye! 57. Az : olya üggvéy amelyhez hozzáredelhető olya P [X] poliomiális üggvéy amelyre P -ak ics többszörös gyöke és az op üggvéyek létezik primitív üggvéye. Bizoyítsd be hogy -ek is létezik primitív üggvéye -! y
A primitív üggvéy létezése 3 58. Bizoyítsd be hogy ha az : üggvéy olytoosa deriválható és a g: üggvéyek létezik primitív üggvéye akkor az go üggvéyek is létezik primitív üggvéye! Mihai Piticari 59. Határozd meg azokat az számokat amelyekre az : cos + si ha üggvéyek létezik primitív ha üggvéye! 6. Bizoyítsd be hogy ha az : üggvéyek létezik primitív üggvéye akkor a g: g + üggvéyek is létezik primitív üggvéye! 6. Az : olytoosa deriválható üggvéy és a üggvéy értéke ullá kívül sehol sem ulla. Határozd meg az a paraméter ' si ha értékét úgy hogy a g: g a ha üggvéyek létezze primitív üggvéye! 6. Bizoyítsd be hogy az : -π π cos cos ha π π \ {} si üggvéyek potosa akkor a ha létezik primitív üggvéye ha a! + e ha 63. Határozd meg az : üggvéy l ha > primitívjeit! 64. Határozd meg az : ma üggvéy primitívjeit! 65. Határozd meg az : arcsi üggvéy primitívjeit! + 66. Az : [ π] üggvéy teljesíti az si π- cos egyelőséget [ π] eseté. Határozd meg az primitív üggvéyeit! 67. Az : [ ] [ e] üggvéy teljesíti az y e -ye y egyelőtleséget y [ ] eseté. Határozd meg az primitív üggvéyeit! 68. Bizoyítsd be hogy ha az : üggvéyek létezik olya F primitívje amelyre létezik a lim F határérték akkor -ek va legalább egy ipotja!
4 A primitív üggvéy létezése 69. Határozd meg az : [ + deriválható üggvéyt ha és yy Fy + y y [ + ahol F az egy primitívje! 7. Határozd meg az : si üggvéy primitívjeit! 7. a Bizoyítsd be hogy ha az : primitívvel redelkező üggvéy periodikus és T > egy periódusa akkor létezik olya a álladó amelyre F + T F a és az bármely F primitívje eseté! b Az előbbi eltételek mellett a g: a g F T üggvéy periodikus. 7. Határozd meg a c és c álladókat úgy hogy az g: + si ha e si ha g c ha c ha üggvéyekek létezze primitív üggvéye! 73. Bizoyítsd be hogy ha egy : üggvéyre a g: g si és h: h cos üggvéyekek létezik primitív üggvéye akkor -ek is létezik primitív üggvéye! 74. Bizoyítsd be hogy az : arctg ha > ha üggvéyek em létezik primitív üggvéye! 75. Bizoyítsd be hogy ha az : üggvéy teljesíti az egyelőtleséget bármely > eseté akkor -ek em létezik primitív üggvéye! 76. Létezik-e olya : primitívvel redelkező üggvéy amelyre a eseté ahol a > a rögzített valós szám? 77. Bizoyítsd be hogy ha az : [ ] [ ] üggvéyek létezik primitív üggvéye és valamely α eseté α akkor em ijektív! 78. Bizoyítsd be hogy az k : k + si ha k ha üggvéyek létezik primitív üggvéye bármely k eseté!
A primitív üggvéy létezése 5 79. Határozd meg az α paraméter értékét úgy hogy az : α cos ha üggvéyek létezze primitív üggvéye! ha 8. Határozd meg a c k k * sorozatot úgy hogy az k : k si ha k üggvéysorozat mide tagja redelkezze ck ha primitív üggvéyel! 3 l ha > 8. Bizoyítsd be hogy az : + ha üggvéyek ics primitívje! 8. Határozd meg az a paraméter értékét úgy hogy az : e si ha üggvéyek létezze primitívje! a ha 83. Határozd meg az a paraméter értékét úgy hogy az : e si ha üggvéyek létezze primitív üggvéye! a ha 84. Az : üggvéyek létezik olya F primitívje amelyre F lim. Határozd meg az a paraméter értékét úgy hogy a + ha g: g üggvéyek bármely eseté a ha létezze primitív üggvéye! a a cos 85. Bizoyítsd be hogy az : ha + ha üggvéyek létezik primitív üggvéye bármely * eseté. 86. Bizoyítsd be hogy az λ : -π π
6 A primitív üggvéy létezése cos si ha π π \ {} λ si λ ha üggvéyek potosa akkor létezik primitív üggvéye ha λ. 87. Az : üggvéy deriválható és korlátos -. Bizoyítsd be hogy si ' a g: ha g üggvéyek létezik primitív ha üggvéye! V. Ciubotaru 88. Bizoyítsd be hogy ha a P [X] poliom em redelkezik valós si ha gyökökkel akkor az : P üggvéyek ha létezik primitív üggvéye! 89. Az a b itervallum tetszőleges véges A részhalmaza eseté szerkesszél olya : [a b] üggvéyt amely redelkezik a következő tulajdoságokkal: a korlátos; b olytoos [a b] \ A- és mide A-beli pot szakadási potja; c -ek létezik primitív üggvéye [a b]-. l si ha 9. Bizoyítsd be hogy az : ha üggvéyek létezik primitív üggvéye! si ha > 3 9. Bizoyítsd be hogy az : ha si ha < üggvéyek létezik primitív üggvéye! 9. Az : üggvéy teljesíti a lim eltételt. Bizoyítsd be ' + l ha > hogy a g: g ha üggvéyek létezik ' l ha < primitív üggvéye!
A primitív üggvéy létezése 7 si ha 93. Bizoyítsd be hogy az : + ha üggvéyek létezik primitív üggvéye! 94. Az és g: olytoosa deriválható üggvéyek teljesítik a következő eltételeket: a lim ; b g és g ; c korlátos és g kétszer deriválható. ' ha Bizoyítsd be hogy a h a : h a g a ha üggvéyek potosa akkor létezik primitív üggvéye ha a! 95. Bizoyítsd be hogy ha az : üggvéy mide primitívje ha korlátos - akkor a g: g üggvéyek is ha létezik primitívje! 96. Bizoyítsd be hogy az : si ha + arctg ha üggvéyek létezik primitív üggvéye! L. Vlădescu si si ha 97. Bizoyítsd be hogy az : ha üggvéyek létezik primitív üggvéye! 98. Bizoyítsd be hogy az : + üggvéyek potosa akkor létezik primitív üggvéye ha a g h: + g a + 3 4 és h -a + 5 6 üggvéyekek létezik primitív üggvéye! 99. Adott természetes számra szerkesszél olya : üggvéyt amelyre az... üggvéyek em redelkezek primitív üggvéyel de az primitív üggvéye!... üggvéyek létezik