Yule és Galton-Watson folyamatok

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 1 / 36 Yule és ok Dr. Márkus László 2015. március 9.

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 2 / 36 A független stacionárius növekmény Poisson modell nem mindig megfelel. Például, ha egy populáció szaporodást kívánjuk modellezni, akkor a h id megváltozás alatt szület utódok számának eloszlása függ az éppen él egyedek számától is, és nem feltételezhet a növekmények független, stacionárius volta. Vizsgáljuk az úgynevezett tiszta születési folyamatok egy speciális esetét, a Yule-folyamatot. Ez is nemnegatív egész érték folyamat. Tiszta születési folyamatok esetén azt feltételezzük, hogy valamennyi él lény (egyed, részecske, stb.) a vizsgált id tartamban mindvégig életben marad: örökké él, így a folyamat állandóan növekszik. ( )

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 3 / 36 A Yule-folyamatra vonatkozó további feltevések: A 0 id pontban 1 (néha N) egyed él, amely(ek) véletlen id pontokban utódokat hoz(nak) létre. Az egyedek száma a folyamat értéke. ( ) Minden utód születése pillanatától kezdve az sanyával azonos törvényszer ség szerint és a többit l függetlenül további utódokat hoz létre s.í.t. ( ) Az egyes egyedekr l feltételezzük, hogy utódprodukciós képességük az id ben állandó, és arányos az id változással, amint az 0-hoz tart. Az arányossági tényez t β jelölje. Feltesszük, hogy - akárcsak a Poisson folyamat esetén - egyszerre csak egy utód születik számbavehet valószín séggel. Ekkor egy utód születési valószín sége az egész populációban a (t, t + k) id intervallumban ugyancsak h-val egy nagyságrendben tart 0-hoz. De ha k egyed él a t pillanatban, úgy az arányossági tényez k β

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 4 / 36 Vegyük észre, hogy az arányossági tényez így sem t-t l, sem pedig a k egyed élettörténetét l nem függ. Vagyis, ha ismerjük a folyamat állapotát a t id pontban - amit jelenként interpretálunk - úgy a t el tti (múltbeli) állapotok nincsenek hatással a folyamat további fejl désére, jöv jére. Ez a zikából ismert Huygens elv megfelel je, amit a folyamat Markov tulajdonságának nevezünk. Ez gyengébb a független növekmény ségnél.

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 5 / 36 Feltételeinket formalizálva kapjuk: 1 P (X(0) = 1) = 1, (vagy P (X(0) = N) = 1) 2 P (X(t + h) X(t) = 1 X(t) = k) = k β h + o(h) 3 P (X(t + h) X(t) = 0 X(t) = k) = 1 k β h + o(h) 4 P (X(t + h) X(t) 2 X(t) = k) = o(h) 5 Markov tulajdonság, amir l kés bb lesz szó. Megjegyzés: 2.+3. => 4. (triviális) Megjegyzés: A i = {az i-edik egyed utódot szül (t, t + h)-ban} P (A i ) = β h + o(h), P (A i1... A il ) = o(h) 4.-b l, hiszen akkor 2-nél több utód született ezért: P (utód(t, t + h)-ban) = P ( k A i ) = k β h + o(h). i=1 Tehát a 2. feltétel az egyedek homogenitásából következik.

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 6 / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika Yule folyamat Vezessük be a következ jelölést: P (X(t) = n) = p n (t). Határozzuk meg X(t) (az egyedszám) eloszlását, azaz p n (t)-t. p 1 (0) = 1, p n (0) = 0, n > 1, P (X(t + h) = n) = P ( n {X(t) = k és X(t + h) X(t) = n k} = k=1 = n P ({X(t) = k} {X(t + h) X(t) = n k}) = k=1 = n p k (t) P (X(t + h) X(t) = n k X(t) = k) = k=1 Csak 0 v. 1 egyed születése számít [t, t + h]-ban, a többi o(h)-vszg = n 2 k=1 p k (t) o(h) + p n 1 (t) [(n 1) β h + o(h)] + }{{} 1 új egyed +p n (t) [1 n β h + o(h)] }{{} 0 új egyed = p n (t)(1 n β h) + p n 1 (t) (n 1) β h + o(h). =

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 7 / 36 A kapott egyenlet: p n (t + h) p n (t) = p n (t) ( n β h) + p n 1 (t) (n 1) β h + o(h) h-val osztva és h 0 mellett a jobboldali deriváltra kapjuk, hogy p n (t) = β [(n 1) p n 1 (t) n p n (t)] t + h helyett t-vel és t helyett t h-val ugyanezt az egyenletet kapjuk a baloldali deriváltra is, tehát egy di.egyenletrendszert kaptunk, a t = 0 -ban kezdeti feltételekkel. Ez megoldható, és a megoldás: p n (t) = e βt (1 e βt ) n 1, azaz X(t) geometriai eloszlású p = e βt paraméterrel.

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 8 / 36 A paraméter id függése érdekes. Nyilván EX(t) = 1 p = eβt, tehát a populáció számossága exponenciális ütemben n várhatóan. Jelölje τ 1, τ 2,... az els, második, s.í.t. utód születésének id pontját. P (τ 1 t) = P (τ 1 > t) = P (X(t) = 1) = e βt, tehát P (τ 1 < t) = 1 e βt, vagyis τ 1 exp(β) eloszlású. P (τ k t) = P (τ k > t) = P (X(t) k) = = k P (X(t) = i) = k i=1 i=1 p q i 1 = p 1 qk 1 q = 1 qk Így: P (τ k < t) = q k = (1 e βt ) k.

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 9 / 36 Be lehet bizonyítani, hogy noha a folyamat nem független növekmény, a τ k τ k 1 val.változók függetlenek, és k β paraméter, exponenciális eloszlásúak. (Így a fenti eredmény egy konvolúciós probléma megoldását is adja, speciálisan változó paraméter exponenciálisak összegére.) X(t) eloszlását megadtuk, de ez még semmit nem mond a különböz id pontbeli állapotok közötti összefüggésr l. Márpedig a folyamat ett l folyamat, és nem véletlen számok rendszertelen "összefüggéstelen" halmaza. Ezért szükség van az együttes eloszlások megadására is.

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 10 / 36 Els lépésként nézzük a feltételes eloszlásokat: P (X(t) = n X(s) = k), s < t, k n. A modellre vonatkozó ( ) feltétel szerint e valószín ség ugyanannyi, mint a 0-ból k egyeddel indított X (k) Yule-folyamat esetén a P (X (k) (t s) = n) valószín ség. Mivel ( ) szerint az egyes egyedek egymástól függetlenül hoznak létre utódokat, X (k) eloszlása megegyezik k db független (1-b l indított) Yulefolyamat összegének eloszlásával: X (k) (t) X 1 (t) +... + X k (t).

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 11 / 36 Ebb l a fentiek szerint, tudva, hogy független, azonos paraméter geometriaiak összege negatív binomiális eloszlású, egyb l adódnak az átmenetvalószín ségek: s < t, 1 k n, P (X(t) = n X(s) = k) = ( n 1 n k) e kβ(t s) (1 e β(t s) ) n k. Def.: Mint e formula is mutatja, a feltétel következményeként az átmenetvalószín ségek nem függenek t-t l és s-t l, csupán t és s különbségét l, vagyis folyamatunk stacionárius átmenetvalószín ség. 6 P (X(t) = n X(s) = k) = p n,k (t s)

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 12 / 36 X (k) (t) eloszlásának meghatározásához vizsgálhatjuk az 1-b l indított Yule-folymat generátorfüggvényét is: G(t, z) = G t (z) = p i (t) z i = P (X(t) = i) z i = Ez X(t) i=1 i=1 Ebb l rögtön látszik, hogy független változók összegének generátorfüggvénye a generátorfüggvények szorzata: Ez X 1(t)+...+X n(t) = Ez X 1(t)... Ez Xn(t) A p paraméter geometriai eloszlás generátorfüggvénye: P (X(t) = i) z i = p q i 1 z i = i=1 i=1 px 1 qx

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 13 / 36 Az el z két észrevétel alapján X (k) (t) generátorfüggvénye: ( px ) k 1 qx

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 14 / 36 Kérdés, hogy meghatározott-e az 1-6. feltételek által a Yule-folyamat eloszlása, azaz a végesdimenziós együttes eloszlások. A kétdimenziós eloszlások már 1-4. és 6.-ból meghatározottak, hiszen 1-4.-b l levezettük p n (t)-t és 6.-ból: p n,k (t, s) = p n,k (t s). Így s < t, k n mellett P (X(t) = n X(s) = k) = P (X(t) = n X(s) = k)p (X(s) = k) = = p n,k (t, s) p k (s), vagyis meghatározott.

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 15 / 36 Nézzük most a háromdimenziós eloszlásokat: t 1 < t 2 < t 3, m k n-re: P (X(t 1 ) = m, X(t 2 ) = k, X(t 3 ) = n) = = P (X(t 3 ) = n X(t 2 ) = k, X(t 1 ) = m) P (X(t 2 ) = k, X(t 1 ) = m) Itt a fentiek szerint a legutolsó tagot ismételjük. A feltételes valószín ségben t 3 -at jöv ként, t 2 -t jelenként, t 1 -et múltként interpretálva az 5.-ként megfogalmazott Markov tulajdonság szerint a múltbeli állapot ismerete nem jelenthet plusz információt a jöv re nézve, ha ismerjük a jelent, vagyis a P (X(t 3 ) = n X(t 2 ) = k, X(t 1 ) = m) feltételes valószín ségnek meg kell egyeznie a P (X(t 3 ) = n X(t 2 ) = k) feltételes valószín séggel, amely viszont ismert. Így a háromdimenziós eloszlás is megadható. Ugyanez a meggondolás magasabb dimenziókban is m ködik.

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 16 / 36 A fentiekkel egyetértésben most már megadhatjuk a Markov-tulajdonság formális denícióját is. Def.: Egy (egész érték ) folyamatot Markov-folyamatnak (Markov-láncnak) nevezünk, ha n N és t 1 < t 2 <... < t n -re: Ezzel ekvivalens: P (X(t n ) = k n X(t n 1 ) = k n 1,..., X(t 1 ) = k 1 ) = = P (X(t n ) = k n X(t n 1 ) = k n 1 ). E (f(x(t n )) X(t n 1 ),..., X(t 1 )) = E (f(x(t n )) X(t n 1 )) f korl. folytonos függvényre: A jöv r l adott információ mind benne van a jelen állapotban.

Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 17 / 36 E deníció alapján a háromdimenziós eloszláshoz hasonlóan indukcióval láthatjuk, hogy a Yule-folyamat összes véges dimenziós eloszlása meghatározott. Összefoglalva: A Yule-folyamat olyan stacionárius átmenetvalószín ség Markov-lánc, amelyre az 1.-4. feltételek teljesülnek.

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 18 / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika Egy populáció generációnkénti egyedszáma Nézzünk most egy másik példát stacionárius átmenetvalószín ség Markov-láncra: Vizsgáljuk ismét egy egyed utódait egy populációban, de most már az egyedek véges élethosszát is vegyük gyelembe. Egy egyedb l indul a folyamat, ez az s, a 0. generáció. Minden egyes egyed a következ generációra vagy elpusztul, vagy tovább él és esetleg utódokat is hoz létre. Az egyes egyedek utódainak számai független azonos eloszlású valószín ségi változók. A folyamatot generációnként vizsgáljuk, tehát az id most a természetes számokon fut végig, a folyamat diszkrét idej.

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 19 / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A Az s közvetlen utódai adják az els generációt, ezek közvetlen utódai a második generációt stb. Mivel a folyamat matematikája szempotjából mellékes, ezért ha az egyed életben marad a következ generációban is, akkor t magát is önmaga egyik utódjának tekintjük. Így az utódok száma 0, 1, 2,... lehet és egy adott generációra az utódok számát összegezve épp a következ generáció egyedszámát kapjuk. A generációnkénti egyedszámok így kapott folyamata az u.n., amely az u.n születési-halálozási folyamatok egy speciális esete.

Az egyedszámok Legyenek X 0,1 X 1,1, X 1,2,... X 2,1, X 2,2,.... X n,1, X n,2,..., X n,k,... független, azonos eloszlású, nemnegatív egész érték valváltozók, u.n. szériák. X n,k jelentse a fenti modelleírás szerint az n-ik generáció k-ik egyede által létrehozott utódok számát. Ekkor a mondottak szerint az n-ik generációban él egyedek Z n számára: Z 0 = 1, Z 1 = X 0,1 Z 2 = X 1,1 +... + X 1,Z1. Z n = X n,1 +... + X n,zn 1 Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 20 / 36

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 21 / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A Markov tulajdonság Állítás Z n diszkrét idej stacionárius átmenetvalószín ség Markov lánc. Bizonyítás. Markov lánc: El ször az egylépéses feltételes valószín séget nézzük: P (Z n = k Z n 1 = m) = P (X n 1,1 +... + X n 1,m = k), azaz P (az m tagú n 1-ik generáció utódainak száma k) A jobboldalon az összeadandók független, azonos, adott eloszlású valválozók. Tehát ezáltal az összeg eloszlása is adott. Ha a baloldalon még további múltbéli valváltozókat is hozzáveszünk a feltételhez, az a jobb oldalon semmit nem változtat. (Ha már tudjuk, hogy m elem az n 1-ik generáció, akkor mindegy mi volt korábban.)

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 22 / 36 Bizonyítás. Stacionárius átmenetvalószín ség: A többlépéses feltételes valószín ség esete hasonló: P (Z n = k Z n l = m) {Z n l = m}-b l a fentiek szerint adódik Z n l + 1 feltételes eloszlása, ennek ismeretében a véletlen tagszámú összeggel Z n l+2 eloszlása is s í. t. További múltbéli valváltozók hozzávétele a feltételhez nem változtat semmit valóban Markov tulajdonságú a folyamat. Ráadásul a fenti feltételes eloszlás csak a lépésszámtól, tehát az n, n l különbségt l: l-t l függ stacionárius az átmenetvszg.

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 23 / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A folyamat generátorfüggvénye A továbbiakban a faj kihalásának valószín ségét szeretnénk meghatározni. Ehhez el ször tekintsük a folyamat generátorfüggvényét. Legyen G n (z) a Z n val. változó generátorfüggvénye: Állítás G n (z) = G n (Z) = G 1 G 1... G 1 (z) }{{} n-szeres függvényösszetétel P (Z n = k) z k k=0 Bizonyítás. Indukcióval: n = 1-re igaz. Tegyük fel, hogy n 1-re igaz és lássuk be n-re.

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 24 / 36 G n (Z) = G n 1 G 1 (z) = G n 1 (G(z)) = P (Z n 1 = m) G(z) m m=0 A teljes valószín ség tétele szerint P (Z n = k) = P (Z n = k Z n 1 = m) P (Z }{{} n 1 = m) m=1 P (X n 1,1 +...+X n 1,m =k)

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 25 / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika Az egyedszám várható értéke és szórása Állítás Ha µ az utódok számának várható értéke, σ pedig a szórása: EX i,j = µ, D 2 X i,j = σ 2, akkor a) E(Z n ) = µ n { n σ b) D 2 2,ha µ = 1 (Z n ) = σ 2 µ n 1 µn 1 µ 1,ha µ 1

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 26 / 36 Bizonyítás. a) E(Z n )= G n(1) = (G 1 G n 1 ) (1) = = G 1 (G n 1(1)) G n 1 (1) = G 1 (1) G n 1 (1) = = µ µ n 1 = µ n Ahol felhasználtuk, hogy egy generátorfüggvény az 1 helyen G(1) = pk = 1 és így pl. G n 1 (1) = 1, továbbá, hogy indukciós bizonyítással G n 1 (1) = E(Z n 1) = µ n 1 feltehet.(n = 1-re igaz.) Generátorfüggvénye csak nemnegatív egész érték valváltozónak van. A P (X = k) = p k jelölés mellett azonosságok a generátorfüggvényre: G(0) = p 0, G (0) = p 1 G(1) = p k = 1 G (1) = k p k = EX G (1) = k(k 1) p k = k 2 p k k p k = EX 2 EX = D 2 X + (EX) 2 EX

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 27 / 36 Bizonyítás folytatása. Mivel G(1) = 1 és G (1) = µ, továbbá f(g(x)) +f (g(x))g (x), így G n(1) = (G n 1 G) (1) = G n 1 (1) µ2 + G n 1 (1) G (1) = mivel G n 1 (1) = E(Z n 1) = µ n 1 az indukciós feltevésb l: = µ 2 G n 1 (1) + µn 1 G 1 (1) = -ból: G 1 (1) = D2 (Z 1 ) G 1 (1) + (G 1 (1))2 = σ 2 µ + µ 2 G n 1 (1) = D2 (Z n 1 ) µ n 1 + µ 2(n 1) [ 2 = f (g(x)) g (x)] +, ezért = µ 2 (D 2 (Z n 1 ) µ n 1 + µ 2(n 1) ) + µ n 1 (σ 2 µ + µ 2 ) = µ 2 D 2 (Z n 1 ) + µ n 1 σ 2 + µ 2n µ n. Helyetesítsük ezt -ba: D 2 (Z n ) = µ 2 D 2 (Z n 1 ) + µ n 1 σ 2 Ez a rekurzió indukcióval adja a b) bizonyítását hiszen n = 1-re b) igaz

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 28 / 36 Bizonyítás folytatása. ha µ = 1 és D 2 Z n 1 = (n 1)σ 2 akkor D 2 (Z n ) = 1 (n 1) σ 2 + 1 σ 2 = n σ 2 ha µ 1 és D 2 Z n 1 = σ 2 µ n 2 µn 1 1 n 1 így D 2 (Z n ) = σ 2 µ n µn 1 1 µ 1 + σ 2 µ n 1 µ = {}}{{}}{ = σ 2 µ n ( µ n 2 + µ n 1 + + µ + 1 + 1 µ ) = = σ 2 µ n 1 µn 1 µ 1

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 29 / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A kihalás valószín sége Jelölje r a kihalás valószín ségét: r = P (a folyamat kihal) = P ({ω n : Z n (ω) = 0}) Megj.: Nyilván, ha Z n (ω) = 0, akkor Z n+k (ω) = 0 k N Ezért A n = {ω Z n (ω) = 0} növekv eseményrendszer: A n+1 A n {ω n : Z n ω = 0} = A n, így r = P ( A n ) = lim P (A n). n=1 1 n n. Állítás Ha µ = EX i,j 1 akkor r = 1 vagyis a folyamat 1 vszggel kihal. Ha µ > 1 akkor r < 1 és r az r = G 1 (r) egyenlet egyetlen gyöke a 0 r < 1 intervallumban.

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 30 / 36 Bizonyítás. G 1 tulajdonságai 0, 1-ben: monoton növekv - mert nemnegatív együtthatós hatványsor (polinom) konvex - mivel vagy nemnegatív együtthatós polinom, limesze. G 1 (1) = 1 G 1 (0) = p 1,0 > 0 G 1 (1) = µ vagy ilyen

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 31 / 36 Ha µ 1 akkor G 1 : Ha µ 1 akkor G 1 : p 1,0 = P (A 1 ) = G 1 (0) p 2,0 = P (A 2 ) = G 2 (0) = G 1 (G 1 (0)) = G 1 (p 1,0 )

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 32 / 36 Bizonyítás folytatása. p n,0 = P (A n ) = G n (0) = G 1 (G n 1 (0)) = G 1 (p n 1,0 ) r tehát a G 1 (G n 1 (0)) = G n (0) iteráció xpontja vagyis a G 1 (r) = r egyenlet megoldása. G 1 tulajdonsága miatt ez a megoldás µ 1 esetén r = 1 míg µ > 1 esetén r (0, 1).

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 33 / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A kihalás gyorsasága A kihalás gyorsasága - konvergenciasebesség a µ 1 esetben: Állítás Ha µ < 1 úgy 1 p n,0 µ n Ha µ = 1 úgy 1 p n,0 2 n σ 2 Bizonyítás. µ < 1 : G 1 konvex, ezért 1-beli érint je felett van, így húrjainak meredeksége (0, 1)-ben kisebb, mint az 1-beli érint meredeksége, ami µ: z < 1 : G 1(z) G 1 (1) z 1 µ. Mivel G 1 (1) = 1 és z 1 < 0 így G 1 (z) 1 + µ(z 1) = H(z)

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 34 / 36 Bizonyítás folytatása. Legyen r 1 = H(0) = 1 µ és r n = H(r n 1 ). Ekkor P 1,0 r 1 és indukcióval, ha r n p n,0, 1 p 1,0 = P (X 1,1 1) EX 1,1 = µ p 1,0 1 µ = r 1 r n+1 = H(r n ) H(p n,0 ) G(p n,0 ) = p n+1,0 azaz r n+1 p n+1,0 másfel l r 1 = 1 µ, r 2 = 1 µ 2, indukcióval r n+1 = 1 + µ(1 µ n 1) = 1 µ n+1, tehát 1 µ n+1 p n+1,0. Az állítás másik felét nem bizonyítjuk.

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 35 / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A kihalás ideje Legyen N a kihalás ideje: N val.változó. Állítás Ha µ < 1 akkor EN <, Ha µ = 1 akkor EN = N(ω) = inf{n 1 : Z n (ω) = 0}

Dr. Márkus László Yule és ok 2015. március 9. 36 / 36 Bizonyítás. {N = n} = {ω : Z n (ω) = 0, Z n 1 (ω) 0} = A n \A n 1, így P (N = n) = p n,0 p n 1,0 Ha µ < 1 az el z áll. szerint p m,0 1 µ n, p n 1,0 1 µ n 1 Így a kett különbsége: p n,0 p n 1,0 = (1 p n 1,0 ) (1 p n,0 ) (1 p n 1,0 ) (1 p n,0 ) 1 p n 1,0 + 1 p n,0 µ n 1 + µ n p n,0 p n 1,0 < µ n + µ n 1 és így EN < n (µ n + µ n 1 ) < n=1 Ha µ = 1 (némileg pontatlanul) p n,0 p n 1,0 2 EN = n=1 σ 2 ( ) 1 n 1 n 1 ( ) 2 n 1 σ 2 n 1 n 1 = 2 1 σ n=1 2 n 1 =.