7. Htározott intgrál 7.. Számolj ki z lái intgrálokt! 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7..7. d 7... d 7..9. d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7..7. d 7... d 7..9. d 7... d 7... d 7... d 7.. Számíts ki kövtkz ponnciális intgrálokt! 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7..7. d 7... d 7..9. d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d
7... d 7... d 7.. Alklmzz hlyttsítéss intgrálás szályát! 7... d 7... d 7... d 7... d 7... d 7... 7..7. 7..9. d 7 d 7... 7... 7... d 7... 7... d 7... 7... d 7... d d d d d 7..7. d 7... 7... 7... 7.. Alklmzz prciális intgrálás szályát! d 7... d 7... 7..7. 7..9. d d d 7... ln d 7... 7... 7... 7... d d d d d 7... ln 7... d 7... ln d ln d 7... ln d ln d 7... ln d d
ln 7..7. d 7..9. 7... ln log 7... d 7... d 7... ln ln d d log d 7... log d 7... log d 7.. Alklmzz hlyttsítéss intgrálás spciális stit! 7... d 7... 7... d 7... 7... d 7... 7..7. ln d 7... 7..9. 7... ln d d 7... 7... 7... d 7... 7... d 7..7. 7..9. d d ln d d d ln d d 7... 7... ln log d d d d 7... d log 7.. Htározz mg z tngly és függvény grfikonj közötti síkrész trültét mgdott intrvllumon! 7... 7... 7... f 7..7. 7..9. f f, 7..., 7... f f, 7..., 7... ln, 7... f, f, f, f, f ln,
7... 7... f 7... f 7..7. f f, 7 7... f,, 7... f,, 7... f,, 7... f, 7.7. Számíts ki mgdott két függvény grfikonj közötti síkrész trültét! 7.7.. f, g 7.7.., 7.7.. f, g 7.7.., 7.7.. f, g 7.7.. f, g 7.7.7. f, g 7.7.., 7.7.9. f, g 7.7.., 7.7.. f, g 7.7.., 7.7.. f, g 7.7.., f g f g f g f g f g 7.7.. f, g 7.7.. f, g 7.7.7. Htározz mg z f áltl htárolt síkrész trültét!, g 7.7.. Htározz mg z f()= -, g, h htárolt síkrész trültét! 7.7.9. Htározz mg z f g f g függvényk grfikonji és z tngly, h függvényk grfikonji áltl, függvényk ls síkngyd s grfikonji áltl htárolt síkrész trültét! 7.7.. Htározz mg z f grfikonj, vlmint zn grfikon szcisszájú pontjá húzott érintj, és z y tngly áltl htárolt síkrész trültét. 7.7.. Htározz mg z f függvény, nnk z szcisszájú pontjá húzott éritj és z y tngly áltl mghtározott síkrész trültét. 7... 7... 7... 7.. Számíts ki kövtkz improprius intgrálokt! d 7... d 7... d d d 7... d
7..7. 7..9. d 7... 7... 7 7... 7... 7..7. d d 7... d ln 7... d ln d d d 7... 7... 7..9. d 7... 7... 7... 7... d ln 7..7. 7..9. d d d d 7... ( ) 7... 7... 7... d 7... d ln 7... 7.9. Számíts ki z improprius intgrálokt! d d d d 9 d ( ) 7 d d d 7.9.. 7.9.. 7.9.. 7.9.7. 7.9.9. d d d d d 7.9.. d 7.9.. d 7.9.. d 7.9.. 7.9.. d 7.9.. 7.9.. d d d. 7.9.. ln 7.9.. ln d d 7
7.. Htározz mg trmli és fogysztói töltt, h dott krsltfüggvény és kínáltfüggvény! 7... Dq q, Sq q 7... Dq.q, Sq. q 7... Dq.q, Sq.q 7... Dq q, Sq.q.q.q 7... Dq, Sq 7... Dq. q, Sq. q 7..7. Dq.q, Sq q 7... Dq. q, Sq. q 7.. Htározz mg mgdott fügvényk intgrálközpét z dott intrvllumon! 7... f 7..., f, ln 7... f 7..., f, 7... f, [;] 7... 7..7. f ln, 7... f() = 7..9. 7... f f,, 7... f() = f, 7... 7... f, ln 7... f, f, f, f, 7 Htározott intgrál fldtok mgoldási 7.. 7... d 7... 7... 7... 9 7... 7... 7. 7 7..7. 7 7... 777 7..9. ln 7... ln 7... 7... 7... 7... 7... ln 7... 7..7.. 7... 799 7..9. 7... 9 9 7... ln 7... 7.. 7... 7... 7... 7... ln ln ln ln ln ln ln ln
7... ln ln ln ln ln ln ln ln ln 9 7... 7..7. 9 ln ln ln ln ln ln ln 7... 7..9. 7... 7... ln 7 ln 7... 7... 7... ln ln ln 77 7 7... 7... 7 ln ln ln ln 7.. u u 7... 7... du d u du ln ln, u u 7... u 7... 7... 7... 7..7. 9 7 u u 9 7... 7..9. u 9 du u ln u ln d du u 9 u, u 9 7... 7... 9 ln 7... ln 9 7 7... ln 7... ln 7... 9 9 7... 7..7. 7... 7 9 7.. 7... 7... ln ln 7... 7... ln ln ln 9 7... 7... ln ln ln 7..7. 9 9 9 ln ln ln 9 7... 7..9. 7... ln 7... 7... ln 7... ln 7... 9 9 9 9
7... ln 7... ln ln 77 7..7. ln ln 7... ln 7..9. ln ln 7... ln ln ln 7... 7... 7.. ln ln 7... 7 ln 7 7 7... 7... 7... 9 7... 7..7. ln 7..9. 7... ln ln 7... 7..7. ln ln 7... log ln 7... 7... 7... ln 7... ln. 7... 7... ln 7..9. 9 ln 7 7... 7... 9 ln 7... 7 ln ln ln ln 7... ln ln ln
7.. 7... 7... 7... 9 7... 7... ln 7.... 7..7. 7... 7..9. 7... -ln 7... 7... ln 7... 9 7... 7... 7.... ln ln 7..7. 7... ln 7.7. T d d 7.7.. T d 7.7.. 7.7.. T d 7.7.. 7.7.. T= T d d T 9 d 7.7.7. 7.7.9. T d 7.7.. T d 7.7.. T d d 7.7.. T d 7.7.. T d 7.7.. T d 7.7.. T d 7 7.7.. T d d d 7.7.. T d ln 7.7.. T d ln. 7.7.7. T d d.. 7.7.. T d d 7.7.9. T d ln 7.7.. T d 7.7... T d
7.. 7... d d lim lim lim 7... 7... 7... 7... 7... -. 7..7.. 7... 7..9. ln 9 7... (Nm konvrgns) 7... d lim d lim d ln ln ln lim lim ln ln ln ln ln ln ln ln ln 7... 7... 7... 7... (Nm konvrgns) 7... (Nm konvrgns) 7..7. 7... - 7..9. 7... u, u d lim d u u, lim lim 7 u du u du 7... 7... 7..7. 7... 7.9. d du 7... (Nm konvrgns) 7... u 7 u ln 7... (Nm konvrgns) 7... (Nm konvrgns) 7..9. 7... 7.9.. d lim d lim lim 7.9.. Nm konvrgns 7.9.. d lim d lim lim 7.9.. 7.9.7. 7.9.. 7.9.. Nm konvrgns d lim d lim d lim lim lim lim 7.9.. Nm konvrgns 7.9.9. 7.9.. 7.9.. Nm konvrgns 7.9.. ln 7.9.. 7.9.. - du
7.. 7... q qq, p, Fogysztói tölt (T. T.): q qdq q q Trmli tölt (F. T.): qdq q 7... q, p, F. T.:, T. T.: 7... q p F T T T,,..:,..: 7... q, p, F. T.:, T. T.: 7 7... q, p 7, F. T.:, T. T.: ln ln 7... q p F T T T,,..:,..: 7..7. q, p, F. T.:, T. T.: 7... q 9, p 9, F. T.:, T. T.: 7.. 7... M d 7... 7... ln 7... 7... 7... ln 7..7. 7... 7..9. - ln 7 ln 7... 7... ln 7... 7... 7... 7 ln 7 Htározott intgrálr vontkozó összfüggésk. Nwton-Liniz formul fd F F F, h F f mindn. Mvlti szályok.. cfd = c f d.. f g d= fd + gd ; r.
.. f g d= fd - f.. g d gd = fg - u fg d.. fg g d= fudu, hol g szigorún monoton diffrnciálhtó függvény u és u g, u g...7.. n n f f fd n f f d f ln.. fd.9. fd.. fd fd, h f pártln... fd. Trültszámítás.. A folytonos fd, h f páros., h n. f grfikonj és z tngly közötti síkrész trült z ; fd h f, intrvllumon T fd. fd h f,.. Az f() és g függvényk grfikonji áltl htárolt síkrész trült fgd h fg, T fgd. fgd h fg, Mgjgyzés: Trültszámításnál, h f(), illtv f()-g() ljlt váltnk z ; intrvllum lsjén, kkor z ; intrvllumot fl kll ontni olyn részintrvllumokr mlykn állndó ljl z f(), illtv f()-g(). Az osztópontok z f(), illtv f()-g() föggvényk ; intrvllum s zérushlyi lsznk.. Intgrálközép ; -n,
Az f() függvény intgrálközp z [ ; ] intrvllumon M fd.. Improprius intgrál.. Nm végs intrvllumon korlátos f() függvény stén.... fd lim fd lim F lim FF,... f d lim f d lim F lim F F,... f d f d lim F T limf lim FT lim. T T T T.. Végs intrvllumon nm korlátos f() függvény stén.... H f -n nm korlátos, kkor fd lim fd lim F lim F F... H f -n nm korlátos, kkor fd lim fd lim F lim F F... H f c-n nm korlátos és < c <, kkor c. c fd lim fd lim fd lim F lim F. Trmli tölt c c H q pici gynsúlyi mnnyiség, és p z gynsúlyi ár, zz Dq Sq p trmli tölt: T.T. = q p S 7. Fogysztói tölt q dq H q pici gynsúlyi mnnyiség, és p z gynsúlyi ár, zz Dq Sq p fogysztói tölt: F.T. = q D q p dq, kkor, kkor