A racoáls és a av várkozások stabltásáak összehasolítása 689 Közgazaság Szemle, XLVI évf, 1999 júlus augusztus (689 7 o SIMONOVITS ANDRÁS A racoáls és a av várakozások stabltásáak összehasolítása A moer közgazaságtaba a racoáls várakozások feltevése egyre kább háttérbe szorítja a av (vagy aaptív várakozásokét Gramot [1998] egy vszoylag egyszerû moell segítségével megmutatta, hogy az állaósult állapot lokáls stabltása szempotjából a av várakozások általába jobbak, mt a racoáls várakozások Elõször általáosítjuk az alapmoellt, és ezzel általáosítjuk Gramot ereméyet Maj egy kokrét moellt vzsgáluk, az együttélõ emzeékekét, amely em potosa lleszkek az alapmoellhez, azoba a kvaltatív ereméyek hasolók* A várakozások akkor játszaak szerepet a közgazaságtaba, ha a vzsgált reszer jeleleg állapota emcsak a korább állapotoktól, haem a jövõbel állapotokra voatkozó elõrejelzésektõl s függ A közgazászok elõször statkus és av (vagy általáosabba: aaptív várakozásokat taulmáyoztak, ahol a jeleleg állapotra voatkozó elõrejelzés azoos az elõzõ õszak állapottal Ilye a sertéscklus híres pókhálómoellje (Ezekel [1938] Ezekbe a moellekbe egy ylvávaló ehézség jeletkezk: av várakozások eseté a szereplõk folyamatosa ugyaazt a trváls elõrejelzés hbát követk el Ettõl a reelleességtõl Muth [1961] úgy próbált megszabaul, hogy bevezette a racoáls várakozásokat, ahol az elõrejelzés me reelkezésre álló formácót tökéletese felhaszál (A etermsztkus reszerek vlágába gyakrabba beszélük tökéletes elõrelátásról, mt racoáls várakozásról Ismert a semlegesebb moellkozstes várakozások szakszó s Mazoáltal m a racoáls várakozások kfejezést alkalmazzuk, mert ez a párja a av várakozásokak Maapság az óvatú aaptív várakozások fokozatosa teret veszteek, és a közgazászok zöme azt goolja, hogy a em racoáls várakozások a tuomáy szemétombjára kerültek Kevésbé smert azoba, hogy a racoáls várakozásokkal s sok baj va Talá Srausk [1967] volt az elsõ, ak Tob [1965] moelljét elemezve, felfeezte a racoáls várakozásokál fellépõ yeregpot-stabltást Sarget Wallace [1973] elutasította Srausk értelmezését, és a kezet feltételeket mesterségese korlátozva, vsszayerte a stabltást (Fgyelemre méltó, hogy Muth [1962] publkálatla írása már felvetette e kérést Hogya vtatkozhat bárk s azo, hogy melyek a kezet feltételek? A racoáls várakozásokál ez azért lehetséges, mert kétféle kezet állapot va: korább állapotok és * A jele ckkhez kapcsolóó kutatást az OTKA T 29315 támogatása tette lehetõvé Kfejezem hálámat Joh Muthak, ak egy 1987-es beszélgetést követõe elkülte ekem egy 1962-be írt publkálatla írását Ugyacsak hálás vagyok Molár Györgyek egy roko kutatásba való részvételéért, amelyek ereméyet Molár Smoovts [1996]-ba közöltük, valamt az 1 tétel sugalmazásáért Smoovts Arás az MTA Közgazaság Kutatóközpotjáak tuomáyos taácsaója
69 Smoovts Arás jövõbel várakozások Later [1981]-et követve az elõbbeket törtéet kezet állapotokak, az utóbbakat em törtéet kezet állapotokak evezzük Az elõbbek aottak, az utóbbak em Így ay stabl ráy tütethetõ el, amey meghatározatla kezet állapot, azaz jövõbel várakozás létezk, ha ez utóbbakat megfelelõe specfkáljuk Ha az stabl sajátértékek (ráyok száma em agyobb, mt a em törtéet kezet állapotoké, akkor me stabl ráy eltütethetõ, vszot meghatározatlaok marahatak egyes várakozások Abba az esetbe, ha az stabl sajátértékek (ráyok száma em ksebb, mt a em törtéet kezet állapotoké, a stabltás törekvések me várakozást meghatározak, e marahatak stabl ráyok Egyelõség eseté me jövõbel várakozás meghatározható, és a pályák lokálsa stablak (Egy másk mószer a meghatározottság bztosításához: bzoyos végállapotok kkötése Paraox móo tehát a racoáls várakozások híveél a yeregpot-stabltás hátráyból elõyé változk (Blachar Fscher [1989] 5 fejezet Nem szaba azoba megfelekez a számítás ehézségekrõl, amelyek az stabl megolások, az ú buborékok eltávolításakor jeletkezek Az 1 pélába lát fogjuk, hogy a kezet állapotok mesterséges korlátozása azt kívája, hogy a a síkbel reszer mkét sajátértéke legye valós, b az egyk sajátérték legye, a másk e legye a ( 1,1 tervallumba és c a koorátor smerje a mások sajátértéket, hogy a kezet állapotot megfelelõe beállíthassa Egyk követelméy sem jeletéktele! Ezért a továbbakba a stabltást az ereet értelembe fogjuk elemez, és csak éha utaluk a korlátozott stabltásra Ráébreve a racoáls várakozásokkal kapcsolatos (fõkét formácós ehézségekre, számos közgazász megkísérelte a fogalom móosítását Pélául Bray [1982] a leárs sztochasztkus moellek racoáls várakozásat mt egy racoáls taulás folyamatot írta le, amely a moell paramétereek megsmerésére ráyul Dolgozatom egy másk, Fuchs [1979]-tõl Gramot [1998]-g ívelõ ráyzathoz kapcsolók Az aaptív taulásak evezett ráyzat em leárs etermsztkus reszereket vzsgál A legáltaláosabb keretbe Gramot Laroque [199] elemezett egy absztrakt õleges egyesúly moellt, amelybe a véges mezós vektorral leírt jeleleg állapot m múltbel állapottól és jövõbel várakozástól függ A szerzõk föltették, hogy ez utóbb állapotok a múltbel állapotok függvéye, azaz taulás megy végbe Fõ ereméyük: azoosítható a körülméyekek egy vszoylag agy halmaza, amelyél ha a stacoárus állapot stabl a taulásál, akkor stabl a tökéletes elõrelátásál Ebbe a olgozatba elõször egy egyszerûsített, úgyevezett absztrakt moellt vzsgáluk, skalárváltozókkal helyettesítve a vektorváltozókat és elhagyva a taulás függvéyeket Mazoáltal megtartjuk Gramot Laroque [199] összetett késleltetés és várakozás sémáját Valóba, számos kokrét moell smeretes, amelybe a jeleleg állapotot egy sor jövõbel várakozás befolyásol: az életcklus és az együttélõ korosztályok (Overlappg Geeratos, rövítve: OLG moelljébe a jövõbel kamatláb-várakozások sorozatától függ a jeleleg kamatláb (Auerbach Kotlkoff [1987] Bevezetjük a vegyes várakozások fogalmát, ahol egy em egatív egész szám, és az elsõ várakozás racoáls, a maraék várakozás peg av, potosabba azoos a legfrssebb racoáls várakozással (Molár Smoovts [1996] -várakozásokak evezte ezt a típust E fogalom segítségével együtt tárgyalhatjuk a racoáls és a av várakozásokat A stabltás/stabltás kérését az 1 ábra szemléltet, ahol és 1 mutatja a múltbel és a jeleleg hatás relatív erejét a jövõbel hatáshoz képest A prototípus mellett korábba már számos kokrét moellt elemeztek Lovell [1962] és Smoovts [1983] a készletszabályozás várakozás moellbe kapott a Gramot Laroque-hoz hasoló ereméyet Roko tapasztalatokról számoltuk be Molár Smoovts [1996] ckkükbe az együttélõ emzeékek és korosztályok voatkozásába Ugyaakkor a Lovell [1962] moellt általáosító és móosító Smoovts [1979a,
A racoáls és a av várkozások stabltásáak összehasolítása 691 1979b] moellel mõségleg elletétes ereméyeket kaptam: a racoáls várakozások stablabbak, mt a av várakozások E olgozatba csupá egyetle egy kokrét moellt elemzek: az együttélõ emzeékek moelljét Bár Gale [1974], Kehoe Leve [1985], Smoovts [1994], [1995] és Molár Smoovts [1996] már foglalkozott e kéréssel, most egyszerûbb és általáosabb tételekkel szolgálhatok A bevezetés végére érve a következõ kérés vetõk föl: mtõl függ, hogy a racoaltás segít vagy gátolja a stabltást A ma apg cs olya szupermoellük, amelyek segítségével válaszolhaták a kérésre A prototípus- és a kokrét moellek taulmáyozása azoba közelebb vsz a kérés megolásához Erre vállalkozk e ckk Két sajátosságra hívom föl a ckk olvasóak a fgyelmét 1 Az általáos moell em optmalzáláso alapul, ezért soka elsõ kézbõl elutasítják Azt hszem, hogy az optmalzálás háya kább eréy, mt háyosság, hsze ez a megközelítés agyobb általáosságot jelet (lás Kora [1971] és Gramot [1998] 2 Kzárólag lokáls stabltást vzsgáluk, azaz léyegébe a leárs (vagy learzált moellek vlágába marauk A moer tuomáy egyk agy felfeezése, hogy ez agyo specáls vlág, amelybõl szükségképpe kmaraak a káoszelmélet ereméyek, melyeket tt távrat stílusba fogalmazuk meg: egyszerû etermsztkus moellekbe s keletkezhetek boyolult pályák Pélául Brock Hommes [1997] moelljébe a szereplõk választhatak: pézért megveszk a potos, racoáls várakozásoko alapuló elõrejelzést vagy megelégszeek a potatla av várakozásokkal, attól függõe, hogy melyk a agyobb proftot Ehhez tegyük hozzá, hogy racoáls várakozásoko alapuló, egyszerû optmalzálás moellek s ahatak kaotkus amkát, ahol a tökéletes elõrelátás fogalma s elveszt vozerejét (Gramot [1985] Elfogahatóbbá tesz-e a av várakozások feltevését a racoáls várakozások részleges csõje? Már korábba említettük, hogy a pókhálómoellel a szereplõk em taulak ylvávaló hbákból Vaak azoba olya moellek s, ahol a av várakozások hbá egyáltalá em ylvávalók Ahogya Gramot [1998] megjegyezte: emcsak az elõrejelzések, e a hbák s lehetek öbeteljesítõk Ha a szereplõk azt hszk, hogy a pálya azoos és függetle eloszlású valószíûség változók sorozata, akkor a keletkezõ pálya kaotkus, és cs olya leárs statsztka mószer, amely szsztematkus hbát tára fel (Hommes Sorger [1997] A olgozat a bevezetése kívül két részbõl áll Az elsõ a vegyes várakozások általáos moelljét elemz, a mások az együttélõ emzeékekét Vegyes várakozások absztrakt moellje Gramot Laroque [199], valamt Gramot [1998] yomá egy absztrakt amkus reszert vzsgáluk, amelyet a Molár Smoovts [1996]-féle vegyes, lletve - várakozások hajtaak Az õ jele t =, 1, 2,, a reszer skalárállapota a t-ek õszakba x t, t x a t õszakba képzett (>t õpotra voatkozó várakozást jelöl Legye m és két természetes szám, amelyek rere a jelet befolyásoló múltbel és a jövõbel állapotok számát jelölk A moell amkája a következõ: g(x t m,, x t, t x t+1,, t x t+ = (1
692 Smoovts Arás Vegyes várakozások Melõtt bevezeték e rész közpot fogalmát, a vegyes várakozásokat, matematkalag efáljuk a két legfotosabb specáls esetet, a racoáls várakozásokat és a av várakozásokat Racoáls várakozások: me várt állapot megegyezk a megfelelõ õszak moellbel téyleges értékével: x = x ; =1,, (2 t t+ t+ Nav várakozások: me várt állapot megegyezk a jeleleg téyleges értékkel: x = x ; = 1,, (3 t t+ t Vegyes várakozások A közös tárgyalás kevéért bevezetük egy általáosabb várakozás sémát, a vegyes várakozásokét Legye egy egész szám: A vegyes várakozásokat a következõ tulajoságok határozzák meg a Az x t jele állapot mellett a közeljövõ x t+1,, x t+ állapota s smertek a t-õszakba: x = x, = 1,, (4 t t+ t+ b A távol jövõ x t++1,, x t+ állapotaak várt értéke a (t+-ek õszak állapotával azoosak: x = x, = +1,, (5 t t+ t+ Behelyettesítve (4 (5-öt (1-be, az alapegyelethez jutuk: g(x t m,, x t+ 1, x t+,, x t+ = (6 Megjegyzések 1 Vegyük észre, hogy racoáls várakozásál b üres, av várakozásál peg a üres 2 Fgyelemre méltó, hogy a gaz (> vegyes várakozásokál a t-ek õszakba az egyejû x t állapot helyett a jövõbel x t+ állapot határozók meg Ematt a -k õszakba emcsak a múltbel x m,, x 1 állapotokat kell mega kezet feltételkét, haem az x kezõállapot mellett a közeljövõbeleket s: x 1,, x 1 Later [1981] az elõbbeket törtéelm, az utóbbakat em törtéelm kezet értékek evez Lokáls stabltás Ebbe a részbe jelölje x az állaósult állapotot Köye belátható, hogy me állaósult állapot függetle a várakozások típusától Mostatól feltesszük, hogy legalább egy állaósult állapot létezk (Smoovts [1994]-bõl és [1995]-bõl smert, hogy az együttélõ emzeékek vagy korosztályok moelljébe tpkusa kettõ vagy aál s több állaósult állapot létezk Learzáljuk (6-ot x körül Legye a g függvéy x t+ szert parcáls erváltja az x potba, = m,, Legye x = x t t x az eltérésváltozó Ekkor az x pot körül lokáls g -amkát a következõ leárs ffereca egyelet írja le: 1 γ + xt+ γ j xt+ = = m j=
A racoáls és a av várkozások stabltásáak összehasolítása 693 A egatív exektõl megszabaulhatuk, ha bevezetjük a következõ meységeket: = m Ekkor m+ 1 + + m p ( = + λ αλ αm j λ = j= a megfelelõ karaktersztkus polom A stabltás a p ( polom gyökeek elhelyezkeésétõl függ A amka agyo boyolult lehet, amelyet az (m +-fokú polom m+ gyöke és a felaat m + kezet feltétele határoz meg Nylvávaló, hogy egy szabaságfokuk va g, vagy másképp fogalmazva, az -k megválasztásába A következõ ormalzálást választjuk: m+ =1 A következõ péla a legegyszerûbb esetbe szemléltet a helyzetet 1 péla (Vö Gramot [1998] Legye m == 1 Normalzálás: 2 = 1 Jelölés: = 1 + 1, ullától külöbözõ szám Ekkor p ( = + és p 1 ( = + 1 + 2 A av várakozásokat képvselõ elsõreû fferecaegyelet stabltás feltétele trválsak: 1 < = / < 1, azaz a stabltás ekvvales az < 1 + 1 feltétellel A racoáls várakozásokat képvselõ másoreû fferecaegyelet stabltás feltétele smertek: + 1 + 1 >, 1 + 1 > és < 1 Az 1 ábra llusztrálja a helyzetet az (, 1 síkba A függõlegese és vízsztese csíkozott terület a paramétersíkba rere a racoáls, lletve a av várakozások stabltását jelöl Közös részük az egyejû stabltást jelöl Rátérve a yeregpot-stabltás feltételére: p 1 (1 < < p 1 ( 1 vagy p 1 ( 1 < <<p 1 (1, azaz 1 > + 1 Ekkor 2 -vel jelölve a stabl gyököt, a x 1 = 2 x választással a buborékot aó robbaó ráy eltûk Valóba, az általáos megolás x t = 1 1t + 2 2t, amely potosa akkor korlátos (és stabl, ha 1 =, x = 2, azaz x = x 1 1 = 2 x M törték azoba akkor, ha mkét gyök stabl? Ekkor még a meglehetõse törékey megolás s lehetetleé válk, és em mara más kút az stabltásból, mthogy egyszerûe az állaósult állapotra szorítjuk a amkát Ez a közgazaságlag okolatla megkülöböztetés a kétfajta stabltás között vszot aláássa a korlátozás htelét 1 ábra Stabltás feltételek 1
694 Smoovts Arás Egyelõre csak egyszerû elégséges feltételeket smerük a racoáls várakozások stabltására és a av várakozások stabltására 1 tétel Aott -re tegyük föl, hogy p ( -ak cs egységgyöke a Az állaósult állapot yeregpot-stabl, ha b Az állaósult állapot stabl, ha α m + j j= α, (7 m+ 1 α (8 α m + j = j= α m + j j= Megjegyzések 1 Az egységgyök kzárása általába jellemzõ az roalomra és tpkusa teljesül 2 A (7 feltétel azt jelet, hogy a legtávolabb múlt hatása abszolút értékbe erõsebb, mt az + 1 legtávolabb jövõé 3 A (8 feltételt elég ehéz közgazaságlag értelmez Ha az -k elõjele változk, akkor (8 algha teljesül Bzoyítás a A vegyes várakozás yeregpot-stabltása majem trváls Bevezetve a β = jelölést, p olya (m + -fokú polom, amelyek fõegyütthatója Emlékezzük a gyökök és együtthatók közt összefüggésre, amely szert p gyökeek szorzata em más mt ( 1 m+ / Feltételük szert egyetleegy gyök sem fekszk az egységkörvoalo, tehát legalább egy gyök az egységkörö kívül fekszk Hasolóa gazolható, hogy legalább egy gyök az egységkörö belül fekszk b A stabltás feltétel szté agyo egyszerû Tegyük föl az ellekezõjét, azaz létezk p -ek egy stabl gyöke, 1, amelyre 1 >1 m+ 1 m m+ p ( λ 1 = αλ1 + βλ1, azaz + 1 m+ λ1 = αλ1 = = β Áttérve az abszolút értékre, elosztjuk mkét olalt 1 m+ -vel és alkalmazzuk a háromszög-egyelõtleséget: m+ 1 = m 1 β α λ Mvel 1 m < 1, elhagyva õket, öveljük a jobb olalt: m+ 1 < α = β, elletmova (8-ak Ha rere = és = értéket helyettesítjük be a (7 stabltás és a (8 stabltás feltételbe, akkor egyszerre jutuk el a racoáls várakozás stabltás és a av várakozások stabltás feltételéhez 2 tétel a A racoáls várakozás mellett amkába az állaósult állapot yeregpot-stabl, ha m+ = 1 (9
A racoáls és a av várkozások stabltásáak összehasolítása 695 b A av várakozás mellett amkába az állaósult állapot stabl, ha m 1 α (1 α m + j = j= Megjegyzések 1 A (9 feltevés azt jelet, hogy abszolút értékbe a legrégebb múlt hatáa erõsebb, mt a legtávolabb jövõé 2 A (1 feltevés értelmezéséhez tegyük föl, hogy me múltbel hatásak azoos az elõjele: a >, =,, m 1 vagy b <, =,, m 1 Bevezetve az m 1 α = α = és β = αm+ j, jelöléseket, a (1 feltevés a következõre egyszerûsök: (11 Vegyük észre, hogy (11-gyel már találkoztuk, szgorú egyelõtleséggel, az 1 pélába (lás még Gramot [1998] 2 2 tétel Fgyelemre méltó, hogy számos szerzõ örömmel fogaja a racoáls várakozásokra jellemzõ stabltást Pélául Later [1981] és [1984] éppe a racoáls várakozásokál fellépõ meghatározatlaságot haszálja fel az stabltás kküszöbölésére Ha az stabl sajátértékek és a em törtéelm kezet feltételek száma azoos (kegyesúlyozott yeregpot-stabltás, a umerkus vzsgálatok szert a szóba forgó feltétel gyakra teljesül, akkor az állaósult állapot közelébe me törtéet kezet feltételhez választhatuk egy olya em törtéet kezet feltételt, hogy a keletkezõ pálya stabl legye: lokáls meghatározottság Ugyaakkor ez a megolás rekívül számítás potosságot feltételez, amely em várható egy közöséges szereplõtõl (lás még Kehoe [1991] Vszot mél több függetle változó va, aál kétségesebb az eljárás umerkus stabltása Utaluk Ralsto [1965], 1 2 pélájára: a kerekítés hbák elõbb-utóbb letérítk a leárs reszert a stabl ráyról S hába vaak ma már sokkal jobb számítógépek, mt Ralsto köyve írásakor, a moellezett való ötések ylvávalóa em hajszálpotosak A legegyszerûbb út a yeregpotstabltáshoz a múlt és a jövõ szmmetrájáak föltevésébe rejlk: m = és 2 =, =, 1 (12 Köye eljutuk a szmmetrához, ha g eleve szmmetrkus, azaz a amka õbe megforítható (reverzbls (Emlékeztetük arra, hogy reverzbltás a mechakára jellemzõ, e a hõtara em 3 tétel a A racoáls várakozás mellett amkába az állaósult állapot kegyesúlyozott yeregpot-stabl, e lokálsa meghatározott, ha teljesülek a (11 szmmetrafeltételek b Szmmetra és emegatvtás eseté a av várakozás mellett amkába az állaósult állapot stabl, ha vagy ( > vagy ( < és < /2 Bzoyítás a A racoáls várakozás kegyesúlyozott yeregpot-stabltása majem trváls A ormalzálás értelmébe polomuk 2-fokú (9 szert p ( úgyevezett recprok polom, azaz ha gyök, akkor 1/ s gyök b Most = +, és (12 eseté (11 (-re vagy (-re egyszerûsök A racoáls várakozások részleges kuarca elfogahatóbbá tesz a av várakozásokat? Nem gaz az, hogy av várakozásokál folyamatosa trváls hbát követek el? A klasszkus egyváltozós pókhálómoellbe valóba ez a helyzet, azoba vaak olya amkus reszerek, ahol semmlye leárs statsztka próba em feez fel semmlye hbát sem (Hommes Sorger [1997] Éremes tehát a av várakozásokat s vzsgál j=
696 Smoovts Arás Együttélõ emzeékek moellje A moell Gale [1973] yomá ebbe a potba az együttélõ emzeékek legegyszerûbb moelljét taulmáyozzuk Me õszakba az elõzõ õszakba született egyéekek egy utóa születk, s me utó két õszakg él Egy zárt cseregazaságot vzsgáluk Nem foglalkozuk a termeléssel, eltektük a termelékeység övekeésétõl, és aottak vesszük a kereseteket A t-ek õszakba született (mukába lépõ egyé jöveelme fatal és öreg korába rere w és w 1 (õbe állaó, fogyasztása rere c,t és c 1,t+1 A kereseteket ormálva: w + w 1 = 1 Vezessük be a megtakarításokat: s,t = w c,t Elõször aottak vesszük a kamattéyezõk és várt értékük sorozatát: {r t } és { r t= t t+1 }, t= és így határozzuk meg a feltételes optmáls ötéseket Ezutá már alkalmazhatjuk a várakozás feltevéseket s Blachar Fscher ([1989], 5 4 alfejezete yomá a fogyasztás helyett közvetleül a megtakarításokkal foglalkozuk A t-ek õszakba született egyé várt költségvetés korlátját a tervezett ulla életpálya-megtakarítás aja: s,t t + t s 1,t+1 = (13 Gale [1973] egyszerûsítését követve, föltesszük, hogy a fatalok megtakarítása a várható kamattéyezõtõl függ, és e függés õbe állaó: s,t = s( t (14 A téyleges költségvetés korlátba már a téyleges kamattéyezõ és öreg kor megtakarítás szerepel: s,t + s 1,t+1 = (13' (13 és (14 szert az õsek megtakarítás függvéye s hasoló, mt a fataloké: s 1,t+1 = s( t Összegezve: s 1,t = r t s( t 1 r t (15 Mvel a termékek romlaók, me õszakba ulla a teljes megtakarítás: s,t + s 1,t = (16 Behelyettesítve (14 (15 összefüggéspárt (16-ba, aók a megegeettség feltétel: S( t 1 r t,r t, t = s( t r t s( t 1 r t = (17 Nylvávaló, hogy (17 em specáls esete (1-ek, ezért a továbbakba az elõzõ pot ereméye csak hasolatkét szolgálhatak Külöleges szerepet játszaak a stacoárus megtakarítás pályák, ahol az egymást követõ emzeékek tagjaak megtakarítása pályája azoos, az F alsó ex a megegeett jelzõ agol megfelelõjére (feasble utal: s,t = s,f és s 1,t+1 = s 1,F Behelyettesítve (17-be: S(r F,r F,r F = (1 r F s(r F = (18 Ebbõl látható, hogy tpkusa két állaósult állapot létezk, melyeket kegyesúlyo-
A racoáls és a av várkozások stabltásáak összehasolítása 697 zott, lletve arayszabály-állapotokak evezük, és agol megfelelõjére (balace, lletve gole rule utalva a B és a G szmbólummal jelölük: s,b = és s 1,B =, lletve r G = 1 A stabltást a két várakozásra külö-külö vzsgáljuk Racoáls várakozások A teljesség kevéért felírjuk a racoáls várakozások képletét: r = r (19 t t+1 t+1 Ekkor (17 a következõ elsõreû fferecaegyeletté alakul: S R (r t, = s( r t s(r t =, (2 ahol r 1 aott Ismert, hogy (2 akkor (és léyegébe csak akkor stabl, ha r t szert erváltja az r F potba abszolút értékbe ksebb 1-él Az mplct függvéy tétele és (2 szert legalább egy megolás létezk bármely r t -re az állaósult állapot köryéké, ha S R / r = s'(r t+1 F F Sõt, r t+ 1 SR / rt s( rf + rf s'( rf = = rt SR / rt + 1 s'( rf Bevezetve a rt + 1 s( r φ R = és F υ F = (21 rt s'( rf jelöléseket (ahol F a fatalkor megtakarítás kamattéyezõ szert rugalmasságáak az verze, R = r F F A kegyesúlyozott állapot eseté B =, azaz a stabltás léyegébe ekvvales r B <1-gyel Az arayszabály-állapot esetébe r G = 1, tehát a stabltás léyegébe ekvvales 1<1 G < 1-gyel, azaz < G < 2 (22 A mások esetre voatkozk Gale bzoyítatla állítása: az arayszabály-állapot akkor és csak akkor stabl, ha a kegyesúlyozott állapot stabl: r B > 1 Ez ekvvales az s(1 < feltétellel (Gale [1973] 2 tétel Általáosa ez em gaz, mert globálsa emcsak egy megolás va és mkét állaósult állapot s lehet stabl (3 péla Nav várakozások Szükségük lesz a av várakozások képletére: r = r (23 t t+1 t Ebbe az esetbe (17 a következõ elsõreû fferecaegyeletté alakul: S N (r t 1, r t = s(r t r t s(r t 1 =, (24 ahol r 1 aott Megsmételve az érvelést, megfelelõ móosításokkal rt r S rt / r SN / 1 = rf s'( rf = s'( r s( r t 1 N t F F
698 Smoovts Arás (21 és (24 mplkálja, hogy N = r F /(1 + F A kegyesúlyozott állapot eseté B =, azaz a stabltás léyegébe ekvvales r B < 1-gyel Az arayszabály-állapot eseté r G = 1, tehát a stabltás léyegébe ekvvales 1 < 1/(1 + G < 1-gyel, azaz vagy < G < 2 vagy < G < (25 Összehasolítás A fet ereméyeket a következõképpe összegezhetjük: 4 tétel a Egy OLG gazaságba a kegyesúlyozott állapot akkor és csak akkor stabl, ha ksebb mt 1, függetleül a várakozás típusától b Egy OLG gazaságba az arayszabály-állapot akkor és csak akkor stabl, 1 ha a racoáls várakozások eseté (22 áll, 2 ha av várakozások eseté (25 teljesül, 3 tehát a racoáls várakozások stabltásából következk a av várakozásoké Kozsztesek-e a fet ereméyek az optmalzálással? Ha csak az atív haszosságfüggvéyû reprezetatív fogyasztó megszorító esetét tektjük, akkor G egatív értéke kzárható Ha azoba a haszosságfüggvéy általáosabb vagy többféle szereplõ s szíre lép, akkor valószíûleg me lehetséges (Blachar Fscher [1989] 248 o Részletezve A eoklasszkus közgazaságtaba megszokott móo a megtakarítást és a fogyasztást egy jól vselkeõ (kokáv, em csökkeõ és általába fferecálható haszosságfüggvéy maxmalzálásából vezetjük le Legye a t-be született fogyasztó teljes haszosságfüggvéye U(c,t, c 1,t+1 A szokásos feltevések és aott t eseté létezk egy belsõ optmum: [c,t, c 1,t+1 ] Az U függvéy c és c 1 szert parcáls erváltjat jelölje rere U és U 1 Ekkor az optmaltás feltétel a következõ: U U 1 t = Ekkor az optmáls s,t megtakarítás téyleg t -tõl függ és õbe állaó Iõbe atív haszosságfüggvéy, U(c,t, c 1,t+1 = u(c,t + v(c 1,t+1 eseté az optmumfeltétel egyszerûsök: u'(c,t = t v'(c 1,t+1 Végül két pélá llusztráljuk, hogy a av várakozásokak a racoáls várakozásokéál tágabb stabltás tartomáya lehet látszólagos és valóságos 2 péla (Molár Smoovts [1996] A CRRA-haszosságfüggvéyek eseté a két várakozás egyszerre stabl Részletesebbe: legye a leszámítolás téyezõ, 1 a relatív kockázatkerülés együttható Ekkor 1 σ σ U c, c = σ ( c + βc ( 1 1 Szükségük lesz még az õszakközt (tertemporáls helyettesítés rugalmasság bevezetésére: = /(s 1, és a korrgált leszámítolás téyezõre: = 1 Ekkor a fatal feltételes fogyasztás és a megtakarítás függvéy a következõ: 1 µ w + w1r w Φr w1r c( r = és s( r = 1 + Φr µ µ 1 + Φr Derválva s(r-t, aók 1 ( w1 wφ (1 + Φ υg = w1(1 + Φ Φµ A relevás esetbe (r B > 1, w 1 > w Egyszerû számolással gazolható (22 bármely, és w 1 > w paraméteregyüttesre Ebbe az esetbe (25 em általáosabb, mt (22
A racoáls és a av várkozások stabltásáak összehasolítása 699 3 péla Általáos kvaratkus haszosságfüggvéy (vö Gale [1973], 3 péla A racoáls várakozások stabltásából következk a av várakozásoké, e forítva em Legye U(c,c 1 = ac bc 2 /2 + c 1 c 12 /2, w =, ahol a és b poztív számok és v(c 1 = 2c 1 c 12, (Gale-él a = 5, b = 4 Kkötjük, hogy c b/a, c 1 2, w = és w 1 = 1 Ekkor s( r a 2ar s'( r = = c( r = és 2 2 b + r ( b + r 2 Egyszerû számolással kapjuk, hogy G = (b + 1/2, s ez potosa akkor elégít k (22-t, ha < b < 3 Nylvávaló, hogy (25 tágabb, mt (22 Iroalom AUERBACH, A J KOTLIKOFF, L J [1987]: Dyamc Fscal Polcy, Cambrge Uversty Press, Cambrge BLANCHARD, O J FISCHER, S [1989]: Lectures o Macroecoomcs MIT Press, Cambrge MA BRAY, M M [1982]: Learg, Estmato a the Stablty of Ratoal Expectatos Joural of Ecoomc Theory, 26, 318 339 o BROCK, W A HOMMES, C H [1997]: A Ratoal Route to Raomess Ecoometrca, 65, 159 195 o CHAMPSOUR, P ÉS SZERKESZTÕTÁRSAI (szerk [199]: Essays Hoor of Emu Malvau MIT Press, Cambrge MA EZEKIEL, M [1938]: The Cobweb Theorem Quarterly Joural of Ecoomcs, 52, 255 28 o FUCHS, G [1979]: Is Error Learg Behavor Stablzg? Joural of Ecoomc Theory, 2, 3 317 o GALE, D [1973]: Pure Exchage Equlbrum of Dyamc Ecoomc Moels Joural of Ecoomc Theory, 6, 12 36 o GALE, D [1974]: The Trae Imbalace Story Joural of Iteratoal Ecoomcs, 4, 119 137 o GRANDMONT, J-M [1985]: O Eogeous Busess Cycles Ecoometrca, 53, 995 145 o GRANDMONT, J-M [1998]: Expectatos Formato a Stablty of the Large Socoecoomc Systems Ecoometrca, 66, 741 781 o GRANDMONT, J-M LAROQUE, G [199]: Stablty, Expectatos a Preeterme Varables, Champsour és szerzõtársa (szerk Vol 1 71 92 o HOMMES, C H SORGER, G [1997]: Cosstet Expectatos Equlbra Macroecoomc Dyamcs, 2, 287 321 o KEHOE, T J LEVINE, D K [1985] Comparatve Statc a Perfect Foresght Ifte Horzo Ecoomcs Ecoometrca, 53, 433 453o KORNAI JÁNOS [1971]: At-equlbrum Akaéma Köyvkaó, Buapest LAITNER, J P [1981]: The Stablty of Steay States Perfect Foresght Moels, Ecoometrca, 49, 319 333 o LOVELL, M C [1962]: Buffer Stocks, Sales Expectatos a Stablty: A Mult-sector Aalyss of the Ivetory Cycle Ecoometrca, 3, 267 296 o MOLNÁR GYÖRGY SIMONOVITS ANDRÁS [1996]: Várakozások, stabltás és mûköõképesség az együttélõ korosztályok realsta moellcsalájába Közgazaság Szemle, 1 sz 863 89 o MUTH, J [1961]: Ratoal Expectatos a the Theory of Prce Movemets Ecoometrca, 29, 315 335 o MUTH, J [1962]: Perfect Foresght a Istablty of Competto, kézrat SARGENT, T J WALLACE, N [1973]: The Stablty of Moels of Moey a Growth wth Perfect Foresght Ecoometrca, 41, 143 148 o SIDRAUSKI, M [1967]: Iflato a Ecoomc Growth Joural of Poltcal Ecoomy, 75, 796 81 o
7 A racoáls és a av várkozások Smoovts stabltásáak Arás összehasolítása SIMONOVITS ANDRÁS [1979a]: Normák, várakozások és stabltás egy leárs moellbe Szgma, 12, 31 56 o SIMONOVITS ANDRÁS [1979b]: Mégegyszer a várakozásokról Szgma, 12, 245 248 o SIMONOVITS ANDRÁS [1983]: Ütközõkészletek és av várakozások egy em walras amkus makromoellbe: stabltás, cklus és káosz Szgma, 16, 15 3 o SIMONOVITS ANDRÁS [1994]: Együttélõ emzeékek moellje Közgazaság Szemle, 5 sz 411 427 o SIMONOVITS ANDRÁS [1995]: Együttélõ korosztályok moellje Közgazaság Szemle, 4 sz 358 386 o TOBIN, J [1965]: Moey a Ecoomc Growth, Ecoometrca, 33, 671 684 o Magyarul: Péz és gazaság övekeés, Tob, J: Péz és gazaság övekeés Közgazaság és Jog Köyvkaó, Buapest, 24 217 o