Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?
|
|
- Gergő Mezei
- 10 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd életű Ökoometra Csoportjáak vezetőjekét Huyad Lac fotosak tartotta, hogy a taításo túl s foglalkozzuk ökoometra problémákkal, és ezekről beszéljük s egymás között. A cél az volt, hogy egymást jobba megsmertessük érdekes alkalmazásokkal, boyololtabb modellekkel, és az egyébkét általuk vszoylag gyakra haszált módszerek mélyebb hátterével. Ez a műhelymuka valóba eldult, bár a hétközapok vhara és az Ökoometra Csoportak és oktatóak a jövője körül bzoytalaság matt em futott fel teljese. De em adtuk fel a terveket. Ez az írás s ezt akarja bzoyíta: egy olya kérdést bocolgat, amelyet Lac többször felvetett, ám redese sosem beszéltük végg. A kérdés a következő. A kétfokozatú legksebb égyzetek módszere több strumetum eseté az edogé magyarázó változókak az egzogé magyarázó változókra (strumetumokra való leárs projekcóját haszálja a becsléshez. Ezáltal a túl sok strumetumból azok egyféle leárs kombácójával hoz létre éppe elegedő számú strumetumot. De vajo m a megfotolás pot e leárs kombácó mögött? Optmáls megoldás-e ez, és ha ge, mlye értelembe, és mlye feltételek mellett? És végül, elképzelhető-e olya sztuácó, amkor va a 2SLS-él jobb megoldás? Tektsük egy függetle azoos eloszású (d mtát és rajta egy kétváltozós leárs modellt, ahol a egyetle magyarázó változó va, amely edogé: y β0 + βx + u ( 0 E u Cov u, x 0 Az elemzés sorá végg feltesszük, hogy a modell korrektül specfkált, vagys a leárs függvéyforma a megfelelő, és x hatása y-ra mde egyes eseté β. x edogetása matt β OLS becslése kozsztes: p lm β _ OLS ( y y( x x β_ OLS 2 ( x x Cov( y, x Cov( β0 + βx + u, x V ( x V ( x Cov( u, x β V ( x β V x + V x
2 Ha találuk megfelelő strumetumot, β kozsztese becsülhető. Megfelelő (érvéyes strumetum korrelálatla a em megfgyelt kompoessel és korrelált az edogé magyarázó változóval: ( Cov z, u 0 Cov z, x 0 Ezeket az strumetum mometumfeltételeek evezzük. Az első mometumfeltétel azt köt k, hogy egy érvéyes strumetum em korrelálhat a em megfgyelhető heterogetással; a másodk azt, hogy a megfgyelhető magyarázó változóval vszot korrelála kell. E két feltétel eredméyekét az strumetum közvetleül em, a megfgyelt magyarázó változó keresztül vszot hat az eredméyváltozóra. Az strumetáls detfkácó, és az arra épülő strumetáls becslőfüggvéy ezt haszálja k: z és y megfgyelt együttmozgása két hatás eredője: z hatása x-re, és x hatása y-ra (z közvetleül em hat y-ra. Ha a megfgyelt z és y együttmozgásból kszűrjük z hatását x-re, megkapjuk x hatását y-ra, vagys β et. Az strumetáls változó (IV becslőfüggvéy: _ IV ( y y( z z ( x x( z z _ IV β β kozsztes becslőfüggvéye β ek: p lm β _ IV + Cov x, z Cov x, z ( β0 + β + Cov( x z β Cov y, z Cov x u, z Cov x, z, β Cov x, z Cov u, z Ha olya szerecsés helyzetbe vagyuk, hogy emcsak egy, haem több érvéyes strumetumuk s va, a bőség zavara vet fel egy újabb problémát. Ha a modell korrektül specfkált, bármelyk felhaszálásával kozsztese becsülhetjük β -et. Kombálásuk azoba hatásosabb becslőfüggvéyhez vezethet: több strumetum több formácót tartalmazhat, mt egy. Ha mdegyk strumetum korrelálatla u-val, úgy bármlye leárs kombácójuk s korrelátla: Cov z, u Cov z2, u... Cov zl, u 0 L L Cov λlzl, u λlcov( zl, u l 0 l A kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS a következő kombácót alkalmazza: x γ + γ z + γ z γ z, * L L ahol a γ paraméterek az OLS becslések abba a leárs regresszóba, melyek eredméyváltozója az x, magyarázó változó pedg a z-k. A 2SLS ekkor 2
3 * * ( y y( x x * * ( x x _2SLS 2 β A kérdés az, hogy va-e olya leárs kombácó, amelyek ksebb (aszmptotkus varacája va, mt a többek, és ha ge, ezt hogya határozhatjuk meg - és hogy vajo a 2SLS lye becslőfüggvéy-e. A Mometumok Általáosított Módszere (GMM keretébe választ kaphatuk ezekre a kérdésekre. A kdulópotot az érvéyes strumetum mometumfeltétele jeletk. Legye x ( x a modell magyarázó változóak (esetükbe a kostas és az egyetle x a vektora; β ( β β 0 a becsüledő paraméterek vektora, és z ( z... zl az strumetumok vektora. x és β 2 -es, z pedg (L+ -es oszlopvektor (L strumetum és a kostas. Később haszáladó referecakét jegyezzük meg, hogy β 2SLS becslőfüggvéye e jelölések alapjá a következő: ( * * ( * β xx xy. 2SLS A továbbakba végg feltesszük, hogy (. E ragja 2 (ez a megfelelője az érvéyes strumetumok másodk mometumfeltételéek, vagys az x-szel való korreláltságak. A kduló mometumfeltételeket ekkor a következő egyeletredszer foglalja össze: ( E z u E z y x β 0. β GMM becslőfüggvéye az aalóga elvé alapul: a várható értéket aak mtabel megfelelőjével, a mtaátlaggal helyettesít: zu z ( y x β Szy Sβ E( zu prob. Szy z y S Mthogy véges mtába ulla valószíűséggel lesz mdegyk mtaátlag potosa ulla még ha a várható értékek md ullák s, a GMM azt a paramétert keres, amely mellett a mometumfeltételből képzett kvadratkus forma a legközelebb va ullához: β arg m S S β A S S β GMM zy zy β ( S ( A S S A Szy 3
4 ahol a másodk egyelőségél az optmum elsőredű feltételét írtuk le (khaszáljuk hogy a kvadratkus forma kovex, sőt valószíűséggel szgorúa kovex, így az elsőredű feltétel elégséges. S zy a mtabel égyzetösszeg (osztva a mtaelemszámmal, amely egy (L+ dmezójú oszlopvektor; S pedg ezzel aalóg mátrx, dmezója (L+ 2. A bármlye olya (L+ (L+ dmezójú valószíűség mátrx lehet, amely valószíűségbe valamlye poztív deft mátrxhoz kovergál: p lm A Ψ poz. def. A GMM becslőfüggvéy kozsztecáját ge egyszerű belát: β S A S S A S S ( S A S ( S A [ Sβ Szu ] ( β S ( A S S A Szu z u GMM zy + + β β+ Ψ Ψ β zu p lm GMM E E E E ( zu Az utolsó sorba azt haszáljuk k, hogy p S E( u β lm zu GMM z 0, hogy eek folytoos függvéye és így alkalmazható a Slutsky-tétel, valamt hogy az A mátrx valószíűség határáak (Ψ létezk az verze. 2 Az A mátrxtól függőe végtele sok GMM becslőfüggvéy létezk, és mdegyk kozsztes. Ez aak az újrafogalmazása, hogy érvéyes strumetumok bármlye leárs kombácójával készíthető kozsztes becslőfüggvéy: a kombácóhoz haszált súlyok mátrxa em más, mt A -/2. A GMM becslőfüggvéy szmptotkusa ormáls: D ( β GMM β N( 0, Λ Λ ΔΩΔ Δ E Ψ E E Ψ 2 2 ( ( ( Ω V zu E zu z E u z z A legksebb aszmptotkus varacát az a GMM becslőfüggvéy adja, amelybe A Ω plm Ω Ω E u zz 2 ( A Slutsky-tétel azt modja k, hogy ha p lmξ μ, akkor bármely f folytoos függvéyre plm f ξ f μ. 2 Elvleg em kell, hogy az verz véges mtába s létezze, csak olyakor általáosított verzt (Moore- Perose kell haszál. A léyeg megértéséhez ettől a fomságtól yugodta eltekthetük, és feltehetjük, hogy A maga s poztív deft. 4
5 Ezt a becslőfüggvéyt Optmáls GMM-ek (OGMM evezk: S S S S β OGMM Ω Ω z y Kcst pogyolá fogalmazva, az optmáls súlymátrx az strumetumok (z és a em megfgyelt heterogetás (u szorzata szórásáak (a covaracamátrx ½ hatváyáak az verze. Az tuícó gyakorlatlag ugyaaz, mt az általáosított legksebb égyzetek módszeréél (GLS: a legjobb leárs kombácó az, ahol az egyes strumetumok aál ksebb súlyt kapak, mél zajosabbak (mél kább szóródak véges mtába a 0 mometumfeltétel körül. A mmáls aszmptotkus varaca bzoyítást tt em vezetjük le; 3 léyegébe ugyaarra a kaptafára megy, mt a mmáls varacájú becslőfüggvéyek bzoyítása általába (Gauss-Markov tétel. Kérdés marad az, hogy potosa m s Ω, amelyről eddg ayt tuduk, hogy kozsztesek kell lee Ω-ra. Egyszerű választ ad erre az aalóga elve: 2 Ω u zz am kétlépcsős OGMM becslés eljárást jelet: első lépcsőbe megfelelőe kell u^ kat becsülük Ω^ hoz, majd másodk lépcsőbe e (Ω-ra kozsztese becsült Ω^ felhaszálásával kapjuk meg az OGMM becslőfüggvéyt. Ez megt a GLS módszerrel aalóg, lletve aak megvalósítható változatával (FGLS. Mde lye becslőfüggvéy kozsztes lesz Ω-ra, ha olya u y x β változók szerepelek bee, ahol β kozsztes becslőfüggvéye β-ak. Tudjuk, hogy a redelkezésre álló z változók bármlye leárs kombácójával kozsztes strumetáls becslőfüggvéy készíthető, vagy másképpe fogalmazva, bármely poztív deft A mátrx kozsztes GMM becslőfüggvéyhez vezet. Így bármelyket haszáljatjuk az első lépcsőbe, de praktkus szempotból az legegyszerűbb, ha az első lépcsőbe AI (az (L+ (L+ dmezójú egységmátrx. A kérdés az, hogy va-e ehhez az optmáls GMM-hez bárm köze a 2SLS-ek. A válasz: ge, bzoyos feltételek mellett. Tegyük fel, hogy u homoszkedasztkus z-re kodícoálva, vagys V(u z V(u, és ezért ( 2 ( 2 2 σ ( E u zz E u E zz E zz. Ebbe az esetbe Ω kozsztes becslőfüggvéye a következő: Ω u S zz σ 2 2 hom zz Elvleg ez s kétlépcsős eljárást tee szükségessé akárcsak az OGMM általáos esetébe, ám egy szerecsés véletle ettől megóv mket: mthogy a rezduáls varaca (lletve aak 3 Formáls bzoyítást lásd például Wooldrdge (2002, 8.3. fejezet. 5
6 recproka a becslőfüggvéyek md a evezőjébe, md a számlálójába szerepel, egyszerűe kesk: 2 2 ( ( ( σ ( σ ( S ( Szz S S Szz Szy β OGMM _ hom S ΩhomS S ΩhomSzy S Szz S S Szz S zy Közbe szép csedese elérkeztük a godolatmeet végéhez. Ez a becslőfüggvéy ugyas em más mt a 2SLS: ( ( y ( ( ( y γ zz γ γ z y ( S S z z ( S S ( S S S Szz zz Szz S S Szz zy ( zz z ( ( ( S ( Szz S S Szz Szy βogmm_hom β 2SLS xx x γ z γ z γ z zz zz zz y z S S S S S S y S S S S S S S S zz zz zz zz zz zz zz zy OLS zz ahol a másodk sorba khaszáltuk, hogy defícó szert γ γ S S. A 2SLS tehát potosa megegeyzk az Optmáls GMM-mel ha a em megfgyelt heterogetás az strumetumokra kodcoálta homoszkedasztkus. Vagys ebbe az esetbe 2SLS az a leárs kombácója az strumetumokak, amelyka legksebb aszpmtotkus varacájú becslést bztosítja. Magyarul: a legjobb. Ameybe a em megfgyelt heterogetás heteroszkedasztkus, akkor vszot em az. De vajo praktkus szempotból léyeges-e az OGMM és a 2SLS között külöbség heteroszkedsztkus esetbe? Ezt a kérdés két dolog s motválja. Egyrészt az OGMM boyoluoltabb eljárást géyel, ezért ha praktkus szempotból em agy az előye, kár vele bajlód. Másrészt ráadásul az OGMM kétlépcsős eljárása emcsak boyolultabb, de véges mtába bzoytalaabb, sőt torz s lehet (lásd pl. Podvsky, 999. A kérdés vzsgálatához egy egyszerű Mote Carlo szmulácót végeztük el. A szmulácó sorá két külöböző adatgeeráló folyamatot (DGP, egy homoszkedasztkust (DGP és egy heteroszkedasztkust (DGP 2 vzsgáltuk. Mdkét folyamatba egy edogé magyarázó változó (x és 2 érvéyes strumetum volt (z és z 2 ; a két strumetum közül z jobba korrelált x-szel (vagys erősebb, z 2 kevésbé (gyegébb. DGP 2 -be az strumetumok égyzete korreláltak a em megfgyelt heterogetás (u égyzetével, így u feltételese heteroszkedasztkus volt (Corr(u 2,z 2 Corr(u 2,z A heteroszkedasztctás mértéke közepese erősek modható. 4 4 γ az az (L+ 2 dmezójú OLS paramétervektor, amelyek első oszlopába x első eleméek a kostasak, másodk oszlopába x másodk eleméek x-ek a z vektoro futtatott regresszós paraméteret becsüljük. Mthogy a kostas em szóródk, aak paramétere md ullák, így γ első oszlopa s ullvektor. 6
7 A Mote Carlo szmulácóba 50 ezerszer geeráltuk mtát az adott DGP alapjá, és ezeke a mtáko egyekét megbecsültük β OLS, IV (IV csak z -gyel, IV 2 (IV csak z 2 - vel, 2SLS és OGMM becsléset. Az 50 ezer smétlés utá megvzsgáltuk a külöböző módoko becsült β ek átlagos relatív eltérését a valóságtól (Rel.Bas vagys relatív torzítás, a szóródását (Std vagys szórás, valamt a torzítás és a szóródás együttes hatásakét adódó teljes eltéréségyzetet (RMSE, root mea squared error. A Mote Carlo szmulácót elvégeztük 00, 000 és elemű mtákra s. Az alább táblázat foglalja össze szmulácók eredméyet. A DGP-k potos leírását a Függelék tartalmazza. Táblázat: A Mote Carlo szmulácók eredméye DGP (homoszkedasztkus DGP2 (heteroszkedasztkus OLS IV(z IV(z2 2SLS OGMM OLS IV(z IV(z2 2SLS OGMM 00 Rel.bas Std RMSE Rel.bas Std RMSE Rel.bas Std RMSE A szmulácók redbe kmutatják az smert eredméyeket: az OLS torz, és bár szórása mde mtaagyság mellett ksebb mt bárm más becslőfüggvéyé, végeredméybe agyo mellélő. Az egyetle strumetumot haszáló strumetáls becslőfüggvéyek ks mtába torzak, ám agy mtába ez eltűk (kozszteca. Az erősebb IV-t (z haszáló becslőfüggvéyek a ksmtás torzítása és a szórása s ksebb, mt a gyegébb strumetumot (z 2 haszálóé. Az strumetumokat kombáló becslőfüggvéyekbe (2SLS, OGMM gyakorlatlag eltűk a ksmtás torzítás, és a szórás s mdg jóval ksebb, mt az egy strumetumot haszáló IV-k eseté. A heteroszkedasztkus DGP esetébe bzoytalaabbak becslések: a torzítások és a szórások s általába agyobbak. Am fő kérdésüket, a 2SLS és az OGMM vszoyát llet, az eredméyek meglehetőse egyértelműek. Homoszkedasztkus DGP mellett a 2SLS ks mtába precízebb (hsze khaszálja a homoszkedasztctás feltevését, am tt helyes, közepes és agy mtába azoba a kettő teljese azoos eredméy produkál. Heteroszkedasztkus DGP eseté a agy mtás hasolóság megmarad, de ks mtába sem jobb az OGMM. Az eredméyek mögött valószíűleg az áll, hogy bár az OGMM gyorsabba kovergál a valós β-hoz (ksebb az aszmptotkus varacája, ez az előy praktkus szempotból eleyésző. Ugyaakkor azoba az OGMM kétlépcsős eljárása plusz bzoytalaságot vsz a becslésbe ks mta eseté, ezért ks mtába scs meg az előye a 2SLS-sel szembe. Az aaltkus és a szmulácós eredméyeket a következőképpe foglalhatjuk össze. A 2SLS elvleg s a legjobb (legsebb aszmptotkus varacát adó módo kombálja az strumetumokat homoszkedasztkus esetbe. Heteroszkedasztkus esetbe elvleg va ála 7
8 jobb becslőfüggvéy, praktkusa azoba eek az elvleg jobb becslések több a hátráya, mta az előye. A 2SLS megállja a helyét heteroszkedasztkus köryezetbe s, ezért haszáljuk csak bátra. Hvatkozások: Podvsky, Ja M. (999: Fte sample propertes of GMM estmators ad tests. I L. Mátyás (szerk: Geeralzed Method of Momets Estmato. Cambrdge Uversty Press. Jeffrey M. Wooldrdge (2002: Ecoometrc aalyss of cross secto ad pael data. MIT Press. Függelék A Mote Carlo szmulácókba haszált adatgeeráló folyamatok (DGP-k potos leírása DGP : z ~ dn(0,0.5 z 2 ~ dn(0,0.5 x 0.5z + 0.2z 2 + v v ~ dn(0,σ v úgy, hogy σ x u ~ N(0, úgy, hogy Corr(u,v0.5 y β x + u β vagys: edogé x, 2 érvéyes strumetum z & z 2, z erősebb: Corr(x,u Corr(u,z Corr(u,z 2 0. Corr(z,x 0.25, Corr(z 2,x 0.0. Homoszkedasztctás: Corr(u 2, z 2 Corr(u 2, z DGP 2 : z ~ dn(0,0.5 z 2 ~ dn(0,0.5 x 0.5z + 0.2z 2 + v v ~ dn(0,σ v úgy, hogy σ x u ~ N(0, úgy, hogy Corr(u,v0.5 y β x + u β vagys: edogé x, 2 érvéyes strumetum z & z 2, z erősebb: Corr(x,u Corr(u,z Corr(u,z 2 0. Corr(z,x 0.25, Corr(z 2,x 0.0. Heteroszkedasztctás: Corr(u 2, z 2 Corr(u 2, z , amt egy autoregreszív kodcoáls heteroszkedasztctás (ARCH modell geerál: 8
9 u ψ v+ e e ε z + z, ε ~ dn 0, σ, hogy σ ε u 9
? közgazdasági statisztika
Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem
A paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab
öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést
? közgazdasági statisztika
... Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB
Statisztika. Eloszlásjellemzők
Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az
Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése
3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés
Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet
Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága
Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba
Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)
Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)
GEOFIZIKA / 4. GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK PREDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE
MSc GEOFIZIKA / 4. BMEEOAFMFT3 GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK REDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE A gravtácós aomálák predkcója Külöböző feladatok megoldása sorá - elsősorba
ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június
ÖKONOMETIA Készült a TÁMOP-4.1.-08//A/KM-009-0041pályázat projet eretébe Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomáy Taszéé az ELTE Közgazdaságtudomáy Taszé az MTA Közgazdaságtudomáy Itézet és a
A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben
Mûhely Huyad László kaddátus, egyetem taár, a Statsztka Szemle főszerkesztője A heteroszkedasztctásról egyszerûbbe E-mal: laszlo.huyad@ksh.hu A heteroszkedasztctás az ökoometra modellezés egyk kulcsfogalma,
Megállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat
Megállapítható változók elemzése Függetleségvzsgálat, lleszkedésvzsgálat, homogetásvzsgálat Ordáls, omáls esetre s alkalmazhatóak a következő χ próbá alapuló vzsgálatok: 1) Függetleségvzsgálat: két valószíűség
Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet)
Matematka statsztka elıadás III. éves elemzı szakosokak Zemplé Adrás 9. elıadásból részlet Y közelítése függvéyével Gyakor eset, hogy em smerjük a számukra érdekes meység Y potos értékét pl. holap részvéy-árfolyam,
Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1
Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel
A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata
6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az
Valószínűségszámítás. Ketskeméty László
Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma
3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN
AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA
A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.
A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra
2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya
II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
Korreláció- és regressziószámítás
Korrelácó- és regresszószámítás sztochasztkus kapcsolat léyege az, hogy a megfgyelt sokaság egységeek egyk smérv szert mlyeségét, hovatartozását smerve levoható ugya bzoyos következtetés az egységek másk
A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI
A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,
2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1
Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel
Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék
Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R,
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatla matematkataár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajal Péter 2018 1. Bevezető példák 1. Feladat. Háy olya sorbaállítása va a {a,b,c,d,e} halmazak, amelybe a és b em kerül
képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal
5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve
i 0 egyébként ábra. Negyedfokú és ötödfokú Bernstein polinomok a [0,1] intervallumon.
3. Bézer görbék 3.1. A Berste polomok 3.1. Defícó. Legye emegatív egész, tetszőleges egész. A ( ) B (u) = u (1 u) polomot Berste polomak evezzük, ahol ( ) = {!!( )! 0, 0 egyébkét. A defícóból közvetleül
A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
A Sturm-módszer és alkalmazása
A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle
Kényszereknek alávetett rendszerek
Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások
Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
Matematikai statisztika
Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),
Regresszió és korreláció
Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés
( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.
y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)
(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai
05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:
Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján
Tudomáyos Dákkör Dolgozat SZABÓ BOTOND Arrheus-paraméterek becslése közvetett és közvetle mérések alapá Turáy Tamás. Zsély Istvá Gyula Kéma Itézet Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar Budapest,
MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011
MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe
STATISZTIKA II. kötet
Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy
Matematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
Regresszió és korreláció
Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 016.11.10 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés
Befektetett munka. Pontosság. Intuícióra, tapasztalatra épít. Intuitív Analóg Parametrikus Analitikus MI alapú
..4. Óbuda Egyetem ák Doát Gépész és ztoságtechka Mérök Kar yagtudomáy és Gyártástechológa Itézet Termelés olyamatok II. Költségbecslés Dr. Mkó alázs mko.balazs@bgk.u-obuda.hu z dı- és költségbecslés eladata
Változók függőségi viszonyainak vizsgálata
Változók függőség vszoyaak vzsgálata Ismétlés: változók, mérés skálák típusa kategoráls változók Asszocácós kapcsolat számszerű változók Korrelácós kapcsolat testsúly (kg) szemüveges em ő 1 3 férf 5 3
2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS. Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudomáya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlye tulajdoságáról számszerű értéket kapuk.
Megjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok
1 Komplex sámok 1 A komplex sámok algeba alakja 11 Defícó: A komplex sám algeba alakja: em más, mt x y, ahol x, y R és 1 A x -et soktuk a komplex sám valós éséek eve, míg y -t a komplex sám képetes (vagy
7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL
7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL Ebbe a fejezetbe kokrét mérések kértékelését mutatjuk be, köztük azokét s, amelyeket az. fejezetbe leírtuk. A kértékelés módszerét tulajdoképpe levezethetjük
13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai
Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk
Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE
BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.
Villamos gépek tantárgy tételei
Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot
Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
Laboratóriumi mérések
Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat
18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
Információs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet
Iformácós redszerek elmélet alapja Iformácóelmélet Glbert-Moore Szemléltetése hasoló a Shao kódhoz A felezőpotokra a felezős kódolás A felezőpot értéke bttel hosszabb kfejtést géyel /2 0 x x x p p 2 p
Matematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika
BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,
Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:
JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött
biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat
Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke
Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N
Krály Zoltá: Statsztka II. Bevezetés A paraméteres eljárások alkalmazásához, a célváltozóra ézve szgorú feltételek szükségesek (folytoosság, ormaltás, szóráshomogetás), ekkor a hpotézseket egy-egy paraméterre
specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat
ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző
Ingatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL
86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )
Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától
Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported
Nevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.
Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására
Ellenben az alábbi táblázat egére, nem additív, hiszen különbségek: =4.6 és =3,3; azaz a B típus jobban bírja az éhezést.
Meység geetka Most olya jelegekkel foglakozuk, amelyek ge sok lókuszo öröklődek. A géek kfejeződését a köryezet s befolyásolja! Pl. a Drosohla száryá a keresztér háyát, okozhatja egyrészről ot mutácó,
10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai
Budapest Műszak és Gazdaságtudomáy Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudomáy Kar Üzlet Tudomáyok Itézet Meedzsmet és Vállalatgazdaságta Taszék Dr. Tóth Zsuzsaa Eszter Dr. Jóás Tamás Erde Jáos Gazdaságstatsztka
Hipotéziselmélet. Statisztikai próbák I. Statisztikai próbák II. Informatikai Tudományok Doktori Iskola
Hpotézselmélet Iformatka Tudomáyok Doktor Iskola Statsztka próbák I. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása Statsztka próbák II. Dötés eljárást dolgozuk k aak eldötésére, hogy a ullhpotézs gaz-e. Ha úgy kell
Statisztikai hipotézisvizsgálatok
Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy
1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE
MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak
A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
alapmátrix azon alapuló számítását. Az összefüggés igényli az L( A 1 esetére megadja a Wei-Norman egyenletet és a Φ (t) ) Lie-algebra A
Bíráló véleméy SzabóZoltá: A Geometrc Approach or the Cotrol o Swtched ad LPV Systems (Kapcsolt és LPV redszerek ráyítása geometra megközelítésbe) c. MTA doktor (DSc) értekezésről Az értekezés az ráyíthatóság,
4 TÁRSADALMI JELENSÉGEK TÉRBELI EGYÜTTMOZGÁSA
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 4 TÁRSADALMI JELENSÉGEK TÉRBELI EGYÜTTMOZGÁSA 4. Általáos szempotok A terület folyamatok, a tagoltság vzsgálata szte sohasem szűkül le egy-egy jeleség (mutatószám) térbel
A szerkezetszintézis matematikai módszerei
7 A szerkezetsztézs matematka módszere 1.5 Első derváltat géylő módszerek Az első derváltat géylő módszerek (elsőredű módszerek, melyek felhaszálják a grades formácókat, általába hatékoyabbak, mt a ulladredű
Kvantum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus
LOGO Kvatum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iormatikai Kar Bevezető Kvatum párhuzamosság Bármilye biáris üggvéyre, ahol { } { } : 0, 0,,
1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:
Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján
Backtrack módszer (1.49)
Backtrack módszer A backtrack módszer kombatorkus programozás eljárás, mely emleárs függvéy mmumát keres feltételek mellett, szsztematkus kereséssel. A módszer előye, hogy csak dszkrét változókat kezel,
A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?
01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó
I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
Függvénygörbe alatti terület a határozott integrál
Függvéygörbe alatt terület a határozott tegrál Tektsük az üggvéyt a ; tervallumo. Adjuk becslést a görbe az tegely és az egyees között síkdom területére! Jelöljük ezt a területet I-vel! A becslést legegyszerűbbe
EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
Eseményalgebra, kombinatorika
Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek
DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI
OPERÁCIÓKUTATÁS No. 9. Szűcs Gábor DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI Budapest 007 Szűcs Gábor: DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI OPERÁCIÓKUTATÁS No. 9 A sorozatot szerkeszt: Komárom Éva Megjelek