Szemmegoszlási jellemzők

Átírás

1 Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és igéyesebb tervezési felaatok megolása sorá a betook és habarcsok aalékayagául, esetleg töltőayagául szolgáló homokok, homokos kavicsok, zúzottkövek, kőlisztek stb. szemmegoszlását számszerűe a várhatóértékkel, a szóráségyzettel, a variációs téyezővel, az átlagos szemagysággal, a logaritmikus fiomsági moulussal, és a térfogati fajlagos felülettel jellemezhetjük. Ezek kiszámítása miig a szitavizsgálat, vagy szeimetálás ereméye alapjá törtéhet. A szemmegoszlási jellemzők szemléltetéséhez és számításához azt a közös tulajoságukat haszáljuk fel, hogy miegyikük értéke kifejezhető a jellegükek megfelelőe traszformált abszcisszategelye ábrázolt szemmegoszlási görbe alatti vagy feletti területtel. Ehhez az abszcisszategelyek beosztását úgy kell megválasztai, hogy a kooriátareszerbeli területek a szemmegoszlási jellemzőkkel aráyosak legyeek, amit a szemmegoszlási görbe ereetileg lieáris abszcisszategelyéek esetekéti traszformációjával lehet eléri. A lieáris skálabeosztású abszcisszategely a szemagyságak, a traszformált tegely a szemagyság származékáak kifejezője. A szemagysággal a várhatóérték egyees, a szóráségyzet égyzetes, az átlagos szemagyság és a logaritmikus fiomsági moulus logaritmikus, a térfogati fajlagos felület forított aráyú összefüggésbe áll. Ezért a várhatóértéket lieáris, a szóráségyzetet égyzetes, az átlagos szemagyságot és a logaritmikus fiomsági moulust logaritmikus, a térfogati fajlagos felületet reciprok beosztású abszcisszategelyre rajzolt szemmegoszlási görbével jeleítjük meg. A függetle változó az abszcisszategely lieáris beosztása eseté, égyzetes beosztása eseté, logaritmikus beosztása eseté lg, reciprok beosztása eseté -1. A mértékegysége mm. Utaljaak az alsó iexek a halmaz-határokra, az 1 az elsőre, az az utolsóra, azaz a két utóbbi a szemhalmaz legkisebb és legagyobb szemagyságára.

2 Keressük a kapcsolatot a megfelelő görbe alatti területek és a külöböző szemmegoszlási jellemzők között. A p sűrűségfüggvéy és származékai alatt miig tömegaráyt kifejező valószíűségi sűrűségfüggvéyt, a hozzá tartozó p eloszlásfüggvéy és származékai alatt miig relatív tömeg-eloszlásfüggvéyt kell értei. A p sűrűségfüggvéy és a p eloszlásfüggvéy kapcsolata: p = p' A p sűrűségfüggvéy alatti terület értéke ν 0 = 1. 1 A szemagyság várhatóértéke, vagy más éve a lieáris fiomsági moulus (m l ) azoos a p sűrűségfüggvéy alatti területek az oriáta-tegelyre vett elsőreű yomatékával (ν 1 ), amely egyelő a p eloszlásfüggvéy feletti területtel (Ψ 0 ), azaz a lieáris beosztású abszcisszategellyel reelkező kooriátareszerbe ábrázolt szemmegoszlási görbe =0 és határú itervalluma feletti m l területtel (1. ábra):

3 m l = ν1 = Ψ0 = p' = p = (1) T ( ) [ mm] A szóráségyzet a p sűrűségfüggvéy alatti területek a várhatóérték függőlegesére vett µ másoreű cetrális yomatéka. Bizoyítható, hogy a szóráségyzet, azaz a µ másoreű cetrális yomaték egyelő a ν másoreű yomaték és a ν 1 elsőreű yomaték égyzetéek külöbségével, ami em más, mit a lieáris beosztású abszcisszategellyel reelkező kooriátareszerbe ábrázolt szemmegoszlási görbe feletti terület az oriátategelyre vett kétszeres Ψ 1 elsőreű yomatékáak és a várhatóérték égyzetéek külöbsége: σ = µ = ν ν1 = Ψ1 ml Ha a p eloszlásfüggvéyt em lieáris, haem égyzetes beosztású abszcisszategellyel reelkező kooriátareszerbe ábrázoljuk, akkor a kétszeres Ψ 1 elsőreű yomaték helyébe egyszeres ullareű yomaték lép, azaz a szóráségyzet egyelő a égyzetes beosztású abszcisszategellyel reelkező kooriátareszerbe ábrázolt szemmegoszlási görbe =0 és határú itervalluma feletti ( -T ) terület és a várhatóérték égyzete (m l ) külöbségével (. ábra): σ = m l T ( ) azaz σ + m l = T ( ) [mm ] A σ szóráségyzet felhaszálásával kiszámítható a σ szórás, a σ /m li relatív szóráségyzet, a σ/m li relatív szórás azaz variációs téyező. Ha a szemmegoszlási görbét tízes alapú logaritmikus beosztású abszcisszategellyel reelkező kooriátareszerbe ábrázoljuk, akkor az előzőekbe tárgyalt várhatóérték helyébe a logaritmikus várhatóérték lép. Mithogy a logaritmikus várhatóérték em más, mit az átlagos szemagyság tízes alapú logaritmusa (lg a, amelyet lg átlag -ak is jelölek), következik, hogy felhaszálásával az átlagos szemagyság kiszámítható. Az átlagos szemagyságot tehát tízes alapú logaritmikus beosztású abszcisszategelyű kooriátareszerbe értelmezzük, és számértéke eltér a lieáris fiomsági moulus számértékétől. A várhatóértéket meghatározása szerit az eloszlásfüggvéy feletti terület fejezi ki. A zérus kezőértékű lieáris abszcisszategely felett e terület határai =0 és, azaz az oriátategely és a legagyobb szemagyság. Logaritmikus beosztású abszcisszategely eseté a legagyobb szemagyság a lg helye található, e az oriátategely helyéek értelmezése eél boyolultabb, mert az abszcisszategely kezőértéke mivel lg0=- az eigiektől eltérőe zérustól külöböző szám kell, hogy legye. Az oriátategely szerepét a lg1=0 értékű abszcisszareező veszi át, amely két térfélre osztja a kooriátareszert. Mithogy az egyél kisebb számok logaritmusa zérusál kisebb értékű, azaz egatív előjelű, a lg1=0 értékű abszcisszareezőtől balra eső térfél előjele egatív lesz. A 1 <1 mm legkisebb szemagyságú szemmegoszlási görbe a legagyobb szemagyság értékétől függőe e egatív térfélbe helyezkeik el (ha <1 mm), vagy a pozitív térfélből oa átyúlik (ha >1 mm). Ez utóbbi lehetőséget tekithetjük a gyakorlatba legikább előforuló általáos esetek. ()

4 Így a logaritmikus várhatóértékkel kapcsolatba em beszélhetük görbe feletti, haem csak görbével határolt területről. Eszerit a logaritmikus várhatóérték (lg a ) azoos a logaritmikus beosztású abszcisszategellyel reelkező kooriátareszerbe ábrázolt eloszlásfüggvéyel határolt területtel, amely a lg1=0 értékű abszcisszareezőtől balra lévő egatív térfélbe görbe alatti, az attól jobbra lévő pozitív térfélbe görbe feletti részterület (3. ábra), amit a következőképpe lehet kifejezi: lg a = lg T (lg ) A (3) jelű egyeletbe a értékét mm-be helyettesítjük be, a lg a értékét peig evezetle számak tekitjük. Az átlagos szemagyság ( a, amelyet átlag -ak is jelölek) a logaritmikus várhatóérték (lg a ) umerusa, amelyet a (3) jelű egyelet értékéek meghatározása utá számíthatuk ki: (3) lg a a = 10 [mm] A 3. ábrá látható, hogy a lg a logaritmikus várhatóérték, és így a a logaritmikus átlagos szemagyság is, függetle az abszcisszategely lg m kezőértékétől. A logaritmikus fiomsági moulus a logaritmikus várhatóértékből származtatható. Levezetéséhez ki kell számítai az F lg Hummel-féle területet, amely a klasszikus megfogalmazás szerit azoos a tízes alapú logaritmikus beosztású abszcisszategellyel reelkező kooriátareszerbe ábrázolt szemmegoszlási görbe feletti területtel, amely az abszcisszategely lg m kezőértékéig terje. A művelet úgy hajtható végre, hogy a lg a és a lg m által képviselt területek külöbségét kell képezi, ami a lg m egatív előjele miatt számszakilag összeaást jelet: Flg Flg = lg a lg m = mlg lg azaz mlg = lg A a és m értékek mértékegysége mm, az F lg értéke evezetle szám, az m lg a logaritmikus fiomsági moulus, ugyacsak evezetle szám. A Hummel-féle terület (F lg ) agysága és következésképpe aak származékai, mit a külöböző abszcisszategely kezőértékekhez tartozó logaritmikus fiomsági moulusok, jeletős mértékbe függek a Hummel-féle területet határoló lg m abszcisszategely kezőérték, illetve az ahhoz tartozó m 0 szemagyság megállapoás tárgyát képező értékétől. Napjaikba az abszcisszategely kezőértékét általába m =0,063 mm-ek veszük fel. A XX. száza első feléek betokutatói, így az amerikai Abrams (1918), a émet Hummel (1930), maj követőik, mit a émet Spiel (1931), az osztrák Ster (193), és később ittho Palotás (195, 1961), Popovics (195, 1953), Balázs (1994), a beto aalékayagok szemmegoszlását em az abszcisszategely kezőértéktől függetle a logaritmikus átlagos szemagysággal jellemezték, haem a gyakorlat számára kétségkívül szemléletes és jól kezelhető görbe feletti F lg Hummel-féle területtel hozták összefüggésbe. Az aalékayag szemmegoszlásáak ma is a Hummel-féle területből levezethető logaritmikus fiomsági moulus a legfőbb jellemzője. A térfogati fajlagos felület az egységyi testtérfogatú szemhalmaz szemeiek felületösszege, azaz a szemhalmaz szemei külső felülete összegéek és a szemek

5 többyire pórusokat is tartalmazó, tehát a külső felület által határolt térfogata összegéek háyaosa. A gömb vagy kocka alakú, tehát iealizált szemalakú szemek halmazáak f V térfogati fajlagos felületét kifejezhetjük, mit a p sűrűségfüggvéy alatti területek az oriátategelyre vett (-1)-reű ν -1 yomatéka hatszorosát: f = 6 ν = 6 p' [mm ] V 1 Bevezetve az u= -1 [mm -1 ] jelölést és a feti egyeletbe behelyettesítve megfelelőit, bizoyítható, hogy u u1 fv = 6 ν 1 = 6 u + pu 0 u u -1 [mm ] Eszerit a térfogati fajlagos felület a reciprok beosztású abszcisszategellyel reelkező kooriátareszerbe ábrázolt szemmegoszlási görbe alatti terület hatszorosával egyelő (4. ábra), azaz f 1 = 6 ( + T ) V 1 ( ) [mm 1 ] A szemhalmaz térfogati fajlagos felületéek értéke agyo érzékey a fiomszemek agyságára és meyiségére. Pélául szélső esetkét a 1 =0 legkisebb szemagyságú szemhalmazok térfogati fajlagos felületéek számítása kifejezette ehézségekbe ütközik, mert ha 1 =0, akkor u 1 = és f V =, azaz a térfogati fajlagos felület értéke végtele agyra aóik. Ezért feltételül szoktuk szabi, hogy 1 0,001 mm illetve u mm -1 kell legye. Bár e feltétel ökéyes, értéke azért fogaható el, mert a beto aalékayagba a legfiomabb szemek az agyag szemek, (amelyek szemagysága 0,00 mm-él kisebb,) és ezek meyiségét egyébkét is tuatosa korlátozzuk. Az építőayagipari gyakorlatba a szemhalmazok egységyi meyiségére eső felületet a térfogati fajlagos felület helyett szívese fejezik ki a tömegi fajlagos felülettel, amit egyszerűe fajlagos felületek evezek. Eek méréstechikai oka va, míg ugyais a térfogati fajlagos felület egy számított szemmegoszlási jellemző, aig a fajlagos felület értékét meg lehet méri. A fajlagos felület mértékegysége m /kg, ami 1000 mm /g-ak felel meg. Az f fajlagos felület és az f v térfogati fajlagos felület kapcsolatát az (5) jelű egyelet írja le. 3 f = 10 f V ρ T [m /kg] ahol f V a térfogati fajlagos felület [1/mm], és ρ T a kiszárított állapotú szemhalmaz szemeiek átlagos testsűrűsége [kg/m 3 ]. A fajlagos felület az ayag testsűrűségéek is függvéye, ezért a térfogati fajlagos felülettel elletétbe em tekithető kifejezette szemmegoszlási jellemzőek, hisze a fajlagos felület csak az azoos testsűrűségű szemek halmazai felületéek közvetle összevetésére alkalmas. (5) (4)

6 Az 1. táblázatba két pélát mutatuk be egymással párhuzamba állítva a szemmegoszlási jellemzők számításáak ereméyére. Az 1. táblázatba szereplő urvább és fiomabb szemhalmazok szemmegoszlási jellemzőiek összevetéséből jól látható, hogy a szemmegoszlási görbe változásait a szemmegoszlási jellemzők értékei érzékeye követik, elhelyezkeését kifejező móo leírják. 1. táblázat: Pélák a szemmegoszlási jellemzők számításáak ereméyére Durvább szemmegoszlás Fiomabb szemmegoszlás [mm] p [tömeg%] [mm] p [tömeg%] [mm] p [tömeg%] [mm] p [tömeg%] 1 =0,063 p 1 =0 6 = p 6 = 1 =0,063 p 1 =0 6 = p 6 =67,3 =0,15 p = 7 =4 p 7 =40 =0,15 p =5 7 =4 p 7 =79,4 3 =0,5 p 3 =4 8 =8 p 8 =65 3 =0,5 p 3 =15,9 8 =8 p 8 =90 4 =0,5 p 4 =6 9 =16 p 9 =90 4 =0,5 p 4 =35,5 9 =16 p 9 =93,5 5 =1,0 p 5 =1 10 =3 p 10 =100 5 =1,0 p 5 =54, 10 =3 p 10 = p, összes áth. a., M% ,01 0, p, összes áth. a., M% ,01 0, , szemagyság, mm (log), szemagyság, mm (log) m l σ σ σ /m l m l σ σ σ /m l 7,648 57,598 7,589 0,985 3,414 41,47 6,440 3,557 lg a a F m=0,063 m lg lg a a F m=0,063 m lg 0,69 4,58 1,830 6,079 0,08 1,066 1,8 4,081 f v f ( ρ = 640 kg/m 3 ) f v f ( ρ = 640 kg/m 3 ) 4,357 [mm -1 ] 1,651 [m /kg] 13,735 [mm -1 ] 5,03 [m /kg] Ha ie tetszik kattitai, akkor egy Excel olal töltőik le. Ebbe található egy ábra egy szemmegoszlási görbével, és körülötte a görbéhez tartozó szemmegoszlási jellemzőkkel. Ha ki tetszik jelöli a görbe potjait, és a bal egérgombbal el tetszik húzi az ábrá a kijelölt potok közül egyet-kettőt, akkor egyrészt megváltozik a görbe alakja, másrészt megváltozak a szemmegoszlási görbéhez tartozó, az ábra körül látható szemmegoszlási jellemzők értékei. Felhaszált iroalom: Kausay Tibor: Beto aalékayagok szemmegoszlási jellemzőiek számítása grafoaalitikus móo. Vasbetoépítés VI. évfolyam. 1. szám. pp Jelmagyarázat: A jel előtt álló fogalom a fogalomtár szócikke. Röviített változata megjelet a 005. február havi számáak 6-7. olalá

7 Vissza a fogalmak tartalomjegyzékéhez