FIZIKA BSc, III. évfolyam /. félév Optika előadásjegyet GEOMETRIAI OPTIKA dr. Erdei Gábor, 6--4 AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: Klei-Furtak, Optics Richter, Beveetés a moder optikába Bor-Wolf, Priciples of optics Geometriai optika: köelítés, amely a féyterjedést és köeghatáro való áthaladást geometriai alakatok görbék segítségével írja le. Ee görbéket féysugarakak eveük. ÁLTALUNK ALKALMAZOTT KÖZELÍTÉSEK iráyfüggés helyfüggés térerő függés csak iotróp köegeket tekitük, pl. üveget (ekkor a. és. sugárdefiíció ugyaat adja, aa a féysugár ǁ k ǁ S, ld. alább) homogé és ihomogé köegeket tekitük (a féysugarak görbék is lehetek em csak egyeesek) csak lieáris köegeket tekitük (a féysugarak kölcsöhatás élkül kerestehetik egymást; a tér mide potjába aoos ω a gerjestés körfrekveciájával) hullámhoss függés mookromatikus eset (csak egy hullámhoss va a spektrumba, időbe koheres eset) polikromatikus eset (időbe ikoheres féy hullámhosskompoesekre botható) térbeli koherecia ELMÉLETI ALAPOK térbe koheres eset, pl. potforrás, síkhullám (va hullámfrot csillagféy, lée vagy térbe ikoheres eset (diffú féy potforrásokra botható) Maxwell egyeletek vektoriális hullámegyelet: E( r, t) E ( r, t) με ; = εrμr (Maxwell reláció) () t Ha mookromatikus, ω körfrekveciájú hullámot visgáluk, a megoldás általáos alakja lieáris köegekbe: E(r, t) = E( e iωt. () Mivel a gerjestés időbe harmoikus, a komplex formalimust hasáljuk a EM tér leírására (tehát E komplex, csak elhagytuk a hullámvoalat). Figyeljük arra, hogy ietől fogva a egyserűség kedvéért a fordított fáisterjestés móerét hasáljuk, aa a fáis siet a terjedés iráyába, és késik a idő függvéyébe. Eel a próbafüggvéyel a egyelet a időfüggetle, ú. Helmholt-egyelet alakot ölti: E( k E(. (3) /
Megoldások speciális esetekbe: Síkhullám: E( = E e i( k r + φ ) (4) Gömbhullám: E( = E e i(k r + φ ) / r, (5) ahol k π / λ. A Helmholt-egyelet megoldása általáos esetbe: E( = E( e i k S(. (6) Eikoál (εικών = kép görögül): a tér potjait a elektromágeses hullám fáisvisoyai serit jellemő skalár meyiség, jelölése: S(. A tér r és r helyvektorral jellemett potjai köött mérhető fáiskülöbség (Δφ) a eikoállal kifejeve: Δφ = k S( k S(. (7) A GEOMETRIAI OPTIKA ALAPEGYENLETE, ÉRVÉNYESSÉGI FELTÉTELEK A Helmholt-egyelet vektoriális, de mivel a Laplace-operátor skalár dimeiójú meyiség, a egyelet sétbotható függetle vektorkompoesekre (Ex, Ey, E). Csak a x-kompoest visgálva tehát: Ebbe behelyettesítjük a próbafüggvéyt: E ( k E (. (8) x ik S( ik S( E ( e k E ( e x x x. (9) Itt jól látható, hogy a vektoramplitudó (Ex) és a eikoál (S) helyfüggőek, tehát a továbbiakba et sem jelöljük. A alábbi vektoraoossággal a egyelet bal oldala átalakítható: A új egyelet így: a b a b a b b a. () iks iks iks iks Ex e E x e e Ex k Ex e. () A első tagál elvégük egy aoos átalakítást u u alapjá: iks iks iks ik S e ik e S k e S S S ik e iks e. () ahol felhasáltuk még (a b) ab + ba -et is. A második tag egyserűe átalakítható a lácsabály alkalmaásával: iks iks e ik e S. (3) ()-et, (3)-t vissahelyettesítve ()-be, és a mide tagba sereplő e ik S téyeővel egyserűsítve a követkeőt kapjuk: k Ex S S Ex S ik E x ik S Ex k Ex. (4) Eek a össefüggések va valós és képetes rése, midkettőek külö-külö egyelőek kell leie. A valós rések egyelősége alapjá: Ameyibe k Ex S Ex k Ex. (5) E x Ex k Ex 4 E / x (6)
Így (5) egyeletből kiesik a térerősség: k S k S. (7) E a geometriai optika alapegyelete, a ú. eikoál-egyelet. Egyserű alakja at fejei ki, hogy a geometriai optika érvéyességi feltétele eseté a EM tér fáisváltoásait em befolyásolja a térerősség váltoása, csupá a törésmutató-eloslás. A eikoál-egyeletből követkeik, hogy S( ( grad, (8) ahol ( a lokális törésmutató. A eikoál-egyeletet peremfeltételekkel együtt megoldva (aa a S értékét ismeri kell egy felület meté) megkaphatjuk a eikoál értékét a tér mide potjába. A (6) feltétel akkor teljesül, aa akkor vagyuk a geometriai optika érvéyességi köré belül, ha a térerősség-amplitudó relatív megváltoása (potosabba a második derivált) hullámhossyi sakaso elhayagolható mértékű. A állítás megfordítva talá még érthetőbb: akkor hasálhatjuk a geometriai optikát, ha a hullámhoss agyo kicsit a EM tér amplitudó-váltoásaiak jellemő térbeli kiterjedéséhe képest. Emiatt a geometriai optikát gyakra sokás ulla hullámhossúságú köelítések is evei, mely em teljesül pl. áryék sélé, vagy fókuspot köelébe, ahol a előbbi esetbe E-ek sakadása, utóbbi esetbe pedig sigularitása va. A (4) egyelet képetes réseiek egyelőségéből pedig a követkeő össefüggést kapjuk: Ex S E S, (9) x ami a ú. trasport-egyelet. Eek segítségével a eikoál ismeretébe a térerősség potról-potra meghatároható. Érdemes ésrevei, hogy ee egyelet felírásáál em hasáltuk a geometriai optikai köelítést! A eikoál-egyelet legfőbb alkalmaási területe a ihomogé köegek sámítása. Példák: légköri effektusok (aplemete, délibáb) féytörés gravitációs térbe lévő folyadékokba semlecse plaár hullámveető lecsék gradies lecsék sáloptikáho, léerdiódáho, leképeéshe elektrooptikák FÁZISVISZONYOK LEÍRÁSA A GEOMETRIAI OPTIKÁBAN Hullámfrot: S( = álladó (fáisfrot, kostas fáisú felület) tetsőleges g görbe P P r (helyvekto (7) alapjá, geometriai optikai köelítésbe, a követkeő itegrálással kaphatjuk meg a elektromágeses tér Δφ fáiskésését a tér két potja köött (ld. a feti ábra): / 3
S(P ) S(P ) k grad S( dr Δ (P,P ) k, () g ahol g tetsőleges görbe. Ameyibe a féy eljut P-ből P-be, értelemserűe kell léteie legalább egy olya g' görbéek, amelyre teljesül a, hogy éritője mide potba grad(s() iráyába mutat. Erre a görbére a fáiskésés: S( dr k ( dr k (P,P ) Δ(P,P ) k grad OPL g ahol felhasáltuk (3)-at, és OPL (Optical Path Legth) a optikai úthoss P és P köött. A feti egyeletet (4)-el össevetve: ΔS = OPL, g' meté törtéő itegrálás eseté! A g' speciális görbe további tulajdosága, hogy mide potba merőleges a hullámfrotra, mivel éritője grad(s) iráyú, amely vektor pedig defiíció serit merőleges a S = áll. felületekre, aa a hullámfrotokra. A fet defiiált g' görbéket féysugarakak eveük. A eikoál-egyelet éréketle a grad(s) előjelére (aa a féysugár iráyára), ami megfelel aak a állításak, hogy a féysugarak megfordíthatók. Féysugár defiíció I.: a féysugár olya görbe, amely mide potba merőleges a hullámfrotokra, illetve éritője grad(s) iráyába mutat. Mivel a a hullámsámvektor (k) defiíció serit merőleges a hullámfrotokra, a féysugár éritője k iráyába mutat. Ha a optikai úthossat féysugár meté mérjük ΔS = OPL. g, hullámfrot féysugár ENERGETIKAI VISZONYOK LEÍRÁSA A GEOMETRIAI OPTIKÁBAN Poytig vektor : S( r, t) E( r, t) H( r, t) (teljesítméy-sűrűség vektor, E = Re{Ẽ}! ) A teljesítméy-sűrűség vektor időátlaga mookromatikus tér esetébe dielektrikumba: E ( H ( k E ( S( r,t ). () E vektor hossát eveük I iteitásak. Egy ifiiteimális da felülete áthaladó teljesítméy a iteitás segítségével a követkeő képpe írható fel: dp( S ( r,t) da I( da cos( Θ) E( r, t) da Θ S( r, t) S( r,t) H( r, t) / 4
Ha a Maxwell-egyeletekbe beírjuk (6) próbafüggvéyt, akkor köye igaolható, hogy a geometriai optika érvéyességi feltételéek feállása eseté iotróp köegbe a Poytigvektor és a eikoál gradiese egy iráyba mutat (ld. pl. Richter, Beveetés a moder optikába, I. kötet,.3. fejeet). Féysugár defiíció II.: olya görbe, amelyek éritője mide potba a teljesítméysűrűség vektor iráyába mutat. A I. és II. defiíció iotróp köegbe egyeértékű. Poytig-vektor féysugár Féyyaláb: féysugarak által határolt csőserű tartomáy, amelyből a eergia em képes kilépi (a geometriai köelítés érvéyességi köré belül). Iteitástörvéy: A (9) trasport-egyelet egyserű aoos átalakításokkal a követkeő formára hoható (ld. Hartma Römer: Theoretical Optics 7.3 fejeet): S E x, () amelyből pl. a látsik, hogy homogé köegbe terjedő síkhullám eseté (S = cost.) a térerősség-amplitudó térbe em váltoik. A árójelbe sereplő tag aráyos a x- térerősségkompoes Poytig-vektoráak időátlagával, aa a iteitással, ld. (). Midhárom térerősségkompoesre fölírva és össegeve a követkeőt kapjuk: S S da. (3) Mivel a féysugarak párhuamosak a Poytig-vektorral, a (3) egyelet eqvivales a eergiamegmaradás törvéyéből is követkeő össefüggéssel, a ifiiteimálisa keskey féyyalábokra érvéyes ú. iteitástörvéyel: < S> da = < S> da, (4) mely olya (ú. reguláris ) tértartomáyba iga, ahol a féysugarak em keresteődek. < S> da da < S> / 5
A FÉNYSUGARAK EGYENLETE ÍVHOSSZ SZERINTI PARAMÉTEREZÉSBEN A féysugarakat a eikoállal defiiáltuk, eért egyeletüket a eikoál-egyeletből veetjük le. Féysugár = térgörbe, jelöljük g-vel. A g megadása, p paraméter függvéyébe: g: r = r(p) (5) alakú, amit a görbe paramétereéséek eveük. A feti egyeletbe r a féysugár pályáját letapogató helyvektor. Mivel a féysugár párhuamos grad S-el, valamit grads( S( = cost. (hullámfrot) és dr(p)/dp ǁ g görbe éritője (féysugá, felírható, hogy: dr( p) ~ grad S dp r. (6) g-ek végtele sok paramétereése léteik, mert ha r(p) paramétereés, akkor r(p(q)) is a, feltéve, hogy p(q) sig. mo., folytoos és a deriváltja is a. Emiatt a sugarak egyelete tartalma egy határoatla függvéyt. Egy görbe két paramétereéséek a deriváltja köött a követkeő össefüggés áll fö: dr( p) dr( q) dp dq dq dp, (7) ha q(p) jeleti a kapcsolatot a két függvéy köött. Mivel dq/dp skalár meyiség, a feti kifejeés at jeleti, hogy egy görbe külöböő paraméterek seriti deriváltvektorai mid ugyaabba a iráyba mutatak (a görbe éritője), csak a agyságuk eltérő. Eek serit bioyosa léteik egy olya r(q) paramétereés, amire iga, hogy dr( q) grad Sr. (8) dq A (7) össefüggést felhasálva, egy tetsőleges r(q(p)) paramétereésre e a követketőképpe é ki: dr( p) dq grad Sr f ( p) grad Sr, (9) dp dp ahol f(p) egy tetsőleges föggvéy, amely a r(p) görbe alakját em befolyásolja, csak a paramétereését. Ameyibe a f(p) = /( függvéyt válastjuk (9)-ből a követkeő les: r dr( p) grad S. (3) dp ( A eikoál-egyelet miatt e egy egységvektor, és matematikából tudjuk, hogy egy görbe ívhoss seriti seriti deriváltja a a éritő iráyú egységvektor. Vagyis ekkor p = s, ami a féysugár meté mért ívhoss. Et beírva a egyeletbe, és még egyser ívhoss serit deriválva a követkeőt kapjuk: d dr A egyelet jobb oldala a követkeőképp írható: d d S. (3) dr S S (3) dr(s)/ helyére beírva (3) egyeletet, a feti kifejeés a követkeőe alakul: / 6
S S S. df df ld. f dx dx A eikoál egyelet felhasálásával a kifejeés tovább egyserűsödik: grad (33) (34) Et egyelővé téve (3) baloldalával megkapjuk a sugarak ívhoss-seriti paramétereésbe felírt differeciálegyeletét: d dr grad, (35) ahol r(s) a megoldásgörbe paramétereése. Példa homogé köegek esete ( = cost.). Ekkor a sugarak differeciálegyelete a követkeő alakra egyserűsödik d r amiek a megoldását kétseres itegrálás utá megkapjuk:, (36) r = s a + b, (37) ahol a és b tetsőleges (a peremfeltételek által meghatároott) kostas vektorok. E at jeleti, hogy homogé köegbe a féysugár egyees voal, amely áthalad a b-vel megjelölt poto, és a iráyba mutat. FÉNYTÖRÉS KÖZEGHATÁRON Igaolható (ld. pl. Richter: Beveetés a moder optikába), hogy köeghatárho érve a geometriai optikai köelítésbe a féysugarakra érvéyes a Sellius-Descartes törvéy. Mivel a törési törvéy általáos érvéyessége síkhullámokra leveethető (ld. korábba), sokás a geometriai optikát lokális síkhullámú köelítések is evei. A GEOMETRIAI OPTIKA ALKALMAZÁSI TERÜLETEI képalkotó reerek (mi eel foglalkouk) megvilágító reerek Képalkotó / megvilágító reerek geometriai modelleéséél a tárgyat / féyforrást térbe koheres források (potforrások) össegére botjuk. GEOMETRIAI OPTIKAI KÖZELÍTÉSEK A KÉPALKOTÁSBAN elsőredű (paraxiális) köelítés agyítás, tárgy-kép helyet, féyerő, max. felbotás harmadredű köelítés (aberráció elmélet) képalkotási hibák aalíise valós sugárátveetés (törés, terjedés ismételgetése) képalkotási hibák, optimaliáció IDEÁLIS KÉPALKOTÁS egyserűsített defiíció potot potba képe le, aa a képpot és a tárgypot kojugáltjai egymásak a képalkotó reer forgásimmetrikus optikai tegelyre merőleges síkba lévő alakatok hasoló alakatokba képődek le (aa torításmetese) / 7
ELSŐRENDŰ (PARAXIÁLIS) KÖZELÍTÉS (GAUSS-OPTIKA) A paraxiális köelítés feltételei: α si(α) tg(α) y << r [α] = rad ; (eért elsőredű a köelítés) előjeles meyiségek! Aa féysugarak a optikai tegely köelébe, vele kis söget beárva haladak, és a felületek síkkal köelíthetőek. Eekből követkeik: gömbhullám ~ paraboloid felület. α y α - beesési sög α - törési sög y α α α r f Fókustávolság meghatároása egyetle törőfelület eseté: f r y ( ) y (féytörés) (felületormális) (ideális leképés) f r [α] = rad! (38) Tükör tárgyalása formálisa: =. Törőerő: P [dioptria m ] (39) f Két, követleül egymás mögé helyeett (. és. s.) felület eseté: P eredő P P (4) Paraxiális köelítésbe a féytörés ill. sabadtéri terjedés a X-Z és Y-Z síkokba egymástól függetleül sámolható! E a köelítés teljesíti a ideális leképés feltételeit! (A leveetést ld. Richter, Beveetés a moder optikába, I. kötet,.3.4 fejeet.) y θ y x d. felület. felület A paraxiális köelítés alapkérdése a, hogy ha egy adott. síko adott a féysugár poíciója és iráya (y ; θ), akkor egy további. síko mekkora (y ; θ). Mivel a köelítés lieáris, a válas mátrixos formába fogalmaható meg. A X-Z / Y-Z függetleség miatt csak a Y-Z iráyba felírva: / 8
y A C B y D (4) A féysugár iráyát leíró θ meyiséget optikai iráykosiusak eveük. Forgássimmetrikus reerbe a X-Z iráyba felírt egyeletreerek is ugyae a ABCD mátrixa a visgált.-. síkok köött. Pl. féytörés ABCD mátrixa (ha a két sík egy törőfelületél éppe egybeesik): R, (4) ahol P a felület törőereje (értelmeést ld. fetebb). Sabadtéri terjedés ABCD mátrixa: P d T (43) ahol d a. és. sík távolsága, a kööttük mért törésmutató. Egy N felületből álló össetett reer M mátrixát értelemserűe a feti elemi mátrixok sorata adja: VÉKONYLENCSÉK JELLEMZŐI M TN R... T R T. (44) s, s' tárgy-, képtávolság y, y' tárgy-, képmagasság α, α' tárgysög, képsög (törési törvéyből: α = ' α' ) m trasverális agyítás (m y'/y) ml logitudiális agyítás (ml s'/ s) mα sögagyítás (mα = θ'/ θ) f' képoldali fókustávolság (f' = s', ha s = ) NA tárgyoldali umerikus apertúra (NA si θ) e em paraxiális meyiség N y α y f' s' ' θ' s θ y' α' A távolságok és sögek előjeles meyiségek! Tehát s' >, de s <, és θ' > de θ <. IDEÁLIS LEKÉPEZÉS ÖSSZETETT RENDSZERREL Tétel: paraxiális köelítésbe mide forgássimmetrikus optikai reer ideálisa képei le egy homogé tárgytér mide potját egy homogé képtérbe, ha léteik legalább egy olya sugár, amelyik mid a tárgytérbe mid a képtérbe metsi a optikai tegelyt. (A em túl boyolult leveetés megtalálható pl. a Richter: Beveetés a moder optikába c. köyvbe.) Legye egy optikai reerél a és síkpár a, ahol e metsés bekövetkeik, és jellemeük e két sík köötti féyterjedést a ABCD mátrixsal. / 9
y +Δ +Δ ABCD T T ABCD Magyaráat A B C D felírásáho. (4) alapjá a féysugarak helykooriáta-trasformációja a követkeő egyelettel írható le: y A y B ( ) (45) Leképeés eseté a y helykooriáta midig függetle a féysugár idulási iráyától, ami csak akkor lehet iga, ha B =. (Leképeés eseté B értéke midig érus.) A - síkpárt refereciasíkokak tekitve most at visgáljuk meg, hogy egy tetsőleges másik + Δ helyetű tárgysíkho léteik-e képsík. Ee feltételeett képsík helye legye + Δ. Mivel a (; ) síkokho tartoó ABCD mátrixot tekitjük adottak, eel fejeük ki a eltolt síkpárho tartoó A B C D mátrixot: A BCD T ABCD. (46) T A sabadtéri terjedés mátrixáak (43) általáos alakja alapjá: T és Vagyis A B C D -re a követkeőt kapjuk: A C A B D C C T. (47) A A D C C. (48) Mivel a feti össefüggés alapjá C = C, értéke tárgy és képsík helyet-függetle, tehát C a visgált optikai reer egy jellemő paramétere, melyek jeletősége a követkeő alfejeetbe yer értelmet. Ha a Δ és Δ-vel eltolt síkok köött is leképeés áll fö, akkor B =, amiből: A C. (49) A E a lecsetörvéy általáos alakja, tetsőleges leképeést leíró refereciasíkokho képest. /
ÖSSZETETT LENCSERENDSZEREK TÁRGYALÁSA FŐSÍKOK SEGÍTSÉGÉVEL Fősíkok: a a tárgy-képsík pár, amelyre iga: m +. Ilye mide optikai reerél meghatároható. A fősíkok helyete egyértelmű. Ameyibe két síkpár köött leképeés áll fö, tehát a kööttük felírható mátrixba B =, ige köye belátható, hogy: A m D m Ha refereciasíkak a fősíkokat válastottuk, (49) a alábbi egyserű alakot ölti: (5) C. (5) Tartso Δ a végtelehe. Ekkor Δ defiíció serit a képoldali fókuspot helyetét adja: f ; C ; f P f, (5) ahol beveettük a törőerő fogalmát (P), valamit a tárgy és képoldali törésmutatókat: = és ' =. A f' képoldali fősíktól mért távolságot effektív fókustávolságak eveük. Eekkel megkapjuk a lecsetörvéy jól ismert, Gauss-féle alakját (s = Δ és s' = Δ): s s f s f s. (53) Ha tehát a fősíkoktól mérjük a tárgy és képtávolságot, illetve a fókustávolságot (effektív fókustávolság), akkor tetsőleges lecsereer eseté érvéyes a lecsetörvéy! feffektív Alapvető paraxiális törvéyserűségek: A fősíkok helyetéek grafikus meghatároása m L m m m (Lagrage - Helmholt - egyelet) (54) f f Speciális lecsereerek: teleobjektív, feffektív > serkeeti hoss (ld. féyképeőgép) iver teleobjektív, hátsó fókustávolság > feffektív (ld. projekto / képoldali fősík