AZ OPTIKAI TERVEZÉS ALAPJAI

Átírás

1 AZ OPTIKAI TERVEZÉS ALAPJAI Dr. Erdei Gábor, egyetemi doces Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Természettudomáyi Kar, Atomfizika Taszék v

2 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK.... BEVEZETÉS, ALAPFOGALMAK ÖSSZEFOGLALÁSA CÉLKITŰZÉS, TEMATIKA, TÁRGYKÖR AZ ELEKTROMÁGNESES SPEKTRUM TARTOMÁNYAI ALAPFOGALMAK ÖSSZEFOGLALÁSA ALAPVETŐ KÖZELÍTÉSEK.... A PARAXIÁLIS KÖZELÍTÉS ELMÉLETÉNEK ÁTTEKINTÉSE..... LENCSERENDSZEREK FELÉPÍTÉSE, ELŐJELSZABÁLYOK..... ELSŐRENDŰ KÖZELÍTÉS (paraxiális v. Gauss-féle közelítés) MÁTRIXOS FORMALIZMUS PARAXIÁLIS KÖZELÍTÉS A GYAKORLATBAN REKESZEK, PUPILLÁK NEVEZETES SUGARAK ALKALMAZÁSI PÉLDÁK AZ ABERRÁCIÓELMÉLET ALAPJAI KÉPALKOTÁSI HIBÁK (ABERRÁCIÓK) TRANSZVERZÁLIS, MONOKROMATIKUS ABERRÁCIÓK AZ ABERRÁCIÓK KVANTITATÍV VIZSGÁLATA ABERRÁCIÓELMÉLET A GYAKORLATBAN ELSŐRENDŰ SZÍNHIBÁK (KROMATIKUS ABERRÁCIÓK) SEIDEL-EGYÜTTHATÓK AZ ABERRÁCIÓELMÉLETBŐL LEVONT KÖVETKEZTETÉSEK GEOMETRIAI OPTIKA, RADIOMETRIA VALÓS SUGÁRÁTVEZETÉS RADIOMETRIA A KÉPALKOTÁS DIFFRAKCIÓS VIZSGÁLATA HULLÁMFRONT-ABERRÁCIÓ DIFFRAKCIÓS KÖZELÍTÉSEK GÖMBHULLÁM DIFFRAKCIÓJA DIFFRAKCIÓS HATÁSOKAT JELLEMZŐ MÉRŐSZÁMOK DIFFRAKCIÓKORLÁT KÖZELI RENDSZEREK JELLEMZÉSE LEKÉPEZÉSI HIBÁK MÉRŐSZÁMAINAK ÖSSZEFOGLALÁSA KITERJEDT TÁRGYAK LEKÉPEZÉSÉNEK VIZSGÁLATA KONVOLÚCIÓS TÁRGYALÁSMÓD MODULÁCIÓ-ÁTVITELI FÜGGVÉNY (MTF) AZ MTF KISZÁMÍTÁSA AUTOKORRELÁCIÓVAL AZ OPTIKAI TERVEZÉS FOLYAMATA AZ OPTIKAI TERVEZÉS MENETE OPTIKAI TERVEZŐ PROGRAMOK ALAPFOGALMAK DEFINÍCIÓI A MEGFELELŐ KÉPALKOTÓRENDSZER KIVÁLASZTÁSÁNAK SZEMPONTJAI ALAPVETŐ KÉPALKOTÓ RENDSZEREK BEMUTATÁSA ELŐADÁSON BEMUTATOTT RENDSZEREK GYAKORLATON BEMUTATANDÓ RENDSZEREK IRODALOMJEGYZÉK KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS... 96

3 . BEVEZETÉS, ALAPFOGALMAK ÖSSZEFOGLALÁSA.. CÉLKITŰZÉS, TEMATIKA, TÁRGYKÖR Célkitűzés Az optikai tervezéssel számos remek szakköyv foglalkozik, bőséges iformációt kíálva azok számára, akik alkalmakét kéyteleek egy-egy kokrét optikai redszert megtervezi. Akik viszot hivatásszerűe űzik ezt a tevékeységet, vagy esetleg fizikuskét potosabba szereték megismeri az optikai tervezésbe haszált fogalmak, összefüggések, közelítések hátterét, emige találak összefoglaló ayagot eek a hiáyak a pótlására tesz kísérletet a jele jegyzet. A szerző tapasztalatai alapjá azért szükségesek a továbbiakba taglalt ismeretek, mert az optikai tervezés agyo magas szite épít a fizikára: speciális fogalmakat haszáluk, emellett egy egyszerű gyakorlatias képlet levezetése az elektrodiamika Maxwell-egyeleteiből adott esetbe órákat is igéybe vehet, az alkalmazott közelítések száma pedig regeteg. A léyeg itt is a részletekbe rejlik: ha em ismerjük precíze a fogalomdefiíciókat és az alkalmazott modellek (közelítések) érvéyességi határait, teljese hihető, de valójába hibás eredméyeket kaphatuk. Az optika szakterületé egy hibás tervezési lépés pedig (az időigéyes gyártási folyamatokak köszöhetőe) több havi, akár féléves csúszást is eredméyezhet. A költségvozatok is redszerit sokkal agyobbak, ha általáos elektroikai, gépészeti stb. megoldásokhoz viszoyítjuk őket. A fetiekek megfelelőe a következő célokat tűzzük ki a taayag keretei belül: az optikai tervezés fogalom- és modellredszeréek elsajátítása; leképezőredszerek szokásos miősítési módszereiek megismerése; fotos optikai leképezőeszközök működéséek áttekitése; optikai tervezőprogram lehetőségeiek megismerése és haszálatáak alapszitű elsajátítása; leképezőredszerek specifikálása, kostrukciójáak meghatározása, tervezőprogrammal törtéő vizsgálata, a képmiőség javítása automatizált optimalizációval; a gyártási hibák hatásáak figyelembevétele; foglalástechikai alapfogalmak megismerése; optikai gyártási rajzok értelmezése; ayag- és alkatrészbeszerezés lehetőségeiek megismerése; kész redszerek visszafejtése (reverse egieerig), jusztírozása. Jele jegyzet erőteljese épít optikai alapismeretekre elsősorba a geometriai optika, paraxiális közelítés, skalár diffrakció, elektrodiamika, térbeli/időbeli koherecia témaköreiből. Bizoyos fogalmak tehát em kerülek elmagyarázásra, másokat pedig csak tömöre összefoglaluk ismétlés gyaát. Az ayag oktatása alkalmazott jellegű fizikusképzésbe, tipikusa MSc, I. évfolyamá ajálott. A jegyzet előadás formájába bemutatva -3 db 45 perces óra alatt leadható. A fejezetek is agyjából ehhez vaak igazítva, de beosztásukál egyértelműe a témakörökre botásra fektettük a hagsúlyt. Öálló képzés eseté a kevésbé kifejtett részek az ajálott szakirodalmi hivatkozásokból szükség eseté kiegészítedőek. A tárgy közledőjéek legjobb átadását kiegészítő számítógépes gyakorlatokkal lehet eléri (- db 45 perces óra). Teljese öálló felkészülés elsősorba azokak ajálott, akik már redelkezek émi alapismerettel valamelyik optikai tervezőszoftverrel kapcsolatba. Előadástematika Modellek, közelítések, összefüggések A leképezés miősítéséek módszerei A tervezés meete, számítógéppel támogatott tervezés Néháy leképezőredszer vizsgálata 3

4 Gyakorlattematika Programhaszálat Lecseredszerek modelljéek felépítése Leképezési jellemzők Lecseredszerek tervezése Foglalási eljárások alapjai Tűrésaalízis Tárgykör defiiálása Leképezőredszerek (ld. még megvilágítóredszerek) tervezése és miősítése Tegelyszimmetrikus redszerek (ld. még freeform felületek) Törő/tükröző felületek (ld. még diffraktív, Fresel-felületek, gradiesidexű ayagok) Sorredi féyterjedés (ld. még emsorredi sugárátvezetés) Lecseredszerek ki-/bemeete, mechaikai köryezete (ld. még termikus, vegyi hat.) Látható (optikai) hullámhossz tartomáy ( m).. AZ ELEKTROMÁGNESES SPEKTRUM TARTOMÁNYAI Az. táblázatba összefoglaltuk az elektromágeses spektrum fotosabb tartomáyait, ahol λ0 jelöli a hullámhosszat vákuumba. A látható tartomáy elsődleges féyforrásuk, a Nap földfelszíe 5500 K-es feketetest sugárzásáak megfelelő emissziós spektrumáak maximuma köryezetébe esik. E tartomáy további praktikus tulajdosága, hogy mid a légkör, mid fő alkotóelemük a víz, valamit számos egyéb ayag átlátszó m között, ugyaakkor az ilye sugárzás erős rezoaciát mutat az atomok külső elektrohéjaival, emiatt köye detektálható. A látható hullámhosszak elegedőe rövidek ahhoz, hogy a fiziológiai szükségletekhez szükséges felbotást a szem képes legye eléri. Elevezés λ0 Egység Agol rövidítés Tipikus kibocsátási mód Rádióhullámok > 00 mm RW atea, töltött részecskék mozgása Mikrohullám -0 mm MW üregrezoátor, atea Terahertz-sugárzás µm TR (Far-IR) Hosszúhullámú ifravörös 8-5 µm LWIR molekularezoacia Közepes ifravörös 3-5 µm Mid-IR (vibrációs, rotációs, torziós) Közeli ifravörös 0,75-,5 µm NIR vegyértékelektro átmeet Látható m VIS Közeli ultraibolya A m UVA Közepes ultraibolya B m UVB Távoli ulraibolya C m UVC, Deep-UV Extrém távoli ultraibolya 0-00 m EUV Lágy Rötge-sugárzás: -0 m Soft X-ray fékezési- v. szikrotrosugárzás Keméy Rötge-sugárzás 0,- m Hard X-ray törzselektro átmeet Gamma-sugárzás 0,- 0 pm γ-ray ukleáris folyamatok, aihiláció Kozmikus sugárzás < 0,0 pm CR részecskék. táblázat. Az elektromágeses spektrum fotosabb tartomáyai (λ0 a vákuumbeli hullámhossz). 4

5 Látható példák: Távoli UV példák: 54 m Hg (féycső) 93 m ArF lézer (50 m LW litográfia) λc = 656,8m (Hα) λhene = 63,8 m (Ne) λd λe λf = 587,568 m (He) = 546,043 m (Hg) = 486,34 m (Hβ). ábra. Példák látható és távoli UV tartomáyokba eső evezetes hullámhosszakra..3. ALAPFOGALMAK ÖSSZEFOGLALÁSA A féy tulajdoságai itezitás, besugárzás hullámfrot (azoos fázisú potok által alkotott felület) féysugár (hullámfrotok ortogoális trajektóriái k vagy Poytig-vektor iráy S, melyek iráya aizotróp közegbe egymástól eltér) optikai úthossz (vákuumra redukált út) OPL = d ; Δφ = OPL π / λ0 [rad] () időbeli koherecia (mookromatikus v. polikromatikus féy, esetleg impulzus) térbeli koherecia (diffúz megvilágítás defiiálható-e hullámfrot?) polarizáció (az elektromos/mágeses térerősség vektor rezgéséek hosszútávú térbeli vagy időbeli redezettsége, periodicitása) Itezitás, besugárzás A féy teljesítméyviszoyait leíró I itezitás esetükbe émi megfotolást igéyel. Elektrodiamikába a tér adott potjába a következőképpe defiiáltuk egy térbe koheres sugárzás itezitását: I S, () ahol S jelöli a a Poytig-vektort. Ez a képlet az ω körfrekveciájú mookromatikus síkhullám esetére a következő alakot ölti: I S k E 0 E0 v 5, (3) ahol E0 jelöli a térerősség amplitúdó vektorát, k a hullámszám vektor hosszát, μ a mágeses permeabilitás, <S> pedig a teljesítméysűrűséget leíró Poytig-vektor időátlaga. Az ekvivales megfogalmazásál v az adott közegbe mért féysebesség, ε a dielektromos permittivitás. Alkalmazott optikai szempotból az itezitás em a legmegfelelőbb meyiség, mert detektoraik em közvetleül ezt mérik, haem a da felületeleme merőlegese áthaladó teljesítméyt: dp S da I cos( ) da, (4)

6 ahol θ jelöli a felületormális Poytig-vektorral (hullámfrotormálissal) bezárt szögét. A helyzetet tovább boyolítja, hogy a felületeleme em feltétleül csak ez a sugárzás halad át, haem térbe ikoheres (diffúz) megvilágítás eseté érkezhet féy más iráyból is. A diffúz módo sugárzó terek leírásával, méréstechikájával foglalkozik a radiometria, amit egy későbbi fejezetbe tekitük át. Az egységyi felületeleme merőlegese áthaladó összteljesítméyt (azaz amit a detektoraik, szemeik érzékelek) az MSZ 960- féytechikai termiológiát tartalmazó szabváy besugárzott felületi teljesítméy -ek evezi. Mivel ez a megfogalmazás a gyakorlatba ehézkese haszálható, helyette a tömörebb és szité elfogadott besugárzás (irradiace) kifejezést haszáljuk ebbe a jegyzetbe. A besugárzás (H) potos defiícióját a (06) képlet adja meg, eek egyszerűbb változata látható alább, térbe koheres (azaz lokálisa egyetle hullámfrottal reprezetálható) terek esetére: H I cos( ) dp HdA. (5) A továbbiakba midkét meyiséget fogjuk haszáli, emiatt fotos megértei a közöttük lévő külöbséget. Időbeli koherecia Δν / τc ; Δλ0 = Δν λ0 / c (6) Látható féyforrások: Gázlézer: Δλ0 ~ 0,0 m Szilárdtestlézer: Δλ0 ~ 0, m Félvezetőlézer: Δλ0 ~ m (+ hőmérsékleti igadozás: m/0 C) LED: Δλ0 ~ 0 m Térbeli koherecia Térbe ikoheres módo világító tárgy eseté a tárgy felületéek potjai egymáshoz képest véletle fázisba vaak, és a köztük lévő relatív fázis időbe gyorsa változik. Az ilye tárgyról kiiduló ú. diffúz sugárzásba sem lokálisa sem agyobb területeke em határozható meg hullámfrot. (Más megfogalmazásba: a sugárzási tér mide potjá végtele számú hullámfrot halad át.) A tárgy felületéek potjai közötti átlagos távolság, amelye belül még időbe álladóak tekithető a relatív fázis a koherecia hossz. Térbe koheres sugárzás eseté a tárgy és a sugárzási tér potjai időbe álladó relatív fázissal redelkezek, ezért ilyekor meghatározhatóak a hullámfrotok (a koherecia hossz végtele).. ábra. Fázistárgy leképzése térbe koheres féyel. Fekete voalkét jól látható a fázislépcsők határá fellépő destruktív iterferecia. 3. ábra. Fázistárgy leképzése térbe ikoheres féyel. A fázislépcsők határá fellépő destruktív iterferecia láthatósága jeletőse romlott. 6

7 Magyarázatképpe ábrázoltuk (4. ábra) a tárgy ( o - object) besugárzás (H) és fázis-, valamit a kép ( i - image) térbeli besugárzáseloszlását a piros yíl (ld.. ábra) meté. ( H defiícióját ld. alább.) Koheres esetbe egy ideálisa leképező optika diffrakciós foltja (Airy-folt) a fázisugrás pozíciójába összeátlagolja a bal oldali 0 [rad] fázistolást a jobboldali π [rad] fázistolással, tökéletes destruktív iterfereciát okozva. A képe eek eredméyét fekete voalkét látjuk a fázisugrás meté. Ikoheres esetbe a tárgy térbeli kohereciahossza jóval kisebb mit az Airy-folt, emiatt az átlagolási tartomáyba véletle fázisú potok sokasága esik, jeletőse rotva a destruktív iterferecia láthatóságát. (Azaz a fekete csík majdem eltűik.) Ho (a) Ho (b) Ho (c) 0 y 0 y 0 y koherecia hossz koherecia hossz φo φo φo π π π 0 y 0 y 0 y Hi Hi Hi y' y' y' Airy-folt 4. ábra. A tárgy ( o - object) besugárzás (H) és fázis-, valamit a kép ( i - image) térbeli besugárzáseloszlása a piros yíl (ld.. ábra) meté. a) Térbe koheres megvilágítás esete, b) részlegese koheres megvilágítás esete, c) térbe ikoheres megvilágítás esete. a b c d 5. ábra. Amplitudótárgy (fekete-fehér égyszög rács) leképezése térbe koheres (a) és ikoheres féyel (b). Koheres megvilágítás eseté a határoko diffrakciós csíkok jeleek meg. Ikoheres esetbe a kapott kép kb. sziuszos besugárzás eloszlású. 6. ábra. Amplitudótárgy (égyzet) leképezése térbe koheres (c) és ikoheres féyel (d). 7

8 Ameyibe egy D oldalhosszúságú, égyzet alakú, λ hullámhosszo sugárzó, térbe ikoheres féyforrástól L távolságba elhelyezük egy eryőt, azo megváltozik a térbeli koherecia hossza a forráséhoz képest. Eek oka, hogy a távolság övekedésével csökke a tárgy Θs látszólagos szöge az eryőről ézve. A magyarázat szemléltetéséhez felhaszálhatjuk a Huyges-Fresel elvet, ld. a 7. ábrát, ahol a forrás potjaiból kiiduló elemi gömbhullámok iterfereciája hozza létre a diffrakciós mitázatot az eryő. Tegyük fel, hogy az eryő y' = 0 potjába, a t időpillaatba véletleül éppe kostruktív iterferecia lép fel, és a besugárzás maximális. Vizsgáljuk meg ekkor, hogy a forrás Q potjából az eryő P illetve P' potjaiba érkező sugárzás között mekkora a fáziskülöbség ( φ), amit a pirossal jelölt optikai úthosszkülöbség (OPD) okoz. Feltételezve, hogy z >> D (Fresel-tartomáy), és D >> Δy': y y OPD y y ; y = D/..+D/, (7) z z azaz a forrás felületé y és +y pozíciókba lévő Q potokból P'-be érkező féy fáziskésése elletétes előjelű. Ameyibe y = ±D/ szélsőértékeiél a fáziskülöbség éppe π, a P' potba destruktív iterferecia, azaz kioltás lép fel (Svelto, Laa, Priciples of Lasers ): D y. (8) L y ikoheres tárgy y' Q' OPD P' Δy' D L Θs z P Q Θs eryő 7. ábra. A Huyges-Fresel elv alkalmazása a kohereciahossz becslésére: azt vizsgáljuk, hogy a forrás aljá (Q) és tetejé (Q') elhelyezkedő potforrásból érkező féy mely P' potba kerül épp ellefázisba. A godolatmeet csak közelítő jellegű, mert y < D/ értékekél kisebb a fáziskülöbség mit π, ettől függetleül a zérus besugárzású potok átlagos távolságára ad egy becslést: L y. (9) D Az eredméyt a 8. ábra szemlélteti: t időpillaatba egy szemcseképet (speckle) látuk az eryő, amelyek átlagos szemcsemérete ( y') övekszik a tárgytól mért távolság övekedésével. 8

9 8. ábra. A speckle átlagos szemcsemérete övekszik a tárgytól mért távolság övekedésével (sorokét balról jobbra övekvő távolság). Ameyibe más t,,3,4... időpillaatba vizsgálóduk, az y' = 0 pozícióba em kostruktív iterfereciát foguk tapasztali, haem midig más és más besugárzás értéket, azaz a szemcsekép pillaatról pillaatra változik. (De az átlagos szemcseméret midegyike ugyaaz!) A sok eltérő szemcsekép összege, azaz az általuk érzékelt időátlag ikoheres megvilágítás eseté egy térbe homogé eryő kivilágítást eredméyez: t t t3 t4... időátlag 9. ábra. Az t,,3,4... időpillaatok szemcseképeiek összege, azaz az általuk érzékelt időátlag ikoheres megvilágítás eseté egy térbe homogé eryő kivilágítást eredméyez. A fetiek alapjá az eryő mérhető térbeli kohereciahossz tulajdoképpe y', mivel az eryő ilye távolságúál közelebbi potjai mide időpillaatba közel azoos besugárzásúak és azoos fázisba vaak. Most az előbbi forrással megvilágított eryő legye egy leképező redszer tárgysíkja (pl. mikroszkóp tárgylemez), amit egy si(θp) umerikus apertúrájú lecsével vizsgáluk. A fetiek alapjá megállapítható, hogy a leképezés miőségére gyakorolt hatás szempotjából a térbeli koherecia relatív fogalom, mivel a koherecia hosszt (speckle), ld. (9) képlet, kell összeveti a leképezőredszer felbotásával (Airy-folt): R Airy L 0,6 0,6 y 0.5. (0) NA D p s 9

10 Összefoglalva: Térbeli koherecia feltétele: y' >> RAiry Θs << Θp Térbeli részleges koherecia: y' RAiry Θs Θp Térbeli ikoherecia feltétele: y' << RAiry Θs >> Θp Θs y Θp ikoheres féyforrás tárgysík lecse v. redszer (belépő pupilla) 0. ábra. Ikoheres féyforrás világítja meg egy leképező redszer tárgysíkját. A leképezőredszer képmiősége szempotjából a térbeli koherecia relatív: A koherecia hosszt ( y') kell összeveti a leképezőredszer felbotásával (RAiry). A feti elvi ábra kokrét megvalósítása a Köhler-féle megvilágító redszer (. ábra), amelyet főkét mikroszkópiába alkalmazak izzószálas féyforrás eseté. A tárgysíko mért térbeli koherecia hossza a megvilágító redszer apertúra rekeszével szabályozható. (Magyarázat: eek yitásával megövelhető a tárgysíko áthaladó függetle síkhullámkompoesek szögspektrumáak szélessége Θs, azaz a forrás kollimáltból diffúzzá tehető.) z féyforrás kollektor lecse mező rekesz apertúra rekesz kodezor lecse tárgysík Θs. ábra. Köhler-féle megvilágítás sémája ideális vékoylecsékkel. A térbeli koherecia szerepe kitütetett véges kiterjedésű tárgy leképezéséek modellezéséél: képaalízis, moduláció átviteli függvéy, azaz MTF számítás. Méréstechikai alkalmazására szép példa a Michelso-féle stellar iterferométer, amiek segítségével a csillagok átmérője meghatározható. 0

11 .4. ALAPVETŐ KÖZELÍTÉSEK lieáris közegek (egymást keresztező féyyalábokál a szuperpozíció elve érvéyes) izotróp közegek (ics iráy- és polarizációfüggés) homogé közegek (a törésmutató felületekkel határolt tértartomáyoko belül álladó) szigetelő ayagok (a törésmutató valós és ics abszorpció, σ = 0) em mágesezhető ayagok (a féyterjedés megfordítható, μr =, ellepld. Faraday-eff.) skalár közelítés ( E(r) E(r) = U(r), ha NA = si Θp < 0,6 ) geometriai optikai közelítés (λ << optikai redszer méretek és féyyaláb méretek) időbe koheres (mookromatikus) féyforrás térbe koheres potszerű tárgy (gömbhullám) tervezéskor (ld. kovolúció-tétel!) térbe ikoheres (diffúz) kiterjedt tárgy kiértékeléskor (ha szükséges) JÖVÖ ÓRÁN Elsőredű közelítés: mátrixos formalizmus, vékoy- vastaglecse, fősíkok

12 . A PARAXIÁLIS KÖZELÍTÉS ELMÉLETÉNEK ÁTTEKINTÉSE ISMÉTLÉS Közelítések: lieáris, izotróp, homogé, szigetelő, skalár, időbe és térbe koheres eset.. LENCSERENDSZEREK FELÉPÍTÉSE, ELŐJELSZABÁLYOK sorredi sugárátvezetés Cooke-triplet yi yi+ vertex (homlokpot) yi ri > 0 xi xi+ zi zi zi+ féyterjedés iráya yi ri < 0 i di i+ zi. ábra. A Cooke triplet modellje. Mide törőfelületet egy felület modellez, melyek a paraméterei: a felület sorszáma (i), görbületi sugár (ri), a következő közeg törésmutatója (i), a következő felület távolsága az optikai tegely meté (di). Sorredi sugárátvezetés eseté mide féysugár csak egyszer, a felületek sorszámáak megfelelő sorredbe éri el a felületeket.

13 Tárgyfelület sorszáma: i = 0. Az (xi, yi, zi) koordiáta redszer az i felület lokális koordiáta redszere. Általáos, em tegelyszimmetrikus esetbe az egymást követő felületek lokális koordiáta redszerei el lehetek tolva és forgatva egymáshoz képest. Meridioális sík: bármely, az optikai tegelyt tartalmazó sík. Előjel koveciók: pozíció, szög, iráy és görbületi sugár.. ELSŐRENDŰ KÖZELÍTÉS (paraxiális v. Gauss-féle közelítés) Ideális leképezés defiíciója potot potba képez le (a leképzés sztigmatikus ), a képpot a tárgypot kojugáltja, OPD = 0 mide sugárra tetszőleges tárgy-képpot párra Fermat-elv a tárgytér egyeeseit a képtér egyeeseibe képezze le (az első feltétellel együtt emiatt síkot síkba képez le) létezze egy egyees amit a redszer ömagába képez le (optikai tegely, szimmetria tegely) az optikai tegelyt tartalmazó ( meridioális ) síkok ömagukba képződjeek le az optikai tegelyre merőleges síkok ugyailye síkokba képződjeek le az optikai tegelyre merőleges síkokba lévő alakzatok hasoló alakzatokba képződjeek le (azaz torzításmetese) Paraxiális közelítés y θ y x r z 3. ábra. Egy r görbületi sugarú törőfelület a lokális x,y,z koordiáta redszerébe. A paraxiális közelítés feltétele: A felületet elérő féysugár az optikai tegely közelébe metszi a felületet, az optikai tegellyel bezárt szöge pedig kicsi (ld (0) egyelet). θ si (θ) tg (θ) () y << r ahol r az adott felület görbületi sugara. Ekkor a törő/tükröző felületeket síkkal helyettesíthetjük. A sugarak hely / iráykoordiátái lieáris egyeletekkel számolhatóak. A paraxiális közelítésbe teljesülek az ideális leképzés feltételei. A sugarak XZ, YZ meridioális vetületei függetleül kezelhetők. (Tehát paraxiális közelítésbe két merőlegese elhelyezett hegerlecse helyettesít egy gömbi lecsét.) 3

14 Törőfelület fókusztávolsága z f 0 r 0 f 0 y ( ) y 0 (féytörés) (felületormális) (ideális leképzés) f r 0 [α] = rad! () y α0. felület α > 0 y x α0 α α z 0 r f z 4. ábra. A törőfelület (. felület) fókusztávolságáak felírásához (() egyelet) haszált meyiségek magyarázata. A törőerő defiíciója: p / f [dioptria = m ] (3) Tükör formális tárgyalása: = 0. (Ha r,tükör = r,törő felület és ptükör = ptörő felület, akkor = 30-ak felel meg! Ha em egyetle szférikus felületet, haem egy kétszerdomború lecsét haszáluk egy tükör helyettesítésére, amely rádiuszai megegyezek a tükörével, akkor a tükörrel azoos törőerejű lecse létrehozásához a törésmutatóak: = 0-ak kell leie.).3. MÁTRIXOS FORMALIZMUS Alapdefiíciók y 0.. θ α0 θ0 y y0 0 d0 z 5. ábra. Mátrixos formalizmusba külöböző optikai felülete mért sugárkoordiáták (sugármagasság (y) és iráykosziusz cos(α)) közötti összefüggést a két felület közötti átviteli mátrixszal fejezhetjük ki. 4

15 Féysugár y-optikai iráykosziusza: q0 0 cos(α0) = 0 si(θ0) 0 θ0, (4) vagyis az y-tegellyel bezárt szög kosziusza a z-tegellyel bezárt szög sziusza, ami paraxiális közelítésbe maga a szög. A 0. és. síkoko mért sugárkoordiáták között az átviteli (v. ABCD) mátrix teremt kapcsolatot (hasolóa az x-u koordiáta párosra): y q A C B y D q Ha leképezés áll fe, akkor B = 0! Lecsefelülete féytörés: Két felület között szabadtéri terjedés: A C B D p (5) (6) A C B D 0 d 0 0 (7) Síkpárhuzamos üveglemez d Δ z.. 6. ábra. Síkpárhuzamos üveglemez képeltoló hatásáak vizsgálata Most a mátrixos formalizmus segítségével azt vizsgáljuk meg, hogy egy törőerővel em redelkező üveglemez hogya helyezi át a képet (pl. CCD fedőüveg). Bár elsőre szokatla, de a 6. ábrá látható üveglemez egy leképzést valósít meg, az.-el jelölt (virtuális) tárgypot, és a.-vel jelölt képpot között. E tárgy-képsík pár között felírjuk az. potból (tárgysík) a. potba (képsík) törtéő leképezés ABCD mátrixát: A C B D 0 z d Δ d 0 0 z 0 ddδ. (8) A téyezők értelmezése jobbról balra haladva a következő: az. pottól az üveglemez belépő felületéig tartó virtuális terjedés; féytörés (egységmátrix); a d-vastagságú lemeze való áthaladás; féytörés (egységmátrix); az üveglemez kilépő felületétől a. potig tartó féyterjedés. A (8) összefüggés eredő mátrixára felírva a B 0 leképezési feltételt, a képeltolás mértékére az adódik, hogy: d. (9) Figyeljük meg, hogy z értéke kiesett a képletből, azaz a képeltolás mértéke függetle a lemez helyzetétől. Vegyük észre azt is, hogy (A = ) azt mutatja, hogy a agyítás egységyi. 5

16 Házi feladat: meyit változik a fókuszpot laterális (x-y) helyzete, ha a feti üveglemezt kicsiy α szöggel megdötjük? d Δ z.. 7. ábra. Ayagba fókuszált féyyaláb pozíciójáak megváltozása levegőbe fókuszált yaláb esetéhez képest. További érdekes kérdés, hogy adott ayagba fókuszált féyyaláb optikai tegely iráyú pozíciója meyivel változik meg ahhoz képest, ha ugyaezt a yalábot levegőbe fókuszáljuk (ld. 7. ábra). Ez olya, mitha fókuszpot éppe az előbbi üveglemez hátsó falá lee: Vékoylecse z d ; d z z d d z. (0) Két, ulla távolságra elhelyezett törőfelület, ahol 0 és r és r >> D (átmérő). Tárgytávolság: s, képtávolság : s' (vékoylecsétől mérve!) ld. a 8. ábrá. 0 = ; = ; =. y s' F' z F s y' 8. ábra. Vékoylecse tulajdoságait leíró meyiségek magyarázata. y s q 0 0 A vékoylecse törőereje tehát: s y s q 0 f f f f s y q () p = p + p = /f + /f. () 6

17 Így tehát: y A q C B y, ahol A = ps' ; B = s'( + ps) s ; C = p ; D = + ps. (3) D q Tárgy-képpot pár eseté y' függetle v-től, tehát B = 0, ie: s'( + ps) s = 0 /s' = p + /s, (4) ami em más mit a lecsetörvéy (p = /s' = /f, ha s ). (5) Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a vékoylecse mátrixát leképezés esetére: y s s q p 0 y. ( Nagyítás: s'/s ; szögagyítás: s/s' ) (6) s q s Vastaglecse : Ld. mit fet, kivéve: d 0. Fősíkok y 0 P P'.. d z z' 0 y y' z 9. ábra. Első fősík (P) a hátsó fősík (P') fogalma és az ezek közötti féyterjedés leírásához haszált meyiségek magyarázata. A fősíkok alkotják azt a tárgy-képsík párost, amelyet a redszer + -es agyítással képez le egymásba. Vékoylecse eseté ez egybeesik a vékoylecsével. Vastaglecse eseté, ha az első fősík távolsága az első lecsefelülettől: z, és a másodiké az utolsó lecsefelülettől z', és a lecse törésmutatója, a köryezetéé pedig 0, vastagsága d, rádiuszai r és r, akkor az első fősíkról (P) a hátsóra (P') törtéő féyterjedés mátrixa: y q d 0 0 z -z 0 0 f f y q (7) A fősík defiíciója miatt: y' = y tetszőleges v-re (tehát ABCD-ből A= és B=0). Ebből: z r d d r r ( )d p 0 0 p és z 7 r d d r r ( )d p 0 0 p, (8) ahol p és p az első és hátsó felületek törőereje, p pedig a lecse eredő törőereje. Ha a tárgy-, képtávolságot, valamit a fókusztávolságot a fősíkoktól mérjük, a (vékoy) lecsetörvéyt

18 kapjuk vissza! A 0. ábra a fősíkok helyzetét mutatja azoos fókusztávolságú pozitív/egatív lecsék, illetve gömb esetére. A rajzok méretaráyosak (paraxiális szimuláció). 0. ábra. A fősíkok helyzete azoos fókusztávolságú pozitív/egatív lecsék, illetve gömb eseté. A fősíktól mért fókusztávolságot effektív fókusztávolságak evezzük. Ha a vastaglecse effektív fókusztávolsága f ', akkor a törőereje (a levezetés a félévi házifeladat része): más formába: p d ( 0 0 ( 0 ) f r r (9) rr Ha d = 0, visszakapjuk a vékoylecse törőerejéek képletét. d p p p pp. (30) ) Ha a képtér törésmutatója és a tárgytéré ettől eltérő 0, akkor: 0 f. (3) f Ha adott méretű és távolságú tárgyról az f' fókusztávolságú, ' képtéri törésmutatójú lecse adott méretű képet készít, akkor '= képtéri törésmutató eseté f '0 fókusztávolságú lecse készít ugyaekkora képet ugyaerről a tárgyról: f ' = f '0 ' (3) f '0-t (levegőre voatkoztatott) ekvivales fókusztávolságak is evezhetjük. 8

19 Kardiális potok, paraxiális jellemzők, képszerkesztés s s' y Γ Θ F N P N' P' ' f' F' Γ' z f Θ' y'. ábra. Kardiális potok szemléltelése P főpot (fősík tegelypotja) ω tárgyszög (ld. következő utái oldal) N csomópot F fókuszpot Γ tárgysík (Gauss-utá) Γ' képsík Ha = ' akkor P = N. Paraxiális meyiségek defiíciói, összefüggései: NT traszverzális agyítás NL logitudiális agyítás ΓT szögagyítás NT y'/y (33) ΓT Θ'/ Θ (34) N (35) L N T ΓT (36) N A NT és ΓT szorzata (paraxiális közelítésbe) kostas, emiatt mide a tárgysíkkal kojugált felülete álladó a sugársűrűség (radiace). JÖVŐ ÓRÁN Elsőredű közelítés: pupillák, rekeszek, fókuszmélység, mélységélesség T 9

20 ISMÉTLÉS Ideális leképezés: 3. PARAXIÁLIS KÖZELÍTÉS A GYAKORLATBAN sztigmatikus, egyeest egyeesbe, síkot síkba képez le, torzításmetes, meridioális sík meridioális síkba, tegelyre merőleges sík tegelyre merőleges síkba képződik le Paraxiális közelítés: Az optikai tegellyel kis szöget bezáró és hozzá közel haladó sugarakra érvéyes; teljesíti az ideális leképzés feltételeit. Mide leképező redszer az optikai tegely közelébe ideális. Első és hátsó fősik: egymás +-es agyítású képei; ha a tárgy és képtávolságot tőlük mérjük, formálisa érvéyes rájuk a lecsetörvéy 3.. REKESZEK, PUPILLÁK EP BFL EP' AS. ábra. Belépő pupilla (EP), kilépő pupilla (EP') és apertúra rekesz (AS) helye egy triplet lecseredszer eseté. Hátsó fókusztávolság (BFL) értelmezéséek magyarázata. AS apertúra rekesz helye (aperture stop) FS mező rekesz helye (field stop) EP belépő pupilla helye (etrace pupil) EP' kilépő pupilla helye (exit pupil) BFL hátsó fókusztávolság (back focal legth), az utolsó lecsefelülettől a fókuszpot távolsága A belépő pupilla és az apertúra rekesz kölcsööse kojugáltak. A kilépő pupilla és az apertúra rekesz kölcsööse kojugáltak. A belépő pupilla és a kilépő pupilla kölcsööse kojugáltak. 0

21 3.. NEVEZETES SUGARAK EP ferde fősugár apertúra sugár ω' ω ' Θ' FS 3. ábra. Nevezetes féysugarak magyarázata A ferde fősugár (chief ray) a tárgytér szélé lévő tárgypotból halad a belépő pupilla közepe felé. Az apertúra sugár (axial ray v. margial ray) az optikai tegelye lévő tárgypotból halad a belépő pupilla széle felé. (ld. 3. ábra) Numerikus apertúra Abbe-féle defiíciója: A diffrakciós fókuszfolt sugara: Relatív yílás (f-szám): NA = ' si Θ' (37) R Airy λ 0 0,6 (38) NA F/# = f ' / D (= f#), (39) ahol D a belépő pupilla átmérője, f ' pedig a képoldali effektív fókusztávolság. Végteleből végesbe törtéő leképezésél haszálják. Az NA-val a felbotóképességet, az F/#-al a besugárzás mértékét szokás jellemezi (az optikai tegelye). (A besugárzás radiometriai defiíciója: egységyi területe merőlegese áthaladó féyteljesítméy.) Radiometriai-fotometriai megfotolásokból következik, hogy egy ideális (ú. aplaatikus) leképezőredszer és Lambert-sugárzó karakterisztikájú tárgy eseté a képsík közepé a besugárzás értéke ~ si Θ', valamit az is, hogy a képsík besugárzása általába ~ cos 4 ω'. (Lambert-sugárzóak akkor evezük egy tárgyat, ha az általa kibocsátott féy sugársűrűsége iráyfüggetle. A sugársűrűség radiometriai defiíciója: adott iráyba, egységyi felület merőleges vetülete által egységyi térszögbe kisugárzott féyteljesítméy.)

22 3.3. ALKALMAZÁSI PÉLDÁK Vékoylecse által egy féysugárhoz hozzáadott fáziskésés (~ ΔOPL) A fókuszálás példájá bemutatva: Δz y Δl a felület utái gömb hullámfrot y x z ' = ' = f a felület előtti sík hullámfrot d 4. ábra. Hullámfrot alakja vékoylecse előtt és utá (piros szaggatott voal). A lecse előtti fázisfelület (hullámfrot) és a lecse utái hullámfrot között mide féysugár meté ugyaakkor az optikai úthossz külöbség (ΔOPL): OPL( y ) OPL(0) OPL( y) d z ( d z) l 0 (40) Ebből a lecse által okozott fáziskésés (a z = 0 síkig): ( ) z ( ) d l, (4) ahol l kifejezhető a gömbi hullámfrot f görbületi sugarával: l Magyarázat a Taylor-sorfejtés: y y f y f y f f f y f y f y f (4) alapjá a lecse vastagságprofilja kb. parabolikus: ( y) f ha y f. (4) (43) y z d. (44) f Midebből az következik, hogy egy lecse úgy viselkedik, mit egy fázistoló elem, ahol a fázistolás ( φ) égyzetese függ a tegelytől mért távolságtól. Ez egybe azt is jeleti, hogy a gömbi hullámfrotokat paraxiális közelítésbe paraboláak tekitjük.

23 Fókuszmélység, mélységélesség (geometriai optikai közelítésbe) A fókuszmélység (δ' focus depth ) azt fejezi ki, hogy meyivel tolhatjuk arrébb a z- tegely iráyába a képsíkot aélkül, hogy jeletős képmiőségromlást észlelék. (Ha em a kép, haem a tárgysík eltolását vizsgáljuk, akkor a δ távolságot mélységélességek evezzük depth of field.) A képmiőségromlást azzal jellemezzük, hogy mekkora féyfoltot kapuk a képsíkba, defókuszált tárgypot eseté (ld. y' a 5. ábrá). A mélységélesség aál agyobb, miél kisebb y' tartozik ugyaakkora tárgy defókuszhoz, vagy miél agyobb tárgy defókusz tartozik ugyaakkora y'-hoz. Geometriai optikai közelítésbe a mélységélesség-tárgytávolság és effektív fókusztávolság függését az alábbiakba egy ideális lecse esetére vizsgáljuk meg, NT traszverzális agyítás mellett, paraxiális közelítésbe. Γ R Γ ' Δy z δ t k δ' Δy' 5. ábra. Mélységélesség (δ) defiíciója és vizsgálata: hogy mekkora féyfoltot ( y') kapuk a képsíkba defókuszált tárgypot eseté. y R k amiből következik, hogy R k (ha δ' << k, figyelem, a képe δ' és δ < 0!) (45) k N ; T L N T t N ; (46) k f t k N T k NT f ; figyelem: NT < 0! (47) f R R y y N T k k R NT y N f T y NT f NT #. (48) Következtetés: kisebb apertúrarekesz mérethez (R), azaz agyobb f#-hoz, agyobb mélységélesség tartozik, mivel ilyekor adott δ defókusz eseté kisebb az életle folt y' mérete. Ezt szemlélteti jól láthatóa az alábbi féykép-pár (6. ábra), ahol a agyobb f#-ál élesebb a háttér. 3

24 F/,8 F/5,6 6. ábra. Az apertúrarekesz méretéek csökketésével (az f# övelésével) a mélységélesség övelhető. A képsíko megfigyelhető defókuszált képfoltot a tárgyra visszavetítve a külöböző képalkotási kofigurációk jól összehasolíthatók egymással: amiből az következik, hogy y y N NT y ha NT f # y ha T f N # T NT y f NT # (49) (pl. féyképezőgép) (50) (pl. projektor, mikroszkóp objektív) (5) A feti összefüggések azt jeletik, hogy a mélységélesség kb. agyítás függetle agy agyítású optikák, pl. mikroszkópok, projektorok eseté. Féyképezőgépek eseté pedig azt a következtetést lehet levoi, hogy agyobb agyítással (azaz agyobb formátumú filmre vagy CCD/CMOS képdetektorra) fotózva ugyaazt a tárgyat, kisebb lesz a mélységélesség. Eze az elve alapszik a maapság divatos fotózási trükk, a miiatúra hatás, ahol agyméretű beállításokat ormál féyképezőgéppel (azaz kis agyítással) lefotózak úgy, hogy a képsíkot fizikailag bedötik az optikai tegelyre merőleges síkhoz képest, ezzel csökketve le mesterségese az amúgy praktikusa végtele mélységélességet ( tilt-shift photography ) ld. 7. ábrát. 4

25 7. ábra. Példa a miiatúra hatás alkalmazására. A féyképészetbe az f#-o kívül a fókusztávolság megváltoztatásával is érdekes hatásokat érhetük el, az effektív fókusztávolságak ugyais erőteljes hatása va a perspektívára. Tételezzük fel, hogy az f#-t és a agyítást (NT) em változtatjuk meg egy adott tárgy (T) leképzése eseté. A háttér (H) pozícióját sem változtatjuk T-hez képest. Aak érdekébe, hogy két külöböző fókusztávolság eseté (f < f) e változzo a agyítás, természetese eltérő kép és tárgytávolságokat kell alkalmazuk. Midezt jól láthatóa szemlélteti az alábbi méretaráyos rajz a 8. ábrá (paraxiális szimuláció). H Δy T f# f K f H Δy T f# δ K 8. ábra. Az effektív fókusztávolság övelésével csökkethető a perspektíva az azoos agyítás érdekébe a feti. és. esetbe eltérő kép és tárgytávolságokat kell alkalmazi. Nagyobb fókusztávolságú lecseredszer (tipikusa teleobjektív) haszálata eseté a perspektíva beszűkül, a T tárgy mögött érzékelhető háttér abszolút mérete lecsökke (H < H). Ez aak felel meg, hogy a. esetbe a háttér egy kisebb darabját látjuk 5

26 Defókuszált foltméret ( y) [δn T /f # ] ugyaakkoráak, mit az. esetbe. Az alábbiakba kiszámoljuk, hogy adott mértékbe (δ) defókuszált H háttére lévő tárgypotból érkező féy mekkora y foltot képez a T tárgyra élesre állított objektív tárgysíkjába. A fotózásba gyakra alkalmazott agy háttér-tágy távolság (δ) eseté em megfelelő sem a (45) kidulási egyelet, sem az ebből levezetett (49), mert em igaz a kezdeti feltétel: δ' << k (itt most szádékosa em maraduk mélységélessége belül). Emiatt potosabb képletet határozuk meg: Mivel k f t y R. (5) t t f N T y N T R f. (53) Mivel most elsősorba fotózásról va szó, feltételezzük, hogy NT << (azaz t >> f), amivel R y f N T y f # N R A kis agyítás (illetve agy tárgytávolság) miatt k f, ekkor T. (54) R f/f#. (55) Ezt a feti képletbe behelyettesítve és átredezve megkapjuk a végeredméyt: NT y, (56) f # NT f ami kis δ-kra téyleg visszaadja (50)-et. A defókuszált foltméret feti képletek megfelelő fókusztávolság függését ábrázoltuk a 9. ábrá, ormált egységekbe Effektív fókusztávolság (f) [δn T ] 9. ábra. A defókuszált foltméret - effektív fókusztávolság függése az (55) egyeletek megfelelőe. 6

27 Fotózásba δ több száz méter is lehet, és ilyekor ikább az teljesül, hogy δnt >> f. (Például f = 0, m; NT = 0,05 ; δ = 00 m f/ δnt = 0,04 <<.) Ekkor a képlet leegyszerűsödik: f y f #. (57) A kapott összefüggés úgy iterpretálható, hogy (kizárólag) agy defókusz eseté a háttérről érkező képfoltok mérete agyjából aráyos a fókusztávolsággal. A várható eredméyt demostrálja az alábbi fotó pár (30. ábra): agy fókusztávolság haszálata eseté szebb a háttér mosása. A második kép természetese jóval messzebbről készült, hogy a főtéma mérete kostas maradjo. 30. ábra. Nagyobb fókusztávolság haszálata eseté a perspektíva beszűkülése miatt szebb a háttér mosása. A feti képet szemlélve feltűhet, hogy a háttér midkét fókusztávolság eseté agyjából egyformá életle. Eek számszerűsítése érdekébe visszavetítjük y-t a háttérre, és meghatározzuk az ott mérhető látszólagos foltméretet ( yh). Továbbra is NT << : t y H y t y R t Ismét felhaszálva, hogy R f/f#: y ( t ) R 7 y H R t R k N T R N f T (58) NT yh, (59) f # vagyis visszakaptuk (50)-et. Ezzel azt is igazoltuk, hogy midegy, vajo objektívükkel a tárgyra vagy a δ távolságba lévő háttérre álluk-e élesre, a defókuszált képfolt kiszámítására alkalmazható képlet em változik. A feti összefüggés értelmezése a következő: a háttére mérhető defókuszált folt mérete fókusztávolság függetle, de agyobb fókusztávolság haszálata eseté a perspektíva beszűkülése miatt az ugyaolya mértékbe életle hátteret relatíve agyobbak érzékeljük, ami a főtéma (tárgy) síkjába látszólagosa életleebb, erőteljesebb mosású hátteret biztosít.

28 JÖVŐ ÓRÁN Harmadredű közelítés: leképezési hiba gömbfelület eseté, traszverzális és logitudiális sugáraberrációk, aberrációs poliom, az aberrációk mérőszáma 8

29 4. AZ ABERRÁCIÓELMÉLET ALAPJAI ISMÉTLÉS Apertúra rekesz: Be-, kilépő pupilla: Ferde fősugár: Apertúra sugár: az optikai tegelye lévő tárgypotból idított féykúp yílásszögét határozza meg, azaz a redszere átjutó féymeyiséget korlátozza virtuális síkok, melyek az apertúra rekesz tárgy-/képoldali képei (köztük a agyítás em feltétleül egységyi!) a tárgy szélé és az apertúra rekesz közepé áthaladó féysugár a tárgy közepé és az apertúra rekesz szélé áthaladó féysugár 4.. KÉPALKOTÁSI HIBÁK (ABERRÁCIÓK) A valódi (azaz em paraxiális) optikai redszerek általába em teljesítik az ideális leképezés feltételeit. Ekkor a leképezés képalkotási hibákkal aberrációkkal terhelt. Az aberrációkat az okozza, hogy gyártás és elleőrzés egyszerűsége miatt a leggyakrabba haszált gömbsüveg alakú lecse és tükörfelülettel általába em lehet kiterjedt tárgyról tökéletes leképezést megvalósítai. Az aberrációk em a gyártási hibák következméyei, haem a gömbfelületekből alkotott (évleges) optikai redszer sajátjai. (A gyártási hibák képalkotásra gyakorolt hatásait az ú. tűrésszámítással vesszük figyelembe.) Az aberrációelmélet jeletősége a képalkotás miőségéek megismerésébe és leírásába jeletős szerepet játszottak a leképező redszer belső összefüggéseit lehet általuk feltári a külöböző aberrációk eltérő tervezési műfogásokkal korrigálhatóak segítségükkel általáos tervezési elvek alakíthatóak ki Gömbi törőfelület leképezési hibája (aberrációja) y α0 Δz. felület (lecse). felület (eryő) y x α0 α α y 0 z r s 3. ábra. Kollimált, tegelyelypárhuzamos belépő yaláb leképezése és egy gömbi törőfelülettel. A leképezés hibájáak (y) meghatározása. 9

30 0 / 0 (60) A jele vizsgálatot kollimált, tegelypárhuzamos belépő yaláb eseté végezzük. Keressük az y = f(y) függvéyt, az r, 0 és s paraméterek függvéyébe. Taylor-soros közelítésből: A Taylor-soros közelítésből: I. II. III. IV. si y r z r y 0 y si 0 r si Midezeket IV.-be behelyettesítve és átredezve: y 0 s y 0r 0 y s z tg 0 (6) y III. z (6) r y II. 0 a si (63) r y I. és II. a si (64) 0r 3 3 x x a si( x) x ; tg( x) x (65) 6 3 r s 3 r y , (66) ahol a keletkező ötödredű tagokat elhayagoltuk. A feti összefüggés harmadredig leírja a leképezés hibáját, az optikai tegelye lévő végtele távoli tárgypot eseté. Az első tag a defókuszáltságot írja le; ha s = f, ez a tag ulla, a. felület a paraxiális fókuszba va (ld. múlt óra, elsőredű közelítés). A második tag, mit majd később láti fogjuk, az ú. yíláshiba v. szférikus aberráció (ld. 3. ábra). 3. ábra. Nyíláshiba okozta aberráció. A képsík a paraxiális fókuszba va. 30

31 0.005 s = f = 60 mm ; r = +0 mm ; 0 =, y (képsíko) [mm] y (kilépő pupillá) [mm] 33. ábra. Nyíláshiba traszverzális hibagörbéje, a képsík paraxiális képsíkba s = f 0,0 = 59,9 mm ; r = +0 mm ; 0 =, y (képsíko) [mm] y (kilépő pupillá) [mm] 34. ábra. Nyíláshiba traszverzális hibagörbéje, a képsík optimális pozícióba (foltméret miimumál). Aberrációk csoportosítása spektrális viselkedés szerit mookromatikus aberrációk: egyetle, adott hullámhosszúságú féyel törtéő leképezés eseté is előállak (képélesség, alakhűség) kromatikus aberrációk: külöböző hullámhosszak eseté törtéő leképezés eseté keletkezek, a lecseayagok (üvegek) törésmutatójáak hullámhossz-függése miatt Aberrációk csoportosítása mérőszám szerit traszverzális sugáraberrációk (a hibákat a képsíko lévő képfoltoko mérjük) logitudiális sugáraberrációk (a hibákat az optikai tegely iráyába mérjük) hullámfrot-aberrációk (a hibákat a kilépő pupilla hullámfrotjá mérjük) 3

32 4.. TRANSZVERZÁLIS, MONOKROMATIKUS ABERRÁCIÓK x y fx θ ρ fy x' = dx y' dy paraxiális képpot h' h'paraxiális z h tárgypot D/ valós fősugár be- v. kilépő pupilla 35. ábra. Traszverzális sugáraberrációk vizsgálata. Féysugár traszverzális koordiátái az optikai tegelyhez képest: x' és y' Traszverzális sugáraberrációk értéke a valós fősugár-képsík metszéspothoz képest: dx és dy ρ = fx + fy si θ = fx / ρ (67) cos θ = fy / ρ ρ, fx, fy a kilépő pupilla D/ sugarára ormált koordiáták. tageciális sík: Az y-z sík. Mide tárgypotra azoos. Speciális meridioális sík, amely az általába az y-tegely meté felvett tárgypotokat tartalmazza. szagittális sík: Merőleges a tageciális síkra és bee fekszik az adott tárgypotból idított fősugár. Mide tárgypotra külö-külö kell értelmezi. Peremsugarak defiíciója (36. ábra) fy apertúra rekesz fx fősugár (valós), ρ = 0 tageciális peremsugarak (valós) szagittális peremsugarak (valós) 36. ábra. Peremsugarak defiíciója. 3

33 Traszverzális sugáraberrációk harmadredű közelítésbe Az x' és y' sugárkoordiáták Taylor-sorfejtése hegerkoordiáta redszerbe: (Miközbe a tárgypot a tageciális síkba va.) y' A ρ cos θ + A h + B ρ 3 cos θ + B ρ h + cos θ + 3B3 + B4 ρ h cos θ + B5 h x' A ρ si θ + B ρ 3 si θ + B ρ h si θ + B3 + B4 ρ h si θ +... (68) A - A - B - B - B3 - B4 - B5 - defókusz agyítás yíláshiba (szférikus aberráció) kóma asztigmatizmus Petzval-képmezőhajlás torzítás Midegyik aberráció jellegzetese függ a tárgymagasságtól és a pupilla koordiátáktól. Az egyes aberrációk a legritkább esetbe vaak jele ömagukba, más aberrációk élkül. Ideális leképezés Defókusz Nyíláshiba Kóma Asztigmatizmus 37. ábra. A mookromatikus aberrációk jellemző képfoltjai geometriai optikai közelítésbe. A sorfejtés együtthatói boyolult módo függek a görbületi sugaraktól, a lecsefelületek távolságától, a törésmutatóktól valamit a tárgy és képtávolságtól. Az előbb B értékét határoztuk meg aalitikusa egy gömbi törőfelületre, az optikai tegelye lévő végtele távoli tárgypot eseté. A sorfejtés tagjai közül a paraxiális képmagasság: és az ideális (sztigmatikus de torzított) képmagasság: A valós fősugár eseté (ρ = 0) a feti sorfejtésből az marad, hogy h'paraxiális = A h, (69) h' = A h+b5 h 3. (70) y' = A h+b5 h 3 és x' = 0, (7) azaz az ideális képmagasság (harmadredbe) megegyezik a valós fősugár képsíkkal vett metszéspotjáak y' koordiátájával. 33

34 kilépő pupilla fősugár 38. ábra. Kómával terhelt yaláb szóródási foltjáak szemléltetése. fősugár Ft Fs 39. ábra. Asztigmatikus yaláb fókusza (Ft és Fs egymásra merőleges fókuszvoalak). h' Petzvál-képfelület a b c rádiusza: rp képsíktól mért távolság (z) 40. ábra. Asztigmatizmus és képmezőhajlás (a képfelület y-z keresztmetszete). Az a, b, c szakaszok harmadredbe egyelőek (egyetle vékoylecse eseté). 34

35 4.3. AZ ABERRÁCIÓK KVANTITATÍV VIZSGÁLATA Traszverzális hibagörbe A traszverzális hibagörbe a valós fősugár képsíkkal vett döféspotjához képest mért traszverzális aberrációk (dy és dx) ábrázolása adott tárgypot eseté (h), a kilépő pupillá mért relatív sugármagasság függvéyébe (fy, fx). Szóródási folt Adott h tárgypotból az optikai redszere áthaladó féysugarak képsíkkal vett döféspotjaiak halmaza. A szóródási foltba a féysugarak sűrűsége aráyos a besugárzással (irradiacia). Ha ismert a szóródási folt (ez megfelel az impulzusválaszak), akkor tetszőleges tárgyról alkotott kép meghatározható a matematikából ismert kovolúció-tétel alapjá. Traszverzális aberrációk mérőszáma A külöböző aberrációkat praktikus okokból em a feti sorfejtés együtthatóival, haem az adott tárgypotból idított valós peremsugarak és a valós fősugár paraxiális képsíkkal vett döféspotjai között lévő távolságokkal mérik (ld. a ábráko). Eze távolságok értékét harmadredű közelítésbe határozzák meg, majd belőlük ormálással alakítják ki az aberrációs együtthatókat. A traszverzális aberrációs-együtthatók melyeket az aberrációk jellemző szimmetriatulajdoságai alapjá alakítottak ki a szóródási foltra jellemző közelítő mérőszámokat adak. A képsík paraxiális képsíkba va (mit az alábbi ábráko). Úgy tekitjük, mitha egyszerre csak egyfajta aberráció lee jele. A defiíciókat az érthetőség kedvéért leegyszerűsítettük. 4. ábra. Ideális leképezés hibagörbéje és szóródási foltja. (dx = dy = 0) dysph optikai tegely peremsugár 4. ábra. Nyíláshiba hibagörbéje és szóródási foltja. h = 0. 35

36 dycma fősugár szagittális peremsugár 43. ábra. Kóma hibagörbéje és szóródási foltja. h 0. dxast dyast tageciális fősugár szagittális peremsugár peremsugár 44. ábra. Asztigmatizmus hibagörbéje és szóródási foltja. h 0. dyptz fősugár perem sugár 45. ábra. Petzvál-képmezőhajlás hibagörbéje és szóródási foltja (ua. mit defókusz). h 0. 36

37 46. ábra. A (hordó) torzítás szemléltetése. A torzítás a agyítás értékéek tárgymérettől való em lieáris függése. A feti 46. ábra hordótorzítást mutat, eek ellekezője a páratorzítás. A torzítás mérőszáma: h' h'paraxiális, azaz a paraxiális képpottól mért távolság a képsíko, ahol h' a valós fősugár képsíkkal vett döféspotja. Gyakrabba haszált mérőszám a paraxiális képpottól mért relatív távolság: dydis = (h' h'paraxiális)/ h'paraxiális. (7) JÖVŐ ÓRÁN Kromatikus aberrációk Seidel-együtthatók Az aberrációelméletből levoható következtetések 37

38 5. ABERRÁCIÓELMÉLET A GYAKORLATBAN ISMÉTLÉS Gömbfelület leképezési hibája Traszverzális sugáraberrációk: mookromatikus eset Aberrációs poliom: aberrációk tárgymagasság és pupillakoordiáta függése Peremsugarak: tageciális és szagittális iráy 5.. ELSŐRENDŰ SZÍNHIBÁK (KROMATIKUS ABERRÁCIÓK) a) b) 47. ábra. Logitudiális (a) és traszverzális (b) kromatikus aberrációk hatása a képfoltra. Traszverzális kromatikus aberráció dyplc 48. ábra. PLC elsőredű traszverzális szíhiba 38

39 PLC lieárisa függ a hullámhossztól, mert: ahol D jelöli a diszperziót. 0 D (λ λ0) (73) Logitudiális kromatikus aberráció dzpac 5.. SEIDEL-EGYÜTTHATÓK 49. ábra. PAC elsőredű logitudiális szíhiba Az aberrációs együtthatók Seidel-féle formájához akkor jutuk, ha a fet bemutatott aberrációs mérőszámok paraxiális képsíko mért, harmadredű közelítésbe meghatározott értékeit ormáljuk a umerikus apertúra reciprokával, azaz /NA-val (azaz NA-val szorozzuk). Ez kb. aak felel meg, mitha az aberrációk mérőszámát a diffrakciós folt sugarához viszoyítaák (RAiry ~ /NA): SA3 NA dysph - harmadredű yíláshiba (SPHA) CMA3 NA dycma - harmadredű kóma (COMA) AST3 NA (dyast dxast) - harmadredű asztigmatizmus (ASTI) PTZ3 NA dyptz - harmadredű Petzvál-képmezőhajlás (FCUR) (74) PLC NA dyplc - elsőredű traszverzális szíhiba (CTR) PAC NA dzpac - elsőredű logitudiális szíhiba (CLA) DIS3 00% dydis - torzítás (DIST) Zárójelbe a ZEMAX program által haszált elevezések szerepelek. A Seidel-együtthatók felületjárulékai A fetebb defiiált Seidel-együtthatók a lecseredszert alkotó mide felületre külö-külö kiszámolhatóak. Mivel egy adott felület bármelyik aberrációja csak kismértékbe öveli a képsíko a foltméretet, alkalmazható a kisjelű közelítés (liearizáció): az optikai redszer 39

40 eredő aberrációját közelítőleg a felületekél számított aberrációk összegekét kapjuk meg. Az együtthatók ormálása miatt a külöböző felületeke számított azoos fajta (pl. SA3 típusú) aberrációs együtthatók jól összehasolíthatóak, ugyais mid az adott felülethez tartozó képméret, mid pedig a diffrakciós folt sugara a agyítással aráyosa változik (tehát mide felületél a képméret / diffrakciós foltméret háyados, azaz a felbotóképesség álladó). SA3 CMA3 AST3 PTZ3 i i i i SA3 i CMA3 AST3 PTZ3 i i i DIS3 PLC PAC i i i DIS3 PLC i PAC i i (75) Ahol i a felület sorszáma, pedig az összes felület darabszáma. NA dy sph, i = az i = felület paraxiális képsíkja 50. ábra. Példa az i = felület yíláshiba együtthatójáak meghatározására (dysph, SA3). A Seidel-féle aberrációs együtthatók alkalmazásáak korlátai Az aberrációk mérőszámaiak meghatározásakor a féysugarak pályájáak kiszámítását csupá harmadredű közelítésbe végzik, ami 0-5% hibát jelet a valós sugárátvezetés eredméyeihez képest. A külöböző fajta aberrációk a valóságba együttese vaak jele és a képmiőségre gyakorolt hatásuk összeadódik. Az együtthatók viszot em adhatók össze (pl. kómát em adhatuk össze yíláshibával, vagy asztigmatizmussal). Emiatt csak Seidelegyütthatókra törtéő tervezéskor ics módukba a külöböző aberrációkkal egymás hatását kompezáli, ami viszot elegedhetetle pl. diffrakciókorlátos leképező redszerek tervezéséél. (Ezért, ameyibe va rá lehetőség, jobb valós sugárátvezetéssel, szóródási foltméretre optimalizáli.) 40

41 5.3. AZ ABERRÁCIÓELMÉLETBŐL LEVONT KÖVETKEZTETÉSEK Bár a legtöbb harmadredű aberráció (a Petzvál-görbület, a logitudiális és traszverzális szíhibák kivételével) függ a lecsék alakjától (vagyis egy adott leképezési feladat megvalósítására alkalmazható kombiációk száma végtele), az aberráció elmélet segítségével mégis levohatuk bizoyos általáos következtetéseket. A yíláshiba SA3 együtthatójáak aalitikus meghatározása felület átmérő: D y. felület. felület y x y 0 z 0 / 0 r 5. ábra. Magyarázó ábra a yíláshiba SA3 együtthatójáak aalitikus meghatározásához. Egyetle törőfelület yíláshibája a 4. fejezet alapjá (tárgypot végtelebe, a tegelye): s 3 y y s y (76) 0r r 0 r 0 s = f és p = /f helyettesítéssel (azaz ha a képsík paraxiális fókuszba va): p y y, (77) ahol p a törőerő (a lieáris tag a képletből kiesett). Ebből SA3 megkapható: ahol kihaszáltuk, hogy SA D p D y 0 0 y NA, (78) NA D//f = p D/, (79) ahol D a felülete a féyyaláb átmérője. Azaz pozitív lecse(felület) egatív yíláshiba, egatív lecse(felület) pozitív yíláshiba. A feti levezetéshez hasolóa az összes Seidel-együttható értéke (harmadredű közelítésbe) meghatározható a paraxiális ferde fősugár és a paraxiális apertúra sugár adott felülete vett hely és iráykoordiátáiból, és a lecseredszer szerkezeti paramétereiből (görbületi sugarak, törésmutatók stb.). Ezt szemlélteti a bemutatott képlet is, melybe a szerkezeti paramétereke kívül csak a valós apertúrasugár y-koordiátája szerepel (D alakjába), amely viszot a számításokba jól közelíthető a paraxiális apertúrasugár y-koordiátájával. Az együtthatókat kifejező képletek (egyik) általáos formája a boyolultságuk miatt itt ismertetésre em kerülő Coddigto-Taylor egyeletek. s

42 Az aberrációkat befolyásoló téyezők összefoglalása A Coddigto-Taylor egyeletek taulmáyozása alapjá általáosságba azt a tapasztalatot szűrhetjük le, hogy az aberrációs együtthatók a következő lecseredszer-paraméterektől függek (természetese midegyik máskét): lecsék alakjaitól lecsék számától törésmutatóktól tárgy és képtávolságtól tárgy és képmagasságtól apertúra rekesz helyétől apertúra rekesz méretétől A yíláshiba fet levezetett együtthatójáak aalitikus képletét alapul véve a főbb összefüggések jellegzetességeit foglaljuk össze az alábbiakba. Apertúrarekesz átmérő függés Adott felülete a yíláshiba együtthatója a féyyaláb átmérőjéek a egyedik hatváyával ő. Mide felülete a redszer apertúra rekeszéek átmérője határozza meg a féyyaláb méretét. Tehát a tervezési feladat által megegedett legkisebb apertúra rekesz átmérőt haszáljuk, hogy a legélesebb képet kapjuk. Az apertúra rekesz méretét akkor em csökkethetjük, ha adott méretűél kisebb diffrakciós foltot kell eléri, vagy a lecsével agy féyteljesítméyt kell begyűjtei. Az apertúra rekesz övelése a többi aberrációt is öveli. Lecseszám függés A yíláshiba tehát köböse ő a felület törőerejével. Egy adott p eredő törőerejű redszert k db. lecsefelületből összeállítva az egyes felületek pi törőereje kb. k első hatváyával fordította aráyos, mivel közelítőleg a felületek törőerejéek összege adja az eredő törőerőt: Egy felület yíláshibája viszot a törőerővel köböse csökke, azaz vagyis az eredő yíláshiba pi p/k. (80) SA3i ~ pi 3 = p 3 /k 3, (8) SA3 = SA3i = k SA3i ~ k/k 3 = /k -el (8) csökke a lecsefelületek darabszámáak övelésével. Következésképpe, adott eredő fókusztávolságú lecseredszert miél több, a lehető legkisebb törőerejű (azaz lehető legagyobb fókusztávolságú) lecsékből állítsuk össze, hogy csökketsük a yíláshibát. Ez a módszer a többi aberrációra is hasoló, azaz csökkető hatással va. Törésmutató függés Adott törőerő mellett, a yíláshiba egyedik hatváy szerit csökke a törésmutató övelésével. Midig haszáljuk a tervezési feladat által még megegedett legagyobb törésmutatójú üvegeket (költségvozat). A törésmutató övelése a többi aberrációt is csökketi. Példák: Schott BK7 üveg, d =,57, ár = 8-5 /kg, rel. ár =,0 ; Schott LASFN3 üveg, d =,880, relatív ár = 63 (kb. 300 /kg); Ohara S-LAH79, d =,003, ár = 600 /kg, relatív ár 80 (008-as adat). 4

43 Lecsealak függés Ha a yíláshiba együttható képletét a fetebb vázolt módo meghatározzuk egy adott eredő törőerejű, két felületből álló lecsére is, azt fogjuk tapasztali, hogy a yíláshiba függ a lecse alakjától. Ez a megállapítás igaz szite az összes aberrációra. Ha a lecse egyik felületéek görbületi sugarát szabado változtatjuk, a másik felület görbületi sugara adódik az eredő törőerő képletéből (ld.. óra). Egy adott törőerejű (effektív fókusztávolságú) lecsét tehát végtele számú lecsealakkal valósíthatuk meg. Midegyik lecsealakhoz más aberrációk tartozak, tehát a lecse alakjáak változtatásával (p = cost. mellett) bizoyos aberrációk jeletőse csökkethetők. Egy lecse eseté például midig va olya alak, hogy: yíláshiba mi. kóma 0 Ezt az eljárást evezik a lecse hajlításáak. Lecse optimális alakjáak meghatározásához haszálható ökölszabály: a lecse egyik felületéek kb. olya alakúak kell leie, mit a másik felületéél a hullámfrot alakja. (Más megfogalmazásba: midkét felülete kb. ugyaakkora legye a féysugár eltérülési szöge, ui. a Sellius-Descartes törvéy ekkor közelíthető legjobba a paraxiális alakjával.) Többtagú redszerekél a yíláshiba is ullára korrigálható. A ulla yíláshibával, és a ulla kómával redelkező leképező redszereket aplaatikusak v. aplaátak evezik. Az aplaatikus redszerek az optikai tegelye és aak elsőredbe kis köryezetébe lévő tárgypotokat sztigmatikusa képezik le (ld. tipikusa mikroszkóp objektívek). Aplaatikus felületek Az aplaatikus felületek az általuk leképezett tárgyról yíláshiba- és kómametes képet alkotak. Két fotos aplaatikus felület típust külöbözetük meg (az ábrá.-el és.-vel jelölve). Az. felületél az apertúrasugárra teljesül az Abbe-féle sziuszfeltétel: si(α')/si(α) = '/ (W. J. Smith, Moder Optical Egieerig), (83) az. felülete pedig ugyaez a sugár féytörés élkül halad át. Midkét felület yíláshiba és kóma járuléka ulla, a. felületek emellett az asztigmatizmus járuléka is zérus. Az 5. ábra szeriti lecse (az. és. felületek együttes alkalmazása) az ú. aplaatikus meiszkusz, amelyet elsősorba agy NA-jú, kis tárgyterű redszerekél alkalmazak előtétkét (pl. mikroszkópobjektív, lézerdióda kollimátor stb.). α. görbületi középpotja α' '.. Képmezőhajlás - fókusztávolság függés 5. ábra. Az aplaatikus meiszkusz. Petzvál József már 843-ba kimutatta a lecseredszerek képmező hajlása és a redszert alkotó lecsék fókusztávolságai közötti összefüggést. Ha egy k darab vékoylecséből álló 43

44 redszerél fj és j a j. lecse effektív fókusztávolsága és törésmutatója, akkor a Petzválgörbület: feltétel a lecseredszerre: /rp := 0 Amiből az is következik, hogy: r p k j f pozitív lecse(felület) egatív Petzvál-képmezőhajlás egatív lecse(felület) pozitív Petzvál-képmezőhajlás A képmezőhajlás jól korrigálható a képsík közelébe helyezett lecsével (mivel a képsík közelébe va, a agyításba kevéssé szól bele, de a Petzvál-görbületet csökketi). A lecse alakja általába a képsík felé hajló meiszkusz, az effektív fókusztávolsága viszoylag agy. j j (84) Belépő pupilla a fősíko Az apertúra rekesz azo kitütetett helye az optikai redszerbe, amikor az a tárgyoldalo az első fősíkra, a képoldalo pedig a hátsó fősíkra képződik le. Ekkor a belépő pupilla és az első fősík egybeesek (ugyaez igaz a kilépő pupillára és a hátsó fősíkra). torzítás vékoylecséél 0, redszerél mi. traszverzális szíhiba 0 Ez rekeszhely a traszverzális szíhiba korrekciójáak lecsealaktól függetle feltétele! Természetes rekeszhely Az apertúra rekesz azo kitütetett helye az optikai redszerbe (elsősorba egy db. vékoylecsére igaz), amikor: kóma 0 képmezőhajlás mi. Szimmetrikus redszer (a rekesz is középe va) kóma 0 torzítás 0 traszverzális szíhiba 0 Tökéletese csak egységyi agyítás mellett igaz, de általába jó kiidulás. Pláparallel lemez alkalmazása Ideális, fókuszált yalábba helyezett pláparallel lemez a vastagságától, törésmutatójától és a umerikus apertúrától függő pozitív előjelű yíláshibát okoz. Gyűjtőlecsék egatív előjelű kismértékű yíláshibájáak kompezációjára alkalmazható. Akromát elsőredű szíhiba korrigálása Pozitív és egatív lecsével elsőredbe szíhibára korrigálható a lecseredszer (ld. 54. ábra). 44

45 53. ábra. Szíhibára em korrigált lecse. A lecsét elhagyó, külöböző szíű féysugarak széttartóak, így agy a képsíko a fókuszfolt. 54. ábra. Szíhibára korrigált lecse. A lecsét elhagyó, külöböző szíű sugarak kb. párhuzamosak egymással, így kicsi a fókuszfolt a képsíko Törésmutató [-] F d C ábra. BK7 (Schott) üveg törésmutató-hullámhossz függése. Elsőredbe lieárisak, másodredbe parabolikusak tekitjük. Elsőredbe a törésmutató hullámhossz függését lieárisak tekitjük. Egy vékoylecse p törőereje a jellegzetes F, d, és C hullámhosszako (ld.. óra): pd (85) d ; pc C ; pf F r r r r r r ahol r és r a lecse görbületi sugarai, a törésmutatója. Ebből pc és pf a középhullámhosszhoz tartozó pd-vel kifejezhető: C F p C pd és pf pd (86) d Hullámhossz [m] Ha két lecséből álló redszert képezük (törőerők p és p), az eddig taultak szerit az eredő törőerő: d p = p + p. (87) 45

46 Logitudiális szíhiba metes (akromatikus) redszerbe p(λ) = cost. Tehát: pc + pc = pf + pf (pf pc) + (pf pc) = 0, (88) amibe behelyettesítve az imét kapott kifejezést: F C F C p d 0 d d p d d. (89) d Ebből átredezéssel adódik az akromatizálás (logitudiális szíhiba metesség) feltétele: F C F C p d 0 d p d. (90) d Tetszőleges törőerejű lecse kromatikus aberrációját jellemezhetjük a törőerő relatív megváltozásával a hullámhossz függvéyébe: p ami a törésmutatók ismeretébe így írható: p FC d p p FC d p F F p p d d C C, (9). (9) Ez a meyiség csak a lecse ayagától függ, vagyis fotos jellemzője az optikai üvegekek. A relatív törőerő változás reciproka külö evet is kapott, ez az Abbe-szám (νd), amelyet mide üvegkatalógusba feltütetek. Az Abbe-szám defiíciója tehát: ν d p p FC d F d Ezzel a (90) kifejezés a következő jól ismert alakra egyszerűsödik: C. (93) pd / νd + pd / νd = 0. (94) Az Abbe számot mide üvegkatalógus mide üvegre tartalmazza, értéke 0-90 között va. A feti követelméyt kiegészítve a feltétellel, meghatározhatók az akromatikus duplet törőerejei. pd = pd + pd (95) Az is látszik, hogy pozitív törőerejű lecse logitudiális szíhibáját csak egatív törőerejű lecse korrigálhatja. A Schott üvegkatalógusból pl. a BK7 (pozitív) és SF (egatív) olcsó, jól haszálható üvegek alkothatak alkalmas üvegpárt. Másodredű szíhiba A törésmutató parabolikus hullámhosszfüggését is figyelembe véve azt kapjuk eredméykét, hogy a szíhiba csak diszkrét hullámhosszako korrigálható, véges hullámhossz tartomáyo belül em. Ezeket a redszereket az effektív fókusztávolság hullámhossz függésével jellemzik. Két külöböző üvegből összeállított redszerél legjobb esetbe két hullámhosszo lehet azoos a fókusztávolság (akromát). Az előbbiekbe, az Abbe-számmal meghatározott akromatizálási feltétel eseté C és F hullámhosszo lesz egzaktul azoos a fókusztávolság. 46

47 Több üvegayag haszálata eseté három hullámhosszo (apokromát), vagy akár öt hullámhosszo (szuper akromát) is elérhető azoos eredő effektív fókusztávolság: feff feff feff λ0 λ0 λ0 Akromát Apokromát Szuper akromát 56. ábra. Az akromatizálási feltétel kettő, három, ill. 5 hullámhosszo is teljesíthető több üvegayag haszálatával. JÖVŐ ÓRÁN Valós sugárátvezetés: Radiometria alapjai sugárkövetési egyeletek, szóródási folt 47

48 ISMÉTLÉS Seidel-együtthatók: Levezetett következtetések: Ismertetett következtetések: Logitudiális szíhiba korrekciója 6.. VALÓS SUGÁRÁTVEZETÉS 6. GEOMETRIAI OPTIKA, RADIOMETRIA felületekét számolhatóak, összegezhetőek, alkalmazhatók leképezés aalízisre lecse darabszám övelés, törésmutató övelés, yalábátmérő csökketés rekeszhely, szimmetria, képmező hajlást korrigáló meiszkusz A valós sugárátvezetés a geometriai optika legpotosabb modellje. A valós sugárátvezetés egyeletei tárgysík i. i+. i+ képsík y ri si ri+ si+ x di k, z lokális koordiáta redszer Ri i Ri+ i+ Di - felület átmérő 57. ábra. Magyarázó ábra a sugárkövetési algoritmus i. lépéséhez. s a sugár iráyába mutató egységvektor (sugárvektor), felületormális egységvektor. Az r helyvektor, amelyet mide felület homlokpotjába (vertex, az optikai tegellyel vett metszéspot) felvett lokális koordiáta redszerébe értelmezük. k a z-tegely iráyába mutató egységvektor. A lokális koordiáta redszerek közötti kapcsolatot adja a d k vektor. A sugárkövetés lépésekből álló algoritmus. Egy adott sugár követését egy kijelölt tárgypotból kezdjük, adott iráyba. A kezdő iráyt a belépő pupilla felületéek egy potja megcélozásával jelöljük ki. Az alábbiakba az i. lépés leírása következik.. Kiidulás: ri, si, di, i, i+, Ri, Ri+ adottak, keressük: ri+, si+.. Az i+ felülettel vett döféspot ri+ koordiátáiak meghatározása: Egyees egyelete: ((ri+ + k di) ri) si = 0 (96) Gömb egyelete: ri+ k Ri+ = Ri+ 48 i r r i k, (97) R i

49 ahol a skaláris szorzatot kifejtettük és az egyeletet átredeztük. A gömbfelületél keletkező két döféspot közül Ri+ > 0 eseté a sugár iráyából ézve a közelebbiket, Ri+ < 0 eseté a távolabbikat kell választai. A kifejezés sík törőfelület eseté is haszálható. Akkor ha Ri+ >> Di+ biztosa igaz, hogy Ri+ >> ri+, tehát az Ri+ helyettesítést alkalmazhatjuk, vagyis az egyelet jobb oldala zérus lesz. 3. Az i+ felületormális meghatározása (a vektor iráyítottsága itt érdektele): ri k R i ri k R i ri i k (98) r k R R R i i i Ez a kifejezés is haszálható sík törőfelület eseté, ld. a. potál írottakat. i 4. A megtört sugár si+ iráyáak meghatározása: Sellius-Descartes törvéy: (i si) i+ = (i+ si+) i+ (99) 5. Érkezés: ri+, si+ meghatározva. Az algoritmust felületről felületre haladva addig kell ismételi, amíg el em érjük a képsíkot. A feti általáos algoritmusak speciális esetét haszálják meridioális sugarak átvezetésére. Korszerű számítógépes programok millió db sugár/felület/sec sebességgel számolak (8 CPU,,3 GHz, sorredi sugárátvezetés, 009-es adat). Viyettálás. AS 7.. AS 7. féyyaláb AS féyyaláb 58. ábra. A viyettálás szemléltetése. A em tegelye lévő tárgypotokból kiiduló féyyalábokat emcsak az apertúrarekesz korlátozhatja, haem más lecsék apertúrái, foglalat alkatrészek (szabad átmérők) is. Ekkor viyettálásról beszélük. A viyettálás öveli a diffrakciós folt méretét (hisze egyik iráyba az NA lecsökke), valamit csökketi a redszere átjutó féy meyiségét is, a képtér széle felé csökkeő besugárzást eredméyezve. Cserébe viszot a kirekeszelt sugarak aberrációi em terhelik a képmiőséget, emiatt gyakra szádékosa is szokták alkalmazi a kóma aberráció csökketésére. 49

50 Szóródási folt mérőszáma valós fősugár y' DYi z képsík 59. ábra. Egyetle tárgypotból idított valós sugarak metszik a képsíkot. A szóródási folt egy h tárgymagasságú tárgypotból idított valós sugarak képsíkkal vett döféspotjaiak (sugár koordiátáiak) halmaza. A sugár koordiátákat (DXi, DYi) a fősugár koordiátáihoz képest mérjük. Így a szóródási folt súlypotjáak (cetroid) koordiátái db. sugár eseté: x W i w DX i i ; y W 50 i w DY i i ; W i w i, (00) ahol wi mide sugárhoz egyedileg redelt súlyozó téyező (radiacia, azaz sugársűrűség: egységyi vetített felület által egységyi térszögbe kisugárzott féyteljesítméy). Ezzel lehet modellezi, ha az apertúra rekesz em egyeletese (haem pl. Gauss-yalábbal) va kivilágítva. A súlypot koordiátája a valós képmagasságot (a képfolt helyét) adja meg. A leképezés miőségét a szóródási folt méretével (σr) jellemzik (szórás-jellegű meyiség):. (0) DX i x ; y wi DYi y x wi W i W i Ebből az x és y iráy átlagos szórása, azaz a szóródási folt sugara (RMS spot size): ld. függetle sztochasztikus változók eredő szórásáak számítása. (0) r A szóródási folt súlypotja köré húzott σr sugarú kör tartalmazza az adott tárgypotból az apertúra rekesze áthaladó összeergia kb. 80%-át (az érték émileg aberráció függő). Egy ideális, aberrációmetes diffrakciós folt középpotja köré húzott Airy-sugarú kör (RAiry) a diffrakciós folt összeergiájáak kb. 84%-át tartalmazza, tehát a szóba forgó lecseredszer NA-jával számított RAiry jól összehasolítható σr-el. Ha a szóródási folt sugara már ayira kicsi, hogy σr << RAiry (azaz a szóródási folt sugara jóval kisebb mit az ideális diffrakciós folt mérete), akkor a redszert diffrakciókorlátosak tekitik. Ietől a geometriai közelítés em szolgáltat iformációt a leképezés miőségéről, mivel a foltméretet elsősorba a diffrakció (azaz az NA) határozza meg (azaz a képmiőséget csak a diffrakció korlátozza ). Ameyibe csupá az teljesül, hogy σr RAiry, a redszert közel diffrakciókorlátosak evezik ezekél a geometriai aberrációk még befolyásolják a leképezést. A következő alfejezetbe ilye redszerek miősítésére szolgáló meyiséggel ismerkedük meg. x y

51 6.. RADIOMETRIA Radiometriai alapfogalmak áttekitése A radiometria a térbe ikoheres (diffúz) sugárzások mérésére, modellezésére kidolgozott tudomáyterület a fizikába. Fiziológiai párja a fotometria, ahol a mért féymeyiségeket a szem átlagos spektrális érzékeységi görbéjével (V-görbe) korrigálják, hogy az emberi érzettel aráyos mérőszámokat kapjaak. Mi az alábbiakba a radiometriai alapfogalmakat, számításokat tekitjük át. A radiometriát általába két részre szokták botai, aak megfelelőe, hogy a vizsgált felület kisugározza-e a teljesítméyt (emisszió), avagy befogadja-e azt (abszorpció, detektálás). Léyegét tekitve a kettő ugyaaz, tehát mi azzal foglalkozuk, hogy meyi az adott felülete áthaladó teljesítméy értéke, függetleül aak iráyítottságától. Az elektrodiamika elsősorba térbe koheres (hullámfrotokkal redelkező) és mookromatikus sugárzásokkal foglalkozik. A valóságba viszot sokkal gyakrabba találkozuk diffúz, polikromatikus féyel. Ez utóbbi egyszerűe kezelhető modell szite: a polikromatikus (időbe ikoheres) féy spektrális hullámhosszakra botva számolható, majd az eredméyek itezitásba (ikoheres módo) hullámhossz-szeriti itegrálással összegezhetők. Aak érdekébe, hogy ezt megtehessük, az adott sugárzás spektrális jellemzésére bevezetjük az egységyi hullámhossz tartomáyba eső teljesítméyt, azaz a spektrális teljesítméy sűrűséget (PSD power spectral desity). A térbe ikoheres féy tárgyalása hasolóa törtéik, de először az eddig ismert fogalmaikat kell megfelelőe módosítai, kiegészítei. Térbe koheres esetbe a tér mide potjá egyetle hullámfrot halad át, melyhez egy Poytig-vektor (S) tartozik. S abszolút értékéek időátlagát evezik az elektrodiamikába itezitásak: <S>, azaz teljesítméysűrűségek. Ha egy poto több hullámfrot halad át (értelemszerűe külöböző Poytig-vektorokkal), akkor itt is be kell vezeti egy újabb sűrűség-jellegű meyiséget, csak itt em hullámhossz, haem iráy szerit kell a felbotást elvégezi. Ez az új meyiség a sugársűrűség (agolul radiace), amely az egységyi térszögbe eső Poytig-vektor meyiséget jelöli. Egésze potosa itt az előbb defiiált itezitás sűrűségéről va szó, de szádékosa kerüljük az itezitás kifejezéséek haszálatát, mivel a radiometriába itezitás alatt egésze mást érteek, de erről a későbbiekbe lesz szó. dω da S θ 60. ábra. Sugársűrűség: egységyi térszögbe eső Poytig-vektor meyiség. A radiometria alap-mértékegysége a sugársűrűség (N), agolul radiace, ami skalár meyiség: d S N, (03) d ahol Ω a térszöget jelöli. Elektrodiamikából a tér egy potjá áthaladó egyetle Poytigvektor esetére megtaultuk, hogy dp S cos da, (04) 5

52 amiből N kifejezhető a teljesítméy kétszeres deriváltjakét: N d P cos dad [N] = W/m /strad (fotometriai mértékegység: [cd/m ]) (05) Ha arra vagyuk kívácsiak, hogy egy felületeleme meyi teljesítméy halad át, akkor háromféleképpe tehetjük föl a kérdést. A leggyakrabba előforduló esetbe azt kérdezzük, hogy da felületelemre merőleges iráyba meyi féy halad át, ha az összes, az adott sugárzásba jelelévő, külöböző iráyú Poytig-vektort figyelembe vesszük: dp da N cos d da H [H] = W/m (fotometriai mértékegység: [lux]) (06) A H -val jelölt térszög-szeriti itegrált besugárzásak evezzük (agolul irradiace). Ez az a meyiség amit pl. a CCD (CMOS) képérzékelők pixelei mérek. H értéke csak helyfüggő, mértékegysége [W/m ] Amikor a ZEMAX egy adott felülete kirajzolja a féyeloszlást, ott is irradiace -t látuk. A következő teljesítméy meghatározás szerit arra vagyuk kívácsiak, hogy meyi a teljes felülete, dω térszögbe áthaladó teljesítméy: dp d cos N da d J,[J] = W/strad (fotometriai mértékegység: [cd]) (07) ahol a J felület szeriti itegrált radiometriai itezitásak vagy sugárerősségek evezzük (agolul radiat itesity). J értéke csak az iráytól függ, emiatt a féyforrások iráykarakterisztikájáak jellemzésére szokták haszáli, mértékegysége [W/strad]. Figyelem, ez a fogalom külöbözik az elektrodiamikai itezitás fogalmától! Ez em más, mit az a féyeloszlás, amit tetszőleges féyforrás távolterébe mérhetük pl. fotodetektorral. Midezek alapjá a teljes felülete áthaladó összes teljesítméy: P N cos da d. [P] = W (fotometriai mértékegység: [lume]) (08) Összefoglalva: sugársűrűségek (N) azt a teljesítméyt evezzük, ami adott iráyra (θ) vetített felületegysége, egységyi térszögbe áthalad. N tehát hely és iráyfüggő skalár meyiség, mértékegysége [W/m /strad]. A sugársűrűségre voatkozik egy evezetes tétel, amely közvetleül az eergiamegmaradástörvéyéből vezethető le. Ez azt modja ki, hogy tetszőleges optikai redszerbe az N értéke em övelhető a féyforrás sugársűrűsége fölé. Abszorpciós és reflexiós veszteségek élküli leképező redszerek esetébe a tárgyról kialakított mide képsíkba a sugársűrűség ugyaakkora lesz mit a tárgysík megfelelő potjába. Ez azt jeleti, hogy pusztá a kép agyításával, kicsiyítésével a sugársűrűség em befolyásolható, egy leképező redszer mide közbülső képsíkjába ugyaakkora lesz. A képsíkok közötti térbe ugyaez a helyzet, azaz N a terjedés sorá (egy adott féysugár meté) végig kostas marad. Aplaatikus, veszteségek élküli leképezőredszerbe, a tárgy és képsík között ez a tétel általáosságába a következő formába írható fel: dy d(si ) dy d(si ) és dx d(si ) dx d(si ), (09) ahol dx, dy egy féysugár koordiátáiak megváltozása, dx', dy' a hozzátartozó koordiáta megváltozása a képtérbe. A kiidulási síkról elidított két, egymáshoz ifiitezimálisa közeli féysugár közötti szög x-z és y-z síkra vett vetületei a tárgytérbe α és β, a hozzátartozó szögek a képtérbe α' és β'. Ideális leképezés esetére az összefüggés levezetése az Abbe-féle sziuszfeltételéek levezetésével ekvivales [4]. 5

53 y z dy tárgy α leképező redszer α' dy' kép 6. ábra. A sugársűrűség a leképező redszer mide közbülső képsíkjába ugyaakkora. Meyiségek magyarázata a feti tétel alkalmazására aplaatikus leképezőredszerekbe. A feti egyeletet paraxiális közelítésbe az alábbi alakra lehet redukáli: y y és x x, (0) ez alapjá modhatjuk, hogy a traszverzális agyítás és a szögagyítás szorzata álladó. Mote-Carlo aalízis a sugárkövetésbe Sugárkövetés eseté ismeri kell a tárgy (vagy általába féyforrás) sugársűrűségéek (N) térbeli és iráyszeriti eloszlását. Az optikai tervező programok a forrás által kibocsájtott P összteljesítméyt féysugarakét d P elemi részekre botják, azaz mide féysugár ayi teljesítméyt képvisel, ameyi a forrás adott potjából az adott iráyba elidított elemi teljesítméy: d P N cos da d. () Az optikai modellbe bárhol elhelyezett, akár pixelezett detektorak csupá összegezie kell egy adott felületeleme vagy elemi térszög tartomáyo áthaladó féysugarak által szállított elemi teljesítméyeket, hogy megkapjuk a térbeli vagy iráy szeriti eloszlást. Lambert-sugárzó A térbe ikoheres (diffúz) féyforrások között kiemelt jeletőséggel bír az ú. Lambertsugárzó. Eek defiíciója roppat egyszerű: olya sík féyforrás, amelyél N = cost. a felület meté mért pozíció, és a felületormálissal bezárt szög függvéyébe. Tipikusa ilye féyforrás egy homogée megvilágított fehér papírlap vagy falfelület. Általába úgy hozható létre, ha egy közegbe (pl. festék) térfogati (és em felületi) szórást alakítuk ki. Térfogati szórás eseté a felületre beeső féy kilépés előtt számos szóródást szeved, amelyek eredméyeképpe a beeső féy iráykarakterisztikája teljese kiátlagolódik, és emiatt a visszavert (visszaszórt) féy sugársűrűsége teljese iráyfüggetle lesz. N felület meti homogeitását ekkor a megvilágítás homogeitása biztosítja. A fetiek mellett Lambert-sugárzó még pl. a megvilágított teflo, illetve az LED-ekbe alkalmazott féykibocsájtó p- átmeet (azaz a LED-chip kiegészítő optikák élkül), bármely fluoreszces festék stb. A véges felületű Lambert-sugárzó itezitása kosziuszos lecsegést mutat, ld. (07) egyelet. Nem Lambert-sugárzó pl. az izzólámpa, mert eél az itezitás (J) kostas az iráy függvéyébe (izotróp sugárzó). JÖVŐ ÓRÁN Hullámfrot aberráció: OPD, Gauss-féle referecia gömb Diffrakciós modellekbe alkalmazott közelítések Gömbhullám diffrakciója 53

54 7. A KÉPALKOTÁS DIFFRAKCIÓS VIZSGÁLATA ISMÉTLÉS Valós sugárátvezetés: Szóródási folt: Radiometriai alapok: vektoros sugáregyeletek geometriai optikai RMS foltméret besugárzás, itezitás, sugársűrűség, féyáram 7.. HULLÁMFRONT-ABERRÁCIÓ A csekély mértékű geometriai aberrációt tartalmazó redszerek adott tárgypothoz tartozó képfoltját csak diffrakciós számításokkal lehet meghatározi. Ehhez az optikai tervező programok a redszerből kilépő elektromágeses hullám terjedését modellezik a képsíkig szabadtéri diffrakcióval. A diffrakciós folt miősége (mérete, kotrasztossága) tehát attól függ, hogy milye a kilépő hullámfrot alakja. Az időigéyes diffrakciós számítások helyett bevezették a hullámfrot aberráció fogalmát, amely geometriai optikai úto határozható meg, eek elleére alkalmas a közel diffrakciókorlátos redszerek leképezéséek jellemzésére. Egy optikai redszer diffrakciós foltjába kétféle hatás érvéyesül. Az egyik a féyyalábot korlátozó apertúrák diffrakciós hatása (ez tökéletese korrigált, azaz ideális redszerekél is va), a másik a kilépő hullámfrot diffrakciója (ez csak aberrációkkal terhelt leképezésél jeletkezik). A tökéletese gömb alakú kilépő hullámfrot diffrakciós foltját tekitik ideálisak (ez a diffrakciókorlátos folt). Az ideális leképezést elrotó aberrációkat az ú. hullámfrot aberrációval (az ideális kilépő gömbi hullámfrottól mért eltéréssel) jellemzik. Az apertúrarekesz az a felület az optikai redszere belül, amelyek az átmérője az áthaladó féyt legjobba korlátozza (megvágja). Mivel eek képoldali kojugáltja a kilépő pupilla, e két felület közötti diffrakciós hatásoktól eltekithetük (az apertúra rekesz széle közelítőleg élese, diffrakciós gyűrű metese képződik le a kilépő pupillára). Tehát az apertúrák diffraktáló hatását redukáli lehet egyetle felületre, a kilépő pupillára (mitha csak ez diffraktála, és a többi felület korlátozó hatásától eltekiteék) emiatt itt kell megadi a kilépő hullámfrot alakját, azaz a hullámfrot aberrációt. A kilépő hullámfrot alakja a térbeli terjedés közbe változik, ezért a hullámfrot aberráció értéke csak akkor jellemzi a redszert, ha a kilépő pupilla síkjába számoltuk ki. Máshol lévő felülete más az aberráció mértéke, ami más diffrakciós folt romlást mutat. (Az ideális gömbi hullámfrot diffrakciós foltjára Airy-folt icse hatással a kilépő pupilla pozíciója.) 6. ábra. Besugárzás eloszlás a kilépő pupillá. 63. ábra. Besugárzás eloszlás távol a kilépő pupillától. 54

55 Gauss-féle refereciagömb, RMS OPD A hullámfrot-aberrációt a képsíko lévő referecia potra cetrált Gauss-féle referecia gömbre (ideális kilépő hullámfrotra) voatkoztatva adjuk meg. A referecia pot lehet a valós fősugár döféspotja, vagy az a pot a képsíko, amelyik a hullámfrot aberrációt az adott tárgypot eseté miimalizálja. A referecia hullámfrot defiíció szerit átmegy a kilépő pupilla közepé. A hullámfrot-aberráció mérőszáma az OPD (Optical Path Differece), amelyet a kilépő pupillát mitavételező db. sugár midegyikére kiszámoluk. Értéke szemléletese OPDi = ' Di, ahol ' a képtér törésmutatója. Az OPD-t általába hullámhosszyi (λ0 a vákuumba mért hullámhossz) egységekbe mérik. y Di ' Γ' i. sugár z fősugár EP' Gauss-referecia gömb Kilépő hullámfrot 64. ábra. A Gauss-féle refereciagömb a kilépő pupillába, amihez képest a hullámfrotaberrációt megadhatjuk. Az OPD kiszámítását az optikai tervezőprogramok a féysugarak meté mért optikai úthossz segítségével végzik (OPL Optical Path Legth). Először meghatározzák a tárgypottól a kilépő pupilla közepéig a valós fősugár meté mért optikai úthosszat OPL(0,0)-t, majd mide sugárra a Gauss-gömbig mért optikai úthosszat, OPLG(x,y)-t. Ebből: OPD(x,y) OPL(0,0) OPLG(x,y). () Ideális esetbe a kilépő hullámfrot alakja megegyezik a Gauss-gömbbel; ilyekor a hullámfrot-aberráció ulla. Bár az egy tárgypothoz tartozó sugarak hullámfrot-aberrációjáak jellemzésére alkalmazható a PV (peak-to-valley) OPD érték megadása is, legikább az RMS OPD-t haszálják, mivel ez közvetle kapcsolatba va az adott diffrakciós folt miőségével (ld. később): RMS OPD W i w OPD Simá változó aberrációkra (pl. defókusz eseté) igaz, hogy: i 55 i ; W i w i. (3) PV OPD 3,5 RMS OPD. (4) Diffrakciókorlátosak akkor tekitük egy leképezőredszert, ha mide képpotra teljesül RMS OPD < 0,07 λ0. (5) Ezt evezik Rayleigh-kritériumak. (Az eredeti defiícióba ¼λ0 PV OPD értéket egedtek meg, eek felel meg a 0,07λ0 RMS OPD.) Diffrakciókorlátos redszerekél a geometriai

56 aberrációkak már semmilye hatásuk ics a képmiőségre, a felbotóképességet csak a diffrakció korlátozza. Mit azt később láti fogjuk, az RMS OPD a leképezést diffrakciós szempotból jellemzi. Hatalmas előye mideféle diffrakciós számítással szembe, hogy geometriai optikai úto, sugár átvezetésével az értéke (egy tárgypotra) agy potossággal és gyorsa meghatározható. Hátráya, hogy figyelme kívül hagyja a hullámfrot alakját, ami agy aberrációkál már em elhayagolható a leképezés szempotjából. Ebből kifolyólag, ha a hullámfrot aberráció túl agy, kb. RMS OPD > 0,4 λ0, akkor már em jól jellemzi a leképzést. Nem diffrakciókorlát közeli redszerél tehát félrevezető az RMS OPD haszálata, helyette időigéyes diffrakciós számításokat kell végezi. Ha az RMS OPD még egy lambdáyiál is agyobb, sokkal célravezetőbb és hatékoyabb a szóródási folt, azaz a traszverzális aberrációk (pl. RMS foltméret) vizsgálata. Hogy miért, azt a következő potba vizsgáljuk. Az OPD kapcsolata a traszverzális sugáraberrációval A hullámfrot-aberráció differeciális kapcsolatba va a traszverzális sugáraberrációkkal. Viszoylag köye belátható, hogy: l OPD( x, y) y y és 56 l OPD( x, y) x, (6) x ahol x, y a kilépő pupillá mért sugárkoordiáta, l a kilépő pupilla és a képsík távolsága, ' a képtér törésmutatója, és x', y' a traszverzális sugáraberrációk (a valós fősugár képsíkkal vett döféspotjától mért távolságok). A feti összefüggésből látható, hogy ige kis hullámfrotaberráció jeletős sugáraberrációt eredméyezhet, vagyis ha egy redszer em diffrakciókorlátos (azaz a szóródási folt jóval agyobb a diffrakciós foltál), akkor a sugáraberrációk sokkal érzékeyebbe mutatják a redszer jóságát mit az OPD. Fókuszmélység, mélységélesség (diffrakciókorlátos esetbe) Diffrakciókorlátos leképezésél a fókuszmélység defiíció szerit az a távolság, ameyivel ha egy ideális gömbhullám középpotjától a képsíkot eltoljuk, a hullámfrot aberráció ulláról RMS OPD = 0,07 λ0 ra ő meg: λ 0 δ, (7) NA ahol a közeg törésmutatója. Látható, hogy a fókuszmélység az NA égyzetével fordította aráyos. Ha tehát NA-t csökketjük, δ sokkal gyorsabba ő, mit az Airy-folt. Azaz NA megfotolt csökketésével kis feldoldóképesség romlásért cserébe agyobb fókuszmélység övekedést kaphatuk. A δ távolságra úgy is godolhatuk, mitha ez az ideális diffrakciós folt optikai tegely (z) iráyú mérete lee. 7.. DIFFRAKCIÓS KÖZELÍTÉSEK Szabadtéri diffrakció sík felülete Egy tárgypot képét a legpotosabba diffrakciós módszerekkel számíthatjuk ki. A diffrakciós modellek azt feltételezik, hogy egy sík felülete ismert a komplex téreloszlás Ũ(x, y). Ettől a síktól tetszőleges z távolságba lévő eryő az Ũ'(x, y) téreloszlást diffrakciós formulákkal kaphatjuk meg, amelyeket a matematikából ismert Gree-tételből és a Maxwellegyeletekből vezettek le. Lecsékél a képsík az eryő, és az eddig taultak alapjá a kilépő pupilla az a sík, ahol ismert a komplex amplitúdó eloszlás Ũ(x, y). A diffrakciót leíró

57 formulák külöböző módszerekkel itegrálják a kilépő pupilla P potjaiba a komplex amplitúdót, hogy megkapjuk az eryő egy P' potjába a komplex amplitúdó Ũ'(x, y) értékét. Az itegrálást umerikusa végezzük, a kilépő pupilla megfelelő mitavételezésével. y y' Ũ(x, y) P(x, y) x x' EP' D/ P' (x', y') z 65. ábra. A diffrakciós formulák a kilépő pupilla P potjaiba itegrálják a komplex amplitúdót (Ũ(x, y)-t), hogy megkapjuk az eryő egy P' potjába a komplex amplitúdó Ũ'(x, y) értékét. P kilépő pupilla (EP') egy potja, P' képsík egy potja. Közelítések Vektordiffrakció: Skalár közelítés: A Maxwell-egyeletek közvetle megoldása. Hátráya, hogy kiszámítása agyo körülméyes. Fresel-Kirchhoff v. Rayleigh-Sommerfeld diffrakciós itegrál, amely az elektromos teret skalár meyiségek tekiti. Mivel az optikai tervezésbe az esetek zömébe skalár közelítést tételezük fel, a téreloszlást a skalár U paraméterrel jelöljük (és em E-vel, B-vel). Lecsékél akkor alkalmazható ez a közelítés, ha NA < 0,6. Hátráya, hogy umerikus kiszámítása meglehetőse időigéyes a szükséges agyszámú mitavételi pot miatt. Huyges-Fresel elv: A skalár közelítésből származtatható itegrálformula. A diffrakciós teret modellező virtuális gömbhullámok sugárzási iráykarakterisztikájáak szögfüggését elhayagolja. Kicsit egyszerűbb képleteket eredméyez mit a feti itegrálformulák, de kiszámítása hasolóa agy mitavételezést igéyel. Lecsékél alkalmazható, ha NA < 0,5. Fresel-közelítés: i e U ~ ( x, y) U ~ ( x, y) λ EP R ahol k π/λ és R' PP' 57 ikr dxdy, (8) A skalár diffrakciós itegrálokból levezethető közelítés, ha az eryő ics túl közel a diffraktáló felülethez: π 4λ 3 x x y y z (9) Értelmezhető úgy, mitha a Huyges-féle elemi gömbhullámok hullámfrotjai paraboloid felületek leéek. Lecsékél alkalmazható, ha NA < 0,5 (ld. Huyges-Fresel elv idoklása). A kevesebb szükséges (agyságredileg 0 8 db) mitavételi pot miatt jóval gyorsabba kiszámolható mit a Fresel-Kirchhoff formula. A diffrakciós itegrál alakja Fresel-közelítésbe:

58 k i ik k k i e e i i U ~ x y z z U ~ x y x x y y z z ( x, y ) ( x, y) e e dxdy λz EP (0) Frauhofer-közelítés: Sík felülete lévő komplex amplitúdóeloszlás távoltéri diffrakciós képéek kiszámítására haszálják. Ekkor az elemi gömbhullámok már síkak tekithetők. Érvéyes, ha z, potosabba: π λ x y z. () Redkívüli előye, hogy diffrakciós számítás létére viszoylag kis, db mitavételi pottal meghatározható. Emlékeztetőül, sík felület távoltéri diffrakciós képe Frauhofer-közelítésbe: k i ik i e e U ~ x y z z ( x, y) λz EP A hullámfrot-aberráció jeletése, potos defiíciója U ~ ( x, y) e k i z xx yy dxdy () A diffrakciós számítások alapja az elektromágeses tér fázis és amplitúdóeloszlásáak ismerete (Ũ(x,y)) a kilépő pupilla síkjába. Az U0(x,y) amplitúdóeloszlást a belépő pupilla megvilágítása és a leképező redszerek abszorpciója, valamit a felületeke fellépő Freselreflexiók befolyásolják elsősorba. (A pupillaaberrációktól eltekitük.) A kilépő pupilla egyes (x,y) potjaiba mérhető fázis pedig az azoos tárgypotból idított féysugarak meté mért optikai úthosszak (OPL) segítségével határozható meg: ik0 (, ) U ~ ( x, y) U ( x, y) e OPL x y (3) 0 féysugár, amely áthalad a P(x,y) poto y P Q a c b aberrált, kilépő hullámfrot Gauss-referecia gömb (ideális gömbhullám) ' α EP' z 66. ábra. Az aberrált kilépő hullámfrot és a Gauss-referecia gömb a kilépő pupilla síkjába. A kilépő pupilla fáziseloszlása a kilépő hullámfrot és a Gauss-refereciagömb között a féysugarak optikai úthosszaiak segítségével határozható meg. A diffrakciós itegrál kiszámításába fotos szerepet fog kapi a hullámfrot-aberráció (OPD), ezért megvizsgáljuk kicsit közelebbről. Korábba bemutatott () képletél potosabb defiíciója a következő: OPD(x,y) (OPL(0,0) b ') OPL(x,y), (4) 58

59 ami azt jeleti, hogy a kilépő pupilla síkjába lévő P potba az ideális gömb alakú yaláb fázisából levojuk a valódi fókuszált és aberrációkkal terhelt tér fázisát. Fotos, hogy az OPD előjeles meyiség, például az ábráak megfelelő aberráció eseté az értéke egatív. A hullámfrot meté, így Q potba is, a tér fázisa végig kostas OPL(0,0), tehát ezzel a (4) képlet átírható a következő alakba: PQ = a = (OPL(0,0) OPL(x,y))/ ', (5) OPD(x,y) = a ' b ' = (a b) '. (6) A b szakasz kis aberrációk eseté a következőképpe közelíthető: b (a+c) cos(α). (7) Mivel a hullámfrot-aberrációt jellemzőe kevés képalkotási hiba jeleléte eseté alkalmazzuk, a feti közelítés gyakorlatilag potosak tételezhető fel. Ezzel: OPD ( x, y) a ( a c) cos( ). (8) Sugárátvezetéssel a c szakasz a következőképpe kapható meg: c = (OPLG(x,y) OPL(0,0))/ ', (9) ahol OPLG(x,y) a féysugár meté a Gauss-referecia gömbig mért optikai úthossz. Ezzel: OPL ( x, y) OPL( x, y) cos( ) OPD( x, y) OPL(0,0) OPL( x, y) G. (30) Egésze kis aberrációkra cos(α), amivel visszakapjuk a () képletet: OPD( x, y) OPL(0,0) OPL ( x, y). (3) A cos(α)-val törtéő korrekciót futásidő takarékosságból az optikai tervező programok (így az OSLO és a ZEMAX is) általába megspórolják, de az ebből fakadó hiba elhayagolható GÖMBHULLÁM DIFFRAKCIÓJA Eddigi optikai taulmáyaikból következik, hogy egy lecse képsíkjába jó közelítéssel a kilépő pupillá vett, adott tárgypothoz tartozó komplex amplitudóeloszlás Huyges-Fresel diffrakciós képe jeleik meg. Tételezzük fel, hogy x, y < z és x', y' << z (ez kis képtér és NA < 0,5 eseté automatikusa teljesül). A fetiek szerit ekkor az itegrál jól közelíthető a Fresel-diffrakciós formulával, eek elleére számításaikat a Huyges-Fresel képletből kiidulva végezzük. Ily módo ui. em csak egy jól haszálható itegrálformulát kapuk, haem meghatározhatjuk a közelítés érvéyességi körét is. A Huyges-Fresel itegrál expoesébe szereplő R' kifejezése elsőredű Taylor-sorfejtéssel a következőképpe közelíthető (ld. múlt órai ábra): R x x z y y x x y y x y z x y xx yy z z x x x y xx yy x y z y y z x xx yy y x z y x G z y z x x y xx yy x y z y z xx yy. z Az itegrál ezzel a következő alakú lesz (a evezőbe egyszerűe R' z): (3) 59

60 k i i e ik U ~ x y z U ~ x y z ( x, y ) ( x, y) e e λz EP G ~ ( x, y) k i z xx yy dxdy (33) Ha a lecse fókuszpotja a kilépő pupillától z = l távolságra lévő képsík középpotjáak közelébe helyezkedik el, a kilépő pupillá az Ũ(x, y) komplex téreloszlás fázisa célszerűe kifejezhető a képsík középpotja felé terjedő, Gauss-féle referecia gömbhullám fázisa és a geometriai aberrációk okozta φ(x,y) fázishiba összegekét (koveció szerit a féy fázisa a terjedési iráyba siet, azaz > 0): U ~ i ( x, y) U ( x, y) e O ~ ( x, y k x y l O ~ ( x, y) G ~ ( x, ) 0 y x, y) U ( x, y) e x, y ik x y l G ~ ( x, y) i 0 e ;, (34). (35) Õ(x, y) eve pupillafüggvéy. Az OPD potos (4) defiíciója alapjá a fázishiba φ(x, y) OPD(x, y) π/λ0. (36) Ũ(x, y) új alakját behelyettesítve a diffrakciós itegrálba, a gömbhullámot leíró téyező kiesik az itegraduszból, és az itezitás eloszlásra a következő kifejezést kapjuk: U i OPD(, ) 0 U ~ x y 0 I(x, y ) ~ e λ l EP e i l xx yy dxdy, (37) ahol feltételeztük, hogy a kilépő pupillába az amplitúdó abszolút értéke kostas U0. Vegyük észre: a feti kifejezés formailag a megegyezik Frauhofer-itegrállal, aak elleére, hogy l értéke em végtele! Látható, hogy Õ(x, y) távoltéri Frauhofer-diffrakciós foltjáak méretét l/z-vel átskálázva, megkapjuk a lecse képsíkjába Huyges-Fresel-diffrakcióval meghatározott foltméretet. Tehát a Gauss-referecia gömbre voatkoztatott φ(x, y) fázissal felírt Õ(x, y) komplex amplitúdóeloszlás képsíko vett diffrakciós képéek térbeli kiterjedése, alakja aráyos Õ(x, y) távoltéri, Frauhofer-diffrakciós képével. Mit említettük a Frauhofer-diffrakció kis pupilla mitavételezéssel is helyes eredméyeket ad, emiatt kiszámítása em igéyel sok gépidőt. A feti képlet felfogható egy kétdimeziós Fourier-traszformációak is. Ezt kihaszálva, a fókuszfolt diffrakciós téreloszlását ige gyakra FFT (Fast Fourier Trasform) algoritmussal szokták meghatározi, amely jeletőse gyorsabb még a Frauhofer-itegrálásál is. Mivel a képsíko elhelyezett égyzetrácso egyszerre határozza meg a téreloszlást, akkor célszerű a haszálata, ha kiterjedt területe vizsgáljuk a diffrakciós foltot. Ha csak egy potba vagyuk rá kívácsiak, célszerűbb a Frauhofer-itegrálást választai. A két módszer potossága hasoló, csak FFT-él figyeli kell bizoyos mitavételi kérdésekre (ld. pl. Goodma). Vizsgáljuk most meg a feti itegrálformula alkalmazhatóságáak feltételét. R' Taylor-soros közelítésébe a másodredű tagot tekitve hibáak, a következő feltétel fogalmazható meg: x y z x 8 y xx yy x y z 8 x y x y xx yy z 3/ xx yy 3 z (38) 60

61 Az utolsó átalakítási lépésbe alkalmazott közelítés akkor egedhető meg, ha x', y' << D/. Az egyszerűség kedvéért csak az y-z síkba vizsgálódva, a hiba felső határára (y := D/-él) a következő kifejezés adódik: 3/ λ l l y 0,7 R Airy, (39) 0 D λ ahová behelyettesítettük a következő alfejezetbe ismertetedő Airy-rádiusz képletét RAiry, λ l/d (40) és (...<< λ)-t kicseréltük (... λ/0)-re. Ha l := 0 mm és λ := 550 m, ige agy értéket kapuk: y' 00 RAiry. (4) Geometriai aberrációk eseté, a féyeergia ige agy területre szóródhat szét a fókuszfolt körül, azaz az itegrált agy y' értékekre is meg kell határozi. A feti feltétel azt jeleti, hogy az itegrálformula egésze addig haszálható, amíg az eergia zöme (kb. 80%-a) egy 00 RAiry sugarú körö belül kocetrálódik a képsíko. Nagy aberrációk eseté a maximális y' becslésére haszálhatjuk a geometriailag számított RMS foltsugár értékét. A leképezőredszerek lieáris redszerek, mivel a gerjesztés és válasz kapcsolatára érvéyes a szuperpozíció elve (térbe ikoheres megvilágítás eseté ez az itezitás-, potosabba besugárzásviszoyokra igaz). A gerjesztés itt egyetle, ulla méretű tárgypot (Dirac-delta), eek megfelelőe I' a redszer impulzusválasza, amit optikába potszórás függvéyéek evezek (PSF Poit Spread Fuctio). A PSF-el kiterjedt tárgyak diffrakciós képe is kiszámolható, ld. később. RAiry 67. ábra. Az aberráció metes leképezés eseté kialakuló diffrakciós folt. 6

62 JÖVŐ ÓRÁN Diffrakciós mérőszámok Frauhofer-diffrakció umerikus kiértékelése Képmiőséget szimuláló közelítések összegzése potszórás függvéy (PSF), Strehl-aráy, kapcsolat az RMS OPD-vel 6

63 ISMÉTLÉS 8. DIFFRAKCIÓS HATÁSOKAT JELLEMZŐ MÉRŐSZÁMOK Hullámfrot aberráció: a kilépő pupillá mért hullámfot alakhibája (OPD) Gauss-referecia gömb: tökéletes gömbi hullámfrot, erre voatkoztatjuk az OPD-t RMS OPD: Diffrakciós itegrálok: Skalár diffrakció: geometriai optikailag kiszámolt meyiség, ami a redszert diffrakció szempotjából jellemzi Huyges-Fresel, Fresel, Frauhofer-közelítés gömbhullám diffrakciója 8.. DIFFRAKCIÓKORLÁT KÖZELI RENDSZEREK JELLEMZÉSE Airy-folt, Strehl-aráy Tökéletes, aberrációmetes optikai redszerél (RMS OPD = 0) a feti itegrál kör alakú apertúrára aalitikusa is meghatározható. A megoldás alakja Bessel-függvéy, melyél az első zérushely tegelytől mért távolságát evezik Airy-sugárak (RAiry): RAiry = 0,6 λ0 / NA, (4) ami NA < 0,5 eseté jó (azaz amikor a Fresel-közelítés érvéyes), vagy RAiry, λ l / D, (43) ami NA < 0,3 eseté jó, azaz amikor si x x, ahol NA a diffraktáló yaláb umerikus apertúrája. Két, RAiry távolságra lévő folt az emberi szem számára még feloldható ezt evezik Rayleigh-felbotásak. Végtele távoli tárgy eseté az emberi szem két egymástól kb. szögperc alatt látszó tárgypotot (pl. csillagot) tud még egymástól megkülöbözteti. (J (πx)/(πx)) [-] ideális eset I'(0, 0) / I x [-] 68. ábra. Köralakú apertúra Frauhofer-diffrakciós képe (iteztitás eloszlása), ideális hullámfrot (RMS OPD = 0) és aberrált hullámfrot eseté (RMS OPD > 0). J(x) az elsőredű Bessel-függvéy, ahol x y x,. (44) R Airy 63

64 Tökéletese aberrációmetes optikai redszerél a Gauss-referecia gömb középpotjába az itezitás I0 értéke aalitikusa is kiszámolható, a Frauhofer-formulába x' = y' = 0, valamit OPD = 0-t helyettesítve: U π λ 0 D l 4 P R 0 total I0 Airy,7. (45) A feti képletbe alkalmaztuk RAiry képletét és, hogy a féyyaláb összteljesítméye: Ptotal = π U0 D /4. (46) Az I'(0, 0) / I0 háyadost Strehl-aráyak evezik, ami egy aberrált optikai redszerél azt mutatja meg, hogy a diffrakciós folt maximum itezitása I'(0, 0) háyad része az ideálisa elérhető, maximális értékek. A Strehl-aráyt elterjedte haszálják diffrakciókorlát közeli redszerek miősítésére, mivel ilye esetekbe a hullámfrot-aberráció kis övekedése em ayira a diffrakciós folt méretét, mit ikább itezitás-aráyait befolyásolja (pl. az RAiry-él lévő miimumhely csak teljese ideális leképezésél zérus). Az RMS OPD < 0,07 λ0 Rayleigh-kritériumak megfelelő Strehl-érték: I' / I0 > 0,8. (47) A diffrakciókorlátos leképezés ilye formába megfogalmazott feltételét Maréchalkritériumak evezik. A Strehl-aráy és az RMS OPD kapcsolata Kimutatható (ld. Bor-Wolf), hogy kis aberrációk eseté a Strehl-aráy em függ az aberráció milyeségétől (a hullámfrot alakjától), csupá az RMS értékétől: I I 0 π λ 0 RMSOPD (48) Ez az összefüggés mutat rá az RMS OPD jeletőségére: kis aberrációk eseté (amíg a redszer a diffrakciókorlát közelébe va, azaz RMS OPD < 0,4 λ0), ez a geometriai optikailag, éháy sugár átvezetésével meghatározott meyiség ige potosa jellemzi az optikai redszer diffrakciós viselkedését, és ics szükség időigéyes diffrakciós számításokra! Ha a redszer már ics a diffrakciókorlát közelébe, azaz RMS OPD > 0,4 λ0, kéyteleek vagyuk kiszámítai a diffrakciós itegrált (közvetleül, vagy FFT-vel). Túl agy aberrációk eseté viszot mitavételezési problémák léphetek fel. Ezt vizsgáljuk alább. Pupilla-mitavételezés hatása a Frauhofer-közelítésre Mivel a Frauhofer-képletbe szereplő itegrálást umerikusa végezzük, a kilépő pupillát diszkretizáli kell. Az itegrál képletébe a kitevőbe szereplő (x x' + y y')/l tag a kilépő pupilla P és a képsík P' potjáak távolságáak megváltozását közelíti (P az itegrálás sorá letapogatja a kilépő pupillát). Numerikus itegráláskor akkor em követük el agy számítási hibát, ha két mitavételi pot között átlépve a P-P' távolság jóval kevesebbe változik λ-ál. Vizsgáljuk meg az egyszerűség kedvéért a kilépő pupilla távolterébe az OPD(x, y)-vel jellemzett hullámfrot diffrakcióját (ui. a lecse képsíkjába ezzel aráyos kép jeleik meg). Legye N N db mitavételi pot a pupillá, továbbá a képsíko a Gauss-referecia gömb középpotjától mért legagyobb távolság, ahol az itegrálást még ki akarjuk számoli y'. 64

65 y Gauss-referecia gömb P' y' D/N P Δ z 69. ábra. A mitavételezési hibát okozó Δ úthosszkülöbség kiszámítása umerikus itegrálásál. Ekkor két szomszédos mitavételi pot között mérhető távolság: D/N. Mivel a Frauhofer közelítés miatt igaz, hogy z >> D, a két mitavételi pot között mért úthosszkülöbség Δ értéke trigoometriailag (aráypárral) jó közelítéssel kiszámolható. Feltéve, hogy y' < D: D y. (49) N z Aak érdekébe, hogy a umerikus itegrálásál az itegraduszba szereplő expoeciális kifejezésbe a fázis e változzo túl sokat két mitavételi pot között, a következő feltételt tesszük: Δ λ0 / 0. Az egyelőtleségbe helyettesítve Δ értékét, és az előbbiekbe bemutatott RAiry kifejezését: N y R Airy. (50) 0, Miutá a kifejezésből kiesett z, ez érvéyes lecsék által fókuszált gömbhullámokra is. A szokásos es mitavételezésél ebből azt kapjuk, hogy: y' 5 RAiry. A még éháy perc alatt kiszámolható mitavétel az 5 5-es, ahol y' 40 RAiry-ek kell teljesülie. Felmerül a kérdés, hogy a képsík mekkora területé számítsuk ki a téreloszlást, azaz y'-t mekkoráak válasszuk? Lecsék diffrakciós foltját akkora területe célszerű kiszámítai, ahol még jeletős meyiségű eergia va. Diffrakciókorlátos redszerél az eergia 84% az RAiry sugarú körbe kocetrálódik (y' = RAiry), tehát a feti egyelőtleség automatikusa teljesül még kis mitavételezésél is. Nagyobb aberrációk eseté közelíthetjük az eergia zömét hordozó területet a szóródási folt RMS rádiuszával. Ebből az következik, hogy a mitavételezés miatt a PSF kiszámítása traszverzális sugáraberráció függő lesz. Adott mitavételezés mellett, a legagyobb megegedhető RMS foltméretre előírt feltételt a feti képlet határozza meg. A túl agy aberráció egy esetleges alulmitavételezés miatt meghamisíthatja a PSF értékét. Feltételük sugáraberrációra voatkozik, ami a deriválásos kapcsolat miatt em számítható át egyértelműe OPD-re. Hozzávetőlegese, ha az RMS OPD éháy lambda alatt va, a PSF számítás feltehetőe potos lesz éháyszor sugaras pupillamitavétel eseté. Néháy lambdáyi RMS OPD fölött diffrakciós itegrálásról célszerű áttéri a szóródási folt traszverzális aberrációiak vizsgálatára, mert jeletőse csökke a számítási idő. 65

66 70. ábra. Hatszögletű rekesz diffrakciós foltja (PSF), tökéletes kilépő gömbhullám eseté. 8.. LEKÉPEZÉSI HIBÁK MÉRŐSZÁMAINAK ÖSSZEFOGLALÁSA Diffrakciókorlátosak már em tekithető, de még geometriai optikailag sem kezelhető (azaz sem RMS OPD-vel, sem RMS foltmérettel em jellemezhető) redszerek miősítésére haszáljuk a PSF-et (pl. Strehl-aráy v. adott sugarú körö belül meyi eergiát tartalmaz a diffrakciós folt). A külöböző módszerek összefoglalását ld. a. táblázatba. RMS OPD [λ] RMS foltsugár [R Airy] Miősítési jellemző Miősítési módszer , , RAiry diffrakciókorlátos rsz. 0, ,4 0,...,0 RMS OPD hullámfrot aberráció 0,4...,0, Strehl-aráy diffrakciós itegrál RMS foltsugár geometriai optika. táblázat. Potszerű tárgy leképezését miősítő módszerek és alkalmazásuk korlátjaiak összefoglalása. ØAiry = 8 μm ØAiry = 8 μm ØAiry = 8 μm szóródási folt geometriai optikai képfolt diffrakciós képfolt 7. ábra. Példa egy leképezőredszer szóródási foltjára, geometriai optikai képfoltjára és diffrakciós képfoltjára. 66

67 7. ábra. OPD térkép hullámhosszba mérve (λ = 555 m) A feti képek egy erőse aberrált leképzésre (beteg emberi szem esetébe a retiá, Ø4,5 mm-es pupilla mellett) mutatják az egyazo tárgypothoz tartozó fókuszfolt képét külöböző közelítésekbe, valamit a hullámfrot-aberrációt hullámhosszyi egységbe kifejezve. JÖVŐ ÓRÁN Kiterjedt tárgyak leképezése: Képaalízis frekveciatérbe: kovolúció moduláció átviteli függvéy (MTF) 67

68 ISMÉTLÉS 9. KITERJEDT TÁRGYAK LEKÉPEZÉSÉNEK VIZSGÁLATA Diffrakció lecseredszerbe: potszórásfüggvéy (PSF), Strehl-aráy, fókuszmélység Képmiőséget jellemző mérőszámok összefoglalása 9.. KONVOLÚCIÓS TÁRGYALÁSMÓD Ameyibe csak olya ayagokat haszáluk optikai eszközeik felépítéséhez, amelyek dielektromos permittivitása kostasak tekithető az elektromos és mágeses térerősségek függvéyébe (a mágesezhetőséget eleve elhayagoljuk, azaz μr = ), a leképezőredszerek lieárisak tekithetők, azaz érvéyes rájuk a szuperpozíció elve. optikai tegely y x y' x' tárgysík o leképező redszer (lieáris redszer) z képsík i 73. ábra. Leképező redszer mit lieáris redszer. Időbe koheres, skalárak tekitett elektromágeses tér eseté: e iωt és E U Tárgy komplex amplitúdó- / besugárzáseloszlás: Kép komplex amplitúdó- / besugárzáseloszlás: Uo(x, y) ; H o(x, y) (5) Ui(x', y') ; H i(x', y'), (5) ahol o jeleti a tárgysíkot, i a képsíkot, és pedig két külöböző tárgyat ill. képet. Térbe koheres esetbe a szuperpozícó a komplex amplitúdóra írható fel: Uo(x, y) = Uo(x, y) + Uo(x, y) Ui(x', y') = Ui(x', y') + Ui(x', y') (53) Térbe ikoheres esetbe (azaz diffúz megvilágításál) a szuperpozíció a besugárzásra érvéyes: Ho(x, y) = Ho(x, y) + Ho(x, y) Hi(x', y') = Hi(x', y') + Hi(x', y') (54) Lieáris redszerek valamilye bemeetre (tárgy) adott válaszát (kép) felírhatjuk az impulzusválasz függvéy (PSF) segítségével. Ho(x, y) legye a tárgy besugárzáseloszlása, Hi(x', y') a képé. Ha a redszer potszórásfüggvéye (optikába így evezik az impulzusválaszt): PSF(x', y'), ami e felejtsük besugárzáseloszlás, a kép a következő itegrállal írható fel (kovolúció-tétel): H ( x, y) H ( u, v) PSF( x u, y v) dudv H PSF. (55) i i,id Hogy a kép teljesítméyviszoyai is helyesek legyeek, a feti képletbe a PSF-et az összteljesítméyére kell ormáli, hogy a területi itegrálja egységyi legye: 68 i, id

69 PSF ( x, y) dxdy. (56) Ezt a kovolúciós módszert alkalmazzák kiterjedt tárgyak diffrakciós leképezésére. Ha a leképezőredszer traszverzális agyítása NT, az ideális kép kifejezhető Ho-val is: H i,id ahol a torzítást elhayagoltuk (azaz NT = cost. az egész képe). H PSF x y ( x, y) H o, N, (57) T NT NT Hi Hi,id ábra. A kovolúció szemléltetése egy dimezióba. y' 9.. MODULÁCIÓ-ÁTVITELI FÜGGVÉNY (MTF) Fourier aalízisből megtaultuk, hogy a kovolúció Fourier-traszformáltja a szorzás: F {Hi}= F {Hi,id*PSF } = F {Hi,id} F {PSF} = F {Hi,id} OTF (58) (Itt a kozekves tárgyalás végett írtuk iverz Fourier-traszformációt.) A PSF (iverz) Fourier-traszformáltját optikai átviteli függvéyek (OTF Optical Trasfer Fuctio) evezik. Ha az ideális kép egyetle sziuszos rács f térfrekveciával, aak Fouriertraszformáltja egy f-be eltolt Dirac-delta. Ezt megszorozva az OTF-el, megkapjuk a valóságos kép Fourier-traszformáltját, ami értelemszerűe szité Dirac-delta, egy komplex értékkel, OTF(f)-el, megszorozva. A valódi kép tehát szité f térfrekveciájú sziuszos rács lesz, amplitúdóba átskálázva, fázisba eltolva. H 0 Hmax Hmi ideális kép, M = általáos kép, M < a = (Hmax Hmi) / b = (Hmax+Hmi) / y' M = a / b 75. ábra. Ideális leképzés és ideális sziuszos tárgy eseté a kép modulációja, legrosszabb esetbe 0. A komplex OTF okozta fázistolást általába em szokták figyelembe vei, csak az abszolút értékével foglalkozak. Az OTF abszolút értékét moduláció-átviteli függvéyek, MTF-ek evezik (Modulatio Trasfer Fuctio): MTF OTF. (59) 69

70 A moduláció (M) csak abba az esetbe értelmezhető, ha két külöböző térfrekveciájú sziuszos jel va jele: egy 0 /mm-es egyeáramú és egy f térfrekveciájú hullám, mit a feti ábrá. Ekkor M defiíciója: H max H mi A( f ) M( f ), (60) H H A(0) max ahol A(f) az f térfrekveciájú kompoes amplitúdóját jelöli. A valódi kép modulációja (M) az ideális képével (Mid) és az MTF-el kifejezve (58) alapjá: M( A( f ) Aid ( f ) MTF( f ) A f ) A(0) A (0) MTF(0) A id id id mi ( f ) MTF( f ) MTF( f ) M (0) id ( f ), (6) mivel a (56) ormálás miatt MTF(0). Ideális kép alatt ebbe az esetbe geometriai aberrációktól és diffrakciós hatásoktól metese leképezett, 0 és egy maximális érték között modulált ideális tárgy agyított/kicsiyített képét értjük. Modulációja kifejezhető a tárgy modulációjával és a traszverzális agyítással: M id ( f ) M ( f N ). (6) Az OTF fázisviszoyait két okból em szokták méri. Egyrészt jelaalízisből tudjuk, hogy szimmetrikus függvéy Fourier-traszformáltja valós, vagyis a fázisa mide térfrekveciá zérus. Mivel az optikai tegelye lévő tárgypothoz tartozó képfolt PSF-je praktikusa midig forgásszimmetrikus, az OTF-jéek fázisa gyakorlatilag kostas ulla. Az OTF zérustól eltérő fázisa az optikai tegelytől távol lévő képfoltok aszimmetria viszoyait jellemzi, amiből műszakilag értelmezhető iformáció eheze yerhető ki. Ez volt az egyik ok. A másik ok elég prózai: az OTF fázisát az amplitúdóál sokkal ehezebb méri, ezért ikább em is foglalkozak vele. obj T fcutoff 76. ábra. Diffrakciókorlátos redszer MTF diagramja, és a vágási frekvecia (térbe ikoheres eset). Az MTF-et elterjedte haszálják kiterjedt tárgyat leképező redszerek (pl. féyképezőgép objektív) miősítésére. A diffrakciókorlátos redszerek MTF görbéje ullára esik egy bizoyos fcutoff vágási frekvecia fölött. Ikoheres megvilágítás eseté: f cutoff D, (63) λ l 0 70

71 ahol D a kilépő pupilla átmérője, l a kilépő pupillától a képsíkig mért távolság. Emlékeztetőül: az f# = l/d értéket relatív yílásak evezik ezt tütetik fel féyképezőgépek bledeállító tárcsájá. Érdekesség, hogy a vágási frekveciához tartozó Λ rácsperiódus mikét viszoyul az Airy-folthoz: R Airy Λ. (64) f, A Shao-mitavételezés alapjá (ld. Goodma: Itroductio to Fourier Optics []): cutoff dccd = Λ ØAiry 5dCCD (65) Geometriai aberrációkat em tartalmazó ideális, ú. diffrakciókorlátos redszer MTF diagramja (MTFdiffr) aalitikusa is kiszámítható (ld. következő alfejezet). Térbe ikoheres megvilágítás eseté: MTF diffr 7 arccos( ) ; ha ( ) π (66) 0 ; egyébkét ahol bevezettük a ξ-t, a levágási értékkel ormált térfrekveciát: ξ f / fcutoff. (67) Ha az F {PSF} értékét felírjuk f = 0 térfrekveciá, a besugárzáseloszlás teljes képsíkra vett itegrálját kapjuk, ami egyelő a yaláb összteljesítméyével: OTF(f,f x y ) 0,0 F PSF(x,y ) e - iπ f x x PSF(x,y ) e iπ f x y 0,0 dxdy 0,0 PSF(x,y ) dxdy, (68) ahol az fx, fy térfrekveciák a következőképp ézek ki (általáos esetbe ugyais az MTF em forgásszimmetrikus, és em elég egyetle f ): x y f ; f. (69) x y λ z λ z Ezért ha a PSF-et leormáltuk az összteljesítméyre, az MTF zérus térfrekveciá defiíció szerit midig egységyi. Az MTF görbe feti, diffrakció alapuló defiíciója (a PSF Fourier-traszformáltja) akkor működik, ha a PSF kiszámítására haszált közelítés, algoritmus érvéyes. Mit megismertük, agy aberrációkál ez em feltétleül igaz (mide attól függ, elég agy-e a mitavételezés). Nagy aberrációk esetébe a geometriai MTF-et szokták kiszámítai, ahol em a PSF, haem a féysugarakkal kiszámolt szóródási folt Fourier-traszformáltját veszik. Az így kapott MTFet geometriai MTF-ek evezik AZ MTF KISZÁMÍTÁSA AUTOKORRELÁCIÓVAL A gömbhullám diffrakciójáál megjegyeztük, hogy a diffrakciós folt Ũi komplex amplitúdóeloszlása a képsíko, egy kostas faktort leszámítva, em más mit az Õ(x, y) pupillafüggvéy Fourier-traszformáltja: Mivel a PSF a komplex amplitúdó abszolútérték égyzete: Ũi ~ F{Õ} Õ ~ F { Ũi }. (70)

72 PSF = Ũi = Ũi Ũi *, (7) (58) alapjá a következő összefüggés írható fel: OTF = F {PSF} = F {Ũi Ũi * }. (7) A matematikából ismert Wieer-Khichi-tétel kimodja, hogy ha egy f(t) komplex függvéy F(ω) Fourier-traszformáltjáak abszolútérték-égyzetét iverz Fourier-traszformáljuk, akkor a kapott eredméy megegyezik a f(t) autokorrelációs függvéyével: F( ) - F. (73) f ( ) f ( t) d Az f Õ, F Ũi, t (x, y), ω (x', y') és τ (u, v) megfeleltetést téve: OTF U ~ U ~ i i ~ - F, (74) O ~ ( u, v) O ~ ( u x, v y) dudv vagyis a PSF iverz Fourier-traszformáltja (maga az OTF) (70) miatt aráyos a pupillafüggvéy autokorrelációs függvéyével. Ebből az is következik, hogy az MTF aráyos a pupillafüggvéy autokorrelációs függvéyéek abszolút értékével. Ha az autokorrelációs függvéyt (ami teljesítméyjellegű meyiség) ormáltuk a yaláb összteljesítméyére, akkor MTF = ÕÕ *. (75) Ideális, diffrakciókorlátos redszerél OPD = 0, azaz az Õ pupillafüggvéy kostas; legye egybe skalár is. Ekkor az autokorrelációs fügv. egyszerű területszámítással kiértékelhető, ld. a (66) képletet. EP' fy = Δy / (λ l) D Δy Δy MTF(0, 0) = MTF(0, fy) < MTF(0, fcutoff) = ábra. Az MTF kiszámítása a pupillafüggvéy autokorrelációjával diffrakciókorlátos esetbe. Térbe koheres megvilágításál az impulzusválasz függvéy Ũi, amiből: OTF = F { Ũi } = Õ, (76) azaz maga a pupillafüggvéy. Ekkor az OTF-et em a besugárzás, haem a komplex amplitúdóeloszlásra kell alkalmazi. Ilye redszerekél a vágási frekvecia feleakkora mit a térbe ikoheres megvilágításál: D f cutoff. (77) λ l 7 0

73 fcutoff 78. ábra. Diffrakciókorlátos redszer MTF diagramja, és a vágási frekvecia (térbe koheres eset). JÖVŐ ÓRÁN Az optikai tervezés folyamata Fotosabb leképező redszerek áttekitése 73

74 0. AZ OPTIKAI TERVEZÉS FOLYAMATA ISMÉTLÉS Kiterjedt tárgyak leképezése: kovolúció, MTF 0.. AZ OPTIKAI TERVEZÉS MENETE Gyártás kotra vásárlás Háromtagú redszer, öt készlet (kb. árak Magyarországo, 005) Optikai tervezés Lecse gyártás Lecse rétegezés Foglalás tervezés Foglalás gyártás Szerelés, bemérés Ft (4.000 Ft/óra, kb. mérökhó) Ft ( Ft/db + szerszámköltség) Ft ( Ft/db) Ft Ft Ft Összese Ft 3. táblázat. Háromtagú redszer öt készletéek gyártási ára Magyarországo (005). Edmud Scietific-él megvásárolva: db síkdomború lecse (dia. 0, efl 60mm+MgF): Ft db háromtagú okulár: Ft db akromát (dia. 0, efl 60mm+MgF): Ft db miőségi 0x mikr.obj: Ft Tervezési előkészületek Specifikáció Kereskedelmi forgalomba kapható? Kereskedelmi forgalomba kapható elemekből összerakható? Részbe kereskedelmi forgalomba kapható részbe gyártott elemekből összerakható? Teljese egyedi tervezés, gyártás 79. ábra. Optikai redszer tervezéséek előkészületei. 74

75 Főbb specifikációs adatok, követelméyek hullámhossz tartomáy agyítás (tartomáy) tárgyszög tárgytávolság (tartomáy) umerikus apertúra f-szám (relatív yílás) effektív fókusztávolság felbotóképesség (képátló/foltméret) mélységélesség képmiőség (RMS foltméret, RMS OPD, MTF adott frekveciáko, torzítás) szerkezeti hossz (első lecsefelület homlokpotjától az utolsóig) leképezési hossz (tárgytól a képig) hátsó fókusztávolság traszmisszió, rocsolási teljesítméy küszöb szórt féy szerelhetőség mérhetőség köryezeti feltételek (hőmérsékleti tartomáy, yomás, porvédelem stb.) a legfotosabb: az ár Beszerzési lehetőségek Külföldi vásárlás 75 Magyarországi gyártás (közepes ár) Geodesy Kft. (foglalás, lecsék, réteg) (drága) Schmidt&Beder Kft. (lecsék + foglalás) (ige drága) Europtik Kft. (precíziós lecsék + rétegezés) (európai) OptiLab Kft. (rétegezés) (olcsó, kíai) MikroT Kft. (fotolitográfia) (optika ált.) BME Gépgyártástechológia (UP eszterga) (síkoptika) DirectLie Kft. (UP eszterga + prec. mech.) (vegyes optika) (lecse protot.) (UV ragasztók) 4. táblázat. Optikai elemek beszerzési lehetőségesi.

76 0.. OPTIKAI TERVEZŐ PROGRAMOK Mire jók a tervező programok? Kereskedelmi forgalomba kapható redszerek miősítése. Ker. forg.-ba kapható elemekből összeállítható redszer tervezése, miősítése. Egyedi tervek készítése, miősítése és a gyártási hibák hatásaiak modellezése. Eddig em modellezett jeleségek képmiőségre gyakorolt hatásáak vizsgálata. És mire em jók? A programok a specifikációt em találják ki maguktól Nem godolkozak helyettük a feladat megoldásá (ics ituíciójuk) A hibáikat em javítják ki (sőt, ritká ők is hibázak) Alapos, potos méröki ismeretek Nagy tervezési tapasztalat (a létező optikai redszerek ismerete) Súgó redszer haszálata Álladó elleőrzés (a tervezési folyamat álladó yomo követése) A mai tervezőprogramok gyakorlatilag bármilye specifikációak megfelelő leképező redszert képesek kiszámoli. A gyakorlott és gyakorlatla tervező eredméyei közötti külöbségek a gyárthatóságba és az árba mutatkozak meg. Tervezési tapasztalat birtokába emellett gyorsabba tuduk dolgozi és egyszerűbb kostrukciókat tuduk alkoti. A tervező programok fajtái Maufacturer Optical desig Illumiatio aalysis Other Syopsys (USA) CODE V LIGHT TOOLS - Zemax Developmet Corp. (USA) ZEMAX ZEMAX - Lambda Research Corporatio (USA) OSLO (OSLO EDU - free) TRACEPRO LENSVIEW Radiat Imagig (USA) - - PROSOURCE Breault Research Orgaizatio (USA) - ASAP - Optis (Frace) SOLSTIS SPEOS OPTICALC O++ (Frace) - APILUX - Wolfram Research, Ic. (USA) OPTICA (with MATHEMATICA) - - Lios (Spidler & Hoyer) (Germay) WiLes (free) - GLASS MANAGER 5. táblázat. Optikai tervező programok fajtái. + lézer rezoátor tervező + hullámvezető tervező (plaár, csatora, szál) + hullámoptikai tervező (pl. diffraktív optika, diffúzorok) 76

77 Tervezési lépések Specifikáció elkészítése Kiidulási lecseredszer optomechaikai modelljéek elkészítése Optikai miősítő eljárások alkalmazása A leképezés jellemzőiek javítása (optimalizáció) Gyártási hibák hatásáak vizsgálata a leképzésre (tűrésszámítás) Ez eredméyek grafikus vagy szöveges megjeleítése Tervdokumetációk készítése (ISO 00 szabváy szerit) 0.3. ALAPFOGALMAK DEFINÍCIÓI Sugárcélzási fajták Redes sugarak: Iteratív sugarak: Relatív koordiáták Tárgytér mérete: Belépő pupillá a yaláb mérete: adott tárgypotból megcélozzuk a belépő pupilla egy potját egy adott tárgypotból idított sugarat (általába ez a fősugár) iteratíve ayiszor vezetük át a redszere, amíg el em találja a referecia felület adott potját (ez általába az apertúra rekesz) OBH (félátmérő) [mm] EBR (félátmérő) [mm] Tárgypot relatív koordiáta: FBY y / OBH [-] (78) Pupilla relatív koordiáta: FY y / EBR [-] (79) Pupillamitavételezés belépő pupilla sugárkészlet 80. ábra. RMS foltméret, RMS OPD, PSF, MTF számításához ehhez hasolóa osztjuk fel a belépő pupillát. Az osztások száma fukciókét változtatható. Optimalizáció (azaz tervezés) Az optikai redszer leképezés miőségéek iteratív javítása adott szerkezeti paraméterek (változók ) automatizált javításával. 77

78 Optimalizációs változók Azo kostrukciós paraméterek összessége, amelyeket az optimalizáció sorá automatikusa kíváuk változtati (pl. görbületi sugár, lecse vastagság stb.). Optimalizációs operadusok Azo optikai jellemzők összessége (ld. specifikációk), amelyet az optimalizáció sorá kívát értékre szereték beállítai (pl. effektív fókusztávolság, szóródási folt méret, NA stb.). Hibafüggvéy Az operadusokból égyzetes összegzéssel előállított skalár értékű Φ függvéy, amely ullához tart, ha a redszer közelít az előírt tulajdoságokhoz. Magukat az operadusokat is úgy kell kialakítai, hogy ullához tartsaak a redszer javulásával: m ( x W w, (80) m, x, x3,, x ) w i fi ( x, x, x3,, x ) ; W i ahol wi a tervező által beállított súlyozó téyező, amely arra szolgál, hogy a külöböző agyságredű operadusokat közelítőleg azoos értékre hozza, hogy egyformá javuljaak az optimalizáció sorá. fi jelöli az m db operadust, xj pedig az db változót. Az operadusok boyolult módo függek a változók értékeitől, ezt fejezi ki a feti függvéykapcsolat. A program az optimalizáció jóságát az hibával jellemzi. Csillapított legkisebb égyzetek módszere i ERR (8) A legkisebb égyzetek módszerével a Φ hibafüggvéy lokális miimumát keressük úgy, hogy a változókból alkotott xk vektort kis Δxk értékekkel csökketve, Φ értékét kis ΔΦ értékekkel csökketjük. ( k az iterációs idex.) Alapegyelet: ahol A a derivált mátrix (Jakobi-mátrix): A Δx = f, (8) Ai,j = f x i j i (83) Ez az egyelet általába túlhatározott (m > ), azaz ebbe a formába em megoldható. Csak egy olya megoldást lehet találi, ahol Δx miimalizálja az eltérést (r) a megoldástól: ahol értéket keressük. Ebből az új alapegyelet: Ezt evezik Gauss-traszformációak. A Δx + f = r, (84) r = r T r = mi. (85) A T A Δx = A T f. (86) 78

79 START k = 0 ; x0 vektor megadása Ai,j = f x i j derivált mátrix meghatározása A T kak Δxk = A T k fk lieáris egyeletredszer megoldása Δxk-ra xk+ = xk + Δxk k = k+ Φ(xk) elég kicsi? N I STOP 8. ábra. Az optimalizációhoz haszált csillapított legkisebb égyzetek módszeréek blokkdiagramja. Azért, hogy túl agy Δxk lépések e legyeek, egy csillapító tagot adak az egyeletekhez, ezzel meggátolják azt, hogy véletleül át e lépjük egy lokális miimumot. Ez a csillapított legkisebb égyzetek módszere (Damped Least Squares DLS). Fotos, hogy olya változókat (szabadsági fokokat) defiiáljuk, amelyekre a hibafüggvéy em ivariás! Globális optimalizáció Hammer-módszer Geetikai algoritmusok Adaptív szimulált hőkezelés (ASA) Global explorer A súgó haszálata Eélkül em lehet megtauli a program haszálatát, ayira összetett. 79

80 0.4. A MEGFELELŐ KÉPALKOTÓRENDSZER KIVÁLASZTÁSÁNAK SZEMPONTJAI Amit láttuk, a leképezőredszerek specifikációs paramétereiek ige hosszú a listája. Az ezeket megvalósító, óriási változatosságot mutató lecseredszerek közül érdemes kiemeli azokat, amelyek végtele távoli tárgyat képezek le a közeltérbe, azaz egy képdetektorra vagy eryőre, ld. 8. ábra. Hasoló fókusztávolság és umerikus apertúra eseté ezek a redszerek egymással jól összehasolíthatóak, jellemző struktúrájuk jól példázza egy adott leképezési feladat összetettségét. apertúrarekesz képsík 8. ábra. Végteleből végesbe törtéő leképezés, egy síkdomború lecsével bemutatva. Ráadásul, ameyibe végesből-végesbe törtéő képátvetítés megvalósítása a cél, a fetebb említett végtelere korrigált redszerekből kettőt egymással szembefordítva a legtöbb esetbe kielégítő megoldást kapuk (ekkor a végtele tárgy-/ képtávolságú oldalak ézek egymással szembe, ld. 83. ábra). 83. ábra. Végesből végesbe törtéő leképezés, két síkdomború lecsével bemutatva. A lecseredszerek felépítéséek összetettségét elsősorba az adott tárgytérbe optikailag felbotható potok száma határozza meg (azaz a képátló meté elhelyezhető felbotott potok száma). A tipikus kofigurációkat az alábbi ábra foglalja össze, mely jó kiidulás a kezdő optikai tervezők számára. Az érdeklődőbbek számára a [8], [9], [0] szakköyvek valamelyikéek taulmáyozását ajáljuk. A jelfeldolgozásból ismert, korábba említett, Shao-féle mitavételezési törvéyből levezethető, hogy adott optikai redszerhez olya képdetektort kell választai, amelyre a képátló elhelyezkedő pixelek száma kb. kétszerese az optikailag felbotott potok számáak. Pl. dupla-gauss elredezésű objektívekél (ilyeek a mai féyképezőgép-objektívek) 6000 = 000 pixel szükséges a képátló (ld. ábra), ami 4:3 aráyú képél képpotot, azaz kb. 7 megapixeles képdetektort eredméyez. Az alábbiakba a teljeség igéye élkül bemutatuk éháy alapvető leképezőredszert. Az egyszerűség és szemléletesség kedvéért az ismertetésre kerülő eszközöket térbe és időbe koheres féyel vizsgáljuk, azaz a féyforrás midig mookromatikus potforrás. Fotos megjegyezi, hogy ezek a redszerek em megfordíthatóak, viszot a tárgy és képsíkjuk felcserélhető. Azaz egy féyképezőgépobjetkívet haszálhatuk pl. diavetítő lecséek, ha a képdetektor helyére a filmet tesszük. 80

81 (θ ) 000 (θ ) ábra. Objektívtérkép végteleből végesbe törtéő leképezés eseté (W.J. Smith, Egieerig a Optical system, SPIE OE Magazie, 00). A pirossal írt számok agyjából tükrözik az azoos sávokba lévő redszerekkel elérhető felbotott potok számát. JÖVŐ ÓRÁN Alapvető képalkotó redszerek bemutatása: kodezor, szem, agyító, akromát 8

82 . ALAPVETŐ KÉPALKOTÓ RENDSZEREK BEMUTATÁSA ISMÉTLÉS Az optikai tervezés meete: Optikai tervező programok: gyártási megfotolások, specifikáció, beszerzések működés, főbb jellemzők.. ELŐADÁSON BEMUTATOTT RENDSZEREK Kétszerdomború kodezor Megfigyelhető az óriási yíláshiba. A fókuszsíkba helyezett tárgyat emiatt ihomogé módo világítja ki. Midemellett a lecse a síkdomború lecsékhez képest ehezebbe gyártható. A bemutatott két kodezor változat NA-ja és fókusztávolsága (azaz főbb paraxiális jellemzői) azoosak az összehasolíthatóság kedvéért. 85. ábra. Kétszerdomború kodezor, paraxiális képsík. 86. ábra. Szóródási folt paraxiális képsíkba. 87. ábra. Képsík kb. a hátsó fókuszsíkba. Kodezor két síkdomború lecséből 88. ábra. Szóródási folt kb. a hátsó fókuszsíkba. Egyszerű felépítés, köyű gyárthatóság mellett jeletőse kisebb yíláshiba. A tárgy megvilágítottsága sokat javult. Nyíláshibá kívül egyéb aberrációkra em korrigált. 8

83 89. ábra. Képsík paraxiális képsíkba. 90. ábra. Szóródási folt paraxiális képsíkba. 9. ábra. Képsík kb. a hátsó fókuszsíkba. Emberi szem 9. ábra. Szóródási folt kb. a hátsó fókuszsíkba. Kék szíre sokkal rosszabb a feloldás mit zöldre vagy pirosra. A szem legagyobb felbotóképességét kb. Ø3 mm-es pupilláál éri el, alatta a diffrakció, felette a geometriai aberrációk domiálak. A szem egymáshoz képest kb. szögperc alatt látható tárgypotokat képes megkülöbözteti (kb. 0, mm a tisztálátás távolságá azaz 50 mm-e). 93. ábra. A szem modellje W. J. Smith, Moder Optical Egieerig -beli modellje alapjá. 94. ábra. A szem szóródási foltja a retiá Ø3 mm-es pupilla eseté. A kék szí defókuszáltságá jól látható a logitudiális szíhiba. 83

84 A pupilla mérete függ a megvilágítástól. A 3 mm-es átmérőt kb. 73 cadela/m féysűrűség eseté éri el (ez kb. a borult égboltak felel meg). Akkor a leképezés diffrakciókorlátos, a diffrakciós folt sugara 4 µm. A szem a látómezejéek csak a középső kb. ± -os tartomáyá lát élese (ez esik a retia sárgafoltak evezett részére), itt esik a látásélesség a maximum felére. A sárgafolto a legsűrűbb a legérzékeyebb receptorok, a csapok eloszlása. A csapok távolsága kb. µm, ami meglepőe jól illeszkedik a 4 µm-es diffrakciós folthoz. (A Shaoféle mitavételezési törvéy alapjá az optika által átvitt legagyobb térfrekvecia periódusáak fele kell hogy legye a detektorok távolsága, és az eddig taultak alapjá ez a periódus hossz kb. az Airy-folt sugara.) A szem teljes tárgyszög tartomáya ±0 vízszitese. A szem levegőre voatkoztatott effektív fókusztávolsága 7 mm. A retiá mérve a térfrekveciát, az átlagos szem kb. 60 voalpár/mm-t ( 0.8 voalpár/szögperc) old fel (sziuszos tárgy eseté). Négyszögjel-jellegű (azaz em sziuszos) tárgy eseté agyo jó szem akár 80 voalpár/mm-t (.5 voalpár/szögperc) is feloldhat ideális körülméyek között.. AIM MTF Diffrakció korlát Moduláció [-] Térfrekvecia [voalpár/szögperc] 95. ábra. Az átlagos emberi szem optikájáak MTF görbéje Ø3,0 mm pupilla eseté, polikromatikus féybe. (Emlékeztetőül: az MTF a sziuszos tárgy moduláció átvitelét mutatja.) Az AIM (Aerial Image Modulatio) görbe adja meg a retiá ahhoz szükséges modulációt, hogy a szem az adott térfrekveciájú képet még éppe érzékeli tudja. (Az AIM görbe azért szükséges, mert pl. egy CCD detektor mátrixszal elletétbe a szem eseté em tudjuk megméri, hogy milye modulációval látja az illető a képet, csak azt tudjuk, hogy látja-e vagy sem.) Az AIM és MTF görbék metszéspotja határozza meg a legagyobb feloldható térfrekvecia értékét. Az AIM görbét T. Liu et al., Measuremets of retial aerial image modulatio (AIM) for white light based o wave-frot aberratio of huma eye, 008- as cikke alapjá származtattuk. 84

85 Ragasztott akromát # (duplet) végteleből végesbe, kis tárgyszög mellett A ragasztott akromát, más éve duplet felbotóképessége alacsoy, kb. 400 pot a teljes tárgytérbe, amiek oka a korrigálatla képmezőhajlás. A lecse két külöböző diszperziójú üvegayagból va összeállítva, ezért az elsőredű szíhibája ulla, azaz kiterjedt hullámhossztartomáyba kb. ugyaakkora a fókusztávolsága. Ezek a redszerek emellett szférikus aberrációra és kómára is elég jól korrigáltak. Egyszerű leképezési feladatokra az akromát remek választás. A szemüket a tárgytérbe helyezve, és egy vizsgáladó mitát a fókuszsíkba téve kiválóa haszálható agyítólecséek is. Általába az akromátok (mit ez is) kis (éháy fokos) tárgyszögre, végteleből véges leképzésre vaak korrigálva (általába a rekesz a lecsé va). Mérsékelt NA mellett még diffrakciókorlátos a leképezés. Az alábbiakba bemutatott ragasztott akromát # viselkedése agy tárgyszög mellett, és ragasztott duplet # (akromát) mit ladscape (tájkép) lecse esetekbe a lecsék NA-ja és effektív fókusztávolsága azoos az összehasolíthatóság érdekébe. 96. ábra. Ragasztott akromát optimális leképezéshez megfelelőe rekeszelve, kis tárgyszög eseté. 97. ábra. Ragasztott akromát polikromatikus szóródási foltja. A leképezés kb. ±3 tárgyszög tartomáyo belül diffrakciókorlátos. 98. ábra. Ragasztott akromát fókuszsíkjáak eltolódása a hullámhossz függvéyébe. Jól látható, hogy két hullámhosszo azoos a fókuszsík helyzete. A görbe parabolikus formája a törésmutató diszperzió másodfokú görbével leírható jellegéből származik. 85

86 Ragasztott duplet # (akromát), mit agyító (lupe) Megfordítva, és a szem helyére kitolt rekesszel agyítókét is kiváló az akromát. A lupe agyítása NT 50 mm / f ' [mm]. (87) 50 mm a tisztálátáslátás távolsága, adott tárgy eseté itt a legagyobb a retiá a kép. Eél közelebb már fárasztja a szemet, távolabb fix tárgyméret eseté csökke a tárgyszög, ezzel együtt a képméret. 99. ábra. Ragasztott akromát mit agyító. A képsík virtuális, és a szem pupillájától (ld. a kép jobb oldala) 50 mm távolságba (balra) helyezkedik el. Tárgyszög ±0, szem pupilla Ø 4 mm. Ragaszott akromát # viselkedése agy tárgyszög mellett 00. ábra. A szóródási folt RMS mérete (folytoos görbe) a tárgymagasság függvéyébe. Az RMS OPD (szaggatott görbe) mutatja, hogy jele esetbe a leképezés em diffrakció-korlátos, de ahhoz (0,07 λ) közel va. Nagyobb tárgyszögekre hirtele megő az akromát foltmérete a agy képmező hajlás és asztigmatizmus miatt (ld. a traszverzális sugáraberrációt leíró harmadredű poliomot: az asztigmatizmus égyzetese függ a tárgymérettől). 0. ábra. Ragasztott akromát agy, ±0 -os tárgyszög eseté. A hatalmas képmező hajlás és asztigmatizmus elrotja a leképezés miőségét. 0. ábra. A szóródási folt RMS mérete (folytoos görbe) a tárgymagasság függvéyébe, az optimális görbe képfelület eseté. A leképezés távolról sem diffrakciókorlátos. 86

87 Ragasztott duplet # (akromát) mit ladscape (tájkép) lecse Kb. feff/5-be kitolt rekesszel, megváltoztatott (hajlított) alakkal az akromát akár ±0 -os szögbe is elfogadható leképzést ad. A képalkotás itt közel sem diffrakciókorlátos (még a tegelye sem, a megövekedett yíláshiba miatt), de a foltméret kicsi marad agy tárgyszög tartomáyo belül (a csökketett asztigmatizmus, kóma és képmezőhajlás miatt). 03. ábra. Tájkép lecse (optimális alakú ragasztott akromát kitolt rekesszel) agy, ±0 -os tárgyszög eseté. 04. ábra. A szóródási folt RMS mérete (folytoos görbe) a tárgymagasság függvéyébe sík képfelülete. Hála az optimalizált lecsealakak és a kitolt rekeszek, a leképezés közel diffrakciókorlátos. 87

88 Aszférikus kollimátorlecse A kvázi-potforrások (pl. lézerdiódák) yalábjáak kollimálására (párhuzamosítására) maapság üvegből préselt aszférikus (em gömbi felületű) lecséket haszálak, 0,-0,7 közötti NA-val. Effektív fókusztávolságuk kicsit, -6 mm közötti. Bár itt a tárgytér jellemzőe em kiterjedt (±0,5 ), a felbotás kb. 400 potra tehető. Diffrakciókorlátos a viselkedésük, de szíhibára em korrigáltak, emiatt hullámhosszváltáskor újra kell fókuszáli őket. Az aszférikus lecsék másik tipukis felhaszálási területe az optikai adattárolás (CD, DVD), ahol egy síkhullámot kell az adathordozó felületére fókuszáli egy éháy mikrométer átmérőjű foltba. A blueray lemezekél a agy umerikus apertúra (NA = 0,85) miatt már kéttagú lecseredszereket haszálak. Fotos megjegyezi, hogy a képmiőséget alapvetőe befolyásolja a lézerdiódák asztigmatizmusa (a tageciális és szagittális tárgypotok közötti távolság tipikusa 5-0 μm), illetve, hogy a féyyalábjuk elliptikus (kb os a divergecia félértékszélessége). (a) (b) (c) (d) 05. ábra. Aszférikus kollimátorlecse képe (a), a szóródási folt tárgyszög-függése (b), képmezőhajlás és torzítás (c), mookromatikus szóródási foltok három jellemző tárgypot eseté, ahol a körök az Airy-foltot szimbolizálják (d). 88

89 Mikroszkópobjektív Az átlagos mikroszkópobjektívek felbotóképessége kb. 900 pot, agyításuk 4-00 között va. Jellemző szerkezetüket a 06. (a) ábra mutatja. Maapság szite kizárólag olyaokat haszálak, ahol a kép végtelebe keletkezik, emiatt csak egy tubuslecsével (pl. ragasztott akromát) kiegészítve tudak valós képet alkoti pl. egy kamera képérzékelőjé (az ábrá a tubuslecse ics feltütetve). A jellemző képátló 0 mm ( field umber ). A régebbi, végesbe leképző, adott agyítású objektívek képtávolsága (mechaikai tubushossz) 60 mm körül va (szabváyfüggő). Jellemzőe akromatikusak, ulla a szférikus aberrációjuk és a kómájuk (aplaatizmus). A képmezőhajlás megegedett, sík felülete a képátló kb. 65%- éles a kép. Semi-pla -ál az átlagosál kisebb (a kép 85%-a éles), pla -ál gyakorlatilag em kimutatható (a kép 95%-a éles). A tárgyoldalo a féyyalábok telecetrikusak, emiatt a agyítás agyjából defókusz-függetle. A torzításuk alacsoy, pár tized százalék. Ha a umerikus apertúra 0,4 vagy aál agyobb, figyeli kell a tárgylemez általába 0,7 mm vastag fedőüvegéek szférikus aberrációjára, amelyet biológiai objektívekél kikorrigálak. Ezek a lecsék gyakorlatilag kizárólag a fókuszsíkba helyezett tárgy eseté aberrációmetesek. A mikroszkópobjektívek umerikus apertúrája 0,-,5. Az NA,0 fölé immerziós folyadék segítségével övelhető, amit a mita és a lecseredszer közé kell cseppetei, megövelve ezzel a tárgytéri közeg törésmutatóját. (Csak erre a célra tervezett, megfelelőe tömített objektívekél haszálható ez az eljárás!) (a) (b) (c) (d) 06. ábra. Mikroszkópobjektív képe (a), a szóródási folt tárgyszög-függése (b), képmezőhajlás és torzítás (c), polikromatikus szóródási foltok három jellemző tárgypot eseté (d). további típusok: apo (apokromatikus) tükrös (UV) 89

90 Betekitő lecse (okulár) A mikroszkópok és távcsövek képét em egyszerű agyítólecsével, haem ú. betekitő lecsével, vagy okulárral szokták vizuálisa megfigyeli. Felbotásuk eek megfelelőe kb. 00 pot a tárgytérbe. Mivel szemmel törtéő megfigyelésre fejlesztették ki őket, a torzításuk (-5%) és képmezőhajlásuk általába tetemes. Sajátos specifikációs paraméterük a betekitési távolság (a kilépő pupilla és a lecseredszer közötti távolság), amely miél agyobb, aál kéyelmesebb mid szabad szemmel mid szemüveggel beleézi. Szélsőségese agy a betekitési távolság (> 0 cm) fegyvertávcsövekél, ahol a lövés okozta hátrarúgás miatt fellépő balesetveszélyt próbálják ezzel miimalizáli. kilépő pupilla (a) (b) (c) (d) 07. ábra. Mikroszkópokulár képe (a), a szóródási folt tárgyszög-függése (b), képmezőhajlás és torzítás (c), polikromatikus szóródási foltok három jellemző tárgypot eseté, ahol a körök az Airy-foltot szimbolizálják (d). betekitési távolság: 0-5 mm tárgyméret: Ø0 mm agyítás: 5-40 típusok: Huyge Ramsde Keller RKE Orthoscopic Plössl Erfle 90

91 Dupla-Gauss féyképezőgép-objektív A korszerű féyképezőgép-, kamera- és projektorobjektívek általába dupla-gauss, azaz biotar elredezésűek Névadójuk az 87-be feltalált Gauss-objektív eredetileg távcső lecse volt, és csupá egy pozitív és egy tőle kis légközzel elválasztott egatív lecsét tartalmazott. Mid a két optikai elem meiszkusz alakú, azaz a szemüveglecsékhez hasolóa egy kovex és egy kokáv felületből áll. A törőerőt a pozitív tag adja, a egatív pedig csökketi a szíhibát. Eze ojbektívet számos cég (pl. a Zeiss) fejlesztette mai alakjára. A dupla-gauss redszerek kb potot tudak felbotai a tárgytérbe f/3.0 mellett. Jellemzőjük a közel szimmetrikus elredezés, középe az apertúrarekesszel. Torzításuk 0,5- %, és a képalkotási hibák agy tárgytávolság-tartomáyba korrigáltak (végteletől éháy cm-ig.) Speciális objektívfajtát képezek a teleobjektívek, amelyek effektív fókusztávolsága már olya agy, hogy meghaladja az egész lecseredszer hosszát. Eek köszöhetőe a méretük jeletőse kisebbé válik, ami a kezelhetőséget segíti elő. A zoom-os objektívekbe egy lecsecsoport mechaikai tologatásával folyamatosa lehet változtati az effektív fókusztávolságot, ami a traszverzális agyítást befolyásolja. A leboyolultabb szerkezetek a agylátószögű (halszem-) optikák. Ezek kétszeres tárgyszöge akár 80 -ál is agyobb lehet, amit úgy érek el, hogy egy dupla-gauss objektív elé speciális előtétet tervezek, azt modellezve, ahogy a halak szeme a víz alól kitekit a levegőbe. E lecsék torzítása tetemes. (a) (b) apertúrarekesz (c) (d) 08. ábra. Dupla-Gauss-típusú féyképezőgép-objektív képe (a), a szóródási folt tárgyszögfüggése (b), képmezőhajlás és torzítás (c), polikromatikus szóródási foltok három jellemző tárgypot eseté (d). 9

92 Telecetrikus képátvetítő Egy korszerű optikai eszköz a telecetrikus képátvetítő. Eek fő jellemzője, hogy mid a belépő és kilépő pupilla a végtelebe va, emiatt a agyítás em függ a tárgysík pozíciójától, ezért gépi látás redszerekbe előszeretettel alkalmazzák őket. A képalkotási hibáik egy adott tárgysík agyo szűk köryezetébe korrigáltak, felbotásuk kb. 000 pot a teljes képátló. A szite teljese szimmetrikus elredezés miatt a torzításuk gyakorlatilag elhayagolható, 0,% alatti. (a) (b) (c) (d) 09. ábra. Telecetrikus képátvetítő objektív képe (a), a szóródási folt tárgyszög-függése (b), képmezőhajlás és torzítás (c), polikromatikus szóródási foltok három jellemző tárgypot eseté, ahol a körök az Airy-foltot szimbolizálják (d). 9

93 Nyalábtágító (Galilei-távcső) A Galilei-féle elredezés jól ismert földi és szíházi távcsövekből, ahol egy pozitív és egy egatív, kofokális (azoos fókuszpotú) pozícióba helyezett lecse segítségével alkotak egyees állású képet távoli objektumokról. Mivel ezek végteleből végtelebe képezek le, és megváltoztatják a rajtuk áthaladó féyyaláb méretét, előszeretettel haszálják őket lézerek yalábtágítójakét. Megfelelő kialakítás eseté diffrakciókorlátos a leképzésük, azaz csak miimális mértékbe torzítják a hullámfrotot. Aak érdekébe, hogy az apertúrarekesze fellépő diffrakció e befolyásolja a rajtuk áthaladó lézeryaláb TEM00 módusképét (Gaussyaláb), a belépő pupilla átmérőjét a lézeryaláb /e itezitású átmérője legalább,5..3- szorosáak kell választai. (a) (b) (c) (d) 0. ábra. Galilei-távcső jellegű lézeryaláb-tágító képe (a), a hullámfrot-aberráció (RMS OPD) tárgyszög-függése (b), a hullámfrot-aberráció hullámhosszfüggése (c), a hullámfrot alakja a évleges hullámhosszo (d). 93