Az el adás anyagának törzsrésze

Az el adás anyagának törzsrésze 1. Halmazok, elemi logika, valós számok I. Halmazok. 1. "Halmaz" és "eleme": alapfogalmak. Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet, mik az elemei. 2. Halmaz megadása: (i) Elemekkel, pl. A := {3, 5, 2}. (ii) Más halmazokból. M veletekkel: pl. A B, A B, A \ B. Tulajdonsággal: pl. R + := {x R : x > 0} II. Elemi logika. 1. Matematikai állítás: amir l eldönthet, igaz-e. 2. Fontos szabályok. (i) (A B) = ( B A). Vigyázat! (A B) ( A B). (ii) Tagadás. (a) de Morgan: (A vagy B) = ( A és B), (A és B) = ( A vagy B) (b) Kvantorok: legyen T egy tulajdonság (pl. T (x)= "x pozitív"). ( x T (x)) = ( x T (x)) (szabály ellentéte: kivétel); ( x T (x)) = ( x T (x)) III. Valós számok. 1. Szemléletes számfogalmak. Pozitív egészek: N + = {1, 2, 3,...} Természetes számok: N = {0, 1, 2,...}. Egész számok: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2...} Racionális számok: egész számok hányadosai, jele Q. Valós számok: a racionális és irracionális számok együtt, jele R. számegyenes. Formálisan: a (véges vagy végtelen) tizedestörtek. Szemléletesen: 2. Fontos számhalmazok. (i) Intervallumok deníciója. Legyenek a < b valós számok: Korlátos intervallumok: [a, b], (a, b), [a, b), (a, b]. Félegyenesek: pl. [a, + ), (, b). R is nem korlátos intervallum. (ii) Korlátos számhalmazok. Deníció: H R felülr l korlátos, ha M R: x R x M. Alulról korlátos, ha... x M. Korlátos, ha alulról és felülr l is korlátos. Pl. [a, b] korlátos, N felülr l nem. 1

2. Algebrai alapismeretek. I. Nevezetes kifejezések, azonosságok. (i) Egyváltozós polinom : p(x) := n i=0 a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n, ahol n N (a polinom foka) és a 1,..., a n R (együtthatók) adott számok. (ii) Racionális törtfüggvény v. algebrai tört: polinomok hányadosa, p(x) q(x). Racionális törtfüggvények összeadása, szorzása: ahogy a törteket kell, azaz p(x) r(x) = p(x)r(x) q(x) s(x) q(x)s(x), p(x) + r(x) = p(x)s(x)+r(x)q(x). Ezek is rac. törtfüggvények. q(x) s(x) q(x)s(x) (iii) Többváltozós polinomok és algebrai törtek. Pl. a 2 b 2ab 3 + b 4 polinomja a, b-nek, ab a 2 +b 2 algebrai tört. (iv) Nevezetes azonosságok több határozatlannal. Legyenek most pl. a, b R tetsz. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b)(a + b), II. Hatványozás, logaritmus 1. (i) Hatvány értelmezése a > 0 pozitív alap esetén. Egész kitev : a n := a a... a, a n := 1, a 0 := 1. Rac. kitev : a m a n n := n a m. Irracionális kitev, pl. t: a t az az egyetlen szám, amely mindig a r 1 és a r 2 közé esik, ha t az r 1 és r 2 rac. számok közé esik. (Itt a t létezése a fontos, de csak közelít leg számíthatjuk ki az ilyen a r -ekb l.) (ii) Exponenciális függvény: rögzített a > 0 esetén x a x. Ez pozitív érték ; szigorúan növ, ha a > 1 és szig. csökken, ha a < 1. (Ha a = 1, akkor konstans 1.) (iii) A hatványozás azonosságai: legyenek a, b > 0, x, y R. Ekkor: Különböz kitev k: a x+y = a x a y, a x y = ax a y, (a x ) y = a xy. (Vigyázat: általában a x a y a xy, (a x ) y a (xy)!) Különböz alapok: (ab) x = a x b x, ( a b )x = ax b x. Megj.: az a 0 = 1 def. az azonosságokból is szükségszer. 2. (i) Logaritmus értelmezése (a > 0, a 1 pozitív alap esetén): Legyen b > 0. Ekkor log a b az a szám, amelyre a-t emelni kell, hogy b-t kapjunk. Azaz: x := log a b az egyetlen valós szám, melyre a x = b. Röviden: a log a b = b. 2

Megj.: log a b csak akkor értelmes, ha a és b is pozitív, de maga log a b negatív is lehet. Nevezetes alapok: lg b := log 10 b; ln b := log e b (ún. természetes alapú logaritmus), ahol e 2.71 (def. kés bb). (ii) A logaritmus azonosságai: legyenek a, x, y > 0. Ekkor log a xy = log a x + log a y, log a x y = log a x log a y, log a (y c ) = c log a y. (2. és 3. spec.: log a 1 y = log a y.) Vigyázat! log a (x + y) =... képlet nincs! Pl. log 2 x = lg x, azaz egymás konstansszoro- lg 2 Áttérés más alapra: sai. log a x = log b x log b a. 3. Számok normálalakja. Ha x R +, akkor egyértelm en felírható x = r 10 k alakban, ahol 1 r < 10 és k Z. Pl. 1 240 000= 1.24 10 6 III. Egyenletek. 1. Másodfokú egyenletek megoldása. Rendezve: ax 2 + bx + c = 0 (ahol a, b, c R adott, a 0, x =?) Megoldóképlet: x 1,2 = b± b 2 4ac 2a A valós megoldások száma (2,1 v. 0) a D := b 2 4ac diszkrimináns el jelét l függ. 2. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldása Legyenek a, b, c, d R, ill. u, v R adott számok. Keresend x, y R: ax + by = u cx + dy = v. (Megj.: szokásos feltevés: a vagy b 0, c vagy d 0.) A megoldás elve: beszorzás azonos együtthatóra. Pl. y-t eliminálhatjuk, ha az 1. sort d-vel, a 2. sort b-vel szorozzuk, majd kivonjuk. 3

3. Lineáris algebra/1. Mátrixok, determináns 1. Mátrixok és oszlopvektorok fogalma. Mátrix-vektor szorzás: 2-dimenziós esetben ( a b c d ) ( x y ) := ( ax + by cx + dy Általában: a szorzat i-edik eleme a mátrix i-edik sorának és az adott vektornak a skalárszorzata. 2. Négyzetes mátrix determinánsának értelmezése. Jelölés: det(a) vagy A. (i) 2 2 eset: det(a) := ad bc. (ii) 3 3 eset. (Szemléletesen: Sarrus-szabály) a 1 a 2 a 3 Def.: b 1 b 2 b 3 := a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 a 3 b 2 c 1. c 1 c 2 c 3 (iii) n n eset. Egy determinánsban valamely elem aldeterminánsának nevezzük az adott elem sorának és oszlopának elhagyásával keletkez kisebb determinánst. A determináns kiszámolása rekurzív módon aldeterminánsokkal: tetsz legesen választott sorban vagy oszlopban minden elemet megszorzunk a hozzá tartozó aldeterminánssal, majd a kapott szorzatokat a,,sakktáblaszabály szerinti el jellel ellátva összeadjuk. + +... +... + +......... 3. M veletek vektorokkal és mátrixokkal. (i) Vektorok és mátrixok összeadása és számmal való szorzása: elemenként. (ii) Mátrixok sor-oszlop-szorzása: a szorzat minden elemét úgy kapjuk meg, hogy az els mátrix megfelel sorát skalárisan szorozzuk a második mátrix megfelel oszlopával. ("Megfelel " = annyiadik, mint a vizsgált elemnek.) ( ) ( ) ( ) a b e f ae + bg af + bh A 2 2 esetben: =. c d g h ce + dg cf + dh ). Megj.: (i) Általában AB BA. (ii) Azért ilyen bonyolult, mert így lesz (AB)x = A(Bx) x vektorra. (iii) Fogalmak négyzetes mátrixra. Egységmátrix: I := 1. 0... Az I-vel való szorzás helybenhagy: IA = A = AI. 0 1 Inverz : A inverze az az A 1 -gyel jelölt mátrix, melyre A 1 A = AA 1 = I. Nem minden mátrixnak van inverze. Tétel: A 1 det(a) 0. 4

4. Lineáris algebra/2. Függvények I. Mátrixok sajátértékeinek, sajátvektorainak értelmezése és kiszámítása. (i) Def.: Az A R n n mátrixnak λ R sajátérték e és v R n \ {0} egy hozzá tartozó sajátvektor, ha Av = λv. Szemléletes jelentés: az A-val való szorzás a v sajátvektornak csak a hosszát befolyásolja, az irányát nem. (ii) Hogyan találhatók meg a sajátértékek? Észrevétel: λ sajátérték (A λi)v = 0, ahol v 0. Ekkor (A λi)-nak nincs inverze, kül. v = (A λi) 1 0 = 0 lenne. Állítás: λ pontosan akkor sajátértéke az A mátrixnak, ha det (A λi) = 0. II. Függvények fogalmai 1. Függvény=hozzárendelés, megadása: értelmezési tartomány és hozzárendelési szabály. Jelölés: f : A B, x f(x). Itt D f := A jelöli az értelmezési tartományt. Értékkészlet: amiket felvesz, R f B. 2. Injekció, szuperjekció (vagy szürjekció), bijekció. (Rajzok) Def.: egy f : A B függvény (i) injekció, ha különböz khöz különböz ket rendel, (ii) szuperjekció, ha R f = B, (iii) bijekció, ha injekció és szuperjekció (azaz kölcsönösen egyértelm A és B közt). (Jelz ként: injektív függvény stb.) 3. Kompozíció, inverz. (Rajzok) Def.: (i) Kompozíció: egymás utáni elvégzés. Ha g : A B, f : B C, akkor f g : A C, D f g := {x D g : g(x) D f }, x f(g(x)). (ii) Inverz: visszairányú hozzárendelés. Ha f : A B injekció, akkor f 1 : B A, D f 1 = R f, y f 1 (y) pedig az f(x) = y egyenl ség egyetlen x megoldása. 5

I. Monotonitás, inverz. 5. Egyváltozós valós függvények. Monoton, szigorúan monoton függvény fogalma. (Rajz is.) Szigorúan monoton függvény injektív. Inverz grakonja: tükrözés a 45 -os tengelyre. Ui. f : x y f 1 : y x, így a két tengely szerepet cserél. Pl. f(x) = x 2 R + -on: inverzének (a gyökfüggvénynek) ábrázolása. II. Elemi függvények és grakonjaik. (a) Hatványfüggvények: f(x) := x α (α R adott kitev ). Most csak x > 0 változóval (ill. x 0, ha α 0) rajzoljuk fel általánosan. Rajzok: α > 1, α = 1, 0 < α < 1, α = 0, α < 0 esetek. Szigorúan monotonak (kivéve, ha α = 0). Megj.: x α értelmes x < 0 esetén is α = p, ahol q {1, 3,...} páratlan. q Ilyenkor a grakon az x > 0 eset tükörképe az origóra (ha p páratlan) vagy az y tengelyre (ha p páros). Rajzok: pl. x 3, x 4. (b) Exponenciális függvények: f(x) := a x (a > 0 adott alap). Rajzok: 0 < a < 1, a = 1, a > 1 esetek (lásd ea.) Szigorúan monotonak (kivéve a = 1). Inverzeik: a logaritmusfüggvények, azaz az a alapú exp. függvény inverze az a alapú log. függvény (x log a x). Rajzok (tükrözéssel): 0 < a < 1, a > 1 esetek (lásd ea.) Szigorúan monotonak. (c) Trigonometrikus függvények. Rajzok: sin, cos, tg, ctg (lásd ea.) III. Exponenciálisból származó nevezetes függvények (rajzokkal) e x (e 2.71) e x (tükrözéssel vagy közvetlenül) e x2 e x2 /2 e (x σ)2 /2 (ahol σ > 0): eltolással. Általános elv: f(x c) és f(x + c) grakonja az f(x)-éb l jobbra/balra való eltolással. 6

6. Geometria, trigonometria, vektorm veletek I. Pithagorasz-tétel, pontok távolsága síkban ill. térben. Pith.-tétel (síkban, derékszög háromszögre): a 2 + b 2 = c 2 (rajz). Térben a 2 + b 2 + c 2 = d 2 (rajz). Következmények: 1. Pontok távolsága. Síkban d(a, B) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2, térben ugyanez 3 taggal. 2. Kör egyenlete (a 1, a 2 ) középponttal: a P = (x, y) pontokra d(p, A) = r, azaz (négyzetre emelve): (x a 1 ) 2 + (y a 2 ) 2 = r 2. II. Trigonometria. 1. Szögfüggvények értelmezése. (a) cos α, sin α: az x tengellyel α szöget bezáró egységvektor koordinátái. (b) Derékszög háromszögben: cos α = b c, sin α = a c, tg α = a b. (c) tg α := sin α 1, ctg α := = cos α, ha a nevez nem 0. cos α tg α sin α (d) Ha α nem 0 és 360 közé (azaz radiánban nem 0 és 2π közé) esik: periodikus kiterjesztés. 2. Polárkoordináták: bármely (x, y) (0, 0)-hoz! r > 0 és φ [0, 2π) : x = r cos φ, y = r sin φ. 3. Nevezetes azonosságok (bármely α, β R esetén). sin 2 α + cos 2 α = 1 (Pithagoraszból), sin 2α = 2 sin α cosα, cos 2α = cos 2 α sin 2 α. IV. Vektorm veletek cos α = sin( π 2 α), Az n-dimenziós R n tér: a = (a 1, a 2,..., a n ) szám-n-esek (vektorok). Gyakorlatban n = 2, 3 (sík, ill. tér). Nagyobb n: pl. állapottér, pl. egy térben mozgó részecske helye és sebessége együtt egy 6-dimenziós állapotvektorral írható le, az összes lehet ség alkotja R 6 -ot. A továbbiakban legyenek a = (a 1, a 2,..., a n ) és b = (b 1, b 2,..., b n ) R n -beli vektorok. A gyakorlatban n = 2, 3 (sík, ill. tér). (Nagyobb n el fordul pl. állapottér esetén.) 1. Összeadás és számmal való szorzás: a + b := (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ), c a := (ca 1, ca 2,..., ca n ). Geometriai jelentése 2 és 3 dimenzióban (rajzon: illesztés ill. nyújtás). 2. Vektorok szorzása egymással. Két különböz értelemben deniáljuk: skalárszorzat: 2 és 3 dimenzióban (ill. formailag akármennyiben) is értelmezzük, értéke valós szám; vektoriális szorzat: csak 3 dimenzióban értelmezzük, értéke is 3-dimenziós vektor. 7

(i) Skalárszorzat. Motiváló példa: er munkája, komponens számít. W = F s cos γ, azaz csak a párhuzamos A skalárszorzat értelmezése: a, b R n esetén a b := a b cos γ. Hasonló tulajdonságok, mint a számok szorzásánál: (a + b) c = a c + b c, ta b = a tb (t R), a b = b a, a a = a 2. Viszont: általában (a b) c a (b c); a b = 0 a b. A skalárszorzat koordináták segítségével való kiszámítása: Pl. síkon (azaz ha a, b R 2 ): a b = a 1 b 1 + a 2 b 2, térben (azaz ha a, b R 3 ): a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. a b = n a i b i. i=1 Cauchy-Schwarz-egyenl tlenség: a b a b. (ii) Vektoriális szorzat. Értelmezése: ha a, b R 3, akkor a b R 3 az a vektor, melyre 1. a b mer leges a-ra és b-re is, 2. a, b és a b jobbrendszert alkot, 3. a b = a b sin γ. Tulajdonságok. Mint a számok szorzásánál: (a + b) c = a c + b c, ta b = a tb (t R). Viszont: a b = b a, a a = 0 (és általában a b = 0 a b). Itt tehát a mer leges komponens számít. A vektoriális szorzat koordináták segítségével való kiszámítása: egy i, j, k jobbrendszer derékszög koordináta-rendszerben a b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3, azaz a b = a 2 b 3 a 3 b 2 (a 1 b 3 a 3 b 1 ) a 1 b 2 a 2 b 1. 8

7. Végtelen számsorozatok és sorok I. Sorozatok. 1. Sorozat és határérték fogalma. Sorozat: N + R leképezés. Jelölés: tagjait a 1, a 2, a 3... indexekkel, a sorozat (a n ). Példa: az 1 n sorozat, azaz 1, 1, 1,.... Közelít a 0-hoz, de 0 nem tagja, hanem mije? 2 3 Deníció (sorozat határértéke). lim a n = A R, ha ε > 0 N = N(ε) N + : n > N esetén a n A < ε. Szemléletesen: A " N = N(ε) N + : n > N esetén" kitétel helyett lazábban "elég nagy n-re" mondható. Az " a n A < ε" tulajdonság: a n (A ε, A + ε). Gyakori jelölés: a n A. Ha van ilyen A, akkor (a n ) konvergens. Példa: az a n := 1 n sorozat, azaz 1, 1 2, 1 3,.... Ekkor lim a n = 0, másképpen a n 0. 2. Tétel (határérték és m veletek). Ha lim a n = A és lim b n = B, akkor: lim(a n + b n ) = A + B, lim(a n b n ) = A B, lim(a n b n ) = A B, ha B 0: 3. mint határérték. lim a n bn = A B, ha a n 0 és α R: lim a α n = A α. Példa: az n 2 sorozat, azaz 1, 4, 9, 16,... "hova tart"? Def. (i) lim a n = +, ha K > 0 N = N(K) N + : n > N esetén a n > K. (Azaz "elég nagy n-re" a n > K.) (ii) lim a n =, ha K < 0... "-... a n < K. M veletek: az el bbi tétel értelemszer en kiterjeszthet limeszre, lásd gyakorlat. 4. Def.: e := lim ( 1 + 1 n) n ( 2.71, irracionális). II. Sorok. 1. Téma: hogyan lehet sok szám összegét értelmezni? Példa (rajzon, számegyenesen): 1 + 1 2 + 1 4 +... + 1 2 n +... = 2. Def. Legyen (a n ) adott sorozat, n N + esetén s n := n a k = a 1 + a 2 +... + a n. Azt mondjuk, hogy a a n végtelen sor konvergens, ha az (s n ) sorozat konvergens (azaz lim s n = S R). A sor összege S. További elnevezések: a végtelen sor n. tagja a n, n. szelete vagy részletösszege s n. Megj.: a sor indexelése nemcsak 1-t l, hanem más egészt l is indulhat. 2. Fontos példa: mértani sor, q n, ahol q < 1. Ekkor s n := n így q n konvergens és összege k=1 k=0 q k = 1 qn+1 1 q 1 1 q, q n = 1. (A fenti példa: q = 1/2 eset.) 1 q 9

3. A konvergencia szükséges feltétele. Állítás: ha a n konvergens, akkor lim a n = 0. Elégséges-e? Pl: 1 n divergens. Tehát a lim a n = 0 feltétel csak szükséges, de nem elégséges. A konvergencia azon múlik, milyen gyorsan tart a n 0-hoz. 4. Konvergenciakritériumok. Tétel. (1) (Gyökkritérium). Ha lim n a n =: q, akkor q < 1 esetén a n konvergens, q > 1 esetén a n divergens. (2) (Hányadoskritérium). Ha lim a n+1 a n =: q, akkor q < 1 esetén a n konvergens, q > 1 esetén a n divergens. Ha q = 1, egyik sem ad információt. 10

8. Függvények folytonossága és határértéke 1. A f deníciók. Többféle ekvivalens deníció létezik, mi itt sorozatokat használunk. Def.: (a) Legyen a D f. f folytonos a-ban, ha x n a D f -beli sorozatra f(x n ) f(a). (b) Legyen a D f, b R. lim a f = b, ha x n a, x n a D f -beli sorozatra f(x n ) b. 2. A két fogalom kapcsolata. Legyen most I intervallum, f : I R, a I. Áll. f folytonos a-ban lim a f = f(a). Köv.: folytonosság lim a f; visszafelé: csak ha ez épp f(a). 3. Folytonosság halmazon. Def.: f : H R folytonos, ha a H pontban f folytonos. Tétel (elemi függvények, biz. nélkül): az f(x) := x α, a x, log a x, sin x, cos x függvények folytonosak teljes D f -jükön. 4. M veletek. (a) Értelmezésük: pontonként, azaz pl. (f + g)(x) := f(x) + g(x), (f g)(x) := f(x) + g(x) stb.; valamint f g H-ban, ha f(x) g(x) x H. (b) Tulajdonságok: részben a sorozatoknál látottak megfelel i. Határértékre: Tétel. Legyen lim a f = b, lim a g = c. Ekkor lim a (f ± g) = b ± c; lim a (f g) = b c; ha c 0: lim a f g = b c ; ha b > 0: lim a f α = b α. Folytonosságra: Tétel. Legyen f és g folytonos a-ban/egy H halmazon. Ekkor f ± g, f g, (ha értelmes:) f g és f α is folytonos a-ban/a H halmazon. 5. Limesz és végtelen. Def.: (i) lim a f = +, ha x n a, x n a D f -beli sorozatra f(x n ) +. ( -re hasonlóan.) (ii) lim + f = b, ha x n + D f -beli sorozatra f(x n ) b. (Itt b lehet véges vagy végtelen is.) Pl.: f(x) := 1 x 2, ekkor lim 0 f = + és lim + f = 0 (rajz is). 11

9-10. Egyváltozós függvények deriválása. 1. Bevezet példa: mekkora egy szabadon es test pillanatnyi sebessége a t 0 id pillanatban? (Feltevés: a 0 id pontban elejtjük.) (i) Kiszámítás. A test által megtett út: s(t) := g 2 t2. Itt g 10, így tekintsük az s(t) := 5t 2 út-id függvényt. s Átlagsebesség a [t 0, t] id intervallumban: = s(t) s(t 0) t t t 0 = 5t2 5t 2 0 t t 0 = 5(t + t 0 ). Pillanatnyi sebesség t 0 -ban: amihez ez közelít t t 0 esetén. Azaz: s(t) s(t v(t 0 ) = lim 0 ) t t0 t t 0 = 10t 0. (ii) Értelmezés: 2. A derivált fogalma. v(t 0 ) az s függvény pillanatnyi megváltozása. Ehhez szükséges def.: egy H R halmaznak a H bels pontja (jelölés: a int H), ha az a pont körül valamely nyílt intervallum is része H-nak. (Rajz: H = [ 1, 1] esetén 0 int H, 1 int H.) Def. Azt mondjuk, hogy az f : R R függvény az a int D f pontban dierenciálható és a-beli deriváltja f f(x) f(a) (a) := lim, ha ez a limesz létezik x a x a és véges. Megj. Az x f(x) f(a) (ha x a) függvényt a-beli különbségihányados-függvénynek x a hívjuk, jelentése f/ x az a pont körül. A példában ez az átlagsebesség az id függvényében. Ennek limesze az a-beli derivált; ez a példában a pill. sebesség, azaz út-id függvény t 0 -beli deriváltja: v(t 0 ) = s (t 0 ). 3. A derivált szemléletes jelentése. Itt f(x) f(a) x a az (a és x pontokhoz tartozó) szel meredeksége, így a derivált értéke ezek limesze. Ebb l következ en: Az f (a) derivált értéke az a-beli érint meredeksége (rajz). Ennek jelentése az f függvény a-beli "pillanatnyi" változásának mértéke. 4. A derivált jelentése közelítés szempontjából. (i) x = a + h helyettesítéssel kapható a fentivel ekvivalens def.: f (a) := lim f(a+h) f(a) h 0 h, ha ez a limesz és véges. (ii) Inhomogén lineáris függvénynek hívunk egy l(x) := mx + b függvényt, ahol m, b R állandók. A derivált fenti deníciója alapján: ha h 0, akkor f (a) f(a+h) f(a), azaz f(a+h) f(a)+f (a)h =: l(h) inhom. lin. függvény. h Geometriai jelentés (rajzzal): h 0 esetén a két függvény kb. azonos, s t itt m = f (a), így a-beli meredekségük azonos. 12

5. További fogalmak. (i) Egyoldali derivált: az a D f pontban f +(a) f(x) f(a) := lim, ha ez a limesz létezik és véges. x a+ x a (Ugyanígy f (a) :=..., ahol x a.) Áll.: f (a) f +(a), f (a) és ezek egyenl k. Példa: f(x) := x és a = 0. Ekkor f +(0) x 0 := lim x 0+ x 0 f (0) = 1, így f nem dierenciálható 0-ban. = lim 1 = 1, ugyanígy x 0+ Rajz: a grakonnak "törése" van (míg dierenciálható esetben "sima"). (ii) Deriváltfüggvény. Ha f : H R dierenciálható a H halmazon (azaz H minden pontjában), akkor az x f (x) függvényt f deriváltfüggvényének hívjuk, jelölése f : H R. (Pl. a fenti s(t) = 5t 2 esetén s (t) = 5t t R, rajz.) 6. Kapcsolat a folytonossággal. Áll.: Ha f dierenciálható a-ban, akkor ott folytonos is. Visszafelé ez nem igaz, vagyis ha f folytonos a-ban f dierenciálható a-ban. Például f(x) := x folytonos a = 0-ban, de ott nem dierenciálható. 7. A derivált kiszámítása: deriválási szabályok. Deriváltfüggvényre írjuk fel, pontonként is érvényes. Tétel. Legyenek f, g : H R dierenciálhatóak a H halmazon. Ekkor (f ± g) = f ± g, (cf) = cf (ha c R állandó), (f g) = f g + fg, Vigyázat! f g ( f g ) = f g fg (ha g 0),... f g 2 g (f g) = (f g) g ( pontonként: (f(g(x)) = f (g(x)) g (x) ). f g Tétel (inverz deriváltja). Legyen f 0 az I intervallumon. Ha x I és y = f(x), akkor (f 1 ) (y) = 1 f (x). (Rajzon: a meredekség a másik irányból reciprok.) 8. Elemi függvények deriváltjai. Deriválttáblázat: lásd pl. https://digitus.itk.ppke.hu/ benedek/analizis/pdf/seged/derivalttablazat.pdf Fejb l tudni kell: f(x) := x α, a x, log a x, sin x, cos x, (tg x, ctg x), sh x, ch x, (th x, cth x) deriváltját. (Az arc és az area függvényekét csak táblázatból.) A zárójelesek könnyen ki is számíthatók az el ttük lev kb l. 13

9. Magasabbrend derivált. Def. Ha f : I R dierenciálható egy I intervallumban és f dierenciálható a inti-ben, akkor f kétszer dierenciálható a-ban és f (a) := (f ) (a). n-edik derivált: hasonlóan, rekurzióval, f (n) (a) := (f (n 1) ) (a). f akárhányszor dierenciálható, ha n-re n-szer dierenciálható. 14

11. Hatványsorok, Taylor-sor 1. Hatványsorok. (a) Bevezet példa. Mely x R esetén konvergens a x k sor? Tudjuk: (x helyett q-val): ha x < 1, és ekkor összege Itt n-re s n (x) := n x k egy függvény a ( 1, 1) intervallumban, amely x-enként k=0 konvergál az f(x) := 1 1 x (b) Def. és alaptulajdonságok. k=0 1 1 x. függvényhez, az ún. összegfüggvényhez. Def. Adott (c n ) számsorozat esetén 0 közep hatványsornak hívjuk a sort. Általában, a közep hatványsor: c n (x a) n. c n x n Tétel. Tegyük fel, hogy létezik és véges α := lim n c n vagy α := lim c n+1 c n. Legyen R := 1 α (ha α = 0, akkor R := + ). A c n x n hatványsor konvergens, ha x < R, és (véges R esetén) divergens, ha x > R. (c) Hatványsorok deriválása. Tétel. Legyen f(x) = c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 +... valamely R > 0 esetén x < R mellett. Ekkor az f összegfüggvény dierenciálható, és f (x) = c 1 + 2c 2 x + 3c 3 x 2 +... ( x < R). Köv.: Taylor-féle együtthatóképlet: c n = f (n) (0) n! ( n N). 2. Taylor-sorok. Adott f függvény el áll-e alkalmas hatványsor összegeként? A Taylor-féle együtthatóképletb l következik: Tétel. Ha f(x) = c n x n ( x < R valamely R > 0 mellett), akkor f akárhányszor dierenciálható, és c n = f (n) (0) n! ( n N). Def. Az f függvény 0 közep Taylor-sora a f (n) (0) n! x n hatványsor. Példa: f(x) := e x. Ekkor n N esetén f (n) (x) = e x, így f (n) (0) = 1. Ezért e x Taylor-sora 1 n! xn. Hányadoskritériummal a n+1 a n = n! x x = 0 < 1, így (n+1)! n+1 x R esetén a sor konvergens. Hasonló számolással kapható sin x és cos x Taylor-sora. Tétel. x R esetén e x = x n n!, cos x = ( 1) n x2n Megj.: a közep Taylor-sor: 3. Közelítés Taylor-polinommal. f (n) (a) n! (x a) n. (2n)!, sin x = ( 1) n x2n+1 (2n+1)!. f Legyen f(x) = (n) (a) (x a) n az (a R, a + R) intervallumon. E sornak kiszámítani csak a szeleteit tudjuk, n! ezekre: 15

Def. Az f a-beli n-edfokú Taylor-polinomja T n (x) := n f (k) (a) (x a) k = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 +... + f (n) (a) (x a) n. k! 2 n! k=0 Ezek n növelésével egyre pontosabban közelítik f-et az a pont körül. Szemléltetés (rajzzal). Legyen x = a + h, ekkor T 0 -nál: T 0 (a + h) = f(a) T 1 (a + h) = f(a) + f (a)h f(a + h) T 2 (a + h) = f(a) + f (a)h + f (a) h 2 2... stb.... egyre jobb közelítés. f(a+h) f(a) is érvényes közelítés (bár elég durva), ez épp a folytonosság. T 1 -nél: f(a + h) f(a) + f (a)h lineáris közelítés, amit a deriváltnál láttunk. T 2 -nél: parabolával közelítjük. 16