7 A szerkezetsztézs matematka módszere 1.5 Első derváltat géylő módszerek Az első derváltat géylő módszerek (elsőredű módszerek, melyek felhaszálják a grades formácókat, általába hatékoyabbak, mt a ulladredű módszerek. Eek az az ára, hogy elő kell állíta a grades formácókat, vagy a véges-dfferecák módszerével, vagy aaltkusa. Az első redű módszerek em hatékoyak, ha a derváltak em folytoosak. Általába azért hatékoyabbak, mt a ulladredű módszerek. 1.5.1 Bütető-függvéyes módszerek: SUMT, belső, külső bütetőfüggvéy A bütető függvéyek módszere az első próbálkozások körébe tartozk, hogy a feltételes optmálás probléma megoldható legye. Az alapelképzelés az, hogy olya feltétel élkül optmálás problémát oldjo meg, melyek megoldása kovergál a feltételes optmálás probléma megoldásához. Ez a típusú feltétel élkül optmálás probléma két külöböző típusú bütető függvéyt alkalmaz: az egyk típust az egyelőtleség, a másk típust az egyelőség feltételekre. Az egyelőség feltételek em bothatók két egyelőtleségre, mvel ott cs megegedett tartomáy. A SUMT (Sequetal Ucostraed Mmsato Techque eljárást Facco és McCormck (1968 fejlesztette k. Az eredet probléma célfüggvéyét és méretezés feltételet haszálja ahhoz, hogy egy feltételélkül célfüggvéy-mmálást fogalmazzo meg többváltozós esetbe. Külső bütető függvéyek A külső bütető függvéyek a feltételek megsértéséhez kapcsolódak. Az külső elevezés arra utal, hogy a bütetés csak a megegedett tartomáyo kívül kerül alkalmazásra. A leggyakorbb külső bütető függvéy az, amelyk aráyos a feltétel túllépéséek égyzetével. Eek a módszerek az előye az s, hogy em megfelelő kezdőpotból s dítható. Másk előye az, hogy csak az aktív feltételek vaak hatással a célfüggvéy optmumára. Hátráya, hogy cs megfelelő megoldás mdaddg, amíg az optmumot em érte el. Másk hátráya, hogy a bütető paraméterek a végtelehez közelíteek az optmumál. M l F( x,rk = f ( x + rk { max[ 0,g j ( x ]} + [ hk ( x ] j= 1 k= 1 ahol a határ lm F = f. r k m m, (1.9
8 A szerkezetsztézs matematka módszere A bütető függvéy első része poztív részt jelöl, a maxmumát a (0, g j ( x tartomáyak. A külső bütető-függvéy bemutatása látható az 1.1.a. ábrá. F* a mmáls függvéyértékű potot jelöl. F(X 1 r k F(r F(r 3 f(x F(X 1 r k F(x 1 r 1 F(x 1 r F(x 1 r 3 F 1 x F x F 3 x F(r 1 F 1 x F x F 3 x optmum f(x optmum (a X (b X 1.1 ábra Külső és belső bütető-függvéyek értéke Belső bütető függvéyek A belső bütető-függvéyek módszeréél mde közbeső megoldás a megegedett tartomáyo fekszk és olya megoldásba kovergál, mely szté a megegedett tartomáyo va. Ez a bütető függvéy az verze a méretezés feltételek, ha a feltétel aktív. A módszer előye, hogy mde terácó megfelelő, az eljárás bármkor megállítható. A méretezés feltételek krtkussá csak az optmum közelébe válak. Hátráya, hogy mde méretezés feltétel hatással va célfüggvéyre függetleül attól, hogy aktív-e, vagy sem az optmumál. Nagy hátráya, hogy a em megfelelő pot agy egatív bütető függvéyt eredméyez. Ez azt jelet, hogy az optmálást megfelelő kezdőpotból kell díta és sohasem szabad em megfelelő potot vzsgál. A feltétel élkül probléma megfogalmazásáál az u. bütető függvéy tag az eredet célfüggvéyhez va hozzáadva, mely bütet az f(x függvéyt, ha elhagyja a megegedett tartomáyt. Egy r k téyező adja meg f bütetéséek mértékét. Az f ( r k sorozatál r k 0 ha k = 0, 1,,..., a bütető függvéy defálható például a következőképpe 1 F (x,r k = f(x - r k ; vagy F (x,r j g ( x k = f(x - r k l g j ( x, (1.30 ahol a határ lm F m = fm. r k j j
9 A szerkezetsztézs matematka módszere A belső bütető függvéy ábrázolása az 1.1.b. ábrá látható. F* a mmáls függvéyértéket jelet. Kterjesztett belső bütető függvéy Ez a bütető függvéy kombálja a belső és külső bütető függvéyeket, melyek az előzőekbe kerültek smertetésre. Egy új ε paramétert vezet be, mely kvaltatíve vezérl a két függvéy között kapcsolatot. Egyk típusa a kterjesztett belső bütető függvéyek a következő: r P( x = x g( x ; g( ε, (1.31 r g( x 3g( x P( x = + + 3 ; g ( x > ε. (1.3 ε ε ε Ez a bütető függvéy olya felépítésű, hogy az első és másodk derváltja folytoosak az átmeetél, ha a méretezés feltétel sma. Ha a feltételek megsértése agy mértékű, akkor a külső bütető függvéyek módszerét alkalmazza, egyébkét a belső bütető függvéyek módszerét. Ezáltal a módszer redelkezk md a belső, md a külső bütető függvéyek módszeréek előyevel. Elhagyható a megfelelő pot szükségessége. Az eljárás hátráya, hogy ha az átmeet paraméter értéke redukálva va, akkor a feltételek megsértése külööse agy bütető függvéy értékeket eredméyez. A feltétel élkül emleárs programozás probléma megoldható bármely eljárással, pl. kváz- Newto kereső módszerrel, mely voalmet kereséssel kombált. Mdazoáltal a voalmet keresések agyo potosak kell lee, mvel a bütető függvéyek matt a vzsgált tartomáy agyo szűk. A m számítógép programukba a Davdo-Fletcher-Powell eljárás került beépítésre a SUMT módszerbe a belső bütető függvéyek módszerével. A programlsta ANSI C-be megtalálható a Farkas, Járma 1997b köyv B függelékbe. Nagyszámú varácó és kombácó létezk a bütető függvéyekre (pl. Facco ad McCormck 1968. Általába a bütető függvéyek módszeréek a hátráya, hogy a Hessa mátrx kodcószáma övekszk, ha az r k paraméter túl aggyá válk. A belső bütető függvéy algortmus a következőképpe működk: 1. A módosított célfüggvéy az eredetből és a bütető függvéy tagból áll és a következő alakú
30 A szerkezetsztézs matematka módszere F(x,r=f(x+r k P 1 +r g j (x -1/ k P+M j= 1 = P+ 1 ( h x, (1.33 ahol r k poztív kostas. Ahogy az algortmus halad előre, r k újra meghatározásra kerül és egy mooto csökkeő sort alkot r 1 > r >... > 0. Amkor r k kcsvé válk, megfelelő feltételek eseté F elér f et és a feladat megoldásra kerül.. Választ egy kezdőpotot (megfelelő, vagy em-megfelelő és r k.kezdet értékét. 3. Meghatározza a megfelelő eljárással a módosított célfüggvéy mmumát az adott r k eseté. 4. Megbecsül az optmáls megoldás értékét extrapolálással. 5. Új értéket választ r k ak és addg smétl az eljárást, amíg a kovergeca-krtérum em teljesül. A módszer folyamatábrája az 1.13 ábrá látható. r k értéke az eljárás sorá 10-4 körülre csökke le. a kezdő pot és az r kezdő értékéek kválasztása kdulás pot módosítása módosított célfüggvéy mmálása optmáls pot meghatározása extrapolácóval r csökketése kovergeca teljesül? stop 1.13 ábra A SUMT módszer folyamatábrája
31 A szerkezetsztézs matematka módszere Az egyelőtleség feltételekre voatkozó bütető függvéy lehet más alakú, emcsak az 1.30 egyeletek megfelelő recprokfüggvéy 1/g j (x, haem például logartmkus függvéy - l(g j (x. Az egyes bütető függvéyek hatékoysága függ a probléma természetétől. 1.5. A Davdo-Fletcher-Powell módszer A Davdo (1959 által kfejlesztett változó metrkájú módszert Fletcher és Powell (1963 fejlesztette tovább. Ez az egyk legjobb általáos felhaszálású feltétel élkül optmáló eljárás, mely a redelkezésre álló derváltakat alkalmazza. ( Kdul az eredet kezdőpotból x és az N*N méretű poztív deft szmmetrkus mátrxból H. Ez a H mátrx általába az egységmátrx I. Az terácószám =1. ( A módszer meghatározza a függvéy f(x gradesét a kezdőpotba és felvesz az ráyokat S = H f. (1.34 * ( Megkeres az optmáls lépésméretet λ, az S ráyba és számítja a következő potot x + = * 1 x + λ S. (1.35 ahol H mt az egységmátrx kerül felvételre. (v Elleőrz az új potot x +1 az optmaltás szempotjából és ha x +1 optmum, akkor megállítja az teratív eljárást, egyébkét folytatja a számítást. (v Frssít a H mátrxot H+ 1 = H + M + M N N, (1.36 SS = λ *, (1.37 S Q T T T HQ HQ = ( (, (1.38 T Q H Q és Q = f ( x f ( x. + 1 (v Új terácót kezd = +1 és megy az ( lépéshez. A belső bütető függvéyek módszerét haszálja az eljárás a feltételek kezeléséhez az (1.30 képlet szert.
3 A szerkezetsztézs matematka módszere Köbös terpolácós módszert haszál a mmáls lépésméret meghatározásához égy lépése. Néha túlcsordul a számítás sorá az F(x,rk függvéy, mvel g j (x agyo közel kerül a zérushoz az optmum közelébe, ezért a kovergeca-krtérum agyo fotos. λ * 1.6 Másodk derváltat haszáló módszerek A másodk derváltat haszáló módszerek, melyek között legsmertebb a Newto módszer, az f(x függvéy égyzetes közelítésé alapulak. Másodredű formácókat haszálak fel, melyeket f(x ek a függetle változók szert másodredű parcáls derváltjaból yerk. 1.6.1 A Newto módszer Klasszkus másodredű módszer a Newto módszer. Az eljárás a másodredű Taylor-sor kterjesztésével dul. A keresés s ráya a következőképpe kerül meghatározásra: ( k ( k+1 ( k Ha (x - x (k kcserélésre kerül x = x x közelítése x ( k -val kfejezve a következő k T k k 1 k T k f( x f( x + f( x ( x x + ( x x f( x ( x x -vel, akkor a célfüggvéy f(x kvadratkus ( ( ( ( ( ( k, (1.39 f(x mmuma a x ( k ráyba az f(x dfferecálásából adódk az összes x kompoes fgyelembevételével és az egyeletet zérussal egyelővé téve a következőket kapjuk [ ] 1 ( k ( k ( x = f( x f( x k, (1.40 ] 1 ( ahol [ f x k ( az verz Hessa mátrx H(x(k, mely az 1.10 fejezetbe va defálva (a mátrx f(x másodredű parcáls derváltja x szert, meghatározva x(k-ba. Megjegyezzük, hogy az 1.40 egyeletbe a mátrx vertálása szükséges és agyo fotos olya módszert alkalmaz, mely garatálja az verz poztív deft jellegét, mt arra még később hvatkozuk. Több stadard mátrx vertálásra készült számítógép program em megfelelő ebből a szempotból. Szükséges hagsúlyoz, hogy a másodredű parcáls derváltat aaltkusa elő kell állíta, vagy közelíte, am éháy esetbe ehézséget okoz. A Newto módszer
33 A szerkezetsztézs matematka módszere kovergecáját garatálja, feltételezve hogy az f(x kétszerese derválható, az hogy a Hessa mátrx verzéek poztív deftek kell lee. f(x mmuma az S k ráyba az f(x függvéy x szert derválásából adódk, a derváltat ulláak véve. A tervezés változók új vektora a következő k k 1 x = x + α S ( ( * ( k k ahol k az terácószám, S (k a keresés ráy,, (1.41 α k * skalárs szorzótéyező x változásáak megadására ebbe az terácóba. Az 1.40 egyeletből kapjuk a következőt k [ ] ( ( 1 ( k k S = H( x f ( x, (1.4 ( ahol [ Hx k 1 k ( ] a Hessa mátrx Hx ( ( verze. Ezért az 1.4 egyelet egy keresés ráyt ad egydmezós kereséshez. H(x > 0 és ha a célfüggvéy megfelelőe közelíthető egy kvadratkus függvéyel egy olya tartomáyo, ahol a legmeredekebb ráy (steepest descet eljárás ks hatékoyságú. A mmumtól távol a legmeredekebb ráy eljárás a leghatékoyabb lehet. Azt a következtetést lehet levo, hogy egy megfelelő kombácója a legmeredekebb ráy és a Newto módszerek lehet a leghatékoyabb eljárás, a két módszer öálló hatékoyságáál agyobb. Az eljárás sorá emcsak célfüggvéy értéket és grades formácót kell produkáluk, de a H mátrx másodredű derváltjat s. Ha a mmált függvéy valóba kvadratkus a megegedett tartomáyo a tervezés változók függvéyébe, a keresés ráyba elér az optmumot egy terácó sorá. α * =1 értékkel való mozgatás A Newto módszer alapproblémája, hogy a H mátrx szgulárs lehet, vagy legalábbs em poztív deft, mt az szükséges garaca lee f(x mmuma eléréséhez. A H mátrx szgulárs lesz mdg, ha a célfüggvéy leárs egy vagy több tervezés változó tektetébe. Ha a Hessa mátrxak egatív sajátértéke va, ez egy emkovex problémára utal. Másk probléma, hogy a Newto módszer alapjá megadott mozgatás olya agy, hogy oszcllácót okoz a megoldásál. Ebből a szempotból ajálatos megfelelő lépéshatárok bevezetése mde terácóba, hogy elkerülje a helytele kodcoálást.
34 A szerkezetsztézs matematka módszere Abba az esetbe, ha köye meg tudjuk határoz a másodk derváltak mátrxát, a Newto módszer csakem mdg a leghatékoyabb eljárás. 1.6. Szekvecáls kvadratkus programozás A szekvecáls kvadratkus programozás, vagy SQP (sequetal quadratc programmg módszer egy általáosa haszálható algortmus emleárs optmálás problémák megoldására a következő feltételekkel: a feladat em túl agy, a függvéyek és gradesek meghatározhatók megfelelőe agy potossággal, a feladat sma és jól aráyosított. A matematka kovergeca és az SQP umerkus vselkedése már jól kdolgozott és smert és számos publkácóba szerepel. Ezek közül éháy Stoer (1985, vagy Spellucc (1993 áttektés szempotjából. Az elmélet kovergecát vzsgálta Ha (1976, 1977, Powell (1978a, 1978b, Schttkowsk (1983. Numerkus összehasolító vzsgálatokat Schttkowsk (1980 és Hock & Schttkowsk (1981 végzett és megmutatták a módszer előyet a matematka programozás algortmusokkal szembe a fet feltételek eseté. A módszer alapötlete, hogy a másodredű formácót s közelít, hogy gyors kovergecasebességet kapjo. Így a Lagrage függvéy L(x, u kvadratkus közelítését defáljuk és a Hessa mátrx közelítését egy u. kváz-newto mátrx segítségével. Megfelelő szekvecáls kvadratkus programozás (Feasble Sequetal Quadratc Programmg Az FSQP módszer egy FORTRAN szubrut-gyűjteméy folytoosa változó célfüggvéyek (adott esetbe egy függvéy mmumáak, vagy maxmumáak meghatározására általába folytoos feltételek eseté. Ha a felhaszáló által adott kezdőpot em megfelelő éháy egyelőtleség, vagy leárs egyelőség feltétel szempotjából, akkor a program kezdőpotot geerál eze feltételekhez a fokozatos közelítés módszerével úgy, hogy mde feltétel teljesüljö. A emleárs egyelőség feltételek egyelőtleség feltételekké kerülek átalakításra (hogy mde terácó sorá teljesüljeek és a célfüggvéyek maxmumát felváltja egy egzakt bütetőfüggvéy, mely csak a emleárs egyelőség feltételek megsértését bütet (Zhou, Tts 1991, 199, 1993. A felhaszáló választhat, hogy vagy a módosított célfüggvéy csökkeését géyl a megfelelő kezdőpot elérése utá a emleárs egyelőtleség és a leárs feltételekre (mooto voalmet keresés, vagy a csökkeést legalább égy terácó utá várja (em-mooto voalmet keresés. A
35 A szerkezetsztézs matematka módszere mooto voalmet keresés eseté az SQP ráya először elfordulak, ha a emleárs feltételek eredméyezk a megfelelő ráyt, utáa esetleg "elhajlítja'', hogy bztosítsa a megoldáshoz közel, hogy egy lépés elég legye a megoldás eléréséhez, am szuperleárs kovergecát géyel. A em-mooto voalmet keresés szuperleárs kovergecát valósít meg, ezáltal elkerül a függvéyérték meghatározásokat pótlólagos potokba és a tovább megoldáskeresést pótlólagos kvadratkus programmal. Mutá a emleárs egyelőség feltételek egyelőtleségvé vaak alakítva, eze algortmusok a módosított feladatot drekt módo oldják meg. A felhaszálóak szubrutokat kell íra a célfüggvéy(ek és a méretezés feltételek meghatározására. A függvéyek aaltkus derváltjat a felhaszáló megadhatja, vagy kérhet az FSQP programtól a közelítésüket a véges dfferecák módszerével. FSQP két algortmust haszál, melyek az SQP- alapulak, úgy módosítva, hogy megfelelő terácós potot tudjaak keres. Az elsőél (mooto voalmet keresés, egy bzoyos Armjo-típusú keresést haszál azzal a jellemzővel, hogy az első lépés végüls elfogadásra kerül a szuperleárs kovergeca feltétele mellett. A másodk módszerél hasoló a hatás a em-mooto egyees voalmet kereséssel. Mdkét esetbe cél a célfüggvéy maxmumáak elérése, ha cs emleárs egyelőtleség feltétel. Ha a felhaszáló által adott kezdőpot em-megfelelő a emleárs egyelőtleség és leárs egyelőtleség feltételek eseté, akkor az FSQP először kezdőpotot geerál, mely mde feltételt kelégít úgy, hogy mmálja eze feltételek maxmumat. Utáa a Maye-Polak-féle sémát alkalmazva a emleárs egyelőség feltételeket egyelőtleség feltételekké alakítja át. A kapott optmálás probléma csak leárs egyelőség és emleárs egyelőtleség feltételeket kezel. A továbbakba az FSQP által számított terácók kelégítk eze feltételeket. 1.7 Optmaltás krtérumok módszere Az optmaltás krtérumok módszere (OC a Kuh-Tucker-féle (KT optmaltás krtérumo alapulak. Eze módszerek előye, hogy agyo hatékoyak. Hátráya, hogy függeek a szerkezet tulajdoságatól és a kovergeca em mdg garatált. Az egycélfüggvéyes emleárs optmálás probléma az 1.1 és 1. képletekek megfelelőe mmálja az f ( x x 1, x,..., x N célfüggvéyt, gj ( x 0, j = 1,,..., P feltételek eseté, ahol f(x a többváltozós emleárs függvéy, g j (x a emleárs egyelőtleség feltételek. Bevezetjük a λ Lagrage-téyezőket. Az egyelőtleség feltételeket egyelőségvé alakítjuk át, bevezetve az Y j paramétereket:
36 A szerkezetsztézs matematka módszere g j + Y = 0. j A Lagrage-függvéy a következő: P j j j j j j= 1 Lx (, λ, Y = f( x + λ g( x + Y [ ]. (1.43 A szükséges feltételek eze függvéy lokáls mmuma megtalálásához: P L = f ( x + λ j g j( x = 0, (1.44 x j= 1 L = gj( x + Yj = 0, (1.45 x L = λ jyj = 0. (1.46 x Az (1.45 és (1.46 egyeletek mutatják, ha g j = 0, vagys a feltétel aktív, akkor Y j = 0 és λ j 0. Ha a feltétel em aktív, akkor g j < 0, Y j 0, és λ j 0. Összefoglalva, ha a feltétel aktív, akkor Y j = 0, tehát az Y j elemek elhayagolhatók. Az (1.44 és (1.45 egyeletek helyett a következő feltétel haszálható λ j 0 és λ j g j = 0. (1.47 A Kuh-Tucker-féle optmaltás krtérum a következő P f ( x = λ g ( x, (1.48 j= 1 λ j 0, λ j g j = 0. j j g 1 g g 1 f g f f g 1 g coe g (a g 1 g (b f 1.14 ábra A Kuh-Tucker-féle optmaltás krtérum, ha va optmum (a, lletve ha cs (b Az első feltétel geometra jeletése, hogy lehetséges a célfüggvéy gradesét a feltételek gradeséek leárs kombácójából előállíta, vagys az optmum potba a célfüggvéy gradese a feltételek gradeséek kúpjába helyezkedk el (1.14 ábra. Más szavakkal a
37 A szerkezetsztézs matematka módszere célfüggvéy a megegedett tartomáyt az optmum potba ért. Ez a pot lehet globáls optmum, ha a megegedett tartomáy kovex. Ha kokáv, akkor a pot lokáls optmum s lehet. Ha mde feltétel aktív, az (1.47 feltétel és a g j = 0 egyeletek +p változóra x és λ j függvéyébe adódak. Számos megoldás módszert javasoltak, mvel a megoldás függ a célfüggvéy és a méretezés feltételek típusától. A rácsos tartók optmálása sorá agyo hatékoy a módszer, habár lemezeket, héjakat szté optmáltak vele, összellesztve az OC módszert végeselemes eljárásokkal (Kusalaas, J.,Reddy, G.B, 1977, Rozvay (1989. 1.8 Dszkrét optmálás eljárások A gyakorlat tervezésbe a keresztmetszet jellemzők dszkrét értékek lehetek. Ilyeek például a hegerelt acélelemek, melyek csak adott méretbe készülek és a keresztmetszet jellemzők em egyeletese változak. Ilye esetbe a tervezés változó csak a dszkrét értéksor egy elemét vehet fel. A változó dszkrét jellege övelhet a futásdőt. 1.8.1 Backtrack módszer A backtrack módszer kombatorkus programozás eljárás, mely emleárs függvéy mmumát keres feltételek mellett, szsztematkus kereséssel. A módszer előye, hogy csak dszkrét változókat kezel, így az eredméyek azoal haszálhatók. A backtrack módszer általáos leírása megtalálható Walker (1960, Golomb & Baumert (1965 és Bter & Regold (1975 művebe. Ezt a módszert alkalmazta hegesztett acéltartó tervezésére Lews (1968 és Aamala (1970. Farkas & Szabó (1980 a módszert mmáls költségű hegesztett hbrd I-tartók tervezésére haszálták. A backtrack programozás hatékoyságáak megbecslésére Kuth (1975 javasolt módszert. Farkas (1984 köyvébe a következő problémák kerültek megoldásra a backtrack módszerrel: hajlított hegesztett I-tartók, yomásak ktett égyszög-szelvéyű csőszelvéyek, rácsos csőszerkezetek, hbrd I-tartók egy hegesztett llesztéssel az övekbe, hajlított-yírt hegesztett szekréyszelvéyű tartók, aszmmetrkus I-szelvéyű darupályatartók, hegesztett szekréyszelvéyű zárt préskeretek. Az egycélfüggvéyes emleárs optmálás feladat általáos megfogalmazása a következő: mmálja az f ( x x 1, x,..., x N célfüggvéyt,
38 A szerkezetsztézs matematka módszere gj x j = P h( x = 0 = P+ 1,..., P+ M feltételek eseté, f(x egy többváltozós emleárs függvéy, g j (x és h (x emleárs egyelőtleség és egyelőség feltételek. Az egyelőség feltételeket át kell alakíta egyelőtleségvé, hogy az eljárás kezel tudja őket: h ( x ε 0 = P+ 1,..., P+ M h ( x ε 0 (1.49 ε adott kcsy szám. Az algortmus alkalmas olya optmum-keresésre, ahol a célfüggvéy mooto övekvő, vagy csökkeő jellegű. Az optmáls megoldás a változók értékeek csökkeésével kerül elérésre. Eredetleg a módszer mmum-keresésre alkalmas, kdulva a változók maxmáls értékeből. 1.8.1.1 Itervallum felező eljárás Egyváltozós függvéy optmumáak megkeresésére agyo sok eljárás smert. Nagyo hatékoy és megbízható eljárás az tervallum-felező eljárás, mely lecsökket a keresés dőt. Feltételezzük, hogy a célfüggvéy mooto csökkeő, ha a változó értéke csökke. A voalmet keresésél, amkor egy változó értéke változk a cél a változó mmáls megfelelő értékéek a megkeresése, kdulva a változó maxmáls értékéből. A kezdőpotak, vagys a változó maxmáls értékéek k kell elégítee a feltételeket. Másodk lépés a mmáls érték vzsgálata. Ha kelégít a feltételeket, akkor a megoldást találta meg. Ha em, akkor a tartomáyt két részre osztja a középső értékél. Ha a feltételek teljesülek a középső értékél, akkor a tartomáy felső fele megfelelő potokat tartalmaz. Ebbe az esetbe az alsó részt kell vzsgál, hogy megtaláljuk a határt a megfelelő és a em megfelelő tartomáy között. A [ jel a megfelelést, a { jel a em megfelelést jelet. A felező eljárás a következőképpe dolgozk: Tételezzük fel, hogy a következő dszkrét értéksor adott a lemezvastagságra: 6 8 10 1 15 18 0 5 30 mm {...] Tovább feltételezés, hogy a maxmáls érték megfelelő, a mmáls em megfelelő. Ha a középső érték megfelelő, akkor a továbbakba vzsgált tartomáy a következő: 6 8 10 1 15 {......]
39 A szerkezetsztézs matematka módszere A tartomáy felső részé már em lehet megoldást talál, vagys megtalál a legksebb, még megfelelő értéket, csak a tartomáy alsó részé. A vzsgálatot az alsó rész középső potjával folytatjuk. Ha em megfelelő, akkor a maradék tartomáy az eredet egyede csupá égy pot elleőrzése utá. 10 1 15 {......] Ha a középső pot megfelelő, akkor az megadja a megoldást. 1 ] Az összes és a megvzsgált dszkrét potok aráya 9/5. Ha 105 dszkrét értékük va, akkor az aráy sokkal jobb, mert már az első felezés utá elhagyható 51 dszkrét érték tovább vzsgálat élkül. A felező eljárás akkor áll meg, ha a lépésméret ksebb, mt két dszkrét érték között távolság. A lépésméretek em szükséges álladóak le mde dszkrét érték között, de praktkus okokból általába álladóak vesszük, ha lehet. A dszkrét értékek száma k +1 kell legye, ahol k egy egész érték. Egy dszkrét értéksor ematt kegészíthető az alábbak szert: Alapszám: 1 3 4 5 6 7 8 9 Kegészített: 4 6 8 10 1 14 16 16 16 A backtrack módszerél a változók vektor alakba szerepelek x = {x } T ( = 1,..., melyekhez a célfüggvéy f(x mmuma tartozk majd és kelégít a méretezés feltételeket g(x 0 (j = 1,...,P. A változókra dszkrét értéksor adott, övekvő sorredbe. Specáls esetbe az értéksor x k,m, xk,max értékekkel és egy álladó lépéstávval x k -el lehet megadva. A módszer folyamatábráját az 1.15 ábra tartalmazza. Először részleges keresését folytat mde egyes változóra és ha mde lehetséges varácót megvzsgált, akkor ugrk vssza (backtrack egy új részleges keresésre az előző változóál. Ha a vzsgált változó az első, akkor em kell több varácót megvzsgála (számos vsszaugrást végrehajtott már. A számítás fő fázsa a következők: 1. A változók kostas értékcsoportja mellett ( =,..., az mmáls értékét keres a x,t méretezés feltételek teljesülése mellett. Az tervallum-felező eljárást alkalmazza. Ezt a módszert akkor alkalmazhatja, ha a célfüggvéy mooto a változók függvéyébe. x,m
40 A szerkezetsztézs matematka módszere. Az első fázs eseté a felező eljárást kostas változóértékek eseté haszálja és mmum értéke meghatározására a feltételek kelégülése mellett. 3. A legksebb érték x,m meghatározása a célfüggvéyre f(x voatkozó egyeletből törték f ( x,..., x f 1, m, m = o x 1,m ahol f a célfüggvéy értéke a maxmáls x-értékek behelyettesítésével. Az voatkozásába a következő három eset lehetséges: x,m értékek (3a Ha csökketjük x -1 értékét lépésről-lépésre mdaddg, amíg a feltételek teljesülek, akkor x,m x elérjük a mmáls értéket. Ha mde lehetséges varácóját (a felező eljárás vzsgálatszám-csökketését khaszálva megvzsgáltuk, akkor ugrk a program az előző változóra x -1 -re és csökket lépésről-lépésre mdaddg, amíg a feltételek x re teljesülek és elér x -1, m értékét. (3b Ha x < x, akkor vsszaugrk -re.,m,1 x -1 x,m (3c Ha em elégít k a feltételeket, akkor vsszaugrk.-re. Ha a feltételek megfelelek, akkor folytatja a számítást (3a szert. x -1,m Az összes lehetséges varácó t = 1, ahol t az egyes változók dszkrét értéke száma. A módszer csak egy ks részét vzsgálja meg eek, a felező eljárásak köszöhetőe. Az eljárás hatékoysága sok téyezőtől függ (a változók száma, a dszkrét értékek száma, az optmáls értékek helye az értéksorba, a célfüggvéy és/vagy a méretezés feltételek komplextása, ezért ehéz megjósol a futásdőt. A módszer fő hátráya az, hogy a futásdő expoecálsa övekszk a változók számáak övekedésével. A program átalakításra került C programyelve úgy, hogy már em függ a struktúrája a változók számától, mt korábba. Mde változó mmáls értéke a felező eljárással kerül meghatározásra, kvéve az utolsót, mely a célfüggvéy értékéből kerül meghatározásra. Az algortmus ANSI C forrásyelv programja a Farkas, Járma (1997 köyv C függelékbe található az ott smertetett egyszerű posta probléma megoldására. A módszer előye, hogy dszkrét értékekkel dolgozk, így az eredméy azoal haszálható, továbbá hogy a szsztematkus keresés matt globáls optmumot ad. 1.8.1. Kombatorka probléma megoldása a backtrack módszerrel
41 A szerkezetsztézs matematka módszere Egyszerű kombatórka feladat krályők elhelyezése sakktáblá úgy, hogy em ütk egymást. A feladatot 4*4-es sakktáblá oldjuk meg. A célfüggvéy tehát a kráyők számáak maxmálása. A feltételek arra voatkozak, hogy a krályők em ütk egymást, tehát cseek azoos sorba, oszlopba, vagy átlóba. Mde sorba egy krályő helyezhető tehát el, tehát a maxmum 4 lehet. Az elhelyezett krályőket sorok szert számozzuk. Az 1.16.a ábráak megfelelőe elhelyezhetjük az első krályőt, találuk helyet a másodkak, de a harmadk már em helyezhető el, vagys cs megoldás. Ha cs lehetőség a harmadk krályő (változó elhelyezésére, akkor vsszaugruk a másodkhoz és új pozícót keresük ek. Új helyet találva elhelyezhetjük a harmadk krályőt s. Sajos a egyedk krályőek már em találuk helyet (1.16.b ábra. (a (b (c (d 1.16. ábra Az első és másodk krályők elhelyezése (a, első, másodk és harmadk krályők elhelyezése (b, megoldások égy krályőre (c, d Ha megvzsgáljuk a harmadk változó összes lehetséges helyét, akkor vssza kell ugrauk a másodk sorba. Mvel ott scs tovább lehetőség, ezért a vsszaugrás az első sorba törték. Itt változtatva a krályő helyzetét megoldást találuk a feladatra, az összes sorba el tuduk helyez krályőt, elérve a maxmáls számot, kelégítve a feltételeket s, tehát em ütk egymást (1.16.c ábra. Természetese lehet és ez esetbe va több megoldás s (1.16.d ábra.
4 A szerkezetsztézs matematka módszere Az eljárás dszkrét jellegét mutatja, hogy a krályők csak a tábla kocká állhatak, cs közbeső helyük, lletve a lehetséges helyük számos. 1.8.1.3 Hegesztett I-szelvéy optmáls méretezése backtrack módszerrel A feladat megkeres a hegesztett I-szelvéy mmáls tömegét, a kéttámaszú, hajlított-yomott tartóál (1.17 ábra. Változók a gercmagasság h = x 1, a gercvastagság t w = x és az övlemez területe A f = x 3.
43 A szerkezetsztézs matematka módszere start stop változók dszkrét értéke x max, x m, lépésközök f 0 (x max, =1,... N kezdő függvéyértékek számítása eredméyek kyomtatása =1 x m változó számítása felező eljárással a változó értékéek övelése következő változó = +1 <= N-1? az első változó ksebb mt a maxmum? utolsó változó számítása az f 0 célfüggvéyből a változó értékéek övelése az előző változó = -1 x > x max x < x max az előző változó ksebb, mt a maxmum? > 1? x = x max feltételek teljesülek? f 0 = f(x új legksebb függvéyérték csökketjük az x értékét x = x max - x feltételek teljesülek? x > x m x = x + x javulás a célfüggvéybe? 1.15 ábra A backtrack módszer folyamatábrája
44 A szerkezetsztézs matematka módszere Célfüggvéy a tartó tömege. A fesztáv adott, az ayag szté smert (Fe 360-as acél, így a mmáls tömeg aráyos a mmáls keresztmetszet-területtel. f( x= x x + x 1 3, (1.50 A f t w h 1.17 ábra A hegesztett I-tartó szelvéye A tervezés feltételek a következők: Mb N f g 1 (x a ormálfeszültség feltétel σ b + σ c = + W A γ ahol M b a hajlítóyomaték, N a yomóerő, W x a keresztmetszet téyező, A a keresztmetszet-terület, f y a folyáshatár, γ M 1 a részbztoság téyező. x y M1, (1.51 g (x a hely gerchorpadás feltétel h t w = 145 4 σ 1+ σ b σ 1+ 173 σ c ( c ( b, (1.5 Megjegyezzük, hogy az Eurocode 3 más számítás módszert ad meg. Az adatok a következők: M b = 30 knm; N = 18 kn; f y = 40 MPa, γ M 1 =1.. A változók alsó- és felső határértéket, valamt a lépéstávolságokat az 1.1 táblázat adja meg. A számítás eredméyek az 1. táblázatba találhatók.
45 A szerkezetsztézs matematka módszere 1.1 táblázat A változók alsó és felső határértéke Felső Alsó Lépéstáv h 740 660 0 t w 9 5 1 A f 00 1400 100 1. táblázat A példa számítás eredméye a backtrack módszerrel x 1 x x 3 f g 1 g Megjegyzések 740 9 00 11060 + + f o = 11060 mm 660 9 00 10340 + + x 1m megfelelő, felező eljárás x -re 660 5 00 7700 + - 660 7 00 900 + + 660 6 00 8360 + + 660 6 00 8360 + + x 3 = (11060-660*6 / = 3550 660 6 100 8160 + + 3550 > x 3max f o = 7960 660 6 000 7960 + + backtrack x -re 660 6 1900 7760 - + 660 7 1600 780 - + x 3 = (7960-660*7 / = 1670 660 8 1300 1670 < x 3max backtrack x -re 680 9 00 1050 + + felező eljárás x -re 680 5 00 7800 + - 680 7 00 9160 + + 680 6 00 8480 + + 680 6 1900 7880 + + x 3 = (7960-680*6 / = 1940 680 6 1800 - + f o = 7880 backtrack x -re 680 7 1500 7680 - + x 3 = (7880-680*7 / = 1560 680 8 100 7760 1560 < x 3m backtrack x 1 -re 700 9 00 10700 + + felező eljárás x -re 700 5 00 7900 + - 700 7 00 9300 + + 700 6 00 8600 + +
46 A szerkezetsztézs matematka módszere 700 6 1800 7800 + + x 3 = (7880-700*6 / = 1840 700 6 1700 7600 - + f o = 7800 backtrack x -re 700 7 1400 7700 - + x 3 = (7800-700*7 / = 1450 700 8 1100 1450 < x 3m backtrack x 1 -re 70 9 00 10880 + + felező eljárás x -re 70 5 00 8000 + - 70 7 00 9440 + + 70 6 00 870 + - 70 7 1300 x 3 = (7800 70*7 / = 1380 1380 < x 3m backtrack x 1 -re 740 9 00 11060 + + felező eljárás x -re 740 5 00 8100 + - 740 7 00 9580 + + 740 6 00 8840 + - 740 7 1300 x 3 = (7800-740*7 / = 1310 1310 < x 3m cs backtrack Az eredméy x 1 = 700; x = 6; x 3 = 1800, vagys h = 700 mm; t w = 6 mm ; A f = 1800 mm. A számítás sorá a mmáls célfüggvéy és a hozzátartozó változók értéke tárolásra kerül. A számítás végé a tárolt értékek kerülek kíratásra. A keresés em drekt, az eredméy az eljárás végé adódk. Ha a másodk vzsgált érték már a megoldás, az eljárás akkor s folytatódk mdaddg, amíg a vsszaugrások révé a lehetőségek kmerülek, hogy a célfüggvéyt mmálja. 1.8. Dszkrét értékek keresése a folytoos optmálás utá Folytoos optmálás utá az eredméyek haszálhatóbbá tétele matt előyös a dszkretzálás. A dszkrét értékekek természetese md az explct, md az mplct feltételeket k kell elégíteük. Feltételezzük, hogy a dszkrét optmum a folytoos optmumhoz közel va (Járma 198. Kdulva a folytoos optmumból a másodlagos keresés kválasztja a legközelebb dszkrét értékeket az értéksorból. A kválasztott dszkrét értékek száma lehet kettő, három, égy, vagy több. A lehetséges varácókat a kettes, hármas, vagy agyobb számredszerek alkalmazásával állíthatjuk elő. Számpéldákba a bárs számredszert haszáltuk, két dszkrét értékkel a folytoos érték alatt és felett. A kettes számredszerbe a ulla jel jelethet az alsó, az egyes a felső dszkrét értéket. Az első szám a kettes számredszerbe megadja az összes lehetséges varácót az alsó és
47 A szerkezetsztézs matematka módszere felső dszkrét értékekből. Mde varácót elleőrz, hogy megfelelek-e az explct és az mplct feltételek, valamt mey a célfüggvéy értéke. Az a varácó kerül végül kválasztásra, amelykél a célfüggvéy értéke mmáls. A másodlagos dszkretzálás folyamatábrája az 1.18 ábrá látható. A folytoos optmálás kerekítetle értéke a következők: 1 Alsó......1 Felső Alsó...... Felső 3 Alsó......3 Felső 4 Alsó......4 Felső A 0000 jeletése az, hogy mde változóál az alsó dszkrét értéket vesz, az 1111 jeletése, hogy mdegykél a felsőt vesz. A több szám a kettes számredszerbe a több varácót jelet. Az az elleőrzött varás a megoldás, mely a legksebb célfüggvéy-értéket adja a feltételek teljesülése mellett. 1.9 Érzékeység-vzsgálat Bármely tervezés problémáál az optmumot meg kell vzsgál érzékeység szempotjából, vagys azt, hogy a változó értékéek ks változása eseté a feltételekél és célfüggvéyél mlye változást déz elő. Ha az érzékeység agyfokú, akkor célszerű a feltételeket újra megfogalmaz, áttekte az eljárás modelljét, az együtthatókat. Bzoyos esetekbe, ha az együtthatók adatbázsból, vagy mérésből származak, vagys véletle hatások s szerepet játszaak, akkor a agyfokú érzékeység éháy változó eseté problémát jelet. Néháy belső bütetőfüggvéymódszer skerese kkerül ezt, hogy ks változás eseté agy legye az érzékeység, de ezek általába ks hatékoyságúak a probléma-megoldásba. A másk véglet, ha a célfüggvéy agyo ks érzékeységet mutat a szélsőérték köryezetébe, a változók értékéek változásakor. Vagys em ér el esetleg az optmumot, vagy a függvéymeghatározás agyo költségessé válk a potosság fokozásával, ha szgorítjuk a kovergeca-krtérumot. 1.10 Közelítő eljárások Némelyk matematka programozás eljárás leárs, vagy égyzetes közelítést géyel az f(x, g(x és h(x függvéyekél. A leárs, vagy elsőredű közelítése a célfüggvéyek, f(x, például megvalósítható a csokolt Taylor sorral x (k helye.
48 A szerkezetsztézs matematka módszere ( k ( k ( f( x f( x + f( x ( x x k (1.53 Az f(x függvéy égyzetes közelítése megvalósítható a Taylor sor harmad- és magasabb redű tagjaak elhayagolásával. 1 f( x f( x + f( x ( x x + ( x x f( x ( x x ( k T ( k ( k ( k T ( k ( k, (1.54 ahol ( f( x k a Hessa mátrx az f(x célfüggvéyre H(x, am égyzetmátrxa az f(x célfüggvéy másodredű parcáls derváltjaak az x ( k helye. ( k ( k f( x f( x... = = x1 x1 x ( k ( k f( x H( x. (1.55 ( k ( k f( x f( x... x x1 x 1.11 Többcélfüggvéyes optmálás Az első többcélfüggvéyes optmálást (vektoroptmálás Pareto (1896 publkálta. Utáa csakem ötve év múlva Neuma és Morgester (1947, majd Debreu (1959 foglalkozott vele. A többcélfüggvéyes optmálás moder megfogalmazása Zadeh (1963 evéhez fűződk. A 60-as évekg vszoylag keveset foglalkoztak az optmálás elméletével, utáa vszot agyszámú ckk jelet meg. Nagyo sok foglalkozott közülük a többcélfüggvéyes optmálás elméletével és dötéshozatal alkalmazásával, de kevese publkáltak mérök alkalmazásokat. Áttektő ckkeket a többcélfüggvéyes dötéshozatal témájába Stadler (1986,1988 és Coho (1978 írtak. Csakem mde dötés többcélfüggvéyes. Komplex mérök problémákál gyakra létezk számos eheze megfogalmazható célfüggvéy, amt fgyelembe kell ve. Az lye esetet többcélfüggvéyes optmálásak kell megfogalmaz, ahol a tervező célja az egyes célfüggvéyek mmumáak és maxmumáak egydejű meghatározása, mely kompromsszumot jelet közöttük. Évtzedeke keresztül a mérökök egyszerű mértékeket haszáltak, mt a költség, a súly, a haszo, hogy meghatározzák az optmumot. A tervezés példa egyszerű kéttámaszú tartó, ahol a tartó költsége lehet mmáladó célfüggvéy, de a tartó merevsége s lehet maxmáls, vagy egy másk jellemző, mt a lehajlás. Ez a két célfüggvéy, mt költség és lehajlás koflktusba vaak. Az egycélfüggvéyes megoldás em lehet elfogadható. Kompromsszum szükséges, hogy ayra csökketse a két elletétes célfüggvéy értékét, mt ameyre lehetséges. A többcélfüggvéyes programozás eljárások azok, melyek ezt elvégzk. A többcélfüggvéyes aalízs és optmálás a tervezés egy általáos flozófáját
49 A szerkezetsztézs matematka módszere jeletk. Ezek a tervezőt előyösebb helyzetbe juttatják, hogy a dötéshozót alteratív megoldások halmazával láthassa el, em úgy mt az egycélfüggvéyes optmálás egyedül végeredméye. számok bárs redszerbe 0-tól -g x d, S max dszkrét értékek kezdet halmaza t = 1 kerekítetle optmum értékek 0 x d U 1 x d L = 1,..., j = 1 elleőrzzük a dszkrét értékek külöböző változatát f d (x d p = 1 p m = g j (x 0 f d (x d < s max b = x d s max = f d (x d p = p+1 p < p m t = 0 dszkrét változók végső kmeet értéke, végső függvéyértékek stop 1.18 A másodlagos dszkretzálás folyamatábrája A szerkezetoptmálásál a legkedveltebb célfüggvéy a mmáls tömeg, vagy költség, a maxmáls merevség, a mmáls alakváltozás specáls szerkezet potokba, maxmáls sajátfrekveca, stb. (Bradt 1984, 1989. Eze krtérumok általába egymás elle hatak. Ilye
50 A szerkezetsztézs matematka módszere esetekbe mdeképpe szükséges a többcélfüggvéyes optmálás probléma megfogalmazása és a kompromsszumos megoldások keresése a tervezés térbe. Ezutá választható k a végső megoldás, amkor tovább feltételt, vagy feltételeket veszek fgyelembe, vagy globáls krtérumot alkalmazak, mt megfelelés-, távolság függvéyek, vagy herarchkus módszerek (lásd. Escheauer et al. 1990; Jedo 1990; Kosk 1984. A többcélfüggvéyes optmálás probléma a következőképpe fogalmazható meg: Keres a változók azo x vektorát, melyre gaz, hogy f(x * = opt f(x, (1.56 mközbe g j (x 0 j = 1,...,P (1.57 h (x = 0 = P,...,P+Q, ahol x a tervezés változók vektora, melyet egy -dmezós Eukldesz térbe értelmezük, f k (x a célfüggvéyek vektora, melyet egy r-dmezós Eukldesz térbe értelmezük. g j (x és h (x egyelőtleség és egyelőség feltételek. Eze feladat megoldása a Pareto optmum. A Pareto optmum defícója az, hogy x * optmum akkor, ha egyk célfüggvéy értéke sem javítható úgy, hogy legalább egy másk célfüggvéy értéke e romlaa.