Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0 hozzárendelést polinomnk nevezzük ( 1, 2,..., n R). Az n főegyütthtó, 0 konstnstg. Polinom gyöke Egy p(x) polinom gyöke x 0 R, h p(x 0 ) = 0. (Kis-)Bézout-tétel H x 0 gyöke egy p(x) polinomnk, kkor z kiemelhető, zz létezik olyn q(x) polinom, hogy p(x) = (x x 0 )q(x). Egészegyütthtós polinom rcionális gyökei Az n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0 egészegyütthtós polinomnk ( 1, 2,..., n Z) csk olyn p q rcionális gyöke vn (hol p és q reltív prím), melyre p osztj 0 -t és q osztj n -et. Függvény értelmezési trtomány Az f : A R függvény (A R) értelmezési trtomány z A hlmz, melyet D f -fel szoktunk jelölni. Függvény értékkészlete Az f : D f R függvény (D f R) értékkészlete zon vlós számok hlmz, melyet függvény felvesz. Jelölés: R f. Azz R f = {f(x) x D f }. Monoton növő függvény Egy f : D f R függvény (D f R) monoton nő, h x 1 < x 2 (x 1, x 2 D f ) esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Szigorún monoton növő függvény Egy f : D f R függvény (D f R) szigorún monoton nő, h x 1 < x 2 (x 1, x 2 D f ) esetén f(x 1 ) < f(x 2 ). Monoton csökkenő függvény Egy f : D f R függvény (D f R) monoton csökken, h x 1 < x 2 (x 1, x 2 D f ) esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Szigorún monoton csökkenő függvény Egy f : D f R függvény (D f R) szigorún monoton csökken, h x 1 < x 2 (x 1, x 2 D f ) esetén f(x 1 ) > f(x 2 ). Alulról korlátos függvény Egy f : D f R függvény (D f R) lulról korlátos, h létezik k R vlós szám, hogy f(x) k minden x D f esetén. Felülről korlátos függvény Egy f : D f R függvény (D f R) felülről korlátos, h létezik K R vlós szám, hogy f(x) K minden x D f esetén. Korlátos függvény Egy f : D f R függvény (D f R) korlátos, h lulról és felülről is korlátos, zz léteznek k, K R vlós számok, hogy k f(x) K minden x D f esetén. Ezt úgy is mondhtjuk, hogy létezik K R vlós szám, hogy f(x) K minden x D f esetén. Periodikus függvény Egy f : D f R függvény (D f R) periodikus, h vn olyn d R nemnull szám, hogy x D f esetén x ± d D f és f(x) = f(x ± d). Páros függvény Egy f : D f R függvény (D f R) páros, h x D f esetén x D f és f( x) = f(x). 1
Pártln függvény Egy f : D f R függvény (D f R) pártln, h x D f esetén x D f és f( x) = f(x). Invertálhtó függvény Egy f : D f R függvény (D f R) invertálhtó, h z értékkészletének minden elemét egyszer veszi fel, zz f(x 1 ) = f(x 2 ) esetén x 1 = x 2. Inverz függvény Egy f : D f R invertálhtó függvény (D f R) inverze z z f 1 : R f D f függvény, melyre f 1 (f(x)) = x minden x D f -re. Vlós függvény véges htárértéke véges pontbn Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke z x 0 pontbn A R, h minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és f(x) A < ε. Jelölése: f(x) = A. Vlós függvény végtelen htárértéke véges pontbn Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke z x 0 pontbn +, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és K < f(x). Jelölése: f(x) = +. Vlós függvény végtelen htárértéke véges pontbn Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke z x 0 pontbn, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és f(x) < K. Jelölése: f(x) =. Vlós függvény véges htárértéke + -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke + -ben A R, h minden ε > 0-hoz létezik L R, hogy L < x esetén x D f és f(x) A < ε. Jelölése: f(x) = A. Vlós függvény végtelen htárértéke + -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke + -ben +, h minden K R-hez létezik L R, hogy L < x esetén x D f és K < f(x). Jelölése: f(x) = +. Vlós függvény végtelen htárértéke + -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke + -ben, h minden K R-hez létezik L R, hogy L < x esetén x D f és f(x) < K. Jelölése: f(x) =. Vlós függvény véges htárértéke -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke -ben A R, h minden ε > 0-hoz létezik L R, hogy x < L esetén x D f és f(x) A < ε. Jelölése: f(x) = A. Vlós függvény végtelen htárértéke -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke -ben +, h minden K R-hez létezik L R, hogy x < L esetén x D f és K < f(x). Jelölése: f(x) = +. Vlós függvény végtelen htárértéke -ben Az f : D f R függvény (D f R) htárértéke -ben, h minden K R-hez létezik L R, hogy x < L esetén x D f és f(x) < K. Jelölése: f(x) =. Vlós függvény véges jobb oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) jobb oldli htárértéke z x 0 pontbn A R, h minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és f(x) A < ε. Jelölése: f(x) = A. + Vlós függvény végtelen jobb oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) jobb oldli htárértéke z x 0 pontbn +, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és K < f(x). Jelölése: f(x) = +. + Vlós függvény végtelen jobb oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) jobb oldli htárértéke z x 0 pontbn, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x x 0 < δ esetén x D f és f(x) < K. Jelölése: f(x) =. + 2
Vlós függvény véges bl oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) bl oldli htárértéke z x 0 pontbn A R, h minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy 0 < x 0 x < δ esetén x D f és f(x) A < ε. Jelölése: f(x) = A. Vlós függvény végtelen bl oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) bl oldli htárértéke z x 0 pontbn +, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x 0 x < δ esetén x D f és K < f(x). Jelölése: f(x) = +. Vlós függvény végtelen bl oldli htárértéke Az f : D f R függvény (D f R) bl oldli htárértéke z x 0 pontbn, h minden K R-hez létezik δ > 0, hogy 0 < x 0 x < δ esetén x D f és f(x) < K. Jelölése: f(x) =. Vlós függvény folytonosság egy pontbn Az f : D f R függvény (D f R) folytonos z x 0 D f pontbn, h f(x) = f(x 0 ). Azz minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy x x 0 < δ esetén f(x) f(x 0 ) < ε. Vlós függvény folytonosság Az f : D f R függvény (D f R) folytonos, h minden x 0 D f pontbn folytonos. Szkdási hely Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pont szkdási helye, h függvény x 0 -bn nem folytonos. Megszüntethető szkdási hely Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f szkdási helye megszüntethető, h vn olyn A szám, hogy függvény értékét x 0 -bn A-r változttv, z így kpott függvény folytonos x 0 -bn. Ugrás/elsőfjú szkdási hely Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f szkdási helye ugráshely, h létezik és véges z x 0 -beli jobb és bl oldli htárérték, de nem egyenlőek. Szinguláris/másodfjú szkdási hely Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f szkdási helye szinguláris, h z x 0 -beli jobb vgy bl oldli htárértéknek leglább egyike nem létezik vgy végtelen. Weierstrss-tétel H f : [, b] R folytonos függvény, kkor vn olyn α, β [, b], melyekre f(α) f(x) f(β) minden x [, b]-re. Bolzno-tétel H f : [, b] R folytonos függvény, kkor f felvesz minden f() és f(b) közötti értéket. Vlós függvény differenciálhtóság egy pontbn Egy f : D f R függvény (D f R) z x 0 D f pontbn differenciálhtó, h létezik és véges htárérték. f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) = h 0 h x x 0 Vlós függvény differenciálhtóság Egy f : D f R függvény (D f R) differenciálhtó, h minden x 0 R pontbn differenciálhtó. Derivált függvény Egy f : D f R differenciálhtó függvény (D f R) derivált függvénye z függvény, mely minden x 0 D f ponthoz hozzárendeli z htárértéket. f (x 0 ) = f(x) f(x 0 ) x x 0 3
Inverz függvény differenciálási szbály H z f : D f R függvény (D f R) szigorún monoton nő és folytonos x 0 D f egy környezetében, továbbá x 0 -bn differenciálhtó és f (x 0 ) 0, kkor z f 1 inverz függvény differenciálhtó f(x 0 )-bn, és f 1 (f(x0 )) = 1 f (x 0 ). Összetett függvény differenciálási szbály H z f, g : R R függvények, g differenciálhtó z x 0 pontbn, f differenciálhtó g(x 0 ) pontbn, kkor z f g függvény differenciálhtó z x 0 pontbn, és (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ). Lokális minimum Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn lokális minimum vn, h vn olyn δ > 0, hogy x x 0 < δ esetén f(x) f(x 0 ). Lokális mximum Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn lokális mximum vn, h vn olyn δ > 0, hogy x x 0 < δ esetén f(x) f(x 0 ). Abszolút minimum Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn bszolút minimum vn, h minden x D f esetén f(x) f(x 0 ). Abszolút mximum Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn bszolút mximum vn, h minden x D f esetén f(x) f(x 0 ). Lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele H z f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn lokális szélsőértéke (minimum vgy mximum) vn és ebben pontbn differenciálhtó, kkor f (x 0 ) = 0. Lokális szélsőérték létezésének elsőrendű elégséges feltétele H z f : D f R differenciálhtó függvényre (D f R) f (x 0 ) = 0, és x 0 -bn előjelet vált derivált függvény, kkor függvénynek x 0 -bn lokális szélsőértéke vn. Lokális mximum létezésének másodrendű elégséges feltétele H z f : D f R kétszer differenciálhtó függvényre (D f R) f (x 0 ) = 0 és f (x 0 ) < 0, kkor függvénynek x 0 -bn lokális mximum vn. Lokális minimum létezésének másodrendű elégséges feltétele H z f : D f R kétszer differenciálhtó függvényre (D f R) f (x 0 ) = 0 és f (x 0 ) > 0, kkor függvénynek x 0 -bn lokális minimum vn. Rolle-tétel H z f : [, b] R függvény z [, b]-n folytonos, (, b)-n differenciálhtó és f() = f(b), kkor vn olyn x (, b) belső pont, mire f (x) = 0. Lgrnge-féle középértéktétel H z f : [, b] R függvény z [, b]-n folytonos, (, b)-n differenciálhtó, kkor vn olyn x (, b) belső pont, mire f f(b) f() (x) =. b Cuchy-féle középértéktétel H f, g : [, b] R függvények z [, b]-n folytonosk, (, b)-n differenciálhtók, g deriváltj z (, b)-n sehol sem 0, kkor vn olyn x (, b) belső pont, mire f (x) g (x) = f(b) f() g(b) g(). Vlós függvény konvexitás Az f : D f R függvény (D f R) z I D f intervllumon konvex, h z I intervllumon függvény 4
grfikonj feletti trtomány konvex. H függvény differenciálhtó, kkor ez ekvivlens zzl, hogy grfikon z érintőegyenes felett hld, zz f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) minden x, x 0 I esetén. Vlós függvény konkávitás Az f : D f R függvény (D f R) z I D f intervllumon konkáv, h z I intervllumon függvény grfikonj ltti trtomány konvex. H függvény differenciálhtó, kkor ez ekvivlens zzl, hogy grfikon z érintőegyenes ltt hld, zz f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) minden x, x 0 I esetén. Inflexiós pont Az f : D f R függvénynek (D f R) z x 0 D f pontbn inflexiós pontj vn, h x 0 -bn differenciálhtó, és itt függvény konvexitást vált, zz függvény előtte konvex és után konkáv vgy fordítv. Bernoulli L Hospitl-szbály Tegyük fel, hogy z f(x), g(x) differenciálhtó függvények értelmezettek z x 0 pont egy környezetében, esetleg z x 0 -bn nem. Ekkor h f(x) = g(x) = 0 vgy f(x) = g(x) = ±, és h f (x) g (x) létezik, kkor f(x) g(x) = f (x) g (x). Hsonló állítás igz, h x 0 = ±, illetve bl és jobb oldli htárértékekre is. Primitív függvény Az f : I R függvény (I R nyílt intervllum) primitív függvénye F : I R, h F differenciálhtó I-n, és F (x) = f(x) minden x I esetén. Htároztln integrál Az f : I R függvény (I R nyílt intervllum) htároztln integrálj z összes primitív függvényének hlmz. Jelölés: f(x) dx. Prciális integrálás elve H f és g differenciálhtó függvények z I intervllumon, itt f g primitív függvénye létezik, kkor fg primitív függvénye is létezik, és f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx. Newton Leibniz-szbály H f : [, b] R függvény integrálhtó [, b]-n, és F : [, b] R primitív függvénye f-nek z (, b)-n (zz F differenciálhtó (, b)-n, és itt F (x) = f(x)), továbbá F folytonos [, b]-n, kkor Görbe ívhossz f(x) dx = F (b) F (). Az f : [, b] R differenciálhtó függvény grfikonjánk z ívhossz 1 + (f (x)) 2 dx. Forgástest térfogt Az f : [, b] R + függvény grfikonját z x tengely körül megforgtv kpott forgástest térfogt π f 2 (x) dx. Forgástest plást felszíne Az f : [, b] R differenciálhtó függvény grfikonját z x tengely körül megforgtv kpott forgástest plástjánk felszíne 2π f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. 5