Véletlen fraktálok. Diplomamunka. Témavezet : Írta: Beringer Dorottya. Elekes Márton, egyetemi adjunktus Analízis tanszék.

Hasonló dokumentumok
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

Sorozatok és Sorozatok és / 18

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

Matematika alapjai; Feladatok

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák

Metrikus terek, többváltozós függvények

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

Valószín ségelmélet. Pap Gyula

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE

A fontosabb definíciók

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Markov-láncok stacionárius eloszlása

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Egyváltozós függvények 1.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

DiMat II Végtelen halmazok

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

Függvényhatárérték és folytonosság

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

3. Lineáris differenciálegyenletek

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok április Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

ANALÍZIS II. Példatár

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31

Valószín ségszámítás és statisztika

A Matematika I. előadás részletes tematikája

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához

Analízis I. Vizsgatételsor

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Matematika A1a Analízis

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

A különböz lerajzolásokhoz különböz metszési szám tartozik: x(k 5, λ) = 5,

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

Határozott integrál és alkalmazásai

és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

Valószín ségelmélet házi feladatok

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

A derivált alkalmazásai

Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

Valószín ségszámítás és statisztika

Matematika A1a Analízis

Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló

Analízis III. gyakorlat október

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O

Lineáris funkcionálok integrál-reprezentációja

10. előadás. Konvex halmazok

Matematika III előadás

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

Centrális határeloszlás-tétel

Átírás:

Véletlen fraktálok Diplomamunka Írta: Beringer Dorottya Matematikus szak Témavezet : Elekes Márton, egyetemi adjunktus Analízis tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2011

Tartalomjegyzék Bevezetés 3 1. A Brown-mozgás 6 1.1. Alapfogalmak............................... 6 1.2. A Brown-mozgás............................. 9 2. A véletlen Cantor-halmaz 13 3. Perkoláció-fraktálok 20 3.1. Perkoláció-fraktálok dimenziója..................... 20 3.2. Perkoláció-fraktálok összefügg sége................... 26 4. GaltonWatson hálózatok 29 4.1. Fafraktálok dimenziója.......................... 29 4.2. GaltonWatson hálózatok........................ 33 4.3. GaltonWatson fraktálok......................... 39 2

Bevezetés A természetben számos helyen el fordulnak fraktálszer alakzatok. Ilyenek a növények levelei, elágazásai, a vízfolyások, a szárazföldek partvonala. Ezekben az alakzatokban természetes módon el fordulnak kisebb-nagyobb szabálytalanságok. A véletlen fraktálok egyik felhasználási területe, hogy a segítségükkel természetesnek ható alakzatokat, f leg tájképeket hoznak létre. A dolgozatban bemutatjuk, hogyan lehet az önhasonló halmazok denícióját a véletlen önhasonló halmazokéra kiterjeszteni. Az F kompakt halmazt önhasonlónak nevezzük, ha vannak olyan {S i : 0 i m 1} kontraktív hasonlóságok, amikre F m 1 i0 S if. Az F halmazt el lehet állítani úgy, hogy kiindulunk valamilyen E 0 kompakt halmazból, amire igaz, hogy minden 0 i m 1 esetén E 0 m 1 i0 S ie 0, és E k+1 -et úgy kapjuk E k -ból, hogy minden S i1 S ik E 0 alakú részhalmaza helyett az S i1 S ik S ik+1 E 0 alakú halmazokat vesszük. Az így meghatározott E k kompakt halmazok fogyó sorozatának metszete F [2, 9.1. Tétel]. Ebbe a konstrukcióba több ponton is belevihetjük a véletlent. Az egyik lehetséges mód, hogy véletlen hasonlóságokat tekintünk, ekkor az S i hasonlóság aránya a C i valószín ségi változó. Ilyen konstrukcióval állítjuk el a véletlen Cantor-halmazt. A másik lehetséges változat az, hogy minden S i1 S ik E 0 alakú halmaz helyett véletlen számú S i1 S ik+1 E 0 halmazt vesszük, ezek számának eloszlását jelölje N. Az N valószín ségi változó lehet olyan, hogy az F véletlen önhasonló halmaz pozitív valószín séggel az üreshalmaz. Ilyen konstrukcióval kapjuk a perkoláció fraktálokat. A véletlen megjelenhet egyszerre mindkét helyen, egy még általánosabb deníciót adva. A denícióban feltesszük, hogy a konstrukció során újonnan megjelen valószín ségi változók minden lépésben függetlenek, így olyan halmazokat kapunk, amelyek statisztikusan önhasonlóak. Ez azt jelenti, hogy minden így deniált véletlen halmaz 1 valószín séggel el állítható olyan hozzá hasonló részhalmazainak egyesítéseként, amelyeknek az eloszlása a hasonlóságtól eltekintve megegyezik a halmazéval. Egy önhasonló halmaz dimenzióját az alábbi tétel segítségével határozhatjuk meg: Tétel: [2, 9.3. Tétel],[4, 4.14. Tétel] Legyenek {S i : 0 i m 1} kontraktív hasonlóságok, az S i hasonlóság arányát jelölje c i. Legyen F az az egyértelm en meghatározott nem üres, kompakt halmaz, amire F m 1 i0 S if. Ha a hasonlóságok teljesítik a nyílt halmaz feltételt, azaz van olyan V nem üres, korlátos nyílt halmaz, amire az S 0 V,..., S m 1 V halmazok diszjunktak, és mindegyik része V -nek, akkor az F halmaz Hausdor- és box dimenziója az az s nemnegatív 3

valós szám, amire m 1 i0 cs i 1. Hasonló tétel igaz a véletlen önhasonló halmazokra is. Be fogjuk bizonyítani, hogy az F véletlen önhasonló halmaz 0 q 1 valószín séggel az üreshalmaz, ahol q csak az N eloszlásától függ. Ha q > 0, és a véletlen hasonlóságokra 1 valószín séggel teljesül a nyílt halmaz feltétel, akkor az F feltétel mellett az F halmaz Hausdor-dimenziója majdnem biztosan { N 1 dim H F min α : E i0 C α i } 1. A dolgozat célja a véletlen fraktálok dimenziójáról szóló tételek, és az ezek bizonyítására használt módszerek bemutatása. Az els fejezetben megvizsgáljuk a Brown-mozgást, aminek a pályája egy statisztikusan önhasonló halmaz, és bebizonyítunk egy tételt a pályájának, és egyet a grakonjának dimenziójáról [2], [3]. A bizonyítások során a dimenzió alsó becsléséhez egy megfelel en választott véletlen mérték s-energiájáról mutatjuk meg, hogy véges várható érték, ezt a módszert a következ fejezetben is használni fogjuk. A második fejezetben deniáljuk a véletlen Cantor-halmazt, és bebizonyítjuk a véletlen önhasonló halmaz dimenziójáról szóló tételt ebben a speciális esetben [2]. A harmadik fejezetben deniáljuk a perkoláció-fraktálokat. A denícióhoz rögzítenünk kell a d 1 és m 2 egész számokat és a 0 < p < 1 valószín séget. A [0, 1] d R d egységkockából kiindulva minden lépésben felosztjuk az összes meglév kockát m d darab rácskockára, és ezek közül mindegyiket egymástól függetlenül p valószín séggel megtartjuk, 1 p valószín séggel elhagyjuk. Az F p perkoláció fraktál azokból a pontokból áll, amiket minden lépésben megtartottunk. El ször bebizonyítjuk a véletlen önhasonló halmazok dimenziójáról szóló tételt ebben a speciális esetben is [3], a bizonyítás során felhasználjuk egy halmaz box és Hausdordimenziója közötti egyenl tlenséget. A fejezet második részében bebizonyítunk két tételt, amely a perkoláció fraktálok összefügg ségér l szól kis, illetve nagy p esetén, majd kimondunk egy általánosabb tételt az összefügg ségükr l [2]. A negyedik fejezetben deniáljuk a fafraktálokat, és bebizonyítunk egy tételt, amely kapcsolatot teremt a dimenziójuk és a végtelen fákon lehetséges maximális folyamnagyság között. Deniáljuk a GaltonWatson hálózatokat, amik statisztikusan önhasonló véletlen gráfok súlyozott élekkel, és bebizonyítjuk Falconer tételét az ezeken lehetséges maximális folyamnagyságról. Ezután deniáljuk a véletlen önhasonló halmazoknál általánosabb GaltonWatson fraktálokat, végül a fenti két tétel segítségével bebizonyítjuk a GaltonWatson-fraktálok dimenziójáról szóló tételt [4], aminek speciális eseteként adódik a tétel véletlen önhasonló halmazokra. 4

Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témavezet mnek, Elekes Mártonnak az érdekes témát, a dolgozat alapos átnézését és az elkészítése során nyújtott segítségét. 5

1. fejezet A Brown-mozgás 1.1. Alapfogalmak A dolgozatban R d -beli véletlen halmazok eloszlását és dimenzióját vizsgáljuk. Az alábbi jelöléseket, deníciókat és tételeket mindegyik fejezetben használjuk. Egy A R d halmaz átmér jét jelölje A : sup{ x y : x, y A}, az A halmaz d dimenziós Lebesgue-mértékét jelölje LA. El ször megadjuk a Hausdor-dimenzió denícióját, és ismertetünk néhány tételt, amelyek nagy segítséget nyújtanak egy halmaz Hausdor-dimenziójának meghatározásában. 1.1.1 Deníció: Hausdor-mérték Legyen 0 s <. Tetsz leges A R d és δ > 0 esetén legyen Legyen { HδA s : inf H i s : H i R d, A i0 H s A : lim δ 0 H s δa az A halmaz s dimenziós Hausdor-mértéke. i0 } H i, H i < δ. Megmutatható, hogy minden s 0 esetén a H s halmazfüggvény mérték R d Borelhalmazain, ami a végtelen értéket is felveheti [4, 4. fejezet]. Könnyen látható, hogy ha az A R d Borel-halmaz Hausdor-mértéke valamilyen s esetén H s A <, akkor minden t < s esetén H t A 0 [4, 4.7. Tétel]. 1.1.2 Deníció: Hausdor-dimenzió Az A R d halmaz Hausdordimenziója dim H A sup{s : H s A > 0} sup{s : H s A } inf{t : H t A < } inf{t : H t A 0}. Az alábbi tételek a Hausfor-dimenzió becslésében nyújtanak segítséget. A tételeknek csak azt a változatát közöljük, amelyet a kés bbiekben használni fogunk. Az els két állítás közvetlenül adódik a denícióból. 6

1.1.3 Állítás: Legyen A R d és s 0. Ha minden ε > 0 esetén vannak olyan H i R d halmazok, amikre A H i és i0 H i s < ε, i0 akkor H s A 0, és ezért dim H A s. 1.1.4 Állítás: Legyenek A i R d, és tegyük fel, hogy minden i N esetén dim H A i s. Ekkor dim H i0 A i s. 1.1.5 Tétel: [2, 2.3. Állítás] Legyen A R d és legyen f : A R m Hölder-α függvény, azaz minden x, y A esetén teljesüljön valamilyen c > 0 konstanssal. Ekkor fx fy c x y α dim H fa 1 α dim HA. 1.1.6 Állítás: [2, 11.2. Állítás] Legyen az f : [0, 1] R függvény Hölder-α, valamilyen 0 α 1-val. Ekkor dim H graph f 2 α. 1.1.7 Deníció: Legyen µ mérték R d Borel-halmazain. A µ mérték s-energiája 1 I s µ : R d R x y dµxdµy. d s 1.1.8 Tétel: [2, 4.13. Tétel] Legyen A R d. Ha van olyan nem azonosan nulla µ Borel-mérték A-n, amire I s µ <, akkor dim H A s. Szükségünk lesz a valószín ségszámítás jól ismert alapfogalmaira, a bizonyítások szempontjából legfontosabb deníciókat és tételeket gy jtjük össze az alábbiakban. Ha mást nem mondunk, akkor a valószín ségi változók az Ω, A, P valószín ségi mez r l képeznek valamilyen X, B mérhet térbe. A valószín ségi változók közötti egyenl ségek és egyenl tlenségek 1 valószín séggel értend k. 1.1.9 Deníció: Legyen Ω, A, P valószín ségi mez, {F γ : γ Γ} az A tetsz leges részrendszerei. Azt mondjuk, hogy az {F γ : γ Γ} halmazrendszerek függetlenek, ha minden n 2 és γ 1,..., γ n Γ, B i F γi esetén P B 1 B n n i1 P B i. 1.1.10 Deníció: Azt mondjuk, hogy az Ω, A, P valószín ségi mez n értelmezett valószín ségi változók {X γ : γ Γ} rendszere független, ha az általuk generált σ- algebrák függetlenek. 1.1.11 Állítás: [1, 4.2. Tétel] Ha az {F γ : γ Γ} halmazrendszerek függetlenek, és mindegyikük zárt a véges metszet képzésre, akkor az általuk generált σ-algebrák is függetlenek. 7

1.1.12 Következmény: Ha az {F γ : γ Γ 0 Γ 1 } σ-algebrák függetlenek és Γ 0 Γ 1, akkor a σ γ Γ F 0 γ és a σ γ Γ F 1 γ σ-algebrák is függetlenek. 1.1.13 Deníció: Legyen X valószín ségi változó, és A B olyan mérhet halmaz, amire P X A > 0. Ekkor az X feltételes eloszlása az A feltétel mellett az a ν valószín ségi mérték B-n, amire minden B B esetén νb P X B A P X A B. P X A 1.1.14 Deníció: Legyen X valós érték, véges várható érték valószín ségi változó, F A σ-algebra. Az X F-re vett feltételes várható értéke az a P -majdnem mindenhol egyértelm en meghatározott EX F : Ω R, F-mérhet valószín ségi változó, amire minden B F esetén B EX FdP B XdP. RandonNikodym deriváltak segítségével megmutatható, hogy a feltételes várható érték valóban létezik, és az alábbi tulajdonságai amelyekre a kés bbiekben szükségünk lesz a deníció közvetlen következményei, bizonyításaik megtalálhatóak [1]-ben. 1.1.15 Állítás: Legyenek X és Y véges várható érték valószín ségi változók, F A σ-algebra. Ekkor teljesülnek az alábbiak: a minden c 1, c 2 R esetén Ec 1 X + c 2 Y F c 1 EX F + c 2 EY F, b EEX F EX, c ha X F-mérhet, akkor EX F X, d ha az X által generált σ-algebra független F-t l, akkor EX F EX, e ha XY véges várható érték és Y F-mérhet, akkor EXY F Y EX F. 1.1.16 Deníció: Az X k, F k k N sorozat martingál, ha minden k N esetén X k változó, valós érték, véges várható érték valószín ségi F 0 F 1 A σ-algebrák, X k F k -mérhet, EX k+1 F k X k. 1.1.17 Tétel: Martingál konvergencia [1, 35.5. Tétel] Ha X k, F k k N martingál és sup k N E X k <, akkor X k 1 valószín séggel konvergens. 1.1.18 Tétel: Ha X k, F k k N martingál és minden k N esetén X k 0, akkor X k 1 valószín séggel konvergens. 1.1.19 Állítás: [1, 25.12. Tétel következménye] Legyenek X és X k k 1 valós érték valószín ségi változók és p > 1. Ha k esetén X k X 1 valószín séggel és sup k N E X k p <, akkor k esetén EX k EX. 8

1.2. A Brown-mozgás A Brown-mozgás, vagy más néven Wiener-folyamat egy olyan valószín ségi változó, ami a [0, R n függvények terébe képez, azaz a Brown-mozgás deníciója megad egy valószín ségi mértéket a [0, R n függvények terén. A deníciót el ször n 1 dimenzió esetén adjuk meg, majd ennek segítségével az általános esetben. Jelölje Nµ, σ 2 a µ várható érték, σ 2 szórásnégyzet normális eloszlást. 1.2.1 Deníció: Brown-mozgás Legyen {Xt, t 0} olyan véletlen folyamat, amire az alábbiak teljesülnek: a 1 valószín séggel X0 0, b minden t 0 és h > 0 esetén az Xt + h Xt növekmény eloszlása N0, h, c ha 0 t 1 t 2m, akkor az Xt 2 Xt 1,..., Xt 2m Xt 2m 1 növekmények függetlenek, d a t Xt függvény 1 valószín séggel folytonos. Megmutatható, hogy létezik olyan folyamat, amire a fentiek teljesülnek [6, 1.3. Tétel], [1, 37.1. Tétel]. A denícióból látszik, hogy Xt eloszlása N0, t, és hogy a folyamat stacionárius növekmény, azaz Xt + h Xt eloszlása minden t esetén ugyanolyan. 1.2.2 Deníció: d dimenziós Brown-mozgás Az {X 1 t,..., X d t, t 0} folyamatot d dimenziós Brown-mozgásnak nevezzük, ha minden 1 i d esetén X i t 1 dimenziós Brown-mozgás és minden 0 t 1,..., t d esetén az X 1 t 1,..., X d t d eloszlások függetlenek. Legyen Xt X 1 t,..., X d t d dimenziós Brown-mozgás. Mivel X i t + h X i t eloszlása N0, h, ezért tetsz leges a i < b i esetén P X i t + h X i t [a i, b i ] 2πh 1 2 bi a i exp x2 i dx i. 2h A függetlenség miatt tetsz leges T [a 1, b 1 ] [a d, b d ] tégla esetén P Xt + h Xt T 2πh d 2 d i1 T bi 2πh 1 2 exp a i x 2 dx, 2h exp x2 i dx i 2h ahol x x 1,..., x d. Ez az egyenl ség T helyett könnyen láthatóan tetsz leges Borel-halmazra is igaz, így az origó közep, ρ sugarú gömbre is. Polárkoordinátákra áttérve kapjuk, hogy ρ P Xt + h Xt ρ ch d 2 r d 1 exp r2 dr, 2h 9 0

ahol c 2π d 2 a d, ahol a d jelöli az d dimenziós egységgömb felszínét. A fenti integrálok segítségével bebizonyíthatóak az alábbiak: A d dimenziós Brown-mozgás izotróp, azaz minden irányban ugyanolyan az eloszlása. Ha 0 < γ, akkor γ 1 2 Xγt és Xt eloszlása minden t esetén megegyezik. A Brown-mozgás statisztikusan önhasonló, ugyanis az {Xt : 0 t T } és {Xt : 0 t γt } folyamatok a γ 1 2 skálaparamétert l eltekintve ugyanolyan eloszlásúak. A Brown-mozgás pályája egy véletlen halmaz R d -ben. Meg fogjuk mutatni, hogy ennek a halmaznak a Hausdor-dimenziója d 2 esetén 1 valószín séggel 2. A bizonyítás során a dimenzió alsó becslésére használt módszert más véletlen halmazok esetén is alkalmazni fogjuk. A dimenzió fels becsléséhez szükségünk lesz az alábbi állításra: 1.2.3 Állítás: Legyen 0 < λ < 1. Az Xt d dimenziós Brown-mozgásra 1 2 valószín séggel minden 0 t 1 esetén teljesül a Xt + h Xt cλ h λ h < H 0 Hölder-egyel tlenség valamilyen cλ konstanssal és véletlen 0 < H 0 -lal. Bizonyítás: Tetsz leges 0 t és 0 < h esetén P Xt + h Xt > h λ ch d 2 1 c u d 1 exp h λ 2 1 c 1 exp u2 h λ du 2 c 1 2 h λ 1 2 c 2 h 2. r d 1 exp r2 dr 2h h λ 1 2 exp u du Az 1 egyenl séget u rh 1 2 helyettesítéssel kapjuk, a 2 egyenl tlenség az u d 1 exp u2 és exp u függvények konvergenciasebességéb l következik u 2 esetén. Tekintsük az [m 12 j, m2 j ] [0, 2] bináris intervallumokat, és legyen A k : { Xm2 j Xm 12 j > 2 jλ valamilyen j k és 1 m 2 j+1 esetén}. Ekkor a fenti egyenl tlenség alapján P A k c 2 jk 2 j+1 2 2j c 2 2 k+2, amib l k1 P A k < következik. A Borel-Cantelli lemma alapján P végtelen sok j és 1 m 2 j+1 van, amire Xm2 j Xm 12 j > 2 jλ P lim sup A k 0, 10

azaz 1 valószín séggel van olyan N egész szám, hogy minden j N és 1 m 2 j+1 esetén Xm2 j Xm 12 j 2 jλ. Legyen h < H 0 : 2 N és t [0, 1]. Ekkor a [t, t + h] [0, 2] intervallum a végpontjaitól eltekintve felírható megszámlálható sok [m 12 j, m2 j ] alakú intervallum uniójaként, ahol 1 m 2 j és 2 j h, az intervallumok belseje diszjunkt, és minden intervallumhossz legfeljebb kétszer fordul el. Ha k a legkisebb egész, amire 2 k h, akkor X folytonosságát felhasználva azt kapjuk, hogy 1 valószín séggel Xt + h Xt 2 jk 2 jλ 2 kλ 2 2hλ 1 2 λ 1 2. λ 1.2.4 Tétel: Ha d 2, akkor az d dimenziós Brown-mozgás pályájának Hausdor dimenziója 1 valószín séggel 2. Azaz az X [0, véletlen halmazra 1 valószín séggel dim H X [0, 2. esetén az Xt függvény Bizonyítás: Az el z állítás szerint minden λ < 1 2 1 valószín séggel lokálisan Hölder-λ, azaz minden t-nek van olyan U t környezete, amire az 1.1.5. Állítás szerint dim H XU t 1 dim λ H U t 1. Ez minden λ < 1-re λ 2 igaz, ezért 1 valószín séggel minden t 0 esetén dim H XU t 2. Mivel a [0, halmaz σ-kompakt, ezért vannak olyan t i 0 számok, amikre [0, i0 U t i. Az 1.1.4. Állítás alapján ebb l következik, hogy dim H X [0, 2. Az alsó becsléshez legyen 1 < s < 2. Rögzítsük t-t és h-t, és legyen Ezzel a jelöléssel pρ : P Xt + h Xt ρ ch d 2 E Xt + h Xt s 1 2 ch s 2 ch d 2 0 0 ρ 0 r d 1 s exp r2 2h w d s 2 2 exp w 2 0 r d 1 exp r s dpr dr dw c 1 h s 2. r2 2h dr. A Brown-mozgás segítségével R d -n természetes módon deniálhatjuk a µ véletlen mértéket: tetsz leges A R d esetén legyen µ ω A : L 1 {t : 0 t 1, X ω t A}, ahol L 1 az 1 dimenziós Lebesgue-mértéket jelöli. Ennek a mértéknek a tartója X ω [0, 1], és µ ω X[0, 1] 1. Mivel gxdµ ω x gx ω tdt minden g mérhet függvény esetén[1, 16.13. Tétel], ezért E 1 1 0 0 x y s dµxdµy E E Xt Xu s dtdu 11 1 1 0 0 1 1 0 0 Xt Xu s dtdu c 1 t u s 2 dtdu <.

Tehát 1 valószín séggel x y s dµxdµy <, az 1.1.8. Tétel szerint így dim H X[0, 1] s. Ez minden 1 < s < 2 esetén igaz, ezért dim H X[0, 1] 2. 1.2.5 Tétel: Az 1 dimenziós Brown-mozgás grakonjának Hausdor dimenziója 1 valószín séggel 1 1 2. Bizonyítás: A tételt az Xt véletlen függvény [0, 1] feletti grakonjára bizonyítjuk be. Mivel minden n N és t [0, 1] esetén az Xn + t Xn függvény eloszlása megegyezik az Xt függvény eloszlásával, ezért a grakon minden [n, n+1] alakú intervallum fölötti szakaszának dimenziója ugyanannyi. Ebb l az 1.1.4. Állítás alapján következik, hogy dim H graph X 1 1. 2 A fels becsléshez az 1.2.3 Hölder-egyenl tlenséget és az 1.1.6 Állítást használjuk. Ezekb l azt kapjuk, hogy minden 0 < λ < 1 esetén a gráf dimenziója 2 1 valószín séggel legfeljebb 2 λ, amib l 1 valószín séggel a dim H graph X 1 1 2 fels becslés adódik. Az alsó becsléshez legyen 1 < s < 1 1 2. Ekkor E Xt + h Xt 2 + h 2 s 2 r 2 + h 2 s 2 dpr ch 1 2 r 2 + h 2 s 2 exp r2 dr 0 2h 1 2 c wh + h 2 s 2 w 1 2 exp w dw 0 2 h c h 2 s 2 w 1 2 dw + wh s 2 w 1 2 dw 0 h c 1 h 1 2 s Deniáljuk R 2 -n az alábbi természetes véletlen mértéket, aminek a tartója a Brownmozgás grakonja: tetsz leges A R 2 esetén legyen µ ω A : L{0 t 1 : t, Xω t A}. Pitagorasz tételét és a fenti egyenl tlenséget használva kapjuk, hogy 1 E 0 1 1 0 0 E 1 0 x y s dµxdµy Xt Xu 2 + t u 2 s 2 dtdu E Xt Xu 2 + t u 2 s 2 1 1 0 0 c 1 t u 1 2 s dtdu <, 0 dtdu tehát a µ mérték s-energiája 1 valószín séggel véges. Ez minden 1 < s < 1 1 2 esetén igaz, ezért a Brown-mozgás grakonjának a dimenziója 1 valószín séggel legalább 1 1 2. 12

2. fejezet A véletlen Cantor-halmaz A jól ismert triadikus Cantor-halmazt úgy állítjuk el, hogy a [0, 1] intervallumból kiindulva minden lépésben mindegyik meglév intervallum helyett annak két részintervallumát vesszük, amelyek egy-egy végpontja megegyezik az eredeti intervalluméval, a hosszuk pedig annak 1 része. Ennek egy általánosítása, ha az 3 arány 1 helyett tetsz leges 0 < a < 1 szám. 3 2 A véletlen Cantor-halmazt is hasonló konstrukcióval állítjuk el, azonban az új intervallumok hossza véletlen. Ekkor nem feltétlenül teljesül az a tulajdonság, hogy a részintervallumok és az eredeti intervallum hosszának aránya állandó. Ehelyett most ezeknek az arányoknak az eloszlása fog minden intervallum esetén megegyezni. Megtartjuk azonban azt a tulajdonságot, hogy a két részintervallum diszjunkt. 2.0.6 Deníció: Rögzítsük az a és b valós számokat úgy, hogy 0 < a b < 1. 2 Jelölje I k1 {0, 1}k. Legyenek i 1,..., i k I esetén C i1,...,i k : Ω R olyan valószín ségi változók, amikre a következ k teljesülnek: 1 valószín séggel a C i1,...,i k b, C i1,...,i k,0, C i1,...,i k,1 eloszlása megegyezik C 0, C 1 eloszlásával, ha i 1,..., i k j 1,..., j l, akkor a C i1,...,i k,0, C i1,...,i k,1 és C j1,...,j l,0, C j1,...,j l,1 valószín ségi változók függetlenek. Legyenek i 1,..., i k I esetén I i1,...,i k a következ k teljesülnek: [0, 1] olyan zárt intervaumok, amikre I i1,...,i k 1 I i1,...,i k, I 0 bal végpontja a 0, I 1 jobb végpontja az 1, és I i1,...,i k 1 és I i1,...,i k 1,0 bal végpontja, illetve I i1,...,i k 1 és I i1,...,i k 1,1 jobb végpontja megegyezik, az intervallumok hossza véletlen, és tejesül rájuk, hogy I i1,...,i k k j1 C i 1,...,i j, azaz k > 1 esetén I i 1,...,i k I i1,...,i k 1 C i 1,...,i k. Legyen E 0 [0, 1] és E k i {0,1} I k i. Legyen F k0 E k, az így meghatározott F véletlen halmazt véletlen Cantorhalmaznak nevezzük. 13

2.0.7 Megjegyzés: A véletlen Cantor-halmaz statisztikusan önhasonló, azaz tetsz leges i I esetén F és F I i eloszlása az inf I i eltolás- és az I i skálaparamétert l eltekintve megegyezik. 2.0.8 Tétel: Az F véletlen Cantor-halmaz Hausdor dimenziója 1 valószín séggel dim F s, ahol s az E C s 0 + C s 1 1 egyenlet megoldása. Bizonyítás: A bizonyítás során el ször bevezetjük az X k k N, majd az X valószín ségi változókat. Az ezekr l bizonyított tulajdonságok segítségével fogjuk F dimenzióját el ször felülr l, majd alulról becsülni. A gt E C0 t + C1 t függvény a Lebesgue-tétel szerint folytonos, szigorúan monoton fogyó, g0 2, lim t gt 0, ezért egyértelm en létezik olyan s > 0, amire E C0 s + C1 s 1. Rögzítjük ezt az s-et. Legyen X 0 : 1 és k 1 esetén X k : I i1,...,i k s. i 1,...,i k {0,1} k Mivel I i1,...,i k k j1 C i 1,...,i j b k, ezért EX k 2 k b ks <. Legyen F k a {C i1,...,i j : i 1,..., i j {0, 1} j, 1 j k} valószín ségi változók által generált σ-algebra. Az X k+1 F k -ra vett feltételes várható értéke E X k+1 F k Ii1,...,i k s Ci s 1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 F k 1 i 1,...,i k {0,1} k E I i1,...,i k s E C s i1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 F k i 1,...,i k {0,1} k 2 I i1,...,i k s E C s i1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 i 1,...,i k {0,1} k 3 i 1,...,i k {0,1} k I i1,...,i k s E C s 0 + C1 s Xk, ezért X k, F k martingál. Az 1, illetve a 2 egyenl ség az 1.1.15. Állításban szerepl e, illetve d tulajdonságból, a 3 egyenl ség a C i1,...,i k,0, C i1,...,i k,1 és C 0, C 1 valószín ségi változók azonos eloszlásából következik. Mivel X k 0, ezért az 1.1.18. Állítás szerint létezik olyan P-majdnem mindenhol egyértelm en meghatározott X valószín ségi változó, hogy X k X 1 valószín séggel. 2.0.9 Állítás: EX k EX. 14

Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy EXk 2 korlátos, ehhez el ször becsüljük X2 k+1 F k- ra vett feltételes várható értékét: 2 EXk+1 F 2 k E I i1,...,i k s Ci s 1,...,i k,0 + C s Fk i 1,...,i k,1 i 1,...,i k {0,1} k + i 1,...,i k j 1,...,j k + 1 i 1,...,i k j 1,...,j k 3 < I i1,...,i k 2s E C s i1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 2 F k i 1,...,i k {0,1} k 2 I i1,...,i k s I j1,...,j k s E C s i 1,...,i k,0 + C s i 1,...,i k,1c s j 1,...,j k,0 + C s j 1,...,j k,1 F k 2 I i1,...,i k 2s E C s i1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 2 i 1,...,i k {0,1} k 2 I i1,...,i k s I j1,...,j k s E C s i 1,...,i k,0 + C s i 1,...,i k,1 E C s j1,...,j k,0 + C s j 1,...,j k,1 i 1,...,i k {0,1} k I i1,...,i k 2s λ + 1 + i 1,...,i k j 1,...,j k {0,1} k 2 I i1,...,i k s I j1,...,j k s i 1,...,i k {0,1} k I i1,...,i k 2s λ + X 2 k. Az 1 egyenl ség az 1.1.15. Állításban szerepl e tulajdonságból, a 2 egyenl ség az 1.1.15. Állításban szerepl d tulajdonságból és Ci s 1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 és Cj s 1,...,j k,0 + Cj s 1,...,j k,1 függetlenségéb l adódik. A 3 egyenl tlenség azért igaz, mert E2Ci s 1,...,i k,0ci s 1,...,i k,1 < 1 és λ : ECi 2s 1,...,i k,0 + Ci 2s 1,...,i k,1, így E Ci s 1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 2 < λ + 1. Az X 2 k várható értékére a fenti egyenl tlenséget felhasználva azt kapjuk, hogy EXk+1 2 EXk 2 + E I i1,...,i k 2s λ i 1,...,i k {0,1} k EX 2 k + λ i 1,...,i k {0,1} k E 2 EX 2 k + λ k j1 C 2s i 1,...,i j 1 EX 2 k + λ k i 1,...,i k {0,1} k j1 k i 1,...,i k {0,1} k j1 EC 2s i 1,...,i j k ECi 2s j EXk 2 + λ EC0 2s + EC1 2s EX 2 k + λ k+1, ahol az 1 egyenl ség a C i1,...,i j -k függetlenségéb l adódik, a 2 egyenl ség pedig abból, hogy C i1,...,i j eloszlása megegyezik C ij eloszlásával. 15

Felhasználva, hogy λ EC 2s i 1,...,i k,0 + C 2s i 1,...,i k,1 < 1, tetsz leges k-ra adódik a következ fels becslés: EX 2 k EX 2 k 1 + λ k EX 2 0 + 1 + λ j : c < j1 k λ j Ez k-tól független fels korlát, tehát EX 2 k k N korlátos. Ebb l az 1.1.19. Állítás alapján következik, hogy EX lim k EX k. 2.0.10 Állítás: P 0 < X < 1. Bizonyítás: Mivel 1 valószín séggel X lim k X k 0 és EX lim k EX k EX 0 1, ezért P 0 X < 1 és P X > 0 > 0. Mivel { } {X 0} lim I 0,i1,...,i k s 0 k i 2,...,i k {0,1} k 1 { } lim I 1,i1,...,i k s 0 k i 2,...,i k {0,1} k 1 és a jobb oldali két esemény független, ezért a statisztikus önhasonlóság miatt P X 0 P X 0 2. Ebb l P X 0 < 1 miatt következik, hogy P X 0 0. Az állítás alapján P 0 < X < 1, az X k deníciója miatt P 0 < X k < 1, ezért léteznek olyan M 1 és M 2 valószín ségi változók, hogy minden k esetén 0 < M 1 X k M 2 <. A fenti állítások segítségével bebizonyítjuk a tételt. 1 dim H F s: Legyen 0 < δ tetsz leges. Minden i {0, 1} k esetén I i b k < 2 k. Ha k ln δ, ln 2 akkor I i < δ, ezért igaz az alábbi fels becslés: HδF s I i s X k M 2, i {0,1} k amib l H s F M 2 <, így dim H F s 1 valószín séggel. j1 2 dim H F s: El ször deniálunk egy véletlen mértéket R-en, aminek a tartója F. Legyen Ω Ω az az esemény, hogy a lim I i1,...,i n k+n s i k+1,...,i k+n {0,1} n 16

határérték minden i 1,..., i k I esetén létezik és pozitív. Mivel i k+1,...,i k+n {0,1} n I i1,...,i k+n s I i1,...,i k s i k+1,...,i k+n {0,1} n j1 n Ci s 1,...,i k+j, és a jobb oldalon álló összeg eloszlása megegyezik X n eloszlásával, ezért minden rögzített i 1,..., i k I esetén a fenti határérték 1 valószín séggel létezik és pozitív. Az I halmaz megszámlálható, ezért P Ω 1. Rögzítsünk egy ω Ω -t. Jelölje R az R : {I i ω F ω : i I} halmaz által generált algebrát F ω-án. Mivel bármely két R-beli halmaz különbsége el állítható véges sok, diszjunkt R- beli halmaz egyesítéseként, ezért R pontosan az R-beli halmazok véges, diszjunkt egyesítéseib l áll. Legyen µ ω I i1,...,i k ω F ω : lim n i k+1,...,i k+n {0,1} n I i1,...,i k+n ω s Az így meghatározott µ ω halmazfüggvény R-en additív, és kiterjeszthet R-re is additívan. A kiterjesztés jól deniált, ugyanis egy R-beli halmaz bármely két el állítása esetén van olyan k N, hogy az el állításokban szerepl mindegyik halmaz egyértelm en felírható {I i ω F ω : i {0, 1} k }-beli diszjunkt halmazok egyesítéseként. Az R-beli halmaznak ez a nomabb felbontása egyértelm, és az ez által meghatározott µ ω mérték megegyezik a másik két el állítás által meghatározott mértékkel. Jelöljük az R-re kiterjesztett függvényt is µ ω -val. A µ ω halmazfüggvény mérték R-en, ehhez belátjuk, hogy egy R-beli halmaz csak úgy állhat el ilyenek diszjunkt egyesítéseként, ha az véges egyesítés. Az I i halmazok deníciója miatt minden I i ω F ω halmaznak van olyan U i nyílt környezete, hogy ha I i ω I j ω, akkor U i U j. Ha I i ω F ω az I j ω F ω, j J diszjunkt halmazok egyesítése, akkor az U j, j J halmazok az I i ω F ω kompakt halmaz diszjunkt fedését adják, ezért J csak véges lehet. Az R halmaz az F ω Borel-halmazainak egy bázisa, ezért a µ ω mérték R-r l egyértelm en kiterjeszthet az F ω Borel-halmazaira. Ezt az egyértelm kiterjesztést jelölje µ ω. A µ ω mértéket terjesszük ki az R Borel-halmazaira úgy, hogy µ ω R \ F ω 0 legyen, az így kapott µ ω egy olyan Borel-mérték R-en, aminek a tartója F ω. Ez a deníció 1 valószín séggel megadja a µ véletlen mértéket az R Borelhalmazain. 2.0.11 Lemma: Minden i 1,..., i k 1 I esetén E µi i1,...,ik 1,0µI i1,...,ik 1,1 Fk I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s. Bizonyítás: Rögzítsük i 1,..., i k 1 I-t és jelölje I 0 n : {i 1,..., i k+n : i k 0, i k+1,..., i k+n {0, 1} n } és 17.

Vezessük be az Y 0 n : I 1 n : {i 1,..., i k+n : i k 1, i k+1,..., i k+n {0, 1} n }. n i 1,...,i k+n In 0 j1 C s i 1,...,i k+j és Y 1 n : n i 1,...,i k+n In 1 j1 C s i 1,...,i k+j jelöléseket. Az Yn 0 n N és Yn 1 n N eloszlások függetlenek, megegyeznek egymással és az X n n N eloszlásával, és mindkett független az F k σ-algebrától. Ezeket a tulajdonságokat felhasználva a lemma állításában szerepl feltételes várható értékre az adódik, hogy E µi i1,...,ik 1,0 F µi i1,...,ik 1,1 F Fk E lim n E i 1,...,i k+n I 0 n lim n I i1,...,i k+n s i 1,...,i k+n I 1 n I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s Yn 0 Yn 1 Fk E I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s lim Yn 0 Yn 1 F k n 1 I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s E lim Yn 0 Yn 1 F k n 2 I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s E lim Yn 0 Yn 1 n I i1,...,i k+n s Fk 3 I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s E lim Yn 0 E lim Yn 1 n n 4 I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s. Az 1 egyenl ség az 1.1.15. Állítás e részéb l következik. A 2 egyenl ség azért igaz, mert lim n Yn 0 Yn 1 méret a σ {σc i : i n1 I0 n In} 1 σ-algebrára nézve, ami az 1.1.12. Következmény szerint független F k -tól. A 3 egyenl ség hasonlóan n1 I1 n} σ-algebrák adódik a σ {σc i : i n1 I0 n} és σ {σc i : i függetlenségéb l. A 4 egyenl ség azért igaz, mert Elim Yn 0 Elim Y 1 Elim X n EX 1. n Jelölje x, y F, x y esetén x y : I i1,...,i k 1, ha x, y I i1,...,i k 1 és I i1,...,i k 1,0 és I i1,...,i k 1,1 mindegyike pontosan az egyiket tartalmazza x és y közül. Legyen d : 1 2b > 0, ekkor x y d x y. Legyen 0 < t < s tetsz leges. A feltételes várható érték tulajdonságait és a fenti lemmát felhasználva azt kapjuk, hogy E x y t dµxdµy F k x yi i1,...,i k 1 E 2 x I i1,...,i k 1,0 y I i1,...,i k 1,1 x y t dµxdµy F k 18

E 2d t I i1,...,ik 1 t µi i1,...,ik 1,0µI i1,...,ik 1,1 Fk 2d t I i1,...,i k 1 t E µi i1,...,ik 1,0µI i1,...,ik 1,1 F k 2d t I i1,...,i k 1 t I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s 2d t I i1,...,i k 1 2s t Ezt felhasználva a µ mérték t-energiájának várható értékére a következ fels becslést kapjuk: EI t µ E x y t dµxdµy k1 E k1 i {0,1} k 1 E 2d t E Ii 2s t i {0,1} k 1 k 1 2d t k1 i {0,1} k 1 j1 F F x y t dµxdµy F k x yi i k 1 2d t k1 i {0,1} k 1 j1 E C 2s t i j 2d t k1 < E C s 0 + C1 s 1. E C 2s t i 1,...,i j E k. C0 2s t + C1 2s t Ez az összeg véges, mert E C0 2s t + C1 2s t Tehát EI t µ <, ezért 1 valószín séggel I t µ <. Ebb l az 1.1.8. Tétel alapján következik, hogy dim H F t. Ez igaz minden t < s esetén, ezért 1 valószín séggel dim H F s. 19

3. fejezet Perkoláció-fraktálok 3.1. Perkoláció-fraktálok dimenziója A perkoláció-fraktál konstrukciójához rögzítenünk kell egy m 2 egész számot és egy 0 < p < 1 valószín séget. Az [0, 1] d R d egységkockát felosztjuk m d darab 1 rácskockára, és ezek közül mindegyiket egymástól függetlenül p valószín séggel m tartjuk meg. Minden további lépésben a megmaradt kockákat ismét m d darab rácskockára bontjuk, és ezek mindegyikét egymástól függetlenül p valószín séggel tartjuk meg. A perkoláció fraktál a minden lépésben megmaradó pontokból áll. A meglév kockák helyett minden lépésben hozzá hasonló kockákat veszünk, és ennek a hasonlóságnak az aránya állandó. Most azonban véletlen, hogy mennyi kisebb kocka marad az eredeti helyett. Nyilvánvaló, hogy pozitív annak a valószín sége, hogy a perkoláció fraktál az üreshalmaz. El ször bebizonyítunk egy tételt arról, hogy mekkora ez a valószín ség. 3.1.1 Deníció: Legyen m 2 egész szám, 0 < p < 1, és jelölje I k : {0, 1,..., m 1} kd, illetve I : k1 I k. Legyenek C i, i I olyan független, azonos eloszlású valószín ségi változók, amikre P C i 1 p, P C i 0 1 p. k i Jelölje x i1,...,i kd : l 1d+1 l1,..., k i ld m l l1 R d, legyenek J m l i1,...,i kd : 1 x i1,...,i kd + [0, ] d R d rácskockák, és legyenek m k { ha k N i1,...,i kd : l1 C i 1,...,i 0 ld J i1,...,i kd ha k l1 C i 1,...,i ld 1. Legyen E 0 : [0, 1] d, k 1 esetén pedig E k : i I k N i. Legyen F p : k1 E k. Az így meghatározott F p véletlen halmazt perkoláció fraktálnak nevezzük. 3.1.2 Megjegyzés: Jelölje j j 1,..., j nd I és i 1,..., i kd I esetén Legyen { ha k N i1,...,i kd j : l1 C j 1,...,j nd,i 1,...,i 0 ld J j1,...,j nd,i 1,...,i kd ha k l1 C j 1,...,j nd,i 1,...,i ld 1. E k j : i I k N i j és F p j : E k j. k1 20

Az F p j véletlen halmazt úgy kapjuk, hogy az F p konstrukcióját a J j rácskockából kiindulva kezdjük el. Az így deniált halmazokra igazak az alábbiak: j I n esetén az F p j halmaz eloszlása minden h I l, l n esetén független C h -tól, j I n esetén az F p j halmaz eloszlása az 1 m n skála- és az x j eltolásparamétert l eltekintve megegyezik F p eloszlásával, minden n 1 esetén F p j I n Fp j N j. 3.1.3 Tétel: A perkoláció fraktál q P F p valószín séggel elt nik, ahol q a t 1 p + pt md egyenlet legkisebb nemnegatív megoldása. Bizonyítás: A 3.1.2. Megjegyzés alapján { P F p P Fp i N i } i I 1 { P Ni vagy N i J i és F p i } i I 1 i I 1 P Ci 0 + P C i 1P F p i i I 1 1 p + pp Fp fp F p, azaz P F p megoldása az ft t egyenletnek. Hasonlóan kapjuk, hogy P E k i I 1 P N i + P N i J i és E k i i I 1 P Ci 0 + P C i 1P E k i 1 p + pp E k 1 f P E k 1, i I 1 azaz fp E k 1 P E k. Az E k események valószín ségeire igaz az is, hogy 0 P E 0 < P E 1 < < P F p. Mivel F p kompakt halmazok fogyó sorozatának metszete, ezért P F p P k0 {E k } lim k P E k. Ha 0 t < P F p, akkor van olyan k 1, hogy P E k 1 t < P E k. Mivel az ft függvény szigorúan monoton n, ezért t < P E k fp E k 1 ft, 21

tehát 0 t < P F p esetén t ft, azaz P F p a t ft egyenlet legkisebb nemnegatív megoldása. A perkoláció fraktál dimenziójáról szóló tétel bizonyításához szükségünk lesz a box-dimenzió deníciójára és egy állításra a Hausdor- és box-dimenzió kapcsolatáról. 3.1.4 Deníció: Box dimenzió Legyen F R d nem üres, korlátos részhalmaz. Az F halmaz alsó illetve fels box dimenziója dim B F lim inf δ 0 log N δ F log δ, illetve dim B F lim sup δ 0 log N δ F log δ, ahol N δ F az F -et fed, δ sugarú gömbök minimális száma. Ha dim B F dim B F, akkor ezt az F halmaz box dimenziójának nevezzük, és dim B F -fel jelöljük. Megmutatható, hogy igaz az alábbi: 3.1.5 Állítás: Az F R d nem üres, korlátos részhalmaz. Az F halmaz alsó illetve fels box dimenziója dim B F lim inf k 0 log N k F log δ, illetve N k F az F -et metsz, 1 m k dim B F lim sup k 0 3.1.6 Állítás: Legyen F R d, ekkor log N k F log δ, oldalú rácskockák száma. dim H F dim B F dim B F. 3.1.7 Tétel: Ha p 1, akkor P F m d p 1. Ha 1 < p < 1, akkor 0 < q P F m d p < 1 és 1 q valószín séggel dim H F p dim B F p log md p log m d + log p log m. Bizonyítás: Jelölje gt : ft t, a 3.1.3. Tétel alapján q P F p ennek a függvénynek a legkisebb nemnegatív zérushelye. A gt függvény folytonos, végtelen sokszor deriválható, g t m d p1 p + pt md 1 1 g t m d m d 1p 2 1 p + pt md 2. Mivel g t > 0, ezért g t szigorúan monoton növ. 22

Ha p 1, akkor g 1 m d p 1 0, ezért g t < 0 minden t < 1 esetén, m d azaz a gt függvény szigorúan monoton fogyó. Mivel g1 0, ezért t < 1 esetén gt > 0. Ha p > 1, akkor g 1 m d p 1 > 0. A g t függvény folytonossága és szigorú m d monoton csökkenése miatt van olyan t 0 < 1, hogy t [t 0, 1] g t 0 g monoton növ t-ben. Mivel g0 1 p md > 0 g1, ezért t 0 > 0 és gt 0 < 0. Mivel a gt függvény [0, t 0 -on szigorúan monoton fogyó, ezért van pontosan egy 0 < q < t 0, amire gq 0. A dimenzió becslése során be fogjuk látni, hogy dim B F p d + log p, és hogy log m d + log p dim log m H F p. Ezekb l a 3.1.6. Állítás alapján következik, hogy dim B F p d + log p log m : dim H F p dim B F p d + log p log m. Jelölje L k azon j I k indexek számát, amikre J j F p. Ekkor EL k E 1 {Jj E k } E j I k 1 {Jj N i } i I k j I k 1 E 3 d 1 {Ni } 3 d P N i 3 d m kd p k. i I k i I k Az 1 egyenl tlenség abból adódik, hogy minden i I k esetén legfeljebb 3 d olyan j I k index van, amire J j J i. Legyen λ > m d p, ekkor a Markov-egyenl tlenség alapján azt kapjuk, hogy P L k λ k k1 3 d m d p k <. λ k k1 Ebb l a BorelCantelli lemma alapján következik, hogy L k P lim sup k λ 1 k P lim sup{l k λ k } 0, k tehát lim sup L k λ k < 1 teljesül 1 valószín séggel. Ebb l F p box-dimenziójára azt kapjuk, hogy dim B F p lim sup k lim sup k log L k lim sup log mk k log λ log L k log m log λ < log λ k log m. Ez az egyenl tlenség minden λ > m d p esetén igaz, ezért log λ k log L k log m k log λ k dim B F p log md p log m d + log p log m. 23

3.1.8 Lemma: Legyen G E 0 [0, 1] d. Ekkor dim H G < log m 1 p 1 valószín séggel G F p. Bizonyítás: Legyen 0 < ε tetsz leges, és legyenek J i1, J i2,... i 1, i 2, I olyan kockák, amikre a j1 J i j G és b j1 U j log 1 m p < ε. Mivel egy U j kocka oldalának hossza U j d, ezért P G F p P U j F p j1 j1 p log m d U j U j log m p d 1 2 log m p < εd 1 2 log m p. j1 Ez minden 0 < ε esetén igaz, ezért 1 valószín séggel G F p. 3.1.9 Lemma: Legyenek F p és F β egymástól független perkoláció fraktálok. Ekkor az F p F β véletlen halmaz eloszlása megegyezik F pβ eloszlásával. Bizonyítás: Jelölje minden i I esetén C p i, Cβ i, illetve Cpβ i az F p, F β, illetve F pβ perkoláció-fraktált generáló valószín ségi változókat. A függetlenség miatt a C p i Cβ i i I és C pβ i eloszlások megegyeznek. i I Mivel minden i i 1,..., i k I esetén N p i N β i k j1 Cp i 1,...,i j Cβ i 1,...,i j 1, ezért az N p i N β i i I és N pβ i eloszlások is megegyeznek, ezért az E p i I k Eβ k k N és az E pβ k eloszlások is, így az F k N p F β véletlen halmaz eloszlása megegyezik F pβ eloszlásával. dim H F p d + log p log m : Legyen λ < d + log p. Legyen F log m p, illetve F β az Ω, A, P, illetve az Ω, A, P valószín ségi mez kön értelmezett perkoláció fraktálok, és legyen F p F β az Ω Ω, σa A, P P valószín ségi mez n értelmezett, értelemszer en deniált véletlen halmaz. Ha pβ > 1, akkor a 3.1.9. Lemma alapján m d P F p F β P F pβ > 0. Ebb l a Fubini-tétel alapján következik, hogy { P ω Ω : P { F p ω F β } } > 0 > 0. A 3.1.8. Lemmát az F p ω halmazra és az F β perkoláció fraktálra alkalmazva azt kapjuk, hogy P F p ω F β > 0 dim H F p ω log m 1 β, 24

azaz { ω Ω : P F p ω F β > 0 } { 1 } ω Ω : dim H F p ω log m. β Ebb l következik, hogy { 1 } P ω Ω : dim H F p ω log m β > 0. Ez minden β 1 pm d, 1 ] esetén igaz, ezért minden λ log m 1 β [ 0, P dim H F p λ > 0. A 3.1.2. Megjegyzés alapján azt kapjuk, hogy P dim H F p < λ i I 1 P dim H F p i N i < λ i I 1 P N i + P N i és dim H F p i < λ i I 1 P C i 0 + P C i 1P dim H F p i < λ log pmd log m esetén 1 p + pp dim H F p < λ m d f P dim H F p < λ. Azaz P dim H F p < λ megoldása az ft t egyenletnek. A gt ft t függvény [0, 1]-en szigorúan konvex, ugyanis g t m d m d 1p 2 1 p + pt md 2 > 0. Ebb l következik, hogy az ft t egyenletnek a [0, 1] intervallumon legfeljebb két megoldása lehet, ezek P F p és 1. Legyen 0 < λ < d + log p. Ekkor P dim log m H F p < λ az ft t egyenlet 1-nél kisebb megoldása, ezért Ez minden 0 < λ < d + log p log m P dim H F p < λ P F p. esetén igaz, ezért P dim H F p < d + log p P F p, log m és ezért P dim H F p d + log p 1 P F p P F p. log m 25

3.2. Perkoláció-fraktálok összefügg sége El ször azt mutatjuk meg, hogy ha p kicsi, akkor a perkoláció fraktál 1 valószín séggel teljesen összefüggéstelen. Ez az alábbi tétel következménye: 3.2.1 Állítás: Ha az F R d halmaz Hausdor-dimenziója dim H F < 1, akkor F teljesen összefüggéstelen, azaz az összefügg ségi komponensei egyelem ek. Bizonyítás: Legyen x és y F két tetsz leges, egymástól különböz pontja. Legyen f : R d R, fz : z x. fz fw z x x w z w Tehát f egy Lipschitz-1 függvény, ezért dim H ff dim H F < 1. Legyen r / ff, 0 < r < fy. Ilyen r létezik, mert az ff halmaz R egy H 1 szerint nullmérték része, ezért a komplementere, R \ ff s r R-ben. Ekkor F {z F : z x < r} {z F : z x > r} az F halmaz felbontása két diszjunkt, relatív nyílt részre, amelyek közül az egyik tartalmazza x-et, a másik y-t, tehát x és y különböz összefügg ségi komponensben vannak. 3.2.2 Következmény: Ha p < 1, akkor dim F m d 1 p biztosan, ezért 1 valószín séggel F p teljesen összefüggéstelen. log pmd log m < 1 majdnem A második tételünkben feltesszük, hogy d 2 és m 3, azaz síkbeli perkolációfraktálokkal foglalkozunk. Ha p elég közel van 1-hez, akkor nagy valószín séggel minden lépés után után a megmaradó halmaz összeköti az egységnégyzet két szemközti oldalát. Ez alatt azt értjük, hogy minden k N esetén van olyan f k : [0, 1] E k út, amire f k 0 els koordinátája 0, f k 1 els koordinátája 1. 3.2.3 Tétel: Legyen d 2, m 3. Legyen A p az az esemény, hogy minden k N esetén E k összeköti a [0, 1] [0, 1] négyzet jobb és bal oldalát. Ekkor lim P A p 1. p 1 Bizonyítás: Legyen el ször p rögzített. Legyen k 1, i I k. Az N i négyzetet telinek nevezzük, ha a {j I 1 : N i,j } halmaz legalább 8 elem. Ha N i teli, akkor bármely két oldala között vezet út. Ha N i és N j szomszédos, teli négyzetek, akkor N i N j, ezért N i N j bármely két oldala között vezet N i N j E k+1 -beli út. Az N i négyzetet 2-telinek nevezzük, ha a {j I 1 : N i,j teli} halmaz legalább 8 elem. Ha i, j I k és N i és N j szomszédos, 2-teli négyzetek, akkor a N i N j bármely két oldala között vezet N i N j E k+2 -beli út. Hasonlóan, az N i négyzetet l-telinek nevezzük, ha a {j I 1 : N i,j l 1-teli} halmaz legalább 8 elem. Ha i, j I k és N i és N j szomszédos, l-teli négyzetek, akkor a J i J j bármely két oldala között vezet N i N j E k+l -beli út. Ha E 0 l-teli, akkor van olyan E l -beli út, ami összeköti E 0 jobb és bal oldalát. Az az esemény, hogy E 0 l-teli, az alábbi három diszjunkt esemény uniója: 26

1. {N j, j I 1 } 9 elem halmaz és mindegyik eleme l 1-teli 2. {N j, j I 1 } 9 elem halmaz és az elemei közül pontosan 8 l 1-teli 3. {N j, j I 1 } 8 elem halmaz és mindegyik eleme l 1-teli Jelölje p l annak a valószín ségét, hogy E 0 l-teli. A statisztikus önhasonlóságot felhasználva a fenti események valószín ségeire kapjuk, hogy p l p 9 p 9 l 1 + p 9 9p 8 l 11 p l 1 + 9p 8 1 pp 8 l 1 Vizsgáljuk meg az f p függvényt. 9p 8 p 8 l 1 8p 9 p 9 l 1 : f p p l 1. f pt 72p 8 t 7 72p 9 t 8 72p 8 t 7 1 pt, f p t 727p 8 t 6 8p 9 t 7 72p 8 t 6 7 8pt, ezért az f p függvény [0, 1 7 ]-n szigorúan monoton növ és [0, ]-n szigorúan konvex, p 8p [ 7, 1 ]-n szigorúan konkáv. 8p p Jelölje r p : lim l p l. Mivel f p t 9p 8 t 8 8p 9 t 9 folytonos függvény, ezért r p lim l p l lim l f p p l 1 f p lim l p l 1 f p r p, azaz r p megoldása az f p t t egyenletnek. Mivel 1 : p 0 > p 1 > p 2 >..., ezért ha r p < t 1, akkor van olyan l N, hogy p l < t p l 1. Az f p függvény [0, 1]-en szigorúan monoton növ, ezért ekkor f p t f p p l 1 p l < t, tehát ft t. Ebb l következik, hogy r p az f p t t egyenlet legnagyobb megoldása [0, 1]-en. Mivel A p k1 {E 0 l-teli}, ezért 1 P A p lim l p l r p. Megmutatjuk, hogy lim p 1 r p 1, ebb l következik a tétel állítása. Vezessük be a g p t f p t t jelölést, ennek a függvénynek a legnagyobb zérushelyét keressük [0, 1]-en. El ször vizsgáljuk meg a g 1 függvényt. A fent kiszámoltak alapján [ 7, 1]-en szigorúan konkáv, g 1 7 > 0 > 8 g 11, ezért van pontosan egy 7 < m 8 1 < 1, amire 8 g 1m 1 0, azaz a g 1 [ 7 8,1] függvénynek m 1 -ben maximuma van. Mivel g 1 1 0, ezért g 1 m 1 > 0. Mivel g 1 7 < 0, ezért g 8 1-nek [ 7, 1]-en pontosan két gyöke van, az 8 egyik az 1, a másikat jelölje t 1. Mivel f p t f 1 pt és az f 1 függvény szigorúan monoton növ és folytonos, ezért ha p < p, akkor f p t < f p t, és lim p 1 f p t f 1 t. Ezek igazak f p t t g p t- re is, azaz ha p < p, akkor g p t < g p t, és lim p 1 g p t g 1 t minden t [0, 1] esetén. 27

A fentiek miatt van olyan ε > 0, hogy ha p 1 ε, 1, akkor g p m 1 > 0, és 7 < 7 < t 8 8p 1. Ekkor g p t 1 < 0, g p 1 < 0 és g p szigorúan konkáv [t 1, 1]-en, ezért g p - nek [t 1, 1]-en pontosan két zérushelye van, a nagyobbikról tudjuk, hogy r p, a másikat jelölje t p. A g p függvények folytonossága és egyenletes konvergenciája miatt lim t p t 1 és lim r p 1. p 1 p 1 3.2.4 Lemma: Ha minden k N esetén az E k halmaz összeköti az egységnégyzet jobb és bal oldalát, akkor az F p perkoláció fraktálnak van olyan összefügg ségi komponense, aminek az egységnégyzet jobb és bal oldalán is van pontja. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás. Ekkor vannak olyan V 0 és V 1 diszjunkt, nyílt halmazok, hogy F p V 0 V 1, és V 0 tartalmazza az egységnégyzet bal, V 1 pedig a jobb oldalát. Mivel az E 0 E 1... zárt halmazok mindegyike összeköti a négyzet szemközti oldalait, ezért minden k N esetén E k \ V 0 V 1 G k. A G k halmazok zártak, és G 0 G 1..., ezért k0 G k k0 E k \ V 0 V 1 F p \ V 0 V 1, ami ellentmondás. 3.2.5 Tétel: [2, 15.6. Tétel] Van olyan 1 3 p c < 1 szám, hogy ha 0 < p < p c, akkor F p 1 valószín séggel teljesen összefüggéstelen, ha pedig p c < p < 1, akkor F p -nek pozitív valószín séggel van olyan összefügg ségi komponense, ami összeköti az egységnégyzet két szemközti oldalát. 28

4. fejezet GaltonWatson hálózatok Ebben a fejezetben az eddigieknél általánosabb véletlen halmazokkal foglalkozunk. A GaltonWatson fraktálokat hasonlóan deniáljuk, mint az eddig bemutatott példákat. Kiindulunk egy kompakt halmazból, és minden lépésben a meglév halmazok helyett valahány kompakt részhalmazukat tartjuk meg. Most nem követeljük meg, hogy a megmaradó részhalmazok az eredetihez hasonlóak legyenek, és véletlen a megmaradó részhalmazok száma és nagysága. Az elhelyezkedésükr l is csak annyit követelünk meg, hogy a belsejeik diszjunktak legyenek. Azt azonban feltesszük, hogy a megmaradó részhalmazok száma és átmér iknek az eredetiéhez viszonyított aránya minden halmaz esetén ugyanolyan eloszlású. A GaltonWatson fraktálok dimenziójának vizsgálatához a fagráfokon deniálható folyamok nyújtanak segítséget. Az els részben bebizonyítunk egy tételt, ami kapcsolatot teremt a fafraktálok dimenziója és a gráfon lév maximális folyamnagyság között. A második részben deniáljuk a GaltonWatson hálózatokat, és bebizonyítunk egy tételt a túlélésük valószín ségér l, majd Falconer tételét a maximális folyamnagyságról. A harmadik részben az el z tételek segítségével belátjuk a GaltonWatson fraktálok dimenziójáról szóló tételt. 4.1. Fafraktálok dimenziója Legyen a T irányított gráfban V a csúcsok halmaza, E V V az éleké. A T irányított gráfot fának nevezzük, ha az alábbi tulajdonságokat teljesíti: A gráf összefügg, és nincsen benne kör. Pontosan egy olyan v V csúcs van, amire nincs olyan u csúcs, hogy u, v E. Ezt a csúcsot a fa gyökerének nevezzük, és ρ-val jelöljük. Minden v V \ {ρ} csúcsra pontosan egy olyan u csúcs van, amire u, v E. Ezt az u csúcsot a v csúcs sének nevezzük és v-sal jelöljük. Azokat az w csúcsokat, amikre v, w E, a v csúcs utódainak nevezzük. Minden csúcsnak véges sok utóda van. 29

Az olyan v 0, v 1, v 2,... sorozatokat, ahol v 0 ρ és minden i 1-re v i v i 1, végtelen ágnak nevezzük. A T fa végtelen ágainak halmazát T -vel jelöljük. Minden v csúcsra egyértelm en létezik irányított út ρ-ból v-be, jelölje v az ebben az útban szerepl élek számát. 4.1.1 Deníció: Legyen T egy fa. Minden v V csúcshoz tartozzon egy K v R d kompakt halmaz, amire a következ k teljesülnek: a K v int K v, b ha u, v E, akkor K u K v, c ha ū v és u v, akkor int K u int K v, d minden v 0, v 1, v 2,... T végtelen ágra lim k K vk 0, e c 1 : inf v ρ K v K v > 0. f c 2 : inf v Lint K v K v d > 0 Legyen F T : v 0,v 1,... T k1 K vk. Az F T halmazt a T fához és {K v : v V } halmazrendszerhez tartozó fafraktálnak nevezzük. 4.1.2 Deníció: Legyen adva a T fagráf élein egy G : E [0, kapacitásfüggvény. A Θ : E [0, c] függvényt c nagyságú folyamnak nevezzük, ha az alábbiak teljesülnek rá: w: wρ Θρ, w c, minden v ρ csúcsra w: wv Θv, w Θ v, v, minden e E csúcsra Θe Ge. 4.1.3 Deníció: A Π E halmazt vágásnak nevezzük, ha minden v 0, v 1,... T végtelen ágban van olyan v i csúcs, amire v i 1, v i Π. 4.1.4 Tétel: [6, 12.36. Tétel] A T fagráfon a G kapacitásfüggvény mellett sup { c : létezik c nagyságú folyam T -n } { } inf Ge : Π vágás. e Π 30

4.1.5 Tétel: Legyen F T a T V, E fához és {K v : v V } halmazrendszerhez tartozó fafraktál. Minden s 0 esetén legyen G s v, v Kv s K ρ s kapacitásfüggvény. Legyen Ekkor { } A : s : inf G s e 0 és Π vágás e Π B : { s : létezik a G s kapacitásfüggvényhez pozitív nagyságú folyam }. Bizonyítás: inf A sup B: dim H F T inf A sup B. Ha t > s, akkor minden e E él esetén G t e G s e, ezért minden Π vágás esetén e Π G te e Π G se, így ha s A, akkor t A. Tehát ha s > inf A, akkor inf Π vágás e Π G se 0, ha pedig s < inf A, akkor inf Π vágás e Π G se > 0. Ezekb l a 4.1.4. Tétel alapján következik, hogy ha s > inf A, akkor a gráfon nincs pozitív nagyságú folyam, azaz s / B, ha pedig s < inf A, akkor a gráfon van pozitív nagyságú folyam, azaz s B. dim H F T inf A: Ha Π egy vágás, akkor a {K v : v, v Π} halmazok lefedik F T -t, ugyanis minden x F T ponthoz van olyan v 0, v 1,... végtelen ág, hogy k0 K v k {x}. Ha s A, akkor tetsz leges ε > 0 esetén van olyan Π vágás, hogy a hozzá tartozó {K v : v, v Π} halmazokból álló fedésre K v s K ρ s G s v, v < K ρ s ε. v: v,v Π v,v Π Ebb l következik, hogy az F T halmaz s dimenziós Hausdor mértéke H s F T 0, így dim H F T s. Ez minden s A esetén igaz, ezért dim H F T inf A. dim H F T inf A: Legyen s > dim H F T tetsz leges. Minden 0 < ε < K ρ s esetén van olyan {H i : i I} fedése F T -nek, amire i I H i s < ε. Ekkor minden i I esetén H i < ε 1 s < K ρ. Rögzítsük a fedést, és i I esetén legyen Q i : {v V : K v H i < K v és K v H i F T }. Mivel minden v 0, v 1,... végtelen ág esetén lim k K vk 0 és H i < K ρ, ezért van az ágban pontosan egy olyan v csúcs, amire K v H i < K v. Ha a végtelen ág olyan, hogy k0 K v k {x} H i F T, akkor van az ágban pontosan egy olyan v csúcs, amire v Q i, ezért a {K v : v Q i } halmazrendszer fedése H i F T -nek. 31

Ha v és w a T gráf két csúcsa, akkor int K v int K w pontosan akkor, ha K v K w vagy K w K v, azaz ha van olyan ág a fában, amin a v és a w csúcs is rajta van. Mivel a Q i halmaz minden végtelen ágból legfeljebb egy csúcsot tartalmaz, ezért az {int K v : v Q i } halmazrendszer tagjai diszjunktak. Megmutatjuk, hogy a Q i halmaz véges. Jelölje β d a d dimenziós egységgömb térfogatát, ekkor β d 2 d H i d 1 L d U Hi H i 2 v Q i L d int K v 3 c 2 v Q i K v d 4 c 2 c d 1 H i d, v Q i amib l a Q i halmaz elemszámára az H i -t l független r : β d2 d c 2 c d 1 A fenti egyenl tlenségek a következ k miatt igazak: fels becslés adódik. 1 az H i halmaz H i sugarú nyílt környezete belefoglalható egy 2 H i sugarú gömbbe; 2 U Hi H i v Q i int K v, és a jobb oldal diszjunkt halmazok egyesítése; 3 a 4.1.1. Deníció f pontjából következik; 4 a 4.1.1. Deníció e pontja alapján K v c 1 K v > c 1 H i. Jelölje Q : i I Q i, ekkor a {K v : v Q} halmazrendszer az F T egy fedése. Minden végtelen ágban van olyan v csúcs, amire v Q, ezért a Π : { v, v : v Q} halmaz egy vágás. A Π vágáshoz tartozó G s kapacitásokra K ρ s G s e K v s K v s e Π v Q i I v Q i i I H i s r H i s < rε. v Q i i I Tehát s A, mert tetsz leges 0 < ε < K ρ s esetén van olyan Π vágás, amire G s e < e Π r K ρ s ε. Ez minden s > dim H F T esetén igaz, ezért dim H F T inf A. 4.1.6 Megjegyzés: A K v halmazok helyzetér l csak azt tettük fel, hogy a megfelel halmazok belsejei diszjunktak, illetve a megfelel halmazok tartalmazzák egymást. Ezen feltételek teljesülése esetén az F T fafraktál dimenziója nem függ a K v halmazok elhelyezkedésének további tulajdonságaitól, hiszen a tétel minden esetben ugyanazt a dimenziót adja. 32