Véletlen fraktálok. Diplomamunka. Témavezet : Írta: Beringer Dorottya. Elekes Márton, egyetemi adjunktus Analízis tanszék.

Véletlen fraktálok Diplomamunka Írta: Beringer Dorottya Matematikus szak Témavezet : Elekes Márton, egyetemi adjunktus Analízis tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2011

Tartalomjegyzék Bevezetés 3 1. A Brown-mozgás 6 1.1. Alapfogalmak............................... 6 1.2. A Brown-mozgás............................. 9 2. A véletlen Cantor-halmaz 13 3. Perkoláció-fraktálok 20 3.1. Perkoláció-fraktálok dimenziója..................... 20 3.2. Perkoláció-fraktálok összefügg sége................... 26 4. GaltonWatson hálózatok 29 4.1. Fafraktálok dimenziója.......................... 29 4.2. GaltonWatson hálózatok........................ 33 4.3. GaltonWatson fraktálok......................... 39 2

Bevezetés A természetben számos helyen el fordulnak fraktálszer alakzatok. Ilyenek a növények levelei, elágazásai, a vízfolyások, a szárazföldek partvonala. Ezekben az alakzatokban természetes módon el fordulnak kisebb-nagyobb szabálytalanságok. A véletlen fraktálok egyik felhasználási területe, hogy a segítségükkel természetesnek ható alakzatokat, f leg tájképeket hoznak létre. A dolgozatban bemutatjuk, hogyan lehet az önhasonló halmazok denícióját a véletlen önhasonló halmazokéra kiterjeszteni. Az F kompakt halmazt önhasonlónak nevezzük, ha vannak olyan {S i : 0 i m 1} kontraktív hasonlóságok, amikre F m 1 i0 S if. Az F halmazt el lehet állítani úgy, hogy kiindulunk valamilyen E 0 kompakt halmazból, amire igaz, hogy minden 0 i m 1 esetén E 0 m 1 i0 S ie 0, és E k+1 -et úgy kapjuk E k -ból, hogy minden S i1 S ik E 0 alakú részhalmaza helyett az S i1 S ik S ik+1 E 0 alakú halmazokat vesszük. Az így meghatározott E k kompakt halmazok fogyó sorozatának metszete F [2, 9.1. Tétel]. Ebbe a konstrukcióba több ponton is belevihetjük a véletlent. Az egyik lehetséges mód, hogy véletlen hasonlóságokat tekintünk, ekkor az S i hasonlóság aránya a C i valószín ségi változó. Ilyen konstrukcióval állítjuk el a véletlen Cantor-halmazt. A másik lehetséges változat az, hogy minden S i1 S ik E 0 alakú halmaz helyett véletlen számú S i1 S ik+1 E 0 halmazt vesszük, ezek számának eloszlását jelölje N. Az N valószín ségi változó lehet olyan, hogy az F véletlen önhasonló halmaz pozitív valószín séggel az üreshalmaz. Ilyen konstrukcióval kapjuk a perkoláció fraktálokat. A véletlen megjelenhet egyszerre mindkét helyen, egy még általánosabb deníciót adva. A denícióban feltesszük, hogy a konstrukció során újonnan megjelen valószín ségi változók minden lépésben függetlenek, így olyan halmazokat kapunk, amelyek statisztikusan önhasonlóak. Ez azt jelenti, hogy minden így deniált véletlen halmaz 1 valószín séggel el állítható olyan hozzá hasonló részhalmazainak egyesítéseként, amelyeknek az eloszlása a hasonlóságtól eltekintve megegyezik a halmazéval. Egy önhasonló halmaz dimenzióját az alábbi tétel segítségével határozhatjuk meg: Tétel: [2, 9.3. Tétel],[4, 4.14. Tétel] Legyenek {S i : 0 i m 1} kontraktív hasonlóságok, az S i hasonlóság arányát jelölje c i. Legyen F az az egyértelm en meghatározott nem üres, kompakt halmaz, amire F m 1 i0 S if. Ha a hasonlóságok teljesítik a nyílt halmaz feltételt, azaz van olyan V nem üres, korlátos nyílt halmaz, amire az S 0 V,..., S m 1 V halmazok diszjunktak, és mindegyik része V -nek, akkor az F halmaz Hausdor- és box dimenziója az az s nemnegatív 3

valós szám, amire m 1 i0 cs i 1. Hasonló tétel igaz a véletlen önhasonló halmazokra is. Be fogjuk bizonyítani, hogy az F véletlen önhasonló halmaz 0 q 1 valószín séggel az üreshalmaz, ahol q csak az N eloszlásától függ. Ha q > 0, és a véletlen hasonlóságokra 1 valószín séggel teljesül a nyílt halmaz feltétel, akkor az F feltétel mellett az F halmaz Hausdor-dimenziója majdnem biztosan { N 1 dim H F min α : E i0 C α i } 1. A dolgozat célja a véletlen fraktálok dimenziójáról szóló tételek, és az ezek bizonyítására használt módszerek bemutatása. Az els fejezetben megvizsgáljuk a Brown-mozgást, aminek a pályája egy statisztikusan önhasonló halmaz, és bebizonyítunk egy tételt a pályájának, és egyet a grakonjának dimenziójáról [2], [3]. A bizonyítások során a dimenzió alsó becsléséhez egy megfelel en választott véletlen mérték s-energiájáról mutatjuk meg, hogy véges várható érték, ezt a módszert a következ fejezetben is használni fogjuk. A második fejezetben deniáljuk a véletlen Cantor-halmazt, és bebizonyítjuk a véletlen önhasonló halmaz dimenziójáról szóló tételt ebben a speciális esetben [2]. A harmadik fejezetben deniáljuk a perkoláció-fraktálokat. A denícióhoz rögzítenünk kell a d 1 és m 2 egész számokat és a 0 < p < 1 valószín séget. A [0, 1] d R d egységkockából kiindulva minden lépésben felosztjuk az összes meglév kockát m d darab rácskockára, és ezek közül mindegyiket egymástól függetlenül p valószín séggel megtartjuk, 1 p valószín séggel elhagyjuk. Az F p perkoláció fraktál azokból a pontokból áll, amiket minden lépésben megtartottunk. El ször bebizonyítjuk a véletlen önhasonló halmazok dimenziójáról szóló tételt ebben a speciális esetben is [3], a bizonyítás során felhasználjuk egy halmaz box és Hausdordimenziója közötti egyenl tlenséget. A fejezet második részében bebizonyítunk két tételt, amely a perkoláció fraktálok összefügg ségér l szól kis, illetve nagy p esetén, majd kimondunk egy általánosabb tételt az összefügg ségükr l [2]. A negyedik fejezetben deniáljuk a fafraktálokat, és bebizonyítunk egy tételt, amely kapcsolatot teremt a dimenziójuk és a végtelen fákon lehetséges maximális folyamnagyság között. Deniáljuk a GaltonWatson hálózatokat, amik statisztikusan önhasonló véletlen gráfok súlyozott élekkel, és bebizonyítjuk Falconer tételét az ezeken lehetséges maximális folyamnagyságról. Ezután deniáljuk a véletlen önhasonló halmazoknál általánosabb GaltonWatson fraktálokat, végül a fenti két tétel segítségével bebizonyítjuk a GaltonWatson-fraktálok dimenziójáról szóló tételt [4], aminek speciális eseteként adódik a tétel véletlen önhasonló halmazokra. 4

Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témavezet mnek, Elekes Mártonnak az érdekes témát, a dolgozat alapos átnézését és az elkészítése során nyújtott segítségét. 5

1. fejezet A Brown-mozgás 1.1. Alapfogalmak A dolgozatban R d -beli véletlen halmazok eloszlását és dimenzióját vizsgáljuk. Az alábbi jelöléseket, deníciókat és tételeket mindegyik fejezetben használjuk. Egy A R d halmaz átmér jét jelölje A : sup{ x y : x, y A}, az A halmaz d dimenziós Lebesgue-mértékét jelölje LA. El ször megadjuk a Hausdor-dimenzió denícióját, és ismertetünk néhány tételt, amelyek nagy segítséget nyújtanak egy halmaz Hausdor-dimenziójának meghatározásában. 1.1.1 Deníció: Hausdor-mérték Legyen 0 s <. Tetsz leges A R d és δ > 0 esetén legyen Legyen { HδA s : inf H i s : H i R d, A i0 H s A : lim δ 0 H s δa az A halmaz s dimenziós Hausdor-mértéke. i0 } H i, H i < δ. Megmutatható, hogy minden s 0 esetén a H s halmazfüggvény mérték R d Borelhalmazain, ami a végtelen értéket is felveheti [4, 4. fejezet]. Könnyen látható, hogy ha az A R d Borel-halmaz Hausdor-mértéke valamilyen s esetén H s A <, akkor minden t < s esetén H t A 0 [4, 4.7. Tétel]. 1.1.2 Deníció: Hausdor-dimenzió Az A R d halmaz Hausdordimenziója dim H A sup{s : H s A > 0} sup{s : H s A } inf{t : H t A < } inf{t : H t A 0}. Az alábbi tételek a Hausfor-dimenzió becslésében nyújtanak segítséget. A tételeknek csak azt a változatát közöljük, amelyet a kés bbiekben használni fogunk. Az els két állítás közvetlenül adódik a denícióból. 6

1.1.3 Állítás: Legyen A R d és s 0. Ha minden ε > 0 esetén vannak olyan H i R d halmazok, amikre A H i és i0 H i s < ε, i0 akkor H s A 0, és ezért dim H A s. 1.1.4 Állítás: Legyenek A i R d, és tegyük fel, hogy minden i N esetén dim H A i s. Ekkor dim H i0 A i s. 1.1.5 Tétel: [2, 2.3. Állítás] Legyen A R d és legyen f : A R m Hölder-α függvény, azaz minden x, y A esetén teljesüljön valamilyen c > 0 konstanssal. Ekkor fx fy c x y α dim H fa 1 α dim HA. 1.1.6 Állítás: [2, 11.2. Állítás] Legyen az f : [0, 1] R függvény Hölder-α, valamilyen 0 α 1-val. Ekkor dim H graph f 2 α. 1.1.7 Deníció: Legyen µ mérték R d Borel-halmazain. A µ mérték s-energiája 1 I s µ : R d R x y dµxdµy. d s 1.1.8 Tétel: [2, 4.13. Tétel] Legyen A R d. Ha van olyan nem azonosan nulla µ Borel-mérték A-n, amire I s µ <, akkor dim H A s. Szükségünk lesz a valószín ségszámítás jól ismert alapfogalmaira, a bizonyítások szempontjából legfontosabb deníciókat és tételeket gy jtjük össze az alábbiakban. Ha mást nem mondunk, akkor a valószín ségi változók az Ω, A, P valószín ségi mez r l képeznek valamilyen X, B mérhet térbe. A valószín ségi változók közötti egyenl ségek és egyenl tlenségek 1 valószín séggel értend k. 1.1.9 Deníció: Legyen Ω, A, P valószín ségi mez, {F γ : γ Γ} az A tetsz leges részrendszerei. Azt mondjuk, hogy az {F γ : γ Γ} halmazrendszerek függetlenek, ha minden n 2 és γ 1,..., γ n Γ, B i F γi esetén P B 1 B n n i1 P B i. 1.1.10 Deníció: Azt mondjuk, hogy az Ω, A, P valószín ségi mez n értelmezett valószín ségi változók {X γ : γ Γ} rendszere független, ha az általuk generált σ- algebrák függetlenek. 1.1.11 Állítás: [1, 4.2. Tétel] Ha az {F γ : γ Γ} halmazrendszerek függetlenek, és mindegyikük zárt a véges metszet képzésre, akkor az általuk generált σ-algebrák is függetlenek. 7

1.1.12 Következmény: Ha az {F γ : γ Γ 0 Γ 1 } σ-algebrák függetlenek és Γ 0 Γ 1, akkor a σ γ Γ F 0 γ és a σ γ Γ F 1 γ σ-algebrák is függetlenek. 1.1.13 Deníció: Legyen X valószín ségi változó, és A B olyan mérhet halmaz, amire P X A > 0. Ekkor az X feltételes eloszlása az A feltétel mellett az a ν valószín ségi mérték B-n, amire minden B B esetén νb P X B A P X A B. P X A 1.1.14 Deníció: Legyen X valós érték, véges várható érték valószín ségi változó, F A σ-algebra. Az X F-re vett feltételes várható értéke az a P -majdnem mindenhol egyértelm en meghatározott EX F : Ω R, F-mérhet valószín ségi változó, amire minden B F esetén B EX FdP B XdP. RandonNikodym deriváltak segítségével megmutatható, hogy a feltételes várható érték valóban létezik, és az alábbi tulajdonságai amelyekre a kés bbiekben szükségünk lesz a deníció közvetlen következményei, bizonyításaik megtalálhatóak [1]-ben. 1.1.15 Állítás: Legyenek X és Y véges várható érték valószín ségi változók, F A σ-algebra. Ekkor teljesülnek az alábbiak: a minden c 1, c 2 R esetén Ec 1 X + c 2 Y F c 1 EX F + c 2 EY F, b EEX F EX, c ha X F-mérhet, akkor EX F X, d ha az X által generált σ-algebra független F-t l, akkor EX F EX, e ha XY véges várható érték és Y F-mérhet, akkor EXY F Y EX F. 1.1.16 Deníció: Az X k, F k k N sorozat martingál, ha minden k N esetén X k változó, valós érték, véges várható érték valószín ségi F 0 F 1 A σ-algebrák, X k F k -mérhet, EX k+1 F k X k. 1.1.17 Tétel: Martingál konvergencia [1, 35.5. Tétel] Ha X k, F k k N martingál és sup k N E X k <, akkor X k 1 valószín séggel konvergens. 1.1.18 Tétel: Ha X k, F k k N martingál és minden k N esetén X k 0, akkor X k 1 valószín séggel konvergens. 1.1.19 Állítás: [1, 25.12. Tétel következménye] Legyenek X és X k k 1 valós érték valószín ségi változók és p > 1. Ha k esetén X k X 1 valószín séggel és sup k N E X k p <, akkor k esetén EX k EX. 8

1.2. A Brown-mozgás A Brown-mozgás, vagy más néven Wiener-folyamat egy olyan valószín ségi változó, ami a [0, R n függvények terébe képez, azaz a Brown-mozgás deníciója megad egy valószín ségi mértéket a [0, R n függvények terén. A deníciót el ször n 1 dimenzió esetén adjuk meg, majd ennek segítségével az általános esetben. Jelölje Nµ, σ 2 a µ várható érték, σ 2 szórásnégyzet normális eloszlást. 1.2.1 Deníció: Brown-mozgás Legyen {Xt, t 0} olyan véletlen folyamat, amire az alábbiak teljesülnek: a 1 valószín séggel X0 0, b minden t 0 és h > 0 esetén az Xt + h Xt növekmény eloszlása N0, h, c ha 0 t 1 t 2m, akkor az Xt 2 Xt 1,..., Xt 2m Xt 2m 1 növekmények függetlenek, d a t Xt függvény 1 valószín séggel folytonos. Megmutatható, hogy létezik olyan folyamat, amire a fentiek teljesülnek [6, 1.3. Tétel], [1, 37.1. Tétel]. A denícióból látszik, hogy Xt eloszlása N0, t, és hogy a folyamat stacionárius növekmény, azaz Xt + h Xt eloszlása minden t esetén ugyanolyan. 1.2.2 Deníció: d dimenziós Brown-mozgás Az {X 1 t,..., X d t, t 0} folyamatot d dimenziós Brown-mozgásnak nevezzük, ha minden 1 i d esetén X i t 1 dimenziós Brown-mozgás és minden 0 t 1,..., t d esetén az X 1 t 1,..., X d t d eloszlások függetlenek. Legyen Xt X 1 t,..., X d t d dimenziós Brown-mozgás. Mivel X i t + h X i t eloszlása N0, h, ezért tetsz leges a i < b i esetén P X i t + h X i t [a i, b i ] 2πh 1 2 bi a i exp x2 i dx i. 2h A függetlenség miatt tetsz leges T [a 1, b 1 ] [a d, b d ] tégla esetén P Xt + h Xt T 2πh d 2 d i1 T bi 2πh 1 2 exp a i x 2 dx, 2h exp x2 i dx i 2h ahol x x 1,..., x d. Ez az egyenl ség T helyett könnyen láthatóan tetsz leges Borel-halmazra is igaz, így az origó közep, ρ sugarú gömbre is. Polárkoordinátákra áttérve kapjuk, hogy ρ P Xt + h Xt ρ ch d 2 r d 1 exp r2 dr, 2h 9 0

ahol c 2π d 2 a d, ahol a d jelöli az d dimenziós egységgömb felszínét. A fenti integrálok segítségével bebizonyíthatóak az alábbiak: A d dimenziós Brown-mozgás izotróp, azaz minden irányban ugyanolyan az eloszlása. Ha 0 < γ, akkor γ 1 2 Xγt és Xt eloszlása minden t esetén megegyezik. A Brown-mozgás statisztikusan önhasonló, ugyanis az {Xt : 0 t T } és {Xt : 0 t γt } folyamatok a γ 1 2 skálaparamétert l eltekintve ugyanolyan eloszlásúak. A Brown-mozgás pályája egy véletlen halmaz R d -ben. Meg fogjuk mutatni, hogy ennek a halmaznak a Hausdor-dimenziója d 2 esetén 1 valószín séggel 2. A bizonyítás során a dimenzió alsó becslésére használt módszert más véletlen halmazok esetén is alkalmazni fogjuk. A dimenzió fels becsléséhez szükségünk lesz az alábbi állításra: 1.2.3 Állítás: Legyen 0 < λ < 1. Az Xt d dimenziós Brown-mozgásra 1 2 valószín séggel minden 0 t 1 esetén teljesül a Xt + h Xt cλ h λ h < H 0 Hölder-egyel tlenség valamilyen cλ konstanssal és véletlen 0 < H 0 -lal. Bizonyítás: Tetsz leges 0 t és 0 < h esetén P Xt + h Xt > h λ ch d 2 1 c u d 1 exp h λ 2 1 c 1 exp u2 h λ du 2 c 1 2 h λ 1 2 c 2 h 2. r d 1 exp r2 dr 2h h λ 1 2 exp u du Az 1 egyenl séget u rh 1 2 helyettesítéssel kapjuk, a 2 egyenl tlenség az u d 1 exp u2 és exp u függvények konvergenciasebességéb l következik u 2 esetén. Tekintsük az [m 12 j, m2 j ] [0, 2] bináris intervallumokat, és legyen A k : { Xm2 j Xm 12 j > 2 jλ valamilyen j k és 1 m 2 j+1 esetén}. Ekkor a fenti egyenl tlenség alapján P A k c 2 jk 2 j+1 2 2j c 2 2 k+2, amib l k1 P A k < következik. A Borel-Cantelli lemma alapján P végtelen sok j és 1 m 2 j+1 van, amire Xm2 j Xm 12 j > 2 jλ P lim sup A k 0, 10

azaz 1 valószín séggel van olyan N egész szám, hogy minden j N és 1 m 2 j+1 esetén Xm2 j Xm 12 j 2 jλ. Legyen h < H 0 : 2 N és t [0, 1]. Ekkor a [t, t + h] [0, 2] intervallum a végpontjaitól eltekintve felírható megszámlálható sok [m 12 j, m2 j ] alakú intervallum uniójaként, ahol 1 m 2 j és 2 j h, az intervallumok belseje diszjunkt, és minden intervallumhossz legfeljebb kétszer fordul el. Ha k a legkisebb egész, amire 2 k h, akkor X folytonosságát felhasználva azt kapjuk, hogy 1 valószín séggel Xt + h Xt 2 jk 2 jλ 2 kλ 2 2hλ 1 2 λ 1 2. λ 1.2.4 Tétel: Ha d 2, akkor az d dimenziós Brown-mozgás pályájának Hausdor dimenziója 1 valószín séggel 2. Azaz az X [0, véletlen halmazra 1 valószín séggel dim H X [0, 2. esetén az Xt függvény Bizonyítás: Az el z állítás szerint minden λ < 1 2 1 valószín séggel lokálisan Hölder-λ, azaz minden t-nek van olyan U t környezete, amire az 1.1.5. Állítás szerint dim H XU t 1 dim λ H U t 1. Ez minden λ < 1-re λ 2 igaz, ezért 1 valószín séggel minden t 0 esetén dim H XU t 2. Mivel a [0, halmaz σ-kompakt, ezért vannak olyan t i 0 számok, amikre [0, i0 U t i. Az 1.1.4. Állítás alapján ebb l következik, hogy dim H X [0, 2. Az alsó becsléshez legyen 1 < s < 2. Rögzítsük t-t és h-t, és legyen Ezzel a jelöléssel pρ : P Xt + h Xt ρ ch d 2 E Xt + h Xt s 1 2 ch s 2 ch d 2 0 0 ρ 0 r d 1 s exp r2 2h w d s 2 2 exp w 2 0 r d 1 exp r s dpr dr dw c 1 h s 2. r2 2h dr. A Brown-mozgás segítségével R d -n természetes módon deniálhatjuk a µ véletlen mértéket: tetsz leges A R d esetén legyen µ ω A : L 1 {t : 0 t 1, X ω t A}, ahol L 1 az 1 dimenziós Lebesgue-mértéket jelöli. Ennek a mértéknek a tartója X ω [0, 1], és µ ω X[0, 1] 1. Mivel gxdµ ω x gx ω tdt minden g mérhet függvény esetén[1, 16.13. Tétel], ezért E 1 1 0 0 x y s dµxdµy E E Xt Xu s dtdu 11 1 1 0 0 1 1 0 0 Xt Xu s dtdu c 1 t u s 2 dtdu <.

Tehát 1 valószín séggel x y s dµxdµy <, az 1.1.8. Tétel szerint így dim H X[0, 1] s. Ez minden 1 < s < 2 esetén igaz, ezért dim H X[0, 1] 2. 1.2.5 Tétel: Az 1 dimenziós Brown-mozgás grakonjának Hausdor dimenziója 1 valószín séggel 1 1 2. Bizonyítás: A tételt az Xt véletlen függvény [0, 1] feletti grakonjára bizonyítjuk be. Mivel minden n N és t [0, 1] esetén az Xn + t Xn függvény eloszlása megegyezik az Xt függvény eloszlásával, ezért a grakon minden [n, n+1] alakú intervallum fölötti szakaszának dimenziója ugyanannyi. Ebb l az 1.1.4. Állítás alapján következik, hogy dim H graph X 1 1. 2 A fels becsléshez az 1.2.3 Hölder-egyenl tlenséget és az 1.1.6 Állítást használjuk. Ezekb l azt kapjuk, hogy minden 0 < λ < 1 esetén a gráf dimenziója 2 1 valószín séggel legfeljebb 2 λ, amib l 1 valószín séggel a dim H graph X 1 1 2 fels becslés adódik. Az alsó becsléshez legyen 1 < s < 1 1 2. Ekkor E Xt + h Xt 2 + h 2 s 2 r 2 + h 2 s 2 dpr ch 1 2 r 2 + h 2 s 2 exp r2 dr 0 2h 1 2 c wh + h 2 s 2 w 1 2 exp w dw 0 2 h c h 2 s 2 w 1 2 dw + wh s 2 w 1 2 dw 0 h c 1 h 1 2 s Deniáljuk R 2 -n az alábbi természetes véletlen mértéket, aminek a tartója a Brownmozgás grakonja: tetsz leges A R 2 esetén legyen µ ω A : L{0 t 1 : t, Xω t A}. Pitagorasz tételét és a fenti egyenl tlenséget használva kapjuk, hogy 1 E 0 1 1 0 0 E 1 0 x y s dµxdµy Xt Xu 2 + t u 2 s 2 dtdu E Xt Xu 2 + t u 2 s 2 1 1 0 0 c 1 t u 1 2 s dtdu <, 0 dtdu tehát a µ mérték s-energiája 1 valószín séggel véges. Ez minden 1 < s < 1 1 2 esetén igaz, ezért a Brown-mozgás grakonjának a dimenziója 1 valószín séggel legalább 1 1 2. 12

2. fejezet A véletlen Cantor-halmaz A jól ismert triadikus Cantor-halmazt úgy állítjuk el, hogy a [0, 1] intervallumból kiindulva minden lépésben mindegyik meglév intervallum helyett annak két részintervallumát vesszük, amelyek egy-egy végpontja megegyezik az eredeti intervalluméval, a hosszuk pedig annak 1 része. Ennek egy általánosítása, ha az 3 arány 1 helyett tetsz leges 0 < a < 1 szám. 3 2 A véletlen Cantor-halmazt is hasonló konstrukcióval állítjuk el, azonban az új intervallumok hossza véletlen. Ekkor nem feltétlenül teljesül az a tulajdonság, hogy a részintervallumok és az eredeti intervallum hosszának aránya állandó. Ehelyett most ezeknek az arányoknak az eloszlása fog minden intervallum esetén megegyezni. Megtartjuk azonban azt a tulajdonságot, hogy a két részintervallum diszjunkt. 2.0.6 Deníció: Rögzítsük az a és b valós számokat úgy, hogy 0 < a b < 1. 2 Jelölje I k1 {0, 1}k. Legyenek i 1,..., i k I esetén C i1,...,i k : Ω R olyan valószín ségi változók, amikre a következ k teljesülnek: 1 valószín séggel a C i1,...,i k b, C i1,...,i k,0, C i1,...,i k,1 eloszlása megegyezik C 0, C 1 eloszlásával, ha i 1,..., i k j 1,..., j l, akkor a C i1,...,i k,0, C i1,...,i k,1 és C j1,...,j l,0, C j1,...,j l,1 valószín ségi változók függetlenek. Legyenek i 1,..., i k I esetén I i1,...,i k a következ k teljesülnek: [0, 1] olyan zárt intervaumok, amikre I i1,...,i k 1 I i1,...,i k, I 0 bal végpontja a 0, I 1 jobb végpontja az 1, és I i1,...,i k 1 és I i1,...,i k 1,0 bal végpontja, illetve I i1,...,i k 1 és I i1,...,i k 1,1 jobb végpontja megegyezik, az intervallumok hossza véletlen, és tejesül rájuk, hogy I i1,...,i k k j1 C i 1,...,i j, azaz k > 1 esetén I i 1,...,i k I i1,...,i k 1 C i 1,...,i k. Legyen E 0 [0, 1] és E k i {0,1} I k i. Legyen F k0 E k, az így meghatározott F véletlen halmazt véletlen Cantorhalmaznak nevezzük. 13

2.0.7 Megjegyzés: A véletlen Cantor-halmaz statisztikusan önhasonló, azaz tetsz leges i I esetén F és F I i eloszlása az inf I i eltolás- és az I i skálaparamétert l eltekintve megegyezik. 2.0.8 Tétel: Az F véletlen Cantor-halmaz Hausdor dimenziója 1 valószín séggel dim F s, ahol s az E C s 0 + C s 1 1 egyenlet megoldása. Bizonyítás: A bizonyítás során el ször bevezetjük az X k k N, majd az X valószín ségi változókat. Az ezekr l bizonyított tulajdonságok segítségével fogjuk F dimenzióját el ször felülr l, majd alulról becsülni. A gt E C0 t + C1 t függvény a Lebesgue-tétel szerint folytonos, szigorúan monoton fogyó, g0 2, lim t gt 0, ezért egyértelm en létezik olyan s > 0, amire E C0 s + C1 s 1. Rögzítjük ezt az s-et. Legyen X 0 : 1 és k 1 esetén X k : I i1,...,i k s. i 1,...,i k {0,1} k Mivel I i1,...,i k k j1 C i 1,...,i j b k, ezért EX k 2 k b ks <. Legyen F k a {C i1,...,i j : i 1,..., i j {0, 1} j, 1 j k} valószín ségi változók által generált σ-algebra. Az X k+1 F k -ra vett feltételes várható értéke E X k+1 F k Ii1,...,i k s Ci s 1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 F k 1 i 1,...,i k {0,1} k E I i1,...,i k s E C s i1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 F k i 1,...,i k {0,1} k 2 I i1,...,i k s E C s i1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 i 1,...,i k {0,1} k 3 i 1,...,i k {0,1} k I i1,...,i k s E C s 0 + C1 s Xk, ezért X k, F k martingál. Az 1, illetve a 2 egyenl ség az 1.1.15. Állításban szerepl e, illetve d tulajdonságból, a 3 egyenl ség a C i1,...,i k,0, C i1,...,i k,1 és C 0, C 1 valószín ségi változók azonos eloszlásából következik. Mivel X k 0, ezért az 1.1.18. Állítás szerint létezik olyan P-majdnem mindenhol egyértelm en meghatározott X valószín ségi változó, hogy X k X 1 valószín séggel. 2.0.9 Állítás: EX k EX. 14

Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy EXk 2 korlátos, ehhez el ször becsüljük X2 k+1 F k- ra vett feltételes várható értékét: 2 EXk+1 F 2 k E I i1,...,i k s Ci s 1,...,i k,0 + C s Fk i 1,...,i k,1 i 1,...,i k {0,1} k + i 1,...,i k j 1,...,j k + 1 i 1,...,i k j 1,...,j k 3 < I i1,...,i k 2s E C s i1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 2 F k i 1,...,i k {0,1} k 2 I i1,...,i k s I j1,...,j k s E C s i 1,...,i k,0 + C s i 1,...,i k,1c s j 1,...,j k,0 + C s j 1,...,j k,1 F k 2 I i1,...,i k 2s E C s i1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 2 i 1,...,i k {0,1} k 2 I i1,...,i k s I j1,...,j k s E C s i 1,...,i k,0 + C s i 1,...,i k,1 E C s j1,...,j k,0 + C s j 1,...,j k,1 i 1,...,i k {0,1} k I i1,...,i k 2s λ + 1 + i 1,...,i k j 1,...,j k {0,1} k 2 I i1,...,i k s I j1,...,j k s i 1,...,i k {0,1} k I i1,...,i k 2s λ + X 2 k. Az 1 egyenl ség az 1.1.15. Állításban szerepl e tulajdonságból, a 2 egyenl ség az 1.1.15. Állításban szerepl d tulajdonságból és Ci s 1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 és Cj s 1,...,j k,0 + Cj s 1,...,j k,1 függetlenségéb l adódik. A 3 egyenl tlenség azért igaz, mert E2Ci s 1,...,i k,0ci s 1,...,i k,1 < 1 és λ : ECi 2s 1,...,i k,0 + Ci 2s 1,...,i k,1, így E Ci s 1,...,i k,0 + Ci s 1,...,i k,1 2 < λ + 1. Az X 2 k várható értékére a fenti egyenl tlenséget felhasználva azt kapjuk, hogy EXk+1 2 EXk 2 + E I i1,...,i k 2s λ i 1,...,i k {0,1} k EX 2 k + λ i 1,...,i k {0,1} k E 2 EX 2 k + λ k j1 C 2s i 1,...,i j 1 EX 2 k + λ k i 1,...,i k {0,1} k j1 k i 1,...,i k {0,1} k j1 EC 2s i 1,...,i j k ECi 2s j EXk 2 + λ EC0 2s + EC1 2s EX 2 k + λ k+1, ahol az 1 egyenl ség a C i1,...,i j -k függetlenségéb l adódik, a 2 egyenl ség pedig abból, hogy C i1,...,i j eloszlása megegyezik C ij eloszlásával. 15

Felhasználva, hogy λ EC 2s i 1,...,i k,0 + C 2s i 1,...,i k,1 < 1, tetsz leges k-ra adódik a következ fels becslés: EX 2 k EX 2 k 1 + λ k EX 2 0 + 1 + λ j : c < j1 k λ j Ez k-tól független fels korlát, tehát EX 2 k k N korlátos. Ebb l az 1.1.19. Állítás alapján következik, hogy EX lim k EX k. 2.0.10 Állítás: P 0 < X < 1. Bizonyítás: Mivel 1 valószín séggel X lim k X k 0 és EX lim k EX k EX 0 1, ezért P 0 X < 1 és P X > 0 > 0. Mivel { } {X 0} lim I 0,i1,...,i k s 0 k i 2,...,i k {0,1} k 1 { } lim I 1,i1,...,i k s 0 k i 2,...,i k {0,1} k 1 és a jobb oldali két esemény független, ezért a statisztikus önhasonlóság miatt P X 0 P X 0 2. Ebb l P X 0 < 1 miatt következik, hogy P X 0 0. Az állítás alapján P 0 < X < 1, az X k deníciója miatt P 0 < X k < 1, ezért léteznek olyan M 1 és M 2 valószín ségi változók, hogy minden k esetén 0 < M 1 X k M 2 <. A fenti állítások segítségével bebizonyítjuk a tételt. 1 dim H F s: Legyen 0 < δ tetsz leges. Minden i {0, 1} k esetén I i b k < 2 k. Ha k ln δ, ln 2 akkor I i < δ, ezért igaz az alábbi fels becslés: HδF s I i s X k M 2, i {0,1} k amib l H s F M 2 <, így dim H F s 1 valószín séggel. j1 2 dim H F s: El ször deniálunk egy véletlen mértéket R-en, aminek a tartója F. Legyen Ω Ω az az esemény, hogy a lim I i1,...,i n k+n s i k+1,...,i k+n {0,1} n 16

határérték minden i 1,..., i k I esetén létezik és pozitív. Mivel i k+1,...,i k+n {0,1} n I i1,...,i k+n s I i1,...,i k s i k+1,...,i k+n {0,1} n j1 n Ci s 1,...,i k+j, és a jobb oldalon álló összeg eloszlása megegyezik X n eloszlásával, ezért minden rögzített i 1,..., i k I esetén a fenti határérték 1 valószín séggel létezik és pozitív. Az I halmaz megszámlálható, ezért P Ω 1. Rögzítsünk egy ω Ω -t. Jelölje R az R : {I i ω F ω : i I} halmaz által generált algebrát F ω-án. Mivel bármely két R-beli halmaz különbsége el állítható véges sok, diszjunkt R- beli halmaz egyesítéseként, ezért R pontosan az R-beli halmazok véges, diszjunkt egyesítéseib l áll. Legyen µ ω I i1,...,i k ω F ω : lim n i k+1,...,i k+n {0,1} n I i1,...,i k+n ω s Az így meghatározott µ ω halmazfüggvény R-en additív, és kiterjeszthet R-re is additívan. A kiterjesztés jól deniált, ugyanis egy R-beli halmaz bármely két el állítása esetén van olyan k N, hogy az el állításokban szerepl mindegyik halmaz egyértelm en felírható {I i ω F ω : i {0, 1} k }-beli diszjunkt halmazok egyesítéseként. Az R-beli halmaznak ez a nomabb felbontása egyértelm, és az ez által meghatározott µ ω mérték megegyezik a másik két el állítás által meghatározott mértékkel. Jelöljük az R-re kiterjesztett függvényt is µ ω -val. A µ ω halmazfüggvény mérték R-en, ehhez belátjuk, hogy egy R-beli halmaz csak úgy állhat el ilyenek diszjunkt egyesítéseként, ha az véges egyesítés. Az I i halmazok deníciója miatt minden I i ω F ω halmaznak van olyan U i nyílt környezete, hogy ha I i ω I j ω, akkor U i U j. Ha I i ω F ω az I j ω F ω, j J diszjunkt halmazok egyesítése, akkor az U j, j J halmazok az I i ω F ω kompakt halmaz diszjunkt fedését adják, ezért J csak véges lehet. Az R halmaz az F ω Borel-halmazainak egy bázisa, ezért a µ ω mérték R-r l egyértelm en kiterjeszthet az F ω Borel-halmazaira. Ezt az egyértelm kiterjesztést jelölje µ ω. A µ ω mértéket terjesszük ki az R Borel-halmazaira úgy, hogy µ ω R \ F ω 0 legyen, az így kapott µ ω egy olyan Borel-mérték R-en, aminek a tartója F ω. Ez a deníció 1 valószín séggel megadja a µ véletlen mértéket az R Borelhalmazain. 2.0.11 Lemma: Minden i 1,..., i k 1 I esetén E µi i1,...,ik 1,0µI i1,...,ik 1,1 Fk I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s. Bizonyítás: Rögzítsük i 1,..., i k 1 I-t és jelölje I 0 n : {i 1,..., i k+n : i k 0, i k+1,..., i k+n {0, 1} n } és 17.

Vezessük be az Y 0 n : I 1 n : {i 1,..., i k+n : i k 1, i k+1,..., i k+n {0, 1} n }. n i 1,...,i k+n In 0 j1 C s i 1,...,i k+j és Y 1 n : n i 1,...,i k+n In 1 j1 C s i 1,...,i k+j jelöléseket. Az Yn 0 n N és Yn 1 n N eloszlások függetlenek, megegyeznek egymással és az X n n N eloszlásával, és mindkett független az F k σ-algebrától. Ezeket a tulajdonságokat felhasználva a lemma állításában szerepl feltételes várható értékre az adódik, hogy E µi i1,...,ik 1,0 F µi i1,...,ik 1,1 F Fk E lim n E i 1,...,i k+n I 0 n lim n I i1,...,i k+n s i 1,...,i k+n I 1 n I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s Yn 0 Yn 1 Fk E I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s lim Yn 0 Yn 1 F k n 1 I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s E lim Yn 0 Yn 1 F k n 2 I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s E lim Yn 0 Yn 1 n I i1,...,i k+n s Fk 3 I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s E lim Yn 0 E lim Yn 1 n n 4 I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s. Az 1 egyenl ség az 1.1.15. Állítás e részéb l következik. A 2 egyenl ség azért igaz, mert lim n Yn 0 Yn 1 méret a σ {σc i : i n1 I0 n In} 1 σ-algebrára nézve, ami az 1.1.12. Következmény szerint független F k -tól. A 3 egyenl ség hasonlóan n1 I1 n} σ-algebrák adódik a σ {σc i : i n1 I0 n} és σ {σc i : i függetlenségéb l. A 4 egyenl ség azért igaz, mert Elim Yn 0 Elim Y 1 Elim X n EX 1. n Jelölje x, y F, x y esetén x y : I i1,...,i k 1, ha x, y I i1,...,i k 1 és I i1,...,i k 1,0 és I i1,...,i k 1,1 mindegyike pontosan az egyiket tartalmazza x és y közül. Legyen d : 1 2b > 0, ekkor x y d x y. Legyen 0 < t < s tetsz leges. A feltételes várható érték tulajdonságait és a fenti lemmát felhasználva azt kapjuk, hogy E x y t dµxdµy F k x yi i1,...,i k 1 E 2 x I i1,...,i k 1,0 y I i1,...,i k 1,1 x y t dµxdµy F k 18

E 2d t I i1,...,ik 1 t µi i1,...,ik 1,0µI i1,...,ik 1,1 Fk 2d t I i1,...,i k 1 t E µi i1,...,ik 1,0µI i1,...,ik 1,1 F k 2d t I i1,...,i k 1 t I i1,...,i k 1,0 s I i1,...,i k 1,1 s 2d t I i1,...,i k 1 2s t Ezt felhasználva a µ mérték t-energiájának várható értékére a következ fels becslést kapjuk: EI t µ E x y t dµxdµy k1 E k1 i {0,1} k 1 E 2d t E Ii 2s t i {0,1} k 1 k 1 2d t k1 i {0,1} k 1 j1 F F x y t dµxdµy F k x yi i k 1 2d t k1 i {0,1} k 1 j1 E C 2s t i j 2d t k1 < E C s 0 + C1 s 1. E C 2s t i 1,...,i j E k. C0 2s t + C1 2s t Ez az összeg véges, mert E C0 2s t + C1 2s t Tehát EI t µ <, ezért 1 valószín séggel I t µ <. Ebb l az 1.1.8. Tétel alapján következik, hogy dim H F t. Ez igaz minden t < s esetén, ezért 1 valószín séggel dim H F s. 19

3. fejezet Perkoláció-fraktálok 3.1. Perkoláció-fraktálok dimenziója A perkoláció-fraktál konstrukciójához rögzítenünk kell egy m 2 egész számot és egy 0 < p < 1 valószín séget. Az [0, 1] d R d egységkockát felosztjuk m d darab 1 rácskockára, és ezek közül mindegyiket egymástól függetlenül p valószín séggel m tartjuk meg. Minden további lépésben a megmaradt kockákat ismét m d darab rácskockára bontjuk, és ezek mindegyikét egymástól függetlenül p valószín séggel tartjuk meg. A perkoláció fraktál a minden lépésben megmaradó pontokból áll. A meglév kockák helyett minden lépésben hozzá hasonló kockákat veszünk, és ennek a hasonlóságnak az aránya állandó. Most azonban véletlen, hogy mennyi kisebb kocka marad az eredeti helyett. Nyilvánvaló, hogy pozitív annak a valószín sége, hogy a perkoláció fraktál az üreshalmaz. El ször bebizonyítunk egy tételt arról, hogy mekkora ez a valószín ség. 3.1.1 Deníció: Legyen m 2 egész szám, 0 < p < 1, és jelölje I k : {0, 1,..., m 1} kd, illetve I : k1 I k. Legyenek C i, i I olyan független, azonos eloszlású valószín ségi változók, amikre P C i 1 p, P C i 0 1 p. k i Jelölje x i1,...,i kd : l 1d+1 l1,..., k i ld m l l1 R d, legyenek J m l i1,...,i kd : 1 x i1,...,i kd + [0, ] d R d rácskockák, és legyenek m k { ha k N i1,...,i kd : l1 C i 1,...,i 0 ld J i1,...,i kd ha k l1 C i 1,...,i ld 1. Legyen E 0 : [0, 1] d, k 1 esetén pedig E k : i I k N i. Legyen F p : k1 E k. Az így meghatározott F p véletlen halmazt perkoláció fraktálnak nevezzük. 3.1.2 Megjegyzés: Jelölje j j 1,..., j nd I és i 1,..., i kd I esetén Legyen { ha k N i1,...,i kd j : l1 C j 1,...,j nd,i 1,...,i 0 ld J j1,...,j nd,i 1,...,i kd ha k l1 C j 1,...,j nd,i 1,...,i ld 1. E k j : i I k N i j és F p j : E k j. k1 20

Az F p j véletlen halmazt úgy kapjuk, hogy az F p konstrukcióját a J j rácskockából kiindulva kezdjük el. Az így deniált halmazokra igazak az alábbiak: j I n esetén az F p j halmaz eloszlása minden h I l, l n esetén független C h -tól, j I n esetén az F p j halmaz eloszlása az 1 m n skála- és az x j eltolásparamétert l eltekintve megegyezik F p eloszlásával, minden n 1 esetén F p j I n Fp j N j. 3.1.3 Tétel: A perkoláció fraktál q P F p valószín séggel elt nik, ahol q a t 1 p + pt md egyenlet legkisebb nemnegatív megoldása. Bizonyítás: A 3.1.2. Megjegyzés alapján { P F p P Fp i N i } i I 1 { P Ni vagy N i J i és F p i } i I 1 i I 1 P Ci 0 + P C i 1P F p i i I 1 1 p + pp Fp fp F p, azaz P F p megoldása az ft t egyenletnek. Hasonlóan kapjuk, hogy P E k i I 1 P N i + P N i J i és E k i i I 1 P Ci 0 + P C i 1P E k i 1 p + pp E k 1 f P E k 1, i I 1 azaz fp E k 1 P E k. Az E k események valószín ségeire igaz az is, hogy 0 P E 0 < P E 1 < < P F p. Mivel F p kompakt halmazok fogyó sorozatának metszete, ezért P F p P k0 {E k } lim k P E k. Ha 0 t < P F p, akkor van olyan k 1, hogy P E k 1 t < P E k. Mivel az ft függvény szigorúan monoton n, ezért t < P E k fp E k 1 ft, 21

tehát 0 t < P F p esetén t ft, azaz P F p a t ft egyenlet legkisebb nemnegatív megoldása. A perkoláció fraktál dimenziójáról szóló tétel bizonyításához szükségünk lesz a box-dimenzió deníciójára és egy állításra a Hausdor- és box-dimenzió kapcsolatáról. 3.1.4 Deníció: Box dimenzió Legyen F R d nem üres, korlátos részhalmaz. Az F halmaz alsó illetve fels box dimenziója dim B F lim inf δ 0 log N δ F log δ, illetve dim B F lim sup δ 0 log N δ F log δ, ahol N δ F az F -et fed, δ sugarú gömbök minimális száma. Ha dim B F dim B F, akkor ezt az F halmaz box dimenziójának nevezzük, és dim B F -fel jelöljük. Megmutatható, hogy igaz az alábbi: 3.1.5 Állítás: Az F R d nem üres, korlátos részhalmaz. Az F halmaz alsó illetve fels box dimenziója dim B F lim inf k 0 log N k F log δ, illetve N k F az F -et metsz, 1 m k dim B F lim sup k 0 3.1.6 Állítás: Legyen F R d, ekkor log N k F log δ, oldalú rácskockák száma. dim H F dim B F dim B F. 3.1.7 Tétel: Ha p 1, akkor P F m d p 1. Ha 1 < p < 1, akkor 0 < q P F m d p < 1 és 1 q valószín séggel dim H F p dim B F p log md p log m d + log p log m. Bizonyítás: Jelölje gt : ft t, a 3.1.3. Tétel alapján q P F p ennek a függvénynek a legkisebb nemnegatív zérushelye. A gt függvény folytonos, végtelen sokszor deriválható, g t m d p1 p + pt md 1 1 g t m d m d 1p 2 1 p + pt md 2. Mivel g t > 0, ezért g t szigorúan monoton növ. 22

Ha p 1, akkor g 1 m d p 1 0, ezért g t < 0 minden t < 1 esetén, m d azaz a gt függvény szigorúan monoton fogyó. Mivel g1 0, ezért t < 1 esetén gt > 0. Ha p > 1, akkor g 1 m d p 1 > 0. A g t függvény folytonossága és szigorú m d monoton csökkenése miatt van olyan t 0 < 1, hogy t [t 0, 1] g t 0 g monoton növ t-ben. Mivel g0 1 p md > 0 g1, ezért t 0 > 0 és gt 0 < 0. Mivel a gt függvény [0, t 0 -on szigorúan monoton fogyó, ezért van pontosan egy 0 < q < t 0, amire gq 0. A dimenzió becslése során be fogjuk látni, hogy dim B F p d + log p, és hogy log m d + log p dim log m H F p. Ezekb l a 3.1.6. Állítás alapján következik, hogy dim B F p d + log p log m : dim H F p dim B F p d + log p log m. Jelölje L k azon j I k indexek számát, amikre J j F p. Ekkor EL k E 1 {Jj E k } E j I k 1 {Jj N i } i I k j I k 1 E 3 d 1 {Ni } 3 d P N i 3 d m kd p k. i I k i I k Az 1 egyenl tlenség abból adódik, hogy minden i I k esetén legfeljebb 3 d olyan j I k index van, amire J j J i. Legyen λ > m d p, ekkor a Markov-egyenl tlenség alapján azt kapjuk, hogy P L k λ k k1 3 d m d p k <. λ k k1 Ebb l a BorelCantelli lemma alapján következik, hogy L k P lim sup k λ 1 k P lim sup{l k λ k } 0, k tehát lim sup L k λ k < 1 teljesül 1 valószín séggel. Ebb l F p box-dimenziójára azt kapjuk, hogy dim B F p lim sup k lim sup k log L k lim sup log mk k log λ log L k log m log λ < log λ k log m. Ez az egyenl tlenség minden λ > m d p esetén igaz, ezért log λ k log L k log m k log λ k dim B F p log md p log m d + log p log m. 23

3.1.8 Lemma: Legyen G E 0 [0, 1] d. Ekkor dim H G < log m 1 p 1 valószín séggel G F p. Bizonyítás: Legyen 0 < ε tetsz leges, és legyenek J i1, J i2,... i 1, i 2, I olyan kockák, amikre a j1 J i j G és b j1 U j log 1 m p < ε. Mivel egy U j kocka oldalának hossza U j d, ezért P G F p P U j F p j1 j1 p log m d U j U j log m p d 1 2 log m p < εd 1 2 log m p. j1 Ez minden 0 < ε esetén igaz, ezért 1 valószín séggel G F p. 3.1.9 Lemma: Legyenek F p és F β egymástól független perkoláció fraktálok. Ekkor az F p F β véletlen halmaz eloszlása megegyezik F pβ eloszlásával. Bizonyítás: Jelölje minden i I esetén C p i, Cβ i, illetve Cpβ i az F p, F β, illetve F pβ perkoláció-fraktált generáló valószín ségi változókat. A függetlenség miatt a C p i Cβ i i I és C pβ i eloszlások megegyeznek. i I Mivel minden i i 1,..., i k I esetén N p i N β i k j1 Cp i 1,...,i j Cβ i 1,...,i j 1, ezért az N p i N β i i I és N pβ i eloszlások is megegyeznek, ezért az E p i I k Eβ k k N és az E pβ k eloszlások is, így az F k N p F β véletlen halmaz eloszlása megegyezik F pβ eloszlásával. dim H F p d + log p log m : Legyen λ < d + log p. Legyen F log m p, illetve F β az Ω, A, P, illetve az Ω, A, P valószín ségi mez kön értelmezett perkoláció fraktálok, és legyen F p F β az Ω Ω, σa A, P P valószín ségi mez n értelmezett, értelemszer en deniált véletlen halmaz. Ha pβ > 1, akkor a 3.1.9. Lemma alapján m d P F p F β P F pβ > 0. Ebb l a Fubini-tétel alapján következik, hogy { P ω Ω : P { F p ω F β } } > 0 > 0. A 3.1.8. Lemmát az F p ω halmazra és az F β perkoláció fraktálra alkalmazva azt kapjuk, hogy P F p ω F β > 0 dim H F p ω log m 1 β, 24

azaz { ω Ω : P F p ω F β > 0 } { 1 } ω Ω : dim H F p ω log m. β Ebb l következik, hogy { 1 } P ω Ω : dim H F p ω log m β > 0. Ez minden β 1 pm d, 1 ] esetén igaz, ezért minden λ log m 1 β [ 0, P dim H F p λ > 0. A 3.1.2. Megjegyzés alapján azt kapjuk, hogy P dim H F p < λ i I 1 P dim H F p i N i < λ i I 1 P N i + P N i és dim H F p i < λ i I 1 P C i 0 + P C i 1P dim H F p i < λ log pmd log m esetén 1 p + pp dim H F p < λ m d f P dim H F p < λ. Azaz P dim H F p < λ megoldása az ft t egyenletnek. A gt ft t függvény [0, 1]-en szigorúan konvex, ugyanis g t m d m d 1p 2 1 p + pt md 2 > 0. Ebb l következik, hogy az ft t egyenletnek a [0, 1] intervallumon legfeljebb két megoldása lehet, ezek P F p és 1. Legyen 0 < λ < d + log p. Ekkor P dim log m H F p < λ az ft t egyenlet 1-nél kisebb megoldása, ezért Ez minden 0 < λ < d + log p log m P dim H F p < λ P F p. esetén igaz, ezért P dim H F p < d + log p P F p, log m és ezért P dim H F p d + log p 1 P F p P F p. log m 25

3.2. Perkoláció-fraktálok összefügg sége El ször azt mutatjuk meg, hogy ha p kicsi, akkor a perkoláció fraktál 1 valószín séggel teljesen összefüggéstelen. Ez az alábbi tétel következménye: 3.2.1 Állítás: Ha az F R d halmaz Hausdor-dimenziója dim H F < 1, akkor F teljesen összefüggéstelen, azaz az összefügg ségi komponensei egyelem ek. Bizonyítás: Legyen x és y F két tetsz leges, egymástól különböz pontja. Legyen f : R d R, fz : z x. fz fw z x x w z w Tehát f egy Lipschitz-1 függvény, ezért dim H ff dim H F < 1. Legyen r / ff, 0 < r < fy. Ilyen r létezik, mert az ff halmaz R egy H 1 szerint nullmérték része, ezért a komplementere, R \ ff s r R-ben. Ekkor F {z F : z x < r} {z F : z x > r} az F halmaz felbontása két diszjunkt, relatív nyílt részre, amelyek közül az egyik tartalmazza x-et, a másik y-t, tehát x és y különböz összefügg ségi komponensben vannak. 3.2.2 Következmény: Ha p < 1, akkor dim F m d 1 p biztosan, ezért 1 valószín séggel F p teljesen összefüggéstelen. log pmd log m < 1 majdnem A második tételünkben feltesszük, hogy d 2 és m 3, azaz síkbeli perkolációfraktálokkal foglalkozunk. Ha p elég közel van 1-hez, akkor nagy valószín séggel minden lépés után után a megmaradó halmaz összeköti az egységnégyzet két szemközti oldalát. Ez alatt azt értjük, hogy minden k N esetén van olyan f k : [0, 1] E k út, amire f k 0 els koordinátája 0, f k 1 els koordinátája 1. 3.2.3 Tétel: Legyen d 2, m 3. Legyen A p az az esemény, hogy minden k N esetén E k összeköti a [0, 1] [0, 1] négyzet jobb és bal oldalát. Ekkor lim P A p 1. p 1 Bizonyítás: Legyen el ször p rögzített. Legyen k 1, i I k. Az N i négyzetet telinek nevezzük, ha a {j I 1 : N i,j } halmaz legalább 8 elem. Ha N i teli, akkor bármely két oldala között vezet út. Ha N i és N j szomszédos, teli négyzetek, akkor N i N j, ezért N i N j bármely két oldala között vezet N i N j E k+1 -beli út. Az N i négyzetet 2-telinek nevezzük, ha a {j I 1 : N i,j teli} halmaz legalább 8 elem. Ha i, j I k és N i és N j szomszédos, 2-teli négyzetek, akkor a N i N j bármely két oldala között vezet N i N j E k+2 -beli út. Hasonlóan, az N i négyzetet l-telinek nevezzük, ha a {j I 1 : N i,j l 1-teli} halmaz legalább 8 elem. Ha i, j I k és N i és N j szomszédos, l-teli négyzetek, akkor a J i J j bármely két oldala között vezet N i N j E k+l -beli út. Ha E 0 l-teli, akkor van olyan E l -beli út, ami összeköti E 0 jobb és bal oldalát. Az az esemény, hogy E 0 l-teli, az alábbi három diszjunkt esemény uniója: 26

1. {N j, j I 1 } 9 elem halmaz és mindegyik eleme l 1-teli 2. {N j, j I 1 } 9 elem halmaz és az elemei közül pontosan 8 l 1-teli 3. {N j, j I 1 } 8 elem halmaz és mindegyik eleme l 1-teli Jelölje p l annak a valószín ségét, hogy E 0 l-teli. A statisztikus önhasonlóságot felhasználva a fenti események valószín ségeire kapjuk, hogy p l p 9 p 9 l 1 + p 9 9p 8 l 11 p l 1 + 9p 8 1 pp 8 l 1 Vizsgáljuk meg az f p függvényt. 9p 8 p 8 l 1 8p 9 p 9 l 1 : f p p l 1. f pt 72p 8 t 7 72p 9 t 8 72p 8 t 7 1 pt, f p t 727p 8 t 6 8p 9 t 7 72p 8 t 6 7 8pt, ezért az f p függvény [0, 1 7 ]-n szigorúan monoton növ és [0, ]-n szigorúan konvex, p 8p [ 7, 1 ]-n szigorúan konkáv. 8p p Jelölje r p : lim l p l. Mivel f p t 9p 8 t 8 8p 9 t 9 folytonos függvény, ezért r p lim l p l lim l f p p l 1 f p lim l p l 1 f p r p, azaz r p megoldása az f p t t egyenletnek. Mivel 1 : p 0 > p 1 > p 2 >..., ezért ha r p < t 1, akkor van olyan l N, hogy p l < t p l 1. Az f p függvény [0, 1]-en szigorúan monoton növ, ezért ekkor f p t f p p l 1 p l < t, tehát ft t. Ebb l következik, hogy r p az f p t t egyenlet legnagyobb megoldása [0, 1]-en. Mivel A p k1 {E 0 l-teli}, ezért 1 P A p lim l p l r p. Megmutatjuk, hogy lim p 1 r p 1, ebb l következik a tétel állítása. Vezessük be a g p t f p t t jelölést, ennek a függvénynek a legnagyobb zérushelyét keressük [0, 1]-en. El ször vizsgáljuk meg a g 1 függvényt. A fent kiszámoltak alapján [ 7, 1]-en szigorúan konkáv, g 1 7 > 0 > 8 g 11, ezért van pontosan egy 7 < m 8 1 < 1, amire 8 g 1m 1 0, azaz a g 1 [ 7 8,1] függvénynek m 1 -ben maximuma van. Mivel g 1 1 0, ezért g 1 m 1 > 0. Mivel g 1 7 < 0, ezért g 8 1-nek [ 7, 1]-en pontosan két gyöke van, az 8 egyik az 1, a másikat jelölje t 1. Mivel f p t f 1 pt és az f 1 függvény szigorúan monoton növ és folytonos, ezért ha p < p, akkor f p t < f p t, és lim p 1 f p t f 1 t. Ezek igazak f p t t g p t- re is, azaz ha p < p, akkor g p t < g p t, és lim p 1 g p t g 1 t minden t [0, 1] esetén. 27

A fentiek miatt van olyan ε > 0, hogy ha p 1 ε, 1, akkor g p m 1 > 0, és 7 < 7 < t 8 8p 1. Ekkor g p t 1 < 0, g p 1 < 0 és g p szigorúan konkáv [t 1, 1]-en, ezért g p - nek [t 1, 1]-en pontosan két zérushelye van, a nagyobbikról tudjuk, hogy r p, a másikat jelölje t p. A g p függvények folytonossága és egyenletes konvergenciája miatt lim t p t 1 és lim r p 1. p 1 p 1 3.2.4 Lemma: Ha minden k N esetén az E k halmaz összeköti az egységnégyzet jobb és bal oldalát, akkor az F p perkoláció fraktálnak van olyan összefügg ségi komponense, aminek az egységnégyzet jobb és bal oldalán is van pontja. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás. Ekkor vannak olyan V 0 és V 1 diszjunkt, nyílt halmazok, hogy F p V 0 V 1, és V 0 tartalmazza az egységnégyzet bal, V 1 pedig a jobb oldalát. Mivel az E 0 E 1... zárt halmazok mindegyike összeköti a négyzet szemközti oldalait, ezért minden k N esetén E k \ V 0 V 1 G k. A G k halmazok zártak, és G 0 G 1..., ezért k0 G k k0 E k \ V 0 V 1 F p \ V 0 V 1, ami ellentmondás. 3.2.5 Tétel: [2, 15.6. Tétel] Van olyan 1 3 p c < 1 szám, hogy ha 0 < p < p c, akkor F p 1 valószín séggel teljesen összefüggéstelen, ha pedig p c < p < 1, akkor F p -nek pozitív valószín séggel van olyan összefügg ségi komponense, ami összeköti az egységnégyzet két szemközti oldalát. 28

4. fejezet GaltonWatson hálózatok Ebben a fejezetben az eddigieknél általánosabb véletlen halmazokkal foglalkozunk. A GaltonWatson fraktálokat hasonlóan deniáljuk, mint az eddig bemutatott példákat. Kiindulunk egy kompakt halmazból, és minden lépésben a meglév halmazok helyett valahány kompakt részhalmazukat tartjuk meg. Most nem követeljük meg, hogy a megmaradó részhalmazok az eredetihez hasonlóak legyenek, és véletlen a megmaradó részhalmazok száma és nagysága. Az elhelyezkedésükr l is csak annyit követelünk meg, hogy a belsejeik diszjunktak legyenek. Azt azonban feltesszük, hogy a megmaradó részhalmazok száma és átmér iknek az eredetiéhez viszonyított aránya minden halmaz esetén ugyanolyan eloszlású. A GaltonWatson fraktálok dimenziójának vizsgálatához a fagráfokon deniálható folyamok nyújtanak segítséget. Az els részben bebizonyítunk egy tételt, ami kapcsolatot teremt a fafraktálok dimenziója és a gráfon lév maximális folyamnagyság között. A második részben deniáljuk a GaltonWatson hálózatokat, és bebizonyítunk egy tételt a túlélésük valószín ségér l, majd Falconer tételét a maximális folyamnagyságról. A harmadik részben az el z tételek segítségével belátjuk a GaltonWatson fraktálok dimenziójáról szóló tételt. 4.1. Fafraktálok dimenziója Legyen a T irányított gráfban V a csúcsok halmaza, E V V az éleké. A T irányított gráfot fának nevezzük, ha az alábbi tulajdonságokat teljesíti: A gráf összefügg, és nincsen benne kör. Pontosan egy olyan v V csúcs van, amire nincs olyan u csúcs, hogy u, v E. Ezt a csúcsot a fa gyökerének nevezzük, és ρ-val jelöljük. Minden v V \ {ρ} csúcsra pontosan egy olyan u csúcs van, amire u, v E. Ezt az u csúcsot a v csúcs sének nevezzük és v-sal jelöljük. Azokat az w csúcsokat, amikre v, w E, a v csúcs utódainak nevezzük. Minden csúcsnak véges sok utóda van. 29

Az olyan v 0, v 1, v 2,... sorozatokat, ahol v 0 ρ és minden i 1-re v i v i 1, végtelen ágnak nevezzük. A T fa végtelen ágainak halmazát T -vel jelöljük. Minden v csúcsra egyértelm en létezik irányított út ρ-ból v-be, jelölje v az ebben az útban szerepl élek számát. 4.1.1 Deníció: Legyen T egy fa. Minden v V csúcshoz tartozzon egy K v R d kompakt halmaz, amire a következ k teljesülnek: a K v int K v, b ha u, v E, akkor K u K v, c ha ū v és u v, akkor int K u int K v, d minden v 0, v 1, v 2,... T végtelen ágra lim k K vk 0, e c 1 : inf v ρ K v K v > 0. f c 2 : inf v Lint K v K v d > 0 Legyen F T : v 0,v 1,... T k1 K vk. Az F T halmazt a T fához és {K v : v V } halmazrendszerhez tartozó fafraktálnak nevezzük. 4.1.2 Deníció: Legyen adva a T fagráf élein egy G : E [0, kapacitásfüggvény. A Θ : E [0, c] függvényt c nagyságú folyamnak nevezzük, ha az alábbiak teljesülnek rá: w: wρ Θρ, w c, minden v ρ csúcsra w: wv Θv, w Θ v, v, minden e E csúcsra Θe Ge. 4.1.3 Deníció: A Π E halmazt vágásnak nevezzük, ha minden v 0, v 1,... T végtelen ágban van olyan v i csúcs, amire v i 1, v i Π. 4.1.4 Tétel: [6, 12.36. Tétel] A T fagráfon a G kapacitásfüggvény mellett sup { c : létezik c nagyságú folyam T -n } { } inf Ge : Π vágás. e Π 30

4.1.5 Tétel: Legyen F T a T V, E fához és {K v : v V } halmazrendszerhez tartozó fafraktál. Minden s 0 esetén legyen G s v, v Kv s K ρ s kapacitásfüggvény. Legyen Ekkor { } A : s : inf G s e 0 és Π vágás e Π B : { s : létezik a G s kapacitásfüggvényhez pozitív nagyságú folyam }. Bizonyítás: inf A sup B: dim H F T inf A sup B. Ha t > s, akkor minden e E él esetén G t e G s e, ezért minden Π vágás esetén e Π G te e Π G se, így ha s A, akkor t A. Tehát ha s > inf A, akkor inf Π vágás e Π G se 0, ha pedig s < inf A, akkor inf Π vágás e Π G se > 0. Ezekb l a 4.1.4. Tétel alapján következik, hogy ha s > inf A, akkor a gráfon nincs pozitív nagyságú folyam, azaz s / B, ha pedig s < inf A, akkor a gráfon van pozitív nagyságú folyam, azaz s B. dim H F T inf A: Ha Π egy vágás, akkor a {K v : v, v Π} halmazok lefedik F T -t, ugyanis minden x F T ponthoz van olyan v 0, v 1,... végtelen ág, hogy k0 K v k {x}. Ha s A, akkor tetsz leges ε > 0 esetén van olyan Π vágás, hogy a hozzá tartozó {K v : v, v Π} halmazokból álló fedésre K v s K ρ s G s v, v < K ρ s ε. v: v,v Π v,v Π Ebb l következik, hogy az F T halmaz s dimenziós Hausdor mértéke H s F T 0, így dim H F T s. Ez minden s A esetén igaz, ezért dim H F T inf A. dim H F T inf A: Legyen s > dim H F T tetsz leges. Minden 0 < ε < K ρ s esetén van olyan {H i : i I} fedése F T -nek, amire i I H i s < ε. Ekkor minden i I esetén H i < ε 1 s < K ρ. Rögzítsük a fedést, és i I esetén legyen Q i : {v V : K v H i < K v és K v H i F T }. Mivel minden v 0, v 1,... végtelen ág esetén lim k K vk 0 és H i < K ρ, ezért van az ágban pontosan egy olyan v csúcs, amire K v H i < K v. Ha a végtelen ág olyan, hogy k0 K v k {x} H i F T, akkor van az ágban pontosan egy olyan v csúcs, amire v Q i, ezért a {K v : v Q i } halmazrendszer fedése H i F T -nek. 31

Ha v és w a T gráf két csúcsa, akkor int K v int K w pontosan akkor, ha K v K w vagy K w K v, azaz ha van olyan ág a fában, amin a v és a w csúcs is rajta van. Mivel a Q i halmaz minden végtelen ágból legfeljebb egy csúcsot tartalmaz, ezért az {int K v : v Q i } halmazrendszer tagjai diszjunktak. Megmutatjuk, hogy a Q i halmaz véges. Jelölje β d a d dimenziós egységgömb térfogatát, ekkor β d 2 d H i d 1 L d U Hi H i 2 v Q i L d int K v 3 c 2 v Q i K v d 4 c 2 c d 1 H i d, v Q i amib l a Q i halmaz elemszámára az H i -t l független r : β d2 d c 2 c d 1 A fenti egyenl tlenségek a következ k miatt igazak: fels becslés adódik. 1 az H i halmaz H i sugarú nyílt környezete belefoglalható egy 2 H i sugarú gömbbe; 2 U Hi H i v Q i int K v, és a jobb oldal diszjunkt halmazok egyesítése; 3 a 4.1.1. Deníció f pontjából következik; 4 a 4.1.1. Deníció e pontja alapján K v c 1 K v > c 1 H i. Jelölje Q : i I Q i, ekkor a {K v : v Q} halmazrendszer az F T egy fedése. Minden végtelen ágban van olyan v csúcs, amire v Q, ezért a Π : { v, v : v Q} halmaz egy vágás. A Π vágáshoz tartozó G s kapacitásokra K ρ s G s e K v s K v s e Π v Q i I v Q i i I H i s r H i s < rε. v Q i i I Tehát s A, mert tetsz leges 0 < ε < K ρ s esetén van olyan Π vágás, amire G s e < e Π r K ρ s ε. Ez minden s > dim H F T esetén igaz, ezért dim H F T inf A. 4.1.6 Megjegyzés: A K v halmazok helyzetér l csak azt tettük fel, hogy a megfelel halmazok belsejei diszjunktak, illetve a megfelel halmazok tartalmazzák egymást. Ezen feltételek teljesülése esetén az F T fafraktál dimenziója nem függ a K v halmazok elhelyezkedésének további tulajdonságaitól, hiszen a tétel minden esetben ugyanazt a dimenziót adja. 32