Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
A metrikus tenzor Euklideszi geometria: d 2 s = i d 2 x i Koordinátázzuk át (x i x i ), ekkor dx i = j d 2 s = j,k = j,k dx x i j x j dx jdx x i x i k x j x k i g jk d x jdx k ahol g jk a metrikus tenzor. Spec. eset: g E jk = δ jk (ld. fenti képlet). g jk (x) görbevonalú esetben is meghatározza a tér geometriai tulajdonságait (távolságfogalom!), azaz a metrikáját.
Vektorok deriválása görbevonalú koordinátarendszerekben Euklideszi esetben egy V i vektor dv i dierenciálja vektor, a koordináták szerinti derivált V i / x k pedig tenzor. Görbevonalú rendszereknél ez nem igaz, mert a tér különböz pontjaiban az objektumok különböz képpen transzformálódnak. Keressünk egy általánosított vektor dierenciálási szabályt! Ehhez tudni kell 2 innitezimálisan közel lév vektort kivonni egymásból, amihez az egyiket el kell tolni a másik helyére. A dierenciálás képletének euklideszi határesetben vissza kell adnia a megszokott képleteket, azaz az eltolás csak olyan lehet, amely a koordinátákat változatlanul hagyja, azaz párhuzamos eltolás.
Párhuzamos eltolás Keressük a párhuzamos eltolás szabályát görbevonalú koordinátázás esetén! Egy x i pontban lév V i vektort helyezzünk át párhuzamosan egy x = x i + dx i pontba: V i = V i Γ i jk V k dx j Fejtsük sorba a két vektor különbségét! ( ) DV i (x) = V i (x + x) V V i i (x) = x j + Γi jk V k dx j A zárójelben lév mennyiség tenzor, egy vektor deriváltjának az általánosítása görbevonalú koordinátákra. Ezt hívjuk kovariáns deriváltnak: j V i = V i x j + Γi jk V k
Számoljuk ki egy tenzor kovariáns deriváltját! A tenzor deníciója alapján: m (v k u k ) = m Φ = x m Φ = vk x m u k + u k x m vk m (v k u k ) = ( m v k )u k + v k ( m u k ) = ( ) v k = x m + Γk lm vl u k + Összevetve ezeket: illetve: Γ k lm vl u k + Γ l km u lv k = 0 Γ k lm = Γk lm m u k = u k x m Γl km u l ( uk x m + Γ l km u l ) v k
Mit jelent a párhuzamos eltolás görbevonalú koordinátákban? Koordinátázzuk át euklideszivé a görbevonalú rendszerben adott vektorunkat (ha lehet)! Toljuk el párhuzamosan a vektort a kívánt pontba a megszokott módon, azaz a hossza és iránya ne változzon! A kapott vektort transzformáljuk vissza az eredeti rendszerbe, és nézzük meg, mint kaptunk!
A kovariáns derivált: i g jk = g jk x i Γ l ijg lk Γ l ik g jl Euklikdeszi koordinátákban Γ i jk = 0, illetve g ij = δ ij = const., azaz a fenti egyenlet jobb oldala zérus. A bal oldal viszont tenzor minden koordinátarendszerben zérus. Tehát azt kaptuk, hogy párhuzamos eltolás esetén minden koordinátarendszerben: k g ij 0 Ezek alapján ki tudjuk fejezni Γ-kat a metrikus tenzorral.
Az el z ek alapján görbevonalú esetben igaz, hogy: 0 = g jk x i Γ l ijg lk Γ l ik g jl Ez egy lineáris egyenletrendszer a Γ-kra. Figyelembe véve az indexek szimmetriáit, az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik, megoldásként kapjuk: Γ i jk = 1 2 gil ( g lk x j + g jl x k g jk x l ) Γ i jk-k az úgynevezett Christoel-szimbólumok.
A metrikájával definiált tér Vegyünk egy teret, amit a metrikájával adunk meg, azaz ismerjük a g jk tenzort minden pontjában. Vegyük továbbá azt az esetet, amikor a terünket nem tudjuk euklideszivé tenni, csak a felületen tudunk mozogni (pl. egy hegység, vagy egy gömb). Ekkor hogyan toljunk el egy vektort párhuzamosan? Analóg módon az euklideszi esettel legyen egy eltolás párhuzamos, ha k g ij = 0
A geodetikus egyenlet Egy euklideszi térben egy út kétféle értelemben lehet geodetikus: 1. a legrövidebb út két pont között 2. mozgás közben a sebességvektor állandó. Belátható, hogy görbült térre akár az els akár a második deníciót alkalmazva, a geodetikus út ugyanaz lesz. Vegyük a másodikat! A feltétel egy λ-val paraméterezett útra: 0 = V i = dv i ( ) dv dλ λ + Γi kl V k x l i = dλ + Γi kl V k V l λ Azaz a geodetikus egyenlete: dv i dλ + Γi kl V k V l = 0
Példa:A 2D gömb metrikus tenzora Egy r sugarú gömb polárkoordinátákban: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ Az ívelelemnégyzet: ds 2 = dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) Ebb l a metrikus tenzor nem 0 elemei: g rr = 1, g θθ = r 2, g φφ = r 2 sin 2 θ
A 2D gömb Christoffel-szombólumai A képlet: Γ i jk = 1 2 gil ( g lk x j + g jl x k g jk x l ) g alapján csak azok a Γ-k nem 0-k, ahol az egyik index duplán szerepel: Γ r θθ = r Γ θ φφ Γ φ rφ = 1 r = sin θ cos θ Γθ Γr φφ = r sin2 θ rθ = 1 r Γ φ θφ = ctg θ
Geodetikus a 2D gömbön A két Γ, amire szükségünk van: Γ θ φφ = sin θ cos θ és Γ φ θφ = ctg θ. A geodetikust leíró dierenciálegyenletek: d 2 θ sin θ cos θ d λ2 ( ) d φ 2 = 0 d λ d 2 φ d λ 2 + 2ctg θ d θ d φ d λ d λ = 0 Látszik, hogy egy f kör, azaz θ = π/2 és φ = λ + φ 0 (ahol 0 λ < 2π) megoldása az egyenleteknek.
Források LandauLifsic: Elméleti zika 2. (Klasszikus er terek) Hraskó Péter: Általános relativitáselmélet és kozmológia (BME el adásjegyzet) Jánossy Lajos Tasnádi Péter: Vektorszámítás 2. (Vektorok és tenzorok dierenciálása) http://astro.elte.hu/icsip/kozmologia/altrel_alap/