A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz: egyetle eleme sics o emüres halmaz: legalább egy eleme o jól megadott halmaz: ha bármely elemről eldöthető, hogy beletartozik-e A és B az X alaphalmaz részhalmazai, ekkor metszet: A B = { x X x A x B } Két halmaz diszjukt, ha metszetük üres halmaz. uió: A B = { x X x A x B } külöbség: A \ B = { x X x A x em B } egyéb: A A az A részhalmaza ömagáak: reflexív tulajdoság ha A B és B A A = B vagyis atiszimmetrikus (A részhz.-a B-ek és fordítva) ha A B és B C A C trazitív tulajdoság (A a agyobb hz.-ak is részhz.-a) 2. Descartes-szorzat, hatváyhalmaz Descartes-szorzat: az A és B halmazok Descartes-szorzatá az A és B halmazok elemeiből alkotott összes redezett elempár halmazát értjük. Jelölése: A B = { (a;b) a A b B } Az A B szorzathalmaz egy T A B részhalmaza az A és B halmazok elemei közti kételemű (biér) reláció Ha (a; b) T, akkor a és b relációba vaak: atb Hatváyhalmaz: egy halmaz összes részhalmazaiak halmaza Egy elemű halmazak 2 darab részhalmaza va Kommutativitás = felcserélhetőség Asszociativitás = csoportosíthatóság Disztributivitás = szétbothatóság 3. Csoport, gyűrű, test (~A2) félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás) csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak ÉS létezik zérus elem ill. iverz elem (összeadásak a kivoás, szorzásak az osztás az ivertálása) (pl. egész számok halmaza eseté az összeadás) Abel-csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak és kommutatívak is ill. létezik a zérus elem és az iverz elem gyűrű: olya csoport, amelybe a kétváltozós műveletek már disztributívak is egymásra ézve (pl. az egész számok eseté az összeadásra ézve a szorzás) A gyűrűbe tehát elvégezhető: az összeadás, a kivoás és a szorzás 1
test: olya csoport, amelybe a kétváltozós műveletek disztributívak egymásra ézve (pl. racioális számokál az összeadásra ézve a szorzás disztributív) A testbe, mit algebrai struktúrába tehát elvégezhető az összeadás, kivoás, szorzás és az osztás 4. Komplex számok algebrai, trigoometrikus, expoeciális alakja algebrai alak: z = a + bi (z valós része a, képzetes része pedig b) kojugált: z = a bi abszolút érték: z = a 2 + b 2 (Pitagorasz-tételből), és mivel z z = (a + bi)(a bi) = a 2 (bi) 2 = a 2 +b 2, ezért z = z z trigoometrikus alak: z = r(cosφ + i siφ), mivel cosφ = a r siφ = b r Tehát a = rcosφ és b = rsiφ, ie már egyértelműe következik a trigoometrikus alak az algebraiból r-t kiemelve (a = r cosφ és bi = r isiφ) expoeciális alak: z = r e i φ ez csak egy szimbólum, rövidítés, ami megköyíti a számolást a komplex számokkal, léyegébe a trigoometrikus alak kicsit rövidebbe. 5. Komplex számok hatváyozása z = [r(cosφ + isiφ)] = r (cos(φ) + isi(φ)) (de Moivre-képlet) Bizoyítás: teljes idukcióval 1) =1 OK =2 OK 2) idukciós feltétel: = k ekkor z k = r k (cos(kφ) + isi(kφ)) ha = k + 1, akkor z k+1 = z k z = r k (cos(kφ) + isi(kφ)) r(cos(φ) + isi(φ)) = r k+1 [cos(kφ + φ) + isi(kφ + φ)] = r k+1 [cos((k + 1)φ) + isi((k + 1)φ)] és k+1 az volt, tehát a bizoyítás kész. 6. Komplex számok gyökvoása z 1 = z 2 = r 1 (cos(φ 1 ) + isi(φ 1 )) = r 2 (cosφ 2 + isiφ 2 ) z 1 = z 2 Két komplex szám akkor egyelő, ha a hosszuk és argumetumuk is egyelő: r 1 = r 2 (hossz) φ 1 = φ 2 + k 2π (argumetum) forgásszög, periodicitás miatt p = 2π Így φ 1 = φ 2+k 2π k {0, 1, 2,, 1} Tehát z φ + k2π φ + k2π = r [cos + i si ] Az -edik gyökvoás utá olya komplex számokat kapuk, amik egy szabályos sokszög (-szög) csúcsai! Tehát -edik gyökvoás eseté db komplex szám a megoldás. 2
Numerikus sorozatok Mitől umerikus? Attól, hogy a sorozat a pozitív egész számok halmazá értelmezett függvéy. 1. Numerikus sorozat határértéke TÉTEL: Az (a ) koverges és határértéke az a R akkor és csak akkor, ha bármely poz. ε-hoz létezik olya N(ε) küszöbidex (küszöbszám), hogy a sorozat N(ε)-ál agyobb idexű elemei már az a ε-sugarú köryezetébe esek. (az ilye idexű elemekből végtele sok va!) TÉTEL 2: Az (a ) koverges és határértéke az a R akkor és csak akkor, ha az a bármely poz. ε-sugarú köryezeté kívül csak véges sok eleme va a sorozatak. (ez ekvivales az első tétellel) Következméy: Ha egy sorozatak véges sok elemét megváltoztatjuk, vagy a sorozathoz véges sok elemet hozzáveszük / elhagyuk belőle, akkor sem a kovergecia, sem a határérték em változik meg! 2. Koverges, diverges sorozat DEFINÍCIÓ: Az (a ) koverges, ha va olya a R szám, hogy mide ε > 0 valós szám eseté létezik N(ε) valós küszöbszám, hogy a a < ε, ha > N(ε) azaz a ε < a < a + ε Az a számot az (a ) határértékéek hívjuk, és a lim a = a vagy az a a, ha jelölést haszáljuk. Az (a ) diverges, ha em koverges. Tételek: - Koverges sorozat korlátos. (Mide koverges sorozat korlátos, de em mide korlátos sorozat koverges, csak az, ami mooto is, így pl. ( 1) em!) - Mooto korlátos sorozat koverges. - Mooto, em korlátos sorozatak va határértéke. koverges va határértéke va határértéke/torlódási potjai em biztos, hogy koverges Bolzao-Weierstrass-tétel: mide korlátos sorozatak va koverges részsorozata. 3. Nevezetes sorozatok Olya sorozatok, amelyek határértékét NEM KELL BIZONYÍTANI, csak felhaszáli! Beroulli-féle egyelőtleség: ha x 1, akkor (1 + x) 1 + x I. a 0, ha a < 1 1, ha a = 1 +, ha a > 1 diverges, ha a < 1 II. a 1, ha (a > 0) III. a k 0 (ullsorozat), ha a < 1 és k rögzített természetes szám 3
IV. V. 1, ha ( 2) a 0 (a R) Hisze a faktoriális gyorsabba ő, mit a hatváyfüggvéy!! Legfotosabb: (1 + α ) e α 4. Cauchy sorozat Defiíció: Az (a )-t Cauchy-sorozatak evezzük, ha mide ε > 0 eseté N(ε) küszöbidex, hogy a a m < ε, ha, m > N(ε) (, m N) Tétel: Cauchy-féle kovergecia kritérium (szükséges ÉS elégséges feltétel) Az (a ) akkor és csak akkor koverges, ha Cauchy sorozat! 5. Torlódási pot Defiíció: A h a H halmaz torlódási potja, ha h bármely köryezetébe va H-ak h-tól külöböző eleme. A t szám a sorozat torlódási potja, ha t akármilye kicsi köryezete a sorozat végtele sok elemét tartalmazza. Például ( 1) Fotos: A határérték is torlódási pot! Függvéyek, derivált 1. Függvéyek, értelmezési tartomáy, értékkészlet függvéy: ha az A (emüres) halmaz mide egyes eleméhez hozzáredeljük a B (emüres) halmaz potosa egy elemét, akkor ezt a leképezést függvéyek evezzük. értelmezési tartomáy: azo elemek halmaza, melyekhez a függvéy hozzáredel egy-egy elemet a B halmazból, jele esetbe ez az A halmaz. D f = A értékkészlet: A képhalmaz, azaz a B halmaz azo elemei, melyeket az f függvéy téylegese hozzáredel az A valamelyik eleméhez. Az értékkészlet tehát része a képhalmazak: R f B 2. Függvéy határérték Azt modjuk, hogy az f függvéy határértéke az a potba A, ha mide ε > 0 számhoz létezik olya δ(ε) > 0, hogy ha 0 < x a < δ(ε), akkor f(x) A < ε. /Ez a Cauchy-féle defiíció/ x a < δ(ε) azt jeleti, hogy: δ(ε) < x a < δ(ε) /+a a δ(ε) < x < a + δ(ε) Szemléletesese: azt jeleti, hogy a függvéyértékek (f(x)-ek) tetszőlegese megközelítik az A számot, ha az ε értékek elég közel kerülek a-hoz. 4
Az f függvéyek az a potba acsa (akkor és csak akkor) va határértéke, ha va bal- és jobboldali határértéke és ez a kettő megegyezik! Határérték a végtelebe Az f függvéy határértéke + -be A, ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε), hogy f(x) A < ε, ha x > N(ε). Az f függvéy határértéke -be A, ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε), hogy f(x) A < ε, ha x < N(ε). A végtele, mit határérték Az f függvéy határértéke a-ba +, ha bármely N > 0 eseté va olya δ(n), hogy f(x) > N, ha 0 < x a < δ(n). Az f függvéy határértéke a-ba, ha bármely N > 0 eseté va olya δ(n), hogy f(x) < N, ha 0 < x a < δ(n). 3. Függvéy folytoosság Az f függvéy az értelmezési tartomáyáak a potjába folytoos, ha ebbe a potba létezik határértéke és ez egyelő az adott potbeli helyettesítési értékkel, azaz ha lim f(x) = f(a). x a Defiíció: Az f függvéyt folytoosak evezzük az a D f potba, ha bármely ε > 0 eseté va olya δ(ε) > 0 szám, hogy ha x a < δ(ε), akkor f(x) f(a) < ε. Az f függvéy egy itervallumo egyeletese folytoos, ha bármely ε > 0 számhoz va olya δ > 0 szám, hogy f értelmezési tartomáyáak bármely x 1, x 2 elemére, amelyek távolsága egymástól kisebb δ-ál, feáll az f(x 1 ) f(x 2 ) < ε egyelőtleség. Tétel: Az f függvéy potosa akkor folytoos értelmezési tartomáyáak a potjába, ha ott balról és jobbról is folytoos. Def.: Az f függvéy folytoos az ]a, b[-o, ha folytoos ]a, b[ mide potjába. Az f függvéy folytoos az [a, b]-o, ha folytoos ]a, b[-o és a-ba balról, b-be jobbról folytoos. A folytoosság éháy evezetes következméye: - ha f folytoos egy zárt itervallumo, akkor ott egyeletese folytoos. - Bolzao-tétel: ha a függvéy a zárt itervallumo folytoos, és az itervallum két végpotjába az értékei külöböző előjelűek, akkor az itervallum belsejébe va zérushelye. Másképp: felvesz mide f(a) és f(b) közé eső értéket egy folytoos függvéy egy zárt itervallumo. - Weierstrass-tétel: Zárt itervallumo folytoos függvéy felveszi a miimumát és a maximumát is függvéyértékkét; továbbá mide olya értéket, ami a legagyobb és legkisebb érték közé esik. (Arról em szól a tétel, hogy a függvéy HOL veszi fel a mi. és max. értékét.) 5
4. Iverz függvéy Ha az f: X Y függvéyél a leképezés iráyát megfordítjuk, vagyis az Y halmaz elemeit képezzük le az X halmaz elemeire, akkor ez a fordított leképezés általába em függvéy, mert em biztos, hogy egy y Y elemek egyetle x X elem felel meg. Ezért fotos az, hogy f bijektív, azaz kölcsööse egyértelmű legye, mert ekkor az f 1 -gyel jelölt fordított leképezés is már függvéy lesz. Defiíció: Ha az f: X Y függvéy kölcsööse egyértelmű, akkor az f 1 = Y X függvéyt f iverz függvéyéek evezzük. Ekkor igaz az alábbi összefüggés: f 1 (f(x)) = f(f 1 (x)) = x Egyszerűbbe megfogalmazva: az f és az f 1 függvéyekél az értelmezési tartomáy és az értékkészlet helyet cserél. Eek következtébe az ábrázolásál a koordiátategelyek helyet cserélek, s az y = f(x) és y = f 1 (x) görbék egymásak tükörképei az y = x egyeesre ézve. 5. Derivált Legye f: I R R függvéy értelmezve az x I potba és aak egy köryezetébe. Ha x a, akkor az f(x) f(a) háyadost differeciaháyadosak evezzük. x a f(x) f(a) Ha létezik és véges a lim határérték, akkor azt az f függvéy deriváltjáak vagy x a x a a potbeli differeciálháyadosáak evezzük és a d f(a) vagy f (a) jelöléseket haszáljuk. dx f(x+ x) f(x) Régi jelölés: lim = f (x) x 0 x Ha x-szel elkezdek közelítei a-hoz: a szelőkből éritő lesz. m = tgα = f(x) f(a) x a Adott potbeli derivált = adott potbeli éritő meredeksége! Az éritő egyelete: y = f (a)(x a) + f(a) ~ m(x x 0 ) = y y 0 átredezve Defiíció: az f: [a; b] R függvéy balról differeciálható a b potba, ha létezik és véges a f(x) f(b) lim egyoldali határérték. x b x b Az f: [a; b] R függvéy jobbról differeciálható az a potba, ha létezik és véges a lim x a+ f(x) f(a) x a egyoldali határérték. Eszerit megkülöböztetük bal- és jobboldali deriváltat. TÉTEL: az f: I R függvéy differeciálható az a I potba ha létezik (és így véges) a bal- és jobboldali deriváltja a-ba ÉS ezek egyelők. TÉTEL: ha az f függvéy differeciálható az x 0 potba, akkor ott folytoos. (DE: attól, hogy folytoos, em biztos, hogy differeciálható a függvéy mide potjába!) Defiíció: az f: ]a; b[ R függvéy differeciálható ]a;b[-o, ha differeciálható x ]a; b[ potba. Az f: [a; b] R függvéy differeciálható [a;b]-o, ha differeciálható ]a; b[-o ÉS a-ba jobbról, b-be balról differeciálható. 6
+Az iverz függvéy deriválási szabálya:! f: I R R fv. szig. mo. és folytoos az x 0 pot egy köryezetébe; f (x 0 ) 0. Ekkor az f fv. iverze is differeciálható a b f(x 0 ) potba és (f 1 (b)) 1 = f (x 0 ) 6. Lokális szélsőérték defiíciója és feltétele Defiíció: Legye f: I R R, a I. Azt modjuk, hogy f-ek a-ba lokális maximuma va, ha va olya δ > 0, hogy f(a) f(x) mide olya x- re, ami bee va a-ak a δ sugarú köryezetébe. f-ek a-ba lokális miimuma va, ha va olya δ > 0, hogy f(a) f(x) mide olya x- re, ami bee va a-ak a δ sugarú köryezetébe. Szükséges feltétel: ha f: I R R függvéy differeciálható és f-ek α it I-be szélsőértéke va, akkor f (α) = 0. // α it I: olya α, ami I egy belső potja Elégséges feltétel: ha f: I R R függvéy differeciálható ÉS α it I, továbbá va ekük egy r > 0 számuk, amire az teljesül, hogy f (x) 0, ha x ]α r; α] VAGY f (x) 0, ha x [α; α + r[ akkor f-ek α-ba lokális maximuma va. f (x) 0, ha x ]α r; α] VAGY f (x) 0, ha x [α; α + r[ akkor f-ek α-ba lokális miimuma va. Egyszerűbbe: az f függvéyek az x 0 -ba lokális szélsőértéke va, ha f (x 0 ) = 0 DE f (x 0 ) 0. - ha a 2. derivált pozitív, akkor lokális miimuma (kovex!) - ha a 2. derivált egatív, akkor lokális maximuma va (kokáv!) - Általáosabba: f (α) = 0 = f (α) = 0 = f (α) = 0 f ( 1) (α) = 0, de f () (α) 0 (f -edik deriváltja MÁR NEM NULLA) - Ekkor f () deriváltját vizsgáljuk: ha páros, akkor va csak szélsőértéke (ugyaúgy, vagyis ha pozitív, akkor lokális miimum; ha egatív, akkor lokális maximum.) 7. L Hospital szabály TÉTEL: Legye f és g differeciálható függvéyek az α pot egy köryezetébe (α-ba em szükségképpe). Továbbá, lim f(x) = lim g(x) = 0 x α x α vagy lim x α f(x) = lim x α g(x) = Ahol α {a; a + 0; a 0; ± } lim x α f (x) lim f(x) Ekkor: = x α lim g (x) lim x α x α g(x) Fotos, hogy akkor lehet csak haszáli, ha a háyados határértéke 0 0 vagy alakú! 7
Középérték tételek és itegrálás Függvéyek és deriváltjaik kapcsolatáak vizsgálatakor haszálhatjuk fel a középértéktételeket 1. Rolle középértéktétel Legye f folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, továbbá f(a) = f(b) = 0. Ekkor létezik ξ ]a; b[, melyre f (ξ) = 0 (vízszites éritő!) Ha f(x) 0 (azoosa, mide potba ulla) ekkor yilvá f(ξ) = f (ξ) = 0. Érdekesebb: ha f(x) 0 α) eset: Weierstrass tétele miatt (folytoos függvéy zárt itervallumo felveszi a szélsőértékét függvéyértékkét) létezik a függvéyek maximuma! Azaz va olya ξ, amire igaz, hogy f(ξ) f(x) mide x [a; b] eseté. Ekkor f(x) f(ξ) törtet vizsgálva: x ξ az f(x) f(ξ) számláló midig 0, mert f(ξ) f(x) a evező pedig pozitív, ha x > ξ, így az egész tört egatív, tehát f (ξ) 0 a evező pedig egatív, ha x < ξ, így az egész tört pozitív, tehát f (ξ) 0 De ha lim ξ x f(x) f(ξ) x ξ = f (ξ) = 0 (csak az egyelőség a jó ekük) β) eset: α-val aalóg módo bizoyítható. γ) eset: α és β esetekből összerakható. 2. Lagrage középértéktétel (a Rolle középértéktétel általáosítása) Legye f folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, ekkor létezik ξ ]a; b[, hogy f(b) f(a) = f (ξ) b a Ez körülbelül azt jeleti: ha húzuk egy voalat (húrt) a két végpot között, akkor lesz legalább egy pot a függvéye, amiek a deriváltja (vagyis az adott potbeli éritő meredeksége!) megegyezik a húr meredekségével! Vagyis az ábrá a piros húr párhuzamos lesz a zöld éritővel! 8
Tekitjük az (a, f(a)) és a (b, f(b)) potokat összekötő húrt, amiek az egyelete: h(x) = f(a) + f(b) f(a) (x a) b a //ez az m(x x 0 ) = y y 0 képletből jö ki g(x) f(x) h(x), így g(a) = f(a) h(a) = f(a) f(a) = 0 és g(b) = f(b) h(b) = f(b) f(b) = 0 g folytoos az [a; b]-o, mert f és h is az g differeciálható ]a; b[-o, mert g (x) = f (x) h (x) = f (x) f(b) f(a) b a A Rolle-tételt alkalmazva a g függvéyre: létezik ξ ]a; b[, melyre g (ξ) = 0 (vízszites éritő) Így g (ξ) = f (ξ) f(b) f(a) b a = 0 = f (ξ) = f(b) f(a) b a 3. Cauchy középértéktétel Legye f és g folytoos [a; b]-o és differeciálható ]a; b[-o, ekkor létezik ξ ]a; b[, hogy f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ) Bizoyítás Alkalmas segédfüggvéy bevezetésével: h(x) f(x) + λg(x) ahol λ-t úgy választjuk meg, hogy h(a) = h(b) teljesüljö. h(a) = h(b) f(a) + λg(a) = f(b) + λg(b) átredezve f(a) f(b) = λ[g(b) g(a)] leosztva, (-1)-et kiemelve f(b) f(a) g(b) g(a) = λ h(x) f(x) + λg(x) volt, tehát h (x) f (x) + λg (x) = f (x) f(b) f(a) g(b) g(a) g (x) Most még alkalmazzuk a Rolle tételt a segédfüggvéyre: ξ ]a; b[, melyre h (ξ) = 0, ebből h (ξ): = f (ξ) f(b) f(a) g(b) g(a) g (ξ) = 0, ezt átredezve adódik, hogy f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a) Megjegyzés: a Cauchy-féle középértéktételből g(x) = x választással adódik a Lagrage középértéktétel: f(b) f(a) b a hisze így g(b) = b és g(a) = a g (x) = x = 1 9 = f (ξ) 1
4. Riema-itegrálhatóság Defiíció: f: [a, b] R korlátos függvéy. (Nem kell folytoosak, ill. deriválhatóak leie!) I = sup{s(f, d) d [a, b]-ek egy beosztása} Darboux-féle alsó itegrál I = if{s(f, d) d [a, b]-ek egy beosztása} Darboux-féle felső itegrál Az f függvéy Riema-itegrálható [a; b]-o, ha a Darboux-féle alsó- és felső itegráljai megegyezek. E közös értéket az f függvéy Riema-itegráljáak evezzük és f(x)dx-szel jelöljük. Darboux tétele: 0 I s(f, d) < ε valamit 0 S(f, d) I < ε teljesül. Vagyis: a felső/alsó it. közelítő összeg tetszőlegese kicsivé tehető. A Riema-itegrálhatóság kritériumai: Korábba: a S(f, d) felső itegrálközelítő összeg mooto csökke, a s(f, d) alsó itegrálközelítő összeg mooto ő! A kettő itegrálközelítő összeg határértéke pedig -be a Riema-itegrál. b a m i if{f(x) x [x i 1 ; x i ] } M i sup{f(x) x [x i 1 ; x i ] } a beírt téglalapok közül a legagyobb magassága a köré írt téglalapok közül a legkisebb magassága s(f, d) i=1 m i (x i x i 1 ) S(f, d) i=1 M i (x i x i 1 ) O(f, d) Oszcillációs összeg: S(f, d) s(f, d) TÉTEL: első kritérium, oszcillációs összeggel Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f R[a; b] (az [a, b]-o értelmezett Riema-itegrálható függvéyek halmazáak eleme az f függvéy) potosa akkor, ha mide ε > 0 eseté létezik olya d beosztás, hogy O(f, d) < ε; vagyis hogy az oszcillációs összeg tetszőlegese kicsivé tehető! Bizoyítása: f Riema-itegrálható [a, b]-o, tehát I = I = I. A Darboux-tételt összeadva így kijö, hogy S(f, d) s(f, d) < 2 ε = ε, azaz O(f, d) < ε 2 TÉTEL: második kritérium, itegrálközelítő összeggel (ezt akartuk bizoyítai) Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f Riema-itegrálható ε > 0 eseté δ(ε) > 0, hogy σ(f, d, t) I < ε ha d < δ(ε) (d beosztásáak fiomsága kisebb) és t egy tetszőleges közbeeső érték-vektor. A σ(f, d, t) f(t i) (x i x i 1 ) i=1 összeget az f függvéy d beosztásához, t közbeeső érték vektorhoz tartozó itegrálközelítő összegéek hívjuk. 10
Bizoyítása: Darboux-tételből! s(f, d) > I ε ill. S(f, d) < I + ε TÉTEL: harmadik kritérium, ormális beosztással I ε < s(f, d) σ(f, d, t) S(f, d) < I + ε ε < σ(f, d, t) I < ε így σ(f, d, t) I < ε Legye f [a; b] R függvéy korlátos. f Riema-itegrálható [a;b]-o ha bármely (d k ) ormális beosztássorozat és t (k) közbeeső értékvektor-sorozat eseté σ(f, d k, t (k) ) koverges. Ekkor lim σ(f, d k, t (k) ) = f. k a 5. Newto-Leibiz-formula az itegrálszámítás alaptétele b Legye f R[a, b]-o és F: [a, b] R olya, hogy F folytoos [a, b]-o, deriválható az ]a, b[-o és F (x) = f(x) mide x ]a, b[-ra (azaz F deriváltja mide potba f-et adja!). Jelölése: F(b) F(a) [F(x)] a b b Ekkor f(x)dx = F(b) F(a) a Bizoyítása: természetese egy mide határo túl fiomodó, ormális beosztássorozattal. 6. Improprius itegrál Eddig, a Riema-itegrálál: legye f korlátos Defiíció:! a, b R b, a < b A bővített valós számok halmaza: R b R { ; + }, továbbá teljesüljö a következő két feltétel is: 1. Mide [x, y] ]a, b[ eseté f legye Riema-itegrálható [x, y]-o. (x, y R) 2. Létezze olya c R, a < c < b, hogy lim f(t)dt x a x c és y lim f(t)dt y b c határértékek létezzeek és végesek legyeek. Ekkor az I lim f(t)dt x a x c + lim y b y c f(t)dt összeget az f függvéy improprius itegráljáak b a evezzük az ]a, b[-o és f(t)dt-vel jelöljük. - Azt is modjuk, hogy az f függvéy improprius Riema-itegrálja az ]a; b[ itervallumo koverges. - Ha az 1. feltétel teljesük, DE a 2. feltétel NEM, akkor az f függvéy improprius Riemaitegrálja ]a,b[-o diverges! (Ez fotos, mert ekkor em létezik az improprius itegrál.) - I értéke függetle c-től - Ha f em korlátos az itervallum egy γ belső potjáak köryezetébe, akkor az itervallumot kettévághatjuk; az improprius itegrál additív 11
Numerikus sorok Defiíció: Az a umerikus sorozat tagjaiból képzett végtele összeget umerikus sorak evezzük. a =1 1. Numerikus sor fogalma a = a 1 + a 2 + a 3 + =1 Az (a ) umerikus sorozatból képezzük az alábbi sorozatot: s 1 a 1 s 2 a 1 + a 2 s 3 a 1 + a 2 + a 3 2. Numerikus sor kovergeciája s = a j j=1 Azt modjuk, hogy a a sor koverges, ha (s ) koverges. - a a sor. tagja vagy általáos tagja - s a sor. részletösszege Az (s ) sorozat határértékét a a sor összegéek modjuk, azaz s = lim s = lim a j = a j A umerikus sorok kovergeciájáak szükséges feltétele: Ha a umerikus sor koverges (a ) umerikus sorozat ullsorozat, azaz lim a = 0. Állítás: A aq 0 végtele geometriai sor koverges q < 1, ekkor a sorösszeg a j=1 A umerikus sorok kovergeciájáak elégséges feltétele: TÉTEL: A a umerikus sor koverges ha mide ε > 0 eseté va olya N(ε) ε-tól függő szám, hogy: a +1 + a +2 + + a m < ε ha, m > N(ε) és m > Cauchy-féle kovergecia kritérium: a a m < ε, ha, m > N(ε) Vagyis: a umerikus sor koverges ha (s ) Cauchy-sorozat! TÉTEL: Ha a koverges, akkor bármely csoportosított sora is koverges és a két sor összege megegyezik! (Megfordítva is igaz.) Defiíció: a a sort abszolút kovergesek evezzük, ha a koverges. Ha a sor koverges, DE NEM abszolút koverges, akkor feltételes kovergeciáról beszélük. j=1 1 1 q 12
TÉTEL: Abszolút koverges sor feltételese is koverges. (Visszafelé em igaz!) (Ott érdekes ez, ahol poz. és eg. számok váltogatják egymást.) TÉTEL: Abszolút koverges sor bármely átredezett sora is koverges. 3. Numerikus sor divergeciája Például, ha a szükséges feltétel (ullsorozat) em teljesül, akkor diverges. Jellegzetes diverges sor: 4. Kovergecia tesztek 1 =1 Majorálás/miorálás: Legye a és b emegatív tagú sorok, melyekre a < b mide természetes számra vagy egy bizoyos -től, ekkor: Miorás kritérium: HA a diverges, akkor b is az. Majorás kritérium: HA b koverges, akkor a is az. D Alambert-féle háyadosteszt Legye a egy pozitív tagú sor (hogy e osszuk 0-val). Ha létezik 0 < q < 1 valós szám, hogy a lim +1 < q ( N vagy > a 0 ), akkor a koverges. a Ha lim +1 a > 1, akkor diverges; ha lim +1 a a kovergeciájáról! = 1, akkor em tuduk semmit a Cauchy-féle gyökteszt Legye a egy emegatív tagú (a gyökvoás miatt) umerikus sor. Ha létezik 0 < q < 1 valós szám, hogy lim a < q ( N vagy > 0 ), akkor a koverges. 13
+ TÉTEL: itegrál kritérium Ha x 1 eseté az f folytoos, emegatív és csökkeő, akkor f() umerikus sor koverges vagy diverges aszerit, hogy az f(x)dx 1 improprius itegrál koverges vagy diverges-e. DEFINÍCIÓ: A ( 1) +1 b umerikus sort alteráló umerikus sorak hívjuk. TÉTEL: Leibiz típusú sorok A ( 1) +1 b alteráló umerikus sor koverges ha (b ) mooto csökkeő ullsorozat. Továbbá, s s < b +1, ahol s a ( 1) +1 b alteráló sor sorösszege, s pedig az. részletösszege. 14