. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat 2. Ha A, B és C adott halmazok, akkor írjuk fel az alábbi halmazokat A, B, C és az,, \ halmazműveletek segítségével: E = { : A és B vagy C)}; b) F = { : A és B) vagy C)}. 3. Igazak-e az alábbi halmazegyenlőségek? Ha igen, bizonyítsuk be, ha nem, akkor adjunk meg konkrét halmazokat, amelyekre nem teljesül az egyenlőség. A B) \ A = B; b) A B) \ C = A B \ C); c) A B) \ A B) = A \ B) B \ A). 4. Igazak-e az alábbi állítások? A B és A C) A B C; b) A C = B C és A \ C = B \ C) A = B; 5. Legyen X egy halmaz, A, B X. Bizonyítsuk be, hogy A B = A B, b) A B = A B. 6. Adjuk meg az alábbi állítások tagadását! Melyik igaz közülük, maga az állítás, vagy annak tagadása? Minden alma érett. b) Létezik n N, hogy minden k Z, 0]-ra n > k. c) Minden p pozitív számhoz létezik K > 0, hogy minden > K esetén 2 p + > 0. Minden p, q Q, p < q számokhoz létezik olyan r Q, hogy p < r < q. 7. Legyenek P és Q kijelentések, ekkor a ha P, akkor Q állítás tagadása a P és Q, a megfordítása pedig a ha Q, akkor P állítás. Adjuk meg az alábbi állítások tagadását és megfordítását is. Melyek lesznek igazak? Ha > 0, akkor 2 > 0. b) Ha p prímszám, akkor p 2 + nem prímszám. 2. gyakorlat. Legyenek f, g : R R a következő függvények: f) = + 3, g) = 2. Határozzuk meg az f g és a g f függvényeket. 2. Írjuk be a hiányzó függvényeket:
f) = 2 g) = + f g)) =? b) f) =? g) = + 4 f g)) = c) f) = g) =? f g)) = 3. Legyenek f, g : R R függvények. Igaz-e, hogy ha mindkettő injektív szürjektív), akkor f + g is injektív szürjektív)? 4. Mely függvények injektívek, illetve szürjektívek? Amelyek bijektívek is, azoknak adjuk meg az inverzét! f : [0, ] R, f) = 2 ; b) g : R R, g) = 3 ; c) h : R + R, h) = ; k : R \ {0} R \ {0}, k) =. 5. Legyen f : R R adott függvény. Határozzuk meg az f [4, 9]), f [, 0]), f [ 2, ]) halmazokat, ha f) = 2 ; b) f) = sin. 6. Legyen f : R R egy függvény, A, B R tetszőleges halmazok. Mutassuk meg, hogy i. A f fa) ) ; ii. f f B) ) B. b) Adjunk példát arra, hogy a fenti tartalmazásoknál általában nincs egyenlőség! Nézzük meg az előző feladatot.). Mivel egyenlők az alábbi számok? 3. gyakorlat log 2 6, log 9 3, log 6 6, log 6 6 6, 2 log 2 3, sin π 6, sin π 4, sin π 3, sin π 2, sin 2π 3, sin π, sin 4π 3, sin 5π 3, 29π sin 6 200π, sin, tg π 4 6, tg π 4, tg 2π 3, tg 5π 4, sgn log 2 3 2, sgn sgn cos 200π 2. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! Melyek lesznek párosak, páratlanok, periodikusak? Mi az értelmezési tartomány? 2 5, 6, 2 3, 3) 2, 6 2, sgn6 2 ), ) 2 +2, + 3 + 3, 2, 2, log 3, 5, 2 cos, cos 2, 2 cos 2 2 2, 2 cos 3 π ) + 4, cos. 4 3. Ábrázoljuk a trigonometrikus függvények inverzeit! Mi az értelmezési tartomány és az értékkészlet? arc sin = sin [ ] ) ), π 2, π 2 ) arc cos = cos [0,π] ), arc tg = tg ) ) ), π 2, π 2 ) arc ctg = ctg 0,π) ). 2
4. gyakorlat. Végezzük el az alábbi műveleteket: + i)3 2i) =? b) i 2)5 3i) =? c) + 3i) 3 =? /i =? e) + i)/3 2i) =? f) 5 + i)/ + i) =? 2. Határozzuk meg azokat a c + di számokat, melyek négyzete 20i 2. 3. Írjuk fel az alábbi számokat trigonometrikus alakban: + i, b) i, c) 4. Végezzük el az alábbi hatványozásokat! + i) 5 =? b) 3 + i, 3i. ) 3 200 2 2 i =? 5. Oldjuk meg az 3 =, 4 = 4 és az 6 = egyenleteket! 6. Számítsuk ki i n -t, ahol n N. 7. Vezessük le a sinα ± β)-ra és cosα ± β)-ra tanult addíciós képleteket, felhasználva a komple számok trigonometrikus alakját. b) Fejezzük ki cos 3φ-t sin φ és cos φ segítségével. 5. gyakorlat Emlékeztetőül: az a n ) sorozat határértéke az a R szám, ha minden ε > 0-hoz létezik n 0 N, hogy minden n n 0 -ra a n a < ε. Vagyis a sorozat tagjai egy indetől kezdve az a ε, a + ε) intervallumba esnek.) Sorozatok határértékét általában nem a definíció alapján, hanem a műveleti szabályok és a nevezetes határértékek segítségével számítjuk ki. A, 0 alakú sorozatoknál valamilyen ügyes átalakítás szükséges. Nevezetes határértékek: ha q <, akkor q n 0; b) ha a > 0, akkor n a, c) n n. Legyen most a >, k N. Ekkor az n k, a n, n! és n n sorozatok mindegyike végtelenhez tart, méghozzá egyre n k gyorsabban, amint ezt az alábbi határértékek mutatják: a n 0, e) a n n k 0, f) 0, n! n! n! g) n n 0.. Mi a határértéke az alábbi a n ) sorozatoknak? Definíció alapján adott ε > 0-hoz adjunk meg n 0 N küszöbindeet is. a n =, b) a n = 6n + 7 n n 5. 2. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét a határérték és a műveletek közötti szabályok segítségével! + n, b) 2 n, c) 3 + ) n 2, n n n 2 +. 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét! n + 2 3n 4 b) 2n 2 3n 5 6 n 2 c) n 2 + 3 + 2n 3n + 5 3 n 5 2 n 2 3 n +, 8 n+5 e) 3 2n 4 2 n+3 5 n 2 9 n+ + n 6 f) 2n! + 3 n 5n 2 + n! 3
4. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét! n + n, b) n 2 + 6n + n. 5. Bizonyítsuk be, hogy minden konvergens sorozat korlátos. Igaz-e a megfordítás? 6. gyakorlat. 2. 3. 0 0 2 2 2 =? 2 6 2 2 + 0 =? 4 + 2 =? 4 2 2 2 2 =? 2 6 2 2 + 0 =? + 2 2 2 =? 2 6 2 2 + 0 =? + 2 3 + 3 2 + =? 2 3 2 =? 9 4. 5. n =? cos sin 2 0 2 =? 0 sin 5 =? n m =? 6. Mi legyen A értéke, hogy f folytonos legyen az = 2 pontban is? 2 f) = 3 8, ha 2 A, ha = 2. tg sin 0 sin 3 =? 7. gyakorlat. Mutassuk meg a definíció alapján, hogy a következő függvények minden a R pontban differenciálhatók és számítsuk is ki a deriváltakat: f) = n, n egész), b) h) = sin 2. Deriváljuk az alábbi függvényeket, felhasználva a deriválási szabályokat: g) 2 + 2, b) a 5 + 5a 3 2 5, c) a) b), 2 2, e), f) +, + +, h) + + 3, i) ) 2) 2 3 ) 3, j) cos 2 2 sin, k) sin α + cos α) cos α sin α), l) m) e 2, n) ln ln ln, o) ln tg 2 sin 2 sin 2, 3. Legyen f) = ) 2) 3) 4). Mi lesz f 0)? 4
4. Az inverzfüggvény deriválási szabályát használva számítsuk ki az alábbi függvények deriváltját ahol értelmes): f) = n, b) g) = arc tg. 5. Mennyi az f) = sin + függvény inverzének deriváltja a b = + π 2 pontban? 8. gyakorlat Teljes függvényvizsgálat esetén az alábbi lépéseken kell végigmenni: Deriválás nélkül is megkapható: értelmezési tartomány, [tengelymetszetek zérushelyek)], eszek ± -ben vagy az értelmezési tartomány szélein ), folytonosság, bal és jobb oldali eszek a szakadási pontokban. Deriválás után: lokális szélsőértékek a derivált előjelváltásai), infleiós pontok a második derivált előjelváltásai), a függvény alaki tulajdonságai monotonitás, konveitás), végül a függvény grafikonja, illetve az értékkészlet. A monotonitáshoz és a konveitáshoz érdemes táblázatot készíteni, a grafikonhoz pedig hasznos néhány függvényértéket kiszámolni pl. a szélsőértékhelyeken).. Végezzünk teljes függvényvizsgálatot! f) = 3 3, b) g) = + 2, c) h) = +, k) = 2. 2. Határozzuk meg az alábbi függvények lokális és globális szélsőértékhelyeit! f) = 2 4, b) g) = e sin. 3. Egy f : [, ] R függvényre f 0) = 0. Igaz-e, hogy a 0-ban lokális szélsőértéke van? b) Egy f : [, ] R függvényre f 0) = 0. Igaz-e, hogy a 0-ban infleiós pontja van? 4. Írjuk fel az f) = cos + 2 2 függvény érintőjének egyenletét az 0 = 2 pontban. 5. Számítsuk ki az alábbi függvények deriváltjait:, b) ln sin, c) log e ln e + ) + e 2, e) arc tg + ) + 2 6. Legyen f) = { 2, ha a + b, ha > Hogyan kell megválasztani a és b értékét, ha azt akarjuk, hogy f differenciálható legyen 0 = -ben is? 9. gyakorlat. Írjuk fel az alábbi függvények n-edfokú 0 -körüli T n,0 ) Taylor-polinomját. f) = e, T 6,0 ) =? b) g) = +, T 2,0 ) =? c) h) =, T 2, ) =? 2. Becsüljük meg, hogy legfeljebb mekkora hibát követünk el az alábbi közelítő formulával: sin 3 [ 6 2, 2] ). 5
3. Számoljuk ki e értékét legalább 4 tizedesjegy pontossággal csak a négy alapművelet felhasználásával! 4. Számítsuk ki az alábbi határértékeket L Hospital-szabállyal. sin a ch cos e + ) 2e ) =? b) 0 sin b 0 2 =? c) 0 3 =? log cos a log =? e) 0+ 0+ =? f) 0 log cos b =? 0. gyakorlat. Az alapintegrálok felhasználásával számoljuk ki a primitív függvényeket. 3 2 d =? tg 2 d =? b) e) 4 5 6 d =? c) 5 cos 2 sin + cos d =? f) 6 sin + 5 cos ) d =? 5 d =? 2 + 22 2. Az fa + b) d = af a + b) + C formulát használva számítsuk ki a primitív függvényeket. d 5 2 + + a =? b) 2 3) 0 2 d =? c) d =? 3. Számoljuk ki az alábbi f n )f ) és f ) alakú integrandusok primitív függvényét. f) 2 2 3 + 4) d =? b) sin cos d =? c) sin 4 sin 2 d =? 4 sin 5 cos + 4 d =? e) 4. Számoljuk ki a primitív függvényeket parciális integrálással. e d =? b) cos d =? arc tg d =? e) ln c) d =? e 2 sh 4 d =? ln d =?. gyakorlat. Számítsuk ki az alábbi integrálokat alkalmas helyettesítéssel, vagy akár más módon is. e d =? b) d =? c) 36 6 2 + d =? e 2 d =? e) d =? f) 25 + 2 + e 2 d =? g) 2 3 + 3 3 d =? h) d =? i) d =? ) 00 sh j) sin ln d =? k) sin d =? l) d =? + cos 6