TÉZISGYŰJTMÉNY NÖVKDÉS-OPTIMÁLIS PORTFÓLIÓ LMÉLT Vajda Istvá című Ph.D. értekezéséhez Témavezető: Prof. Györfi László MTA redes tagja Budapest, 2009
TÉZISGYŰJTMÉNY NÖVKDÉS-OPTIMÁLIS PORTFÓLIÓ LMÉLT Vajda Istvá című Ph.D. értekezéséhez Témavezető: Prof. Györfi László MTA redes tagja Copyright Vajda Istvá, 2009 2
Tartalomjegyzék. Kutatási előzméyek és a téma idoklása 4 2. A felhaszált módszerek 0 3. Az értekezés eredméyei 6 3.. A szemi-log-optimális stratégia................ 6 3.2. Diamikus átlag-variacia optimalizálás........... 7 3.3. xplicit kockázat kotroll................... 9 3.4. mpírikus portfólió-választás................. 20 3.5. Optimális portfólió-választás trazakciós költség eseté.............................. 23 3
. Kutatási előzméyek és a téma idoklása A dolgozat alapproblémája a végtele időhorizoto való optimális befektetési politika vizsgálata. A kérdése számos eves közgazdász dolgozott, még Merto és Samuelso figyelmét is felkeltették a kutatások. A disszertációba szekveciális befektetési (portfólióválasztási) stratégiákat mutatok be. Szekveciális stratégia alatt olya kauzális stratégiát értek, amely a piacról redelkezésre álló múltbeli adatokat haszálva, mide kereskedési periódus (ap) elejé megváltoztathatja a portfóliót, azaz a tőkét újraoszthatja a redelkezésre álló értékpapírok között. A végtele időhorizoto való optimális befektetés problémájáak vizsgálata sorá először azt kell tisztázi, hogy mit is értük egyáltalá az optimális szó. A dolgozat címébe jelzett kutatási iráy az optimalitás kritériumá a maximális átlagos övekedési ütemet érti a végtelebe vett határérték értelmébe. Az elemzés megköyítése érdekébe éháy egyszerűsítő feltételt kell bevezeti: felteszem, hogy az eszközök korlátlaul oszthatóak és mide eszköz tetszőleges meyiségbe érhető el az aktuális piaci áro bármely kereskedési periódusba, figyelme kívül hagyom a trazakciós költségeket a 3.5 fejezetig, a befektető viselkedése a vizsgált stratégiák haszálata sorá em befolyásolja a piacot (ez a feltételezés akkor valósághű ha a befektető a teljes kereskedési volumehez képest kis meyiségű tőkével kereskedik). ze feltételezések mellett, a kereskedési módszerek múltbeli adatoko törtéő vizsgálata racioális. Matematikai modell A dolgozatba vizsgált részvéypiaci modellt alkalmazta többek között Breima [8], Algoet és Cover [3]. Tegyük fel, hogy a piaco d darab részvéy 4
va, és a tőkéket mide ap elejé szabado újraoszthatjuk a részvéyek között. A vizsgálatok sorá em haszálom a közgazdasági modellekbe gyakra alkalmazott feltevést, hogy az egyik értékpapír kockázatmetes. Jelölje x = (x () ; : : : x (d) ) 2 R d + a hozamvektort, amelyek j-edik kompoese, x (j) 0, a j-edik részvéy yitó áraiak aráyát fejezi ki az adott ap és azt követő ap között. Más szóval, x (j), azt modja meg, hogy az adott ap reggelé a j-edik részvéybe fektetett egységyi tőke meyit ér a következő ap reggelé. x (j) tehát egy körüli szám. A befektető mide egyes kereskedési periódus elejé diverzifikálja a tőkéjét egy b = (b () ; : : : b (d) ) portfólióvektor szerit. A b j-edik kompoese, b (j) azt modja meg, hogy a j-edik részvéybe tőkéjéek háyad részét fekteti be. A dolgozatba felteszem, hogy b portfólióvektor em egatív kompoesekből áll, amelyekek az összege, azaz, P d j= b (j) =. Az utóbbi feltétel azt jeleti, hogy a befektetési stratégia öfiaszirozó, az előbbi pedig a rövidre eladási üzleteket zárja ki. Jelölje S 0 a befektető kezdeti tőkéjét, ekkor a tőkéje egy ap múlva S = S 0 dx j= b (j) x (j) = S 0 hb ; xi ; ahol h ; i a skalárszorzatot jelöli. Hosszú idejű befektetések eseté a piac változását x ; x 2 ; : : : 2 R d + hozamvektor sorozattal jellemezhetjük. Az x i hozamvektor j-edik kompoese x (j) i, amely azt modja meg, hogy a j-edik részvéybe fektetett egységyi tőke meyit ér az i-edik ap végé. Mide j i eseté az x i j rövidítést haszálom a hozamvektorok (x j ; : : : ; x i ) sorozatára és jelölje d az összes b 2 R d + emegatív kompoesű vektor szimplexét, amely kompoeseiek az összege. gy B = fb ; b 2 ; : : :g befektetési stratégia függvéyekek egy sorozata b i : R d + i! d ; i = ; 2; : : : úgy, hogy b i (x i ) jelöli a befektető által az i-edik apra a piac korábbi viselkedése alapjá választott portfólióvektort. Az egyszerűség kedvéért a későbbiekbe a következő jelölést haszálom b(x i ) = b i (x i ). 5
Az S 0 kezdeti tőkéből kiidulva, -edik ap végé a B befektetési stratégia tőkéje Y D P S = S 0 b(x i ) ; x i = S 0 e i= loghb(xi ) ; x ii = S0 e W(B) ; i= ahol W (B) az átlagos hozamszit (övekedési ráta) W (B) = X i= log D b(x i ) ; x i : Nyilvávalóa, S = S (B) maximalizálása ekvivales W (B) maximalizálásával. Szembe a klasszikus modellekkel, amelyek a piac működéséek a leírására erős statisztikai feltételezéseket teszek, a dolgozatbeli modellekbe a matematikai vizsgálatok sorá haszált egyetle feltétel csak az hogy a api hozamok stacioárius és ergodikus folyamatot alkotak. feltétel mellett a övekedési ráta határértékéek egy jól defiiált maximuma va, amely elérhető a teljes folyamat eloszlásáak ismeretébe az úgyevezett log-optimális portfólió-stratégia segítségével (lásd Algoet és Cover [3]). Log-optimális portfóliók stacioárius piacok eseté Tegyük fel, hogy x ; x 2 ; : : : az X ; X 2 ; : : : véletle valószíűségi változók realizációja, amelyek egy vektor-értékű stacioárius és ergodikus folyamatot fx g alkotak. A feti feltételek mellett vizsgálta pl. Algoet és Cover [3], Algoet [, 2] a portfólióválasztási problémát. A [3]-be és [, 2]- be meghatározott fudametális korlátok megmutatták, hogy az úgyevezett log-optimális portfólió a legjobb választás. Formálisa, az -edik kereskedési periódusba jelölje b ( ) a log-optimális portfóliót: D log b (X ) ; X o X = max b( ) log D b(x ) ; X X A log-optimális stratégia az optimális választás, ahogy azt a következő tétel mutatja. Ha S = S (B ) jelöli a B log-optimális portfólió stratégiával elért tőkét ap utá, akkor mide tetszőleges B befektetési stratégia 6 o :
által elért S = S (B) vagyora és fx g tetszőleges stacioárius és ergodikus folyamat eseté és lim sup! log S S 0 valószíűséggel () ahol lim! log S = W valószíűséggel, (2) W = ( max b( ) log D b(x ) ; X 0 X o ) (3) a log-optimális befektetési stratégia övekedési rátája. Ha a valószíűségi változók függetleek és azoos eloszlásúak, akkor az együttes eloszlásuk ismeretéhez elegedő egyetle változó eloszlást megadi. Ha azoba csak ayit tuduk, hogy stacioárius a sorozat, akkor az együttes eloszlás ismeretéhez az összes változó együttes eloszlása szükséges. Mivel az optimális övekedési stratégia yilvá az együttes eloszlástól függ, ezért kell az egész problémát áttraszformáli a egatív időtegelyre. Az első egyelőtleség ismét a log-optimális stratégia aszimptotikus optimalítását állítja, ahogy azt f.a.e. esetbe is láttuk. Második egyelet mutatja, hogy a log-optimalítási stratégia az optimális aszimptotikus övekedési ütemet realizálja. Az állítás harmadik része az optimális a- szimptotikus övekedési ütem kokrét alakját mutatja. A log-optimális stratégia optimalitása azt jeleti, hogy egyetle másik stratégia sem produkál a végtele időhorizoto agyobb átlagos övekedési ütemet. Természetese a végtele időhorizoto való relatív átlag sok midet eltütet. A külöböző stratégiák eseté csak a végtelebe való övekedési ütemük érdekes. A helyzet azoos a agy számok törvéyével, amikor egy sorozatról csak az átlagát tudjuk. A disszertációba javasoli fogok egy olya stratégiát, ami közel azoos teljesítméyt yújt, mit a log-optimális portfólió, ugyaakkor lehetővé teszi a log-optimális portfólióválasztás összehasolítását a kockázatot is figyelembe vevő pézügyi irodalomba klasszikusa elfogadott átlag-variacia 7
optimalizással. Uiverzális koziztecia Természetese, a log-optimális portfólió meghatározásához, a folyamat (végtele dimeziós) eloszlásáak teljes ismerete szükséges. És ez utóbbi megállapítás emcsak a log-optimális stratégiára igaz, haem az általam javasolt szemi-log-optimális és Markowitz-típusú portfólió-választási stratégiákra. z a probléma megoldást igéyel. zért több kutató törekedett arra, hogy a log-optimális stratégia teljesítméyét lemásoló stratégiát kostruáljo az eloszlás ismerete élkül. Azokat a befektetési stratégiákat, amelyek aszimptotikusa elérik az optimális W hozamszitet az eloszlás ismerete élkül uiverzálisa kozisztesek evezem. Potosabba, egy B befektetési stratégiát uiverzálisa kozisztesek evezük az fx g stacioárius és ergodikus folyamatok egy osztályá, ha mide folyamatra az osztályba lim! log S (B) = W valószíűséggel. Mivel em ismerjük a téyleges eloszlást, hisze em tudjuk az összes változót, csak véges sokat, az optimalizáló eljárásak függetleek kell lei a téyleges eloszlástól. Vagyis olya eljárást kell megadi, amelyet, ha mide véges időhorizoto alkalmazuk, akkor végülis, vagyis határértékbe, megkapjuk az optimális övekedési ütemet. Uiverzális eljárások a log-optimális stratégiával azoos aszimptotikus övekedési rátát teszek lehetővé az eloszlás ismerete élkül publikált Algoet [], Györfi ad Schäfer [2], Györfi, Lugosi, Udia [4], ad Györfi, Udia, Walk [5]. Az eljárás agyo leegyszerűsítve a klasszikus, árfolyamgörbe techikai elemzés mitaillesztéses módszeréek vektorfolyamra való kiterjesztése. A klasszikus módszerél az emberi szem a pillaatyi közelmúlthoz hasoló mitázatokat keresett a távolabbi múltba, amit meg tudott jegyezi, csak egy-egy árfolyamot tudott figyeli, s em azok együttesét. Továbbá külöböző periódusoko (időablakokba) figyelük. A techikai elemzőkek a miták hatásaira voatkozóa tapasztalatai voltak, modhati agyo durva "becsléseket" tartott a fejebe a "felteteles eloszlassal" 8
kapcsolatba. hhez a kutatási iráyhoz kapcsolódóa szerzőtársaimmal é is kidolgoztam olya eljárásokat, amelyek az általam javasolt szemi-log-optimális és a Markowitz-típusú portfólió-stratégiák teljesítméyét másolják aszimptotikusa valószíűséggel. Optimalítás trazakciós díj mellett A disszertációba megvizsgálom a trazakciós díj melletti optimális portfólióválasztás lehetőségét övekedésoptimális befektetés eseté. Kevés olya cikk va, amely diszkrét időbe vizsgálja a trazakciós költség kérdését övekedésoptimális politika eseté. Cover és Iyegar[7] fogalmazta meg a lóverseypiac kérdését, ahol mide egyes periódusba csak az egyik eszközek va pozitív kifizetőfüggvéye az összes többi eszköz em fizet semmit. Aráyos trazakciós költséget tételeztek fel és aszimptotikus várható átlagos övekedési ütem kritériumot alkalmaztak. Általáosabb piacok eseté is vaak eredméyek. Iyegar [6] övekedés-optimális befektetést vizsgált több eszköz, f.a.e. hozamok és aráyos trazakciós költség feltételezése melett. Diszkrét időbe a legmesszebbre jutó taulmáy Schäfer [24] dolgozata volt, amely aszimptotikus várható átlagos övekedési ütemet, több eszközt, aráyos trazakciós költséget tételezett fel, az eszközhozamok pedig stacioárius Markov folyamatot követtek. A legtöbb a kérdéskörrel foglalkozó cikk sztochasztikus optimális kotrollt alkalmaz és a aszimptotikus várható átlagos övekedési ütem szempotjából vizsgálja a kérdést. zért érdekes megvizsgáli vajo va-e emcsak várható értékbe, de egy valószíűséggel optimális stratégia. A log-optimális stratégia kritikája Az átlagos övekedési ütem optimalizálása csak egyike a lehetséges optimalitási kritériumokak. A modellkör közgazdasági kritikája yilvá ebből az észrevételből idul ki. A lehetséges kritikai észrevételek tudomásul vétele elleére a megközelítés jogosultsága em kérdőjelezhető meg. Számos közgazdász em értett egyet az log S, mit cél maximalizálásá- 9
val, és többyire a haszosságelmélet oldaláról idítottak támadást a logoptimális portfólió-választás elle. Az eddigi általáos feltételekkel szembe (stacioárius és ergodikus hozamok), ebbe az alfejezetbe jóval korlátozóbb feltételezéssel élek, mégpedig, hogy a hozamok függetle azoos eloszlásúak. A kritikák e feltételek mellett születtek. Az ilye jellegű kritikákkal az a probléma, hogy figyelme kívül hagyják azt a téyt, hogy a log S -t em haszossági megfotolások miatt kell maximalizáli, haem a kedvező aszimptotikus tulajdoságai miatt. Vegyük észre, hogy az egyes befektetők haszosságától függetleül pézbe kifejezve valószíűséggel a legagyobb vagyot fogja biztosítai aszimptotikusa. Ugyaakkor, ha már a logaritmus függvéyt haszossági függvéyek akarjuk tekitei, akkor e várjuk el, hogy a log-optimális stratégia egy logaritmustól külöböző haszossági függvéy szeriti várható haszosságot is maximalizáljo. 2. A felhaszált módszerek A szemi-log-optimális és a Markowitz-típusú stratégia kostruálásáál alkalmazott módszerta A szemi-log optimális stratégia és a Markowitz típusú stratégia bevezetése sorá alapvetőe a martigálelemélet éháy fogalmára (martigál, szubmartigál, martigál-differecia) támaszkodom. Többször haszálom a szubmartigál kovergecia tételt illetve az ergodelméletből ismert Breima ergodtételt. Módszerta uiverzálisa kozisztes empírikus befektetési stratégiák kostruáláshoz Uiverzálisa kozisztes portfólió-stratégia készítéséhez a emparaméteres regressziófüggvéy-becslés yújt segítséget. Mivel ez kevésébbé ismert, mit a fetebb hivatkozott alapvető, martigálokkal kapcsolatos ismeretek, ezért rövide ismertetem a szükséges fogalmakat és a portfólióelmélethez való kapcsolódódásukat. Legye Y egy valós értékű valószíűségi változó, 0
jelöljö továbbá a X egy véletle vektort. A m(x) regressziós függvéy az Y -ak a X-re voatkozó feltételes várható értéke m(x) = (Y jx = x): Az adatok egy f.a.e. sorozatot alkotak (X; Y ): D = f(x ; Y ); : : : ; (X 2 ; Y 2 )g: A regressziós függvéy becslés a következő formába adható meg m (x) = m (x; D ): Speciális típust alkotak a lokális átlagoláso alapuló becslők m (x) = X i= W i (x; X ; : : : ; X )Y i ; ahol a W i súlyok em egatívak és az összegük (lásd.[3]). Ha ismeretle eloszlás eseté a log-optimális portfóliót szereték becsüli akkor egy olya b portfóliót keresük, amely a [log D b(x ) ; X jx ]: kifejezést maximalizálja. Így az általáos regresszó függvéy becslés és a log-optimális portfólió becslés közötti megfeleltetés az alábbi. X X k Y log hb ; X k+ i m(x) = fy jx = xg m b (x k ) = [log hb ; X k+i jx k = xk ]: A magfüggvéy alapú regressziós becslő egy K(x) 0 magfüggvéy és egy h > 0 ablakméret segítségével va defiiálva m (x) = P x X i= Y i K i h P x X i= K i h :
Az egyeletes K(x) = I fkxkg magfüggvéy eseté, m (x) = P i= Y i I fkx Xi khg P : i= I fkx Xi khg Györfi, Lugosi, Udia [4] vezette be a magfüggvéy alapú stratégiát, amelyek egy egyszerűbb, az egyeletes magfüggvéyhez tartozó, mozgó ablakos verzióját ismertetem. A stratégiához defiiálom a szakértők egy végtele osztályát B (k;`) = fb (k;`) ( )g-t, ahol k és ` pozitív egészek. Mide fix k; ` pozitív egészhez válasszuk egy r k;` > 0 sugarat, úgy, hogy mide fix k-ra lim r k;` = 0 : `! kkor mide > k + eseté defiiáljuk a b (k;`) szakértőt a következőképpe Y b (k;`) (x ) = arg max hb ; x i i ; b2 d fk<i<:kx i i k x kr k k;`g ha a szorzat em üres, külöbe pedig válasszuk az egyeletes b 0 = (=d; : : : ; =d) portfóliót. Az előbb bemutatott empirikus stratégia alapötlete a szakértők (portfóliók) kombiálása, azaz ha B K -vel jelöljük a kombiálás utá kapott stratégiát X S (B K ) = q k;`s (B (k;`) ); k;` Az uiverzális koziszteciához azt kell megmutati, hogy lim if! log S (B K ) W m.m.. Györfi, Lugosi, Udia [4] bebizoyította, hogy B K portfólióséma uiverzálisa kozisztes az ergodikus folyamatok azo osztályára, amelyre igaz fj log X (j) jg <, j = ; 2; : : : ; d. Az egy valószíűséggel taulhatóság érdekes eredméy. Nagyo durvá fogalmazva azt állítja az előbb ismertett három módszer, hogy egy agyo fejlett "techikai elemzés" lehet hatékoy. gy ilye megjegyzéssel szembe a szokásos elleérv, hogy em elég az "árfolyamgörbéket" lesi, sok más 2
iformáció is szükséges a sikerhez, így a kapcsolatos cégek fudametális elemezése, a makrogazdasági köryezet, az,hogy a gazdasági ciklus mely potja sejtjük magukat, hogy áll a világgazdaság, szóval sok mide más. Az előbb ismertett módszerek sorá persze em éháy tucat típusmitát figyelük, az árfolyamoko keresztbe is, s emcsak az időtegely mete dolgozuk. z midekeppe regeteg plusz iformációt hordoz, ami csökketi a feti szokasos fayalgás érvéyességét, em beszélve az egy valószíűségű bizoyítás erejéről. A feti módszerek végtele időhorizotra voatkozak véges időhorizotú befektetés sikerére em jeleteek feltétle garaciát. Módszerta a trazakciós költség bevezetéséhez A trazakciós díj bevezetése kapcsá a módszertai alapvetés két cso- korba gyűjthető. gyrészt ki kell terjesztei a elemzési keretkét szolgáló matematikai modellt a trazakciós költséggel. Másrészt ki kell terjesztei a módszertat a Markov kotroll folyamatokra. A trazakciós költség bevezetéséél támaszkodok a [7] cikkre. Az. fejezetbe bevezettem az S, amit az -edik api vagyokét defiiáltuk. bbe a fejezetbe S jelölje a bruttó vagyo agyságát az -edik ap végé ( = 0; ; 2; ), ugyais a trazakciós költség miatt meg kell külöböztetük a ettó és a bruttó vagyo agyságát. N jelölje az -dik kereskedési periódus végé kialakuló ettó vagyo agyságát. Feltehetjük, hogy a befeketető kezdeti vagyoa S 0 dollárral egyelő. Mide további az. fejezetbe bevezetett jelölés érvéybe marad. A feti jelölés tudatába az -edik kereskedési periódus kezdeté az N ettó vagyot a b portfólióvektor szerit fektessük be. kkor a -edik ap végé kialakuló S bruttó vagyo S = N dx j= b (j) x (j) = N hb ; x i ; ahol h ; i a belső szorzatot jelöli. Az + -edik ap elejé a befektető felállítja az új portfólióját, azaz végrehajtja az új b + vektor szerit szükséges vételeket és eladásokat. A 3
vételekért és az eladásokért trazakciós költséget kell fizetie, ezért az +- edik ap kezdeté a b + portfólióba levő vagyoa kevesebb mit S. A feti jelölések alapjá -dik ap végi bruttó vagyo S a következőképpe éz ki: S = N hb ; x i : A kiszabott trazakciós költség egy eszköz vásárlása vagy eladása eseté 0 < c p < illetve 0 < c s <, vagyis, dollár értékű részvéy eladása csak c s dollár jövedelmet jelet, és hasolóa dollár értékű eszköz megvásárlása +c p dollárba kerül. Felteszem, hogy ezek a költségek mide eszközre azoosak. Számoljuk ki a b + portfólió összeállításakor fizetedő trazakciós költséget. Mielőtt a tőkéket átredezék, a j-edik eszközbe fekvő tőke b (j) x (j) N dollár, míg az átredezés utá b (j) +N meyiségú dollárt kell képviselie. Ha b (j) x (j) N b (j) +N akkor el kell aduk és a fizetedő trazakciós költség a j-edik eszközhöz kapcsolódóa c s b (j) x (j) N b (j) +N ; máskülöbe veük kell és így a trazakciós költség a j-edik eszközhöz kapcsolódóa (j) c p b +N b (j) x (j) N : Jelölje x + az x pozitív részét. kkor a bruttó vagyo felbomlik a ettó vagyo és a bruttó vagyo összegére a következő öfiaszírozó módo N = S dx j= c s b (j) x (j) N b (j) +N + dx j= c p b (j) +N + b (j) x (j) N ; vagy hasolóa S = N +c s dx j= b (j) x (j) N b (j) +N ++cp dx j= b (j) +N + b (j) x (j) N : Markov kotroll elmélet 4
A diszkrét idejű portfólió-optimalizálás az általáos Markov kotroll folyamatok elmélet egyik speciális esete. gy diszkrét idejű Markov kotroll folyamat a következő öt meyiséggel jellemezhető: (S; A; U (s); Q; r). S jelöli az állapotteret, A az akciók tere, míg az egyes állapotokba megegedett akciók terét U (s) jelöli ami egy részhalamaza az A-ak. Legye a K halmaz a következőképpe defiiálva f(s; a) : s 2 S; a 2 U (s)g. A Q(:js; a) egy átmeetvalósziűség magfüggvéy S és K feltétel mellett. Továbbá r(s; a) a megtérülési függvéy. A folyamat a következőképpe alakul. Jelölje S t a t időpotba elfoglalt állapotot. S t állapotba kiválasztjuk a számukra optimális akciót: A t -t. Ha S t = s és A t = a, akkor a megtérülés r(s; a) és a folyamat S t+ állapotba mozdul a Q(:js; a) átmeetfüggvéy szerit. A kotroll politika egy sorozat az A halmazo, ahol a múltbeli akciók és állapotok vaak a feltételbe, azaz ( js 0 ; a 0 ; : : : ; s,a ; s ) akár egy véletleített politika is lehet. Két megtérülési kritériumot szokás figyelembe vei. A aszimptotikus várható hozam a kotrollpolitika eseté a következőképpe va defiiálva J() = lim if! X t=0 r(s t ; A t ): (4) A trajektóriákéti aszimptotikus hozamot a következőképpe kell defiiáli X J() := lim if r(s! t ; A t ): (5) A Markov kotroll elméletbe az eredméyek többsége a (4) szeriti várható átlagos hozammal kapcsolatos, csak éháy cikk tud eredméyt felmutati a (5) szeriti trajektóriákéti hozammal. A cél megközelítei a maximális aszimptotikus hozamot: t=0 J = sup J(); ami diamikus programozási feladathoz vezet el. 5
3. Az értekezés eredméyei 3.. A szemi-log-optimális stratégia gy új szekveciális befektetési stratégiát vezettem be szemi-log-optimális stratégia évvel. A log-optimális stratégiával elletétbe a logaritmus célfüggvéy helyett aak Taylor soros közelítését haszálva. A szemi-log-optimális stratégiá keresztül lehetőségük yílik a Markowitz-típusú stratégia (ami a hagyomáyos átlag-variacia optimalizálás stacioárius és ergodikus hozamfolyamatra törtéő kiterjesztése) és a log-optimális stratégia összevetésére. Legye h(x) = (x ) (x 2 )2 ; amely a log x másodredű Taylor sorfejése az x = helye. Az -dik kereskedési apo a szemi-log-optimális portfólió-stratégiát a következőképpe defiiálom ~b(x ) = arg max b( ) és ~ S = S ( ~ B), ahol ~ B = f ~ b( )g. D h b(x ) ; X o X : Összevetettem eze stratégia teljesítméyét az optimális aszimptotikus övekedési rátát produkáló log-optimális stratégiával. Megmutattam, hogy bármely stacioárius és ergodikus fx g folyamat eseté, ahol a X j + c, 0:4 > a > 0, c > 0 a következő adódik W lim if log ~ S W 5 6 [max i (jx (i) 0 j 3 jx )] m.m.. A részvéypiacoko ahol az eszközökkel api szite kereskedek korlátokat állítaak fel a api maximális árfolyamváltozásra. Ha ezt a maximumot eléri a api árfolyamváltozás, például az árfolyam agyot esik apo belül, akkor az adott eszköz kereskedését felfüggesztik arra a apra. Ha feltesszük, hogy a = c = 0:, az eredméy azt állítja, hogy szemi-log-optimális stratégia legfeljebb 5=6 0: 3 ' 0:083%-al teljesít rosszabbul mit a log-optimális stratégia. 6
ljárást adtam a szemi-log-optimális portfólió megkeresése A szemi-log-optimális portfólió megkeresése ekvivales azzal, hogy megtaláljuk a következő kvadratikus programozási feladat megoldását: maximalizáljuk a g(b; X ) = 2 D b ; m(x D ) b ; C(X )b > 2 P célfüggvéyt a b vektor szerit a d b i = megszorítás mellett, ahol b i 0 mide i-re, ahol és i= m(x ) = (X jx ) C(X ) = fc i;j g C i;j = (X (i) X (j) jx ): 3.2. Diamikus átlag-variacia optimalizálás Markowitz portfólió-stratégiájáak a célja olya eszközallokálás végrehajtása a pézügyi piaco, ami optimális átváltást biztosít a várható hozam és a kockázat között. A statikus (egyperiódusos modell) klasszikus megoldását Markowitz [20] és Merto [2] adták meg. z a modell a várható haszosság modellekhez képest a diverzifikáció ituitív magyarázatát adta. A stadard Markowitz modelltől való megkülöböztetés érdekébe a bevezetett haszossági függvéyemet Markowitz-típusú haszossági függvéyek eveztem. Megadtam a Markowitz-típusú haszossági függvéy feltételes várható értékét: UM (D b(x ) ; X ; )jx : D = f b(x ) ; X jx = f D b(x ) ; X jx D + 2 b(x ) ; X jx o o (6) D g Var b(x ) ; X jx (7) D 2 g b(x ) ; X jx (8) o ; (9) 7
ahol X az -edik ap piaci hozamvektora, b(x ) 2 d, 2 [0; ) a befektető kostas kockázatelutasításáak mértéke, továbbá U M (D b(x ) ; X ; ) : = D b(x ) ; X D b(x ) ; X 2 + 2 f D b(x ) ; X jx g: Defiiáltam a Markowitz-típusú portfólió-stratégiát: B = f b ( )g, ahol o UM ( : b (X ) = arg max b2 d D b(x ) ; X ; )jx Jelölje S ; = S ( B ) a Markowitz-típusú portfólió-stratégia elért vagyoát, az -edik kereskedési periódus utá. Megmutattam, hogy a Markowitz-típusú stratégia visszaadja a szemilog-optimális stratégiát, ha a befektető kockázatelutasítási mutatója a paraméter diamikusa változik időbe, vagyis a Markowitz-típusú befektető a portfólió múltbeli teljesítméye alapjá folyamatosa igazítja a kockázatkerüléséek mértékét. A diamikus változtatására formulát adtam. gy befekető számára yilvávalóa adódik a kérdés: vajo hogya alakul az aszimptotikus átlagos övekedési ütem az elérhető legjobbhoz képest, ha átlag-variacia portfólió optimalizálást végzük mide egyes kereskedési periódusba? Természetese ilyekor a kockázatra érzékeyebb olvasó felkaphatja a fejét és megkérdezheti vajo mi törtéik akkor ha a részvéypiac em a kedvező iráyba változik. kkor valóba egy "kockázatkezelt" stratégia elvileg jobba kell hogy teljesítse, de é a legagyobb "felülteljesítést" keresem a log-optimális javára. Alsó becslést adtam a Markowitz-típusú stratégia aszimptotikus átlagos övekedési ütemére az optimálisa elérhető aszimptotikus átlagos övekedési ütemhez képest. Bármely stacioárius és ergodikus fx g folyamatra, amelyre X (j) j = ; : : : ; d-re, ahol 0 < a < feáll, és a 8
mide 2 h 0; 2 -ra W lim if! log S ; W A ;a B ;a C ;a ( ( max m max m max m X (m) 0 log(x (m) (X (m) 0 ) 2 j X f X (m) 0 o ) 3 X g 0 ) X mi m m.m. jx (m) 0 jx ahol S ; a Markowitz-típusú portfólió-stratégia -dik api vagyoa kockázatkerülési paraméter mellett továbbá és A ;a = 2a + ( 4)(a )I f0 4 g 2 C ;a = a 3 + 3( 2) : ; B ;a = 2 2 2 I f 4 << 2 g Fetebb 2 [0; ) paraméterértékek mellett adtam meg állítást. gy 2 befektető tipikus kockázatelutasítási paramétere = 0:005G, ahol G értéke 2 és 4 közé esik (lásd pl. [6]). Így a tétel teljes mértékbe lefedi a praktikus szempotból érdekes kockázatelutasítási paraméter értékeket. A "hibatagok" agyságredjéek elemzéséhez kisérleteket végezhetük. A értékéek optimális megválasztásával a W és a lim if! log S ; közötti külöbség az empírikus W értékéek %-a alá csökkethető. 2 ) 3.3. xplicit kockázat kotroll Az eredeti log-optimális portfólióstratégia eseté előfordulhat, hogy az összeállított portfólió értéke az idex zuhaása miatt rohamosa csökkee egy bizoyos százalékkal, amikor is a kötelező kockázatkezelési szabályok miatt a kezelő átredezé a portfólióját, azaz emcsak a várható hozam, de aak a kockázata (variaciája) figyelembe vétele is fotos. Markowitztípusú startégia és a log-optimális stratégia kapcsolatát már vizsgáltuk. Ugyaakkor em lehet elégszer hagsúlyozi a kockázatkezelés fotosságát. 9
Míg a Markowitz-típusú portfólió-stratégia eseté lehetővé tettük, hogy a portfólióstratégia a teljes szimplexe optimalizáljo addig itt kokrét véletle megszorítást alkalmazok a választhatő portfóliók halmazára. Bevezettem a kockázat megszorítás melletti log-optimális portfólióvizsgálat egy lehetséges elemzési keretét. Kockázati megfotolások miatt megszorítom a lehetséges portfólióvektorok halmazát a c d halmazra. Legye a kockázat-megszorítás melletti log-optimális portfólió az -dik kereskedési apo b b ( ) a következőképp defiiálva D b b (X ) = arg max log b(x ) ; X o X : b( )2b Állításokat modtam ki és bizoíyítottam be a kockázat-megszorítás melletti log-optimális portfólió aszimptotikus tulajdoságairól. Megadtam a kockázat megszorítás melletti log-optimális portfólió Kuh-Tucker jellemzését. 3.4. mpírikus portfólió-választás A szemi-log-optimális és a Markowitz-típusú portfólió kiszámításához ismeri kell a hozamfolyamat eloszlását. Mivel ez em áll redelkezésre két empírikus stratégiát javasoltam a magfüggvéy alapú szemi-log-optimális stratégiát és a magfüggvéy alapú Markowitz típusú startégiát. Az eljárás a Györfi, Lugosi, Udia [4] által bevezetett magfüggvéy alapú eljárás közelítése úgy, hogy a hozamvektor első és második mometumát haszáljuk csak. Magfüggvéy alapú szemi-log-optimális stratégia Defiiáljuk a szakértők végtele vektorát a következőképpe: ~H (k;`) = f ~ h (k;`) ( )g, ahol k; ` pozitív egészek. Rögzített pozítiv egész k eseté válaszszuk meg az r k;` > 0 sugarat a következőképpe: lim r k;` = 0: `! 20
kkor bármely > k + eseté defiiáljuk a h ~ (k;`) szakértőket a következőképpe. Jelölje J az egybeeséseket: J = k < i < : kx i i k x kk r k;`o : Legye X ~h (k;`) (x ) = arg max h(hb ; x i i) ; (0) b2 d fi2j g ha az összegzés em üres, egyébkét b 0 = (=d; : : : ; =d). Kombiáljuk a szakértőket a következőképpe: legye fq k;`g a (k; `) pozitív egészek feletti valószíűségeloszlás, amelyre bármely k; ` eseté teljesül q k;` > 0. A ~ B K stratégiát a következőképpe kaphatjuk meg: ~b(x ) : = Pk;` q k;`s ( H ~ (k;`) ) h ~ (k;`) (x ) P : k;` q k;`s ( H ~ (k;`) ) Jelölje S ( ~ H (k;`) ) az elemi ~ H (k;`) szakértő -dik apra felhalmazott tőkéjét S 0 = kezdeti tőkével ~S K = S ( ~ B K ) = X k;` q k;`s ( ~ H (k;`) ) : () Megmutattam, hogy a h ~ (k;`) (x ) kiszámításáak futásideje sokkal kisebb volt (ha jjj elég agy) mit a h (k;`) (x ) számítási ideje. Megmutattam, hogy ha a hozamfolyamat stacioárius és ergodikus és a X j + c, 0:4 > a > 0, c > 0, mide j = ; 2; : : : d-re, akkor ~S K = S ( B ~ K ) eseté lim if! log S ~ K W 5 6 fmax j jx (j) j 3 g m.m. Az állítás azt mutatja, hogy a magfüggvéy alapú szemi-log-optimális stratégia közel olya veszteséget szved el a log-optimális stratégiával szembe, mit amit a szemi-log-optimális stratégia elszevedett. Magfüggvéy-alapú Markowitz-típusú stratégia Olya empírikus stratégiát kostruáltam, amelyre a Markowitz-típusú stratégia aszimptotikus övekedési üteméél alkalmazott alsó becsléséhez 2
képest közel azoos aszimptotikus alsó becslés adható. z egy empírikus stratégia azaz kizárólag az elmúlt kereskedési apok alapjá határozza meg a portfóliót, em épít az eloszlás ismeretére mit az eredeti Markowitztípusú stratégia. Bevezetve a szakértők következő végtele sorozatát H (k;`) = fh (k;`) ( )g, ahol k; ` pozitív egészek. Legye h (k;`) (x ) = arg max b2 d 0 @ ( 2) + jj j X fi2j g 0 @ X fi2j g (hb ; x i i hb ; x i i ) X fi2j g (hb ; x i i ) 2 A2 C A (2) ha a szumma em üres, egyébkét b 0 = (=d; : : : ; =d). A szakértőket a fq k;`g valószíűség eloszlás szerit kevertem, ahol bármely k; `, q k;` > 0. Az B stratégiát a következőképpe defiiáltam b (x ) : = Pk;` q k;`s ( H (k;`) ) h (k;`) (x ) Pk;` q k;`s ( H : (k;`) ) S ; ( B ) = X k;` q k;`s ( H (k;`) ) : (3) A B magfüggvéy-alapú Markowitz-típusú stratégia a fh (k;`) g szakértők kombiációja a (3) kombiáció szerit. Bármely fx g stacioárius és ergodikus folyamatra, amelyre X (j) j a h= ; : : : ; d-re, ahol 0 < a <, bármely S ; = S ; ( B ) és mide 2 0; 2 -ra feáll azt kapjuk, hogy lim if! S ; W A ;a B ;a fmax C ;a ( m max m max m X (m) 0 log(x (m) (X (m) 0 ) 2 j X f X (m) 0 o ) 3 X g 0 ) mi m X jx (m) m.m. 0 j 2g X 22
ahol és A ;a = 2a + ( 4)(a )I f0 4 g 2 C ;a = a 3 + 3( 2) : ; B ;a = 2 2 2 I f 4 << 2 g 3.5. Optimális portfólió-választás trazakciós költség eseté Két optimális portfólió-választási szabályt vezettem be. Jelölje 0 < < a diszkotfaktort. Tekitsük a következő diszkotált Bellma egyeletet: és F (b; x) = max fv(b; b 0 ; x) + ( )ff (b 0 ; X 2 ) j X = xgg : (4) b 0 Stratégia lső portfólió-választási stratégiám a következő: b i+ b = f=d; : : : ; =dg = arg max b 0 v(b i ; b 0 ; X i ) + ( i )ff i (b 0 ; X i+ )jx i gg; (5) ahol i, és a 0 < i < diszkotfaktorra teljesül, hogy i # 0. Megmutattam, hogy az Stratégia trajektóriákét átlagos övekedési ütem szempotjából optimális: Ha az fx i g homogé elsőredű Markov folyamat és va olya 0 < a < < a 2 <, hogy a X (j) a 2 mide j = ; : : : ; d, akkor a i # 0 megválasztható úgy, hogy lim if log S! log S 0 m.m. teljesüljö. Az S egy tetszőleges másik b i stratégia által elért -edik api vagyo. 23
Rekurzió segítségével defiiáltam a 2.stratégiámat. 2. Stratégia. Bármely k egész eseté, legye és b (k) i+ b (k) = f=d; : : : ; =dg (k) = arg max v(b i ; b 0 ; X i ) + ( k )ff k (b 0 ; X i+ )jx i gg; (6) b 0 bármely i-re. A B (k) = fb (k) i g portfóliót a k szakértő portfóliójáak evezzük S (B (k) ) tőkével. Válasszuk egy tetszőleges q k > 0 valószíűségeloszlást és defiiáljuk a kombiált portfoliót a következőképpe ~S = X k= q k S (B (k) ): Megmutattam, hogy ha az fx i g homogé elsőredű Markov folyamat és va olya 0 < a < < a 2 <, hogy a X (j) a 2 mide j = ; : : : ; d és a diszkotfaktor a i # 0 amit i! akkor m.m. lim! log S log S ~ = 0 Hivatkozások [] P. Algoet. Uiversal schemes for predictio, gamblig, ad portfolio selectio. Aals of Probability, 20:90 94, 992. [2] P. Algoet. The strog law of large umbers for sequetial decisios uder ucertaity. I Trasactios o Iformatio Theory, 40: 609 634, 994. [3] P. Algoet, T. Cover. Asymptotic optimality asymptotic equipartitio properties of log-optimum ivestmets. Aals of Probability, 6:876 898, 988. 24
[4] A. Arapostathis, V. S. Borkar,. Feradez-Gaucherad, M. K. Ghosh ad S. I. Marcus. Discrete-time Cotrolled Markov Processes with Average Cost Criterio: a Survey." SIAM J. Cotrol Optimzatio, 3:282-344, 993 [5] D. P. Bertsekas, ad S.. Shreve. Stochastic Optimal Cotrol: the Discrete Time Case. New York: Academic Press, 978. [6] Z. Bodie, A. Kae, ad A. J. Marcus. Ivestmets. McGrawHill- Irwi, 2005. [7] L. Breima. The idividual ergodic theorem of iformatio theory. Aals of Mathematical Statistics, 28:809 8, 957. Correctio. Aals of Mathematical Statistics, 3:809 80, 960. [8] L. Breima. Optimal gamblig systems for favorable games. Proc. Fourth Berkeley Symp. Math. Statist. Prob., :65 78, 96. [9] Y. S. Chow. Local covergece of martigales ad the law of large umbers. Aals of Mathematical Statistics, 36:552 558, 965. [0] T. Cover ad J. Thomas. lemets of iformatio theory. Joh Wiley ad Sos, 99. [] M. H. A. Davis ad A. R. Norma. Portfolio Selectio with Trasactio Costs." Mathematics of Operatios Research, 5:676 73, 990. [2] L. Györfi, D. Schäfer. Noparametric predictio. Advaces i Learig Theory: Methods, Models ad Applicatios, J. A. K. Suykes, G. Horváth, S. Basu, C. Micchelli, J. Vadevalle (ds.), IOS Press, NATO Sciece Series, 339 354, 2003. [3] L. Györfi, M. Kohler, A. Krzyżak ad H Walk. A distributio-free theory of oparametric regressio. Spriger, New York, 2002. [4] L. Györfi, G. Lugosi, ad F. Udia. Noparametric kerel-based sequetial ivestmet strategies. Mathematical Fiace, 6:337 357, 2006. 25
[5] L. Györfi, F. Udia, H. Walk. Noparametric earest eighbor based empirical portfolio selectio strategies. Statistics ad Decisios(i prit), 2008. [6] G. Iyegar. Discrete time growth optimal ivestmet with costs. Workig Paper, http://www.columbia.edu/ gi0/papers/stochastic.pdf, 2002. [7] G. Iyegar ad T. Cover. Growths Optimal Ivestmet i Horse Race Markets with Costs. I Trasactios o Iformatio Theory, 46:2675 2683, 2000. [8] J. B. Lasserre. Sample-path Average Optimality for Markov Cotrol Processes. I Trasactios o Automatic Cotrol, 44:966 97, 999. [9] H. R. Markowitz. Ivestmet for the log ru: ew evidece for ad old rule. The Joural of Fiace 3(5):273 286, 976. [20] H. R. Markowitz. Portfolio selectio. The Joural of Fiace 7():77 89, 952. [2] R. Merto. A itertemporal capital asset pricig model. coometrica, 4(5):867 887, 973. [22] R. C. Merto ad P. A. Samuelso. Fallacy of the log-ormal approximatio to optimal decisio makig over may periods. Joural of Fiacial coomics, ():67 94, 974. [23] P. A. Samuleso. Lifetime portfolio selectio by dyamic stochastic programmig. The Review of coomics ad Statistics 5(3):239 246, 969. [24] D. Schafer. Noparametric estimatio for fiacial ivestmet uder log-utility. PhD Dissertatio, Mathematical Istitute, Uiversity Stuttgart, 2002. [25] W. F. Stout. Almost sure covergece. Academic Press, New York 974. 26
[26] M. Taksar, M. Klass ad, D. Assaf. A Diffusio Model for Optimal Portfolio Selectio i the Presece of Brokerage Fees." Mathematics of Operatios Research, 3:277 294, 988. [27] O. Vega-Amaya. Sample-path Average Optimality of Markov Cotrol Processes with Strictly Ubouded Costs." Applicatioes Mathematicae, 26:363 38, 999. A témakörrel kapcsolatos saját és társszerzős publikációk jegyzéke [28] L. Györfi, A. Urbá, ad I. Vajda. Kerel-based semi-log-optimal empirical portfolio selectio strategies. Iteratioal Joural of Theoretical ad Applied Fiace, 0(5):505 56, 2007. [29] Gy. Ottucsák, I. Vajda. A asymptotic aalysis of the mea-variace portfolio selectio. Statistics ad Decisios, 25:63 88, 2007. [30] L. Györfi, I. Vajda. Growth Optimal Portfolio Selectio Strategies with Trasactio Costs, Spriger Lecture Notes i Artificial Itelligece 5254:08 23, 2008. [3] I. Vajda. Aalysis of semi-log-optimal ivestmet strategies. Proc. Prague Stochastics, 79 727, 2006. [32] Gy. Ottucsák, I. Vajda. mpirikus portfólióstratégiák. Közgazdasági Szemle, 53:624 640, 2006. 27