Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata

Átírás

1 Közgazasági Szemle, LVI. évf., jauár (1 18. o.) ORMOS MIHÁLY URBÁN ANDRÁS ZOLTÁN TAMÁS Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata A logoptimális portfólióelmélet matematikai bizoyítását, valamit empirikus vizsgálatait követõe még miig em kaptuk választ arra a kérésre, hogy a stratégia alapjá várható hozam meyivel halaja meg a pézügyekbe egyszerûe csak egyesúlyiak evezett várható hozamot. E taulmáy alapjául szolgáló kutatás alapvetõ célja, hogy a matematikai bizoyításo túl olya empirikus igazolását is aja az említett stratégiáak, amely igazolja aak létjogosultságát. A olgozat legfotosabb ereméye egyrészt az eig alkalmazott peremfeltételek egyikéek, a trazakciós költségtõl metes kereskeés feltételezéséek aalitikus elvetése, és a moell ezzel kiegészített újrafogalmazása, másrészt az empirikus vizsgálat, amely a CAPM moellre építve igazolja a kereskeési stratégiába rejlõ arbitrázslehetõséget. A vizsgálatokhoz a New York-i tõzse aatbázisát haszáltuk.* Joural of Ecoomic Literature (JEL) kó: G11. Ebbe a taulmáyba a logoptimális portfólióelméletre épülõ befektetési stratégia jóságát elemezzük. A logoptimális portfóliók újszerû elmélete a klasszikus mószerektõl eltérõe em a tõkepiaci árazási moellbõl (Capital Asset Pricig Moel, CAPM) jól ismert kockázatot reprezetáló kockázati paramétere keresztül próbálja megmagyarázi a várható hozamot, haem mie befektetési perióusba egy olya portfólió meghatározására törekszik, amely a logaritmikus várható hozamot maximalizálja látszólag függetleül bármilye kockázati paramétertõl, téyezõtõl. A logoptimális portfólióstratégiák (lás Algoet Cover [1988], Algoet [1992], Györfi Urbá Vaja [2007]) a tõke-visszaforgatásos vagyogyarapoás mértékéek maximalizálására stacioárus és ergoikus piaci folyamatokat feltételezve, bizoyította mie más mószerél alkalmasabbak. Az említett mukák szitézisét és a klasszikus, valamit a logoptimális portfólióelmélet szoros kapcsolatát e lap hasábjai Ottucsák Vaja [2006] mutatta be. Az itt ismertetett eljárások a tõkét iamikusa kezelik, a portfólióváltoztatás lehetõségét mie kereskeési perióusba fetartva. Az eig megjelet írások, amelyek a logoptimális portfólióstratégiák hozamitezitásáak empirikus vizsgálatait mutatták be, * A szerzõk szeretéek köszöetet moai Györfi Lászlóak a kézirat átolvasásért és haszos taácsaiért, valamit az aoim bírálóak kiváló javaslataiért, bátorító üzeetéért és alapos mukájáért, amelyek agyba hozzájárultak az érthetõbb és világosabb és em utolsósorba komolyabb állításokat megfogalmazó olgozathoz. Bármilye, a taulmáyba fellelhetõ hiba kizárólag a szerzõk felelõssége. Ormos Mihály a Buapesti Mûszaki és Gazaságtuomáyi Egyetem pézügyek taszékéek egyetemi ocese ( ormos@fiace.bme.hu). Urbá Arás a Buapesti Mûszaki és Gazaságtuomáyi Egyetem pézügyek taszékéek elsõéves oktorausz hallgatója, az MTA Sztaki mukatársa ( urba@fiace.bme.hu). Zoltá Tamás közgazász, a CIB Bak mukatársa ( zolta@fiace.bme.hu).

2 2 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás sok olya egyszerûsítõ feltételezésre építettek, amelyek peremfeltételekkét em tûek komoly torzításak a matematikai tétel kimoásakor, aak bizoyításakor, a moell felállításakor. E taulmáy célja kettõs Igazoljuk, hogy a logoptimális stratégia által meghatározott portfólió várható hozama meghalaja a hasoló kockázatú tõkepiaci befektetések segítségével realizálható egyesúlyi hozamot. Eek igazolására az egyszerû CAPM (lás Sharpe [1964], Liter [1965], Mossi [1966]) moellt, valamit a Sharpe-rátát haszáljuk, amellyel 0,928 értéket mértük a New York tõzse kompozit iexéek 0,299 értékéhez viszoyítva. 2. Olya moellt építsük az egyszerûsítõ feltételezések közül a komoly torzítást horozó ulla trazakciós költséget elvetve a logoptimális portfólióstratégia empirikus vizsgálatait a valósághoz közelítve, amellyel a trazakciós költségek figyelembe vehetõk. Külööse fotos téyezõrõl va szó egy olya kereskeési stratégia esetébe, amely ap mit ap átreezi a portfólió összetételét, így hosszabb iõtávo meglehetõse agy tõkét emészt fel a ve meg és tarts meg (buy a hol) stratégiához viszoyítva. A forgalomaráyos trazakciós költség bevezetése a moellbe olya újszerû ereméy, amellyel korrigálva a tökéletes piaci feltételezéseket, továbbra is bizoyítható a kereskeési stratégia többletteljesítméye. A feltétel levezetéséhez Schäfer [2002] mukájából iultuk ki, itt aak továbbfejlesztett, potosított változatát mutatjuk be. Az említett empirikus vizsgálataik sorá már e költségek figyelembevételével meghatározott hozamaatokkal olgozva jutottuk az említett ereméyre, bár hozzá kell teük, hogy a megelõzõ empirikus vizsgálatok hozamaihoz viszoyítva ez már jóval szeréyebb. Összességébe állítjuk, hogy a logoptimális stratégia segítségével jóval az egyesúlyi hozamot meghalaó hozamot realizálhatuk. Ez az aomália a tõkepiaci hatékoyság erõs pilléreit támaja, bár azt sem vetjük el, hogy a csatolt hipotézis, amely szerit létezik egyesúlyi moell (ez esetükbe a CAPM), em tökéletes, és más paraméterek is szükségesek eek leírásához, ahogy a Fama Frech [1993], [1996] háromfaktormoell választ aott a Basu [1977] és Baz [1981] által feltárt aomáliákra. Elõször a logoptimális portfólióelmélet matematikai moelljét és az empirikus stratégiákat mutatjuk be, ezt követõe a forgalomaráyos trazakciós költség moellbe törtéõ bevezetését tárgyaljuk. A taulmáy végé közölt empirikus ereméyek már az így kiegészített logoptimális portfólióstratégia ereméyeit összegzik. Matematikai moell Az itt bemutatott értékpapír-piaci moellt alkalmazta többek között a logoptimális portfóliókkal elõször foglalkozó Kelly [1956], továbbá Lataé [1959], Breima [1961], Fikelstei Whitley [1981], Algoet Cover [1988], Cover [1991], valamit Györfi Urbá Vaja [2007] is. Tegyük fel, hogy a piaco arab értékpapír áll reelkezésre, és a tõkéket mie egyes ap elejé szabao átcsoportosíthatjuk a papírok között. Jelölje x = ( x (1),, x ( ) ) R a hozamvektort, amelyek j-eik kompoese, + x( j) 0, a j-eik értékpapír záróáraiak aráyát fejezi ki az aott ap és az azt követõ ap között. Azaz x ( j) megaja, hogy az aott ap végé a j-eik értékpapírba fektetett egységyi tõke meyit ér a következõ kereskeési perióus végé. x ( j) általába 1-hez közeli érték. 1 Az eigi empirikus vizsgálatok sorá mie esetbe arra tett kísérletet a szerzõ (lás Cover [1991], Siger [1997], Györfi Lugosi Uia [2006], Györfi Urbá Vaja [2007]), hogy a stratégia ereméyekét realizált hozam agyságát összevesse a portfólióba található legagyobb hozamot geeráló elem hozamával. Ez matematikai szempotból kifogásolhatatla megolás, azoba a traicioális pézügyekbe a hozamot ömagába, aak kockázatosságáak figyelembevétele élkül em szokás vizsgáli.

3 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 3 A befektetõ mie egyes kereskeési perióus elejé iverzifikálja a tõkéjét egy b = (b (1),, b () ) portfólióvektor szerit. A b j-eik kompoese, b ( j) azt határozza meg, hogy a befektetõ tõkéjéek mekkora háyaát fekteti a j-eik értékpapírba. Feltesszük, hogy b portfólióvektor em egatív kompoesekbõl áll, amelyek összege 1, azaz b ( j) =1. Ez utóbbi feltétel azt jeleti, hogy a befektetési stratégia öfiaszírozó, az elõbbi peig a rövire elaási (short) ügyleteket zárja ki. Sharpe [1964] moellje megegei, hogy a portfólióvektor kompoesek összege 1-él agyobb legye, azaz a befektetés egy része hitelbõl is fiaszírozható. Ez a feltételezés azoba megehezíti az optimális portfólió meghatározását, vagy akár lehetetleé is teszi a lehetséges portfólióvektorok teréek megövekeése, végtele mérete miatt, ezért a taulmáyba feltételezzük a stratégia öfiaszírozó voltát. Jelölje S 0 a befektetõ kezeti tõkéjét, ekkor a tõkéje egy ap elteltével S 1 = S 0 b x = S 0 b, x, ahol, a skalárszorzatot jelöli. A piac iõbeli alakulását x 1, x 2, R + hozamvektorok sorozatával jellemezhetjük. x i hozamvektor j-eik kompoese, x i azt moja meg, hogy az i-eik api kereskeési perióus elõtt a j-eik papírba fektetett egységyi tõke meyit ér az i-eik ap végé. Mie j i eseté az x i j röviítést haszáljuk a hozamvektorok (x j,, x i ) sorozatára, és jelölje az összes b R + em egatív kompoesû vektor szimplexét, amely kompoeseiek az összege 1. Egy B = {b 1, b 2, } befektetési stratégia függvéyek egy sorozata b i : (R + ) i 1, i = 1, 2, úgy, hogy b i (x i 1 1 ) jelöli a befektetõ által az i-eik apra a piac korábbi viselkeése alapjá választott portfólióvektort. 2 Az egyszerûség kevéért a továbbiakba a következõ jelölést haszáljuk: b(x i 1 1 ) = b i (x i 1 1 ). Az S 0 kezeti tõkébõl kiiulva az -eik ap végé a B befektetési stratégia által elért tõke i 1 S = S 0 b( x 1 ), x = S 0 e l ( i 1 b x ), i=1 1 xi = S 0 e W ( B), i=1 ahol W (B) a övekeési ráta (kamatszite vett átlagos hozam): i 1 1 i W (B) = l b( x1 ), x i. (1) i=1 2 Feltételezzük, hogy a piaco a hozamvektorok rejtett sztochasztikus kapcsolatba állak az iõbe õket megelõzõ hozamokkal.

4 4 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás A logoptimális portfólióstratégia Térjük vissza az (1) kifejezéshez! Nyilvávalóa az -eik apig elért vagyo, azaz S = S (B) maximalizálása ekvivales W (B) átlagos övekeési ráta maximalizálásával. A következõkbe bemutatjuk a logoptimális befektetési stratégiákat, amelyek alkalmazásával a befektetõ maximalizálhatja a övekeési rátát. Feltételek. Ahhoz, hogy elemzéseik elvégezhetõk legyeek, a következõ egyszerûsítõ feltételeket haszáljuk a logoptimális portfólióelméletbe, amelyeke a késõbbiekbe eyhítük: 1. a részvéyek között a tõke bármekkora mértékbe szétosztható; 2. a részvéyekbõl korlátla meyiség áll a reelkezésükre az aktuális (api) áro, azaz tetszõlegese kevés vagy sok részvéyt tuuk vei vagy elai; 3. ics trazakciós költség; 4. a befektetõ trazakciói icseek hatással a piac viselkeésére. 3 Tegyük fel, hogy x 1, x 2, az X 1, X 2, véletle valószíûségi változók realizációja, amelyek egy vektorértékû stacioárius és ergoikus folyamatot {X } alkotak. E feltételek mellett vizsgálta pélául Breima [1961], Algoet Cover [1988] korábba a portfólióválasztási problémát. Logoptimális portfólió. Algoet Cover [1988] által meghatározott alapvetõ korlátok rámutattak, hogy az úgyevezett logoptimális portfólió B * = {b * ( )} az átlagos övekeési rátát maximalizáló választás. Az -eik kereskeési perióusba jelölje b * ( ) a logoptimális portfóliót: * b (X ) = arg max E{l b ( X1 ), X X 1 1 }, (2) b( ) ahol E{ X 1 1 } = E{ X 1, X 2,, X 1 } a múltbeli hozamvektorok alapjá kiszámított feltételes várható érték. * * Ha általáos esetbe S = S (B ) jelöli a B * logoptimális portfólióstratégiával elért vagyot ap utá, akkor mie tetszõleges B befektetési stratégia által elért S = S(B) tõkére és tetszõleges {X } stacioárius és ergoikus folyamatra és 1 S limsup l * 0 1 valószíûséggel S ahol 1 * * lim l S = W 1 valószíûséggel, W * = E{l b * (X 1 ), X 0 } a lehetséges befektetési stratégiák által elérhetõ maximális övekeési ráta. Vagyis (1 valószíûséggel) egyetle befektetési stratégia sem képes W * -ál agyobb övekeési ráta elérésére. 3 Feltételezzük, hogy a piac em hatékoy. Ameyibe a befektetõ vagyoa margiális a piac teljes kapitalizációjához képest, a feltétel a gyakorlatba is közel érvéyes lehet.

5 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 5 Itt jegyezzük meg: a b * (2) efiíciójából következik, hogy függetle azoos eloszlású piacoko a b * logoptimális portfólió kostas, mivel b * = arg max E{l b(x 1 1 ),X X 1 b( ) 1 } = arg max E{l b, }. (3) Ez akkor lehet fotos, ha az {X i } piaci folyamat emlékezetmetes. 4 Ameyibe a priori ismeretük va a piaci háttér folyamatáak eloszlásáról, akkor többlethozamra tehetük szert. Ottucsák Vaja [2006] belátta, hogy a logoptimális portfóliók közelíthetõk a klasszikus mószerekkel hasoló móo törtéõ portfólióválasztással, ahol az optimális portfólió kialakítása az E { b, X } várható hozam és Var { b, X } kockázat alapjá törtéik egy a várható hozamtól függõ kockázat elutasítási téyezõ szerit. b X Empirikus stratégiák Itt a Györfi Lugosi Uia [2006] által bevezetett magfüggvéyalapú stratégiát mutatjuk be, amelyek a legegyszerûbb, egyeletes magfüggvéyek megfelelõ, mozgó ablakos változatát ismertetjük. A mószer alapelve, hogy a közelmúlthoz hasoló mitákat keres a tõkepiac múltjába, és ezek alapjá becslést készít a másapi árfolyamokra, amely szerit maximalizálja a portfóliót. Vagyis egy olya mószert vezetük be, amely a múltbeli megfigyelések alapjá empirikus becslést a egy portfólió feltételes logaritmikus várható hozamára. A stratégiához efiiáljuk a szakértõk 5 egy végtele osztályát H (A) {h (A) ( )}-t, ahol A pozitív egész. Mie fix A pozitív egészhez válasszuk egy sugarat, amire igaz r A > 0 úgy, hogy lim r A = 0. A Ekkor mie > 1 eseté efiiáljuk h (A) szakértõt a következõképpe. Legye J az illeszkeések helyét tartalmazó halmaz: J ={i < : x i 1 1 r }, ahol az euklieszi ormát jelöli. A fetiek alapjá egy h (A) szakértõ által meghatározott magfüggvéyes logoptimális portfólió az -eik befektetési apra legye 6 h ( A) ( 1 1 )= arg max l b {i J } b, x i, (4) ha a szumma em üres, külöbe peig válasszuk az egyeletes b 0 = (1/,, 1/) portfóliót. Iformálisa ez a következõképpe fogalmazható meg a korábbiak szerit. A befektetõ az -eik kereskeési apra, a (2) kifejezés alapjá, olya portfóliót választaa, amely maximalizálja a logaritmikus feltételes várható tõkeövekeést az -eik apot megelõzõ apok árfolyamaataiak ismeretébe. A (4) kifejezés eze maximalizálás empirikus 4 Vagy olya esetbe, amikor em vagyuk képesek a piaci folyamat feltételes eloszlásáak becslésére. 5 Szakértõkek az elemi stratégiákat evezzük. A magfüggvéyalapú stratégiát a szakértõk kombiálásával kapjuk. Részletese lás késõbb. 6 A magfüggvéyalapú mószerrel meghatározott portfóliókat a megkülöböztethetõség érekébe b helyett h betûvel jelöljük.

6 6 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás közelítése. A magfüggvéyalapú illeszkeés keresõ algoritmus az -eik ap múltjához hasoló hozamvektor-sorozatokat keres a múltba, és a hasoló sorozatokat követõ hozamvektorokat, mit X empirikus becsléseit eltárolja. Késõbb ezek az eltárolt elemek kerülek felhaszálásra a maximalizálás sorá. A portfólióválasztáshoz (2) alapjá a logaritmikus feltételes várható tõkeövekeés meghatározása szükséges, amire mivel X feltételes eloszlását em ismerjük eze elemeket felhaszálva tuuk empirikus becslést ai. A hasolóság mértéke jele esetbe a vektorok euklieszi távolsága. Mivel elõre em tuhatjuk, hogy melyik (A) fog optimális r A sugarat meghatározi, 7 vagyis a hasolóak tekitett hozamvektorok egy ieális halmazát felhaszáli, a szakértõk között szét kell osztauk a reelkezésre álló vagyoukat. A magfüggvéyalapú stratégiát a S (H (A) )-beli szakértõk kombiálásával kapjuk, felhaszálva egy {q A } valószíûségi eloszlást, amely mie pozitív egész (A) halmazá értelmezett úgy, hogy (A), q A > 0. Ha S (H (A) ) a H (A) elemi stratégiák által összegyûjtött tõke az -eik perióus utá és a kezeti tõke S 0 = 1, az -eik ap utái vagyot a szakértõk egyszerû súlyozásával a következõképpe kapjuk: S (B)= q A S (H ( A ) ). (5) A A szakértõk egyfajta szereplõkek is tekithetõk, amelyek a saját paramétereikek megfelelõ empirikus logoptimális stratégia szerit gazálkoak. Késõbb az összese elért összvagyot a szereplõk vagyoáak összegekét kapjuk, amely összeg attól függ, hogy a kezeti vagyoukat milye aráyba osztottuk szét. Forgalomaráyos trazakciós költség A klasszikus logoptimális portfólióelmélet azo feltevéssel él, hogy az értékpapír-kereskeés sorá icse trazakciós költség. Ez a feltételezés azoba elletmo a valós kereskeés általáos feltételeiek, mivel a brókeríjak és a szabályozott kereskeés folytoossága érekébe felszámított jutalékok járulékos költségekkel terhelik meg a tõzsei ügyleteket. Ahhoz, hogy a logoptimális stratégiák empirikus ereméyei összevethetõk legyeek a korábba ismertetett mószerek ereméyeivel, a trazakciós költségek figyelembevétele elkerülhetetle. Mivel a logoptimális stratégiák a portfóliót gyakra változtathatják, a kereskeés járulékos költségei az ereméyeket agyságreekkel csökkethetik. A brókercégek a trazakciós költség számítását külöbözõképpe végezhetik. Felszámolhatak teljesült trazakciókét rögzített íjat, vagy az ügylet volumeével aráyos, úgyevezett forgalomaráyos vagy proporcioális trazakciós költséget. Megjegyezzük, hogy a forgalomaráyos trazakciós költséget alkalmazó brókercégek egy bizoyos értékél kisebb volumeû trazakciók esetébe többyire szité rögzített íjjal olgozak, vagy a rögzített íjakat és a proporcioális elvet együtt alkalmazzák. A következõkbe a forgalomaráyos trazakciós költség logoptimális moellekbe építéséek lehetõségét mutatjuk be azzal a feltevéssel, hogy ics fix költségtéyezõ. Ez a feltevés helyes egy olya proporcioális költségszámítást alkalmazó reszerbe, ahol a kereskeési volumeek akkorák, hogy rájuk már miig a forgalomaráyos költségszámítás érvéyes. Ezek utá móosítsuk korábba ismertetett feltételeik 3. potját a logoptimális portfólióelmélet forgalomaráyos trazakciós költséggel kiegészített változatára a következõ móo: va forgalomaráyos trazakciós költség, azoba ics fix költségtéyezõ. 7 Optimalitáso azt értve, hogy az aott sugarat választó szakértõ olya portfóliókat választ, hogy a befektetés által elért vagyo maximális legye.

7 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 7 A forgalomaráyos költségszámítás moelljéek felépítéséhez a logoptimális portfóliók matematikai moelljébõl iuluk ki. Az általuk létrehozott új proporcioális költségszámítási moell Schäfer [2002] moelljéek továbbfejlesztett, potosított változata, amely az ereeti moellel szembe alkalmas a költségek közvetle meghatározására. A kereskeés kezeté S 0 kezõtõkébõl iuluk ki és S az -eik kereskeési apig elért vagyo. A befektetõ egy új ( + 1)-eik kereskeési perióus elõtt az aktuálisa meghatározott b +1 portfólióvektora szerit részvéyaásvétellel kialakítja az ( + 1) eik api portfólióját. Mivel a kereskeés jele esetbe járulékos költségeket vo maga utá, a befektetõ a forgalom aráyába trazakciós költséget fizet, ezért az ( + 1)-eik perióus elõtt a b +1 portfólió szerit átreezett ettó N vagyoa em agyobb, mit az átreezés elõtti bruttó S. Mivel az -eik befektetési ap elejé a kezõtõke N 1, ezért a feti jelöléseket haszálva, a bruttó S vagyo ekkor az -eik kereskeési ap végé, S = b x. (6) Az egy részvéyre vetített aráyos trazakciós költség háyaát jelölje 0 < < 1 és 0 < c p < 1, azaz 1 egységyi részvéy elaásából csak 1 egység jöveelmük származik, míg 1 pézegységért 1 c p egységyi részvéyt tuuk vásároli. [Az s az elaást (sell), a p a vásárlást (purchase) jelöli.] Mivel a vagyoukat a kereskeés sorá miig részvéyekbe fektetjük, az elaásból befolyó pézt rögtö újabb részvéy vásárlására forítjuk. Tujuk, hogy a stratégia öfiaszírozó, azaz csak ayi pézbõl tuuk vásároli, ameyi az elaás sorá befolyt. Vezessük le, hogy az elaás maj a vásárlás sorá fizeteõ trazakciós költség levoása utá mekkora ettó N vagyouk mara. A tõkeátreezés megkezése elõtt mie vagyoukat részvéyekbe fektettük. Ha em törtéik részvéyelaás, vásároli sem tuuk, ekkor trazakciós költség sem fizeteõ. A tõkeátcsoportosítás elõtt a j-eik részvéybe tartott tõke b pézegységet ér, azaz a kiiuló ettó N 1 vagyo megszorozva azzal, hogy a j-eik részvéy e vagyo mekkora b részét tette ki, illetve a részvéy árfolyama milye aráyba változott az ( 1)-eik és az -eik kereskeési ap vége között. Határozzuk meg, hogy a b +1 portfólió választása eseté meyi részvéyt auk el. Tujuk, hogy a j-eik részvéybe tartott tõke b pézegységet ér az átcsoportosítás elõtt, míg jeleleg b + 1N egységyire va szükségük. Ha b > b + 1N, akkor a részvéyek egy részéek elaása szükséges, ahol a j-eik részvéy elaása utá fizeteõ trazakciós költség (b b +1N ). x + jelölje x pozitív részét. Ekkora az elaások utá fizeteõ trazakciós költségek összege + (b b N ). (7) +1 Ez azt jeleti, hogy miutá meghatároztuk egy portfólióvektort, és végrehajtottuk a mószer által javasolt részvéyelaásokat, az ügylet végrehajtása utá marat részvéyük (ha mie részvéyüket elatuk ez a meyiség ulla) és az elaásból származó pézeszközük is. Ezefelül a brókerek a befolyó pézbõl az itt meghatározott mértékû trazakciós költséget fizettük a részvéyelaások utá. Mivel a reelkezésre álló vagyo egészét részvéyekbe fektetjük, az elaásból befolyt szabao felhaszálható pézmeyiséget új vásárlásokra forítjuk, erre az elaásból befolyt bevétel trazakciós költséggel csökketett háyaa áll reelkezésre, ami + + {(b b N ) c (b N ) }. +1 s b +1

8 8 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás Azaz mie részvéyre összegezzük, hogy ha elaás törtét, akkor a trazakcióból mekkora pézösszeg folyt be, valamit a befolyt összegbõl mekkora meyiséget kellett költségkét megfizeti. Amit így kapuk, az a vásárlásra szabao felhaszálható pézmeyiség, amelyet a leírtak szerit teljes egészébe új részvéy beszerzésére haszáluk fel. Ha egy ekkora összeget forítuk új értékpapírok vásárlására, akkor ez utá + + c N ) c (b +1 s b p {(b b N ) } = +1 = {(c p c p )(b N N ) } (8) 1 b + +1 költség fizeteõ. Az összese eig kifizetett költség (7) és (8) összege {(c p + c p )(b b N ) + }. +1 Miez azt jeleti, hogy a tõkeátreezés e perióusába a vásárlásra szát pézösszeget teljes egészébe elköltöttük. Részbe a már meglévõ részvéyállomáyukat bõvítettük újabb értékpapírokkal, részbe peig a vásárolt meyiséggel aráyosa öveltük az eig megfizetett költségek meyiségét. Az eigiek alapjá tehát az elaásból származó jöveelem költségekkel (elaás és vásárlás utá egyarát kifizetett összköltség) csökketett háyaával megegyezõ értékbe tehetük szert új értékpapírokra, azaz + ( j) + {(b +1N ) (c p + c p )(b b b ( j) +1N ) } = = {(1 c p + c p )(b b N ) + } +1 értékbe. Az elaáshoz hasolóa, ha b < b + 1N a j-eik részvéybõl vásároluk. A vásárlás összese + ) (b +1 N b értékbe törtéik. Ezzel az értékkel kell tehát megegyezie a részvéyelaásból befolyt, költségekkel csökketett összegek. Felírható tehát a következõ egyelet: + (b +1 N b ) = = {(1 c p + c p )(b b ( j) ) + }, (9) +1 N azaz (vásárlásra elkölthetõ pézösszeg = elaásból realizált pézösszeg költségek). Felhaszálva az azoosságot, aóik továbbá, hogy (a b) + = a b + (b a) +

9 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 9 + (b +1 N b ) = ( j) + = (b +1 N b ) + (b b N ). +1 Mivel (b N ) = N + 1 és (b ) = S, ezért + + (b +1 N b ) = N S + (b b +1 Ezek alapjá (9) felírható a következõképpe: ( j) + N S + (b b N ) = +1 = {(1 c p + c p )(b A leírtak alapjá tehát a bruttó S tõke felbotható a ettó N összegére. b +1N ( j) + ) }. (10) vagyo és a költségek S = N + (c p c p + ) {(b b N + +1 ) }. (11) Osszuk el mikét olalt S -el, és jelölje w a következõ aráyt: N w =, S ahol automatikusa miig feáll, hogy 0 < w < 1. Ekkor (11) alapjá (6)-ot felhaszálva megkapjuk az 1 = w + (c p c p + ) + b x b b, x w +1 (12) egyeletet. A (12) egyeletet megvizsgálva, látható, hogy tetszõleges b és b +1 portfólióvektorokhoz és hozamvektorhoz létezik egy egyértelmû w [0, 1) költségtéyezõ, ahol az -eik apra w a b és b +1, valamit függvéye, azaz w = w(b, b +1, ). A (12) egyeletbõl következik továbbá, hogy ha a részvéyek között a tõkét agymértékbe kívájuk átcsoportosítai, a ettó vagyo agymértékbe csökkehet. Megjegyezék még, hogy a trazakciós költség em korlátozza a választható portfólióvektorok halmazát, az optimalizáló eljárás továbbra is a teljes szimplexe keres, ugyais egy jeletõs átcsoportosítás a magas költségek elleére jelethet optimális változtatást. Ameyibe a kialakult portfólió em változtatuk az -eik apo, a (12) kifejezésbe a szumma utái tag értéke 0, azaz w = 1. Ha a tõkeátcsoportosítás a legagyobb mértékû, a szumma utái tag értéke 1 és w = (1 c p + c p ). A fetiekbõl következik, hogy w értéke a következõ tartomáyba kereseõ:

10 10 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás 1 c p + c p w 1. Ha feltesszük, hogy c = c p =, ami legtöbb brókercégél feálló feltétel, ez a tartomáy: (1 c) 2 w 1. Mivel w em írható fel zárt alakba csak a (12) egyelet megolásával kapható meg, ezek a feltételek agyo fotosak a megoláskeresési tartomáy meghatározása szempotjából. Ameyibe a kezõtõkék S 0 = 1 és w 0 = 1, az -eik kereskeési ap végére elért S vagyo mértéke a következõképpe számolható: S = b, = w 1 S 1 b, = [w(b i 1, b i, x i 1 ) b i, x i ], i=1 azaz a trazakciós költségek levoása az aktuális S bruttó vagyo w költségtéyezõkkel való szorzását jeleti. Az átlagos övekeési ráta a trazakciós költség figyelembevételével jele esetbe 1 W,c>0 (B) = l S. A befektetõ célja e ráta maximalizálása. A Matematikai moell címû alfejezetbe bemutattuk, hogy trazakciós költség élkül a befektetõ a korábbi hozamvektorok függvéyébe mikét próbálhatja meg maximalizáli a övekeési rátát, mikét választhat optimális portfóliót. Ameyibe ics trazakciós költség, a befektetõ a W,c=0 (B)= 1 i l ( x 1 1 i=1 b ), x i kifejezést igyekszik maximalizáli, ahol B egy olya piaco alkalmazott befektetési stratégia, ahol icseek a kereskeések járulékos költségei. Eek aalógiájára egy olya befektetési stratégia W övekeési rátáját, amelybe a portfólióvektorokat szité a piac korábbi viselkeése alapjá határozzuk meg, és létezik trazakciós költség móo írhatjuk fel. W,c>0 (B) = 1 l{w(b(x i 2 1 ), b(x i 1 1 ), x i 1 ) b(x i 1 1 ), x i } i=1 Empirikus stratégiák trazakciós költséggel Korábba bemutattuk, hogy a logoptimális stratégiákál aalitikusa bizoyította em reelkezik egyetle stratégia sem agyobb tõkeövekeési rátával. Ismertettük, hogya határozhatók meg elvbe és gyakorlatba a magfüggvéyes eljárás haszálatával a logoptimális portfólióvektorok. A következõkbe a W,c>0 (B)-t maximalizáló empirikus stratégia megalkotásához kiterjesztjük a korábba elmoottakat. Egylépéses optimalizáció. A korábba bevezetett jelöléseket alkalmazva móosítjuk az ott ismertetett moelleket. Olya szakértõket vezetük be, amelyek az -eik api portfólióoptimalizáció sorá figyelembe veszik az ( 1)-eik apra választott portfóliót,

11 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 11 azt, hogy az új portfólió mekkora tõkemozgatással, ezáltal mekkora pluszköltségekkel jára. Mit arról korábba szóltuk, a feti kifejezés a logaritmikus feltételes várható tõkeövekeés empirikus közelítése. Céluk, hogy az új szakértõk olya portfóliókat válasszaak, amelyek a következõ apra várható tõkeövekeést amely jele esetbe az egyes részvéyeke elért árfolyamyereség és a fizeteõ költség külöbsége maximalizálják úgy, hogy ismerik a piaci hozamvektorok múltbeli értékeit és a vagyoátreezés járulékos költségeit a választaó portfólió függvéyébe. ( ) ( ) Ezek alapjá trazakciós költséget figyelembe vevõ empirikus H c>0 ={h c>0 ( )} magfüggvéyes logoptimális szakértõket efiiáltuk, ahol ( ) b = h c>0 ( 1 1 )= arg max l{w(b 1, b, x i 1 ) b, x i }. b {i J } Egy empirikus egylépéses optimalizációt haszáló logoptimális B EO stratégia eze szakértõk Empirikus stratégiák címû potba ismertetett móo törtéõ kombiációja. A mószer egylépéses abból a szempotból, hogy em a globális optimumot jeletõ portfólió választására törekszik, haem csak a következõ apo elérhetõ várható tõkeövekeést maximalizálja, amely választások csak a trazakciós költség élküli esetbe vezetek globális optimumhoz. Ez azt jeleti, hogy ez mószer csak közelíti az optimális W,c>0 övekeési rátát, e az empirikus ereméyek azt mutatják, hogy ez az eljárás is képes figyelemreméltó teljesítméy elérésére. Megjegyezzük, hogy ha a piaci háttérfolyamatról feltehetõ, hogy reelkezik Markov-tulajosággal, létezik egy elvi megolás, amely alkalmas a globális optimumot jeletõ portfóliók meghatározására trazakciós költségek figyelembevételével is (lás Györfi Vaja [2008]). Empirikus ereméyek A fejezet az általuk bemutatott elméleti mószerek alapjá végzett empirikus vizsgálatok ereméyeit foglalja össze. Az eljárások aatfüggõ elemzésébe a New York-i Értéktõzsé jegyzet 23 vállalat részvéyeit votuk be. Azokat a szakiroalom által korábba elemzett részvéyeket vizsgáltuk, amelyekrõl reelkezésre áll hozamiformáció az általuk figyelt 1991 és 2005 közötti iõszakba. Az elemzési portfóliót a következõ vállalatok részvéyei alkotják: Alcoa Ic., Altria Group Ic., Coca-Cola Co., Commercial Metals Co., Dow Chemical Co., EI DuPot e Nemours & Co., For Motor Co., Fortue Bras, Geeral Electric Co., Geeral Motors Corp., Hewlett-Packar Co., IBM Corp., Igersoll-Ra Co. Lt., Johso & Johso, Kimberly-Clark Corp., Eastma Koak Co., Merck & Co. Ic., 3M Co., N. America Galvaizig Co., Procter & Gamble Co., Schlumberger Limite, Sherwi-Williams Co.), Wyeth. Mószerta. A kockázatmetes értékpapír r f kamatlába az egy hóapos futamiejû U.S. Treasury Bo logaritmikus kamata, amelyek forrása az Ibbotso a Associates Ic. aatbázisáak Keeth R. Frech által készített kivoata. 8 A vizsgált tõkepiac a New York-i Értéktõzse, a piaci portfólió értékéek mérésére a tõzse kompozit iexét (NYSE Composite Iex) alkalmazzuk. Az elemzés 15 éves itervallumra terje ki. A trazakciós költséget c = 0,1 százalékba állapítottuk meg, amely az európai itézméyi befekte 8

12 12 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás tõk számára elérhetõ. Feltesszük, hogy a felhaszált tõke mérete miatt ics fix költségtéyezõ. A logoptimális stratégia vizsgálatához a sokrészvéyes portfóliók eseté korábbi tapasztalataik alapjá a fejezetbe a magfüggvéyes logoptimális szakértõk =10 =1 {H( ) } halmazát haszáljuk. A logoptimális stratégia teljesítméyét a 10 arab szak értõ teljesítméyéek számtai átlagakét határozzuk meg, ahol a szakértõk között a tõkét egyeletes eloszlás szerit osztjuk szét, azaz q A = 1/10, mie A eseté. Az empirikus vizsgálat célja a piaci portfóliót tartó (NYSE Composite) passzív stratégia és a logoptimális aktív stratégiák ereméyességéek összehasolítása. A mószerek teljesítméyéek értékelésére a tõkejavak árazóási moelljét (CAPM) és az empirikus Sharpe-rátát haszáljuk, amelyet az i-eik portfólióhoz a következõképpe efiiáluk: 9 T t t (r i r f ) SR i = t=1, (13) s{r i } t ahol T a vizsgált évek száma, jele esetbe 13, r i az i-eik portfólió hozama a t-eik t évbe, r i a kockázatmetes kamatláb a t-eik évbe, s{r i } peig az i-eik portfólió éves hozamaiak empirikus szórása. Az t t egyelet alapjá felírva az r i r f gáló r i t r f t = i + i (r m t r f t ) + ε i t, (14) kockázati prémium várható értékéek becslésére szol- E{r i r f }= i + i E{r m r f } (15) összefüggést, meghatározzuk a tõkejavak közismert árazóási moelljét. A tõkepiaci árazási moell (CAPM) alapjá becslést ahatuk egy értékpapír vagy portfólió várható hozamára, amely a befektetés regresszió alapjá meghatározott paraméteréek függvéye. Hatékoy piacot feltételezve (ahol i = 0 mie i-re) a portfólió várható hozama csak a CAPM által a portfólióhoz tartozó alapjá meghatározott érték lehet. Kézefekvõ lehetõség a logoptimális stratégia hozamáak magyarázatára felépítei egy CAPM moellt, maj megvizsgáli, hogy eltér-e egymástól a moell által becsült elméleti várható érték és a logoptimális portfólióstratégia átlagos hozama. Ameyibe a logoptimális stratégia átlagos hozama szigifikása alulmúlja a CAPM alapjá várható hozamot, a stratégia létjogosultsága kérõjelezhetõ meg, míg forított esetbe empirikusa sikerül igazoli, hogy a logoptimális portfóliók abormális hozamok elérésére képesek. A vizsgálatba kihaszáljuk, hogy a -értékek átlagolhatók, és a moell haszálhatóságáak feltételezésével iõbe legalább középtávo stabilak. Mivel hosszú távú stabilitásuk az ereméyek alapjá em tételezhetõ fel, ezért a potosság övelése érekébe a vizsgált 15 évet három egyelõ szakaszra botottuk és a moellt mie ötéves szakaszra újra létrehoztuk. Egy portfólió p -je a portfólióba részt vevõ értékpapírok -jáak súlyozott átlagakét határozható meg. E tulajoságok alapjá tehát egy logoptimális stratégia logopt értéke meghatározható a portfóliót alkotó részvéyek -áiak súlyozott átlagakét, ahol a sú 9 Sharpe [1994] megállapítása alapjá a kockázatmetes hozamot mi is iõbe változóak tekitjük.

13 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 13 lyokat a vizsgált iõszakba megfigyelhetõ api portfóliók alapjá határozzuk meg mie részvéyre (a api b portfólióvektorok átlagakét az ötéves itervallumra). A lieáris regressziós moell havi hozamaatok alapjá került meghatározásra, hogy az aatok közti em kívát autokorreleációt és a heteroszkeaszticitást kiküszöböljük, valamit a regressziós hibatagok kívát tulajoságait, a függetle, 0 várható értékû ormális eloszlást elérjük. A lieáris regressziós együtthatók meghatározása (15) összefüggés alapjá törtét a legkisebb égyzetek mószerével. Az ötéves perióusok mie i-eik részvéyéhez tartozó i és i értékeit a vizsgálattal megegyezõ iõszakokba mért havi hozamok alapjá határoztuk meg. Az 1. táblázatba e mószerrel bemutatott móo meghatároztuk a vizsgált iõszak három egyelõ itervallumáak -ait ( 91 95, , rere a , , közötti havi hozamaatok alapjá, valamit együtthatóit azoos móo. Jele esetbe a regresszió magyarázó erejéek vizsgálatára mie részvéy esetébe havi szite megállapítottuk az R 2 értékét, valamit a havi és együtthatók érvéyességét vizsgáló t-értékeket. A t-próbák 2 fölötti abszolút értéke eseté 0,05-ot meghalaó szigifikaciaszit mellett elvethetjük azt a hipotézist, hogy az aott együttható szerepe a függõ változó szóróásáak leírása szempotjából elhayagolható (az együttható értéke 0). Az 1. táblázat utolsó három oszlopa részvéyekét és együtthatókét tartalmazza, hogy a részvéyekét felírt 240 regressziós összefüggés eseté az R 2 értéke háyszor érte el a legalább 0,4-es értéket, illetve a t-próbák abszolút értéke háyszor érte el vagy halata meg a 2-t. 1. táblázat Lieáris regressziós együtthatók Részvéy Együttható R 2 0,4 t() 2 t() esetek száma Geeral Electric 1,19 0,07 1,23 0,13 1,12 0, Procter & Gamble 0,87 0,11 1,04 0,07 0,56 0, Johso & Johso 1,03 0,11 1,17 0,07 0,84 0, IBM 0,75 0,13 0,74 0,10 1,19 0, Altria Group 1,06 0,14 1,20 0,00 0,70 0, Coca-Cola 0,86 0,19 0,95 0,06 1,00 0, Hewlett-Packar 1,48 0,02 1,65 0,10 1,32 0, Schlumberger 1,05 0,04 1,06 0,00 1,15 0, Merck 0,89 0,11 1,13 0,06 0,92 0,

14 14 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás 1. táblázat (folytatás) Lieáris regressziós együtthatók Részvéy Együttható R 2 0,4 t() 2 t() esetek száma 3M 0,96 0,05 0,81 0,01 0,68 0, Wyeth 0,85 0,06 0,86 0,08 0,84 0, EI DuPot e Nemours 1,18 0,06 1,11 0,03 0,96 0, Dow Chemical 1,21 0,00 0,98 0,01 0,97 0, Alcoa 1,14 0,02 1,05 0,05 1,13 0, Kimberly-Clark 0,81 0,09 0,87 0,02 0,80 0, Geeral Motors 1,09 0,01 0,89 0,02 1,12 0, For Motor 1,21 0,01 1,05 0,07 1,16 0, Igersoll-Ra 1,49 0,06 1,50 0,03 1,46 0, Fortue Bras 1,06 0,04 0,97 0,05 0,99 0, Sherwi-Williams 1,34 0,08 1,21 0,05 1,24 0, Eastma Koak 0,83 0,01 0,61 0,03 0,51 0, Commercial Metals 0,85 0,03 0,76 0,04 0,77 0, N. America Galvaizig 1,05 0,05 1,14 0,20 0,04 0, Összességébe megállapíthatjuk, hogy mivel az esetek ötõ többségébe az R 2 értéke a felírt összefüggések több mit felébe em érte el a 0,4-et, a moell rekívül gyege magyarázó képességû. Mivel az R 2 értéke alacsoy a t-próbák esetekét magas értéke félrevezetõ lehet. Megjegyezzük, hogy ha a hozamok eloszlása em ormális, az együtthatók érvéyességét vizsgáló t-próba értékét is fetartásokkal kell kezelei. E problémát is igyekszük orvosoli a havi hozamaatok vizsgálatával, amelyekrõl eze iõtávra em vethetõ el, hogy függetle, ormális eloszlásúak. A regresszió érvéyességéek átfogó vizsgálata továbbá tartalmazza az ε i maraéktagok elemzését is. Az ε 1, ε 2, maraéktagokkal szembei követelméy a függetle, azoos, ulla várható értékû ormál eloszlás. A regressziós összefüggés rossz miõségét a moellbe em bevot függetle magyarázó változók hiáya

15 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 15 is okozhatja. A klasszikus CAPM alapjá a piaci portfólió hozama jól magyarázza az egyes értékpapírok hozamáak szóróását, azoba a szakiroalom szerit a vizsgálatba új függetle változókat bevova a magyarázó képesség övelhetõ (Fama Frech [1992], [1996]). A regressziós moellek átfogó elemzése a taulmáy témájá messze túlmutató összetett terület, ezért erre itt em térük ki részletese. Szükséges még megemlítei, hogy a klasszikus CAPM szerit em találkozuk ullától eltérõ -ájú befektetéssel, azoba az 1. táblázat szerit a együttható 0 voltára voatkozó hipotézisüket számos alkalommal em tutuk em elveti (azaz agy valószíûséggel va ullától eltérõ -jú részvéy a piaco). Jeleleg a logoptimális stratégia hozamára teszük becslést, a CAPM által az egyes részvéyek várható hozamára tett becslés utólagos mérése em céluk. A 2. táblázatba meghatároztuk, hogy elméletileg a logoptimális stratégiához kalkulált logopt alapjá mekkora hozamot várhattuk a vizsgált 15 éves itervallumba egy, a logoptimális stratégiával megegyezõ kockázatú (-jú) befektetéstõl. A CAPM alapfeltevése szerit a moell által meghatározott várható hozamál em realizálható szigifikása agyobb sem passzív, sem aktív mószerekkel. 2. táblázat A várható hozam CAPM-alapú becslése Részvéy portfólió- portfólió- portfóliósúly súly -súly -súly -súly súly Geeral Electric Procter & Gamble Johso & Johso IBM Altria Group Coca-Cola Hewlett-Packar Schlumberger Merck 3M Wyeth 0,11 0,13 0,06 0,07 0,07 0,07 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,01 0,02 0,02 0,02 0,03 0,02 0,02 0,05 0,04 0,07 0,05 0,06 0,08 0,15 0,16 0,09 0,11 0,13 0,09 0,02 0,01 0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04 0,06 0,10 0,03 0,04 0,06 0,06 0,05 0,05 0,04 0,04 0,04 0,03 0,04 0,04 0,03 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,01 EI DuPot e Nemours 0,01 0,01 0,02 0,02 0,01 0,01 Dow Chemical 0,01 0,01 0,02 0,02 0,01 0,01 Alcoa 0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,03 Kimberly-Clark 0,03 0,02 0,03 0,03 0,02 0,01 Geeral Motors 0,01 0,01 0,02 0,01 0,01 0,01 For Motor 0,01 0,02 0,02 0,02 0,02 Igersoll-Ra 0,03 0,04 0,04 0,06 0,06 0,09 Fortue Bras 0,02 0,02 0,02 0,01 0,02 0,02 Sherwi-Williams 0,07 0,09 0,05 0,06 0,06 0,08 Eastma Koak 0,01 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01 Commercial Metals 0,04 0,03 0,05 0,04 0,08 0,06 N. America Galvaizig 0,27 0,29 0,25 0,29 0,23 0,01 logopt 1,07 1,10 0,78 r f 6,16 5,69 3,70 E{premium} 5,74 7,69 0,81 CAPM 12,30 14,15 3, ,85

16 16 Ormos Mihály Urbá Arás Zoltá Tamás A 2. táblázat háromszor öt év aatait foglalja össze. Mie egyes évhez meghatározott, hogy az egyes részvéy az aott évekbe mekkora súllyal szerepelt a logoptimális portfóliókba (portfóliósúly oszlopa), illetve hogy a hozzá tartozó és a portfólióba betöltött súlyáak szorzata alapjá a logoptimális stratégia aott iõszakra meghatározott logopt -jáak mekkora részét teszi ki (-súly oszlopa). A -kat az oszlopiexszel jelzett iõszak alapjá számítottuk ki. A táblázatok alsó fele az aott iõszakba a logoptimális stratégiához tartozó logopt -ot, az aott iõszakhoz tartozó kockázatmetes r f kamatlábat, a várható kockázati prémiumot és az iõszakra a moell által becsült várható hozamot tartalmazzák. A várható hozam háromszor öt évre tett becsléséek átlaga aja meg, hogy a 15 év alatt átlagosa mekkora hozamot várhattuk el a CAPM szerit a logoptimális stratégiától. A becsléshez a (15) kifejezést haszáljuk, a klasszikus moell feltevései alapjá feltételezzük, hogy icse em ulla -jú befektetés. Céluk megvizsgáli, hogy a logoptimális stratégia valóba a hozzá tartozó logopt -ak megfelelõ várható hozammal reelkezik-e, vagy elletmoásra jutuk a CAPM moellel, és a 15 év sorá sikerülhet szigifikása agyobb, a CAPM által becsült várható hozamtól eltérõ átlagos hozamot realizáluk. Hipotézisvizsgálat. A hipotézisvizsgálat sorá megmértük, hogy a logoptimális stratégia c = 0,1 százalék költségtéyezõt feltételezve, a 15 év folyamá átlagosa 38,52 százalékos éves hozamot ér el, az éves hozamok korrigált torzítatla empirikus szórása peig 35,04 százalék volt. A CAPM moell szerit peig az éves várható hozam 9,85 százalék. H 0 hipotézisük szerit a logoptimális stratégia éves hozamaiak várható értéke a CAPM által becsült várható hozam. H 0 vizsgálatára z-próbát alkalmazuk. 10 A t-érték 15 elemes mita eseté 38,52 9,85 z = = 3,168, 35,04 15 amely esetbe a H 0 hipotézist 0,001 szigifikaciaszite elvethetjük. Sõt, az a hipotézis, miszerit a logoptimális portfólió átlagos hozama szigifikása agyobb, mit amit a CAPM becsül, em vethetõ el. Az ereméyek sejtetik, hogy a CAPM em képes a várható hozamok potos becslésére, mivel az empirikus logoptimális stratégiákkal olya aomáliák feezhetõk fel, amelyeket kihaszálva jeletõs hozamtöbbletet érhetük el. Eek okai lehetek a moellbõl hiáyzó függetle változók vagy a lieáris becslés alkalmatlasága is. Ezek alapjá megfogalmazhaták akár a tõkepiaci hatékoyságak elletmoó állításukat is, vagy elvetheték a moell relevaciáját, valóságleíró képességét. Nem leék elsõk ebbe a sorba, hisze a feljebb már iézett itertemporális CAPM, az APT, a háromfaktormoellek és a többi egyesúlyimoell-próbálkozások mi ezt tették. Nehéz e pillaatba elötei, hogy mirõl is va szó, hisze Fama [1991] kapcsolt hipotéziséek megfelelõe egy aomália vagy abormális hozamot ereméyezõ kereskeési stratégia ömagába em biztos, hogy a hatékoy piacok évtizeek óta meglehetõse erõs és máig aráylag stabil bástyáit ostromolja, elképzelhetõ, hogy az egyesúlyi moellbe kell keresi a hibát. Hozzátéve azt is, hogy itt em a statisztikai értelembe vett hibákról beszél a chicagói professzor. 10 Az egymitás Kolmogorov Smirov-próba alapjá em tujuk elveti azt a hipotézist, hogy a logoptimális stratégia éves hozamai ormális eloszlásúak.

17 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata 17 Empirikus Sharpe-ráták. Az ereméyek megerõsítése érekébe a mószerek teljesítméyét az empirikus Sharpe-ráták összehasolításával is elvégezzük (13) alapjá. A 3. táblázatba az éves kockázati prémiumok mellett feltütettük az éves r f kockázatmetes kamatlábakat és a Sharpe-ráták kiszámításához szükséges átlagos kockázatiprémium- és szórásaatokat. Az ereméyek kiemelkeõ jeletõségûek, ugyais empirikus bizoyítékot kaptuk arra, hogy a logoptimális stratégiák megfelelõ költségoptimalizációs heurisztikával kiegészítve, kiemelkeõ hozam elérésére képesek a kockázat (szórás) robbaásszerû övekeéséek kiküszöbölésével, amelyet jól illusztrál az 1 közeli Sharpe-ráta értéke. 3. táblázat A stratégiák éves kockázati prémiumai, a kockázatmetes értékpapír éves hozamai és az empirikus Sharpe-ráták Év NYSE Logoptimális r f ,60 41, ,71 42, ,89 0, ,75 10, ,23 37, ,20 50, ,43 18, ,18 2, ,92 91, ,55 63, ,19 80, ,57 33, ,76 53, ,52 46, ,43 34,26 Átlag prémium 4,21 33,34 Szórás 14,09 33,85 Sharpe-ráta 0,299 0,985 7,11 6,01 5,01 6,48 6,18 6,00 6,03 5,02 5,40 5,98 4,46 3,75 2,93 3,37 3,97 Hivatkozások ALGOET, P. [1992]: Uiversal schemes for preictio, gamblig, a portfolio selectio. Aals of Probability, o. ALGOET, P. COVER, T. [1988]: Asymptotic optimality asymptotic equipartitio properties of logoptimum ivestmets. Aals of Probability, o. BANZ, R. [1981]: The relatioship betwee retur a market value of commo stocks. Joural of Fiacial Ecoomics, Vol. 9. No o. BASU, S. [1977]: The ivestmet performace of commo stocks i relatio to their price-earigs ratio. The Joural of Fiace, Vol. 32. No o. BREIMAN, L. [1961]: Optimal gamblig systems for favorable games. Megjelet: Proceeigs of the Fourth Berkeley Symposium o Mathematical Statistics a Probability. Uiversity of Califoria Press, Berkeley, o. COVER, T. [1991]: Uiversal portfolios. Mathematical Fiace, o. FAMA, E. F. [1991]: Efficiet Capital Markets: II. The Joural of Fiace, Vol. 46. No

18 18 Logoptimális portfóliók empirikus vizsgálata FAMA, E. F. FRENCH, K. R. [1992]: The cross-sectio of expecte stock returs. The Joural of Fiace, Vol. 47. No o. FAMA, E. F. FRENCH, K. R. [1993]: Commo risk factors i the returs o stocks a bos. Joural of Fiacial Ecoomics, Vol. 33. No o. FAMA, E. F. FRENCH, K. R. [1996]: Multifactor Explaatios of Asset Pricig Aomalies. The The Joural of Fiace, Vol. 51. No o. FINKELSTEIN, M. WHITLEY, R. [1981]: Optimal strategies for repeate games. Avaces i Applie Probability, o. GYÖRFI LÁSZLÓ LUGOSI GÁBOR UDINA, F. [2006]: Noparametric kerel-base sequetial ivestmet strategies. Mathematical Fiace, o. GYÖRFI LÁSZLÓ URBÁN ANDRÁS VAJDA ISTVÁN [2007]: Kerel-base semi-log-optimal empirical portfolio selectio strategies. Iteratioal Joural of Theoretical a Applie Fiace, o. GYÖRFI LÁSZLÓ VAJDA ISTVÁN [2008]: Growth optimal portfolio selectio strategies with trasactio costs. Algorithmic Learig Theory, Lecture Notes i Computer Sciece, Spriger Verlag o. KELLY, J. [1956]: A ew iterpretatio of iformatio rate. Bell System Techical Joural, o. LATANÉ, H. [1959]: Criteria for choice amog risky vetures. Joural of Political Ecoomy, o. LINTNER, J. [1965]: The Valuatio of Risk Assets a the Selectio of Risky Ivestmets i Stock Portfolios a Capital Bugets. Review of Ecoomics a Statistics, Vol. 47. No o. MOSSIN, J. [1966]: Equilibrium i a Capital Asset Market. Ecoometrica, Vol. 34. No OTTUCSÁK GYÖRGY VAJDA ISTVÁN [2006]: Empirikus portfólióstratégiák. Közgazasági Szemle, 7 8. sz o. SCHÄFER, D. [2002]: Noparametric Estimatio for Fiatial Ivestmet uer Log-Utility. PhDisszertáció, Mathematical Istitute, Uiversity Stuttgart, Shaker Verlag, Aache. SHARPE, W. F. [1964]: Capital Asset Prices: A theory of market equilibrium uer coitios of risk. The Joural of Fiace, o. SHARPE, W. F. [1994]: The Sharpe ratio. Joural of Portfolio Maagemet, o. SINGER, Y. [1997]: Switchig portfolios. Iteratioal Joural of Neural Systems, o.