Eloszlásfüggetlen nem-parametrikus eszközárazás

Átírás

1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gazdálkodás- és Szervezéstudomáyi Doktori Iskola Zibriczky Dávid Eloszlásfüggetle em-parametrikus eszközárazás Tézisfüzet Témavezető: Dr. Ormos Mihály BUDAPEST, 016

2 Tartalomjegyzék I Bevezetés 1 II Magfüggvéy-alapú eszközárazás 8 II.1 Egyváltozós modellek 8 II. Többváltozós modellek 13 III Etrópia-alapú eszközárazás 16 III.1 Etrópia mit kockázati mérték 16 III. Empirikus eredméyek 18 Hivatkozások 1 Kapcsolódó saját publikációk

3 I Bevezetés Az 1950-es évekbe látott apvilágot (Markowitz, 195) a közgazdaságta egyik úttörő elméleti modellje, a moder portfólió elmélet ( Moder Portfolio Theory, MPT). A modell egy befektetés kockázatát a hozamáak szórásával jellemzi, mely 1) egyrészt magába foglalja a piacra, vagy aak egy szegmesére jellemző szisztematikus (em diverzifikálható) kockázatot, ) másrészt a vállalat specifikus (egyedi) kockázatát. A moder portfólió elmélet szerit portfóliók összeállításával a befektetés kockázata csökkethető, mivel kellő meyiségű értékpapír bevételével az egyedi kockázatok aráya eleyészővé válik és csak a szisztematikus kockázat marad jele. A modell eze jól diverzifikált portfóliókat hatékoy portfóliókak evezi. Jellemzőjük, hogy adott várható hozamot a legkisebb kockázattal érik el (vagy adott kockázati szit eseté a legmagasabb várható hozamot produkálják), továbbá eze portfóliók egy hiperbola jellegű alakzatba helyezkedek el a várható hozam szórás koordiátaredszerbe, melyet a szakirodalom Markowitz-féle határak (vagy Efficiet Frotier -ek) hív. A modell segítségével egy racioális befektető eldötheti, hogy mely hatékoy portfólió maximalizálja a haszosságfüggvéyét, így segítséget yújt a portfólió választási problémába. Ameyibe egy kockázatmetes eszköz is elérhető a piaco, a hatékoy portfóliókból és a kockázatmetes eszközből építhető olya kombiáció ( Tagecy Portfolio ), mely átmeetet képez a kockázatmetes és a kockázatos portfóliók között. Eze modell elsősorba a kockázatkerülő befektetők számára lehet vozó választás. A modell a szórás, mit kockázati mérték köré épül, ami a hozamok ormális eloszlását feltételezi. Számos taulmáy rávilágított azoba arra, hogy eze feltételezés a api hozamok eseté em helytálló. Az 1960-as évekbe a moder portfólió elmélet továbbgodolásakét kidolgozták az ú. tőkepiaci árazási modellt ( Capital Asset Pricig Model, CAPM) (Treyor, 196; Sharpe, 1964; Liter 1965a,b; Mossi, 1966). Az eszközárazás célja egy egyesúlyi modell alkotása egy kockázati mérték és a várható hozam között, függetleül attól, milye mértéket defiiáluk. A CAPM egyesúlyi modellje szerit létezik egy piaci portfólió, mely magába foglalja az összes, piaco elérhető kockázatos eszközt. Jól diverzifikáltsága révé a piaci portfólió hatékoy, így a hatékoy portfóliók meté helyezkedik el a várható hozam szórás koordiáta-redszerbe. A CAPM feltételezi, hogy a befektetők racioálisak, így azok csak hatékoy portfóliót tartaak a kezükbe. Kockázati mértéke a béta, ami egy eszköz (vagy portfólió) hozamáak relatív érzékeységét méri a piaci hozamokhoz képest. A modell lieáris kapcsolatot feltételez az eszközök hozama és a piaci hozam között, amit az ú. karakterisztikus egyees ( Characteristic Lie ) ír le, meredeksége pedig a béta. Mivel a CAPM csak hatékoy 1

4 portfóliók alkalmazását feltételezi, a béta csak a szisztematikus kockázatot méri. Ameyibe a béta agyobb mit 1, az eszköz (vagy portfólió) szisztematikus kockázata agyobb, mit a piacé, és fordítva. A CAPM egyesúlyi modellje szerit a várható hozam a béta kockázati paraméter lieáris függvéye, melyet az ú. értékpapírpiaci egyees ( Security Market Lie ) ír le. A kockázati prémium elmélete szerit az értékpapírpiaci egyees meredeksége pozitív, azaz agyobb kockázatvállalás eseté magasabb hozamot várhat el a befektető. Mivel a CAPM egy jól értelmezhető, egyszerű modellt ad, agyo gyakra alkalmazott módszer a pézügyi elemzésekbe, a feltételezései miatt azoba számos egatív kritikát kapott a tudomáyos világba. Kutatásuk sorá olya eszközárazási módszereket vizsgáluk, mely em feltételez 1) lieáris kapcsolatot a várható hozam és kockázat között, ) lieáris kapcsolatot az eszköz hozama és a piaci hozam között, 3) ormális hozameloszlást, illetve 4) piaci portfóliót. A CAPM elméleti feltevései egyszerűsítik ugya a modellt, de a gyakorlatba ezek megalapozottsága megkérdőjelezhető. A CAPM szerit a várható hozam kizárólag a béta függvéye, így a portfóliók egy egyeese helyezkedek el a várható hozam béta koordiátaredszerbe. Jese (1968) empirikus vizsgálatai sorá azoba ettől külöböző hozamokat mért, a béta által em magyarázott kockázatmetes hozammal korrigált hozamtöbbletet a portfóliók egyedi teljesítméyekét értelmezte. Az abormális hozam egy másik reprezetációja a karakterisztikus egyeesek tegelymetszete (amit Jese-alfáak hív a szakirodalom), más megfogalmazásba egy kostas tag, amit a piaci hozamokkal em lehet megmagyarázi. Mivel a béta becslésére a karakterisztikus egyees meredekségét alkalmazzák, elegedhetetle feltétel hogy az eszközök hozama és a piaci hozam között lieáris kapcsolat álljo fe, külöbe a lieáris módszerek (például legkisebb égyzetek módszere) torzított becslést adhatak a lieáris regresszió egyeeséek meredekségére és a tegelymetszetére. Jele értekezésbe egy egyváltozós em-parametrikus, magfüggvéy-alapú ( kerel ) regressziós módszert vezetük be a várható hozam és kockázat, valamit az eszközök hozama és a piaci hozam közti kapcsolat modellezésére, mely emlieáris esetbe is alkalmazható. A regressziós modellek illeszkedéséek jósága alapjá igazoljuk, hogy a magfüggvéy-alapú módszer potosabb becslést ad, mit a lieáris regresszió, továbbá képes a kockázat és az abormális hozam iterpretálására. Eze em-parametrikus módszer segítségével levezetük egy olya hipotézisvizsgálati módszert, mely képes két változó közötti lieáris kapcsolat vizsgálatára, esetükbe a karakterisztikus- és az értékpapírpiaci egyees igazolására. Empirikus eredméyeik alapjá a karakterisztikus egyeesek liearitásáak hipotézise 95%-

5 os kofidecia szite elvethető az amerikai részvéyek eseté, így alteratív, em-lieáris kockázatbecslési és teljesítméymérési módszert alkalmazuk. Midazoáltal igazoljuk, hogy az esetek dötő többségébe harmadfokú poliomiális összefüggés már alkalmazható, ameyibe a liearitás sérül. A lieáris és magfüggvéy-alapú kockázati mértékeket összehasolítva azo megállapításra jutuk, hogy a CAPM szigifikása alulbecsüli a kockázatot, ameyibe a liearitás sérül, továbbá a liearitás feltételezése (hipotézise) jellemzőe a kockázatosabb eszközök eseté vethető el. A CAPM liearitás kapcsolatot feltételez a várható hozam és a béta között. Empirikus vizsgálatuk alapjá a magfüggvéy-alapú em-parametrikus béta csak akkor külöbözik szigifikása a lieáristól, ha a liearitás sérül, így egyarát lieáris és emlieáris esetbe is ezt a módszert alkalmazzuk a kockázat becslésére. Eredméyeik szerit az értékpapírpiaci egyees liearitása semelyik szokásos szigifikacia szite sem vethető el, így a lieáris kapcsolat feltételezése megalapozott. Számottevő eredméyük, hogy a kisvállalatok eseté az értékpapírpiaci egyees meredeksége egatív, ami elletmod a CAPM kockázati prémium elvéek, továbbá szigifikás tegelymetszet (abormális hozam) mérhető, ami alátámasztja a kisvállalati hatást (Baz, 1981; Basu, 1983). Eze eredméyek alapjá megfogalmazható az első tézisük: 1. tézis (Erdős et al., 010a,b; Erdős et al., 011): A tőkepiaci árazási modell (CAPM) karakterisztikus egyeeséek liearitása elvethető az amerikai részvéyek eseté. A béta jeletőse alulbecsüli a kockázatot azo értékpapírok eseté, melyek karakterisztikus egyeesére a liearitás elvethető. Másrészről az értékpapírpiaci egyees liearitása em vethető el. A kisvállalatokra illesztett értékpapírpiaci egyees meredeksége egatív, ami elletmod a tőkepiaci árazási modell kockázati prémium elvéek. A CAPM-et ért egatív kritikák hatására számos többfaktoros modell jelet meg a tudomáyos világba. A kisvállalati hatás magyarázatára Fama és Frech (1996) a CAPM modellt két további faktorral bővítette ki az SMB faktorral, mely a kis- és agyvállalatok részvéyeiek átlagos hozamkülöbsége és a HML faktorral, ami a magas és alacsoy köyv szeriti érték/piaci érték aráyal redelkező vállalatokból összeállított portfóliók átlagos hozamkülöbsége ezzel megalkotva a Fama-Frech-féle háromfaktoros modellt. Fama és Frech (199, 1996) mukája alapjá Carhart (1997) bevezetett egy további (mometum) faktort, mely a legjobba és legrosszabba teljesítő értékpapírok hozamkülöbsége a következő periódusba. A szakirodalom eze modellt Carhart-féle égyfaktoros modellek evezi. Midkét modell lieáris kapcsolatot feltételez a kockázati faktorok és a hozam között. 3

6 Hasolóa a CAPM-e alkalmazott módszertahoz, a többfaktoros modellek liearitását is megvizsgáljuk. Az értekezés sorá a korábba említett egyváltozós magfüggvéy-alapú becslési és hipotézisvizsgálati módszert többváltozósra bővítjük ki. A többváltozós em-parametrikus regresszió parciális deriváltjaiak várható értékét mit az egyes kockázati faktorok együtthatóit, valamit azokkal em magyarázható többlethozam összegét mit abormális teljesítméyt értelmezzük. Az empirikus vizsgálatok alapjá sem a Fama- Frech-féle háromfaktoros-, sem a Carhart-féle égyfaktoros modell liearitása em vethető el az értékpapírok hozama és a kockázati faktorok között, így a lieáris módszerek alkalmazása kockázati együtthatók becslésére megalapozott. Bár a liearitás feltevése helytálló, a lieáris becslő módszerek túlbecsülik a HML faktor együtthatóját. Elemzésük szerit az SMB faktor együtthatója egatíva, a mometum faktor együtthatója pozitíva korrelál a vállalat méretével. A hipotézisvizsgálat alapjá a második tézisük a következőképpe fogalmazható meg:. tézis (Erdős et al., 011): A Fama-Frech-féle faktorokkal bővített CAPM modell liearitásáak hipotézise em vethető el az amerikai részvéyek eseté, ezért a kockázati együtthatókra törtéő lieáris becslő módszerek alkalmazása megalapozott. Kutatásuk másik iráyvoala az etrópia, mit alteratív em-parametrikus kockázati mérték vizsgálata. Az etrópia egy matematikailag defiiált mérték, melyet egy redszerbe végbemeő folyamatok kimeeteiek megjósolhatatlaságára, redezetleségéek karakterizálására alkalmazak. Elsőkét Rudolf Clausius (1870) vezette be a termodiamikába egy izolált redszerbe törtéő visszafordítható folyamat sorá bekövetkező hőeergia változás leírására. Az etrópia értelmezése a statisztikus mechaikába egy olya bizoytalasági mérték, amely egy redszer makroszkopikus tulajdoságaiak (yomás, hőmérséklet, térfogat) megfigyelése utá az elemek elhelyezkedéséek véletleszerűségét jellemzi. Az etrópia egy további fotos alkalmazási területe az iformációelmélet, amelyek megalkotója Shao volt (1948). Az etrópia az egyedi iformációmeyiség várható értéke, melyet egy üzeet küldés sorá a redszer küld. Miél valószíűtleebb egy üzeet fogadása, aál több iformációt tartalmaz, így agyobb az etrópiája. Mivel az etrópia egy valószíűségi változó megjósolhatatlaságát méri, az a sejtésük, hogy alkalmazható befektetések pézügyi kockázatáak modellezésére. Módszertaukba az eszközök hozamáak (kockázati prémiumáak) folytoos (differeciális) etrópiáját alkalmazzuk, mit kockázati mértéket. Megjegyezzük, hogy a bevezetésbe az etrópia alatt aak expoeciális függvéyel vett traszformáltját értjük. Magasabb etrópia a hozamok agyobb bizoytalaságát jeleti, melyet agyobb kockázatkét iterpretáluk. Levezetjük, hogy az 4

7 expoeciális függvéye alkalmazott Shao-féle differeciális etrópia csak egy kostas téyezőbe külöbözik a szórástól, ameyibe a hozamok eloszlás ormális. Számos taulmáy igazolta azoba azt, hogy a api hozamok eloszlása em ormális így, a moder portfólió elméletbe alkalmazott szórás torzított becslést adhat. Ezzel szembe az etrópia em támaszt feltételezéseket az eloszlásra, így kevésbé torzított és potosabb becslést adhat a kockázatra a szórással szembe. Az értékezésbe kétféle evezetes etrópia függvéyt vizsgáluk, a Shao- és a Réyi etrópiát, továbbá háromféle etrópia becslést: a hisztogram- a sample spacig - és a magfüggvéy-alapú módszereket. Az etrópiára voatkozóa megvizsgáljuk, hogy teljesíti-e a koheres kockázati mértékre voatkozó axiómákat (Artzer et al., 1999). Aalitikus úto megmutatjuk, hogy az általuk defiiált etrópia-alapú kockázati mérték teljesíti a pozitív homogeitást, valamit az eszközök ormális hozamáak feltételezésével a kovexitást és szubadditivitást. Másrészről viszot, mivel az etrópia em teljesíti az ivariaciára és mootoitásra voatkozó axiómákat, az etrópiát em tekitjük koheres kockázati mértékek. Eek elleére megmutatjuk, hogy az etrópia eredméyese alkalmazható az eszközárazási problémára. A kockázati mértékek rugalmas, empirikus kiértékelése céljából egy módszertat defiiáluk, mely képes mid a mitá belüli magyarázó-, mid a mitá kívüli előrejelző képesség rövid- és hosszú távú összehasolítására. Eredméyeik szerit a hisztogram-alapú becslés yújtja a legkiegyesúlyozottabb potosságot a magyarázó erő és előrejelző képesség tekitetébe a vizsgált becslő módszerek közül, így levezetük egy gyakorlatba is alkalmazható egyszerű becslő formulát mid a Shao-, mid a Réyi etrópia függvéyre. Méréseik sorá az etrópiát a szórással és CAPM bétával, mid referecia kockázati mértékekkel hasolítjuk össze. A teljes adatsoro törtéő vizsgálat alapjá, míg a kockázat és várható hozam közti lieáris egyees tegelymetszete jeletős a szórás és CAPM béta eseté, addig az etrópia-alapú mértékek eseté ez em szigifikás, ami arra eged következteti, hogy az etrópia képes a hozamok potosabb karakterizálásra a sztederd kockázati modellekhez képest. Empirikus eredméyeik alapjá a Shao etrópia potosabb becslést ad, mit a referecia mértékek, illetve megbízhatóbb, mit a CAPM béta. Midazoáltal megemlítjük, hogy ameyibe a piaci tred azoosíthatóvá válik a reláció em egyértelmű. Az egyváltozós módszertat többváltozósra egészítve megmutatjuk, hogy az etrópia alkalmas a többfaktoros (Fama-Frech és Carhart) árázási modellek potosságáak javítására, elsősorba a kevésbé jól diverzifikált portfóliók eseté. Az etrópiával kapcsolatos eredméyeik alapjá a harmadik tézisük a következő: 5

8 3. tézis (Ormos ad Zibriczky, 014): A tőkepiaci eszközök kockázati prémiumáak etrópiája hatékoy mérték azok kockázatbecslésére. A hozamokra voatkozó taítómitá belül magyarázó- és taítómitá kívüli előrejelző képessége potosabb, mit a szórásé, illetve a CAPM béta paraméteré. Mivel a Shao etrópia csak egy kostas téyezőbe tér el a moder portfólió elmélet szórásától, hasoló viselkedést sejtük, evezetese azt, hogy 1) az etrópia képes mid a piaci, mid az egyedi kockázatok mérésére, ) az etrópia képes a diverzifikáció által yert kockázatcsökkeés kimutatására, valamit 3) a hatékoy portfóliók egy hiperbola meté helyezkedek el a kockázat várható hozam koordiáta-redszerbe. Mivel a api hozamok em ormális eloszlást követek, hasoló, de külöböző karakterisztikát mérük. Mitageerálási módszerrel 99%-os kofidecia szite megerősítjük a szubadditivitásra és kovexitásra voatkozó hipotézisüket. Eredméyeik alapjá a diverzifikáció hatására egy 10 elemű egyelőe súlyozott véletleszerű portfólió várható etrópiája 40%-kal alacsoyabb, mit egy értékpapíré. Ezek alapjá megfogalmazható az utolsó tézisük: 4. tézis (Ormos ad Zibriczky, 014): Az etrópia képes mid a piaci, mid az egyedi kockázat mérésére. Egy véletleszerű portfólió elemszámáak övelésével a várható etrópia csökke, így az etrópia alkalmas a diverzifikációs hatás kimutatására. Az értekezés sorá a em-parametrikus módszereket két fejezetbe tárgyaljuk. A II. fejezetbe a magfüggvéy-alapú regressziós módszereket vizsgáljuk. A fejezet első felébe levezetük egy egyváltozós hipotézisvizsgálati módszert a CAPM liearitásáak tesztelésére, továbbá em-parametrikus megközelítést a kockázat becslésére és az abormális teljesítméy mérésére. Az egyváltozós módszerta ismertetése utá kiértékeljük a lieáris és emparametrikus módszereket a Stadard & Poor s agy-, közép- és kisvállalati idex kompoesei. A fejezet második felébe a bevezetett egyváltozós módszertat többváltozósra egészítjük ki, továbbá megvizsgáljuk a Fama-Frech-féle háromfaktoros, illetve a Carhart-féle égyfaktoros modell liearitását. Eze kívül, a többváltozós hipotézisvizsgálat segítségével egyváltozós poliom tesztet végzük aak meghatározása érdekébe, hogy megfogalmazhatóe magasabb fokú összefüggés a em-lieáris esetekbe. A III. fejezetbe az etrópiát, mit kockázati mértéket vizsgáljuk. Először a diszkrét, illetve a folytoos (differeciális) etrópiát, valamit azok leggyakrabba alkalmazott evezetes függvéyeit, a Shao- és Réyi etrópiát ismertetjük. Felvázoljuk a leggyakrabba alkalmazott becslő módszereket, illetve levezetük egy egyszerű becslési formulát a legjobba 6

9 teljesítő, hisztogram-alapú módszer alkalmazásával. Ezutá részletese megvizsgáljuk, hogy az etrópia teljesíti-e a koherecia axiómáit. Az empirikus vizsgálatok céljából egy módszertat defiiáluk, mely rugalmasa képes mid a referecia kockázati mértékkét haszált szórás és CAPM béta, mid az etrópia külöböző adatsoro törtéő mitá belüli és mitá kívüli kiértékelésére. Az eredméyek taglalása sorá kitérük a diverzifikáció mérésére, valamit a mitá belüli magyarázó és a mitá kívüli előrejelző képesség összehasolítására. Legvégül a többfaktoros modellekre voatkozó méréseket ismertetjük, kitérve a Fama-Frech- és Carhartféle modellekre, a magasabb mometumokra és ezek kombiációira az etrópiával. 7

10 II Magfüggvéy-alapú eszközárazás A lieáris eszközárazási modellek csak abba az esetbe alkalmazhatók torzításmetese, ameyibe az felhaszált változók között lieáris kapcsolat áll fe. Aak eldötése érdekébe, hogy a várható hozam (kockázati prémium) és a kockázati faktorok, valamit az értékpapírok hozama és a piaci hozam között lieáris kapcsolat áll fe, egy hipotézisvizsgálati módszert vezetük be. Mivel a változók közötti regressziós függvéy ismeretle, aak közelítésére egy em-parametrikus magfüggvéy-alapú ( kerel ) regressziós módszert alkalmazuk. A liearitás hipotézisét elvetjük, ha a lieáris regresszió szigifikása eltér a kerel regressziós görbétől. Egyváltozós esetbe a CAPM modell karakterisztikus- és értékpapírpiaci egyeeseiek, többfaktoros esetbe (Fama-Frech-féle háromfaktoros- és Carhart-féle égyfaktoros modell) a részvéyek api hozama és a kockázati faktorok közötti lieáris feltételezés megalapozottságát vizsgáljuk. Ameyibe a liearitás hipotézise (feltételezése) sérül, a sztederd lieáris módszerek (mit például a legkisebb égyzetek módszere) torzított becslést adhatak a meredekségekre és a tegelymetszetre, így emlieáris kockázati együttható-becslési módszereket vezetük le. Az empirikus vizsgálatukhoz részvéyt választuk a S&P külöböző idexeiből (az S&P500-ból, az S&P MidCap 400-ból és az S&P SmallCap 600-ból), melyek 1999 és 008 között forgalomba voltak. A vizsgált részvéyekre, a piacra, a kockázatmetes hozamra, illetve a további kockázati (SMB, HML és mometum) faktorokra voatkozó api logaritmikus hozamadatokat a Ceter of Research i Stock Prices (CRSP) adatbázisából vettük. II.1 Egyváltozós modellek Y és X folytoos valószíűségi változó között a Nadaraya (1964) és Watso (1964) által bevezetett magfüggvéy-alapú egyváltozós regressziós becslő függvéy a szakirodalomba Nadaraya-Watso becslő függvéy a következő képlettel írható le: ahol Nadaraya-Watso-féle súlyfüggvéy y m x W x y, (II.1) W hi h hi i i1 x xi x K h, (II.) xi x K h i1 8

11 valamit ŷ az x függvéyébe adott becslés, y i és x i Y és X változó egy-egy megfigyelése, a magfüggvéy jelölése K, valamit a sávszélességé h. K és h helyes megválasztása optimalizálási probléma. Mivel Härdle et al (004) szerit K megválasztása másodlagos fotosságú, egy ormális eloszlású, mide potba differeciálható ( Gaussia ) magfüggvéyt alkalmazuk, azo megfotolásból, hogy később a kerel regresszió meredekségét fogjuk becsüli. Ahhoz, hogy megtaláljuk h sávszélesség optimális értékét, a következő általáosított, keresztvalidációval bütetett célfüggvéyt miimalizáljuk: 1 1 CV h yi mh xi 1 Whi xi. i1 (II.3) A CV h miimalizálását egy ú. simplex miimum keresési eljárással végezzük egy megfelelőe beállított, optimális közeli kezdőértékkel. A keresztvalidáció biztosítja, hogy a kerel regressziós modell e tauljo túl. A kerel és lieáris regresszió potosságát a regresszió illeszkedéséek jóságával (R ) mérjük. A kerel regresszió bevezetéséek léyege a valós regresszió potosabb közelítése. Ahhoz, hogy a karakterisztikus- és értékpapírpiaci egyeesekre voatkozó liearitás feltételezéséek megalapozottságát megerősítsük, egy hipotézisvizsgálati módszert vezetük be, mely egy x m paraméteres (jele esetbe lieáris) regresszióról eldöti, hogy szigifikása külöbözik-e a valós regressziótól. A vizsgálat sorá a ullhipotézis 0 :, az alteratív hipotézis pedig H1 : mx m x. Mivel az H m x m x regressziós függvéy ismeretle, aak közelítésére m h m x valós x kerel regressziót alkalmazzuk. A paraméteres és a kerel regresszió közötti eltérést a következő formába mérjük: h i hi j j. (II.4) T h m x W x m x i1 j1 Mivel a T eloszlása ismeretle, egy ú. wild bootstrappig mitageerálási eljárást alkalmazuk. Az eljárás sorá mide iterációba y függő változó új y m x mitáit i i i geeráljuk i=1,,..,-re, ahol i az eredeti parametrikus regresszió i hibatagjából araymetszés szabályával geerált hibatag. Az új mita alapjá megbecsüljük aak paramétereit és kiszámoljuk T értékét, hasolóa ahogy T-t számoltuk. Összese k b iterációt 9

12 alkalmazuk. T egyoldali eloszlásáak feltételezésével H 0 szigifikacia szite elvethető, ha Pr T T 1 azaz, ha T miták legalább 1 része kisebb, mit T. A II.1. ábra két paeljé két mita értékpapír ( A pael: lieáris, B pael: emlieáris) lieáris regresszióval becsült karakterisztikus egyeese, kerel regresszióval becsült karakterisztikus görbéje, valamit az ahhoz tartozó kofidecia sávok láthatók. A B paele lévő ábra azt sejteti, hogy a liearitás az eloszlás szélei felé sérül; midazoáltal a mag fele közelítve is találhatuk liearitási problémákat. II.1. ábra. Két mita értékpapír karakterisztikus egyeese és görbéje Megjegyzés: A két ábra két mita vállalat karakterisztikus egyeesét és görbéjét mutatja. A bal oldali ( FO azoosítójú) részvéy karakterisztikus egyeesére voatkozó liearitást em vetettük el, a jobb oldali ( NOV azoosítójú) részvéyét viszot ige. A mita részvéyek kockázati prémiuma és a piaci portfólió kockázati prémiuma közötti összefüggést (1) kerel regresszióval becsültük meg (karakterisztikus görbe; vastag görbe), melyhez Nadaraya-Watso-féle súlyfüggvéyt, Gauss magfüggvéyt és optimálisa megválasztott sávszélességet alkalmaztuk; () valamit lieáris regresszióval (karakterisztikus egyees; szaggatott voal). A szürke görbék a becslés 95%-os kofidecia-sávját jelzik. Ameyibe a karakterisztikus egyees alkalmazhatóságára voatkozó liearitás hipotézise sérül, a kockázat és abormális teljesítméy lieáris becslése torzított lehet, így alteratív emlieáris becslőmódszerek bevezetésére va szükség. Az mx regresszió deriváltbecslésére egy kerel-súlyozott legkisebb égyzetek módszerét alkalmazzuk p,,..., T 0 1 T 1 T x x x x P WP P Wy, (II.5) ahol j x mx j. deriváltjáak becslése, P egy p 1 méretű mátrix, melyet a magyarázó változók j=0,1,,p.-redű poliomjai alapjá geeráltuk, W egy magfüggvéyalapú súlymátrix, y pedig a célváltozó megfigyelése. A em-parametrikus bétát a következő képlettel becsüljük: 10

13 továbbá az abormális hozam (alfa) em-parametrikus becslése: 1 1 KR xi, (II.6) i1 1 y x. (II.7) KR i KR i i1 Az empirikus vizsgálat sorá az összes részvéy eseté elvégeztük a karakterisztikus egyeesek tesztelését, továbbá a kockázat és abormális hozam lieáris és kerel regressziós becslését. A II.1. táblázat összegzi az eredméyeket, piaci kapitalizáció szerit átlagolva (agy: S&P 500, közepes: S&P MidCap 400 és kisvállalatok: S&P SmallCap 600), illetve a teljes mitá (összes vállalato) vizsgálva. Az illeszkedés jósága alapjá a kerel regresszió mide szegmesbe mide értékpapírra potosabb becslést ad. Eredméyeik szerit a karakterisztikus egyeesek liearitása az S&P 500 szegmes eseté, illetve a teljes mitára voatkozóa elvethető, mivel azok kompoeseiek több mit 5%-a eseté elvethető. II.1. táblázat. A karakterisztikus egyeesek liearitásáak tesztje, átlagos alfa és béta értékek Szegmes N N(H 1) P(H 1) R KR R LR KR LR KR LR S&P ,0% 0,64 0,44 0,041 0,04 0,97 0,975 S&P MidCap ,0% 0,43 0,4 0,056 0,055 0,96 0,956 S&P SmallCap ,0% 0,187 0,171 0,070 0,069 1,010 0,94 Összes vállalat ,3% 0,31 0,13 0,056 0,055 0,981 0,95 Összes vállalat H % 0,7 0,09 0,055 0,054 0,947 0,96 Összes vállalat H % 0,76 0,5 0,064 0,063 1,316 1,06 Megjegyzés: A táblázat az S&P 500, S&P MidCap 400 és S&P 600 idexből választott véletleszerű részvéy karakterisztikus egyeesei végzett liearitás teszt eredméyeit, a karakterisztikus görbék és karakterisztikus egyeesek potosságát, valamit az azokból számított kockázati paramétereket mutatja. A karakterisztikus görbék és egyeesek becslésére kétféle módszert alkalmaztuk: (1) Kerel regresszió-alapú emparametrikus CAPM, melyhez a Nadaraya-Watso-féle súlyfüggvéyt, Gauss magfüggvéyt és ahhoz keresztvalidációval megválasztott sávszélességet alkalmaztuk. () lieáris regresszióval, mely a sztederd modellek felel meg. Az első oszlop a szegmes (csoport) megevezését mutatja. Az felsorolt idexek mellett a teljes mitá is elvégeztük a mérést, valamit azo csoportokba, ahol a karakterisztikus egyeesek liearitás hipotézise 95%-os kofidecia szite elvethető (H 1), illetve em vethető el (H 0). A második, harmadik és egyedik oszlop a csoportokba lévő vállalatok számát (N), valamit azo vállalatok számát és aráyát mutatja, ahol a liearitás elvethető (P). A további oszlopok a kerel- és lieáris regresszió illeszkedéséek jóságát, abormális hozam (alfa) és kockázat (béta) becslését mutatja felváltva. Csoportosítva az értékpapírokat aszerit, hogy a karakterisztikus egyeesükre voatkozó liearitás em vethető el (H0), illetve elvethető (H1), a következő állításokat tesszük. A lieáris regresszió szigifikása alulbecsüli a bétát a kerel regresszióhoz képest, ameyibe a liearitás hipotézise elvethető, egyébkét a külöbség statisztikailag em 11

14 szigifikás. Másrészt a béta értéke jeletőse magasabb azo csoportba, ahol a liearitás hipotézisét elvetettük, ezért megfogalmazható, hogy a liearitás jellemzőe a kockázatosabb értékpapírok eseté sérül. Az állításokat kétmitás t-próbák segítségével igazoljuk a II.. táblázatba. Az abormális teljesítméyre voatkozó becslések eseté em találuk jeletős eltéréseket. II.. táblázat. Kétmitás t-próba a bétára voatkozóa külöböző csoportosítással 1. csoport N Átlag Var.. csoport N Átlag Var. t p szig. H 0 kerel béta 136 0,9468 0,179 H 0 lieáris béta 136 0,957 0,0948 1,86 0,069 H 1 kerel béta 14 1,3157 0,1874 H 1 lieáris béta 14 1,064 0,1173,39 0,036 * H 1 kerel béta 14 1,3157 0,1874 H 0 kerel béta 136 0,9468 0,179 3,08 0,0076 ** Megjegyzés: A táblázat összegzi a külöböző csoportok között végzett t-próba eredméyeit. Az első, valamit második blokkba található 4-4 oszlop a következőket tartalmazza: (1) a csoport evét, () a csoporto belül lévő vállalatok számát, (3-4) a csoporto belüli béta várható értékét és variaciáját. H 1 jelöli azo csoportot mely vállalataiak karakterisztikus egyeesére voatkozó liearitás hipotézise sérül, H 0 pedig amelyre elfogadható. A béták kerel- és lieáris regresszióval lettek megbecsülve, melyet a csoport evébe tűtetük fel. Az utolsó három oszlop a kétmitás t-próba eredméyeit tartalmazza; t a teszt statisztika értéke, p aak a valószíűsége, hogy a két csoportba mért béta várható értéke milye valószíűséggel em tér el, a szig. pedig a szigifikacia szit jelzése, ahol ** és * az 1%-os és 5%-os szitet jelöli. Az értékpapírpiaci egyeesek tesztelésére a em-parametrikus bétákat alkalmazzuk, mit a várható hozam magyarázó változóit. A II.3. táblázat összegzi a liearitás teszt eredméyét, az értékpapírpiaci egyees illeszkedéséek jóságát, valamit aak becsült paramétereit a már bemutatott kapitalizáció-alapú csoportosítással. Az eredméyek alapjá az értékpapírpiaci egyeesek lieáris feltevése egyik szegmesbe sem vethető el (mivel a p- értékek magasabbak, mit 0,05). Midazoáltal megjegyezzük, hogy a kerel regresszió potosabb becslést ad, mit a lieáris regresszió. Az értékpapírpiaci egyees meredeksége ( ) a kisvállalatok eseté egatív, ami elletmod a kockázati prémium elvéek, továbbá szigifikás tegelymetszet mérhető ugyaebbe a szegmesbe, ami alátámasztja a kisvállalati hatást (Baz, 1981; Basu, 1983), ami arra eged következtei, hogy a béta eze szegmesbe em képes egyedül a várható hozam magyarázatára. II.3. táblázat. Értékpapírpiaci egyeesek vizsgálata Szegmes N E r r f p R KR R LR KR LR KR LR S&P ,0357 0,144 0,117 0,05 0,08 0,007 0,008 0,09 S&P MidCap ,0483 0,78 0,131 0,104 0,009 0,001 0,041 0,049* S&P SmallCap ,0548 0,760 0,089 0,06 0,087 0,081** -0,034-0,08 Összes vállalat 150 0,046 0,688 0,04 0,010 0,037 0,031* 0,009 0,015 1

15 Megjegyzés: A táblázat az S&P500, S&P MidCap 400, S&P SmallCap 600 szegmesre, valamit az összes vállalatra voatkozó értékpapírpiaci egyeesek paramétereit mutatja. Az értékpapírpiaci egyeeseket kerel- és lieáris regresszióval becsültük meg az értékpapírok várható kockázati prémiuma és a em-parametrikus béta alapjá. A kerel regresszióhoz a Nadaraya-Watso-féle súlyfüggvéyt illetve Gauss magfüggvéyt alkalmaztuk, melyek sávszélességét keresztvalidációval határoztuk meg. Az első oszlop a szegmes megevezését tartalmazza, a második a szegmes mitaszámát, a harmadik oszlop a szegmesbe lévő vállalatok átlagos kockázati prémiumát. p az értékpapírpiaci egyeesre voatkozó liearitás vizsgálat p-értéke. A következő oszlopokba a felváltva a lieáris és kerel regresszióval megbecsült értékpapírpiaci egyees illeszkedéséek jóságát, várható abormális hozamát ( KR, LR ) és várható meredekségét ( KR, LR ) foglaljuk össze. A lieáris regresszió LR és LR paraméteréek 1%-os és 5%-os szigifikacia szitjét **-gal illetve *-gal jelöljük. II. Többváltozós modellek A többfaktoros modellek liearitásáak tesztelésére az előző alfejezetbe bemutatott egyváltozós em-paraméteres módszertat kibővítjük. Az általáosított, többváltozós kerel regressziós becslés (Nadaraya, 1964; Watso, 1964) a következő: i1 ahol a többváltozós Nadaray-Watso súlyozó függvéy y m x W x y, (II.8) H Hi i W Hi x i1 H H i i x x x x, (II.9) továbbá H a többváltozós magfüggvéy, H sávszélesség mátrixot, x x x x 1,,..., d pedig egy d-dimeziós magyarázóváltozó vektor. Többváltozós esetbe az optimalizálási cél a H kerel függvéy és H sávszélesség helyes megválasztása. Fama és Frech (1993) eredméyei szerit a piaci portfólió közelítése, az SMB és a HML faktor em mutat szigifikás korrelációt, így a többváltozós H sávszélesség mátrix eseté dimeziókét egy sávszélesség értéket alkalmazuk, azaz egy sávszélesség vektorral kitöltött diagoális mátrixot: H 1 T H u d 1 u k u K det. (II.10) H k1 hk hk Eze egyszerűsítés alapjá, a többváltozós optimalizálási problémát visszavezetjük d darab egyváltozós problémára, melyet az előző fejezetbe tárgyaltuk. A becslés potosságát a többváltozós regresszió illeszkedéséek jóságával mérjük. A többváltozós hipotézisvizsgálat módszertaa hasoló az előző fejezetbe tárgyalt módszerhez, ayi külöbséggel, hogy ez 13

16 esetbe a célfüggvéyük TM mh i WH i j m j x x x. Az egyváltozós módszer i1 j1 aalógiájára bevezetjük a többváltozós paraméterbecslést is. Az m x többváltozós regresszió x x1, x,..., xd potba vett deriváltjáak közelítését kerel-súlyozott legkisebb égyeztek módszerével becsüljük: ahol p,,..., T T 0 1 T 1 T x x x x D WD D Wy, (II.11) j x m x j. deriváltjáak becslése, D egy pd 1 méretű mátrix, melyet a magyarázó változó vektorok j=0,1,,p.-redű poliomjaiból geeráltuk, W egy magfüggvéy-alapú súlymátrix, továbbá y a magyarázó változók egy megfigyelése. A emparametrikus bétavektort a 1 x, (II.1) KR i 1 képlettel becsüljük, továbbá a em-parametrikus alfa becslése a következő: 1 i 1 x. (II.13) T KR yi KR i i1 A többváltozós modellek vizsgálata sorá a liearitás feltevéséek tesztelését végezzük a részvéyek hozama és a kockázati faktorok között, továbbá a megbecsüljük a kockázati együtthatókat és az abormális hozamot lieáris- és kerel regressziós módszerrel. A hipotézisvizsgálat alapjá a Fama-Frech modellre voatkozó a legalacsoyabb p érték 0,08, illetve a Carhart modellre voatkozó legkisebb érték 0,09, így 95%-os kofidecia szite egyik részvéyre voatkozó liearitás hipotézisét sem vetjük el, azaz a lieáris módszerek alkalmazása megalapozottak bizoyul eze többváltozós modelleke. A II.4. táblázat összegzi az eredméyeket kapitalizáció szeriti botásba (agy-: S&P 500, közepes-: S&P MidCap 400 és kisvállalatok: S&P SmallCap 600), továbbá az összes vállalatra ézve a Fama-Frech-féle háromfaktoros- ( A pael) és a Carhart-féle égyfaktoros modell ( B pael) eseté. Bár a liearitást em vetettük el, a kerel regresszió illeszkedéséek jósága szigifikása magasabb a lieáris regresszióhoz képest. Az eredméyek alapjá többváltozós esetbe a béták között már ics szigifikás eltérés, azoba a HML faktor együtthatóját ( H, LR) a lieáris regresszió szigifikása túlbecsüli. 14

17 Szegmes II.4. táblázat. Többfaktoros modellek alfa és a kockázati együttható becslése R KR A pael Fama-Frech-féle háromfaktoros modell R LR KR LR 3, KR 3, LR S, KR S, LR H, KR H, LR S&P 500 0,38 0,8 0,034 0,034 1,041 1,05 0,190 0,107 0,00 0,49 S&P MidCap 400 0,36 0,7 0,036 0,034 1,04 1,034 0,591 0,571 0,393 0,508 S&P SmallCap 600 0,3 0, 0,046 0,043 0,965 0,971 0,855 0,861 0,6 0,371 Összes vállalat 0,35 0,6 0,039 0,037 1,010 1,010 0,545 0,513 0,73 0,376 Szegmes R KR R LR KR B pael Carhart-féle égyfaktoros modell LR 4, KR 4, LR S, KR S, LR H, KR H, LR M, KR M, LR S&P 500 0,47 0,9 0,037 0,038 1,00 1,00 0,1 0,1 0,17 0, -0,059-0,079 S&P MC ,46 0,8 0,041 0,041 0,97 0,99 0,59 0,59 0,34 0,45-0,118-0,156 S&P SC ,40 0, 0,051 0,048 0,94 0,94 0,87 0,88 0,3 0,3-0,161-0,13 Összes vállalat 0,44 0,6 0,043 0,043 0,97 0,98 0,55 0,53 0,5 0,33-0,113-0,1 Megjegyzés: A táblázat az S&P 500, S&P MidCap 400 és S&P 600 idexből választott véletleszerű részvéy kockázati prémiumára illesztett Fama-Frech-féle háromfaktoros ( A pael) és Carhart-féle égyfaktoros ( B pael) modell illeszkedéséek átlagos jóságát és átlagos kockázati együtthatóit mutatja külöböző csoportosítással. A részvéyek kockázati prémiumai és a piaci portfólió, valamit kockázati faktorok közötti regresszió modellezésére kerel- és lieáris regressziót alkalmaztuk. Fama-Frech modell eseté a kockázati faktorok az SMB és HML, illetve a Carhart modell eseté további MOM faktort haszáltuk. Az SMB a kis- és agyvállalatok részvéyeiek átlagos hozamkülöbsége, a HML a magas és alacsoy köyv szeriti érték/piaci érték aráyal redelkező vállalatokból összeállított portfóliók átlagos hozamkülöbsége, a MOM a legjobba és legrosszabba teljesítő értékpapírokból épített portfóliók hozamkülöbsége a következő periódusba. A kerel regresszióhoz a Nadaraya-Watso-féle súlyfüggvéyt illetve többváltozós Gauss magfüggvéyt alkalmaztuk, melyek sávszélesség mátrixát keresztvalidációval határoztuk meg. Az első oszlop a szegmes (csoport) megevezését mutatja. Az felsorolt idexek mellett a teljes mitá is elvégeztük a mérést. A további oszlopok felváltva a kerel- és lieáris regresszió illeszkedéséek átlagos jóságát, továbbá a kockázati együtthatók átlagos mértékét mutatják. 15

18 III Etrópia-alapú eszközárazás Az etrópiát mit pézügyi kockázati mértéket vizsgáljuk. Az eszközárazási problémára a differeciális etrópiát alkalmazzuk, megvizsgálva a evezetes etrópia függvéyeket, azaz a Shao- és Réyi etrópiát. Kitérük az etrópia becsléséhez szükséges módszerekre, továbbá megvizsgáljuk, hogy az általuk defiiált etrópia-alapú kockázati mérték teljesíti-e a koheres kockázati mértékre voatkozó axiómákat. Az empirikus vizsgálataikhoz egy rugalmas módszertat defiiáluk, mely képes bármely egy- vagy többváltozós kockázati mérték várható hozamra voatkozó mitá belüli magyarázó erejéek, illetve mitá kívüli előrejelző képességéek vizsgálatára és összevetésére. Elemzésük sorá megvizsgáljuk, hogya viselkedik az etrópia diverzifikáció hatására, illetve összevetjük a potossági mutatók eredméyét a szórással és a CAPM bétával. Kitekitéskét megmérük külöböző többváltozós kockázati modelleket is, illetve megvizsgáljuk, hogy alkalmazható-e az etrópia a sztederd többfaktoros modellek potosságáak javítására. Empirikus vizsgálatuk sorá véletleszerűe 150 értékpapírt választottuk a Stadard & Poor s 500 részvéyidexből, majd ezek api logaritmikus hozamá 7 éves időtartamra voatkozóa végeztük méréseket. A piaci portfólió közelítésére, a kockázatmetes hozamra, illetve a további SMB, HML és mometum faktorokra voatkozó adatokat egyarát a CRSP adatbázisából szereztük ugyaeze időtartamra. III.1 Etrópia mit kockázati mérték Egy valós halmazo értelmezett X folytoos valószíűségi változó bizoytalaságát karakterizáló mérték a folytoos (differeciális) etrópia, melyek általáos képlete a következő (Réyi, 1961): Speciális esete a Shao etrópia 1, mely 1 H X l f x dx 1. (III.1) H1 X f xl f xdx (III.) képlettel írható fel, illetve széleskörűe alkalmazott esete a Réyi etrópia, ami Az etrópia ú. plug-i általáos becslése H X l f x dx. (III.3) 16

19 H 1 l X f x dx,, (III.4) 1 A ahol f x f x sűrűségfüggvéy becslése X darab megfigyelése alapjá, továbbá A az itegrálás tartomáya. A leggyakrabba alkalmazott sűrűségfüggvéy becslési módszerek vizsgálata alapjá a hisztogram-alapú módszert találjuk összességébe a legpotosabbak és legmegbízhatóbbak a mitá belüli magyarázó- illetve a mitá kívüli előrejelző képességét tekitve. f x hisztogram-alapú becslése f x j, if x t j, t j1 h, ahol j a megfigyelések száma, melyek a j. rekeszbe esek, illetve h a rekesz méretéek agysága. Mivel a plug-i becslési módszer itegrálási műveletet tartalmaz, ehéz implemetáli, így levezetük egy egyszerűbb képletet mid a Shao-, mid a Réyi etrópia hisztogram-alapú becslésére: Mivel a H X g 1 j H1, X v jl j1 h, (III.5) g j H, X l h j1 h (III.6) differeciális etrópia em teljesíti a pozitív homogeitás axiómáját, illetve egatív értékeket is felvehet, egy expoeciális traszformációt alkalmazuk a jobb alkalmazhatóság érdekébe. Ezek alapjá A eszköz etrópia-alapú kockázata a következő: ahol H A R A az A eszköz hozamáak valószíűségi változója, HRARF e, (III.7) R F a kockázatmetes hozam. A módszer a kockázatot a piaci portfóliótól függetleül becsli. Az értekezésbe levezetjük, hogy ameyibe RA RF ormális eloszlást követ, a Shao etrópia-alapú kockázati mérték midössze kostas e együtthatóba külöbözik a szórástól. Artzer és szerzőtársai szerit (1999) egy kockázati mérték koheres, ha teljesíti az ivariaciára, szubadditivitásra, pozitív homogeitásra és mootoitásra voatkozó axiómákat. Az értekezésbe aalitikusa igazoljuk, hogy a (III.7) egyeletbe defiiált kockázati mérték teljesíti a pozitív homogeitást, valamit a portfóliók hozamáak ormális eloszlása eseté a szubdadditivitást és kovexitást. Továbbá levezetjük azt is, hogy az etrópia-alapú kockázati mérték em teljesíti az ivariaciára és mootoitásra voatkozó axiómákat, így em tekitjük 17

20 koheresek. Midazoáltal megjegyezzük, hogy a koherecia em feltétele az eszközárazásak, továbbá megmutatjuk, hogy az etrópia eredméyese alkalmazható a várható hozam (kockázati prémium) magyarázatára és előrejelzésére. III. Empirikus eredméyek 1 millió véletleszerűe súlyozott portfóliópár geerálásával empirikusa igazoljuk, hogy 99%- os kofideciaszit mellett az etrópia képes a diverzifikációs hatás kimutatására bármely két portfólió között. Egy további mérésbe 10 millió, egyelőe súlyozott, külöböző elemszámú véletleszerű portfóliót geeráltuk, melyek kockázatát szórással és etrópia-alapú kockázati mértékekkel megbecsültük, majd a kockázati mértékeket elemszámok szerit átlagoltuk. Az eredméyeket a III.1. ábra illusztrálja. A bal oldali ábra alapjá látható, hogy a várható kockázat egy véletle, egyelőe súlyozott portfólió elemszámáak övelésével csökke. A jobb oldali ábra szerit 10 véletle értékpapírból épített portfólió etrópia-alapú kockázatáak mértéke 40%-kal csökke egy egyelemű értékpapírhoz képest. A két ábra arra eged következteti, hogy az etrópia hasolóa, de mégsem ugyaúgy viselkedik, mit a moder portfólió elméletbe alkalmazott szórás. III.1. ábra. A kockázat átlagos értéke és a kockázat átlagos relatív csökkeés a portfólió elemszámáak függvéyébe Megjegyzés: Az S&P 500 idexből véletleszerűe választott 150 részvéyből 10 millió külöböző elemszámú (elemszámokét legfeljebb 100 ezer) egyelőe súlyozott portfóliót geeráltuk. A portfóliók kockázatát szórással (szürke voal), Shao etrópiával (fekete voal) és Réyi etrópiával (fekete szaggatott voal) becsültük meg a vizsgált perióduso ( ), majd elemszámokét átlagot képeztük. A bal ábra kockázat várható mértékét, a jobb ábra a várható kockázat-csökkeést mutatja egy részvéy átlagos kockázatához képest portfólió elemszámáak függvéyébe. 18

21 Megvizsgáltuk, hogya helyezkedek el a véletleszerű portfóliók a kockázat várható hozam koordiáta-redszerbe a diverzifikálás hatására véletleszerű, egyelőe súlyozott, 5 és 10 elemű portfóliót geeráltuk az egyes értékpapírok mellett, majd megbecsültük ezek etrópiáját. A III.. ábra alapjá a diverzifikáció hatására a portfóliók balra tömörülek, továbbá hiperbola jellegű elredeződést veszek fel, hasolóa a moder portfólió elmélethez (Markowitz, 195). III.. ábra. Véletleszerű, külöböző elemszámú portfóliók elhelyezkedése a várható kockázati prémium kockázat koordiáta-redszerbe Megjegyzés: Az ábrák a részvéyek és portfóliók várható kockázati prémiuma és a kockázata közötti összefüggést mutatják a diverzifikáció függvéyébe. Az S&P 500 idexből véletleszerűe választott 150 részvéyt, valamit ezekből előállított, 5 és 10 elemű 00 darab véletleszerű egyelőe súlyozott portfóliót geeráltuk. A portfólió elemszámát t-vel jelöljük. A bal oldali ábra eseté a kockázatot Shao etrópiával, a jobb ábra eseté pedig Réyi etrópiával becsültük a vizsgált perióduso ( ). A kockázati mértékek empirikus kiértékeléséhez egy módszertat defiiáluk, mely alkalmas mid a mitá belüli magyarázó-, mid a mitá kívüli előrejelző képesség összehasolítására. Mid a magyarázó- mid az előrejelző képesség eseté a lieáris regresszió illeszkedéséek jóságát mérjük a kockázati mértékek (mit magyarázó változók) és az azoos, illetve későbbi időszakba mért várható hozam (mit függő változó) között. A Shao- és Réyi etrópia mellett referecia mértékkét a szórást és CAPM bétát alkalmazzuk, melyet külöböző mitáko értékelük ki. A mérési eredméyeket, valamit a miták leírását az III.1. táblázatba foglaljuk össze. 19

22 III.1. táblázat. A kockázati mértékek potosságáak összehasolítása külöböző mitáko Kockázati mérték R I, lt R I, bull R I, bear R I, st R R RI, st R R O, st Szórás 0,0783 0,3390 0,3671 0,0794 0,0970 0,75 0,65 CAPM béta 0,0617 0,3667 0,4369 0,1331 0,0645 0,98 1,0 Shao etrópia 0,198 0,4345 0,3961 0,1338 0,1015 0,69 0,64 Réyi etrópia 0,1571 0,436 0,3855 0,18 0,0934 0,6 0,60 Megjegyzés: A táblázat a vizsgált kockázati mértékek a várható kockázati prémiumra voatkozó hosszú- és rövidtávú magyarázó erejét (mitá belüli R -et), valamit előrejelző képességét (mitá kívüli R -et) összegzi. Az S&P 500 idexből véletleszerűe választott 150 részvéy kockázatát szórással, CAPM bétával, Shao- és Réyi etrópiával becsültük meg a következő periódusoko: (1) a teljes mitá, mely 1985 elejétől 011 végéig tart; () a teljes mita emelkedő tredű periódusaiba; (3) a teljes mita csökkeő tredű periódusaiba; (4) 18 darab 10- éves periódus alapjá, melyeket 1-1 éves eltolással geeráltuk ( )-től (00-011)-ig. Eze miták első 5 évébe becsültük a kockázatot, majd ugyaeze mitá mértük a rövid távú magyarázó erőt és a rákövetkező második 5 éves perióduso az előrejelző képességet. A második, harmadik és egyedik oszlop a hosszú távú magyarázó képességet méri a teljes mitá, illetve az emelkedő és csökkeő tred ismeretébe. Az 5. és 6. oszlop a 18 darab mitá mért átlagos magyarázó- és előrejelző képességet mutatja, az utolsó két oszlop pedig eze mitákba mért relatív szórást. O, st A III.1. táblázat alapjá a következőket állítjuk. A Shao etrópia a teljes mitá, illetve a rövid távú mitáko potosabb becslést ad, mit a szórás és a CAPM béta, továbbá a Réyi etrópia hosszú távú magyarázó képessége a legjobb. A rövid távú mitákba az etrópia-alapú kockázati mértékek megbízhatóbb becslést adak a CAPM bétához képest, mivel jeletősebb kisebb a teljesítméyük igadozása (relatív szórása). A szórás és az etrópiaalapú mértékek igadozásáak mértéke statisztikailag em külöbözik. Ameyibe a piaci tred azoosíthatóvá válik, jeletőse magasabb magyarázó erőt mérük midegyik kockázati mérték eseté. Midazoáltal megjegyezzük, hogy ez esetbe az etrópia-alapú mértékek és a CAPM béta teljesítméye közötti reláció vegyes. Kiegészítéskét külöböző többváltozós kockázati modellt is megvizsgáluk. Eredméyeik alapjá a Fama-Frech-féle háromfaktoros és Carhart-féle égyfaktoros modellek potossága jeletőse magasabb. Kimutatjuk, hogy az etrópia képes eze modellek magyarázó- és előrejelző képességéek övelésére, elsősorba a kevésbé jól diverzifikált portfóliók eseté. További érdekesség, hogy a magasabb mometumok jeletőse javítják az etrópia-alapú kockázati mértékek potosságát. Az értekezésbe további kockázati modell kombiációt vizsgáluk, melyek hozzájárulhatak a vizsgált árazási modellek hatékoyságáak potosabb megértéséhez. 0

23 Hivatkozások 1 Artzer, P., Delbae, F., Eber, J. & Heath, D. (1999). Coheret Measures of Risk. Mathematical Fiace, 9(3), doi: / Baz, R. W. (1981). The relatioship betwee retur ad market value of commo stocks. Joural of fiacial ecoomics, 9(1), doi: / x(81) Basu, S. (1983). The relatioship betwee earigs' yield, market value ad retur for NYSE commo stocks: Further evidece. Joural of fiacial ecoomics, 1(1), doi: / x(83) Clausius, R. (1870). XVI. O a mechaical theorem applicable to heat. The Lodo, Ediburgh, ad Dubli Philosophical Magazie ad Joural of Sciece, 40(65), doi: / Fama, E. F. & Frech, K. R. (199). The cross sectio of expected stock returs. The Joural of Fiace, 47(), doi: /j tb04398.x 6 Fama, E. F. & Frech, K. R. (1993). Commo risk factors i the returs o stocks ad bods. Joural of fiacial ecoomics, 33(1), doi: / x(93) Fama, E. F. & Frech, K. R. (1996). Multifactor explaatios of asset pricig aomalies. The Joural of Fiace, 51(1), doi:10.307/ Härdle, W., Müller, M., Sperlich, S., Werwatz, A. (004): Noparametric ad Semiparametric Models. Spriger Series i Statistics, Spriger-Verlag. Chapter 1-4. doi: / Liter, J. (1965a). The Valuatio of Risk Assets ad the Selectio of Risky Ivestmets i Stock Portfolios ad Capital Budgets. Review of Ecoomics ad Statistics, 47(1), doi:10.307/ Liter, J. (1965b). Security Prices, Risk ad Maximal Gais from Diversificatio. Joural of Fiace, 0(4), doi: /j tb0930.x 11 Markowitz, H. (195). Portfolio selectio*. The Joural of Fiace, 7(1), doi: /j tb0155.x 1 Mossi, J. (1966). Equilibrium i a Capital Asset Market. Ecoometrica, 34(4), doi:10.307/ Nadaraya, E. A. (1964). O estimatig regressio. Theory of Probability & Its Applicatios, 9(1), doi: / Sharpe, W. F. (1964). Capital asset prices: A theory of market equilibrium uder coditios of risk*. The Joural of Fiace, 19(3), doi:10.307/ Treyor, J. L. (196). Toward a Theory of Market Value of Risky Assets. Robert Korajczyk (Ed.), Asset Pricig ad Portfolio Performace. Lodo: Risk Books Watso, G. S. (1964). Smooth regressio aalysis. Sakhyā: The Idia Joural of Statistics, Series A, 6(4),

24 Kapcsolódó saját publikációk Tézisekbe hivatkozott folyóirat cikkek 1 Erdős, P., Ormos, M. & Zibriczky, D. (011). No-parametric ad semi-parametric asset pricig. Ecoomic Modellig, 8(3), doi: /j.ecomod (IF: 0.701) Ormos, M. & Zibriczky, D. (014). Etropy-Based Fiacial Asset Pricig. PLoS ONE, 9(1): e doi: /joural.poe (IF: 3.34) 3 Erdős, P., Ormos, M. & Zibriczky, D. (010b). No-parametric Asset Pricig: Evidece from US Stocks. The Empirical Ecoomics Letters, 9(6), Erdős, P., Ormos, M. & Zibriczky, D. (010a). Egyees-e a tőkepiaci árazási modell (CAPM) karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese?. Közgazdasági Szemle, 57(3), További folyóirat cikkek 5 Ormos, M. & Zibriczky, D. Etrópia mit pézügyi kockázati mérték. Szigma, Kézirat javított változata bírálat alatt. Koferecia cikkek 6 Ormos, M. & Zibriczky D. (013, Jue). Etropy Based Asset Pricig. I Aaro Hazak (Ed.), 5 th Iteratioal Coferece Ecoomic Challeges i Elarged Europe. Talli, Estoia (pp. 1 0, paper ). 7 Ormos, M. & Zibriczky, D. (013, Jue). Asset pricig ad etropy. I Proceedigs of the 10 th Iteratioal Scietific Coferece o Europea Fiacial Systems 013, Bro, Czech Republic, (pp ). 8 Erdős, P., Ormos, M. & Zibriczky, D. (010, May). No-liear Asset Pricig. I L. Galetic, M. Spremic. & M. Ivaov (Eds.), 5 th Iteratioal Coferece A Eterprise Odyssey: From Crisis to Prosperity Challeges for Govermet ad Busiess. Opatija, Croatia (pp ). (ISBN: ) 9 Erdős, P., Ormos, M. & Zibriczky, D. (010, Jauary) Kerel Based Asset Pricig. I: P. Cerviek & P. Musil (Eds.), d iteratioal PhD studets coferece New Ecoomic Challeges. Bro, Czech Republic (pp. 16 3). (ISBN: ) Poszterek 10 Erdős, P., Ormos, M. & Zibriczky, D. (009, Jue). No-parametric Asset Pricig: Evidece from U.S. Stocks. Poster preseted at Morga Staley-BME Fiacial Iovatio Cetre Kick-off & Workshop, Budapest, Hugary