8.1 A tervezés alapgondolata

Átírás

1 IIR űrők terveée 8. A terveé lpgondolt 8. IIR SZŰRŐK TERVEZÉSE A űrő terveéekor elő lépében kereük t megengedett, dikrét-idejű () e mplitúdó krkteritik eleget te álótfüggvényt, melye trtoó pecifikációbn ereplő tolernciáknk Máodik lépéként trnfer függvény lgebri átlkítáávl kívánt (kkád, párumo,tb.) truktúr prméterei átlkított függvényből már kiolvtók lenek. A trnfer függvény megtároáánk leggykrbbn nált módere feldt viveetée folytono idejű űrő terveéére. A folytono idejű űrők terveéének ngy gyomány vn, ámo eljárá, űrőktlógu áll rendelkeére. tlálunk egy pecifikációnkt kielégítő folytono idejű Ĥ trnfer függvényt, kkor ennek trnformációjávl megkpjuk dikrét idejű () függvényt. A ámo trnformáció eljárá köül mi ck bi-lineári trnformációvl fogunk itt fogllkoni. Specifikáció Dikrét-idejű űrő Inver trnformáció Frekvenci trnformáció Trnformált pecifikáció Approximáció Folytono-idejű űrő 8.. ábr A IIR űrők terveéének folymt Mivel IIR űrők terveée megleetően ámítáigénye, eért leetőégünk vn rá, kkor náljuk pld. MATLAB (ignl proceing toolbox) megfelelő függvényeit (lád lább), mivel ok i lábbikbn imertetére kerülő eljáráokt lklmák. A folytono idejű referenci űrők pproximáció eljáráár Függelékben tlálunk példákt. 8.. Terveé bi-lineári trnformációvl A bi-lineári trnformációvl történő IIR űrő terveé leggykrbbn nált móder. A Lplce-váltoót é dikrét-idejű komplex frekvenci váltoót egymáb leképő kifejeé bi-lineári trnformáció: Ennek invere: (8..) (8..) -6

2 IIR űrők terveée A fenti komplex trnformációk körtrtók, köröket körökbe képenek le. Igy -ík j képete tengelyének (mint végtelen ugrú körnek) íkon egyég ugrú kör felel meg: j (8.3.) j A ík bl félíkj egyégugrú körön belülre, míg jobb félík on kívülre képődik le. j Bl félík ábr A bilineári trnformáció mint konform leképé A dikrét-idejű () trnfer függvényt folytono idejű álót függvényéből (8..) erinti elyetteítéel állítjuk elő. A dikrét-idejű álótfüggvény teát: $ () trnfer () $ (8.4.) $ () megengedett függvény, () i le, mivel bi-lineári trnformáció -ben tbil, rcionáli törtfüggvényből -ben tbil, rcionáli törtfüggvényt állít elő. $ () kkor tbil álót trnfer függvénye, pólui -ík bl félíkjábn elyekednek el. Mint fentebb láttuk bl félík egyégkörön belülre képődik le, így (8.4) trnformációvl kpott () i egy tbil dikrét idejű álót trnfer függvénye le. A kérdé pere, ogy így előállított () trnfer függvény ( e ) vál mennyire onlít folytono-idejű álót nem vártunk, mivel dikrét-idejű álót $ ( pedig periodiku. frekvenci frekvenci váláo. Egyeét e -j periodiku függvény, $ ( j) j) () () e jt ˆ jt e jt e ˆ (8.5.) exp( jt ) exp( jt ) A függvénybe elyetteítendő érték: jt jt / e e e jt jt / e e e jt / jt / in j co ( T / ) ( T / ) T jtg( ) j (8.6.) -6

3 IIR űrők terveée ol: T tg tg π (8.7.) Eel: ˆ (8.8.) jt e j ˆ jtg π tg π A (8.8)-bn egy követett függvényt látunk. At fejei ki, ogy míg fiiki frekvenciát jelölő frekvenci váltoó : trtománybn váltoik, reltív frekvenci váltoó tngen öefüggének megfelelően : trtománybn váltoik. E t jelenti, ogy $ ( függvény, intervllumon felvett értékeit leképé ( e ) j) [ ] -nk [, /] intervllumáb úfolj öe. A pecifikáció kkor tudjuk fellépő frekvenci torítá ellenére kielégíteni, mgát követelményt i (8.8.)- öefüggének megfelelően előtorítjuk. A $ ( j) függvény így előtorított pecifikációnk te eleget, mjd een bi-lineári trnformációt végrejtv, frekvenci vál mintegy vitorul é követelmény így végül i kielégül. 8. péld: A eredeti pecifikáció: A áterető áv éle: A áróáv kedete:. A előtorított értékek: tg π tg.π. tg π tg.5π A 8.. ábrán (8.8.) öefüggének megfelelő torulá grfiku erketéét emléltetjük fenti péld dtivl. A dikrét időben é folytono időben érvénye pecifikáció különböik Aluláterető űrő terveé lépéei. Kiindulá: dott pecifikáció trtománybn.. Előnek kiámítjuk milyen reltív frekvencián le űrő tárfrekvenciáj tg π (8.9.) 3-6

4 IIR űrők terveée. Elvégeük követelmény előtorítáát úgy, ogy egyben tárfrekvenciár normáljuk frekvenci dtokt. A mplitúdó előírát váltotlnul gyjuk. (A űrő ktlóguokbn áterető áv éle mindig egyég) i i tg π rctg π (8..) Ĥ ( j) ( e ) 8.. ábr. A pecifikáció torulá é krkteritik egy pontjánk megerketée. 3. A trtománybn előállított követelményre megoldjuk pproximáció feldtot. E tipikun t jelenti, ogy űrőktlóguból kiváltjuk előtorított követelményt kielégítő $ () függvényt, vgy mgunk végeük el pproximáció feldtot (lád Függelék) A függvényt célerűen elő é máodfokú gyöktényeőket trtlmó lkjábn veük át. () ) n k C (8..) k ς k p pk pk 4-6

5 IIR űrők terveée 4. A 8.. függvény tárfrekvenciáj még egyég, eért elyetteítéel vi kell állítni eredeti előíránk eleget tevő függvényt. Eután végeetjük el bi-lineári trnformációját. $ () E két lépé öevontó : (8..) (8..)-be történő beelyetteítéel. ˆ (8.3.) 5. A dikrét időben érvénye máod- é előfokú gyöktényeők imeretében fogtunk oá űrő reliálááo. A reliálá lpvető kérdée, ogy milyen truktúrábn kívánjuk űrőt megvlóítni. A truktúr megváltákor mérlegelnünk kell együtttó érékenyéget ( vége együtttó óoúág táát), kiveéreletőéget (túlcordulá leetőégét ), vlmint űrő működée köben ( folytono kerekíté követketében ) termelődő ritmetiki j táát. A kérdéek öetettége mitt reliálá een problémáivl külön fejeetekben fogllkounk. 8..Péld: Terveünk 3-d fokú mximáli lpo krkteritikájú (lád Függelék) luláterető űrőt k tárfrekvenciávl (3db-e pont). A mintvételi frekvenci k.. A tárfrekvenci reltív egyégben (8.9.) :.349 π π tg tg. A pecifikációbn fokámot dtuk meg, így ninc má frekvenci előírá. 3. A rmdfokú mximáli lpo ( Butterwort) krkteritik álót függvénye: () ˆ 4. A (8.3.) erint gyöktényeőkként elvégeve bilineári trnformációt: ˆ b b b b b Aol:.4537 b b

6 IIR űrők terveée b b.738 b b ( ) Reliálá: álótbn: x(n) - x(n-) y(n-) y(n-) b b b b b u(n) - - u(n-) y(n) ábr A reliált űrő (elő é máodfokú D truktúrájú lptgok kkád kpcolá) DSP reliálábn végtelen ciklu mgj: u ( n) bx( n) bx( n ) u( n ) ( n) b u( n) b u( n ) b u( n ) y( n ) y( n y A öregbítéek: x n x( n), ) y( n ) y( n ), 8.4 Terveé MATLAB-bn u( n ) u( n ), u( n ) u( n), y( n ) y( n) A fenti gondoltokt kiegéítve folytono idejű referenci űrő pproximáció eljáráávl elkéítető egyetlen MATLAB függvény, melyik pecifikációt trtlmó bemeneti prméterekből kiámítj trnfer függvény ámláló é neveő polinomjánk együtttóit. A MATLAB -bn rendelkeére álló eljáráok (é pproximáló függvények):.) Mximáli lpo (Butterwort) űrőterveéi eljárá (tvány függvények).) Cebiev űrőterveéi eljárá (Cebiev polinomok) 3.) Inver-Cebiev űrőterveéi eljárá (Cebiev polinomok) 4.) Elliptiku (Cuer) űrőterveéi eljárá (Jkobi elliptiku függvények) Een eljáráok ívá é prméterei példávl:.) [B,A] butter(, ) [B,A] butter(5,.) 6-6

7 IIR űrők terveée.) [B,A] ceby(,, ) [B,A] ceby(5,3,.) 3.) [B,A] ceby(,, ) [B,A] ceby(5,5,.36) 4.) [B,A] ellip(,,, ) [B,A] ellip(5,3,5,.) Aol: : űrő fokám : áterető trtomány normliált tár : áró trtomány normliált tár : áterető trtománybeli ingdoá db-ben : áró trtománybeli ingdoá db-ben B: átviteli függvény ámláló polinomjánk együtttói A: átviteli függvény neveő polinomjánk együtttói [ b b, b ] A [,,,..., ] B,...,, b B ( ) b b... b A( )... A egye terveéi eljáráokkl elért mplitúdó krkteritikák lábbi ábrákon tekintetők meg. Figyeljük meg, ogy pecifikációt mennyire teljeítik túl áteretőilletve áró áv egye réein! [db] ( e ) lg / [db] 8.4. ábr Ötödfokú Butterwort űrő mplitúdó krkteritikáj ( e ) lg / 8.5. ábr Ötödfokú Cebiev űrő mplitúdó krkteritikáj 7-6

8 IIR űrők terveée [db] ( e ) lg / 8.6. ábr Ötödfokú inver Cebiev űrő mplitúdó krkteritikáj [db] ( e ) lg / 8.7. ábr Ötödfokú elliptiku űrő mplitúdó krkteritikáj A fenti ábr orotbn 5 fokám,. áterető trtomány normliált tár é 3 db áterető trtománybeli ingdoá ono volt. A árótrtományt mínu 5 db értéknél jelöljük ki, így leetőég dódik átmeneti ávok öeonlítáár. A legngyobb áró-trtomány kedet ( : áró trtomány normliált tár) Butterwort eljárábn, míg legkiebb elliptiku eljárábn dódik. E egyben eljárá gdágoágát muttj, ugyni előírá áróáv kedete, illetve áróávi cillpítá, kkor legkiebb fokámot elliptiku, legngyobbt Butterwort eljárá eredményei. E tuljdonág egye trtományok egyenlete (egyenetlen) köelítéének köönető. Megjegyeük, ogy MATLAB leetőéget d nem ck luláterető nem felüláterető, áváterető, é áváró krkteritikák terveéére i. A bemeneti prméter lit bővítéével kell ilyenkor ívni fenti függvényeket. (Bővebben lád függvények elp menüjét.) 8-6

9 IIR űrők terveée 8.5 FIR vgy IIR? A űrőterveé elő lépée, ogy el kell dönteni: FIR vgy IIR truktúrát válunk. A váltát úgy tudjuk megtenni, ogy mérlegeljük ok előnyeit illetve átrányit. FIR Előnyei: - Egktul lineári fáimenet, mi torítá mente átvitel egyik feltétele. - Strukturálin tbil álót, nem kell fogllkoni tbilitái kérdéekkel. - inc túlcordulá veély. - Könnyű progrmotóág, peciáli DSP utítáok. átrányi: - Mg fokám. Kb 8- ere fokám követelmény ugynt tolernciát kielégítő IIR űrővel öeonlítv. E oú DSP progrm futái időt, ngy tárkpcitát, FPGA-bn ok oró rdvert igényel. - Bionyo lklmáokbn kritiku űrő ngy jel kéleltetée ( T/). IIR Előnyei: - Vionylg kiebb űrő fokám: kiebb rdver igény. - Vionylg kiebb jel kélelteté. átrányi: - Direkt reliálábn ngy együtttó érékenyég, mi együtttók vége oúágú ámábráolából dódik. Ilyenkor űrő tbilitá kerület veélybe. Een pld. kkád reliálá egítet, de e egye fokotok túlveérléée veetet. A fokotok orrendjének váltottáávl é jelint kálááávl túlveérlé eélye cökkentető. - A túlveérlé táár intbilitá lépet fel, ngyintű, bemenettől független kimenő jelet tud produkálni ( gerjed ). - Mg ritmetiki j. A ámítáok kerekítéi ibájából dódik. A rekurivitá mitt kerekítéi ib felokoroódik. - Fellépet u.n. éru bemenetű tárciklu, mikor bemenet lekpcolá után kimenet egy ki intű periodiku jelorot le. E intén rekurióbn elkövetett kerekítéi ib követkeménye. A periodiku jel véletlen erű. - Sávűrő eetén már nem feltétlenül ig okkl kiebb fokám. A ok átrány ellenére mégi gykrn nálnk IIR űrőt kiebb fokám mitt. A átrányok okot veély gondo terveéel jelentően cökkentető. 9-6

10 IIR űrők terveée 8.6 Függelék 8.6. Butterwort (mximálin lpo) pproximáció Kereük t Ĥ () folytono idejű átviteli függvényt, melyik rcionáli törtfüggvény é melynek Ĥ ( j) mplitúdó krkteritikáj kielégíti pecifikációt. Ĥ - nek pólui legyenek igorún komplex ámík bl félíkjábn. (A ilyen polinomokt eveük urwit polinomnk. Ennek ért kell teljeülnie, mert űrő ck ebben eetben le tbil.) Aluláteretö pecifikáción áterető áv é áró áv előíráát értjük. A áterető áv [,], míg áró áv [, ] reltív frekvenci trtomány legyen. A pproximáció feldtot e egyerűbb lk kedvéért átviteli függvény reciprokár fogjuk elvégeni, mit cillpítánk értelmeünk. Eért áterető ávbn db db cillpíták [db, ] tárok köött, míg áró ávbn felett kell lennie. Mximáli lpo pproximáció eetén cillpítá mplitúdó krkteritikáját vegyük fel lábbi lkbn: Γ ()( Γ ) Γ( j) Γ( j) Γ( j) j E függvény [,] trtománybn [, ] értékeket vei fel. A kereett függvény fokám. Ennek függvénynek origóbn minden erinti deriváltj éru, eért indokolt mximálin lpo elneveé. db Beveetve : A é A mennyiégeket: A é ( j ) A Γ dódik. Ebből ükége fokám: lg lg A db A j elyetteíté után: Γ()( Γ ) j Ennek kifejeének kell gyökeit megkereni, ogy epráluk őket erint, ogy mely gyökök enek bl é mely gyökök enek jobb félíkb. A eprált gyökökkel Γ urwit polinomot. gyöktényeő lkbn felírtjuk k Teát kereük kifejeé k gyökeit: k,,3,..., j k j j( k ) π e j( k )π R e k jre π π π π ( k ) j j( k ) j ( k ) j Re e Re π Re jϕ k -6

11 IIR űrők terveée Aol: R ϕ ( k ) k π π k,,3,..., A gyökök egy R ugrú körön vnnk, k,, indexűek vnnk bl félíkon. Eel: ˆ () Γ() ( k ) k j Péld φ tárouk meg Γ(), cillpítá függvényt 3, 3dB prméter értékek eetén! - 5 db A, A, R π π ϕ k ( k ) 6 A gyökök elelyekedée ábrán láttó A bl félíkr eő gyökök: 3 4 -j 8.8. ábr Mxlp gyökök 3, R eetén Eel: π π,3 co ± j in ± 3 3 j 3 co( π ) ˆ () Γ j Γ Γ Sámítuk ki () j függvényt! Γ 3 3 Γ () é Γ ( ) ()( Γ ) [( ) ( )]( [ ) ( )] ( ) ( ) Ellenőréként: ogy vártuk. Γ 6 6 ( j ) Γ()( Γ ) j j -6

12 IIR űrők terveée 8.6. Cebiev pproximáció A Cebiev polinomok definíciój: co( rcco ) T E definíció polinomot definiál, mit lábbi gondoltmenettel bionyíttunk: Legyen: co( x ) x rcco Eel: T co( x) A ddíció tételt lklmv írtjuk: Adjuk öe fenti két polinomot! (( ) x) co( x) co( x) in( x) in( x) (( ) x) co( x) co( x) in( x) in( x) T co T co T ( x) co( x) T T co mit átrendeve Cebiev polinomoknk egy rekurív előállítáát leetővé tevő lkot kpunk. T T T Eel: T ( ) ( definícióból követkeően) T ( definícióból követkeően) T 3 T T T T , tb. A Cebiev polinomok áterető áv egyenlete köelítéét teik leetővé lábbi tuljdonáguknál fogv: T T T () > > Eek lpján legyen cillpítá függvény bolút érték négyete: (..) A ˆ ( j) Γ ( j) j elyetteíté után: Γ()( Γ ) T j T (..) -6

13 IIR űrők terveée k kereük kifejeé gyökeit: T k,,3,..., j db log Γ( j) ábr A áterető trtomány egyenlete köelítée Cebiev polinomokkl 3 db áteretőávi ingdoá eetén. A réletek mellőéével, dott áróávi cillpítá db-ben, é k Bcoϕk jainϕ k k,,3,..., Aol: A c( b ) B ( b) π π π ϕ k k k n k,,3,..., b r ln A, A, A A ükége fokám: rc rc A A ( ) áteretö ávi ingdodoá db-ben, áróáv kedete, kkor gyökök: 8.. ábr Cebievi gyök-elrendeődé ( 4 eetén) Vegyük ére, ogy gyökök A ngy- é B kitengelyű ellipien elyekednek el. A k,, indexeke trtoó gyökök lenek bl félíkbn ( e felettiek pedig jobb félíkbn). A kereett referen luláterető átviteli függvénye: 3 4 j B 6 A 3-6

14 IIR űrők terveée ˆ () Felülátertő terveée Γ() k ( k ) Aluláterető űrőből felüláterető űrőt p trnformációvl kpunk. E leképé pjυ tengelyt j j tengelybe képi le. ν ~ ( jν ) Ĥ ( j) - ν - 8. ábr Aluláterető trnformációj felüláteretőbe A referen luláterető ~ ( p) trnfer függvényből felüláterető Ĥ () trnfer függvényt ˆ ~ p elyetteítéel kpjuk meg. További elyetteítéel kpjuk dikrét idejű felüláterető trnferfüggvényt: ~ ˆ p f p p Sáváterető terveée Aluláterető űrőből felüláterető űrőt p trnformációvl δ kpunk, ol: δ reltív ávéleég é f ávköép frekvenci. E leképé pjυ tengelyt ~ ( jν ) j j tengelybe képi le. δ Ĥ ( j) - ν - f - - f 8. ábr Aluláterető trnformációj áváteretőbe A referen luláterető ~ ( p) trnfer függvényből áváterető Ĥ () trnfer függvényt ˆ ~ p p δ elyetteítéel kpjuk meg. További elyetteítéel kpjuk dikrét idejű áváterető trnferfüggvényt: 4-6

15 IIR űrők terveée ~ ( p) d p c ( ) Aol: c tg[ π ( )/ ] f d d p co co c( ) [ π ( f )/ ] [ π ( )/ ] f A referen luláterető ~ ( p) trnfer függvényből melynek áterető ávj [,] trtomány fenti trnformáció előállítj t dikrét idejű trnfer függvényt, melynek áterető trtomány : [, f ] trtomány. referen űrő fokám, kkor dikrét idejű űrő fokám. 8.4 Péld: Legyen! ~ ( p) d p c( ) p d p c ( ) c c d c c c Egy űréi feldt Egy k mintvételi frekvenciávl működő renderben egy -e inuo jelet krunk megfigyelni. A jelet egy éru vártó értékű Gu (normáli) eloláú feér j tereli. (A feér j t jelenti, ogy j mintái egymától függetlenek.) Sűrjük meg jelet egy előfokú luláteretőből fenti móderrel ávűrőbe trnformált űrővel! A űrő áterető ávj legyen [75,5] (-3dB-e pontok). A j ngyágát jel-j vionnyl (SR) jellemeük: Jel teljeítmény SR db lg lg 4 6 db Zj teljeítmény A MATLAB imulációbn jel mplitúdój, teljeítménye ½. A j teljeítménye jel teljeítményének negyede, /8-d. (E j órá négyete) x ábr A megfigyelt jo jel időfüggvénye 5-6

16 IIR űrők terveée [db] ( e ) lg x. ábr A máodfokú ávűrő mplitúdó krkteritikáj x. ábr A megűrt jel időfüggvénye A kedeti kiebb mplitúdó űrő bekpcolái trniene mitt követkeik be. A tbiliálódá után mplitúdó kimértékű ingdoá mrdék j követkeménye. A feér j teljeítmény űrűég pektrum egyenlete (kontn). E t jelenti, ogy minden pektrum öetevő ono. A név feér fény nlógiájából jön, feér fényt egy primávl öetevőire bontv, ivárvány öe íne megfigyelető le. Sűré után j teljeítmény űrűég pektrum űrő mplitúdó krkteritikájávl le rányo. Egy mgbb fokámú űrővel keveebb j mrdn jelben. 6-6