I. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ

Átírás

1 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé I MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Mértékeyé-átáltáok I/ 58 k 58 = = = c k e) 58, 58 6 c Vektorűeletek I/4 I/5 r a) Fx = F co ϑ = 4 N co =, 78N r a) = x + y = + =, 4 r Fy = F in ϑ = 4 N in = N y ϑ = arc t = arc t =,6 x I/6 r r r e) 4a + b c = 4 (, 7, 6) + (,, 5) (6,,) = (8, 8, 4) + (4, 6,) (8,, ) = ( 6,, 7) A éré hibája I/7 A eoldá alapja a haonló hározöek oldalainak arányoáa A jelöléeket az ábrán utatjuk be A hározöek A cúcnál leő zöe közö, é a ele zeközti oldalak párhuzaoak, íy az ABC hározö haonló az ADE hározöhöz, ayi AB BC x y =, ahonnan = Ezt átrendeze x = AD DE x y A Az elő eetben a fenti eyenletből x = 5 adódik Ha a trapéz oldalának éréekor -t téedünk, ayi a aló hoz 96, c ay 95,8 c, akkor a táolára rendre x = 6,, illete x =,8 adódik, tehát a táoláéré orán elköetett hiba lefeljebb x =, Ha a trapéz röidebb oldalát 99 c-nek érjük, akkor a táry táoláa a éterrúd felénk eő éétől x = A -e hibát fiyelebe ée a táolá x = 5 ay x = 8,, tehát az elköetett hiba ne több, int x = 5 x B y C Mejeyzé: a hiba peziita becléekor az azono ennyié éréekor ehatározott hibák közül a nayobbat zoktuk eadni a éré hibájaként D E Füénytani alapieretek I/ a) értelezéi tartoány: ϒ; értékkézlet: ϒ; onotonitá: ziorúan onoton nöekő; zélőértékek: ± zakadái hely: ninc inflexió pont: x =

2 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 8 9 / I félé Határérték- é differenciálzáítá I/4,,,,,,, a) 4 5 n,,,,,,, n b) 4 5 n c) { n } n n orozatnak ne létezik határértéke, ait a köetkezőképpen láthatunk be: ha ezt a orozatot két rézorozatra bontjuk, akkor páro n-ekre a határérték +, páratlan n-re -, ayi ninc eyetlen olyan záérték, aely tetzőleeen kici környezetébe benne található a orozat inden elee, ha n elé nay I/5 a) d( x) = b) dx d( x + 4) = + = c) dx d x dx = x d) e) f) ) d x x + x + dx ( 5 ) = x 5 x + + = 9x x + d( x in x) = in x + x co x = in x + x co x dx d(co x in x) d co x d in x = + = + = = dx dx dx in x co x in x in x co x co x co x in x co x in x d in x d co x d co x in x x + x t x = = = = co x dx dx co in dx co x co x co x de dx x x x x de x = e = e iel = e dx h) i) j) x ( ) d e x x de x dx x x x = x + e = 6x e + e = 6x + e dx dx dx ( ) d x t x = t x + x t ' x = t x + x dx co x I/6 Telje néyzetté alakítáal t z t = z + t t = z t = z t +, ay z t = z + t t = z t +, ely kifejezéeknek akkor lez axiuuk, ha a néyzete ta, ebből z ax = z + Ey füénynek ott an axiua, ahol az elő differenciálhányadoa nulla, é ebben a pontban pozitíról neatíra előjelet ált: d z t t dz ( t) + = = t, dt dt elynek zéruhelye: t =, é z& ( t) = t >, ha t <, é t <, ha t > ax = + = + A axiáli aaá: z z z A differenciálhányado-füény a tet ebeéének időfüényét adja e

3 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 8 9 / I félé I/7 a) x& = a, && x =, eyene onalú eyenlete a ozá b) x& = a t + b, && x = a, eyene onalú eyenleteen yoruló a ozá c) x& = A cot, && x = Ain t, eyene onalú, periodiku ozá, aelyre A x A &, d) x = A ( co ωt) ω = A ω ( co ωt) && x = Aω in ωt e) x = A ( co( ωt π) ) ω = Aω ( co( ωt π )) = Aω co ( ωt) &, && x = Aω in ωt, ω körfrekenciájú haroniku rezé, iel t=-ban x=, = Aω, ez ey π kezdőfáziú haroniku rezé β f) t β co t β x& = A e β ω t + A e ( ω) in ω t = A e t ( β coω t + ω in ωt) β t && x = A e ω β coωt βωin ωt, exponenciálian cillapodó rezé βt βt βt ) x& = A e ( β) in ( ω t + ϕ ) + A e ω co( ω t + ϕ ) = A e ( β in ( ω t + ϕ ) + ω co( ω t + ϕ) ) in co β t && x = A e ω β ω t + ϕ + βω ω t + ϕ, int f),, II KINEMATIKA EGYSZERŰ MOZGÁSTÍPUSOK Eyene onalú eyenlete ozá, eyenlete körozá II/ Ey fényé az az táolá, aelyet a = ebeéel a fény é alatt etez Az eyene onalú eyenlete ozá útképletét haznála: k k = t = é = (65, 5 4 6) = 9,47 k k II/4 k A = 45 ebeéű otoro relatí ebeée a h k ebeéel haladó konojhoz képet az elő eetben = k, a áodik eetben = + k olt Miel tudjuk, hoy az hozúáú épkocikonojt a otoro az elő 7 eetben t = 7 perc= h, í a áodik eetben t = perc = h alatt előzte e, ezeket az előző két eyenletbe helyetteíte: 6 = k é t t k 6 = + A két eyenletet eyáal elozta k ( t t ) 45 ( h h) k = = = 5 ( h h) h k 7 h t + t t = t + k k, aelyből k -t kifejeze II/9 k Az r = k uarú körpálya kerülete = rπ = k π = 6,8 k Ezt az utat a = 8 = 5 ebeéel 6,8 k haladó repülőép t = = = k,776 h = 79, 4 alatt tezi e A fenti időtarta a repülőép T kerinéi, 8 h ay perióduideje Az ω zöebeé (felhaznála, hoy a repülőép a T perióduidő alatt 6 -ot, azaz π radiánt tez π π e): ω = = =, 5/ T 79,4 Ey félkört a repülőép a perióduidő fele, azaz T / = 9,6 alatt tez e Az a cp centripetáli yorulá kizáítáa (5 ) kétféleképpen történhet: acp = = = 5,6, illete a cp = ω r = (, 5 ) = 5,6 r h

4 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé Eyene onalú eyenleteen yoruló ozá II/ Az a = 5 / yoruláal ozó olyó által a t é t időpontok között etett (t, t ) út: a a a ( t, t ) = t t = ( t t ) 5 Az elő áodpercben etett út ezek alapján: (,) = ( ) =,5 Haonlóképpen a, é 4 áodpercben etett utak rendre 7,5,,5 é 7,5 A néy út aránya ::5:7 Az a = 5 yoruláal ozó olyó ebeéáltozáa a t A = é t B = 4 időpontok között: ( t, t ) = at at = a( t t ) = 5 (4 ) = A B B A B A II/4 k a) Miel az autó álló helyzetből indult, a kezdeti ebeée k/h olt Ha t = 9, alatt érte el a = 8 ebeéet, k 8 h, az a átlao yoruláa a = = = = =,5 t t 9, 9, II/6 A tet a, a, a 4 5, alaint a 6 7 időtartaok alatt eyenlete, a időtarta alatt eyenleteen yoruló, a 4, alaint az 5 6 időtartaok alatt eyenleteen lauló ozát éez A yorulá idő rafikon ebeé idő rafikon deriálááal nyerhető h 5,5 (/) ,5 -,5 a (/) a (/ ) - a - -5 t () -,5 A tet elozduláa a ebeé-idő rafikon alatti területek előjele özezééel határozható e: A = (, 75, 5) néyzetrác 5 / = 475 II/ A = / kezdeti ebeéel feldobott labda = 9, 8 yoruláal ozo felfelé Ha t-el jelöljük azt az időpontot, aikor a labda ebeée =, é felhaználjuk, hoy = t, a t időponti a labda által etett út: = t t = = = 5, 9 = 9, 8 Miel a labda pályája zietriku, izafelé i uyanennél a pontnál, azaz 5,9 -rel a kezdőpozíciója felett éri el a = ebeéet 4

5 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé II/ A tet eyene onalú pálya entén ozo é ebeée az időel lineárian áltozik, íy ez a ozá eyene onalú eyenlete yoruló ozá A = + at özefüéel özehaonlíta kapjuk, hoy =, a = d =,6 Ezekkel a az adatokkal kizáítható, hoy az y tenely entén a tet elozduláa: y = t + t = 6 +,7 = 8,7 A tet új helyzete: P ( ; ( 4, + 8,7) )= ( ;,9 ) Hajítá, ne eyenleteen yoruló ozá, yoruló körozá II/4 Vízzinte hajítákor a tet ozáa két, eyától füetlen elozdulára bontható fel Az eyik elozdulá ízzinte irányú, eyene onalú eyenlete ozá, a hajítá ebeééel: x = t = = 4 = 5 = A kő az elhajítá helyétől alatt ízzinte irányban 4 étert, füőleeen lefelé étert táolodott el A áik elozdulá füőlee irányú, é zabadeéként írhatjuk le: y t III A TÖMEGPONT DINAMIKÁJA Eyene onalú ozá III/ Annak az erőnek a nayáa, aelyet az töeű eber fejt ki a lift padlójára: F = ( + a), ahol a raitáció yorulá, a pedi a lift yoruláa Az a yorulá előjele pozití, ha a lift felfelé yorul, é neatí, ha lefelé yorul A fentieknek efelelően az eber által a padlóra kifejtett erő nayáa az eye eetekben: F = 7 k 9,8 = 686,7 N, F = 7 k (9,8 ) = 476,7 N, F = 7 k (9,8 + ) = 896, 7 N III/6 A probléa ey olyan o kezdőebeéel történő füőlee hajítának tekinthető, aelynél a tet a lejtő okozta kényzer köetkeztében a raitáció yorulá helyett ey a = inα = 9, 8 in = 4, 95 nayáú, füőleeen lefelé irányuló yoruláal ozo A holtpont elérééi eltelt t idő annak felhaználááal o kapható e, hoy a holtponton a tet ebeée zéru: = o at t = a A felő holtpont elérééi etett út: ( 8 ) o o o o o o o a a a a a 4,95 = t at = a = = = = 6,5 Miel a ozá zietriku, a izaérkezéi etett út a fenti érték kétzeree, azaz,4 Uyanezen okból a izaérkezéi eltelt idő a t időtarta kétzeree, azaz 8 o t = = =, 6 a 4,95 III/8 A ládára ható tapadái úrlódái erő Fúrl = µ, ahol µ a tapadái úrlódái eyüttható, a láda töee é a raitáció yorulá Ahhoz, hoy fékezékor a láda éppen ne cúzon e, a ládára ható tehetetlenéi erő lefeljebb akkora lehet, int a tapadái úrlódái erő: a = F F = µ, aiből a fékezé lauláa: a fék fék teh úrl µ =, 9,8 =,96 III/ A lejtőre helyezett tet eyenúlyban an indaddi, aí e ne ozdul Háro erő hat rá, a nehézéi erő, a lejtőre erőlee nyoóerő é a úrlódái erő (kezdetben tapadái erő, ajd a cúzái úrlódái erő) Ha a nehézéi erőt felbontjuk a lejtőel párhuzao é arra erőlee özeteőkre, akkor az eyenúly feltételéből kapjuk, hoy F = coα é F = in α Akkor ozdul e a tet, ha a tapadái erő axiáli értékét ehaladja a nehézéi ny erő lejtőel párhuzao özeteője 5

6 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé F = µ co α ( = µ F ), az eyenúly lefeljebb addi állhat fel, aikor a lejtő zöe ey kiciel kiebb, Miel t ax ny int Miel ár in > µ co, innen µ < t =, 577 Abból, hoy -nál éppen eozdul a tet, az köetkezik, hoy µ, 577 A ozá adataiból, = at felhaználááal kapjuk, hoy a =,5 A cúzái úrlódái erő F in α a = µ coα, a ozáeyenlet in α F = a, innen µ = =,58,5 co α N r 5 r III/ Írjuk fel a Pitaoraz-tételt a piro zínnel kieelt derékzöű hározöre: ( 5 ) ( r ) + = r, ebből r = Ha az autó a híd tetején eyenlete körozát éez, akkor a körozához zükée erőre felírható az N = r özefüé, ahol a úlyerő é N a nyoóerő Az autó ne álik el az úttól, ha N, aiből az autó ebeéére a k özefüé adódik Ebből az autó axiáli ebeée: ax = r = 9,8 = 5, 7 = 8, 6 h r III/4 Jelölje a tet ebeéét, ω a körozá zöebeéét é F cp a körozá fenntartáához zükée centripetáli erőt ω t 5 A t = alatt etett zöelfordulá: N = = =,9 fordulat A tet töee a centripetáli erő π π nayáából határozható e, felhaznála, hoy = ω r : F F cp cp r Fcp 5 N Fcp = = = ω = = =,5 k r ω 5 III/5 A leálá pillanatzerű, ezért a ruóban ébredő erő ne tud eáltozni A ruóban léő erő nayobb, int aekkora a körpályán tartához zükée, ezért a többleterő iatt a körpályához képet befelé kell a aradék réznek elozdulnia A leált réz pedi az elálá pontjában az eredeti pálya érintőjének irányába ozdul el III/7 α Az F kötélerő füőlee koponene a olyóra ható raitáció erőel tart ellent, íy azzal azono nayáú, í a ízzinte koponen a körozá fenntartáához zükée centripetáli erőt biztoítja Ezek alapján F co α =, aiből a kötél füőleeel bezárt zöe: 5, k 9,8 α = arc co = arc co =, 5 F 6 N A fenti értékből a kötél ízzinteel bezárt zöe 9,5 = 56,5 Az l hozúáú kötélen füő olyó által bejárt körpálya uara r = l in α, a centripetáli erő nayáa pedi F = F in α Miel F cp cp =, a olyó kerületi ebeée: r 6

7 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé Fcp r F inα l inα 6 N in,5,4,9 k = = = = =,8 h 5, k Az ω zöebeéel történő körozá perióduideje: ( l α ) π π π in π,4 in,5 T = = = = =,84 ω,9 r III/ Ha az l hozúáú dezkából α hajlázöű lejtőt kézítünk, a rajta léő teher úlyának cak a noráli koponenét, azaz ' coα nayáú erőt kell elbírnia Ha az k teherbíráú dezka lejtő forájában elbírja az töeű tetet, teljeül a köetkező eyenlet: ' coα, aiből a lejtő hajlázöére 6 k α arcco = arcco = 6, 86 adódik ' 75 k III/ Eézítük ki az ábrát, az erők berajzolááal A tetre háro erő hat, a két kötélben ébredő erő é a nehézéi erő, elyek eredője zéru, hizen a tet eyenúlyban an Általáno helyzetű erők eetén célzerű a koponeneket özehaonlítani Tekintük a ízzinte özeteőket: F co 45 = F co 6 A füőlee koponenekre: F in 45 + F in 6 = co 45 Az elő eyenletből FB = FA = 4,4 N co 6 FA in 45 + FB in 6 A tet töee: = =,59 k, ahol = 9,8 A A B B IV IMPULZUS, IMPULZUSNYOMATÉK, MUNKA, ENERGIA, TELJESÍTMÉNY Ipulzu, ipulzunyoaték IV/ Leyen a koordinátatenely füőlee, kezdőpontja a talajon, é induljon a tet az x = 5 pontból A talajra érkezé ideje: x = t özefüéből: = t, ahol t A leérkezékor a ebeée = 9,8 A tet helyzete x o t = = A ebeée a leérkezéi neatí, ezért x = x t t Az utóbbi, ahol eyenletből kifejezzük t-t, é a ebeé özefüéébe helyetteíte, kapjuk, hoy az ipulzu: I ( x x) = A ruala ütközé után a ebeének cak az előjele áltozik e, ajd cökken az eelkedé közben, úy, hoy I = x x IV/ r=,6 =, k T= π A tet ω = =,5 zöebeéel, é =,4 T kerületi ebeéel éez körozát Ipulzuának nayáa: I = =, 68, aely időben állandó k Az ipulzu(ektor) azért áltozik e ebben az eetben, ert a tet ipulzu indi a pálya érintője irányába utat, ahoy a ebeée i Az ipulzuáltozá nayáa alatt éppen eyenlő az ipulzu nayááal: I = I Mí a alatti áltozá nayáa a 7

8 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé k erajzolt derékzöű hározö átfoójából záolható ki: I = I =, Az ipulzunyoaték-ektor a rajz íkjára erőleeen kifelé utató ektor, nayáa: k N = r = r I =, 77 Ha a fonál elzakad, akkor a tet a pályát érintő irányban hayja el ebeéel, é =,6 =,8 etétele után lez a eadott táolában, ayi t = =,55 idő úla IV/5 Előzör határozzuk e a tetre ható erőket: A nehézéi erőt bontuk fel a rajz zerint a lejtőel párhuzao, é arra erőlee özeteőkre A feladat zerint a yorulá, ezért ur F eredő = Írjuk fel a lejtőel párhuzao é erőlee özeteőkre a ozáeyenletet: F S in α =, K coα = Innen: K = co α =,98 N, ahol F = = 9,4 N A úrlódái erőről tudjuk, hoy S = µ K = µ co α = 5, N, ezt az elő eyenletbe helyetteíte: F = in α + µ co α = 4, 7 N, az erők iránya pedi az ábrán látható h Az út: = = 4 in α h Az eye erők unkája: W = co(9 + α ) = h = 78, 48 J, WF = (in α + µ co α ) = 98,87 J, in α h WS = S co8 =, 4 J, WK = K co 9 = in α Az erők unkájának özee: W = W + W + W + W = F K S IV/6 A ézett unkát a örbe alatti területből záolhatjuk ki Az x tenely feletti területet pozití, az alatti rézt neatí előjellel kell záítába enni: N + W W = =,5 J, Pátl = = 5 W t IV/8 A enyújtát éezzük nayon laan, akkor a ruóban ébredő erő é az általunk kifejtett erő eyáal eyenlő lez, é az elozduláal indi arányo: F = F = D x, ahol x, Ábrázoljuk az erőt az elozdulá r füényében, é határozzuk e a örbe alatti területet: Fax xax Dxax Fax N W = = = 4 J, ahol D = = x ax A ruóban tárolt eneria eeyezik a enyújtáakor ézett unkáal IV/6 T= K, M = 8 /ol, M = 5 /ol, = 5 /, ρ = 7, /c, N A =6 /ol, R =8, J/K Toábbi jelöléek: a nanorézecke töee, uara, atojainak záa, ütközé utáni ebeée:, r, N, u a nitroénolekula töee, ütközé előtti é ütközé utáni ebeée:,, u Előzör határozzuk e a nitroénolekula átlao ebeéének nayáát: RT = = = = átl 57 M kt = Innen Teyük fel, hoy ey pontoan átlao ebeéel ozó nitroénolekula centráli, eyene ütközét zened ey nanorézeckéel Akkor lez nayobb a ebeéáltozá, ha ez az ütközé ellentéte ebeéel rendelkező rézek között jön létre Ha a ebeéáltozát akarjuk ehatározni, akkor álazthatjuk azt a efiyeléi rendzert, elyben ütközé előtt a nanorézecke állt, ebben a rendzerben a efelelő ebeéekre a rel, rel, u rel, u rel jelöléeket haználjuk (A feladat eoldható laboratóriuhoz rözített rendzerben

9 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé i) Ekkor: rel = Az ütközé tökéleteen ruala, a rézeckék zebe repülnek eyáal, hanyaoljuk el az elektroztatiku kölcönhatát A lendületearadá törényéből: rel = u rel + urel, a echanikai eneria earadáának törényéből: = u + u Innen rel rel rel rel rel rel u = rel rel + é u = urel + = + Azt az eetet izáljuk, aikor urel =,5, ayi:, 5 = rel nanorézecke töee: = 4 = 475 =, 95,5 =, +, ahonnan a Miel 4r π ρ =, a rézecke uara = =,85 n r 4πρ ebecülhetjük: N N A = 7 M A nanorézeckét alkotó atook záát 9

10 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé V PONTRENDSZERRE VONATKOZÓ FELADATOK (folyt), MEREV TESTEK Pontrendzerre onatkozó tételek V/ V/ V/ A pontok ajáto helyzete iatt könnyen leolaható a két pont táoláa eyától (7 ) Tekinthetünk ey elhanyaolható töeű, d = 7 hozúáú rudat, elynek eyik éére k-o, áik éére 4 k-o, pontzerűnek tekinthető tetet erőítünk Ennek ott lez a töeközéppontja, ahol alátáazta eyenúlyban lez Kézítünk ey eyzerű ábrát, elyről az eyenúly feltétele: y = ( d y), innen y + = d = 4 Ebből kizáítható, hoy a k-o tettől a töeközéppont 4 d y táolára an Ey kicit átalakíthatjuk ezt az eredényt = alakba, ait y úy i efoalazhatunk, hoy a töeek fordítottan arányoak a töeközépponttól ért táoláukkal Ez az általánoítá akkor i haználható, ha a töepontok tetzőlee irányban helyezkednek el A töeközéppont helye: TK =, Tételezzük fel, hoy a ozá elé laú, toábbá a cónak é a íz között fellépő úrlódái erőt hanyaoljuk el Ha a cónakot é a yereket tekintjük ey rendzernek, akkor erre a rendzerre int külő erő a nehézéi erő é a íz felhajtóereje hat Ezek eredője, ezért a yerek é a cónak között fellépő belő erők hatáára a töeközéppont ízzinteen ne ozdulhat el (füőleeen e) Ez azt jelenti, hoy a cónak é a yerek közben elozdul Az üre cónak töeközéppontja leyen a cónak éétől x táolára, az orrától pedi y-ra, azaz x + y = Az eyütte, indéi álló TK töeközéppont a yerektől az elő eetben x, a áodik eetben y táolában an (a töeközéppont táoláa a töeel fordítottan arányo) Vayi a yerek parthoz képet ért elozduláa: x + y = A c uarú olyó töee eeyezik 8 db c uarú olyó 8 töeéel Előzör ondolatban a néy cúcba teyünk 4 eyfora olyót, ezek töeközéppontja a néyzet átlóinak etzépontjában lez Az átforált feladat a köetkezőképpen zeléltethető: 4 a középpontban an, ajd a aradék 7 a neyedik cúcban Az ezeket özekötő zakazt a 4 töeközéppont 4:7 arányban oztja fel: x = c =,57 c A ere tetre ható erők özeteée, foratónyoaték, ere tet eyenúlya V/4 Rajzoljuk le az erőt az x y íkban Az erő hatáonala etzi ind az x, ind az y tenelyt, ezért ezekre a tenelyekre a foratónyoaték nulla Haonlóan látzik, hoy ezekre a tenelyekre az erő koponeneinek foratónyoatékai i zéru A z tenelyre M z = F k = N = N, iránya a +z tenely irányába utat, ert onnan izanéze a forá iránya ellentéte az órautató járááal (eeyezé zerint ezt az irányt zoká pozitínak tekinteni) V/ Jelöljük a bal é a jobb oldali érlekar hozát l b -el, ill l j -el, kieyenúlyozó töeet az elő eetben -yel, a áodikban -el Az eyenúly feltétele, hoy a két oldalon ható nehézéi erők foratónyoatéka azono nayáú leyen Az elő eetben lb = l j, a áodikban lb = l j Ezek felhaználááal kapjuk, hoy l = = l = = b,6 k, illete j

11 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé V/4 Kézítünk rajzot az elő eethez Az eyenúly feltétele, hoy a foratónyoatékok l eredője leyen nulla: F l =, innen F = = 5 N A áodik eetben az erő karja az ábra alapján k = l =,4 Az eyenúly feltétele: l =, innen ' F k ' l F = = = 76,8 N l V/6 Kézítünk ey ábrát, aelyen tünteük fel a jelöléeket A rúd é a létra eyüttee akkor lez eyenúlyban, ha az erők eredője é az erők foratónyoatékainak özee ey tetzőleeen álaztott tenelyre zéru Az erők füőlee é ízzinte koponeneire i felíra az eyenletet + l = F é F = Ft A tapadái erőről tudjuk, hoy Ft µ F Válazuk forátenelyül a rajz íkjára erőlee, a arokponton átenő tenelyt d Ekkor F d F h l =, ahol h = (, ) =,75, innen d F = ( + l ) = 6,8N Felhaznála az eddii eredényeket: h F + l d µ = =,4 F + h l V/9 A ciaor álló é ozó ciákból özeállított ép Az eye ciákat úy építik be, hoy az ey tenelyen elhelyezkedő ciák necak a tenelyhez, hane eyához képet i el tudnak fordulni A yakorlatban a ciaort yakran úy kézítik el, hoy az álló ciákat é a ozó ciákat i ey-ey közö tenelyre zerelik, a tenelyt pedi zárt keret tartja Az n ciából álló ciaor utoló állóciájáról lefutó kötélre kifejtendő erő a teher által kifejtett erő n-ed rézéel eyenlőre an züké Miel jelen eetben n =, az ipari alpinitának 75 k 9,8 / F = = = 67,875 N n nayáú erőt kell kifejtenie a aját tetúlyának feleelééhez V/ Az arkhiédézi ciaor ey álló ciából é több ozó ciából áll A ozó ciák eyik kötéláát rözítik, a áik kötélá az előző ozócia tenelyét terheli Az elő ozó cia ozó kötéláa az álló cián an átete Ezzel az elrendezéel nayon nay áttételt lehet ealóítani, ennek ellenére a yakorlatban ritkán haználják F Ha ey arkhiédézi ciaor n db ciából áll, az ábra jelöléeit haznála feladatban F = N é F = 75 N A fenti özefüé alapján F n = lo = lo = 4 F 75 F F = n Jelen F o

12 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé Mere tet foró ozáa V/ A tehetetlenéi nyoaték addití ennyié, értéke az eye rézek tehetetlenéi nyoatékából teődik öze Az eye rudaknak, a ötéttel ejelölt töeközéppontján átenő tenelyre onatkozó tehetetlenéi nyoatéka: Θ = l, a kijelölt tenelyre: l Θ A = Θ + é 5 7 Θ B = Θ + l, az eéz rendzerre: Θ t = Θ + l = l =,77 k A lekiebb a 4 tehetetlenéi nyoaték, a rendzer töeközéppontján átenő tenelyre, a rendzer töeközéppontja a két rúd töeközéppontját felező táolában an: l l θ in = l + + l + = l =, 87 k V/4 A koron yoruló foró ozát éez a K R = Θ β eyenlet zerint, a haáb pedi eyene onalú eyenleteen yoruló ozát éez az a = K eyenlet zerint A kötélről feltételezzük, hoy nyújthatatlan, ebből köetkezik az a = β R kényzerfeltétel A háro eyenletből: a =, β = é K = + + R + Az a) eetben β = é K =, a b) eetben pedi β = é K = R R 4 V/5 A tet üllyedééből tudjuk, hoy a rá ható erők eredője nulla, toábbá a kényzer iatt a koron e yorulhat A kötélben ébredő erő eyenlő a tetre ható nehézéi erőel: K = A kötél a koronhoz húzott érintő irányában V/7 K erőel M kötél nyoatékkal: Etet = K r foratónyoatékot fejt ki a koronra, ennek a foratónyoatéknak eyenlőnek kell lenni a fékező M kötél = K r =, N Innen K =,5 N, =,5 k, = = 6,4 J, W = Wf = = t =,5 J Ek = Θω = k r =,875 J, k = r 4 Tételezzük fel, hoy a fékpofák a kerék pereén annak elhelyeze Ekkor özeen M f = F r = = µ F r =,75 N fékező foratónyoatékot fejtenek ki A zeély által ézett unka ny W = W = M 48 π =,7 kj, teljeíténye P 7 W, ey 6 k töeű eber ennyi unka árán, f f kb 7 éter aara jutna ey toronyban V/8 A rúd a helyzeti eneriája roáára ozái eneriára tez zert, a echanikai eneriaearadá ele zerint E + E = E + E, ayi E E h kin pot kin pot kin = pot = öze TK = Θω, innen ω = h öze Θ TK, = ω l Az a) eetben htk = l, öze =, Θ = l, ezekkel ω = =,, = 6, 6 l 4 Ha a rúd töee ne hanyaolható el a b) eet zerint htk = l, öze =, Θ = l + l = l, innen 4 ω = =,, = 6,64 l

13 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé VI A DEFORMÁLHATÓ TESEK FIZIKÁJA Szilárd tetek rualaáa VI/ Ha ey füőlee helyzetű huzalra ey úlyt füeztünk, akkor a huzal úy fo ielkedni, int ey ruó Fejezzük ki a ruóállandót a huzal éreteiel é az anyaának Youn oduluáal! A enyúlára onatkozó özefüéből Eq fejezzük ki az erőt: F = l, é haonlítuk öze a ruóra onatkozó erőtörénnyel, aely zokáo alakja: l Eq F = D l Ebből látzik, hoy D = l VI/ l =,5 VI/ A néy füeztő drótban ébredő többleterő özeen eyenlő a nehézéi erőel, ezért ey-ey drót enyúláa: F h l = l = l = l =, E q E 4q E d π VI/4 p =,49 9 Pa VI/5 d =,6 Folyadékok é ázok ztatikája VI/6 A unkahener eyenúlyának az a feltétele, hoy a túlnyoából zárazó erő eyenlő leyen a eeelendő táry úlyáal: paxqunka pax qunka, =,7 t VI/7 A tet nyualoban an, ezért a rá ható erők eredője nulla A ruóban ébredő erő, a felhajtóerő felfelé utat, í a nehézéi erő lefelé utató erő: Fruó + Ffelh =, ahol ρ Fruó + Ffelh = ρ íz Innen ρ = = 96 k ρ F VI/8 Feltételezzük, hoy eberünk indéi jól eyenúlyoz, ezért a jé telje eézében be tud erülni a ízbe úy, hoy eberünk álló helyzetben arad é é a cipője e erül a ízbe Ennek feltétele: +haρ haρ, innen A = 6,67 VI/9 A nyoáok: p külő jé 4 5 pbelő =,8 kpa, =, kpa Az erő a két felületre ható erő eredője: F = A( p p ) = 4,4 kn, ahol VI/ p* + h ρ = p* + h ρ = p, ahol Felületi fezülté é kapillaritá íz eredő belő külő A =,4 5 p =, Pa é p* a cő belejében aradt leeő nyoáa Innen ρ h = ρ h VI/ Ki kell záítani az új cepp uarát: V = V, r = r Ebből a felületi eneria cökkenée: 7 E = α A = α(4r π 4 r π ) =,49 J ruó

14 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé VI/ A kapilláriban a folyadékozlop eelkedée: α h =, innen a uár: ρ r α 4 r = =,48 =,48 ρh A Boyle Mariotte-törény Baroetriku aaáforula VI/ Jelöljük a kereett nyoá értékét p-el, a ázozlopok hozát h i -el, é indkét ázrézre írjuk fel a Boyle-Mariotte törényt: p h A = p h A, é p h A = p h A VI/4 p 4 p 4 Innen: = é = p 5 p Füőlee helyzetben a nyoáokra iaz az, hoy 4 p = p + ρ h ebből adódóan p = 4,97 Pa H H, k 5 Teyük fel, hoy a leeő norálállapotú a felzínen: ρ =,9, p =, Pa A baroetriku aaáforula eítééel: ρ = ρ ρ e h p, ahonnan h = 5,55 k Folyadékok é ázok áraláa: a kontinuitái eyenlet, a Bernoulli-féle eyenlet é alkalazáai VI/5 A kontinuitái eyenlet zerint a A = állandó, ezért A = A, ayi A =6 c VI/6 A zilipre ható nyoá a ízzinttől ért táoláal lineárian nő Ozuk fel a zilipet azono aaáú áokra, az ezekre ható erő áltozáát az ábrán láthatjuk Terézeteen ha a áok záát nöeljük, akkor ez a lépcő füény eyre jobban eközelíti a lineári füényt: Fin + Fax h + ρh ( hd ) h ρh( hd ) Feredő = = = = 759 N, h h ahol d a zilip zéleée Az erő táadápontja a catorna fenekétől záíta a ízaaá haradolópontjában, ízzinte irányban a fele táolában an (Itt záolá helyett próbáljunk analóiát kereni Tekintünk ey derékzöű hározö kereztetzetű, hooén anyaú haábot, é izáljuk e hol található annak a töeközéppontja, ott lez a nehézéi erő táadápontja) A kiáralá ebeéénél haználjuk fel a Bernoulli-eyenletet, álazuk az áralái cöet úy, hoy a felő ée a íz zínén, az aló ée a zilip alatti nyílá leyen: * * h h p + ρh = p + ρ + ρ, innen = h =, 77 Vayi a kiáralá ebeée eyenlő azzal a ebeéel, aellyel h aaából zabadeéel érkezne a folyadék * A zilip alatt t idő alatt kiáraló folyadék töee: = V ρ = ( dh t) ρ Az ennek efelelő ipulzuáltozá: * I * I = = ( dh t) ρ Ez cak akkor lehetée, ha a többi, a zilipet nyoó íz F = = dh ρ = 7 N erőel t hat a kiáraló ízre, azaz ennyiel cökkenni fo a zilipre ható erő, é ekkor a zilipre 48 N erő fo hatni 4

15 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé Rétee áraláok A Poieuille é a Stoke-féle törény VI/7 A olyó lefelé fo ozoni, é aikor eléri az állandóult ebeéét, akkor = F, + F, A buborék pedi felfelé fo ozoni, ozáára felírhatjuk, hoy + F, = F Átalakítáok után: ell ( ρ ρ f ) ( ρ f ρ ), b felh r r = =, innen a ebeéek nayáának hányadoa: 9η 9η b ρ ρ f ρ f ρ r = = 5,5 r VI/8 Az előző feladat eoldáában láttuk, hoy a öb alakúnak feltételezett rézecke állandóult ebeée ρ zén ρleeő ρzén r r c zén = = 5, A aaáot íy kb 4 alatt tezi e 9η 9η VI/9 4 A cöön eyényi idő alatt kifolyó folyadék ennyiée (Haen Poieuille törénye zerint) I ~ p r l A nyoákülönbéről feltehetjük, hoy állandó (záotteően ne cökken a bödönben a éz aaáa), íy a töltéhez zükée idők arányát a cő eoetriai adatai határozzák e: ell ( r ) r r felh t r l l 8 = = = = t l 4l 4 VII HARMONIKUS REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK VII/ VII/6 A ateatikai ina perióduideje a köetkezőképpen záítható ki: l T = π Ebből az látzik, hoyha az A ina hoza 4-zeree a B ina hozának, akkor töeüktől füetlenül a lenéidők között indi fennáll a A B özefüé T = T Az eredő ozá az x tenely irányában haroniku rezé lez, ert két azono irányú, azono frekenciájú rezét adunk öze: x = x + x =, 4 in π t +, in π t + π =, 4in π t +, in π t = =, 6 in π t Az eredő rezé aplitúdója,6, perióduideje, körfrekenciája π A foróektoro ábra rendkíül eyzerű lez ennél a feladatnál, hizen a két eredeti rezéhez tartozó ektor a zokáo ízzinte tenely irányába eik, íy özeük i arra utat 5

16 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé VII/9 A feladatban ey íkörbe paraétere alakban adott, ateatikai feladatunk az, hoy a t paraétert kiküzöböljük Célzerű előzör átalakítani az y koordinátát leíró füényt: y = a co ω t = a co ωt in ω t = a co ωt, ot pedi az x özefüééből helyetteítük be a coωt-t, innen x y = a Ey parabola eyenletét kaptuk, é az eredeti a özefüéekből x [ a a] y [ a a] ;, ; VII/ Száoljuk ki a kötélen terjedő hullá hulláhozát: λ = T =, 8 / =, 6 A zozédo hulláheyek táoláa a hulláhozal eyenlő, ey hulláhey a leközelebbi hulláölytől (a tranzerzáli hullá iniuhelyétől) λ/ táolára an Hulláheyek leznek:,,,9,,5 Hulláölyek helyei:, +,8 =,,,7, 4, VII/ Az l hozúáú húron kialakuló ajátrezénél a húr éein coópont alakul ki, a zozédo coópontok táoláa eyenlő a λ hullához feléel, ezért: l = n λ, ahol n eéz zá A feladatban zereplő két frekenciaértékre: λn c λn+ c l = n = n, l = ( n + ) = ( n + ) fn fn+ A két eyenlet eloztááal: fn fn+ n 5 =, behelyetteíté é eyzerűíté után: =, azaz n = 5 n n + n + 6 lf A hullá terjedéi ebeée: n f5 c = = 54, 4, az alapfrekencia f = = Hz 7, a 85 Hz-e hullá n 5 λ 5 l félhulláhoza: = = c 5 VIII OPTIKA Fény izaerődée é törée íkfelületen VIII/6 Tételezzük fel, hoy az akáriu falának ataáa elhanyaolható a többi éret ellett, é kézítünk rajzot, aelyen a delfin zeéből kiinduló fényuár a efiyelő két zeébe érkezik: 6

17 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé A táryakat a zeünkbe jutó fény ehozabbítáában látjuk Ezen az ábrán az akáriu falánál törik e a fény, ezért a zeünkbe jutó fény kékkel rajzolt ehozabbítáában látjuk a delfin zeét A záolánál felhaználjuk, hoy az eber zeeinek táoláa a feladatban zereplő éretekhez képet kici, ezért a zöek i kicik, in α t α x in α x x t α t in, t, t é d D α α = níz β = α = = =,, in β D d tβ x d tβ in β D D D ebből níz, innen d = = =, 75 d n 4 íz 4 A delfin zeét tehát az akáriu fala öött 75 c táolában látjuk VII/9 A fény akkor ne jut át a záolá eyzerűítée éett eyenenek ondolt fényezetőn, ha háro töré után kilép a köpenyből A jelöléeket haználjuk az ábra zerint: Írjuk fel a töré törényét eyá után a háro törére: in α n in γ n in δ n =, =, = in β n in δ n in ε n Akkor ne lép ki fény a köpenyen kereztül, ha δ eléri a telje izaerődé határzöét, ay annál nayobb A n határzönél ε = 9, in δ h =, a áodik törét leíró eyenletből a δ h -hoz tartozó γ in -t záíthatjuk ki, a feladat n feltétele zerint a γ zö ennél ne lehet kiebb Miel a β é γ ey derékzöű hározö két heye zöe, β = 9 γ, íy β ax = 9 γ in Ezeket felhaznála a köetkezőt kapjuk: in αax n n n n n =, in α ax = in β ax = in ( 9 γ in ) = co γ in = in γ in = in β n n n n n ax n n n n n n n n = in δ h = = = = n, n n n n n n n n in α = n ax Ha, n = 4, akkor bárely beeéi zö eetén áthalad a fényezetőn a fény 7

18 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé VIII/ Ha a prizában a fényuár útja erőlee a priza törőzöének zöfelezőjére, a fényuár zietrikuan halad a prizában Jelölje α é β a beeéi é töréi zöeket, φ a priza törőzöét, alaint δ a nyaláb eltérítéi zöét (ely jelen eetben a lekiebb eltérítéi zö, ezért ezentúl δ in -nel jelöljük) Geoetriai efontoláokból β = ϕ é δ in = ( α β ), ez utóbbiból in + = δ ϕ α Írjuk fel a Snelliu Decarte-törényt a priza lapján ébeenő törére (a eadott n töréutató a priza anyaának a prizát körüleő közere onatkoztatott relatí töréutatója): δ in + ϕ in inα n = = ϕ, aelyből a lekiebb eltéríté zöe δ in = arcin n in in β ϕ ϕ A lekiebb eltéríté zöe in a két különböző törőzöű prizára onatkozóan: 45 δ 45 = arcin, 59 in 45 = 6, 8 é δ 6 6 = arcin, 59 in 6 = 8,84 VIII/ Az előző feladatból tudjuk, hoy a zöld fényuárra az eltéríté zöe δ = δ6 = 8,84 lez, é a hározínű fénynyaláb δ + 6 ϕ 8,84 6 α = = + = 49,4 -o zö alatt érkezik a priza elő törőfelületére A prizában haladó fényuár útja a kék uárra ne a zietriku uárenetet köeti, az eltéríté zöének kizáítáához az alábbi jelöléeket δ = α β + ε γ é ϕ = β + γ, ezetjük be Az ábra alapján felírható, hoy aelyekből δ = α + ε ϕ Írjuk fel a Snelliu Decarte-törényt az elő inα törőfelületen beköetkező törére: n = in β, aelyből inα in 49, 4 β = arcin = arcin = 9, 76 n,5 A ϕ = β + γ özefüéből γ = ϕ β = 6 9, 76 =, 4 adódik Mot a áodik törőfelületre írjuk fel a in ε Snelliu Decarte-törényt: n = in γ, ebből ε = arcin ( n ) in γ = arcin,5 in,4 = 5,4 Ezt az ábra alatt található özefüébe izahelyetteíte: δ = α + ε ϕ = 49, 4 + 5,4 6 = 9,8 A örö zínű fényuárra a fenti ondolatenetet köete β =,, γ = 9,89 é ε = 48, 98, ezekből δ = 8, 4 A háro eltérítéi zöből a kilépő fényuaraknak a középő, zöld zínű nyalábbal bezárt zöük φ = δ δ = kék zöld 9, 8 8,84 =, 98 é φ = δ δ = örö zöld 8, 4 8,84 =,44 8

19 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé IX OPTIKA Göbtükrök é öbi ékony lencék IX/ f = c, t = 6 c A tüköreyenletet haználjuk fel: t f = +, =, k = = c f t k k f t t f k c N = = = t 6 c IX/ A borotálkozótükör haználatánál eyene álláú képet nézünk, ez azt jelenti, hoy a kép látzólao Nayított képet cak hoorú tükörrel tudunk előállítani Kézítünk erről ey ázlatot: d = 5 c, N = Az ábra zerint: d = k + t k A nayítából: N = =, k = t t Vayi: d = t, t = d /, k = d / IX/5 Helyetteítünk a tüköreyenletbe: 6 = +, = = =, f t k f d d d d d 5 f = = c r = 4 c, k = 6 c A fókuztáolá f = r / = c Haználjuk fel a tüköreyenletet a tárytáolá kizáítáára: ( c) k f 6 c = +, =, t = = = c = 5 c A nayítá: f t k t f k k f 6 c c 8 IX/7 k 6 c N = = = 4 t 5 c A doború tükör látzólao, eyene álláú képet hoz létre, a tükör öött Az r = c örbületi uár iatt f = 5 c é k = 4 c 9

20 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé Száítuk ki a tárytáoláot: ( 4 c) ( 5 c) c ( c) k f = +, =, t = = = c = c f t k t f k k f 4 5 IX/9 f = c, K = c, K =,5 c, t = k é t = k A nayítá iatt: K k, K k t = = = Innen K K k t = =, T = K K = c 5, T = 5 c T t T t k T T t k Toábbá k t K 5 c = = =, k = t T c f A tüköreyenletből: = + = + =, innen t = = c, k = 6 c f t k t t t IX/ A képzerkezténél kihaználtuk, hoy az optikai tenellyel párhuzao uár indháro táryhelyzethez felhaználható! IX/ t = 6, T = 5, K = Az adatokból kizáíthatjuk a képtáoláot: A lenceeyenletet felhaznála: ebecülhető, hoy az 6 k K K =, k = t = 6 = 8 = 8 t T T 5,, f f = t + k = + = 6 8, 8 Ez abból a tényből i elhanyaolható az 8 ellett

21 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé IX/5 f = /D = /4 = 5 c, N = (látzólao a kép) Szerkeztéel i eoldhatjuk a feladatot Rajzoljuk le a lencét, é ellé a táryat Az önkényeen kijelölt tárytáolá hározoroára (uyanarra az oldalra) rajzoljuk a hározoro éretű eyene álláú képet Felhaznála, hoy a képpontban a alóáo uarak ehozabbítáai etzik eyát, erajzolhatjuk a táry- é képpontok felhaználááal a piroal berajzolt neezete uarakat, elyek az optikai tenelyből kietzik a fókuzpontokat Száítáal pontoabb értékeket kapunk: k = t, = =, t = f = 6, 7 c, k = 5 c f t t t IX/7 Az elő lencéről úy haladnak toább a uarak, hoy ey ponton, a fókuzponton átennek Vayi a köetkező lencére érkező uarakat úy tekinthetjük, intha azok eyetlen pontból (az elő lence fókuzából indulnának) Ey pontból kiinduló uarakat ey yűjtőlence akkor tez párhuzaoá, ha a pontzerű forrá eybe eik a áodik lence fókuzpontjáal Akkor lez az elrendezé efelelő, ha a két lence eyá felőli fókuzpontja eybeeik IX/9 f = 5 c, r = 8 c, n =,5 = ( n ) +, =, f r r f ( n ) r r r f ( n ) f n 5 c, 5 8 c r = = = 9, 68 c r 8 c 5 c, 5

22 Fizika érnököknek záolái yakorlat (MEGOLDÁSOK) 9 / I félé IX/ f = 5 c, d = c, t = ( ) c = 8 c Az elő ábrán az a kép látható, aely úy keletkezik, hoy a fényuarak ne érintik a íktükröt: t f 8 c 5 c k = = =, 76 c Ez látzólao kép, ernyőn ne foható fel, nayáa k K = T =, 47 T t f 8 c 5 c t Az aló ábrán, a fényuarak előzör a íktükörre enek, ott izaerődnek (keletkezik ey látzólao kép a tükör öött K ), ajd a izaerődő uarak úy haladnak, intha a K alóáo forráuk lenne, ezután áthaladnak a lencén, é létrehozzák a K alódi, ernyőn felfoható képet k táolában: t f A K kép lencétől aló táoláa t = c+ c = 5 c, a képtáolá k = = 48, 5 c A haradik kép t f nayáa k K = T =, 9 T t