VI.B. Egyenletek Megoldások

Átírás

1 VI.B. Egyenletek Megoldások (OVPHJROGiVUyEiOMXNPHJDWXULVWDSpQ]pQHNIRJ\iViWD] XWROVy QDSWyO NH]GYH LGEHQ YLVV]DIHOp KDODGYD NLV]iPROQL $ harmadik napon a 100 dinár elköltésével nem maradt pénze, tehát a pénze felének az elköltése után 100 dinárja maradhatott csak. A 100 a 00-QDN D IHOH WHKiW HO] QDSUyO NpWV]i] GLQiUMD PDUDGW 8J\DQtJ\ JRQGRONRGYD NDSMXN KRJ\ D] HOV QDS YpJpUO D második napra 600 GLQiUMD PDUDGW pv YpJ O D] HOV QDSRW 1400 dinárral kezdte. Gondolatmenetünk során valójában az alábbi ábra által szemléltetett folyamat lépéseit vettük számba visszafelé: fele 100 fele 100 fele din A fenti gondolatmenettel a dobozokat visszafelé lépkedve kitöltöttük, és megkaptuk az eredményt: 1400 dinár. Második megoldás: Írjuk le egyenlettel a folyamatot! Jelölje x a WXULVWDSpQ]pWD]HOVQDSLN OWHNH]pVHOWW x = 0. Az egyenletet megoldva 1400-at kapunk, tehát ennyi dinárja volt a WXULVWiQDND]HOVQDSHOHMpQ (OV PHJROGiV $] HO] IHODGDWKR] KDVRQOyDQ LWW LV gondolkodhatunk visszafelé. Az alábbi ábra jól szemlélteti a gombócok fogyását: Azért kell kétharmaddal szorozni az egyes lépéseknél, mert PLQGHJ\LN XWDV D PHJOpY JRPEyFRNQDN D] HJ\KDrmadát fogyasztja el, vagyis a kétharmadát hagyja meg. A 8 a 1-nek a kétharmada, a 1 a 18-nak, a 18 pedig a 7-nek. Így a válasz: 7 JRPEyFRWI] WWDYHQGpJOV 8

2 Második megoldás: Állítsunk föl egyenletet. Jelölje x az összesen elkészített gombócok számát! Ekkor x = 8. Az egyenletet megoldva 7-et kapunk. (OVPHJROGiV$YLVV]DIHOpN YHWNH]WHWpVPHJLQWMiUKDWy~W &V W UW N QKDNHWWYHOW EEHWHODGDNNRU6 maradt volna), éppen a felét adja el. A 1-nek a fele 6, tehát 1 drágaköve volt szerda este. Ehhez hozzá kell adni a szerdán eladott 5 drágakövet, így 17-et kapunk. Ezt a gondolatmenetet folytatva megkapjuk, hogy KpWIQUHJJHO84 drágaköve volt. Második megoldás: Jelölje xdguijdn YHNV]iPiWKpWIQUHJJHO 1 1 Ekkor x = 8. Az egyenletet megoldva ezt kapjuk: x = 84WHKiWHQQ\LGUiJDN YHYROWKpWIQUHJJHO (OV PHJROGiV (EEHQ D IHODGDWEDQ LV OHKHWVpJ QN YDQ visszafelé lépkedve megkapni a megoldást. Melyik számból elvéve 1-et kapunk 14-et? A 15-EO0HO\LN számot szoroztuk meg hárommal, ha 15-öt kaptunk? Az 5-öt. A 10 NHWWYHO YDOy osztásával kapunk 5-öt, a 10-et pedig akkor kapjuk meg egy szám öttel való megnövelésével, ha az 5-öt növeljük meg. Így a gondolt szám az 5-ös. Megoldási menetünket ábrázolhatjuk a korábbi feladatokban alkalmazott dobozok -kal: +5 : 1 Második megoldás: Írjuk föl a szöveg alapján felállítható egyenletet: 1 = 14. Ebben az egyenletben x a gondolt számot x + 5 jelöli. Az egyenlet megoldása: x = 5. $] HO] IHODGDWRN PHJROGiViEDQ DONDOPD]RWW YLVV]DIHOp következtetés most nem alkalmazható, mert nem tudjuk, hogy leírt P&YHOHWHNHUHGPpQ\HNpQWPHO\LNV]iPRWNDSWXNFVDND]WWXGMXN hogy az a gondoltnak a kétszerese. De egyenlet felállításának

3 x + 4 most sincs akadálya: = x +. Az egyenlet megoldása x =, tehát ez volt a gondolt szám. 7x x =, tehát ez a gondolt szám... Az egyenlet ( ) = 5x alakú, ennek a megoldása $N YHWNH]WiEOi]DWMyOV]HPOpOWHWLDV] YHJEHQUHMO összefüggéseket: D]HOVV]iP x a második szám x a harmadik szám x + 16 Felírható az x + x + ( x + 16) = 08 egyenlet, amelynek a megoldása x = 64WHKiWD]HOVNpWV]iPD64, a harmadik pedig a 80. Második megoldás: Ha a harmadik számból elveszünk 16-ot, KiURP HJ\HQO V]iPRW NDSXQN $]D] = 19-t három HJ\HQO UpV]UH RV]WYD PHJNDSMXN D] HOV pv D PiVRGLNV]iPRW ehhez 16-ot hozzáadva pedig a harmadikat... Érdemes Kata pénzét x -szel jelölni: Jóska 5x Sára x Pista x Kata x Felírható az 5x + x + x + x = 198 egyenlet, amelynek a megoldása x = 118, így Jóskának = 590 dinárja van. A többi gyerek pénze is könnyen kiszámolható: Sárának 118 = 54 dinárja, Pistának 118 = 6 dinárja, Katának pedig 118 dinárja van... Foglaljuk táblázatba a hárrpj\huhniowdoj\&mw WWJ\yJ\Q Yp- Q\HNV]iPiW-HO OM ND6]DEROFViOWDOJ\&MW WWQ YpQ\HNV]iPiWxszel! Andris x + 1 Szabolcs x Zsolt x + Mivel összesen 44 J\yJ\Q YpQ\W J\&MW WWHN H]pUW D] ( x + 1) + x + (x + ) = 44 egyenlet megoldása, x = 10 adja a Sza- 110

4 EROFV iowdo J\&MW WWQ YpQ\HNV]iPiWHEEO SHGLJ NLV]iPROKDWy hogy Andris 11J\yJ\Q YpQ\WJ\&MW WW.4. Ismét táblázatot alkalmazunk: D]HOVV]iP x x a második szám a harmadik szám x x Az egyenlet x + + x = 540 alakú, amelynek megoldása x = 10, pvhj\ehqh]d]hovv]ip.5. A megadott összefüggések táblázatban: Ancsa x Bea x 4 vagy x Edit x /iwkdwmxnkrj\dv] YHJDODSMiQD%HiQiOOpYSpQ]PHQQ\LVpJHW x 4 kétféleképpen is felírhatjuk. Így a = x egyenletet kapjuk, amelyet megoldva az x = x, vagy a 0 = 0 azonosság adódik. Ez azt jelenti, hogy x helyébe bármely szám beírható. A feladatra visszavetítve ezt a megoldást, azt kapjuk, hogy x {,, 4,... }, mivel csak HJpV] V]iP~ DOPiNNDO V]iPROXQN$QFViQDNQHPOHKHWNHWWQpO NHYHVHEE DOPiMD PHUW %HiQDNNHWWYHO NHYHVHEE YDQ OHJDOiEE 0). A lehetséges megoldásokat táblázatba foglaltuk: az almák száma Ancsa 4 5 Bea 0 1 Edit Egyenlettel felírva az összefüggést: x + ( x + 1 ) + ( x + ) = 40, ennek megoldása x = 19 WHKiW D KiURP ROGDO PpUV]iPD 19, 140 és HJ\ NpV]UHKRJ\KDDKRVV]~ViJV]HULQWLN ]psvrogdowmho OM N x-v]hodnnruhj\hj\v]hu&eehj\hqohwdgygln x 1 + x + x + 1 = x = 40. ( ) ( )

5 (] HOYH]HW DKKR] D] HJ\V]HU& JRQGRODWKR] KRJ\ D OHJU YLGHEE oldalt 1-gyel növelve, a leghosszabbat pedig 1-gyel csökkentve három egyforma hosszú oldalt kapunk, vagyis a hosszúság V]HULQWLN ]psvrogdokrvv]dd40 cmkdupdgiydohj\hqo 4.. Megoldandó az x + ( x + ) + ( x + 4) = 1 egyenlet, amelynek megoldása x = 4, a három szám tehát a 4, a 44 és a 46. Megfigyelhetjük, hogy a 44 háromszorosa éppen 1, vagyis az HO]IHODGDWEDQOHtUWHJ\V]HU&RNRVNRGiVLWWLVFpOUDYH]HW 4.. Ha a legkisebb számot jelöljük x-szel, akkor az x + ( x + ) + ( x + 4) ( x + 1) ( x + ) = 0 egyenletet kapjuk, amelynek a megoldása x = 18. A három páros szám tehát a 18, a 0 és a A két számot a másodfokú egyenlet megoldóképlete használatának elkerüopvhypjhwwfpov]hu&dn ]W NOpYx páratlan szám segítségével fölírni: ( x 1 )( x + 1) = 58. A zárójeleket fölbont- va az x 1 = 58 egyenlethez jutunk, amelynek megoldásai az x = ±. Mivel csak pozitív páros számok jöhetnek szóba, ezért a feladat megoldása és év alatt mindegyikük 0 pyyho OHWW LGVHEE tj\ pohwnruxn összege háromszor 0 pyyho D]D] pyyho QWW eohwnrudln összege most = 10 év. 5.. Táblázatban ábrázoljuk az apa és fia életkorát: xpyyhoh]howw most apa 61 x 61 fiú 9 x 9 Mivel xpyyhoh]howwd]dsdnlohqfv]huyrowlgvheediliqioh]puw 9 ( 9 x) = 61 x. Az egyenlet megoldása x = 5, azaz ennyi évvel H]HOWWYROWD]DSDNLOHQFV]HULGVHEE 5.. A táblázat alapján könnyen fölírható az egyenlet. 4pYYHOH]HOWW most Karcsi x 4 x Feri x 4 x ( x 4) = x 4. Innen x = 8, tehát Karcsi most 16 éves, Feri pedig 8. 11

6 5.4. Egy jól kitöltött táblázat segítségével könnyen fölírhatjuk az egyenletet: 6pYYHOH]HOWW most év múlva Péter x 6 x x + András (x + ) (x + ) + 6 0pJQHPKDV]QiOWXNNLD]WDIHOWpWHOWKRJ\KDWpYYHOH]HOWWpWHU KDUPDGDQQ\L LGV YROW PLQW $QGUiV PRVW ( x 6) = ( x + ) + 6. Innen megkapjuk, hogy Péter most 0 éves. 6. Ebben a feladatcsoportban tisztában kell lennünk a számok helyi értékének jelentésével. Vagyis a 07 számban a a százasok, a 0 a tízesek, a 7 pedig az egyesek számát jelenti, vagyis 07 = Általánosabban megfogalmazva minden ABC KiURPMHJ\&V]iPUDpUYpQ\HV ABC = A B 10 + C, amely kifejezésben az A, B és C EHW&N HJ\-egy számjegyet jelölnek, azaz 0-nál nem kisebb, de 10-nél kisebb egész számok. 7HUPpV]HWHVHQ H] D] ÄiWtUiV QHP FVDN KiURPMHJ\& V]iPokra érvényes. $]HJ\HQOVpJiWtUKDWyDN YHWNH]HJ\HQOHWWp 10 A + B ( 10B + A) = A. Innen a 8A = 9B egyenletet kapjuk. Mivel A is és B is egy-egy számjegyet helyettesít, így A = 9 és B = Legyen a keresett szám: ABC. $ N YHWNH] HJ\HQOHW megoldásait keressük: A + B + C = 10A + B. Az egyenlet megoldása: C = 9A, BWHWV]OHJHV0LYHOC és A egy-hj\ HJ\MHJ\&V]iP így A = 1, C = 9 $ N YHWNH] V]iPRN IHOHOQHN PHJ D IHODGDW feltételeinek: 109, 119, 19,, 199, tehát 10 ilyen szám van. 6.. Legyen a keresett szám: AB. Egyrészt tudjuk, hogy A + B = = 1, másrészt AB +18 = BA, azaz 10A + B + 18 = 10B + A. Az egyenletrendszert megoldva azt kapjuk, hogy A = 5, B = Legyen a keresett szám: AB. Tudjuk, hogy BA = AB 1, azaz 10B + A = ( 10A + B) 1. Ez ekvivalens a 8B = 19A 1 11

7 HJ\HQOHWWHO$] HOV HVHWEHQ OHJ\HQ A > B. Ekkor a feltevés miatt 6 A = B. Ezt az egyenletbe helyettesítve B = -öt kapunk. Ez 15 nyilvánvalóan lehetetlen, hiszen B egész szám kell, hogy legyen. A második esetben tegyük föl, hogy A < B. Ekkor a feltevés miatt B = A. Ezt behelyettesítve az egyenletbe és megoldva kapjuk, hogy A = 4. A feltételeket tehát egyetlen szám elégíti ki, ez pedig a Ha a keresett számot AB -YHO MHO OM N DNNRU D] HOV IHOWpWHO alapján a B + = A egyenlet írható föl. A második feltételt a N YHWNH]HJ\HQOHWV]HPOpOWHWL AB + BA = 14, azaz 10A + B + 10B + A = 14$]HOVIHOWpWHOOHOHJ\EHYHWYHPHJROGiVNpQWA = 8 és B = 5-öt kapunk. $] HOV KiURP IHODGDW PHJROGiViYDO D] iwodjsrqwv]ipd A negyedik feladatsor (amelynek pontszámát jelöljük x x-szel) megírása után az átlaga, amely 1-gyel 4 QDJ\REED]HO]QpO(]WtJ\tUKDWMXNI OHJ\HQOHWEHQ x + 1 =. 4 Ezt megoldva x = 95-öt kapunk, vagyis negyedik feladatsorának a megoldása 95 pontot ért. +D D YHUVHQ\]N összpontszámát A-val jelöljük, a kiállt YHUVHQ\] SRQWV]iPiW SHGLJ x-szel, akkor a feladat szövege A DODSMiQ D N YHWNH] HJ\HQOHWHNHW iootwkdwmxn I O 0 18 = és A x 17 = 19 $]HOVDODSMiQA = 60, és ezt a másodikba helyettesítve x-re 7-et kapunk. Ennyi pontot kapott a visszalépett YHUVHQ\] (] D IHODGDW KDVRQOy D] HO]K ] $ NRUiEEL MHO OpVHNHW A PHJWDUWYD D N YHWNH] HJ\HQOHWHNKH] MXWXQN 11 = A x és =

8 = 1. Innen x-re -t kapunk. Ennyi éves volt a pályát elhagyó játékos Jelöljük A-YDO D] XWROVy WHV]W PHJtUiVD HOWW HOpUW összpontszámot, n-nel pedig az összes teszt számát a félév A + 97 A + 7 során. Ekkor az = 90 és az = 87 egyenletek írhatók n n föl. Megoldva az egyenletrendszert, n-re 8-at kapunk, tehát 8 tesztet írtak a félév során. 115