Nagy Ilona

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Nagy Ilona 2013.06.01."

Átírás

1 Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona

2 Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel A logaritmus fogalma; arány- és százalékszámítás Elemi függvények tulajdonságai, ábrázolásuk Algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek Gyökös, exponenciális, logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek Trigonometrikus azonosságok és egyenletek Sorozatok; egyenletrendszerek Koordinátageometria Síkidomok kerülete, területe; testek Megoldások 6.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel A logaritmus fogalma; arány- és százalékszámítás Elemi függvények tulajdonságai, ábrázolásuk Algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek Gyökös, exponenciális, logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek Trigonometrikus azonosságok és egyenletek Sorozatok; egyenletrendszerek Koordinátageometria Síkidomok kerülete, területe; testek Nehezebb feladatok 77.. Feladatok Megoldások

3 Bevezető A BME Matematika Intézet oktatóinak sokéves tapasztalata szerint a felsőfokú tanulmányok elkezdésekor azok a hallgatók küzdenek nagyobb nehézségekkel a matematikát igénylő tárgyakban, akik a középiskolai matematika lényegi részeiben nem eléggé járatosak. Ebben segít a Bevezető matematika tárgy. A tárgyi tartalom azon részeket emeli ki a középiskolai anyagból, amelyeket feltétlenül és nagy biztonsággal tudni és használni kell. Erre épülnek a további tanulmányok matematikából. Fontosnak tartjuk a fejben való számolást, azaz a kalkulátor használata nélkül is tudni kell egész számokkal, törtekkel műveleteket végezni. Alapvető azonosságokat, állításokat segédeszköz használata nélkül kívülről tudni kell, például másodfokú egyenlet megoldóképlete, elemi algebrai és trigonometriai azonosságok, gyökvonás, hatványozás, logaritmus azonosságai, Pitagorasz tétele, szinusztétel, koszinusztétel. Elemi függvények képét ismerni kell, a sorozatokra vonatkozó alapvető definíciókat tudni kell, egyenes és kör egyenletét stb. A példatárbeli feladatokat mindenféle segédeszköz nélkül célszerű megoldani. Az itt szereplő definíciók, összefüggések olyan alapvetőek a felsőfokú matematikában, mint az ábécé betűinek ismerete. Egy írott szöveg tartalmát nem fogja megérteni az, aki a betűket csak segédeszköz használatával ismeri fel. A matematika sikeres alkalmazásához a mérnöki és természettudományi tárgyakban a megértés nem elég, sok gyakorlásra és tárgyi tudásra is szükség van. Ajánlott irodalomként a középiskolai tankönyvek mellett ajánljuk a Thomas-féle Kalkulus. egyetemi tankönyvet.

4 . fejezet Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel Határozza meg az alábbi kifejezések értékét segédeszközök használata nélkül!.. Feladat [( ) ( )] + ( )( ).. Feladat.. Feladat 4{[( ) 5 + 4] + } [( ) ] (7 + ) : ( )( ).4. Feladat 6 ( ) 5 ( ) 4 [ ( ) ].5. Feladat Feladat.7. Feladat ( ) ( ) 6 ( ) : ( ) : ( ) 6 Írja fel prímhatványok szorzataként az alábbi kifejezéseket!.8. Feladat Feladat

5 Számolja ki az alábbi kifejezések értékét segédeszköz használata nélkül!.0. Feladat Feladat,6 0, Feladat.. Feladat.4. Feladat , , ( ) 0 Rendezze növekvő sorrendbe az alábbi számokat!.5. Feladat A 0 ; B ln 5; C lg 00; D Feladat A ; B 4 ; C 5 ; D 5 00 ; E 8; F 7.7. Feladat A sin 60 ; B tg 45 ; C cos 45 ; D ctg( 45 ); E cos 5.8. Feladat A ( ) ; B sin 7π ; C log.9. Feladat A ; B 9 6 ; C 9 4 5; D Hozza a lehető legegyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket!.0. Feladat (a 5 5 ) ( a a5 5 ) 5 a a a : (a > 0) a ) n.. Feladat ( )n+ ( ( ) n n Feladat 9 n + + ( ) n+ 6 n + ( 6 ) n ( ) n ( ) n 4

6 .. Feladat.4. Feladat 6 n n+ 5 n + ( 5 ) n+ a b (a + b) (a b ) 6 (a b) 0 (a ±b).5. Feladat x 5 x x 8x + 6 5x x x 6 (5 + x)(4 + x) (x 0, ±4, ±5).6. Feladat x x + x x (x ±).7. Feladat x 4 x + 4 x + 4 x Feladat.9. Feladat.0. Feladat.. Feladat ( x x ( c c + x x x x x c c 6 + 6x x 6 ) (x ±4) x + x x + 4 x 8c ) c 4 4 x x 6 (x > 0) x x x (x > 0) c c 4c (x 0, ±) (x 0, ±, 4).. Feladat x x x (x > 0).. Feladat 4 x x x x x (x > 0) 5

7 .. A logaritmus fogalma; arány- és százalékszámítás Rendezze növekvő sorrendbe az alábbi kifejezéseket segédeszköz használata nélkül!.. Feladat A lg 000; B log 0,5; C log ; D ln e 4.. Feladat A ( ) log 5 ; B 0,5 log ; C log 9.. Feladat A log 0 ; B ( ) log 5 ; C 8 log 6.4. Feladat A (lg, + lg,5 lg 0,9) ; B ( ln 5 ) ; C ( log 8 ) log 6.5. Feladat Fejezze ki A-t az következő kifejezésből: q lg A lg C. lg 5.6. Feladat Fejezze ki q-t az következő kifejezésből: p 5 q 0. Számolja ki az alábbi kifejezések értékét segédeszköz használata nélkül!.7. Feladat ( ) lg log Feladat 49 log 7 5 log sin 4π ( ).9. Feladat (sin 60 ) log Feladat ( cos 0 ) , ,5 log Feladat 0, lg Feladat +log 9 4 log lg.. Feladat Egy kocka éleit cm-rel növeljük, így a térfogat értéke az eredeti felszín értékének 7 6 -ával nő. Mekkora volt a kocka éle? 6

8 .4. Feladat A ló hónap alatt eszik meg egy kocsi szénát, a kecske hónap alatt, a juh hónap alatt. Hány hónap alatt eszik meg egy kocsi szénát a ló, a kecske és a juh együtt?.5. Feladat Ft-ot beteszünk a bankba 0%-os évi kamat mellett. Mennyi pénzünk lesz 5 év múlva?.6. Feladat Egy csoport 40 hallgatójának 0%-a kék szemű és 40%-a szőke. Tudjuk, hogy a kék szemű hallgatók -e szőke. Hány olyan hallgató van, aki se nem szőke, se 4 nem kék szemű?.7. Feladat Két betét, amelyek közül az első kétszer akkora, mint a második, évente 65 eurót kamatozik. A kamatláb a nagyobb, illetve a kisebb betétre 4%, illetve, 5%. Mekkora volt a két betét értéke?.8. Feladat Egy 50 cm sugarú kör sugarát 0 cm-rel csökkentjük. Hány százalékkal csökken a területe?.9. Feladat Legyen f(x) x +, x > 0. Hány százalékkal változik az f függvény x + értéke, ha az x értékét. %-kal növeljük;. %-kal csökkentjük?.0. Feladat Legyen f(x) x + x +, x > 0. Hány százalékkal kell növelni, illetve csökkenteni az x értékét, ha azt szeretnénk, hogy az f függvény értéke. %-kal nőjön;.,5%-kal csökkenjen?.. Feladat Egy gép értéke évente 0%-kal csökken. Két év használat után a gépet akkori értékének -éért eladták. Az eredeti értékének hány százalékáért jutott az új tulajdonos a 4 géphez?.. Feladat Fényszűrő lemezeket raknak egymás mögé. Az első elnyeli a ráeső fényenergia 0%-át, a második a ráeső fényenergia 50%-át, a harmadik pedig a ráeső energia 0%-át. A három lemez együttesen az eredeti fénysugár energiájának hány százalékát nyeli el? 7

9 .. Feladat Egy üzem kétféle minőségű terméket gyárt. Az I. osztályú termék gyártásából származik a bevétel 80%-a. Hogyan változik az üzem bevétele, ha az I. osztályú termék termelését 0%-kal növelik, a II. osztályú termék termelését 0%-kal csökkentik?.4. Feladat Egy kabát árát 0%-kal csökkentették. Hány százalékkal kell emelni ennek a kabátnak az új árát, hogy újra az eredeti árat kapjuk?.5. Feladat Egy fenyőerdő faállománya jelenleg 8000 fa. Minden évben kivágják az állomány 0%-át, de ültetnek 800 új fát is. Feltéve, hogy az állomány egyéb okból nem változik, hány fából állt a faállomány két évvel ezelőtt?.6. Feladat Lola, az elefánt, ha nagyon szomjas, akkor testtömegének 84%-a víz. Itatás után 600 kg-ot nyom, és ekkor testtömegének 85%-a víz. Hány kg-os Lola, amikor nagyon szomjas?.. Elemi függvények tulajdonságai, ábrázolásuk.. Feladat Rajzolja fel az f(x) x függvény képét! Milyen x esetén lesz x + 5 f(x) > 0? Hol metszi az f függvény az y tengelyt? Adja meg f() + f( ) értékét!.. Feladat Rajzolja fel az f(x) x és g(x) x függvények képeit! Adja meg f(a + ) f(a ) és g(a + ) g(a ) értékeit! Határozza meg az f(g(x)) és a g(f(x)) függvényeket!.. Feladat Rajzolja fel az f(x) sin x, g(x) sin x és h(x) x π függvények képeit! Ezek közül melyik függvény lesz szigorúan monoton növő a ] 0; π [ nyílt intervallumon? Adja meg az alábbi függvények zérushelyeit és értelmezési tartományát!.4. Feladat f(x) x(x ) (x ) x (x ) 4.5. Feladat f(x) 4(x ) x x x (x ) x 6.6. Feladat f(x) x(x 4) + (x 4) x x (x 4) 4.7. Feladat f(x) x (x ) (x + ) (x 9x)(x ) (x ) 4 (x + ) 8

10 .8. Feladat Legyen f(x) ln x és g(x) x +. Mivel egyenlő f(g(x)), f(g(0)), g(f(x)) és g(f())?.9. Feladat Legyen f(x) e x és g(x) sin x. Mivel egyenlő f(g(x)), f(g(0)), g(f(x)) és g(f(0))? Ábrázolja az alábbi függvényeket, adja meg az inverzüket, és ezt is ábrázolja!.0. Feladat f(x) 4 x +, x >.. Feladat g(x) x +.. Feladat h(x) ln x +, x > 0.. Feladat l(x) x +, x.4. Feladat Ábrázolja az alábbi függvényt! Mivel egyenlő f() és f( )? { 5 x, ha x f(x) e x, ha x <.5. Feladat Ábrázolja az alábbi függvényt! Adja meg a g függvény minimális és maximális értékét a [, ] intervallumon!, ha x > g(x) x x, ha x.6. Feladat Ábrázolja az alábbi függvényt! Adja meg a h függvény lokális minimumés maximumhelyeit a [, 5] intervallumon! { x x, ha x h(x) (x )(4 x), ha x > Határozza meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és zérushelyeit!.7. Feladat f(x) x.8. Feladat f(x) 5 x + (.9. Feladat f(x) ln x ) x.0. Feladat f(x) lg (5 x ).. Feladat f(x) lg ( + x x ).. Feladat f(x) + log x.. Feladat Legyen f(x) ax 7 + bx + cx 5, (a, b, c R). Mennyivel egyenlő f(7), ha f( 7) 7? 9

11 .4. Algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!.. Feladat x + x 9.. Feladat x x.. Feladat x + 7 x Feladat x + x + x 0.5. Feladat 6 x x Feladat (x + ) + (x 4) 0 Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!.7. Feladat x < 4.8. Feladat x 8x Feladat x 5 > 4.0. Feladat x x Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! ( ) ( ) 4.. Feladat + x + x 6 x Feladat x 4 + 5x 6x 0.. Feladat x + x 4 + x 6 7x + 6 x + 4 x 4.4. Feladat 7x,5,5x x + 4 x +.5. Feladat x 5x + 6 x 7x Feladat x x + x + x x + x 4 0

12 .7. Feladat 4x 4 x 0 Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!.8. Feladat x x.9. Feladat x x > x Feladat x 5x + 6 x 5x Feladat x x < x x +.. Feladat Határozza meg a b és c paraméterek értékét, ha tudjuk, hogy minden x valós számra (x + )(x + b) x + cx + 6. ( ) (.. Feladat Melyik az a másodfokú egyenlet, amelynek két gyöke és )? Adja meg az alábbi egyenletek megoldásait az a paraméter függvényében!.4. Feladat (ax ) + (x a) x + a.5. Feladat (ax + ) + (ax + )(ax ) 4.6. Feladat ( a)x + x + a 0.7. Feladat Legyen x és x az x + px + q 0 egyenlet két valós gyöke. együtthatók segítségével az alábbi kifejezéseket: Írja fel az. x + x x + x. (x + x ). x + x 4. (x x ) 5. x + x.8. Feladat Legyen x és x a p x +x+(p+) 0 egyenlet két valós gyöke. Hogyan válasszuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy a a gyökök szorzatára x x > teljesüljön?

13 .9. Feladat Milyen k valós szám esetén van az x kx + ( k) 0 egyenletnek két azonos megoldása?.0. Feladat Milyen k valós szám esetén van az x (k + )x egyenletnek két különböző valós megoldása?.. Feladat Milyen k valós szám esetén nincs valós megoldása az x +kx (k 5) 0 egyenletnek?.. Feladat Az y ax + bx + c egyenletű parabola csúcspontja M(, ), a parabola és az x tengely egyik metszéspontja. Határozza meg a, b, c értékét!.. Feladat Határozza meg az f(x) x + x + 5 függvény legnagyobb értékét!.4. Feladat Határozza meg az f(x) x 5x + függvény legkisebb értékét!.5. Gyökös, exponenciális, logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek Oldja meg az alábbi egyenleteket, egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!.. Feladat 5x x Feladat x + + x 0.. Feladat 0 x x 0.4. Feladat 4x 7 x.5. Feladat x x 0 x 0.6. Feladat x x Feladat x 4 + x x Feladat x + x 8 x 0.9. Feladat 9 5x x + 6 x

14 .0. Feladat x + + x + x + x.. Feladat x x + + x + 6 x +.. Feladat (x + ) x x Feladat 4x + 7 > x + Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!.4. Feladat x+ +x.5. Feladat x + x + x Feladat x + 8 x+ + x+ x + x+ + x+.7. Feladat ( ) x+ ( ) x+9 x x Feladat x +x 9 x x+.9. Feladat ( ) ( ) x ( ) x 5.0. Feladat x+4.. Feladat 5 x 5 x Feladat + 4x 4 x 7 x+ ( ) 8 x x 6 x Feladat 4 x 4 x+ x+ x Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!.4. Feladat 9 x + 8 x+ > x 5.5. Feladat 4 x <.6. Feladat ( ) 0 x

15 .7. Feladat ( ) x x 7 > 7 Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!.8. Feladat lg(x 0) lg 5.9. Feladat log 7(x + 4) log 7 (x + ).0. Feladat lg x 5 + lg x + lg 0.. Feladat log [(x 4)(x + )] log (5x + 4).. Feladat log 8 (x + 8) log 8 (4x + 4).. Feladat lg x x lg x lg 5.4. Feladat ln(x + x ) ln x x + ( ).5. Feladat lg + lg(x + ) lg x +.6. Feladat log x (x + x 7).7. Feladat log x+ (x + ).8. Feladat log (log (log 4 x)) 0.9. Feladat log (log 4 6 (log x)) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!.40. Feladat log (x x) < 0.4. Feladat log 4 (5 6x).4. Feladat log (x 4) > log 8.4. Feladat log (x + x ) < 4

16 .6. Trigonometrikus azonosságok és egyenletek.. Feladat Töltse ki az alábbi táblázatot segédeszköz használata nélkül! sin ϕ cos ϕ tg ϕ Feladat Számítsa ki a hiányzó értékeket a ϕ meghatározása nélkül! sin ϕ cos ϕ tg ϕ Feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket segédeszköz használata nélkül! sin ϕ ; sin ϕ ; sin ϕ ; sin ϕ cos ϕ 0; cos ϕ ; cos ϕ ; cos ϕ tg ϕ 0; tg ϕ ; tg ϕ ; tg ϕ ctg ϕ ; ctg ϕ ; ctg ϕ ; ctg ϕ 0.4. Feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket segédeszköz használata nélkül! sin ϕ ; cos ϕ ; tg ϕ sin ϕ ctg ϕ; sin ϕ ctg ϕ; cos ϕ tg ϕ.5. Feladat Fejezze ki minden ϕ ] 0, 90 [ esetén sin ϕ-t és cos ϕ-t tg ϕ segítségével; tg ϕ-t sin ϕ segítségével és tg ϕ-t cos ϕ segítségével! 5

17 .6. Feladat Fejezze ki cos ϕ segítségével sin ϕ-t és cos ϕ-t; t tg ϕ segítségével sin ϕ-t és cos ϕ-t!.7. Feladat Adja meg az α forgásszöget segédeszköz használata nélkül, ha cos α, sin α cos α, sin α tg α és α a harmadik síknegyedben van. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!.8. Feladat sin ϕ(tg ϕ + ctg ϕ) + cos ϕ(tg ϕ + ctg ϕ).9. Feladat (sin ϕ cos ϕ)( + sin ϕ cos ϕ) + (sin ϕ + cos ϕ)( sin ϕ cos ϕ) Számítsa ki a következő kifejezésk értékét!.0. Feladat tg π sin( 7π).. Feladat log π [ ( cos π + sin π ) ] sin 4π Oldja meg az egyenleteket a megadott intervallumon!.. Feladat 8 cos x + 7 cos x 5 sin x + 7, x [0, π] 4.. Feladat tg x + tg x + ctg x + ctg x 4, x ] 0, π 4 ].4. Feladat cos x cos x 0, x [0, π] Oldja meg az alábbi egyenleteket!.5. Feladat sin x + cos x cos x + sin x.6. Feladat cos x sin x + 6

18 .7. Feladat 4 cos x + 8 sin x Feladat cos x + sin x cos x.9. Feladat cos x ctg x tg x 4 sin x + sin x + sin x cos x.0. Feladat ( cos x) + ( + sin x).. Feladat sin x cos x sin x cos x.. Feladat cos x + cos(π x) 0 Számítsa ki az alábbi kifejezések értékét segédeszköz használata nélkül!.. Feladat cos 5 sin 5.4. Feladat sin 0 cos 5 + cos 0 sin 5.5. Feladat cos 0 cos 0 sin 0 sin 0.6. Feladat cos 5 sin 5.7. Feladat sin 70 sin 40 + cos 0.8. Feladat cos,5.7. Sorozatok; egyenletrendszerek.. Feladat Legyen az (a n ) számtani sorozat, melyben a 5 7 és a 7 0. Határozza meg a sorozat első tagját, differenciáját, és a sorozat első nyolc tagjának összegét... Feladat Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög területe 50 cm. Mekkorák az oldalak?.. Feladat Legyen az (a n ) számtani sorozat, melyben d 0,5, S n 8 és S n Mennyi a és n?.4. Feladat Legyen (a n ) számtani sorozat, melyben a +a +a és a a a 80. Határozza meg a sorozat első három tagját! 7

19 .5. Feladat Legyen (a n ) mértani sorozat, melyben a +a +a 9 és a a a 79. Határozza meg a sorozat első három tagját!.6. Feladat Legyen (a n ) mértani sorozat.. a, a 6. S 0?. a, a 9 4. S?. a 4 a a + a + a 4 6. a?, q?.7. Feladat Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 5. Az első, második és ötödik egy mértani sorozat szomszédos tagjai. Határozza meg, hogy mennyi az a, a d és a q!.8. Feladat Egy számtani sorozat első három tagjának összege. Ha az elsőhöz 6-ot, a másodikhoz -at és a harmadikhoz 0-at adunk, akkor egy mértani sorozat egymás utáni tagjait kapjuk. Mi a számtani sorozat?.9. Feladat Egy mértani sorozat első három tagjának összege 6. Ha az első taghoz -at adunk, a harmadikból 0-at kivonunk, akkor egy számtani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Mi a mértani sorozat?.0. Feladat Egy számtani sorozat. tagja, valamint az első n tagjának összege is 0. A sorozat első (n ) darab tagjának az összege 495. Adja meg a sorozat első n tagjának összegét!.. Feladat Egy (a n ) számtani sorozatban a. Az a, a, a 4 ebben a sorrendben egy mértani sorozat első három tagja. Adja meg a mértani sorozat első 0 tagjának összegét! Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket a valós számpárok halmazán!.. Feladat.. Feladat x + xy 0 y + xy xy + x + y 9 xy x y 8

20 .4. Feladat (x + y) 6 x y.5. Feladat x 6xy + 9y 5 x + y 9.6. Feladat.7. Feladat.8. Feladat.9. Feladat x + 4 y 9 x y x + y 4 x + y 0 x y x y x y + 5 x y 5 6 x 5 + y 4 x 5 + y +.0. Feladat 6x x + y + y x 44 x + y 6x 5 9

21 .. Feladat x + 4 y 7 x 4 y Feladat x 4 x + y x y 7.. Feladat x + y 4 y x 7.4. Feladat log x log 4 y 77 log x log 6 y 7.5. Feladat log (xy) 5 ( ) x log y.6. Feladat 8 x+ 4y 5 5 x y 5 y+.7. Feladat y 9 x 8 lg(x + y) lg x lg.8. Feladat x+y 5 x y 8 5 x y 4 x y 0

22 .8. Koordinátageometria.. Feladat Legyenek a (, ), b (, ) és c (5, ). Adja meg a következő vektorokat: a + b + c; (a b); (a + b)c; (a b)(b + c); a b... Feladat Legyenek a (, 5), b ( 0, ) és c ( 6, ).. Bontsa fel a c vektort a-val és b-vel párhuzamos összetevőkre!. Bontsa fel a b vektort c-vel párhuzamos és c-re merőleges összetevőkre!. Adjon meg (a + b)-re merőleges egységnyi hosszúságú vektort!.. Feladat Legyen a (4, ) és b (, ). Mennyi az ab skaláris szorzat? Mekkora az a és b által bezárt szög?.4. Feladat Adja meg a p paraméter összes olyan értékét, amelyre az a (6, 5) és b (p, ) vektorok párhuzamosak; merőlegesek; illetve hegyesszöget zárnak be egymással!.5. Feladat Adott három pont: A(, 0), B( 5, 4), C(, ). Mekkorák az ABC háromszög szögei? Adja meg az összes lehetséges D(x, y) pontot úgy, hogy a pontok egy paralelogramma csúcspontjai legyenek!.6. Feladat Adott két pont: A(, 6) és B(, ). Adja meg. az A és B távolságát!. az AB szakasz felezőpontjának és harmadolópontjainak koordinátáit!. az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! 4. az A, B pontokon átmenő egyenes egyenletét és az egyenes meredekségét! 5. annak a körnek az egyenletét, amelynek az AB szakasz egy átmérője!.7. Feladat Adott két pont: C(, ) és D(, ). Adja meg azt a pontot, amely C-től és D-től is egység távolságra van!.8. Feladat Az x, illetve az y tengely melyik pontja van egyenlő távolságra az A(, 7) és B(6, ) pontoktól?.9. Feladat Mennyi az A(, ), B(, 4) és C( 7, 9) csúcspontú háromszög súlypontjának az origótól vett távolsága?.0. Feladat Adott két egyenes: g : 5x 4y 4, h : x y és a P (5, ) pont. Adja meg

23 . a két egyenes metszéspontjának a P -től való távolságát.. azon egyenes egyenletét, amely átmegy a P -n és a két egyenes metszéspontján.. azon egyenes egyenletét, amely átmegy a P -n és párhuzamos g-vel. 4. azon egyenes egyenletét, amely átmegy a P -n és és merőleges h-ra. 5. a P pont és a h egyenes távolságát!.. Feladat Határozza meg a P (, 5) pontnak az y x + 9 egyenletű egyenesre vonatkozó tükörképét!.. Feladat A C(, ) középpontú kör átmegy a P (, ) ponton. Mekkora a kör sugara? Adja meg a kör egyenletét!.. Feladat A paraméterek mely értékeire lesz köregyenlet?. x + y + 4x + 0y + a 0. 4x + Ay x + 4y + Bxy + C 0.4. Feladat Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a P (8, ) ponton, és érinti a koordinátatengelyeket!.5. Feladat Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely érinti a koordinátatengelyeket és a x + 4y egyenletű egyenest!.6. Feladat Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely merőleges a x 5y 7 egyenletű egyenesre, és átmegy az x + 8x + y 6y 0 egyenletű kör középpontján!.7. Feladat Írja fel az x +y 4x 6y 0 egyenletű kör 5 abszcisszájü pontjaiba húzott érintőinek egyenletét!.8. Feladat Az x + y 8x + 6y 66 0 egyenletű körhöz a P (5, 5) pontból érintőket húzunk. Mik az érintők egyenletei?.9. Feladat Írja fel az A(0, 9), B(5, 0) és C( 7, ) pontokon áthaladó kör egyenletét!.0. Feladat Milyen hosszú az x +y +6x 6y+4 0 egyenletű kör azon legrövidebb húrja, amely a P (, 4) ponton átmegy?.. Feladat Egy paralelogramma két oldalegyenesének egyenlete: x + y és 5x y 0, egy csúcspontja pedig P ( 7, ). Adja meg a többi csúcs koordinátáit!.. Feladat Adottak az A(, 4), B(5, ) és C(, ) pontok. Írja fel az ABC háromszög magasságvonalainak egyenletét!.. Feladat Adottak az A(5, ), B(, 5) és C(6, ) pontok. Határozza meg az ABC hármszög A csúcsból induló súlyvonalának az origótól való távolságát!

24 .9. Síkidomok kerülete, területe; testek.. Feladat Mekkora a satírozott rész területe, ha a P, Q, R, S pontok az egységnyi oldalú négyzet oldalfelező pontjai?.. Feladat Mekkora az ábrán látható körlemez sugara, ha a négyzet oldala egységnyi hosszú?.. Feladat Mekkora az ábrán látható körlemez sugara, ha a négyzet oldala egységnyi hosszú?

25 .4. Feladat Egy egységnyi területű egyenlő szárú háromszög szárszöge 0. Mekkora a háromszög szára és alapja?.5. Feladat Mekkora az a oldalú szabályos háromszög magassága és területe?.6. Feladat Egy szabályos háromszög magassága m. Mekkora az oldala és a területe?.7. Feladat Egy szabályos hatszög két párhuzamos oldalának távolsága 6 egység. Hány egység hosszú a hatszög oldala? Mekkora a hatszög területe?.8. Feladat Egy szabályos háromszög köré írható kör sugara egység. Mekkora a háromszög beírt körének sugara? Mekkora a háromszög oldala és területe?.9. Feladat Egy körbe és a kör köré is egy-egy szabályos háromszöget írunk. Mennyi a két háromszög területének aránya?.0. Feladat Egy háromszöget egyik középvonala mentén kettévágunk. Milyen területarányú részek keletkeznek?.. Feladat Három r sugarú, egymást érintő kör köré írjunk mindhárom kört érintő kört. Mekkora a három kört magában foglaló kör sugara?.. Feladat Egy derékszögű háromszög átfogója 4 cm, területe 80 cm. Mekkorák a befogók?.. Feladat Egy téglalap oldalai AB 9 cm, BC cm. Az AB oldalnak melyik P pontja van A-tól és C-től egyenlő távolságra?.4. Feladat Egy téglalap egyik oldala cm. A téglalap átlójának mérőszáma megegyezik területének mérőszámával. Bizonyítsa be, hogy a téglalap átlója az egyik oldallal 0 -os szöget zár be..5. Feladat Egy téglalap kerülete 68 cm, átlója 6 cm. Hány cm a területe?.6. Feladat Az egységnyi területű rombusz egyik szöge 50. Mekkorák a rombusz oldalai és átlói?.7. Feladat Mekkorák a szimmetrikus trapéz alapjai, ha középvonala 45 mm, szára 4 mm, magassága 9 mm?.8. Feladat Két szabályos tetraéder felszínének aránya :. Mekkora a térfogatuk aránya? 4

26 .9. Feladat Egy kúp alakú dl-es poharat fél dl folyadék magasságának hányadrészéig tölt meg?.0. Feladat Egy kocka lapátlójának hossza 6. Milyen hosszú a kocka testátlója?.. Feladat Milyen messze van az a élű kocka testátlója egy rá nem illeszkedő csúcstól?.. Feladat Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle dm, magassága 6 dm. Mekkora annak a kockának az éle, amelynek négy csúcsa a gúla alapján, másik négy csúcsa pedig a gúla oldalélein van?.. Feladat Egy forgáskúp alapkörének sugara cm, alkotója 0 cm. A kúpba azzal közös tengelyű, egyenlő oldalú hengert írunk. Mekkora a henger térfogata? (Az egyenlő oldalú henger tengelymetszete négyzet.).4. Feladat Mekkora a gömb térfogata, ha a gömbbe írt egyenes körkúp alapkörének sugara cm, alkotója pedig cm?.5. Feladat Egy félgömbbe kockát helyezünk el úgy, hogy a kocka négy csúcsa határkörének síkjába, négy csúcsa pedig a félgömbbe essék. Mekkora a félgömb sugara, ha a kocka éle a?.6. Feladat Mekkora az a élű szabályos tetraéder két kitérő élének távolsága?.7. Feladat Mekkora az a élű szabályos tetraéder térfogata?.8. Feladat Állítsunk vízszintes síkon álló, három egymást érintő R sugarú gömbre egy ugyancsak R sugarú negyediket. Mekkora a négy gömbből álló test magassága? 5

27 . fejezet Megoldások.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel.. Megoldás.. Megoldás [( ) ( )] + ( )( ) {[( ) 5 + 4] + } [( ) + ] Megoldás [( ) ] [( ) ] (7 + ) : ( )( ) + 7 : ( ) [ ] 9 : ( ) 4..4 Megoldás 6 ( ) 5 ( ) 4 6 ( ) Megoldás [ ( ) ] ( 5) 8 [ ( ) ] [ ( ) ] ( )

28 ..6 Megoldás ( 6 ( ) ( 6 : 5 ) + ( ) ( ) ( + 8 6) ) ( 6..7 Megoldás ( ) : ( ( ) Megoldás 5 ( 5 6 ) + ( 8 ) ) ) ( ) ( ) ( 7) ( ) ( 7) ( ) ( 6 ) ( 7 ) ( 4 ) ( 7) ( 6 ) Megoldás ( ) 5 ( 5) ( 4 ) 4 ( ) 4 ( 5 7) Megoldás.. Megoldás.. Megoldás.. Megoldás ( + ) ( + ),6 0, , ,009 ( ) 0 0,8 0, ( ) + ( + ) 4 4 ( ) + ( + ) + 7

29 ..4 Megoldás ( ( ( ) ) ( ) 0) ( ) ( ( 5 + ) ( ) ( 5) 5) 0..5 Megoldás B < ln e ; C lg 0 A < D < B < C..6 Megoldás B 4 ; C 5; D 0 ; E ; F D < B < A < E < F < C..7 Megoldás A ; B ; C D < E < C < A < B ; D ; E ; (..8 Megoldás A ; B sin π + π ) sin π ; C log C < B < A..9 Megoldás A ( + ) + + < A < 4 B ( ) < B < C ( 5) < C < D ( ) ( + ) + ( ) ( + ) A sorrend: D < C < B < A...0 Megoldás (a 5 5 ) ( a a5 5 ) a : a 5 a 5 a a 5 a 5 a 6 5 a 5 a 5 a a 6 5 a a a a 5 a 5 a 5 a 5 a a 5 a 5 8

30 .. Megoldás ) n ( ) n+ ( ( ) n n ( )n+ n+ n ( )n+ ( )n+ 4 n + 4 n 4 n 4 n.. Megoldás 9 n + + ( ) n+ 6 n + ( 6 ) n ( ) n ( ) n.. Megoldás..4 Megoldás..5 Megoldás..6 Megoldás x x + x x..7 Megoldás a b (a + b) a b (a + b) 9 n + n 6 n + ( 6 ) n ( 6 ) n 6 n n+ 5 n + ( 5 ) n+ 4n 8 4n 5 n n 6 (a b ) 6 (a b) 0 a b (a + b) (a + b) 6 (a b) 4 a b x x 8x + 6 x (5 x)(5 + x) (x 4) x(5 x) n 6 n 6 n n n 6 n ( ) n 4 5 (a b) 6 (a + b) 6 (a b) 0 (a + b) (a + b) a + b (a b) a b 5 x 5x x x 6 (5 + x)(4 + x) (x 4)(x + 4) (5 + x)(4 + x) x x 4 x x x x + x x x + x ( x)( + x) x + x ( + x) x x 4 x + 4 x + 4 x 4 + 6x x 6 (x 4) (x + 4) + 6x (x + 4)(x 4) x 6 (x 8x + 6) (x + 8x + 6) + 6x 6x + 6x 0 x 6 x 6 9

31 ..8 Megoldás ( x x x ) x + x x x + 4 x ( ) x(x ) + x x(x + ) (x )(x + ) (x )(x + x + ) + 4 x x + + x x(x )(x + ) x(x + ) (x )(x + x + ) + 4 x x x + 4 x 4 + 4x 4 (x )..9 Megoldás ( c 4x (x ) c + c c 6 + 8c ) c c 4 c 4c ( ) c + (c ) + 4 c (c )(c + ) (c ) (c + ) + (c )(c + ) (c ) c 4 c c(c 4) c + 4 (c + ) c 4 4 (c 4)..0 Megoldás x x 4 x x 6 x x 4 x 6 x 4 x x 6 x.. Megoldás x x x x x 4 x x 6 6 x.. Megoldás x x x x x 6 x x x x x x.. Megoldás 4 x x x x x x 4 x x 4 x x 4 x 4 x 4 0 0

32 .. A logaritmus fogalma; arány- és százalékszámítás.. Megoldás A lg 0 ; B log ; C log ; D ln e 4 4 D < B < C < A.. Megoldás.. Megoldás..4 Megoldás ( ( ) ) 4 log 5 A ) log ( ) 4 log 5 ( ) log ( B ( ) log log log 4 9 ( ( ) ) log ( ) log ( ) log C A < B < C A 9 log 0 0 ( ) B ( ) log 5 log 5 log C ( ) log 6 ( ) log 6 ( ) A < B < C,,5 5 A lg lg 0,9 90 B ln 5 ln e ln 5 C log log A < B < C log ,5 lg ,5 0 lg 5 > ln > ln > lg e 9 ( ) 4 ( 4)

33 ..5 Megoldás q lg A lg C lg 5..6 Megoldás..7 Megoldás 5 log ( 0 0 q lg 5 lg A lg C lg 5 q lg A C 5q A C A C 5q p 5 q 0 p lg + q lg 5 q p lg lg 5 ) lg lg ( ) lg log log lg Megoldás 49 log 7 5 log sin 4π 49 7 ( log sin 0π + 4π log ( ) 4π 4 + sin..9 Megoldás ( ) (sin 60 ) log Megoldás ( ) ) + + ( ( + ) ) 4 log 7 7 ( cos 0 ) , ,5 log 6 5 ( ) ( ) log Megoldás ( ) 0, lg lg 5 ( 4) lg

34 .. Megoldás +log 9 4 log log9 + 0 lg 9 log 9 4 lg log 5 ( log 5 ) Megoldás Legyen a kocka éle x, ekkor térfogata x, felszíne 6x, a megnövelt kocka térfogata (x + ). A feltételekből (x + ) x x 4x x 0, ahonnan x (mivel x > 0). Tehát az kocka élei cm-esek voltak...4 Megoldás A ló hónap alatt kocsi szénát, a kecske hónap alatt kocsi szénát, a juh hónap alatt kocsi szénát eszik meg. A három állat együtt hónap alatt + + kocsi szénát eszik meg. Így a ló, a kecske és a juh együtt kocsi szénát 6 6 hónap alatt eszik meg...5 Megoldás 5 év múlva 80000, ,8 Ft-unk lesz...6 Megoldás A csoportban összesen 40 0, kék szemű és 40 0,4 6 szőke hallgató van. Szőke és kék szemű 9 hallgató. Azon hallgatók száma, akik szőkék vagy kék szeműek, Se nem szőke, se nem kék szemű 40 9 hallgató...7 Megoldás Legyen a kisebb betét értéke x. Ekkor 0,05x+0,04 x 65. Innen a kisebb betét értéke x euró, a nagyobb betét értéke 0000 euró. 0,5..8 Megoldás A kis kör és a nagy kör területének aránya T 40 π T 50 π 6 5 0,64, tehát a kis kör területe a nagy kör területének 64%-a. Így az eredeti kör területe 6%-kal csökkent...9 Megoldás Az x pontban f(). Az x értékét %-kal növelve f(,0),0 +,0 + 0,99, így f értéke %-kal csökken. Az x értékét %-kal csökkentve így f értéke,5%-kal nő. f(0,97) 0,97 + 0,97 +,05,

35 ..0 Megoldás Ha az x értéke k-szorosára változik és f értéke %-kal nő, akkor a k + k +,0 f() összefüggésből k-ra az,0k k + 0,0 0 másodfokú egyenlet adódik, ahonnan k 0,0 és k 0,98. Tehát ahhoz, hogy f értéke %-kal nőjön, x értékét 99%-kal vagy %-kal kell csökkenteni. Ha az x értéke k-szorosára változik és f értéke,5%-kal csökken, akkor a k + k + 0,975 f() összefüggésből k-ra a 0,975k k + 0,05 0 másodfokú egyenlet adódik, ahonnan k,05 (mivel k > 0). Tehát ahhoz, hogy f értéke,5%-kal csökkenjen, x értékét 5%-kal kell növelni... Megoldás Legyen a gép értéke x. Két év múlva a gépet x 0,8 4 x 0,48-ért adták el, ami az eredeti érték 48%-a... Megoldás Az első lemez átengedi a ráeső fényenergia 70%-át, a második a ráeső fényenergia 50%-át, a harmadik pedig a ráeső energia 80%-át. A három lemez együttesen az eredeti fénysugár energiájának 0,7 0,5 0,8 0,8-szorosát engedi át. Tehát a három lemez együttesen az eredeti fénysugár energiájának 7%-át nyeli el... Megoldás Legyen az üzem bevétele x. A változtatások után az új bevétel tehát az üzem bevétele %-kal nőtt. x (0,8, + 0, 0,8) x,,..4 Megoldás Legyen a kabát ára x. Ha a csökkentett árat y-szorosára növelik, akkor az x 0,8 y x egyenletből y,5, tehát 5%-kal kell növelni az árat...5 Megoldás Legyen a két évvel ezelőtti faállomány x. Ekkor az egyenletből x 050 adódik. (x 0, ) 0, Megoldás Legyen az elefánt testtömege t, amikor nagyon szomjas. Itatás után a testének víztartalmát kétféleképpen kifejezve, t-re a következő egyenlet adódik: ahonnan t 500 kg. 0,84t + (600 t) 0,

36 .. Elemi függvények tulajdonságai, ábrázolásuk.. Megoldás Az ábrázoláshoz az f függvényt a következő alakra hozzuk: f(x) x x + 5 (x + 5) 0 x x + 5 f(x) > 0 x + 5 x > 0 5 x > 0 (5 x > 0 és x + 5 > 0) vagy (5 x < 0 x + 5 x + 5 és 5 + x < 0) ( 5 < x < 5 f() + f( ) + 0 ) ( ) Az f függvény az y tengelyt y f(0) -nél metszi... Megoldás f(a + ) f(a ) a+ a a 9 a 9 a ( 9 ) 9 g(a + ) g(a ) (a+) (a ) a 9 a 9 a f(g(x)) g(x) x ; g(f(x)) f(x) x 80 9 a ( ) a.. Megoldás Az f(x) sin x, g(x) sin x és h(x) x π függvények közül csak a g függvény szigorúan monoton növő a ] 0; π [ nyílt intervallumon. 5

37 ..4 Megoldás f(x) x(x ) (x ) x (x ) 4 x(x ) 4x (x ) x 4x (x ) f értelmezési tartománya: D f R \ {}. f zérushelyei: x 0, x...5 Megoldás f(x) 4(x ) x x x (x ) x 6 4x (x ) (x ) x 4 (x ) [4x (x )] (x )(x + )(x + ) x 4 x 4 f értelmezési tartománya: D f R \ {0}. f zérushelyei: x, x...6 Megoldás f(x) x(x 4) + (x 4) x x x(x 4) + 6x (x 4) 4 (x 4) 8x(x )(x + ) (x ) (x + ) x(x + ) (x ) 8x 8x (x ) (x + ) f értelmezési tartománya: D f R \ {, }. f zérushelyei: x 0, x, x...7 Megoldás f(x) x (x ) (x + ) (x 9x)(x ) (x ) 4 (x + ) x (x ) (x + ) x(x )(x ) (x + ) (x ) 4 (x + ) x (x ) x(x ) (x ) x [x(x ) (x x + )] (x ) x(x + ) (x ) f értelmezési tartománya: D f R \ {, }. f zérushelye: x 0. 6

38 ..8 Megoldás f(g(x)) ln (g(x)) ln ( ) x +, x R; f(g(0)) f() 0 g(f(x)) (f(x)) + (ln x) + ln 4 x +, x R + ; g(f()) g(0)..9 Megoldás f(g(x)) e (g(x)) e (sin x), x R; f(g(0)) f(0) e 0 ( g(f(x)) sin (f(x)) sin e x), x R; g(f(0)) g() sin..0 Megoldás Az f(x) 4 függvény szigorúan monoton növő a ] ; [ x + intervallumon, így létezik inverze. Az inverz meghatározása: y 4 x + x 4 y + x 4 y + y x 4 f (x) x 4, x ] ; 4 [.. Megoldás A g(x) x + függvény szigorúan monoton növő, így létezik inverze. Az inverz meghatározása: y x + x y + x y y log (x ) + g (x) log (x ) +, x ] ; [ 7

39 .. Megoldás A h(x) ln x + függvény szigorúan monoton növő a ] 0; [ intervallumon, így létezik inverze. Az inverz meghatározása: y ln x + x ln y + x h (x) e x, x R ln y y e x.. Megoldás Az l(x) x + függvény szigorúan monoton növő a [ ; [ intervallumon, így létezik inverze. Az inverz meghatározása: y x + x y + x y + y x l (x) x, x [0; [ 8

40 ..4 Megoldás f() 4; f( ) e..5 Megoldás A g függvény minimális érteke a [, ] intervallumon, melyet az x helyen vesz fel, maximális értéke, melyet az x helyen vesz fel...6 Megoldás A h függvény lokális minimumhelyei a [, 5] intervallumon x és x 5, az utóbi globális minimumhely is, a függvényértékek h(), h(5). A lokális maximumhelyek x és x 4, az utóbbi globális maximumhely is, a függvényértékek h(), h( ) 8. 9

41 ..7 Megoldás f értelmezési tartománya: az x 0 egyenlőtlenségből x, azaz D f ] ; ]. f zérushelye: a x 0 egyenletből x Megoldás f értelmezési tartománya: az 5 x + 0 egyenlőtlenségből x x x, azaz D f [ 7; ]. f zérushelyei: az 5 x + 0 egyenletből x + ±5, így x 7 és x...9 Megoldás A logaritmus definíciója miatt x x > 0 x > 0 (x > 0 x és x > 0) vagy (x < 0 és x < 0) x > vagy < x < 0, tehát f értelmezési tartománya: D f ] ; 0[ ]; [. f zérushelyei: az x x egyenletből x x 0, ahonnan x, ± 5. 40

42 ..0 Megoldás A logaritmus definíciója miatt 5 x > 0 x < 5 5 < x < 5 4 < x < 6, tehát f értelmezési tartománya: D f ] 4; 6[. f zérushelyei: az 5 x egyenletből x 4, ahonnan x és x 5... Megoldás A logaritmus definíciója miatt + x x > 0 x x < 0 (x )(x + ) < 0 < x <, tehát f értelmezési tartománya: D f ] ; [. f zérushelyei: a + x x egyenletből x x 0, ahonnan x, ± 5... Megoldás f értelmezési tartománya: a + log x 0 egyenlőtlenségből log x log 9, így x 9, azaz D f [ ; [. f zérushelye: a + log 9 x 0 egyenletből x 9... Megoldás A g(x) f(x) + 5 függvény páratlan, így g( x) g(x). Ezt felhasználva g( 7) g(7) f( 7) , tehát g(7). Így f(7) g(7) Algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek.4. Megoldás Ha x, akkor x x, így az egyenlet: x + (x ) 9, ahonnan x 5. Ha x <, akkor x (x ), így az egyenlet: x (x ) 9, ahonnan x. Tehát a megoldás: x 5, x..4. Megoldás Ha x 0 vagy x, akkor x x x x, így az egyenlet: x x 0, ahonnan x + vagy x. Ha 0 < x <, akkor x x (x x), így az egyenlet: x + x 0, ahonnan x. Tehát a megoldás: x, ±, x..4. Megoldás Ha x 0, akkor x x, így az egyenlet: x + 7x 8 0 (x )(x + 8) 0, ahonnan x vagy x 8, de ez utóbbi nem lehet a feltétel miatt. Ha x < 0, akkor x x, így az egyenlet: x 7x 8 0 (x + )(x 8) 0, ahonnan x vagy x 8, de ez utóbbi nem lehet a feltétel miatt. Tehát a megoldás: x, x..4.4 Megoldás Ha x vagy x 0, akkor az egyenlet: (x + x) + x 0, ahonnan x vagy x, de ez utóbbi nem lehet a feltétel miatt. Ha < x < 0, akkor az egyenlet: (x +x)+x 0, ahonnan x. Tehát a megoldás: x, x. 4

43 .4.5 Megoldás Ha x, akkor az egyenlet: 6 x (x ) + 6 x 8x (x )(x ) 0, ahonnan x vagy x. Ha x <, akkor az egyenlet: 6 x ( x + ) + 6 x + 4x 6 0 (x + )(x ) 0, ahonnan x vagy x, de ez utóbbi megoldást már megkaptuk. Tehát a megoldás: x, x, x..4.6 Megoldás (x + ) + (x 4) 0 x + + x 4 0. Ha x 4, akkor az egyenlet: (x + ) + (x 4) 0, ahonnan x. Ha x < 4, akkor az egyenlet: (x+) (x 4) 0, ami ellentmondásra vezet. Ha x <, akkor az egyenlet: (x + ) (x 4) 0, ahonnan x 9. Tehát a megoldás: x, x Megoldás x < 4 4 < x < 4 < x < 5 < x < Megoldás x 8x + 6 (x 4) x 4 x 4 vagy x 4 x 7 vagy x..4.9 Megoldás x 5 > 4 x 5 > 4 vagy x 5 < 4 x > 9 vagy x < x > vagy x < x < vagy x > vagy < x <..4.0 Megoldás Ha x, akkor az egyenlőtlenség: x x, ahonnan x 4 x. Ha x <, akkor az egyenlőtlenség: (x ) x, ahonnan x x <. Tehát a megoldás: x..4. Megoldás ( ) 4 + x + x 6 (x + )(x ) (x + )(x ) x + x + A megoldás: x, x..4. Megoldás ( ) x x + x x + x 6 x + x x, x, x x 4 + 5x 6x 0 x (x + 5x 6) 0 x (x + 6)(x ) 0 A megoldás: x 0, x 6, x. 4

44 .4. Megoldás x + x 4 + x 6 7x + 6 x + 4 x 4 Az egyenletet x 6-tal szorozva: x ±4. (x + )(x + 4) + (7x + 6)(x 4) (x + 4) x + 7x + 4 7x 5x 6 x 6x 5 0 A megoldás: x 5, x Megoldás 7x,5,5x 0 x. Az egyenletet (x + )-vel x + 4 x + szorozva azonosságot kapunk: ( 7x) ( 7x) 0. A megoldás: x R \ { }..4.5 Megoldás A megoldás: x 6. x 5x + 6 x 7x + x x 4 (x )(x ) (x )(x 4) x x (x 4) x 6 x.4.6 Megoldás x + x + x x + x 4 Az egyenletet x 4-gyel szorozva: x ±. x(x ) + (x + ) x + x + 4 x + x 4 x ± Ez nem lehet a feltétel miatt, így az egyenletnek nincs megoldása..4.7 Megoldás A y : x 0 változó bevezetésével y-ra másodfokú egyenlet adódik: 4y y 0, melynek gyökei y és y, de ez utóbbi nem lehet a feltétel 4 miatt. A megoldás: x, x..4.8 Megoldás Az egyenlőtlenséget 0-ra rendezve: x x x(x ) (x ) x > 0 x 5x x > 0 A tört pontosan akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. x(x 5) x > 0 A számláló x < 0 vagy x > 5 esetén pozitív, 0 < x < 5 esetén negatív. A nevező x > esetén pozitív, x < esetén negatív. A megoldás: 0 < x < vagy x > 5. 4

45 .4.9 Megoldás Az egyenlőtlenséget 0-ra rendezve: x x > x + 4 x(x + 4) (x ) (x )(x + 4) > 0 x + x + (x )(x + 4) > 0 (x + ) + (x )(x + 4) > 0 A számláló minden x-re pozitív, így a tört pontosan akkor pozitív, ha a nevező is pozitív, azaz x < 4 vagy x >..4.0 Megoldás x 5x + 6 (x )(x ) 0 0. A tört pontosan akkor x 5x 6 (x 6)(x + ) nemnegatív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű, vagy a számláló nulla. A számláló nulla vagy pozitív, ha x vagy x, és negatív, ha < x <. A nevező pozitív, ha x < vagy x > 6, és negatív, ha < x < 6. A megoldás: x < vagy x vagy x > Megoldás Az egyenlőtlenséget 0-ra rendezve: x x < x x + x(x + ) (x )(x + ) x x(x + ) < 0 x + x(x + ) < 0 A tört pontosan akkor negatív, ha a számláló és a nevező különböző előjelű. A számláló x > esetén pozitív, x < esetén negatív. A nevező x < vagy x > 0 esetén pozitív, < x < 0 esetén negatív. A megoldás: x < vagy < x < Megoldás (x + )(x + b) x + cx + 6 x + (b + )x + b x + cx + 6 Az egyenlőség pontosan akkor teljesül minden x valós számra, ha a két polinom megfelelő együtthatói egyenlők, azaz b + c és b 6. Innen b és c Megoldás Ha a másodfokú tag együtthatója, akkor az egyenlet gyöktényezős alakja ( x ) ( x + ) 0 x 6 x 6 0 6x x Megoldás (ax ) +(x a) x +a a x 4ax+ 0. Az egyenletnek a 0 esetén nincs megoldása, a 0 esetén a megoldás: x, 4a ± 6a a a a ± a a a ± a ± a a x a, x a.4.5 Megoldás (ax + ) + (ax + )(ax ) 4 a x + ax 0. Az egyenletnek a 0 esetén nincs megoldása, a 0 esetén a megoldás: x, a ± a + 8a a a ± a a a ± a ± a a x a, x a 44

46 .4.6 Megoldás Az ( a)x + x + a 0 egyenletnek a esetén x megoldása. Ha a, akkor x, ± 4a( a) ( a) ± a ( a) ± (a ) ( a) x, x a a.4.7 Megoldás Az x +px+q 0 polinom gyökeinek összege: x +x p, a gyökök szorzata: x x q. Így. x + x x + x (x + x ) + x x p + q. (x + x ) ( p) p. x + x (x + x ) x x ( p) q p q 4. (x x ) x x x + x (x + x ) 4x x p 4q 5. x + x x + x x x.4.8 Megoldás x x > 0 p + p p q A megoldás: < p < 0 vagy 0 < p <. > p + p p > 0 p p p < 0 (p )(p + ) p < Megoldás Az egyenletnek pontosan akkor van két azonos megoldása, ha a diszkrimináns nulla. D k 4( k) 0 k + 4k 0 (k + 6)(k ) 0 A megoldás: k 6, k..4.0 Megoldás Az egyenletnek pontosan akkor van két különböző valós megoldása, ha a diszkrimináns pozitív. D (k + ) 6 > 0 k + 6k 7 > 0 (k + 7)(k ) > 0 A megoldás: k < 7 vagy k >..4. Megoldás Az egyenletnek pontosan nincs valós megoldása, ha a diszkrimináns negatív. D k + 4(k 5) < 0 k + 8k 0 < 0 (k + 0)(k ) < 0 A megoldás: 0 < k <. 45

47 .4. Megoldás Mivel a parabola csúcspontja (, ) és átmegy a (, 0) ponton, ezért átmegy a (0, 0) ponton is, hiszen szimmetrikus az x egyenletű egyenesre. A három pont koordinátáit behelyettesítve a parabola egyenletébe, a következő egyenletrendszert kapjuk: a + b + c, 0 4a + b + c, 0 c, ahonnan a, b. A parabola egyenlete: y x x..4. Megoldás ( f(x) x + x + 5 x x 5 ) ( x ) + 6 A maximum értéke Megoldás ( f(x) x 5x + x 5 x + ) ( x 5 ) A minimum értéke 7 8. [ ( x ) ] 9 5 [ ( x 5 ) ] Gyökös, exponenciális, logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek.5. Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezések nemnegatívak, azaz 5x 0 és x + 0, így 6 x 5 lehet csak. 5x x + 0 5x x +, ahonnan a megoldás: x Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezések nemnegatívak, azaz x + 0 és x 0, így x lehet csak. Mivel x + 0 és x 0, ezért az összegük csak úgy lehet 0, ha mindkét kifejezés értéke 0, azaz x + 0 és x 0. Ez azonban ellentmondásra vezet, így a feladatnak nincs megoldása. 46

48 .5. Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezés nemnegatív, azaz 0 x 0. Mivel a bal oldal nemnegatív, ezért x 0 0 is teljesül, így a megoldás: x Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezés nemnegatív, azaz 4x 7 0, így x 7. Mivel a bal oldal nemnegatív, ezért x 0 is teljesül, azaz x. Ez azonban 4 ellentmondás, így a feladatnak nincs megoldása..5.5 Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezés nemnegatív, azaz x x 0 0, ahonnan x 89,6 vagy x + 89,. Az egyenletet átrendezve: 4 4 x x 0 x. Mivel a bal oldal nemnegatív, ezért x 0 is teljesül, így megoldásként csak,-nél nagyobb értékek jöhetnek szóba. Négyzetre emelve: x x 0 x x x 0 (x 5)(x + ) 0, ahonnan x 5 vagy x, de ez utóbbi nem lehet, tehát a megoldás: x Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezések nemnegatívak, azaz x 0 és x + 7 0, így 7 x. Az egyenletet átrendezve: x x + 7. Mivel a bal oldal nemnegatív, ezért x is teljesül, ahonnan x + 7 9, azaz x. A feltételekből csak x jöhet szóba, ami megoldása az egyenletnek..5.7 Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezések nemnegatívak, azaz x 4 0, x 0 és x + 4 0, ahonnan x 4. Négyzetre emelve: x 4 + (x 4)(x ) + x x + 4 (x 4)(x ) 9 x Ismét négyzetre emelve: 4(x 5x + 4) x 8x + 8 x x 65 0, ahonnan x 5 vagy x, de ez utóbbi nem lehet, tehát a megoldás: x Megoldás Legyen y : x. Ekkor x + x 8 x 0 y + y 8y 0 y(y + y 8) 0 y(y + 6)(y ) 0, ahonnan y 0, y 6, y. A megoldás: x 0, x 6, x Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezések nemnegatívak, továbbá a tört nevezője nem 0, így 9 5x 0 és x > 0, ahonnan x 9 5. Négyzetre emelve: 9 5x x x 8 x x + x x 7 0, ahonnan x vagy x 9, de ez utóbbi nem lehet, így a megoldás: x. 47

49 .5.0 Megoldás Feltételek: x + 0, x + 0 és x 0, azaz x, x 0 és x. Legyen a : x + 0. Ekkor x + + x + x + x a + a a a 0 (a )(a + ) 0 Mivel a + > 0, ezért a, tehát a megoldás: x. a a (a + )(a ) a (a ).5. Megoldás Feltétel: x. Legyen a : x + 0. Ekkor x x + + x + 6 x + a + 4 4a + a + 9 6a (a ) + (a ) a + a Ha a, akkor az egyenlet: (a ) + (a ), ahonnan a, így x 7. Ha a <, akkor az egyenlet: (a ) (a ), ami azonosság, ahonnan x + <, így x < 7. Ha 0 a <, akkor az egyenlet: (a ) (a ), ahonnan a, de ez nem lehet. A megoldás: x Megoldás Az egyenlőtlenséget átalakítva: (x + ) (x ) + 0. Mivel a gyökjel alatti kifejezés pozitív, ezért az egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha x..5. Megoldás Feltétel: 4x + 7 0, azaz x 7. A bal oldal nemnegatív, így az 4 egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül, ha x + < 0, azaz 7 x <. Ha x, 4 akkor mindkét oldal nemnegatív, így négyzetre emelve: 4x + 7 > x + 6x + 9 x + x 8 < 0 (x + 4)(x ) < 0 4 < x <, ahonnan x <. A megoldás: 7 4 x <..5.4 Megoldás x+ +x x + + x. Ha x, akkor az egyenlet: (x + ) + x, ahonnan x 0. Ha x <, akkor az egyenlet: (x + ) + x, ami ellentmondásra vezet. A megoldás: x Megoldás x + x + x+ 9 x ( + + ) A megoldás: x x 9 x 9

50 .5.6 Megoldás x ( ) x ( + + 9) x 8 x 6 A megoldás: x 4. ( ) x ( ) Megoldás ( ) x+ ( ) x+9 x x+ x + 4 x x + 9 (x + )(x + ) (x + 9)(x ) x + x + 5x + x + 7x 9 x A megoldás: x..5.8 Megoldás Feltétel: x. x +x 9 x x+ 9 x +x 6 9 x x+ (x + )(x ) x x + (x + ) (x ) (x ) 0 (x ) [ (x + ) ] 0 (x )(x + )(x + 4) 0 A megoldás: x, x, x Megoldás ( ) ( ) x A megoldás: x Megoldás x+4 ( ) x 5 ( 5 ) 4 ( ) (x ) 5 ( ) x 5 4 9x + x 8 x 6 x+ ( 64) x x+4 (x ) (x+) 6( x) 7x +6x 7x + 6x A megoldás: x..5. Megoldás Legyen a : 5 x > 0. Ekkor az egyenlet: a a a 4a 5 0 ahonnan a 5 vagy a, de ez utóbbi nem lehet. Így a megoldás: x. 5 49

51 .5. Megoldás + 4 x 7 4 x 8( + x+ 4x ) 7 x x 7 x ( x ) 7 x x 7 ± 5 4 Innen x 8 vagy x, így a megoldás: x, x..5. Megoldás Feltétel: x 0. 4 x 4 x+ x+x ( x ) 4 ( x ) x x Legyen a : x > 0 és b : x > 0. Ekkor az egyenlet: a ab 4b 0 (a 4b)(a + b) 0 Mivel a + b > 0, ezért az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a 4b, így x 4 x x +x x + x ( x ) x 0 ( x )( x + ) 0 Mivel x+ > 0, ezért az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha x, így a megoldás: x 4. Megjegyzés: A feladat úgy is megoldható, hogy az a ab 4b 0 egyenletet b -tel (b > 0) elosztjuk, így a ( a ) ( a ) b -re másodfokú egyenletet kapunk: 4 0. b b.5.4 Megoldás Legyen a : x > 0. Ekkor 9x + 8 x+ > x 5 a 9a + 8 > a 5 (a 8)(a ) > a 5 Feltétel: a vagy a 8, mivel a négyzetgyökjel alatti kifejezés nemnegatív. Ha a, akkor a jobb oldal negatív, így az egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül. Innen x, így x 0. Ha a 8, akkor a jobb oldal pozitív, így négyzetre emelve: a 9a + 8 > a 0a + 5, ahonnan x > 7, így x > log 7. A megoldás: x 0 vagy x > log Megoldás 4 x < 6 x < 5 6 x < 5 x > A megoldás: x < vagy x >. 50

52 .5.6 Megoldás ( 7 A megoldás: x Megoldás ) 0 x 49 4 ( ) x x 7 > ( ) x x 7 7 > A megoldás: 4 < x < 5. ( ) 0 x Megoldás Feltétel: x > 0. Azonos átalakításokkal: ( ) 0 x 7 ( ) x x 7 < (x 5)(x + 4) < 0 lg(x 0) ( lg 5) lg 5 lg 00 lg 5 lg 00 5 lg 4 Így lg(x 0) lg 4 x 0 4, tehát a megoldás: x Megoldás Feltételek: x + 4 > 0, x + > 0 és log 7 (x + ) 0, ahonnan x > és x. log 7 (x + 4) log 7 (x + ) log 7(x + 4) log 7 (x + ) log 7 (x + 4) log 7 (x + ) x + 4 (x + ) x + x 0 x(x + ) 0 Innen x 0 vagy x, de ez utóbbi nem lehet, így a megoldás: x Megoldás Feltételek: x 5 > 0 és x > 0, ahonnan x > 5. lg x 5 + lg x + lg 0 lg (x 5)(x ) lg 0 lg 0 lg (x 5)(x ) (x 5)(x ) 9 x ± x x 4 innen x 6 vagy x, de ez utóbbi nem lehet, így a megoldás: x Megoldás Feltételek: (x 4)(x+) > 0 (azaz x < vagy x > 4) és 5x+4 > 0, ahonnan x > 4. log [(x 4)(x + )] log (5x + 4) (x 4)(x + ) 5x + 4 x 6x 6 0 (x 8)(x + ) 0 ahonnan x 8 vagy x, de ez utóbbi nem lehet, így a megoldás: x 8. 5

53 .5. Megoldás Feltételek: x + 8 és 4x + 4 > 0, ahonnan x > 8. log 8 (x + 8) log 8 (4x + 4) log 8 x + 8 (4x + 4) x + 8 x + 8 6(x + ) 4 x + 8 4(x + ) 4x 5x 4 0 x A megoldás: x 4, x 4. (4x + 4) 8 5 ± Megoldás Feltételek: x x x(x ) > 0 (azaz x < 0 vagy x > ) és x > 0, ahonnan x < 0. lg x x lg x lg 5 lg lg x lg 5 x 5 x 5 x x x lg 5 lg x(x ) x lg 5 A megoldás: x Megoldás Feltételek: x + x (x )(x + ) > 0, azaz x < vagy x >. Ekkor x > 0 is teljesül. x + ln(x + x ) ln x x (x )(x + ) x + x + (x + ) (x ) (x ) 0 (x ) [ (x + ) ] 0 (x )(x + )(x + 4) 0 Innen a feltétel figyelembevételével a megoldás: x Megoldás Felhasználva, hogy lg lg 4 lg 0 lg, az egyenlet a ( ) ( 5 ) következő alakra hozható: lg (x + ) lg 5 x + (x + ) 5 x +. Legyen y x. Ekkor y y 5 0, ahonnan y vagy y 5, de könnyen látható, hogy y nem lehet. A megoldás: x Megoldás A logaritmus definíciója alapján: x x + x 7 x 9, ahonnan x vagy x, de ez utóbbi nem lehet, mivel a logaritmus alapja pozitív. A megoldás: x. 5

54 .5.7 Megoldás Feltételek: x+ > 0 és x+, azaz x > és x 0. A logaritmus definíciója alapján: (x+) x + x +x+ x + x x x(x ) 0, ahonnan x vagy x 0, de ez utóbbi nem lehet. A megoldás: x..5.8 Megoldás A logaritmus definíciója alapján: log (log (log 4 x)) 0 log (log 4 x) log 4 x x Megoldás A logaritmus definíciója alapján: log (log 4 6 (log x)) log 6 (log x) 4 log x 6 4 x Megoldás Feltétel: x x x(x ) > 0, ahonnan x < 0 vagy x >. log (x x) < 0 log x x < x x < 0 Az x x < 0 egyenlőtlenségből: < x < +. Így a feltétel figyelembevételével a feladat megoldása: < x < 0 vagy < x < Megoldás Feltétel: 5 6x > 0, ahonnan x < 5 6. A megoldás: 6 x < 5 6. log 4 (5 6x) log x 6 6 x.5.4 Megoldás Feltétel: x 4 > 0, ahonnan x > 4. A megoldás: 4 < x < 4. log (x 4) > log 8 log 8 x 4 < 8 x < Megoldás Feltétel: x + x > 0, ahonnan x < x > + 0,. log (x + x ) < log x + x > x + x 4 (x + 4)(x ) > 0, vagy A megoldás: x < 4 vagy x >. 5

55 .6. Trigonometrikus azonosságok és egyenletek.6. Megoldás sin ϕ 0 cos ϕ tg ϕ Megoldás A következő összefüggések felhasználásával a hiányzó értékek kiszámíthatók: cos ϕ + sin ϕ + tg ϕ cos ϕ cos ϕ + tg ϕ 9 sin ϕ ± cos ϕ ± 4 tg ϕ ± 9 ± ± 5 7 ± 8 5 ± 5 7 ± 7 5 ± ± 6 6 ± 9 ± Megoldás sin ϕ ϕ π + kπ ϕ π 4 + kπ, k Z sin ϕ ϕ 7π 6 ϕ π + kπ, k Z + kπ vagy ϕ π 6 + kπ ϕ 7π + kπ vagy sin ϕ ϕ π + kπ ϕ π + 4kπ, k Z sin ϕ ϕ π + kπ vagy ϕ π + kπ ϕ π ϕ 4π + 4kπ, k Z + 4kπ vagy cos ϕ 0 ϕ π + kπ ϕ π 4 + kπ, k Z 54

56 cos ϕ ϕ π 6 + kπ vagy ϕ π 6 + kπ ϕ ϕ π + kπ, k Z π + kπ vagy cos ϕ ϕ kπ ϕ 4kπ, k Z cos ϕ ϕ π + kπ vagy ϕ π + kπ ϕ 4π + 4kπ vagy ϕ 4π + 4kπ, k Z tg ϕ 0 ϕ kπ ϕ kπ, k Z tg ϕ ϕ π 4 + kπ ϕ π 8 + kπ, k Z tg ϕ ϕ π 4 + kπ ϕ π + kπ, k Z tg ϕ ϕ π 6 + kπ ϕ π + kπ, k Z ctg ϕ tg ϕ ϕ π 4 + kπ ϕ π + kπ, k Z ctg ϕ tg ϕ ϕ π + kπ ϕ π 9 + kπ, k Z ctg ϕ tg ϕ ϕ π 6 + kπ ϕ π + kπ, k Z ctg ϕ 0 ϕ π + kπ ϕ π + kπ, k Z.6.4 Megoldás sin ϕ sin ϕ ± ϕ π + kπ, k Z cos ϕ cos ϕ ± ϕ π 4 + kπ, k Z tg ϕ tg ϕ ± ϕ π + kπ vagy ϕ π + kπ, k Z 55

57 sin ϕ ctg ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ + cos ϕ 0 cos ϕ + 5 (a másik gyök nem megfelelő, mivel -nél kisebb) ϕ ± arccos kπ, k Z sin ϕ ctg ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ 0 cos ϕ 5 (a másik gyök nem megfelelő, mivel -nél nagyobb) ϕ ± arccos 5 + kπ, k Z cos ϕ tg ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ sin ϕ + sin ϕ 0 sin ϕ + 5 ϕ arcsin Megoldás sin ϕ cos ϕ tg ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ + sin ϕ (a másik gyök nem megfelelő, mivel -nél kisebb) + kπ vagy ϕ π arcsin + 5 tg ϕ + tg ϕ sin ϕ tg ϕ + tg ϕ cos ϕ cos ϕ + sin ϕ + tg ϕ cos ϕ + tg ϕ + kπ, k Z sin ϕ sin ϕ tg ϕ sin ϕ sin ϕ sin ϕ tg ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ tg ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ.6.6 Megoldás cos ϕ + sin ϕ, cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos + cos ϕ ϕ cos ϕ, 56

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI szeptember 13. 6A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 00. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Az egyes feladatok részkérdéseinek a száma az osztály felkészültségének és teherbírásának megfelelően (a feladat tartalmához igazodva) csökkenthető!

Az egyes feladatok részkérdéseinek a száma az osztály felkészültségének és teherbírásának megfelelően (a feladat tartalmához igazodva) csökkenthető! 1 Az egyes feladatok részkérdéseinek a száma az osztály felkészültségének és teherbírásának megfelelően (a feladat tartalmához igazodva) csökkenthető! Szerkesztette: Huszka Jenő 2 A változat 1. Az ABCDEFGH

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben