Előszó. A zene az érzelem matematikája, a matematika az értelem zenéje Sylvester J.J.

Átírás

1 Előszó A zee az érzelem matematikája, a matematika az értelem zeéje Sylvester J.J. Az Erdélyi Magyar Matematikaversey az es taévbe idult Brassóból, évi többfordulós vádorverseykét, és ma üepli a 8-adik születésapját. Az EMMV évek alatt strukturálódott, itézméyesedett, elérve a Taügymiisztérium hivatalos elismerését is. Így a verseyző diákok által kiérdemelt oklevelek bármely egyetem felvételi potredszerébe beleszámítaak. Ezt eddig csak a Babeş-Bolyai Tudomáyegyetem Matematika és Iformatika Kará alkalmazták. Az EMMV a felkészítés és a matematika körök többletét vállaló taárok számára is hivatalos potokat jelet. Az EMMV fő voulatát számos hozzáépült versey gazdagítja, így a Wildt József-, a Székely Mikó-, a Márto Áro-, a Bolyai Jáos-, a Radó Ferec-, a Neuma Jáos-, a Bekő József verseyek. Ezeket külöböző városok, a lehetőségekhez mérte szervezik. Évekig a Székely Mikó versey fixpotkét működött, így az EMMV a Nemzetközi Magyar Matematikaversey erdélyi válogató verseyévé vált. Az EMMV hazai és emzetközi szerepe idokolttá tette a két írásbeli próba bevezetését. A matematika midamellett, hogy öismereti elmélyülést ad, hozzájárul az Uiverzum törvéyeiek a megismeréséhez. Ami fet, az let, ami kit, az bet koordiáta-redszerébe, szabad akaratáak csillagpályájá évete több mit kétszáz diák méri össze tudását e verseye. Az EMMV egybe kommuikációs fórum a diákokak, és a taárokak a vádorgyűlés szerepét is betölti. Köszöet a Tamási Áro Gimázium vezetőségéek, taári karáak, Székelyudvarhelyek, a támogatókak, a szülőkek, hogy az idé is egy ragos redezvéye vehettük részt. Becze Mihály

2 . FORDULÓ XVIII. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY IX. osztály 4. Határozd meg a p prímszámot, ha tudjuk, hogy p 6 is prímszám! Adrás Szilárd, Kolozsvár. Milye alapú számredszerbe lehet igaz a egyelőség? Lehet-e 008 égyzetszám valamilye alapú számredszerbe? Kovács Béla, Szatmárémeti 3. Háyféleképpe lehet lefedi egy 4 -es táblát 4-es téglalapokkal? Csapó Hajalka, Csíkszereda 4. Az ABCDE ömagát em metsző töröttvoal mide csúcsa illeszkedik egy adott körre. Az ABC, BCD és CDE szögek mid 45 -osak. Bizoyítsd be, hogy AB CD BC DE! *** 5. Az ABCD trapéz AB agyalapjá felveszük egy tetszőleges M potot, melye át meghúzzuk a BD -vel, illetve AC -vel párhuzamos ME és MF egyeeseket ( E ( AD), F BC ). Az EF egyees AC -t és BD -t G -be illetve H -ba metszi. Legye O a trapéz átlóiak metszéspotja és OM CD R. Bizoyítsd be, hogy MFRE GH szakaszt! paralelogramma és az OM felezi a Olosz Ferec, Szatmárémeti 6. a) Igazold, hogy x a x b a b, bármely a, b és x valós számok eseté! b) Oldd meg a x x x 3... x * egyeletet a valós számok halmazába, ahol! Dávid Géza, Székelyudvarhely

3 XVIII. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY. FORDULÓ X. osztály. Oldd meg az 4 4 z x y egyeletet az egész számok halmazába! Farkas Csaba, Kolozsvár. Háyféleképpe lehet kitöltei egy -es táblázatot egész számokkal úgy, hogy az elemek szorzata mide sorba és mide oszlopba 6 vagy 6 legye? *** 3. Egy háromszög mide oldalát egyelő részre osztjuk, és a megfelelő osztópotokat összekötjük (lásd a mellékelt ábrát). Az így keletkezett tábla egyik mezejére egy bábút helyezük és lépések tekitjük, ha a bábút áthelyezzük valamelyik oldalszomszédos háromszögre. Legfeljebb háy lépést tehet meg a bábú, ha mide mezőre csak egyszer léphet, és a bábú kezdeti helyzetét megválaszthatjuk? Csapó Hajalka, Adrás Szilárd 4. Az ABC háromszögbe AB, BC és CA számtai haladváyt alkotak (ebbe a sorredbe). Igazold, hogy a háromszög G súlypotjáak a BC oldalra voatkoztatott szimmetrikusa rajta va a háromszög köré írt körö! Becze Mihály, Brassó 3

4 . FORDULÓ XVIII. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY 5. Az ABC háromszögbe AB 6, AC 7, BC 8, G a háromszög súlypotja és I a háromszögbe beírt kör középpotja. Számítsd ki a BIG háromszög területét! Olosz Ferec, Szatmárémeti 6. Igazold, hogy ha számok, akkor * és x 0, y 0, k,,..., k k k x y valós 3 3 k k k k k x y k! Becze Mihály, Brassó 4

5 XVIII. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY. FORDULÓ XI. és XII. osztály k. Legye E a b7 5, ahol abk,,, ullától külöböző természetes számok. Bizoyítsd be, hogy E akkor és csak akkor osztható * 4 -gyel bármely k, eseté, ha 7a b osztható 4 -gyel! Olosz Ferec, Szatmárémeti. Az AA... A sokszög kerülete 839. Igazold, hogy létezik olya 008 -él kisebb területű háromszög, amelyek a csúcsai a sokszög egymásutái csúcsai! Becze Mihály, Brassó 3. Egy táblára felírjuk az első 008 pozitív természetes szám iverzét. Egy lépésbe letörölük kettőt, a -t és b -t, és helyettük felírjuk az a b ab számot. Az eljárást addig ismételjük, amíg a táblá egy szám marad. Lehet-e ez a 008? Dávid Géza, Székelyudvarhely 4. Határozd meg azokak az M potokak a mértai helyét, amelyekre az MA, MB és MC szakaszokkal derékszögű háromszög szerkeszthető, ha ABC egyelő oldalú háromszög! *** 5. Az ABCD égyszögbe 80 m BAD 30, m ADC 70, m DCB és AB BC. Számítsd ki a BDA mértékét! Adrás Szilárd, Kolozsvár 6. Igazold, hogy mide természetes szám előállítható * a b c d alakba, ahol abcd,,, párokét külöbözők. Dávid Géza, Adrás Szilárd 5

6 . FORDULÓ XVIII. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY IX. osztály. Oldd meg az x x egyeletet a valós számok halmazá, ahol a az a egész részét jelöli. Kacsó Ferec, Marosvásárhely. Tekitsük az A,, 3,..., halmazt, ahol * \ {}. Jelöljük S -el azokak az A -ból kiválasztható háromtagú szigorúa övekvő mértai haladváyokak a számát, amelyekek az álladó háyadosa is egész. Igazold, hogy 4 6 S. Dávid Géza, Székelyudvarhely 3. Legye ABCD egy trapéz, amelybe AB CD, AB a, CD b, O az átlók metszéspotja, E és F a trapéz alapjaiak felezőpotja. Bizoyítsd be, hogy a) ha M egy tetszőleges pot, akkor a b MA MB MC MD 4MO CA DB; a b b) ha az M pot eseté MA MB MC MD 0, akkor M, E és F kollieáris potok. Kacsó Ferec, Marosvásárhely 4. ABC olya háromszög, amelybe az O, I, H potok is háromszöget alkotak (O a háromszög köré írt kör középpotja, I a beírt kör középpotja, H a magasságpot). Legye G és G az ABC illetve OIH háromszög súlypotja. Igazold, hogy OI 3 GG. Olosz Ferec, Szatmárémeti 6

7 XVIII. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY. FORDULÓ. Oldd meg a egyeletet, ahol a X. osztály log x x x az a egész részét jelöli. Kacsó Ferec, Marosvásárhely. Igazold, hogy ha a x b k k k, k,,...,, akkor log (( a b) x ab) log (( a b) x ab)... x x log (( a b) x ab) x 3. Bizoyítsd be, hogy ha z \{} i, z és Becze Mihály, Brassó Im z 0, akkor z z z z 4. z i z i Becze Mihály, Brassó 4. Egy kovex hatszög oldalaira kívül szabályos háromszögeket szerkesztük. Tudva, hogy a háromszögek harmadik, kívül eső csúcsai egy szabályos hatszöget alkotak, igazold, hogy az eredeti hatszög szembefekvő oldalai párhuzamosak és egyelőek! Szabályos-e az eredeti hatszög? Dávid Géza, Székelyudvarhely 7

8 . FORDULÓ XVIII. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY XI. osztály. A P [ X] poliom redelkezik azzal a tulajdosággal, hogy mide * eseté. 5 3 ( ) 5 4 P k k k, k a) Igazold, hogy P ( ) osztható 0 -szal mide b) Számítsd ki P( 3) értékét!. Igazold, hogy ha az AB M ahol, O az -ed redű zérusmárix, akkor * eseté! Mikó Áges, Sepsiszetgyörgy mátrixokra AB BA O, deta B deta B deta B 3. Az A a M ( ). ij k Becze Mihály, Brassó mátrixba a i j, bármely ij,,,, k eseté. A mátrix elemeiből tetszőlegese kiválasztuk k olya számot, amelyek külöböző sorokba és oszlopokba vaak. Jelöljük azokat,,..., -val. Számítsd ki: k a) a det( A ) értékét; b) a lim 4. Az a k i i határértéket. i sorozat tagjaira a, a és ij Logáver Lajos, Nagybáya a a, a. Igazold, hogy a sorozat koverges, és számítsd ki a határértékét. Kacsó Ferec, Marosvásárhely 8

9 XVIII. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY. FORDULÓ XII. osztály. Az f, g:[, ab] [, ab] folytoos függvéyekre f g g f. Igazold, hogy létezik olya x [, ab], amelyre fx ( ) gx ( ) Farkas Csaba, Kolozsvár. Adjál példát öt elemű, kommutatív mooidra tudva azt, hogy a szorzótábla belsejébe a mooid elemei redre -szer, 3 -szor, 3 -szor, 4 -szer illetve 4 -szer szerepelek! Szöllősy György, Máramarossziget 3. Háy megoldása va a x 8xy y egyeletek a) az egész számok halmazába? b) a racioális számok halmazába? Kovács Béla, Szatmárémeti 4. Az x 0 valós számsorozat teljesíti az x x x 3, 0 rekurziót és x. 0 a) Határozd meg a sorozat általáos tagjáak képletét! k b) Számítsd ki a lim x határértéket. k Adrás Szilárd, Kolozsvár 9

10 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK IX. osztály. Ha p osztható 5 -tel, akkor csak a p 5 eset lehetséges és ez jó is, mert prímszám. Ha p em osztható 5 -tel, akkor p 5M k, ahol k {, }, és így maradéka vagy 4, tehát alapjá p -ek az 5 -tel való osztási 4 p -ek az 5 -tel való osztási maradéka. Ez 4 p 6 osztható 5 -tel és mivel a em teljes egyedik hatváy, ebbe az esetbe p 5. 4 p 6 em lehet prímszám. Tehát az egyetle megoldás. Ha x a számredszer alapszáma, akkor az csak 3 -ál agyobb természetes szám lehet, és az adott egyelőség alapjá: 3 3 3x 3 x x 3 x 9x 7x 6 0 x x x 6 0. Ebből következik, hogy az egyetle megfelelő megoldás a 6, tehát 6 -os alapú számredszerbe igaz az adott egyelőség. Vizsgáljuk 008 -at valamilye x alapú számredszerbe. A 3 x 8 y egyeletet kell megoldai a természetes számok halmazába, és a megoldás, ha va, akkor 9 -él agyobb kell legye. A felírt egyelet bal oldala páros, ezért a jobb oldal is páros kell legye, 3 tehát y p, p. Így x 4 p, tehát x is páros. Az x q, q jelöléssel 3 4q p, tehát p is páros. Így p r, ahol 3 r, tehát q r. Mivel a jobb oldal páros és a bal oldal páratla, az egyeletek ics megoldása. Megjegyzés. A szorzat utolsó számjegye (tetszőleges számredszerbe) a 3 3 szorzat utolsó számjegyéből adódik. Ez csak akkor lehet 3 -as, ha a számredszer alapja 6. Elleőrizhető, hogy (6) (6) (6) 0

11 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ 3. A lefedés jobb széle az alábbi ábrák valamelyike lehet Ha a -el jelöljük a 4 -es tábla lefedéseiek számát, akkor a a a, a, a, a és a. Tehát a a a a a a a 3a a 4a 7 a 5a a a 3 a A feltételek alapjá (a mellékelt ábra jelöléseit haszálva) AB CD és BC DE, valamit az AC, BD és CE körívek mértéke 90. Így AD BC és BE CD. Ha az AMB, BMD, DMC és CMA háromszögekbe felírjuk Pitagorász tételét, akkor kapjuk, hogy AB CD AM BM MC MD AM MC BM MD AC DB. Hasoló módo kapjuk, hogy BC DE EC DB AC DB.

12 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK 5. Legye OM EF P, ME AC J és MF BD K OMB ~ORD, tehát OM OR metszési tételéből következik, hogy OB OD tehát ER JO MF vagyis ER MF. Ehhez hasolóa bizoyítjuk, hogy RF OK EM, tehát MFRE paralelogramma. A hasolóság alaptétele, a Thalész tétele és aak fordított tétele segítségével írhatjuk, hogy. OB és a sugársor párhuzamosokkal való OD JM. Így JE OM JM, OR JE EGJ ~ HGO EG GJ () HG GO HFK ~ HGO HF HK () HG HO EJ DO CO FK JK EF OKJ JM OB OA KM -be GJ HK GH JK (3). GO HO EG HF (), (), (3) ból következik, ahoa kapjuk, hogy HG HG EG HF. Az MFRE paralelogramma átlóiak metszéspotja P, tehát EP PF és mivel EG HF, ezért GP EP EG PF HF PH, vagyis P a ( GH ) felezőpotja.

13 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ Megjegyzés. Vázoljuk az EG HF egy másik bizoyítását is. Az ADB és ABC háromszögekbe az átlókkal húzott párhuzamosokra alkalmazzuk Thalész tételét: EA MA ; ED MB EA FC. ED FB FC FB Felvesszük az U BC következik, hogy MA MB potot úgy, hogy UB FC és ie UB FC EA p. UC FB ED q Legye S, T az EU metszéspotja AC illetve BD -vel és legye T TB BD úgy, hogy TD következik ET AB, TU p, ekkor Thalész fordított tételéből q CD és mivel AB CD következik, hogy ET,, U egy egyeese helyezkedek el és így T T és EU AB. Mivel EU AB, a hasolóság alaptétele értelmébe: ES EA UB TU és így ES=TU. Az EFU háromszögbe DC AD BC DC alkalmazzuk Meelaosz tételét előbb a B, T, H majd a C, G, S szelőkre és mivel az UB FC és ES TU, következik, hogy BU CF TE SU és. Így BF CU TU SF hogy EG HF. HF GE, ahoa következik, HE GF 3

14 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK 6. a) x a x b x a bx ( x a) ( bx) a b Egyelőség akkor és csakis akkor va, ha ( x a) és ( b x) azoos előjelűek, vagyis ha az x az a és a b közt va. b) A x a x b b a egyelőtleséget haszáljuk az ( ab, ) {(, ),(, ),...(, )} számpárokra, majd az egyelőtleségek megfelelő oldalait összeadjuk. A bal oldalo az egyeletbe szereplő összeg jeleik meg, a jobb oldalo pedig ( ). Mivel a felhaszált egyelőt- leségbe potosa akkor va egyelőség, ha x az a és a b közt va, a x x x 3 x ( ) x egyelőtleségbe egyelőség csakis akkor állhat fe, ha x[, ]. X. osztály. Egy egész szám egyedik hatváyáak 8 -cal való osztási maradéka 0 vagy, tehát a bal oldal 8 -cal való osztási maradéka 0, vagy. Ha z 0, akkor a bal oldal egész szám, a jobb oldal pedig em, tehát ebbe az esetbe az egyeletek ics megoldása. Ha z 0, akkor a baloldal 4, tehát em lehet egyelő egy olya számmal amelyek a 8 - cal való osztási maradéka 0, vagy. Ha z 0, akkor a (008 z 3) -ak a 8 -cal való osztási maradéka 3, következésképpe em lehet egyelő a jobb oldallal. Tehát az egyelőség em teljesülhet, ha xyz,,.. Készítsük három táblázatot. Egyet, amelybe az elemek szorzata mide sorba és mide oszlopba vagy. Ilye táblázat csak úgy készíthető, ha mide eleme vagy, ami azt jeleti, hogy mide mezőt kétféleképpe lehet kitöltei. Mivel mező va, ezért ilye táblázat darab készíthető. A második táblázat legye olya, amelyek mide sorába és mide oszlopába az elemek szorzata. 4

15 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ Ilye táblázat csak úgy készíthető, ha mide sorba és oszlopba va egy -es és a többi elem -es. Az első sorba a -es elhelyezésére va lehetőség, a másodikba( ) és így tovább az utolsóba, tehát ilye táblázat ( ) ( )...! darab készíthető. A harmadik táblázat ugyaolya mit a második, csak a -es helyett 3 -sal. Ilye is! darab készíthető. A három fajta táblázatból bárhogya is helyezzük egymásra egyet-egyet az egymásra eső mezők elemeit összeszorozva, egy olya táblázatot kapuk, amelybe az elemek szorzata mide sorba és mide oszlopba 6 vagy 6. Ugyaakkor ha egy -es táblázat mide sorába és mide oszlopába az elemek szorzata 6 vagy 6, akkor ehhez a táblázathoz egyértelműe hozzáredelhető az előbbi három típusú táblázat, tehát a kért táblázat!!! -féleképpe tölthető ki. 3. Szíezzük ki a háromszögeket két szíel (fehér és fekete) úgy, hogy bármely két oldalszomszédos háromszögek legye külöböző szíe. Mide lépésbe fehérről feketére vagy feketéről fehérre léphetük, tehát az éritett fekete és fehér mezők számáak külöbsége, 0 vagy. Másrészt a táblá az egyikből potosa darabbal va több, tehát legalább mező kimarad a lépéssorozatból. A mellékelt ábrá látható kígyószerű lépéssorozat alapjá láthatjuk, hogy elérhető az, amikor csak mező marad ki, így tehát a leghosszabb lépéssorozat hossza H ( ). 5

16 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK Természetese más útvoalak is létezek, de midegyikél az egyik csúcsba kell kezdei és valamelyik másikba befejezi a lépéssorozatot. 4. Legye AB c, BC a, CA b így c a b és a b c. A háromszög G súlypotjáak a BC oldalra voatkoztatott szimmetrikusa akkor és csakis akkor va a háromszög köré írt körö, ha m BGC 80 m( A). A BGC-ből az oldalfelezők hosszára voatkozó képlet, a kosziusztétel és a feltétel alapjá a cos( BGC ). Másrészt a kosziusztételből az ABC háromszögbe azt kapjuk, hogy cos( bc a A), tehát bc m BGC 80 m( A). 5. Az ABC háromszögbe AB AC 7AB 6AC AC IG AG AI

17 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ AC 7 Ez azt jeleti, hogy IG AC és IG. Legye BD az 3 ABC háromszög magassága ( D AC ) és legye BD IG E, így BE a BIG háromszög magassága. F -el jelöljük az (AC) felezőpotját. A Hero képlettel kiszámítjuk az ABC háromszög területét: IG AC 5 AC BD T, ahoa 4, következik IG BE 5 T. BIG 6 Megjegyzés. A feladat általáosítható. Ha a szokásos jelöléseket haszáljuk és BD 3 5. Mivel BE BG, ahoa BE 5. Tehát BD BF 3 a c b (c<b<a olya b számtai haladváy, amelybe az álladó külöbség 0 r, hogy a háromszög oldalai között feálljo az egyelőtleség), akkor bc IG AC vagyis az IG párhuzamos az AC-vel és az előzőekhez 3b hasolóa kiszámíthatjuk a BIG háromszög területét az a, b, c függvéyébe: T BIG b ctabc. 9b 7

18 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK 6. Ha, akkor x y x 3 3 y, ami igaz. Ha, akkor a kijeletés a következő alakú x x ( x x ) ( ) y y y y ami átírható a következő alakba ( ) x x y y ( x x ). Ezt y y az egyelőtleséget a következőképpe igazolhatjuk: 3 3 x x ( y y ) y y xy xy xy xy xy xy x x y y y y y y xy xy xy xy xy xy x x x x y y y y y y. Ezt felhaszálva, feltételezzük, hogy az egyelőtleség igaz -re és igazoljuk -re. x x x k 3 k k k k k k y k y y y k k x x y y k k k k x., 8

19 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ XI. és XII. osztály. E potosa akkor osztható 4 -gyel, ha 77E is osztható 4 -gyel. k 77 E 7 a b7 385 k 7 a b b 7 a Az 5 4 kifejtésébe (Newto-féle biomképlet) az utolsó tag kivételével mide tag osztható 4 -gyel, tehát k Hasolóa k írhatjuk: k 4 4, ahol k * k, k. Ezek alapjá 77 E 7 a 4 k b 4 k (6 4 ) 7 ak bk 6 4 (7 a b), 7 ak bk 6 és (7 ) ahol * * a b. Tehát 77E (és így E is) akkor és csak akkor osztható 4 -gyel, ha 7a b osztható 4 -gyel.. Az AA szakasz hosszát jelölje k k ( a 008 A 008 A em létezik. Így a, k {,,...,008} k ). Feltételezzük, hogy a kívát tulajdoságú háromszög a k a k aa aa si( AA A ). k k k k k k k 008 a a k k Ez alapjá írhatjuk, hogy 839 K Másrészt, 44..., 44, tehát elletmodáshoz 008 jutuk. Így létezik a kért tulajdoságú háromszög. 9 k

20 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK 3. Mivel a b ab a b, ha a táblára írt számokhoz egyet hozzáaduk és az így kapott számokat összeszorozzuk, a szorzat értéke ivariás. Ez a szorzat kezdetbe , tehát akármilye sorredbe cseréljük a számokat, a végé midig marad. 4. Ha az ABC háromszög oldalhossza a, akkor a BC -t Ox tegelyek választva és a felezőpotját origóak, írhatjuk, hogy 3 MA x y a és MB x a y MC x a y. 0

21 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ Így az MA MB MC egyelőség ekvivales az x y a 3 4a összefüggéssel. Ez viszot a D középpotú DB sugarú kör egyelete, ahol D az A -ak a BC -re voatkozó szimmetrikusa. Hasoló módo az MB MA MC és MC MB MA egyelőségekből további két kört kapuk, amelyekek középpotja a B -ek illetve C -ek a szembefekvő oldalra voatkozó szimmetrikusa és sugara a, tehát a mértai hely a három kör egyesítése. m MBC Vegyük fel a DC oldalo az M potot úgy Mivel m DCB 80, az MBC háromszög egyelő szárú, tehát BM BC. Az ABM háromszögbe AB BM és m MBA, tehát ez a háromszög egyelő oldalú. De így m MAD, tehát az ADM háromszög is egyelő szárú. Így AM MD, tehát MD BM. De m AMD és ez alapjá tehát m BDA m MDB 40,

22 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK 6. A sajátos esetek vizsgálata sorá eljuthatuk a következő azoosságokhoz: 4 5 6, , tehát a páratla számok és a 4 alakú számok előállíthatók a kívát alakba. Másrészt, ha m előállítható, akkor 4m is előállítható (mert mid a égy számot szorozzuk -vel), tehát így az felírás és a feti két azoosság alapjá tetszőleges, 0 -tól külöböző, 4 -gyel osztható szám is előállítható a kért alakba. A előállítás mutatja, hogy 0 eseté is létezik a kért előállítás, ezért a bizoyítás teljes. Megjegyzés. Az azoosság alapjá is belátható a 4 többszöröseire voatkozó rész.

23 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ IX. osztály x. Ha k, akkor 008k x k. Másrészt az x k 008 egyelőségből k 008 x k 009, tehát x 008 k, 008k k 008, k 009. Ez a metszet üres, ha vagy ha 008 k k 008, k k 0, k k k, k k, k. Ez azt jeleti, hogy csak a k eset lehetséges, és ebbe az esetbe x 008, , 00. Tehát a megoldás x 009,00.. A feltételek alapjá az álladó háyados a {, 3, 4,..., } halmazba kell legye. Olya mértai haladváy, amelyek a háyadosa -vel egyelő választható ki, olya amelyek a háyadosa 3 -mal egyelő 3 és így tovább. Tehát S... 3 és így azt kell igazoli, hogy Felhaszálva az egészrész értelmezését, azt kapjuk, hogy S

24 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK ( ) ( ) Hasolóa kapjuk, hogy S ( ) 3. a) MA MB MC MD MO OA MO OB MO OC MO OD 4MO OA OC OB OD () Az AOB és COD háromszögek hasolósága alapjá OA a OA a OC b OA OC a b, OA OC a b a OA CA, OC OC b a b a b Hasolóképpe OB DB, OD DB, tehát a b a b a b OA OC CA és a b a b OB OD DB () a b ()-ből és ()-ből következik a bizoyítadó összefüggés. 4 b CA. a b 4 6.

25 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ b) Az () összefüggés alapjá MA MB MC MD 4MO OA OB OC OD OA OB OE, OC OD OF, tehát MA MB MC MD OE OF 4 MO,, ahol ezért ha MA MB MC MD 0, akkor ie következik, hogy OE OF OM. Másrészt az OEF,, potok kollieárisak, ezért következik, hogy MEF,, is kollieáris potok, éspedig M trapéz súlypotja). G az EF felezőpotja (a 4. Felírjuk az OIH háromszög súlypotjáak helyzetvektorát: OO OH OI OH OI OG 3 3 és felhaszáljuk az Euler-egyeese érvéyes OH 3 OG összefüggést. Így az 3 OG OG OI OG OI 3 3 OI OI Egyelőséghez jutuk, ahoa OG OG, tehát GG, 3 3 amiből következik, hogy OI 3 GG és OI GG. 5

26 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK X. osztály. A logaritmus létezéséhez szükséges az x 0 egyelőtleség, és a bal oldal pozitivitása miatt a megoldások teljesítik az x x 0 egyelőtleséget is. Így x. Ha log x k, akkor k és k 0 valamit Az x k x k x k k log. () x k 0 egyelet gyökei közül csak a pozitív gyök felel meg, k tehát x és ez a gyök teljesíti az () összefüggést. A k k k egyelőtleségredszer megoldásából és a k, k 0 feltételekből azt kapjuk, hogy k 0 vagy k. Így az eredeti egyelet megoldásai. Ha x a, b k k k x 5 és x. a b x ab x, ahoa azt kapjuk,, akkor k k k k k k hogy log a bx ab log x k k k k k xx ciklikus ciklikus. log x log x ciklikus x x ciklikus 3. Legye z x iy, aholx y és y 0. z z Számolással igazolható, hogy z i és z z zi, tehát a bizoyítadó egyelőség igaz ( 4). 6

27 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ 4. Helyezzük a hatszöget a komplex számsíkra. Legyeek a csúcsok affixumai az abcdef,,,,, komplex számok (trigoometrikus iráyba a 3 csúcsok ABCDEF ). Legye i. Az -al való szorzás egy pozitív iráyú 60 -os forgatást jelet. A hatszög AB oldalára írt háromszög csúcsa legye A, a BC oldalára írt hatszög csúcsa B és így tovább. Ekkor azt kapjuk, hogy a b ( a b), b c ( b c), c d ( c d) stb. Ha az ABC DE F hatszög szabályos és a középpotját választjuk origóak, akkor A -et az origó körül 60 -kal elforgatva B -et kapuk és így tovább. Tehát b a, c b és így tovább. Ie kapjuk, hogy cc ( a b) és d d ( b c). Az -t kiküszöbölve azt kapjuk, hogy d b ( c b) ez pedig azt jeleti, hogy AD és BC párhuzamosak és BC az AD fele. Ugyaígy felírva a többi csúcsokra is az összefüggéseket, azt kapjuk, hogy a külső hatszög szabályosságáak szükséges és elégséges feltétele az, hogy az eredeti hatszög szembe fekvő oldalai egyelők és párhuzamosak legyeek, ami em azt jeleti, hogy a hatszög szabályos kell legye. 7

28 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK. a) Köye elleőrizhető, hogy XI. osztály 5 3 k k k k k k k k 5 4, azaz öt egymás utái egész szám szorzata, amely osztható 5! 0 -szal (a számok közt va egy, amely osztható 5 -tel, legalább egy, amely osztható 3 -mal és két páros szám, amelyek közül az egyik 4 -gyel is osztható, tehát a számok szorzata osztható szal, vagy 5 ( k)( k) kk ( )( k) egyszerűe Ck ). 0 b) A P ( ) kk kk k k, mide * eseté, feltételből következik, hogy P() P() 0, P(3) 5! 0, P(4) 5! 6! 75!, P(5) Úgy tűik, hogy érvéyes a P ( ) 3 6 összefüggés (,, 3, 4, 5 eseté biztosa igaz). Ezt a matematikai idukció módszerével igazoljuk. P ( ) P ( ) ( ) ( )( )( 3) ( ) ( )( )( 3)( 4), 6 tehát a matematikai idukció elve alapjá * P ( ) 3, bármely eseté. 6 Ez az egyetle poliom, amely teljesíti az adott feltételt, mert ha lee még egy Q poliom is, akkor a két poliom helyettesítési értéke 8

29 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ végtele sok potba (mide természetes számra) azoos lee, és így a két poliom is azoos vola. A poliom képlete szerit P( 3) ( 5)( 4)( 3)( )( ) Megjegyzések. i. Ha * P( ) k pk p... kk k...( k p),, akkor k P( ) ( p)( p)...( ) ( )...( p)( p), ( p ) ahol * p ii. Írhatjuk, hogy P ( ) C k C C k 3 k C, 3 tehát k k 3 6 P ( ) 0 C. 3 6 Ez alapjá következik, hogy x 3x x xx x Px ( ), x. 6. Az AB BA O egyelőség alapjá AB A AB BAB A B, és A B A AB BA B A B, ahoa detab deta B és deta B deta B tehát, deta B deta B deta B. 9

30 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK 3. a) A feltételek alapjá k 0... k 0... k 3 A k 4. k k k 3 k A mátrix második sorát kivova a harmadikból, majd az elsőt kivova a másodikból (vagy általába akármelyik sort kivova a rákövetkezőből) olya sorokat kapuk, amelyekek mide eleme -gyel egyelő. Így a mátrix determiása ulla mide k 3 természetes szám esetébe. k eseté a determiás 0 és k eseté. b) A kiválasztott számok összege ulla: k i a a... a j j... k j i j j kj k k (... k) (... k) 0. A határérték kiszámításához a következő lépések vezetek: k k lim lim 0 i i i i i i k k lim i i i i i k lim i i i k... i k lim. i i i 30

31 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ 4. Az a b, sorozat általáos tagja felírható az a alakba, ahol b és b b b. Az így értelmezett b sorozatra b b b b ahoa b b 4, vagy 3 4. Az utóbbi össze- függés alapjá azoal következik, hogy a b b, b sorozat koverges és határértéke 3, ami azt mutatja, hogy az a és határértéke 8. sorozat is koverges Megjegyzés. A rekurzió logaritmálása utá látható, hogy az x l a sorozat számtai haladváy. XII. osztály. Feltételezzük, hogy fx ( ) gx ( ), x [,] ab. Mivel f és g folytoosak, az f g függvéy is az, és ráadásul előjeltartó (feltételezhetjük, hogy ( f g)( x) 0, x [,] ab ). Ha m mi fx ( ) gx ( ), akkor írhatjuk, hogy fx ( ) gx ( ) m, x[ ab, ] x [, ab]. Ha x helyett fx ( )-et helyettesítük, akkor azt kapjuk, hogy ffx ( ( )) gfx ( ( )) m, x [, ab]. De gfx ( ( )) fgx ( ( )) és az fx ( ) gx ( ) m egyelőtleségbe x helyett gx ( )-et helyettesítve kapjuk, hogy fgx ( ( )) ggx ( ( )) m, tehát 3

32 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK f( fx ( )) ggx ( ( )) m, x [, ab]. A matematikai idukció módszerével igazolhatjuk, hogy De létezik olya f( f... f( x)) gg (... g( x)) m, x [, ab]. *, amelyre m b a és így az előbbi egyelőtleség em lehetséges, mert f( f... f( x)) [ ab, ] és gg (... g( x)) [ ab, ]. A kapott elletmodásból következik a feladat állítása.. Jelöljük e -vel a semleges elemet. Miutá kitöltjük a művelettábla első sorát és első oszlopát (ezek tartozak a semleges elemhez) láthatható, hogy biztosa e lesz az -szer szereplő elem (mide más elem legalább kétszer fordul elő). A két darab 3 -szor előforduló elemet jelöljük a -val és b -vel, a másik kettőt c -vel és d -vel. Az a és a b még egyszer kell szerepelje a főátló, a c és d közül az egyik kétszer a táblázatba és az összes többi helye a másik elem. Kevés kísérletezéssel rájöhetük, hogy a következő művelettábla megfelel: e a b c d e e a b c d a a a d d d b b d b c d c c d c d d d d d d d d Ebbe a táblázatba az { xyz,, } { ecd,, } eseté az x( yz) ( xy) z egyelőség teljesül, ellekező esetbe alig egy pár esetet kell megvizsgáli aak belátásához, hogy az x( yz) ( xy) z egyelőség tetszőleges xyz,, eseté igaz legye. 3

33 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ Az előbbi művelettábla egy olya mooidhoz tartozik, amely izomorf az M, 4, 6, 9, 0 halmazo a szorzás által meghatározott mooiddal (és ebbe az asszociativitást em kell elleőrizi). 3. a) Az egyeletet x y y 3 alakba írhatjuk. Mivel egy teljes égyzetek a 3 -mal való osztási maradéka 0 vagy, az egyeletek az egész számok halmazába em lehet megoldása. b) Az x y u és 3y v jelölésekkel az u v egyelethez jutuk, amelyek már végtele sok megoldása va az egész számok halmazá, hisz és Newto biomiális tétele alapjá létezik olya a, b, amelyre a b, a b. Így u a és v b b eseté u v. Ugyaakkor b y és x a, tehát ha 3 3 a, b, akkor xy, és így az egyeletek végtele sok racioális megoldása va. Megjegyzés. A feladat gyakorlatilag a x y y 3 egyeletű hiperbola racioális koordiátájú potjaira voatkozik. Az előbbi megoldás em adja meg az összes lehetséges megoldás alakját. Ha a megoldások alakjára vagyuk kívácsiak, akkor a következő geometriai eljárást érdemes választai. Választuk egy tetszőleges racioális koordiátájú potot a hiperboláról (például u v ) és tekitjük azokat a racioális iráytéyezőjű egyeeseket amelyek eze a poto áthaladak. Csak az ilye egyeesek tartalmazhatják a racioális koordiátájú potokat. Ha az egyees iráyvektora v (,) ab, ab,, akkor az egyelete 33

34 . FORDULÓ MEGOLDÁSOK u v. a b Ie u a és v b, tehát visszahelyettesítve az egyeletbe kapjuk, hogy b a a b. a b ab a b 4ab Ebből következik, hogy u és v a b a b és így az eredeti egyelet összes megoldásáak parametrikus alakját az v v x u, y egyelőségekből kapjuk. Potosabba 3 3 0a 5b 4ab a b 4ab u és v, 3 a b 3 a b ahol ab,. 4. a) Kiszámítjuk a sorozat első éháy tagját. Így a következő eredméyekhez jutuk: x 0, x, x, x, x, x. A páros idexű tagokba a számláló és a evező külöbsége 6 37 és köztük az idex égyzete va, tehát ezekre a tagokra az x összefüggés teljesül. Látható, hogy ez igaz a páratla idexű tagokra is (csak a -vel való egyszerűsítés miatt ehezebbe vehető észre). Matematikai idukcióval igazoljuk, hogy x, 0. 34

35 MEGOLDÁSOK. FORDULÓ k k b) Az előbbiek alapjá lim x lim. Másrészt k k l x lim, tehát bármely 0 eseté létezik 0 úgy, x0 x hogy l x, ha x. Ugyaakkor létezik x k olya (), amelyre 0, bármely k l k k {,, 3..., } eseté. Így, tehát k l P lim. Másrészt k tehát k lim l P k k ( ) lim k lim, és így a keresett határérték e. 35

36 A RÉSZT VEVŐ DIÁKOK NÉVSORA 9. osztály Aczél Adrea Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Balázs Norbert Mihály Aray Jáos Főgimázium Nagyszalota Bara Ádám Tibor Aray Jáos Főgimázium Nagyszalota Bartalis Szilárd Salamo Erő Gimázium Gyergyószetmiklós Bartos Júlia Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Beedek Aabella Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Bokor Ábel Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Bodici László Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Borsos Gergő Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Borsos Zalá Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Buta Bálit Baczkamadarasi Kis Gergely Székelyudvarhely Református Kollégium Csiszér Áges Márto Áro Gimázium Csíkszereda Dávid Erika Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Demeter Török Bálit Orbá Balázs Gimázium Székelykeresztúr Fazekas Norbert Mihai Emiescu Főgimázium Nagyvárad Fehér Áro Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Fodor Ferec Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Forró Timea Nagy Mózes Líceum Kézdivásárhely Grecu Marius Iusti Márto Áro Gimázium Csíkszereda Héjja Rudolf Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Hevele Balázs Orbá Balázs Gimázium Székelykeresztúr Hodgyai László Márto Áro Gimázium Csíkszereda Huszár Gellért Salamo Erő Gimázium Gyergyószetmiklós Illyés Attila Márto Áro Gimázium Csíkszereda Jakab Péter Kiga Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Keleme Réka Márto Áro Gimázium Csíkszereda Kerekes József Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Kovács Zoltá Beedek Elek Taítóképző Székelyudvarhely Kulik Árpád Németh László Elméleti Liceum Nagybáya 36

37 A RÉSZT VEVŐ DIÁKOK NÉVSORA Lőriczi Ábel Mikes Keleme Főgimázium Sepsiszetgyörgy Mátyás Ádám Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Miklós Melida Nagy Mózes Líceum Kézdivásárhely Milich Adrea Csiki Gergely Líceum Arad Nagy Zoltá Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Neubauer Helga Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Oláh Beradett Ady Edre Elméleti Líceum Nagyvárad Orbá M. Szabolcs Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Pasztor Timea Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Rab Sarolta Eikő Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Sádor Péter Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Setes Zsombor Nagy Mózes Líceum Kézdivásárhely Spir Aita Csiki Gergely Líceum Arad Suciu Reáta Ady Edre Elméleti Líceum Nagyvárad Szabó Eikő Baróti Szabó Dávid Barót Iskolacsoport Szabó Lilla Mikes Keleme Főgimázium Sepsiszetgyörgy Takács Petra Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Tempfli Arold Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Tikosi Kiga Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Vajda Szabolcs Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Várady Csogor Németh László Elméleti Liceum Nagybáya Várhelyi Melida Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Vass Balázs Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Zaláyi Rezső Németh László Elméleti Liceum Nagybáya Zsögö Csilla Nagy Mózes Líceum Kézdivásárhely 37

38 A RÉSZT VEVŐ DIÁKOK NÉVSORA 0. osztály Bedő Aita Márto Áro Gimázium Csíkszereda Bele Mihály Csiki Gergely Líceum Arad Bece Boglárka Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Beedek Elek Zalá Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Bodó Emőke Márto Áro Gimázium Csíkszereda Bodor Kiga Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Bodor Zoltá Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Boros Zoltá Csiki Gergely Líceum Arad Bratescu Adrei Brassai Sámuel Líceum Kolozsvár Brudasca Reáta Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Buslig Szabolcs Márto Áro Gimázium Csíkszereda Domokos Ilka Áprily Lajos Líceum Brassó Farkas Áges Orbá Balázs Gimázium Székelykeresztúr Fülöp Aamária Márto Áro Gimázium Csíkszereda Gecsi Márta Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Gurza László Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Hadagy Kiga Csiki Gergely Líceum Arad Hevele istvá Orbá Balázs Gimázium Székelykeresztúr Ilyés Beatrix Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Jakab Lilla Octavi Goga Főgimázium Margita Jáos Csogor Márto Áro Gimázium Csíkszereda Kakucs Szede Baróti Szabó Dávid Iskolacsoport Barót Kállai Brigitta Silvaia Fógimázium Zilah Kassay Farkas Ákos Uitárius Kollégium Kolozsvár Kecseti Huor Salamo Erő Gimázium Gyergyószetmiklós Király Amália Silvaia Fógimázium Zilah Kolumbá József Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Koert Raimud Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Kovács Eikő Áprily Lajos Líceum Brassó 38

39 A RÉSZT VEVŐ DIÁKOK NÉVSORA Kovács-Krausz Zoltá Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Kővári Szabolcs Petőfi Sádor Elméleti Líceum Székelyhíd Lieb Helga Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Lőricz Timea Áprily Lajos Líceum Brassó Madár Istvá Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Madici Szilárd Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Módis László Németh László Elméleti Liceum Nagybáya Nagy Orsolya Petru Maior Líceum Szászrége Nagy Sádor Apáczai Csere Jáos Líceum Kolozsvár Nagy Zsolt Istvá Apáczai Csere Jáos Líceum Kolozsvár Nemes Kiga Bartók Béla Elméleti Líceum Temesvár Pál Levete Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Péterfi Zsuzsáa Silvaia Főgimázium Zilah Polcz Péter Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Sasu Róbert Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Sebestyé Balázs Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Simo Erika Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Sipos Lehel Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Sütő Szabolcs Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Szabó Áges Nagy Mózes Líceum Kézdivásárhely Szakács Csilla Baczkamadarasi Kis Gergely Székelyudvarhely Református Kollégium Szallós-Kis Orsolya Beedek Elek Taítóképző Székelyudvarhely Székely Noémi Petru Maior Líceum Szászrége Szőke Árpád Ferec Octavi Goga Főgimázium Margita Szőke Katali Márto Áro Gimázium Csíkszereda Taa Huor Áprily Lajos Líceum Brassó Török Tamás Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Zogor Rebeka Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely 39

40 A RÉSZT VEVŐ DIÁKOK NÉVSORA. osztály Ábrahám Timea Ady Edre Elméleti Líceum Nagyvárad Akácsos Tibor Baróti Szabó Dávid Iskolacsoport Barót Bajóczi Tamás Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Báházi Botod László Octavi Goga Főgimázium Margita Biró Emese Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Biró Zsolt Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Borbáth Áro Áprily Lajos Líceum Brassó Borbáth Tamás Áprily Lajos Líceum Brassó Csutak Katali Márto Áro Gimázium Csíkszereda Ecsedi Rolad Károly Octavi Goga Főgimázium Margita Gurzó Adrás Salamo Erő Gimázium Gyergyószetmiklós Debrecei Iloa Mihai Emiescu Főgimázium Nagyvárad Hodgyai Zoltá Márto Áro Gimázium Csíkszereda Illyés Ágota Márto Áro Gimázium Csíkszereda Károly Réka Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Keresztély Eikő Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Kilyé Attila Őrs Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Kiczel Lajos Rolad Petru Maior Líceum Szászrége Kisfaludi Bak Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Zsombor Kiss Botod Brassai Sámuel Líceum Kolozsvár Kiss Kálmá Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Kolcsár Kálmá Imre Salamo Erő Gimázium Gyergyószetmiklós Kocz Tamás Orbá Balázs Gimázium Székelykeresztúr Kovács Zsolt Péter Salamo Erő Gimázium Gyergyószetmiklós Kulcsár Johaa Ady Edre Elméleti Líceum Nagyvárad Laczkó Timea- Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Magdola László Alma Silvaia Főgimázium Zilah Lázár Eikő Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely 40

41 A RÉSZT VEVŐ DIÁKOK NÉVSORA Lestyá Erika Nagy Mózes Líceum Kézdivásárhely Maksay Dorottya Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Mataie Ábel Csiki Gergely Líceum Arad Mátyás Helga Orbá Balázs Gimázium Székelykeresztúr Melega Rolf Leövey Klára Elméleti Liceum Máramarossziget Mihály Kiga Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Nagy Levete Mihai Emiescu Főgimázium Nagyvárad Nagy Tímea Márto Áro Gimázium Csíkszereda Padrah Istvá Leövey Klára Elméleti Liceum Máramarossziget Papp Igrid Ady Edre Elméleti Líceum Nagyvárad Portik Bakai Ervi Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Portik Dáiel Petru Maior Líceum Szászrége Ragyák Eszter Márto Áro Gimázium Csíkszereda Simo Levete Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Sükösd Huor Márto Áro Gimázium Csíkszereda Szabó Péter Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Szász Zsigmod Áprily Lajos Líceum Brassó Szatmári Bara Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Székely Timea Áprily Lajos Líceum Brassó Szerző Péter Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Tóth Miklós Bartók Béla Elméleti Líceum Temesvár Tóth Orsolya Ady Edre Elméleti Líceum Nagyvárad Visky Mária Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Wekerle Tibor Jáos Zsigmod Uitárius Kollégium Kolozsvár 4

42 A RÉSZT VEVŐ DIÁKOK NÉVSORA. osztály Baló Istvá Baróti Szabó Dávid Iskolacsoport Barót Barta Róbert Csiki Gergely Líceum Arad Bee Zoltá Nagy Mózes Líceum Kézdivásárhely Berecki Beáta Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Bíró Csogor Salamo Erő Gimázium Gyergyószetmiklós Biró Lehel József Orbá Balázs Gimázium Székelykeresztúr Bokor Kálmá Nagy Mózes Líceum Kézdivásárhely Dávid Tamás Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Dobribá Edgár Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Dorer Boglárka Márto Áro Gimázium Csíkszereda Fecske Nádor Márto Áro Gimázium Csíkszereda Ferecz Edre Kölcsey Ferec Főgimázium Szatmárémeti Kalló-Jakucz Aa Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Kátor Lajos Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Keresztúri Móika Ady Edre Elméleti Líceum Nagyvárad Kertész Lórád Tamás Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Kisfaludi Bak Zoltá Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Nagy Katali Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Ördög Dorottya Bartók Béla Elméleti Líceum Temesvár Réti Zekő Zsuzsaa Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Rill Robert Adria Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Sádor Bulcsú Orbá Balázs Gimázium Székelykeresztúr Sádor Izabella Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Szekovits Áges Eikő Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Szekovits Aamária Báthory Istvá Líceum Kolozsvár Szőke Adrea Csiki Gergely Líceum Arad Takó Istvá Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely Terkál Róbert Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Tófalvi Lehel Székely Mikó Kollégium Sepsiszetgyörgy Tóth Helga Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely Zsombori Attila Tamási Áro Gimázium Székelyudvarhely 4

43 A RÉSZT VEVŐ TANÁROK NÉVSORA A részt vevő taárok évsora Adrás Ibolya Balázs Vilmos Biró Judit Bíró Zoltá Csurulya Edit Deák Imre Deák Zsuzsaa Egyed Géza Gáspár Mária Hatházi Aamária Horváth Éva Kacsó Ferec Kiczel Lajos Kiss Gyula Kovács Béla Kovács Lajos Kulcsár Iloa Mátéfi Istvá Mészár Juliaa Mikó Áges Nagy Zoltá Nemes Adrás Oláh-Ilkei Árpád Olosz Ferec Páll Olga Péter Adrás Péterfi Margit Sebestyé József Szász Pál Tamási Áro Gimázium Tamási Áro Gimázium Székely Mikó Kollégium Salamo Erő Gimázium Székely Mikó Kollégium Tamási Áro Gimázium Tamási Áro Gimázium Nagy Mózes Nagy Mózes Báthory Istvá Elméleti Líceum Bolyai Farkas Elméleti Líceum Bolyai Farkas Elméleti Líceum Petru Maior Líceum Silvaia Főgimázium Kölcsey Ferec Főgimázium Tamási Áro Gimázium Orbá Balázs Gimázium Bolyai Farkas Elméleti Líceum Aray Jáos Főgimázium Mikes Keleme Főgimázium Ady Edre Líceum Bartók Béla Elméleti Líceum Baróti Szabó Dávid Iskolacsoport Kölcsey Ferec Főgimázium Márto Áro Gimázium Csiki Gergely Líceum Tamási Áro Gimázium Orbá Balázs Gimázium Octavia Goga Főgimazium 43

44 A RÉSZT VEVŐ TANÁROK NÉVSORA Szilágyi Ferec Takács Attila Tamási Csaba Vadra Mária Váyi Emese Zákáy Móika Salamo Erő Gimázium Leövey Klára Elméleti Líceum Márto Áro Gimázium Áprily Lajos Líceum Kölcsey Ferec Főgimázium Németh László Elméleti Líceum Meghívottak Matekovics Mihály, a taügyi és kutatási tárca emzeti kisebbségek oktatásáért felelős vezérigazgatója Buta Levete, Hargita Megyei Taács elöke Szász Jeő, Székelyudvarhely polgármestere Bodor Istvá, Hargita megyei főtafelügyelő Hodgyai László, matematika szakos tafelügyelő, Hargita Megye Dáé Károly, igazgató, Editura Didactică şi Pedagogică 44

45 DÍJAZOTTAK IX. OSZTÁLY Díjazottak IX. osztály. Borsos Zalá Bolyai Farkas Elméleti Líceum 99 I. díj. Bodici László Kölcsey Ferec Főgimázium 7 I. díj 3. Tikosi Kiga Tamási Áro Gimázium 69 I. díj 4. Beedek Aabella Bolyai Farkas Elméleti Líceum 66 II. díj 5. Vass Balázs Tamási Áro Gimázium 6 II. díj 6. Lőriczi Ábel Mikes Keleme Főgimázium 56 III. díj 7. Fehér Áro Bolyai Farkas Elméleti Líceum 55 III. díj 8. László Alma Silvaia Főgimázium 5 Dicséret 9. Vajda Szabolcs Báthory Istvá Líceum 5 Dicséret 0. Takács Petra Mikes Keleme Főgimázium 50 Dicséret. Csiszér Áges Márto Áro Gimázium 49 Dicséret. Nagy Zoltá Tamási Áro Gimázium 47 Dicséret 3. Fazekas Norbert Mihai Emiescu Főgimázium 45 Dicséret 4. Rab Sarolta Eikő Székely Mikó Kollégium 45 Dicséret 5. Várhelyi Melida Báthory Istvá Líceum 45 Dicséret 6. Pasztor Timea Tamási Áro Gimázium 43 Dicséret 7. Bartos Júlia Bolyai Farkas Elméleti Líceum 4 Dicséret 8. Spir Aita Csiki Gergely Líceum 4 Dicséret 9. Illyés Attila Márto Áro Gimázium 39 Dicséret 0. Hevele Balázs Márto Áro Gimázium 38 Dicséret. Huszár Gellért Salamo Erő Gimázium 38 Dicséret. Kerekes József Báthory Istvá Líceum 38 Dicséret 3. Bartalis Szilárd Salamo Erő Gimázium 36 Dicséret 4. Grecu Marius Iusti Orbá Balázs Gimázium 36 Dicséret 5. Setes Zsombor Nagy Mózes Líceum 36 Dicséret 6. Zsögö Csilla Nagy Mózes Líceum 36 Dicséret 7. Tempfli Arold Kölcsey Ferec Főgimázium 35 Dicséret 8. Szabó Eikő Baróti Szabó Dávid Iskolacsoport 34 Dicséret Megjegyzés. A voal fölötti díjazottak képviselik Erdélyt a XVII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseye, 008. március 5-9 között Kassá. 45

46 X. OSZTÁLY DÍJAZOTTAK X. osztály. Módis László Németh László Elméleti Liceum 50 I. díj. Farkas Áges Orbá Balázs Gimázium 46,5 I. díj 3. Gecsi Márta Tamási Áro Gimázium 36 II. díj 4. Kovács-Krausz Zoltá Báthory Istvá Líceum 35 II. díj 5. Sipos Lehel Székely Mikó Kollégium 33,5 II. díj 6. Hevele Istvá Orbá Balázs Gimázium 3 III. díj 7. Simo Erika Kölcsey Ferec Főgimázium 3 III. díj 8. Boros Zoltá Csiki Gergely Líceum 30 Dicséret 9. Buslig Szabolcs Márto Áro Gimázium 30 Dicséret 0. Szabó Áges Nagy Mózes Líceum 30 Dicséret. Kolumbá József Báthory Istvá Líceum 9 Dicséret. Sebestyé Balázs Báthory Istvá Líceum 9 Dicséret 3. Bedő Aita Márto Áro Gimázium 8 Dicséret 4. Gurza László Bolyai Farkas Elméleti Líceum 6 Dicséret 5. Sasu Róbert Székely Mikó Kollégium 6 Dicséret 6. Bodor Zoltá Kölcsey Ferec Főgimázium 5 Dicséret 7. Pál Levete Tamási Áro Gimázium 5 Dicséret 8. Brudasca Reáta Báthory Istvá Líceum 4,5 Dicséret 9. Péterfi Zsuzsáa Silvaia Főgimázium 4 Dicséret 0. Polcz Péter Kölcsey Ferec Főgimázium 4 Dicséret. Jakab Lilla Octavi Goga Főgimázium 3,5 Dicséret. Madici Szilárd Kölcsey Ferec Főgimázium 3 Dicséret 3. Kállai Brigitta Silvaia Fógimázium,5 Dicséret 4. Szallós-Kis Orsolya Beedek Elek Taítóképző Dicséret 46

47 DÍJAZOTTAK XI. OSZTÁLY XI. osztály. Szerző Péter Székely Mikó Kollégium 67 I. díj. Lestyá Erika Nagy Mózes Líceum 55,5 II. díj 3. Illyés Ágota Márto Áro Gimázium 5,5 II. díj 4. Kisfaludi Bak Székely Mikó Kollégium 50 II. díj Zsombor 5. Biró Emese Tamási Áro Gimázium 47 III. díj 6. Bajóczi Tamás Bolyai Farkas Elméleti Líceum 45,5 III. díj 7. Károly Réka Bolyai Farkas Elméleti Líceum 45,5 III. díj 8. Ragyák Eszter Márto Áro Gimázium 44 Dicséret 9. Szabó Péter Robert Bolyai Farkas Elméleti Líceum 44 Dicséret 0. Szatmári Bara Bolyai Farkas Elméleti Líceum 43,5 Dicséret. Báházi Botod László Octavi Goga Főgimázium 43 Dicséret. Simo Levete Székely Mikó Kollégium 4,5 Dicséret 3. Keresztély Eikő Tamási Áro Gimázium 4 Dicséret 4. Kovács Zsolt Péter Salamo Erő Gimázium 4 Dicséret 5. Kilyé Attila Őrs Székely Mikó Kollégium 40 Dicséret 6. Nagy Tímea Márto Áro Gimázium 40 Dicséret 7. Visky Mária Báthory Istvá Líceum 40 Dicséret 8. Biró Zsolt Tamási Áro Gimázium 39,5 Dicséret 9. Hodgyai Zoltá Márto Áro Gimázium 38 Dicséret 0. Maksay Dorottya Kölcsey Ferec Főgimázium 34,5 Dicséret. Mataie Ábel Csiki Gergely Líceum 34,5 Dicséret. Szasz Zsigmod Áprily Lajos Líceum 34,5 Dicséret 3. Ecsedi Rolad Octavi Goga Főgimázium 33,5 Dicséret Károly 4. Kocz Tamás Orbá Balázs Gimázium 33,5 Dicséret 5. Borbath Aro Áprily Lajos Líceum 33 Dicséret 6. Mátyás Helga Orbá Balázs Gimázium 3 Dicséret 47

48 XII. OSZTÁLY DÍJAZOTTAK XII. osztály. Ferecz Edre Kölcsey Ferec Főgimázium 66 I. díj. Kátor Lajos Bolyai Farkas Elméleti Líceum 49,5 II. díj 3. Terkál Róbert Bolyai Farkas Elméleti Líceum 46 II. díj 4. Bíró Csogor Salamo Erő Gimázium 43 III. díj 5. Kisfaludi Bak Zoltá Székely Mikó Kollégium 43 III. díj 6. Sádor Bulcsú Orbá Balázs Gimázium 39,5 Dicséret 7. Takó Istvá 38 Dicséret 8. Biró Lehel József Orbá Balázs Gimázium 35 Dicséret 9. Dávid Tamás Tamási Áro Gimázium 34,5 Dicséret 0. Rill Robert Székely Mikó Kollégium 33 Dicséret Adria. Baló Istvá Baróti Szabó Dávid 3 Dicséret Iskolacsoport. Kertész Lórád Tamás Székely Mikó Kollégium 3 Dicséret 3. Réti Zekő Zsuzsaa Székely Mikó Kollégium 30,5 Dicséret 4. Nagy Katali Tamási Áro Gimázium 9 Dicséret 5. Sádor Izabella Tamási Áro Gimázium 8,5 Dicséret 6. Fecske Nádor Márto Áro Gimázium 8 Dicséret 7. Keresztúri Móika Ady Edre Elméleti Líceum 7 Dicséret 8. Szekovits Áges Székely Mikó Kollégium 6 Dicséret Eikő Figyelmükbe ajáljuk:. Erdélyi magyar matematikai fórum: Matematika tesztversey: 3. Matematika-Iformatika tudomáyos diákkoferecia, Nagysza lota, meszarjuliaa@yahoo.com (jeletkezés április 5-ig) 4. Sapietia-ECN 008 Matematika csapatversey, abege@ms.sapietia.ro (jeletkezés február 9-ig) 48