XXV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY BESZTERCE február 26 - március 1.

Átírás

1

2

3

4 A verseybizottság tagjai Elök dr. KÁSA Zoltá Sapietia Erdélyi Magyar Tudomáyegyetem, Marosvásárhely Ügyvezető elök MÁTYÁS Emőke-Éva Nemzeti Oktatási és Tudomáyos Kutatási Miisztérium, Bukarest Alelök dr. BENCZE Mihály Ady Edre Elméleti Líceum, Bukarest Alelök SZABÓ Ildikó-Erzsébet Grigore Silaşi Általáos Iskola, Bethle Titkár GYÖRGY Előd Egészségügyi Elméleti Líceum, Beszterce A feladatokat összeállító verseybizottság tagjai dr. Kása Zoltá dr. Becze Mihály Szabó Ildikó Erzsébet Dées Margit Bíró Zoltá Simo József Madaras Beáta Eikő Mátéfi Istvá Hecser Eikő Krisztia Gáspár Mária-Magdola Oláh-Ilkei Árpád Tamás Eikő Mészár Juliaa Pálhegyi-Farkas László Molár Tüde Éva Kócziger Éva Polcz Zita Durugy Erika Timár Mária Magdola Faluvégi Meláia Turdea Katali Tomos Izabella Miklos Melida Masta Eliza Moata Aamaria Păcurar Maria Vajda Attila Fodor Erika Réma Ildikó Kóbori Aamária Spier Tüde Kocsis Attila Székely Tivadar Sapietia Erdélyi Magyar Tudomáyegyetem, Marosvásárhely Ady Edre Elméleti Líceum, Bukarest Grigore Silaşi Általáos Iskola, Bethle Liviu Rebreau Általáos Iskola, Csíkszereda Salamo Erő Elméleti Líceum, Gyergyószetmiklós Petőfi Sádor Általáos Iskola, Csíkszereda S. Illyés Lajos Általáos Iskola, Szováta Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely Uirea Főgimázium, Marosvásárhely Nagy Mózes Elméleti Líceum, Kézdivásárhely Baróti Szabó Dávid Szaklíceum, Barót Keleme Didák Általáos Iskola, Kézdialmás Aray Jáos Elméleti Líceum, Nagyvszalota Mihai Emiescu Főgimázium, Nagyvárad Szacsvay Imre Általáos Iskola, Nagyvárad Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémeti Hám Jáos Római Katolikus Teológiai Líceum, Szatmárémeti Emil Negruţiu Kollégium, Torda Jáos Zsigmod Elméleti Líceum, Kolozsvár Simio Băruţiu Általáos Iskola, Zilah Silvaia Főgimázium, Zilah 8. sz. Általáos Iskola, Brassó Zajzoi Rab Istvá Elméleti Líceum, Négyfalu Németh László Elméleti Líceum, Nagybáya Petőfi Sádor Általáos Iskola, Koltő Bartók Béla Elméleti Líceum, Temesvár Gerhardium Római Katolikus Teológiai Líceum, Temesvár Adrei Mureşau Főgimázium, Beszterce Adrei Mureşau Főgimázium, Beszterce Bethle Gábor Kollégium, Nagyeyed Csiky Gergely Főgimázium, Arad Téglás Gábor Elméleti Líceum, Déva George Popa Általáos Iskola, Medgyes

5 Elöszó Az Erdélyi Magyar Matematikaversey gyökere az es időszakra yúlik vissza, amit az akkori hatalom az első rügyek utá betiltott. Az egykori Bolyai Egyetem szellemét ápoló versey pásztortűz parázsakét túlélte a szocializmust, és végül verseyükek az 990-es redszerváltás megadta a kibotakozási lehetőséget. A brassói Áprily Lajos Főgimáziumból idítottam útjára 990 őszé, majd Sepsiszetgyörgy, Csíkszereda, Székelyudvarhely és Marosvásárhely körforgásába erősödött meg. 99-be létrehoztam Szegede a IX-XII osztályok Nemzetközi Magyar Matematikaverseyét, ami a Kárpát-medece magyar középiskoláit vota egybe. Az elsőt Oláh György barátommal szerveztük 99-be Komáromba, majd Urbá Jáos, Szabó Magda, Neubauer Ferec segítségével ez a versey is körbejárta a Kárpát-medecét. Erdős Pál szerit, ha erre agyo ügyelük, akkor ez lesz a Kárpát-medece legfotosabb tehetségápoló itézete. Egy jó évtizedig Bíró Béla és Bege Atal hozzájárulásával a Székely Mikó Kollégium lett az erdélyi matematikaversey közpotja, és bevota Erdély több középiskoláját. Majdem 0 év miisztériumi ostromlásuk utá Matekovits Mihály miisztériumi vezérigazgató közreműködésével, a verseyük felkerült a miisztérium verseyaptárába, így államilag ayagi támogatásba részesül. Ez adta meg a versey kiterjesztéséek a lehetőségét, és így a többi erdélyi magyar iskolák is megszervezhetik. Ez idő alatt az általáos iskolákat a Vályi és a Bolyai verseye kívül többyire import verseyek árasztották el. Nagyvárado, 0-ba létrehoztuk számukra is verseyük külö szakaszát, és rá egy évre Duaszerdahelye megszületett az V-VIII osztályos taulók Nemzetközi Magyar Matematikaverseye is. Midezekért köszöet Szőcs Domokos miisztériumi vezérigazgatóak, és Szabó Csilla miisztériumi taácsosak. Romáia 8 magyarlakta megyéjébe megtartjuk az V-XII osztályosok részére a megyei szakaszt, és az itt továbbjutók kerülek az országos szakaszra, ami em más, mit az Erdélyi Magyar Matematikaversey. Eze a verseye pedig kialakul országuk azo csapata, aki képvisel miket Szabadká, a 4-ik Nemzetközi Magyar Matematikaverseye (IX-XII osztályok), és Nagyvárado a -ik Nemzetközi Magyar Matematikaverseye (V-VIII osztályok). 04 volt a két verseyük legcsodálatosabb éve. De sajos a miisztérium érthetetle dötése a két verseyt egybecsapta, és az V-VIII osztályos taulók helyeiek számát megfelezte. Az, hogy 05-be Beszterce felvállalta eze versey redezését, egy óriási hőstettek számít. Köszöet illeti Réma Ildikó főszervezőt, Atal Attila aligazgatót, György Előd iformatikust, Balázs Dées főtafelügyelőhelyettest, és a többi taárt, hogy megmetették verseyük folytoosságát. Reméljük, hogy egyszer lejárak a ehéz idők és újra kiteljesedhet verseyük. Külö köszöet illeti dr. Kása Zoltát, a marosvásárhelyi Sapietia Egyetem professzorát, hogy vállalta a verseybizottság elöki tisztségét. A miisztériumot Mátyás Emőke-Éva képviselte. Ez a versey az elmúlt egyed század alatt az erdélyi diákjaik legfotosabb tehetséggodozó itézete lett, egykori díjazottak világhírű kutatók, külföldi eves egyetemeke taárok, a többiek a hazai egyetemek megbecsült matematikusai, vagy iskoláik taári karát erősítik. Verseyük 0-éves és 0-éves évfordulójá az RMPSZ és elöke Lászlóffy Pál, valamit a Wildt József Tudomáyos Társaság egy díszoklevéllel köszöte meg a verseye résztvevő taárok áldott mukáját. Elvárjuk, hogy e verseyük 5 éves évfordulójá végre a miisztérium is emberelje meg magát, és legalább egy oklevéllel köszöje meg, aak a regeteg matematika taárak a mukáját, akik fáradtságot em ismerve, ap mit ap evelik, taítják diákjaikat, hogy Erdély számukra a hazák és a jövők maradjo. Drága gyerekeik, ti vagytok a jövők, tiértetek harcoluk, dolgozuk. Egykoro ti vigyétek tovább ezt a lágot, és soha e felejtsétek el azt, hogy itt Erdélybe, a két Bolyai emelte a magyar matematikát a csillagos egekbe. Azóta világhatalom vagyuk, és ti is eek vagytok a szerves része. dr. Becze Mihály, a verseybizottság alelöke

6 Tartalomjegyzék Előszó... Feladatsorok és megoldások... 6 V. osztály... 6 VI. osztály... VII. osztály... 4 VIII. osztály... 9 IX. osztály... 4 I. forduló... 4 X. osztály... 6 I. forduló... 6 XI. osztály... 9 I. forduló... 9 XII. osztály... I. forduló... IX. osztály... 5 II. forduló... 5 X. osztály... 9 II. forduló... 9 XI-XII. osztály... 4 II. forduló... 4 EREDMÉNYEK

7 taárok Arad megye Czeglédi Csilla-Iloa aradi Csiky Gergely Főgimázium Bákó megye Takó Mihály gyimesbükki Dai Gergely Általáos Iskola Beszterce-Naszód megye Balla Csaba-Edre magyardécsei Általáos Iskola Bihar megye Kovács Klára agyváradi Lorátffy Zsuzsaa Református Gimázium Istvá Zoltá agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum Báthori Éva agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum Brassó megye Fülöp Edith brassói Áprily Lajos Főgimázium Bukarest Forrő Eikő bukaresti Ady Edre Elméleti Líceum Fehér megye Baksai László-Mihály agyeyedi Bethle Gábor Kollégium Hargita megye Baricz Levete gyergyószetmiklósi Fogarasy Mihály Általáos Iskola Simó Margit székelykeresztúri Orbá Balázs Elméleti Líceum Páll Olga csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum Adrás Ibolya székelyudvarhelyi Tamási Áro Elméleti Líceum Huyad megye Tófalvi Emese Ildikó dévai Téglás Gábor Elméleti Líceum Kolozs megye Nagy Örs kolozsvári Báthory Istvá Elméleti Líceum Nyitrai Jáos kolozsvári Jáos Zsigmod Líceum Kovásza megye Darvas Aa-Mária baróti Baróti Szabó Dávid Szakközépiskola Deák Éva sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium Dái Zsuzsaa kézdivásárhelyi Nagy Mózes Elméleti Líceum Maros megye Szász Szilárd marosszetkirályi Általáos Iskola Horváth Éva marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum Máramaros megye Zákáy Móika agybáyai Németh László Elméleti Líceum Szatmár megye Gaskó Gabriella agykárolyi Elméleti Líceum Forgács Istvá szatmárémeti Kölcsey Ferec Főgimázium Szebe megye Székely Éva medgyesi Báthory Istvá Általáos Iskola Szilágy megye Nagy Leke varsolci. sz. Általáos Iskola Temes megye Tarko Adrea temesvári Bartók Béla Elméleti Líceum Tiszteletbeli meghivottak: Egyed Géza Kovács Béla Péter Adrás Kézdivásárhely Szatmárémeti Arad 5

8 Feladatsorok és megoldások V. osztály. feladat: Határozd meg azokat az abcd alakú természetes számokat, amelyekre a > b + c + d, b > c + d és c > d. Simo József, Csíkszereda Megoldás. Ha bcd = 0 a {4,5,...,9} 6 darab; Ha bcd = 0 a {5,6,...,9} 5 darab; Ha bcd = 70 a = 9 darab; Eddig: = darab. Ha bcd = 0 a {6,...,9} 4 darab Ha bcd = 40 a {7,8, 9} darab Ha bcd = 50 a {8,9} darab Ha bcd = 60 a = 9 darab Összegezve: = 0 darab. Ha bcd = 40 a {8,9} darab Ha bcd = 50 a = 9 darab Ha d = csak a 8 4, 9 4, 9 5 számok felelek meg, azaz darab. Ha d > ics megoldás. Összese = 7 szám felel meg. M = {40,50,60,70,80,90,50,60,70,80,90, 640,740,840,940,750,850,950,860,960,970, 60,70,80,90,740,840,940,850,950,960, 840,940,950,84,94,95}. feladat: Bolyai Farkas 775-be született és 856-ba huyt el. a) Jáos evű fia születésétől Farkas elhuytáig kétszer ayit idő telt el, mit Farkas születésétől Jáos születéséig. Háyba született Bolyai Jáos? a) Ha Bolyai Farkas, Tetame című köyvéek első kötete megjeleésétől a szerző elhalálozásáig kétszer ayit élt vola, mit a mű megjeleése előtt, akkor 0 évvel hamarabb jelet vola meg a köyv. Háyba jelet meg a köyv? Durugy Erika, Torda. megoldás. a) = 8 Tehát Bolyai Farkas 8 évet élt. Legye x Bolyai Farkas kora Jáos születésekor. Akkor 8 x = x egyelettel fejezhető ki a feladat kijeletése, mely az x = 7 megoldáshoz vezet. 6

9 XXV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY BESZTERCEE 05 - február 6 - március =80, tehát Bolyai Jáos 80-be született. b) Legye y a köyv megjeleéséig eltelt évek száma. Akkor 8 y = y egyelettel fejezhető ki a feladat kijeletése, mely az y = 7 megoldáshoz vezet = 8 Tehát a Tetame 8-be jelet meg.. megoldás. a) =8 x + x = 8 x = 8 x = = 80 Tehát Bolyai Jáos 80-be született. b) y + y = 8 y = 8 y = = = 8 Tehát a Tetame 8-be jelet meg.. feladat: Adottak az A = és B = természetes számok. a) Igazold, hogy az A szám osztható 8-cal! b) Határozd meg a B szám utolsó számjegyét! Bréda Ferec, Zilah 7

10 XXV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY BESZTERCEE 05 - február 6 - március. Megoldás. a) A = A tagjaiak száma = A = ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) = = ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) = = + ( 0 + ) + ( 0 + ) + + ( 00 + ) = = + ( ) = = + 0 ( ) = = + 0 (0 ) : = = = = 78 = 8 99 S 8 b) ( ( u 4 7 = u 4 7 = u 4 7 =... = u = 8 ( ) u B ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B = = u = u(8 ) = u( ) = téyező ( ) ) 4. feladat: Aprajafalvára egyik éjszaka beszabadult Hókuszpók és letaposta a törpikék áfoyabokrait. Másap Törpapa, Okoska és Törpilla felmérték a károkat és összese 57 letaposott bokrot találtak, ebből Törpapa 8-at, Okoska 4-et, Törpilla pedig -t. A faluba 5 olya letaposott bokor volt, amelyet Törpapa és Okoska is, 7 olya, amelyet Okoska és Törpilla is, illetve 4 olya, amelyet Törpilla és Törpapa is megtalált. Háy olya letaposott bokor volt a faluba, amelyet midhárom törp észrevett? Molár Tüde, Magyvárad. megoldás. Legye A: Törpapa, B: Okoska, C: Törpilla bokraiak halmaza. ( carda + cardb + cardc ) [ card( A B ) + card( B C ) + card ( C A)] + + card( A B C ) = card( A B C ) ( ) ( ) + card( A B C ) = card( A B C ) = card( A B C ) = 57 card( A B C ) = 9 8

11 . megoldás. Jelöljük x-szel azokak a bokrokak a számát, amelyeket midhárma megtatáltak. Ekkor 5 x lesz a Törpapa és Okoska, 7 x a Okoska és Törpilla, illetve 4 x a Törpilla és Törpapa azo megtalált bokraiak száma, amelyeket kette, de em midhárma találtak meg. A csak Törpapa által megtalált hibák száma: 8 5 x + x + 4 x = x, ( ) a csak Okoska által megtalált hibák száma: 4 5 x + x + 7 x = + x ( ) míg a csak Törpilla által megtalált hibák száma: 4 x + x + 7 x = + x. ( ) Összese 57 hibát számoltak meg, így felírható: x + + x + + x x = 57, ( ) ( ) ( ) amelyet megoldva kapjuk, hogy x = 9. Tehát 9 volt azo hibák száma, amelyet midhárma megtaláltak. 5. feladat: Határozd meg a szám utolsó öt számjegyét! 05. megoldás. Az összeg írható: Dr. Becze Mihály, Bukarest = (0 ) + (00 ) + (000 ) + + (000 0 ) = = 0 05 = Tehát a szám utolsó öt számjegye megoldás. Egy másik felírás szerit kapjuk: = 05 = 9 + (90 + 9) + ( ) + + ( ) = = = = = = = A hatodik tagtól kezdve egyik tag sem befolyásolja az összeg utolsó öt számjegyét, mivel legalább öt 0-ba végződek. Tehát a szám utolsó öt számjegye feladat: Az mellékelt ábrá látható körök metszéspotjaiba helyezd el -től 7-ig a természetes számokat, úgy, hogy mideik körö a számok összege megegyezze! 9

12 XXV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY BESZTERCEE 05 - február 6 - március. a) Addd meg az ábra legalábbb égy lehetséges kitöltését! b) Háy lehetséges kitöltés va? Durugy Erika, Torda Megoldás. a) Négy lehetséges kitöltés megadása b) Beláthatjuk, hogy a felső és alsó metszéspotba helyezett két szám összege kell kerüljö a két kis kör éritési potjába, ahhoz, hogy az összeg álladó legye. Csak a, 5, 6 és 7 számok kerülhetekk a középső metszéspotba, mert ezekbe az esetekbe a megmaradt 4 szám párosítható úgy, hogy a párokba az összegek egyelőek legyeek. Az alapeseteket a következő 6 ábra szemlélteti: Ha megvizsgáljuk az első ábra lehetséges kitöltéseit, akkor 6 esetet kapuk. Ha -- helyee marad, de változtatjuk a 4-7; 5-6 párok helyét, vigyázva, hogy -- jobbb és bal oldalá helyezkedjeek el, kapuk 8 lehetséges esetet. 0

13 Ha az és helyet cserél, újabb 8 eset lehetséges. Hasolóa vizsgálva a többi esetet, következik, hogy összese 6 6 = 96 lehetséges kitöltés va. VI. osztály. feladat Egy kétjegyű számot osztva a számjegyeiek szorzatával, a háyados. Ha e kétjegyű számhoz hozzáaduk 7-et, az eredeti szám fordítottját kapjuk. Melyik ez a kétjegyű szám? Kovács Béla, Szatmárémeti. feladat Legye ab a keresett szám. Az adatok alapjá felírjuk: ab + 7 = ba 0a + b + 7 = 0b + a a + = b Mivel ab = ab következik, hogy b páros számjegy, ezért az a számjegy páratla, így {,,5 } a. Az ab = ab összefüggés csak az a =, b = 6 számjegyekre teljesül. Tehát a keresett szám a 6. a) Számítsd ki az b) Igazold, hogy Megoldás fe + összeget! elírható három külömböző egész szám köbekét! dr. Becze Mihály, Bukarest a) b) + + = ( ( 6 ) ( 6 ) = 6 = ) ( ) ( ) ( ) 67 ( ) ( 6 ) 6 = 6 6 = = =

14 . feladat Adott az S = összeg. a) Háy 0-zel osztható tagja va az S összegek? b) Igazold, hogy az összeg osztható 0-zel! c) Osztható-e az S összeg -mal? Simo József, Csíkszereda a) Az S összeg mide tagja k+ alakú téyezők szorzata. A tagokba szereplő téyezők utolsó számjegyei 0 tag utá ismétlődek újra. S = ( ) Az első csoport utolsó tagja 8. Észrevesszük, hogy = 0 +, 6 = 0 +,... 0 = Így a 008 0szorzat a 67. csoport utolsó tagja. Azt kapjuk, hogy az S összeg 67 darab 0 tagú csoportra osztható. Mide csoportba 4 tag osztható 0-zel (az első csoportba 7 0, 0, 5, 5 8). Következik, hogy az S összegek 67 4 =68 tagja osztható 0- zel. b) Mide csoportba az utolsó számjegyeket összeadva egy 0-ba végződő számot kapuk. Tehát az összeg osztható 0-zel. c) Mide tag k+alakú, mert két k+ alakú szám szorzata is k+ alakú. Így a 670 darab k+ alakú szám összege is k+ alakú. Tehát az S összeg em osztható -mal. 4. feladat A d egyeese tetszőleges sorredbe felvesszük az A, A, A, A4, A5, A6, A7, A8, A 9 A A = d, A A = d, A A = d, A A = d, A A = d, A A = d, A A = d, A A = d, potokat, d < d < d < < d a 05 természetes osztói (a szakaszok hosszát méterbe adtuk meg). ahol 8 Jelölje P illetve Q az [ A A4 ] illetve [ A8 A9 ] szakaszok felezőpotját. Határozd meg a [ PQ ] szakasz hosszáak a legagyobb, illetve legkisebb értékét! Mátéfi Istvá, Marosvásárhely D 05 = {,5,,,65,55, 40, 05}

15 A [ PQ] XXV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY BESZTERCEE 05 - február 6 - március. ] szakasz hossza a legagyobb, ha a potok elhelyezése az alábbi: 05 PQ = = 668 m A [ PQ] ] szakasz hossza a legkisebb, ha a potok elhelyezése az alábbi: 05 PQQ = = 47 m. 5. feladat Adottak az AOB, B BOC, COD D és DOA az O pot körüli szögek és x, y, z, t prímszámok. Tudva azt, hogy x + 8y z + t = 9, valamit y m( AO OB ) = x m( ( BOC ), 5z m( BOC ) = 6y m( COD ) és t m( BOC ) = y m( D DOA), igazold, hogy az adott égy szög közül két szomszédos egymásak pótszöge! x + 8 y z + t = 9 z z = x, 8y,, t,9 z prím x + 8 y + t = 9 x + 6 y + 4t = 444 Molár Tüde, Nagyvárad x + 6y + 4t = 44 x x =, + 6 y + 4 t = 44 y + t = 6y, 4t, 44 x prímm y + t = t = y = 5. y, Legye m( AOB B ) = a, m( B BOC ) = b, m( COD ) = c és m( DO OA) = d. Be ehelyettesítve a megadott összefüggésekbe a feti értékeket a következő egyeleteket kapjuk: a + b+ c + d = 60, 0a = b, 5b = 0 c, b = 0d a b a b 0aa = b = / = 5 0 b c b c 5bb = 0c = / = b d bb = 0d = 00 () () ) () Az (), () és () összefüggésekből kapjuk, hogy: a b c d 60 = = = = = 8 a = 6, b = 80, c = 90, d = 54

16 Tehát a + d = 90 AOB és DOA pótszögek. 6. feladat Egy zsákba összese 6 piros és kék szíű üveggolyó va. Béla szétoszt belőlük két marékkal a barátai között. Az első marékba 5-ször több piros golyó volt mit kék, a másodikba -szor több kék golyó mit piros. A maradék golyók között pedig 7-szer több piros golyó, mit kék. Legkevesebb háy kék szíű golyó lehetett összese a dobozba? Császár Sádor, Csíkmadaras Az első marékba levő piros golyók számát jelöljök x-szel, a második marékba levő golyók számát y-al, a maradék golyók számát z-vel. Felírható: x+y+z=6. Az első marékba (5+), a másodikba (+)m számú, a maradékba pedig (7+)p számú golyó volt. Felírható: 6+4m+8p=6 / :, +m+4p=8, páros:,4,6,8, m p m=6-p m= vagy m=4 vagy 4 m=-p m= 6 Nics megoldás Nics megoldás Összese lehetőség va: (-m-p) --, -4-, 4-- ) 0++4=6 piros, +6+=0 kék ) 0+4+7= piros, ++=5 kék ) 0++7=8 piros 4++=8 kék Tehát legkevesebb 8 kék golyó lehetett a zsákba. VII. osztály. feladat: Egy bevásárlóközpotba Kati elkölti a pézéek a -át, Sári a saját pézéek a 4 -ét, 4 Teri pedig a pézéek a -ét. Derültek egyet, amikor észrevették, hogy midhárma 5 ugyaayit költöttek. Meyi péze volt a gyermekekek külö-külö, ha tudjuk, hogy Katiak 80 lejjel több péze volt, mit Sáriak? Simo József, Csíkszereda I. módszer: Legye a, b és c redre a Kati, Sári és Teri eredeti pézösszege. 4

17 Felírhatjuk, hogy a = b = 4 c és a b = a b c = = a b c a b = = = a b c a b = = = = = = a = 480 = 70, b = 480 = 640 és c = 480 = Katiak 70 leje, Sáriak 640 leje, Teriek pedig 600 leje volt. II.módszer: Legye a, b és c redre a Kati, Sári és Teri eredeti pézösszege. Felírhatjuk, hogy a = b = 4 c és a b = Legye a = b = 4 c = k a = k, b = k és c = k 4 Behelyettesítve az egyeletbe: k 4 k = 80 9 k 8 k = k = k = a = 480 = 70, b = 480 = 640 és c = 480 = feladat: a) Határozd meg az 4a + 97 A = a N N halmaz elemeit! a 7 * b) Számítsd ki a összeget, ahol N! Molár Tüde, Nagyvárad a) 4a a = = 4 + a 7 a 7 a N a 7 00 a 7 a 7 {, 7,,, 7, 7,, 7 } a {8,4,8, 0,84, 98,50,008} = 005 em égyzetszám; 5

18 = 47 em égyzetszám; = 95 em égyzetszám; = 8 égyzetszám; = 7 em égyzetszám; = 5 em égyzetszám; = em égyzetszám; = 5 em égyzetszám 00 Tehát A = {0} b) Jelöljük S = S = = S = S = = + S S = S = S = 9 S =. feladat: Az a, b, c, d em ulla valós számokra teljesül az a + b + c + d = 0 feltétel. Igazold, hogy b c d a a + + b + + c + + d = 0. b c c d d a a b a b c d dr. Becze Mihály, Bukarest Az összeg tagjait csoportosítjuk: a a = a b c d a b c d b b = b c d a a b c d c c = c d a b a b c d d d = d a b c a b c d Behelyettesítve: a b c d = a b c d a b c d a b c d a b c d 6

19 = ( a + b + c + d ) = a b c d 0 4. feladat: Az ABC egyelő oldalú háromszög BC oldaláak egyeesé vedd fel a D és E potokat úgy, hogy CD=BC és DE=AD. Számítsd ki az ABE háromszög szögeiek mértékét! Orbá Juliaa, Déva I. eset: E ( BC) A B E C D ACD egyelő szárú m( ADE ) = 0 AD = ED ADE egyelő szárú 80 0 m( EAD) = = 75 m( BAE ) = m( BAD ) m( EAD ) = = 5 m( ABE ) = 60, m( AEB ) = 05 II. eset: C ( BE) A B C ACD egyelő szárú m( ADC ) = 0 m( ADE) = 50 AD = ED ADE egyelő szárú m( AED) = = 5 m( AEB ) = 5, m( ABE ) = 60 0 és m( BAE ) = 05 D E 5. feladat: Több ugyaolya vastagságú kartoból készült kocka alakú yított tetejű dobozt úgy készítettek el, hogy potosa egymásba lehesse illesztei őket, vagyis két egymás utá következő doboz között e maradjo rés. Az első dobozt belehelyezték a másodikba, a másodikat a harmadikba, és így tovább. A mellékelt ábra felülézetből szemlélteti az összerakott 7

20 dobozokat. Tudjuk, hogy a 6. doboz és a legkisebbik alapja kerületéek külöbsége 60 cm. a.) Háy milliméter vastagságú a karto, amelyből a dobozok készültek? b.) Ha a 4. doboz éléek hossza 4 cm, mekkora a legkisebb doboz éle? Császár Sádor, Csíkmadaras a) Legye a, a,, a a kockák éleiek hossza úgy, hogy a < a < < a, x pedig a doboz vastagsága. a a = x a a = x a6 a5 = x a6 a = 5 x = 50x K6 K = 60 4 a6 4 a = 60 a6 a = 60 : 4 = 5 cm 50x = 5 x = 0, cm = mm b) a a = ( ) x a4 a = 40 x 4 a = 40 0, a = 4 4 a = 0 cm 6. feladat: Az ABC egyelő oldalú háromszögbe adottak az M ( AB), D ( BC) és N ( AC) potok úgy, hogy BD = BC, MD BC és DN AC. a) Igazold, hogy MN AB! b) Bizoyítsd be, hogy a DMN egyelő oldalú háromszög! c) Mutasd ki, hogy a DMN és ABC háromszögek súlypotja egybeesik! Simo József, Csíkszereda A M P G. N. B D E C a) BM = BD [ BM ] [ DC], de B C BMD CDN (átfogó-hegyesszög eset) [ NC] [ BD] [ AN ] [ BM ], de [ AM ] [ BD] és eset) AMN BDM MN AB A B BMD ANM (oldal-szög-oldal 8

21 b) AMN BDM CND [ MN ] [ MD] [ DN ] a DMN egyelő oldalú c) Legye P az [ AN ] felezőpotja és E a [ DC ] felezőpotja, { G} = ME PD. Igazoljuk, hogy G a két háromszög súlypotja. MBE egyelő oldalú m ( DME ) = 0 PDC is egyelő oldalú m ( DPE ) = 0 m ( GMP ) = m ( GPM ) = 60 GMP egyelő oldalú, ugyaígy a GDE is egyelő oldalú AMP GMP GDE Így a háromszögek A-ból és G-ből húzott magasságai kogruesek az AG szakasz háromszög A-ból húzott magasságáak, azaz G az ABC súlypotja -a az ABC Az MND háromszögbe MG DN és DG MN G az MND háromszög magasságpotja, azaz súlypotja is. Következik, hogy a DMN és ABC háromszögek súlypotja egybeesik VIII. osztály. feladat: Adott az x + y = 7(x y) egyelet. Oldd meg az adott egyeletet: a) a természetes számok halmazá; b) az egész számok halmazá. Kovács Béla, Szatmárémeti a) Szorzuk 4 gyel és teljes égyzeteket alakítuk ki : 4x + 4y = 68x 68y 4x 68x y + 68y + 89 = 578 (x 7) + (y + 7) = 578 Két égyzetszám összege 578 eredméyre két lehetőségük va: és Eek alapjá kapjuk a következő lehetőségeket: x 7 = 7 és y + 7 = 7, illetve x 7 = 7 és y + 7 = vagy fordítva. Kapjuk a következő megoldásokat a természetes számok körébe: (7, 0) és (0, 0), illetve (, ) és ( 5, ) összese 4 megoldás. b) Az egész számok körébe az adott egyeletek a következő megoldása va: (0, 0); (0, 7); (7, 7); (7, 0); (, ); (, 0); (5, ); (5, 0); (0, 5); (0, ); (, 5); (, ). Megj: másképpe alakítva ki a égyzetszámokat: ( vel szorozva az egyeletet) (x + y ) + (x y 7 ) = 89, , illetve , vagy fordítva. 9

22 . feladat: Adottak az a, b, c > 0 valós számok. Igazoljuk, hogy a = b = c akkor és csakis akkor, ha ( + ) ( ) ( a + b) + ( a b) a b a b a = b és ( + ) ( ) ( b + c) + ( b c) b c b c b = c dr.becze Mihály, Bukarest ) => Ha a = b = c akkor behelyettesítve midkét egyelőségbe idetitást kapuk ) <= ( + ) ( ) ( a + b) + ( a b) a b a b a = b ( a + b) ( a b) = ( a b) ( a b) + ( a b) ( a b) = Tekitve, hogy a, b > 0 + > 0, és ( a b) ( a b) tehát a = b. ( + ) ( ) ( b + c) + ( b c) b c b c b = c Ha = 0 akkor c = b. Mivel b, c > ( c b) ( c b) + + > 0 = = Ha ( c + b) ( c b) = 0 ( c b) ( c b) = c +b = c b b = 0, elletmodás. Tehát a = b = c.. feladat Felírtuk az egész számokat -től 05-ig egy táblára. Kette úgy játszaak, hogy felváltva letörölek - számot addig, míg csak két darab szám marad a táblá. Ha ezek külöbsége 0, akkor a kezdő yer, egyébkét a másodiké a dicsőség. Melyik játékosak va yerő stratégiája és melyik ez a yerő stratégia? Feltételezzük, hogy midkettő kellőképpe okos. Beedek Iloa, Vác A kezdő játékos törölje le 00-tól kezdve 0-ig az összes számot, és godolatba párosítsa a megmaradt számokat úgy, hogy az egyes számpárok tagjaiak külöbsége 0 legye. Ezt megteheti az alábbiak szerit: (;04), (;05), (;06),, (00;04), (00;05) Ha a második játékos letörölt számai között vaak párok, akkor a kezdő is ugyaayi számpárt töröl le, és a második játékos párélküli számaiak párját törli le. Ezt így tudja folytati, amíg csak 0

23 két szám marad a táblá, és azok egy párt alkotak, hisze utoljára a kezdő törölt, mert 05- = *8, és a 8 páratla. Tehát a kezdő játékosak va yerő stratégiája. 4. feladat Egy téglatest élei 0, 5 és 4 cm-esek. A téglatestbe felveszük 0 potot. Igazold, hogy va közöttük legalább kettő, amelyek távolsága legfeljebb 7 cm! Beedek Iloa, Vác A téglatestet az oldallapokkal párhuzamos síkokkal 00 db. egybevágó kis téglatestre osztjuk a következőképpe: a 0 cm-es élét öt, a 5 cm-es élét öt, a 4 cm-es élét égy egyelő részre osztjuk. Az osztáspotoko vesszük fel a kérdéses élre merőlegese a metsző síkokat. Így 00 db. olya téglatestet kapuk, melyek élei,, illetve 6 cm-esek. Egy ilye kis téglatest testátlójáak a két végpotja va legtávolabb egymástól. A testátló hossza d = = 7. Mivel a potok száma 0 és csak 00 kis tégla va, ezért biztos lesz olya, amely legalább két potot tartalmaz és ezek távolsága legfeljebb 7 cm. 5. feladat Az égyzet és a háromszög egymásra merőleges síkba vaak, = 0. Az és egyeesek által bezárt szög mértéke 60. Legye [ az szög szögfelezője ( ), a P pot a [ ] szakasz felezőpotja és =. a) Határozd meg az és sikok által bezárt szög mértékét. b) Bizoyítsd be, hogy párhuzamos az síkkal. Bréda Ferec, Zilah E M D O G P C A B a) EBC derékszögű, = 90, = 60. =, = é =

24 E y T D C y + + = x + = 0 = egyelő szárú = = 0. = ; = ; = 0 b) Szögfelező tételéből = = = G a súlypotja = ahol = = = és = 6. feladat Az ABCD égyzet alakú papírlap BC oldalá felveszük egy M potot úgy, hogy miutá az AM egyees meté az AMB háromszöget ráhajtjuk a égyzet síkjára, a B pot potosa a égyzet EF szimmetriategelyére essék, az ábrá látható módo. a) Meyi a behajtogatott rész ( AMB háromszöglap) és az ABCD égyzetlap területeiek aráya? b) Az AMB háromszöglapot visszahajtjuk az AM egyees meté addig, amíg az (AMB) sík merőleges lesz az (ADC) síkra. Ebbe az esetbe számítsd ki a B pot távolságát az AD egyeestől! Császár Sádor, Csíkszereda

25 a) JelöljükG pottal a égyzet B potjáak helyét a hajtogatás előtt, a égyzet oldalát pedig AF a-val. Mivel AF szakasz hossza az AB oldal hosszáak fele, a BFA -be cos BAF = =, AB m ( BAF ) = 60. m( BAF ) Mivel az AGM és az ABM háromszög egybevágó, m ( BAM ) = = 0 tehát ha az x a MG = x jelölést haszáljuk, akkor AM = x, AG =, a = x, x =. A két terület aráya: T T b) ABM ABCD = a a a a 6 a = = 6 BT ( ADC) TH ( ADC) T BH AD AD ( ADC) TH AD. ábra. ábra Az A kiszámítadó távolság a BH ABT -be (. ábra) kiszámítjuk atp szakaszt, ahol P AB, TP AB, TP = AH a AT a TP = = = ; AT = AB cos 0 = a 4

26 I. forduló c) AHB BH BH BH = be : (. ábra ) = AB = a a 4 AH cm a 4 IX. osztály. feladat: Határozd meg az x y = 05 egyelet megoldásait a természetes számok halmazá. Háy egész megoldása lehet eek az egyeletek? Az adott egyelet bal oldala szorzattá alakítható: ( x y )( x xy y ) + + = 05. Kovács Béla, Szatmárémeti Tovább alakítva, kapjuk: ( ) ( ) Vizsgáljuk a lehetséges eseteket: x y x y + xy = 5. Ha x y =, akkor xy = 04, ami em lehetséges. Ha x y = 5, akkor xy = 78, xy = 6 ami x = y + 5 helyettesítéssel adja az egyetle megfelelő megoldását: x = 4 és y = 9, Ha x y =, akkor xy = 4, ami em lehetséges. Ha x y =, vagy 65, vagy 55, 40 vagy 05, egyik esetbe sem kaphatuk megfelelő megoldást. Tehát az egyetle megoldása az adott egyeletek a természetes számok halmazá a ( 4, 9 ) számpár. Az adott egyelet egész megoldásai a (4, 9) és ( 9, 4 ) számpárok feladat: Mutasd ki, hogy ( + ) + ( ) N. Alkalmazzuk a matematikai idukció módszerét: P(): ( + ) + ( ) N. (i) 4 Mészár Juliaa, Nagyszalota

27 P(k): ( + k k ) + ( ) N. (i) P(k+): ( k + k + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + N? k + k + k = + + = ( + ) k + k k ( + ) + ( + ) + ( + ) + N. k k ( ) ( + + ) ( + ). feladat: a) Adott az [ a, b ] itervallum és x valós szám. Mutasd ki, hogy a + b b a x [ a, b] x ; b) Számítsd ki az E ( x, y) = xy x y +, x [, ], y [,] legagyobb értékét. Milye x, y - ra éri el ezeket? a) a + b b a b + a a + b b x x a [ ] a b x a b b a a x b x a, b x, b) x [, ] 5 y [, ] y xy x y + xy x y xy x y xy x y xy x y E( x, y ) 8 E(, ) = 7, E mi = 7 E (,) = 8, E max = 8 kifejezés legkisebb és Logáver Lajos, Nagybáya 4. feladat: Az ABC háromszög belsejébe felveszük egy tetszőleges M potot és az ABC, MAB, MBC és MCA háromszögek súlypotját redre G, G, G, G -mal jelöljük. Legye a GG G háromszög köré írható kör középpotja O és magasságpotja H. Ha tudjuk, hogy az M, O, H, G potok icseek egy egyeese, akkor bizoyítsd be, hogy HMOG olya trapéz, amelybe a agyalap a kisalap kétszerese. Olosz Ferec Szatmárémeti 5

28 Egy potos rajz elkészítése idő és eszközigéyes, így em is próbáljuk rajz alapjá megsejtei, hogy melyik két egyees párhuzamosságát kell bizoyítsuk. A Abból iduluk ki, hogy egy háromszög csúcsai, magasságpotja és a köré írt kör középpotja között a Sylvester-féle összefüggés teremt kapcsolatot, így felírjuk ezt: OH = OG + OG + OG. G G H O M G B Az itt megjeleő súlypotok helyzetvektorait a háromszögek csúcsaiak helyzetvektoraival írjuk fel. OA + OB + OM OB + OC + OM OC + OA + OM OH = + + = OA + OB + OC = + OM = OG + OM Az OH = OG + OM egyelőséget OH OM = OG alakba írjuk, az összevoás utá az MH = OG egyelőséghez vezet. Ezzel bebizoyítottuk, hogy MH OG és MH = OG. Tehát HMOG trapéz, amelyek agyalapja MH = OG. G C I. forduló X. osztály. feladat: Határozd meg azt az m pozitív valós számot, amelyre a egyeletek egyetle (, ) ( ) m+ y y log m x + 4 = 4m x y R R megoldása va! Logáver Lajos, Nagybáya : Ha x = x y = y 0 0 egy megoldása az egyeletek, akkor Mivel az egyeletek egyetle megoldása va, ezért x y = x 0 0 = y 0 0 x = x0 y = y 0 szité megoldás., ie kapjuk, hogy megoldása az egyeletek. Behelyettesítve a kapott értékeket az adott egyeletbe, a m+ 4 logm m = összefüggést kapjuk. x0 = 0 y0 = 6

29 m+ 4 A g : ( 0, ) R, g( m) = log m m függvéy szigorúa övekvő és g 4 =, + y y 4 tehát m = a keresett érték. Ekkor az egyeletük log x + 4 = 0 alakú. Mivel 4 4 y y y x = y y 4 log x, 4 = 4 log x + 4 0, egyelőséget csak 4 4 y = esetbe kapuk..feladat: Ha z, k {,,,, } Igazold, hogy: a) k C azoos modulusú komplex számok, amelyekre Re Re 0 ; b) k = zk z k k = zk 0. k = Im Im 0. k = zk z k k = dr. Becze Mihály, Bukarest Ha z = a + bi, akkor a b a = i z a + b a + b z a + b b Im ( z) Im = 0, ( ). Legye r = zk,, k {,,,, }. z a + b zk a) Felírhatjuk, hogy Re = Re Re z Re Re k z k z k k = z k k = r = r = = k = r k = r k = Tehát Re Re = Re z Re k k = zk r, felhaszálva az ( ) összefüggést k = z k z k k = k = kapjuk, hogy: Re Re 0. k = zk z k k = b) Hasolóa felírható, hogy zk Im = Im Im z Im Im k z k z k k = z k k = r = r = = k = r k = r. k =, ahoa Re( z) Re = 0, ( ), Tehát Im Im = Im z Im k k = zk r k = z k z k k = k = kapjuk, hogy: Im Im 0. k = zk z k k =, felhaszálva az ( ) összefüggést és 7

30 . feladat: Legye z C *, valamit z = ε z és z = ε z, ahol ε harmadredű egységgyök, amely em egyelő -gyel. Igazold, hogy z, z, z egy egyelő oldalú háromszög csúcsaiak affixumai. Mészár Juliaa,, Nagyszalota z z = z ε z = z z = z ε z = z z Ezek a számok egymással egyelők és 0-tól külöbözők, tehát az affixumokhoz redelt háromszög egyelő oldalú. hegyesszög. Igazold, hogy az téglalap! XXV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY BESZTERCEE 05 - február 6 - március. = ε z ε z z ε z ε = = z ε ε z ε = = z ε ε = z ε. 4. feladat: Adott az ABCD körbeírható égyszög úgy, hogy ( AB AB + BCC z ε + CD + DA összeg akkor maximális, ha ABCD ( ) ( Tekitsük a mellékelt ábrát: LegyeR a kör sugara, α = m ( AOB ), x = m ( BOC ). CDD és AOB Pálhegyi-Farkas László, Nagyvárad Alkalmazva a kosziusz-tételt, felírhatjuk, hogy ) AB = R R cos α, = 8R = 8R = 8R = 8R amikor R ( cos x + cos α + cosα cos x si α si x ( cos x + cos α cosx + cos α cos x si α cos α si x ) = R R cos x cos α + cos si x si α = ( R cos α si x si α + cos x cos α = = 8RR ) α( BC és ADD = R = R R = R R cos 60 α x = R cos α + x Legye S = AB S = 8 R R cos x + cos α + cos Figyelembe véve, hogy α hegyesszög, cos α > 0, látható, hogy S akkor veszi fel a maximumát, ) + cos(αα + x kifejezés a miimumát, vagyis amikor cos(α + x =. Ez pedig azt ) ) = cos x, CD ( ( ) + BC + CD + DAA, ekkor R cos α + cos = R ) R cos α ) ( α x) + = ( α x) +. 8

31 jeleti, hogy α + x = 80 tehát az ABCD téglalap. I. forduló. feladat:, tehát az A, O és C potok, illetve az B, O és D potok kollieárisak, XI. osztály si ( π + ) Számítsuk ki az L = lim határértéket.! A határértéket két határérték szorzatára botjuk. ( π ) ( π ) Olosz Ferec, Szatmárémeti si + L = lim = lim lim si + = L L!! Az L kiszámításához az a = > 0 sorozatra alkalmazzuk a Cauchy-d Alembertféle kritériumot! * a (ha a > 0, N és lim + a létezik, akkor lim lim + a = ). a a + a ( + )! ( + + ) = = = e + = a ( + )! L kiszámításához felhaszáljuk, hogy siα si ( α π ) lim lim lim lim, tehát L = lim = e! * Az =, N. π si π lim si ( ) lim si ( ) lim si lim π L = π + = π + = = π Tehát L = e π. feladat: Ha A, B M ( R) és x, y, ( k =,,..., ) k k C, igazold, hogy det ( xi A + y jb) = xk det A + yk det B + xk yk ( det ( A + B) det A det B) dr. Becze Mihály, Bukarest i, j= k = k = k = k = Legye A = a a, B = b b a a b b, aij, bij R, i, j {, } ( + ) = ( + )( + ) ( + )( + ) = ( ) ( ) ( ) x det A y det B xy det ( A B) det A det B det xa yb a x b y a x b y a x b y a x b y = a a a a x + b b b b y + a b + b a a b b a xy = ( ) =

32 Összegezve det ( xi A y jb) ( xi det A y j det B xi y j ( det ( A B) det A det B) ) + = = i, j= i, j= = xk det A + yk det B + xk yk det A + B det A det B k = k = k = k = ( ( ) ). feladat: x sorozatot az x =, x+ = + x, egyelőségekkel értelmezzük. Számítsd ki Az ( ) a ( x ) lim határértéket! Bíró Zoltá, Gyergyószetmiklós Matematikai idukcióval köye igazolható, hogy x >, N eseté: x = >, és ha xk > k, akkor ( ) ( ) = + > + + = + = = xk kxk k k k k k k k N eseté. Szité matematikai idukcióval igazoljuk, hogy x < +, N, 4 eseté. x =, x =, x = + <, x = + x < 7 <, és feltéve, hogy xk 4 < k +, k k x kx k k k k k k k + = + k < + + = + + = 4 k 4 8 k 4 = ( k ) = + + k ( k ) k ( k ) k k ( k ) + = +, 4 k k k k k eseté A fetiekből következik, hogy < x < +, 4, azaz < x < +, 4, így lim ( x ) =. 4. feladat: Legye A M ( C) úgy,hogy A I halmazát,ahol tr ( A ) az A mátrix yoma. =. Határozd meg a ( ) 0 tr A lehetséges értékeiek. megoldás: A Cayley-Hamilto összefüggés alapjá: A ta + t tr ( A ) A det ( A) I = O,ahol t = tr ( A) A ti + ( t ) A det ( A) I = O ( t ) A t + det ( A) I = O ( t ) A = t + det ( A) I. Gottha Güter, Nagybáya

33 Tr-re, majd determiásra térve,kapjuk: ( t ) t = t + det ( A) ( ) ( t ) det A = t + det ( A) A = I det ( A) {,} I.eset: det ( A ) = ( ) t t = ( t ) = ( t + ) ( ) t 7t 6 = 0 ( t + )( t + )( t ) = 0 t { ; ;} t = -re em teljesül a ( ) egyelet, tehát t { ;} ( ) II.eset: det ( A ) = ( ) t t + = = ( t ) ( t ) ( 4) t 7t + 6 = 0 ( t + )( t )( t ) = 0 t { ;; } t = -re em teljesül a( 4 ) egyelet, tehát t {,} ( 5 ) (),(5) t { ;} { ;} = { ; ;; } Továbbá kimutatjuk, hogy létezik A M ( C) mátrix úgy, hogy A = I és tr ( A) = t, bármely t { ; ;; } eseté: t = eseté: A = I, 0 0 t = eseté: A = 0 0, t = eseté: A = 0 0, 0 0 t = eseté: A = I.. megoldás Tehát tr ( A) lehetséges értékeiek halmaza { ; ;; }. Legye λ, λ, λ C amátrix sajátos értékei. Mivel A = I, következik, hogy ;, i ;; tr A = λ + λ + λ. λ i = azaz λi { } { }. Ismert, hogy ( ) Mivel λ { ; }, i { ;;} köye belátható, hogy ( ) { ; ;; } i tr A. Továbbá kimutatjuk (ahogya az első megoldás végé is), hogy létezik A M ( C) mátrix úgy, hogy A = I és tr ( A) = t, bármely t { ; ;; } eseté:

34 t = eseté: A = I, 0 0 t = eseté: A = 0 0, t = eseté: A = 0 0, 0 0 t = eseté: A = I. Tehát tr ( A) lehetséges értékeiek halmaza { ; ;; }. I. forduló XII. osztály = { det 0 } a következő műveletet: A B = AB α ( A + B) + ( α + α ) I.. feladat: Adott az α C szám. A G X M ( ) ( X α I ) Igazold, hogy ( G, ) csoport!. megoldás: A B αi = AB α ( A+ B) + α I = ( A αi )( B αi ) Tehát ( α ) ( α ) ( α ) ( ) C halmazo értelmezzük det A B I = det A I det B I 0 A, B G eseté, azaz A B G, ( ), A B G Legye f : G H, H = { X M ( C ) det X 0}, f ( X ) = X αi. f ( A B) = A B αi = ( A αi )( B αi ) = f ( A) f ( B), ( ) A, B G. Tudjuk, hogy ( H, ) csoport és f bijektív, ezért ( G, ) ( H, ), tehát (, ) dr. Becze Mihály, Bukarest G csoport.. megoldás: Asszociatívitás: Igazoli kell, hogy ( A B) C = A ( B C), A, B, C G. ( ) ( α α α ) α ( α ( ) ( α α ) ) ( α α ) ( A B) C = AB α ( A + B) + ( α + α ) I C = ( ) ( ) = α ( + + ) + α ( + + ) ( α α ) = AB A + B + + I C AB A + B + + I + C + + I = ABC AB BC AC A B C I Ugyaezt az eredméyt kapjuk a másik oldallal idulva is. Semleges elem: E-vel jelöljük, akkor A E = E A = A, A G ( ) A E = AE α A α E + α + α I = A kell legye. A jobboldali egyelőségből.

35 ( ) ( )( ) AE α A α E + α + α I A = A α I E α I I = O Mivel A G, det ( A αi ) 0, tehát A α I O, ie A α I ivertálható, következik, hogy E α I I O E = α + I G. Hasolóa igazoljuk a másik egyelőséget is. =, vagyis ( ) Iverz elem: jelöljük B -vel az A iverzét, igazoli kell, hogy A B = B A = E. Csak az egyik egyelőséget igazoljuk, a másik bizoyítása hasolóa törtéik. AB α A α B + α + α I = α + I, ahoa átcsoportosítással ( ) ( ) ( A αi )( B αi ) = I. Mivel A α I ivertálható, kapjuk, hogy ( ) Ha B G, akkor det ( B αi ) 0 det (( A α I )( B α I )) = 0 det( I), tehát B G. B = A α I + α I. =, amiből következe, hogy. feladat Legye f : R R egy kovex függvéy és a, b, c > 0 úgy, hogy abc =. Igazold, f ( a) f ( b) f ( c) hogy + + f (). + a + ab + b + bc + c + ca dr. Becze Mihály, Bukarest Ha a, b, c > 0, abc =, akkor a/ ab/ a ab + + = + + = + a + ab + b + bc + c + ca + a + ab a + ab + abc ab + abc + abca a ab = + + =, + a + ab + a + ab + a + ab hasolóa a/ ab/ a b c a ab + + = + + = + a + ab + b + bc + c + ca + a + ab a + ab + abc ab + abc + abca Mivel a függvéy kovex, alkalmazhatjuk a Jese egyelőtleséget: a b c f a + f b + f c f + + = f + a + ab + b + bc + c + ca + a + ab + b + bc + c + ca f ( a) f ( b) f ( c) tehát + + f (). + a + ab + b + bc + c + ca. feladat Számítsd ki az ( ) ( ) ( ) ( ) x x x + + dx itegrált, ahol ( 0, ) x x x x x Jelölje. a = x, b = x + x + x + x a + a b a ( a + b) b + a b + a + b b a + b + a + b = = = x + x + x + x + x + + ( ) ( ) a ( a + b) a x x ( x + ) x + = = = = =. ( a + b) ( b + ) b + x + + x x x x x x x dx x dx = dx = dx x = x x x + x + x + x + x + + x + x x. Logáver Lajos, Nagybáya

36 x + = dx + dx x = x + x x + dx = x + x x + x x + 4 = x + x x + l x + + x + x + C 4. feladat Határozd meg az f : ( 0, ) R, f(x) = ( x x azt a F : (0, ) R primitív függvéyét, amelyre F() = f(). + x 6)si x x 4 függvéyek Kovács Béla, Szatmárémeti. megoldás: Az adott függvéyt összeg alakba írjuk fel. f(x) = si x x képlet alkalmazásával. si x si x 6si x + 4 x x x x f ( x) dx = si si x dx dx x x ( )si x si x D = dx = 4 x x D = si x cos x + + B x x si x si x C = dx = + x x C = si x x cos x x A si x + dx x és tagokét foguk itegráli a parciális itegrálási 6si x dx = A B + C D 4 x cos x si x cos x dx = + + x x x cos x si x dx = x x si x cos x si x Eredméy: f ( x) dx = + x x x F() = si + cos si cos + C = si + C cos x x cos x f() = 4si C + si = 4si C = 5si A keresett primitív függvéy tehát: F(x) =. megoldás: x si x dx x + C si x cos x si x + x x x si x dx x cos x x 5si. Keressük a primitív függvéyt a Deriválással kapjuk, hogy: ( ax + b)si x + ( cx + dx + e)cos x F( x) = + k alakba. x 4

37 ( ) ax + b cos x + asi x ( cx + dx + e)si x + ( cx + d)cos x x x ( ax + b)si x + ( cx + dx + e)cos x 6 = x Átcsoportosítva a baloldalt és bővítve az f ( x ) függvéyt x -el: f ( x) 5 4 ( ) ( ) + 6 = 6 x x si x cx dx ( a + e) x bx + cos x a c x + ( b d) x ex x x x 6x si x Ebből kapjuk a következő egyeletredszert: a c = 0 b d = 0 e = 0 c = d = a e = b = 6 Amiek a megoldása: a = c =, b =, d =, e = 0. Tehát a primitive függvéy: ( x)si x + ( x + x)cos x F( x) = + k, ahol a k kostas értékét az első megoldás szerit x határozzuk meg. II. forduló. feladat: Igazold, hogy IX. osztály osztható 8-gyel! Egymás utá háromszor köbre emeljük a = 4 + -et: ( ) ( ) ( ) ( ) k = + = = +, ahol k N. ( k ) ( p ) 9 p = + = +, ahol p N. 7 4 q = + = +, ahol q N Hasolóa járuk el a = 4 -el és 5 = -el is: 7 4 m =, ahol m N =, ahol N ( ) ( ) ( 5 ) ( q m ) 8( q m ) = + + = + + = M 8 Kovács Lajos, Székelyudvarhely 5

38 = M 8. feladat: Egy szabályos dobókocka hat oldalára a 0,,,, 4,5 számokat írtuk. Egymás utá dobuk, mide dobás értékét felírjuk és a kapott számokat összeadjuk. Akkor álluk meg, amikor az összeg -él agyobb lesz. Ha sokszor elvégezzük ezt a játékot, mi lesz a leggyakrabba előforduló összeg? Róka Sádor, Nyíregyháza Megoldás. A játékot a, 4, 5, 6 vagy a 7 számo fejezzük be. A játék a 7-e kevesebbszer ér véget, mit a 6-o. Ugyais 7-re csak a -ről 5-ös dobással juthatuk. Aháyszor ez megtörtéhet, ugyaayiszor juthatuk a 6-ra is, a -ről 4-es dobással. Azoba a 6-ra eljuthatuk a -ről is 5-ös dobással. A játék a 6-o kevesebbszer ér véget, mit a 5-ö. A 6-ra eljuthatuk a, összegekről 4-et, illetve 5-öt dobva. A 5, 4 és előállításai A leggyakrabba előforduló összeg a.. feladat: Legye a, b R. Mértai értelmezést adva az egyelőtleségek, igazold, hogy: ( ) ( ) a + x + b + a x + b a + b, x R. Miklós Melida, Négyfalu Ha a, b, x közül valamelyik 0, az összefüggés köye igazolható. Figyelembe véve, hogyha x < 0, akkor x > 0 és az egyelőtleség em változik, az általáosság leszűkítése élkül feltételezhetjük a továbbiakba, hogy x > 0. I. Legye először a, b > 0. A gyökös kifejezések alapjá Pitagorász tételére godolhatuk, ezért a jobboldalból idulva a, illetve b befogójú ABC derékszögű háromszöget szerkesztük. Ha a x, tekitsük a következő rajzot, ahol AEMD téglalap: C AB = a, AC = b D AB, E AC, AD = a x, DB = a + x, AE = b E M C A D x B M E D A Ekkor BM + MC BC, x ahoa a szakaszokat Pitagorász tételével kifejezve, a bizoyítadó egyelőtleséget kapjuk. Ha a < x, a következő szerkesztést végezhetjük: B 6

39 A feti godolatmeet ebbe az esetbe is alkalmazható. Számítások. II. Ha a < 0, a 0 érvéyes. Ha b < 0, akkor b 0 > és ( a + x) = ( a x), ( a x) ( a x) > és ( ) = +. Tehát az egyelőtleség b = b, ebbe az esetbe is igaz az egyelőtleség. 4. feladat: Adottak az a < a <... < a valós számok Mutasd ki, hogy a, a,..., a számok akkor és csakis akkor alkotak számtai haladváyt, ha ( a a ) ( a a )... ( a a ) ( a a ) = dr. Becze Mihály, Bukarest. Ha x, x,..., x > 0, akkor x + x x x + x x. Egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha x = x =... = x x = a a, x = a a,..., x = a a Jelöljük akkor a következő egyelőtleséghez jutuk: ( a a ) ( a a )... ( a a ) ( a a ) Az egyelőség akkor és csak is akkor áll fe, ha a a = a a =... = a a = r, vagyis a = a + r, a = a + r,..., a = a + r. Ebből következik, hogy a, a,..., a számok számtai haladváyba vaak. 5. feladat: Az ABC háromszögbe AD = DC, EB = CE és BF = FD, legye AF DE = { G}, AF BC = { H}. Igazoljuk, 4 T = 5 T. AED AGE Mátéfi Istvá, Marosvásárhely Rajz: A D D, E és F potok helyes megválasztásáért Felírjuk Meelaosz tételét a BDC háromszögbe az A,F,H potokra: B H G F E C 7

40 BF DA CH CH = =, FD AC HB HB ahoa kapjuk, hogy CH = 6HB BC = 7BH Felírjuk Meelaosz tételét a BDE háromszögbe az F,H,G potokra: FB DG EH DG 4 9 = = DG = GE, ahoa kapjuk, hogy 4ED = 5GE FD GE HB GE 4 ( ) EG t ( A GD) 4 ED t A, GD 5, 4 TAED = = = 5 T AGE 6. feladat: Az ABC hegyesszögű háromszögbe az A -ból iduló magasság talppotja D, a háromszög köré írható kör középpotja O. Ha a BAC szög külső szögfelezője párhuzamos OD - vel, akkor hasolítsd össze az AODC égyszög átlóiak hosszát. Olosz Ferec, Szatmárémeti A E R B R α O F D α C Legye AE a BAC szög külső szögfelezője és AF OD, F OD. Mivel AF OD és OD AE következik AF AE, következik AF a BAC szög belső szögfelezője, vagyis BAF FAC. m ACD = α, akkor az ACD derékszögű háromszögbe m( DAC ) = 90 o α. Ha ( ) Az ACB kerületi szög mértéke α, ezért az AOB középpoti szög mértéke α és mivel az OAB háromszög egyelő szárú, o 80 α o = = 90 α, tehát BAO DAC. BAF FAC és BAO DAC, következik OAF FAD. Az AOD háromszögbe AF magasság és szögfelező, következik a háromszög egyelő szárú, így AD = AO. ezért m( BAO ) Tudjuk, hogy AO = OC (a kör sugara), következik AD = OC. Tehát az AODC égyszög átlói egyelő hosszúságúak. 8

41 II. forduló. feladat: Határozd meg az ( ) számát! x + y = 08 x + y = 6 X. osztály {, 08, ahol, } A = x y x + y = x y Z halmaz elemeiek a x y 08 5 x 08 x y x m, m + = = + = N x y 08 5 y 08 y x y, + = = + = N Visszahelyettesítve az eredeti egyeletbe kapjuk, hogy: m + = 6 m, 0,6 ;,5 ;,4 ; ; 5, ; 6,0 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {( ) } x, y ± k, ± 6 k k = 0,6, következik, hogy( ) ( ) tehát carda = 04. Mátéfi Istvá, Marosvásárhely. feladat: a) Hogya lehet egy kg-os, egy kg-os és egy 9 kg-os mérősúllyal kétkarú mérlege kiméri és kg között mide lehetséges egész értéket (beleértve az és kg-ot is)? b) Legkevesebb háy, és milye értékű mérősúly szükséges ahhoz, hogy legalább 05 kg-ig mide egész érték kimérhető legye a kétkarú mérlege? Kocziger Éva, Szatmárémeti; Bíró Zoltá, Gyergyószetmiklós a) A mérések módja az alábbi táblázat szerit: Mérősúly bal oldali Mérősúly jobb oldali táyéro (kg) táyéro (kg) Mért érték (kg) b) + a =, a = a +, a+ = a + + a+ + = a +, q = a = 9

42 Az -edik mérősúly értékét az s = a +, N, s =, N Ahhoz, hogy legalább 05 kg-ig mide egész érték kimérhető legye a kétkarú mérlege, az szükséges, hogy a Tehát 8 mérősúlyra va szükség, ezek 7 értékei:,,,...,.. feladat: A,, 4, 5, 6, 8, 9 számjegyeket tetszőleges sorredbe felírva hétjegyű számot kapuk. Igazold, hogy az így kapott összes szám közül egyik sem osztható semelyik másikkal! dr. Becze Mihály, Bukarest A megadott eljárás szerit keletkezett összes A k szám számjegyeiek összege = 7 = 6 +, tehát bármelyik szám 9-cel való osztási maradéka, ezért A = 9a +, a N, k,,...,7!. k k k { } Feltételezzük, hogy létezik A A, i, j {,,...,7! } Így 9ai r ( 9a j ) + = +. i > és A = ra, r N, r. j A legkisebb keletkezett hétjegyű szám 45689, míg a legagyobb 98654, tehát Ai és a + = r 9a +, ezért r 5 r,,4. Aj, de i ( j ) Azoba i < <, azaz { } r = a i ra Z és j r {,,4 } elletmod egymásak feladat: Az ABCD égyzet oldaláak hossza a, felvesszük tetszőlegese az ( AD) N ( AB), P ( BC) és ( CD) M, Q potokat. Igazold, hogy a keletkezett háromszögek között va legalább egy olya háromszög, amelyek a területe kisebb vagy egyelő, mit a égyzet területéek egyyolcada! Mátéfi Istvá, Marosvásárhely Legye AM = ax, MD = a( x), BN = ay, NA = a( y), CP = az, PB = a( z), DQ = at, QC = a( t), rajz T AMN = AM AN = a x ( y), T BNP = BN BP = a y ( z) T CPQ = CP CQ = a z ( t), T DMQ = DM DQ = a t ( x) T T T T = AMN BNP CPQ DMQ a x ( y) a y ( z) a z ( t) a t ( x) T ( ) ( ) ( ) AMN TBNP TCPQ TDMQ = a x x a y y a z z a t ( t) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 a x x y y z z t t 4 8 x + x y + y z + z t + t 8 4 ABCD a a = T A égy terület szorzata kisebb vagy egyelő, mit 8 T ABCD 4 j, tehát legalább az egyik terület 40

43 A M D N B P Q C 5. feladat: Az ABCD paralelogrammába E a ( BC ) oldal felezőpotja, F a ( ) DC oldal D -hez közelebb eső harmadolópotja, AD = 6, AE =, BF = 8 és BF az AE, AC egyeeseket M illetve P -be metszi. Számítsd ki az AMP háromszög területét! Olosz Ferec, Szatmárémeti Először kiszámítjuk, hogy M milye aráyba osztja az( AE ) és ( BF ) szakaszokat, hogy azutá tudjuk meghatározi az ( ) ( ME ), ( MB ) szakaszok hosszát. AM, D F C P M E Ha AM = k AE és MB = m FB, akkor AB = AM + MB = k AE + m FB = k AB + BE + m FC + CB = ( ) ( ) = k AB + BC + m DC + CB = k AB + AD + m AB AD m k k AB = m AD Mivel AB és AD em kollieáris vektorok m k = 0, a megoldások: k = és m =. k 4 8 m = 0 A B Azt kaptuk, hogy AM = AE = = 9 és így ME = AE AM = 9 =. 4 4 BC AD 6 Hasolóa MB = FB = 8 = és BE = = = =, tehát ME = MB = BE =, így az 8 8 MBE egyelő oldalú háromszögből m( BME ) = m( AMP ) = 60 o. Az APB és CPF háromszögek hasolóságából következik 4 PB =, PM = PB MB = =. 5 5 PB AB = =, így FP FC PB FB = 5, ahoa 4

44 9 8 T = si 9 AMP AM PM M = 5 = feladat: Az egységyi oldalú kockába adott gömb, amelyek felületeiek területösszege 05. a) Igazold, hogy létezik, olya egyees, amely legalább 504 gömböt metsz. b) Mutasd ki, hogy létezik olya sík, amely legalább 640 gömböt metsz. dr. Becze Mihály, Bukarest a) Legye t k az k S, k {,,,, }, gömb agyköréek területe, így 05 = 4t, vagyis 05 tk = = 50, 75. k = 4 Mivel a kocka valamely oldallapjáak a területe egy területegység, a feti összeg 50, 75 -szor agyobb a kocka alapterületéél. Levetítjük az adott gömböt a kocka alaplapjára. Mivel a vetületek területeiek összege 50, 75 területegység, a kocka alaplapjá található egy olya pot, amely 504 gömb vetületéhez tartozik. Az illető potba a kocka alapsíkjára állított merőleges egyees legalább 504 gömböt metsz. b) Legye dk az S k, k {,,,, }, gömb agyköréek átmérője, így tk π dk π dk k = k = k =, mivel dk, k {,,,, } 05 = 4 = < Tehát dk > > > 69,6. k = π,5 Levetítjük az adott gömböt a kocka egyik oldalélére. Mivel a vetületek hosszáak összege agyobb, mit 69, 6, a kocka élé található egy olya pot, amely 640 gömb vetületéhez tartozik. Az illető potba a kocka élére állított merőleges sík legalább 640 gömböt metsz. k = k II. forduló. feladat: Adottak az = 5 7 ( + ) 00-zal való osztási maradékát. XI-XII. osztály a, N számok. Határozzuk meg az a 007 szám Mátéfi Istvá, Marosvásárhely a 007 = , a felírt szorzat téyezőit két halmazba helyezzük A = { ;5;9;,0} és B = { ;7;;,05}, az A halmazba 4 k + alakú számok vaak, míg a B halmazba 4k alakú számokat helyeztük. Összeszorozva az A halmaz elemeit a kapott szorzat 4 k + alakú, a B halmaz elemeiek a szorzata is 4 k + alakú mivel, cardb = 504 vagyis páros számú tagot tartalmaz Tehát az a 007 = szorzat is 4 k + alakú. De mivel a 007 osztható 5-el az utolsó két számjegye 00 ; 5; 50; 75. Ha figyelembe vesszük, hogy a szám 4 k + alakú akkor az utolsó két számjegye 5, tehát az a 007 szám 00-zal való osztási maradéka 5. 4

45 . feladat: Adott x xy + y = 49 egyelet. a) Oldd meg a természetes számok halmazába a megadott egyeletet. b) Igazold, hogy végtele sok racioális megoldása va az egyeletek. Kovács Béla,Szatmárémeti x xy + y = 49 / 4 x y + y = 96 y x + x = 96 a) ( ) ( ) Mivel az egyelet szimmetrikus elegséges csak az egyik egyeletet vizsgáli. ( ) x y + y = 96 Mivel y 96 y 8 Ha y = x = x = y = x = 9, ics megoldás ha ( ) ha ( ) y = x = 84 ics megoldás y = x = 69 x = 8 ha ( ) y = 4 x 4 = 48 ics megoldás ha ( ) y = 5 x 5 = x = 8 ha ( ) y = 6 x 6 = 88 ics megoldás ha ( ) y = 7 x 7 = 49 x = 7 x = 0 ha ( ) y = 8 x 8 = 4 x = 5 x = ha ( ) M = {( 7,0 ),( 0,7 ),( 8,5 ),( 5,8 ),( 7,7 ),( 8,)(,8) } b) x xy + y = 49 x 49 = xy y ( x 7)( x + 7) = y( x y) 7 7t x = 7 x 7 y y = xt + t t + t = = t, t Q, x y, x 7 7 x y x + 7 x = t ( x y) 4t 7t y = t + t Tehát az egyeletek végtele sok racioális megoldása va. feladat: Legye O az ABCD körbeírható égyszög átlóiak metszéspotja, R, S, Q, P redre az O pot vetületei az AB, BC, CD és DA oldalakra. Ha F az AS és CR egyeesek, illetve G az AQ és CP egyeesek metszéspotjai, igazold, hogy a BF, DG és az AC egyeesek összefutók! Pálhegyi-Farkas László, Nagyvárad 4

46 XXV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY BESZTERCEE 05 - február 6 - március. Tekitsük a következő ábrát: A körbeírhatóságból következik, hogy RAO O ODQ (l legye a mértékük α), RBO OCQ Q (legye a mértékük β ), PAO O OBS (legye a mértékük γ ) és OCS OD DP (legye a mértékük δ ). OR OQ A merőlegességekek köszöhetőe felírhatjuk a következő relációkat: tgα = =, AR QD OR OQ OSS OP OS OP tgβ = =, tgγ = = és tgδ = =. RB QC BSS AP SC DP OR Ie fejezzük ki a égyszög oldalai képződő szakaszokat: AR = tgα, RB OR OS =, BS =, tgβ tgγ OS SC = tgδ, CQ OQ OQ Op OP =, QD =, DPP = és PA =. tgβ tgα tgδ tgγ Legye E = BF AC és E = DG ACC és alkalmazzuk Ceva tételét az ABCC, illetve ADC CS háromszögekbe: C BR E A SB RA E C =, illetv AP DQQ CE ve =. PD QCC E A Midkét összefüggésből kifejezve az utolsó aráyt és behelyettesítvee a kifejezettt szakaszokat kapjuk, hogy: CE E A RB SC OR tgα OS tgγ tgα tgγ = = =, illetve AR BS tgβ OR tgδ OS tgβ tgδ CE E A PD QC OP tgγ = AP DQ = tgδ OQ tgα tgα tgγ =. OP tgβ OQ tgβ tgδ Mivel a két aráy egyelő, következik, hogy az E és E potok egybeesek, tehát a BF, DG és az ACC egyeesek összefutók. 4. feladat Az ABCD kovex égyszögbe ( A = C = 90 ) legyeek E és F potokk az A, illetve C potok vetületei a BD átlóra. Igazold, hogy AB + BC + CD + DA ( AE + BD + ) CFF BD. dr.becze Mihály, M Bukarest 44

47 XXV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY BESZTERCEE 05 - február 6 - március.. megoldás: x + y x + y x + y + xy x xy + y Ha x. y > 0 akkor x + y ( x xy + y) ( x y ) 4 0 Alkalmazva a feti egyelőtleséget és tekitve a mellékelt ábrát kapjuk, hogy: ( ) ADD + AB ( ) AD BC + DC illetvee + AB BCC + AD AB = + DC BD BD + BD AEE = + BD + BC DC = + BD AE BD BD CF = + BDD CF Összeadva az () és () egyelőtleségeket: BD AB + BC + CD + DAD + BD AEE + BD CFF ( = AE + BD + CF ) BD. megoldás: ( AB + AD) = ABB AB + AD = BC + CDC = ABB + BC + CDD + DA = BD Igazoluk kell, hogy BD ( BD + AE + BD + CF ) BD ( AE + BD + CF ), végigosztuk alkalmazzuk a következő jelöléseket: AE = x, CF = y, BD = a, kapjuk, hogy a + x + a + y x + 4a + y Négyzetre emelvee és elvégezve a számítást x + y + 4 a + x ( Igazoluk, kell, hogy (a + BD BD + AE, hasolóa BD BD + CF,ezeket összeadva ( )( a + y) 4 x y ) + 4 a + x x)( a y) + ax + + AD + AB AD = BD ( ( ( )( a y) BD + AE + ax + 4 ayy + xy, ie + ax ay ) 0 ayy, ezt égyzetre emelve + BDD AE = BDD ( BD + AEE ), ie BDB + CF ) BD -vel és 45

48 a XXV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY BESZTERCEE 05 - február 6 - március. + ax + ay + xy ax + ay + a xy, amely (a Megjegyzés: egyelőség akkor áll fe, ha x = y = xyx ) 0. a, vagyis ABCD égyzet.. Megoldás Legye m( ADB) = α és m( BDC ) = β. Mivel ABDD, BCD, CDF és AED háromszögek derékszögűek, az oldalak a következőképpe írhatóak: ABB = BD si α, AD = BDB cosα, AE = BD si α cosα, BC = BD si β, DC = BDD cos β, CF = BD si β cos β. Behelyettesítve a kért egyelőtleségbe, az így alakul: BD (si α + cos α + si β + cos β) BDD ( si α cosα + si β cos β + π hogy si x + cos x si x cos x +, x 0, eseté, hisze α, β derékszögű háromszög π hegyesszögei és mivel x 0, si x > 0, cos x > 0. Tehát si x + cos x si x cos x + + si x coss x si x cos x + + si x cos x + si x cos x si x cos x + si x cos x 8 si x cos x 4 ( si x cos x) + 4 si x cos x + 8 si x cos x ( si x cos x ) ) 0, ami igaz π egyelőtleség. Az átalakítások egyeértékűek, mert x 0, eseté é az egyelőtleség oldalai mide esetbe pozitívak. Az x helyébee redre α t és β t helyettesítve, lesz: si α + cosα si α cos α + és si β + cos β si β cosc β + összeadva potosa a keresett egyelőtleséget kapjuk. ). Elégséges igazoli,. Az egyelőtleségeket 5. feladat: Adott egy 60 oldalú szabályos sokszög, amelyek 007 csúcsa piros, 007 csúcsa kék és 007 csúcsa zöld. Igazold, hogy keletkezik három darab kogrues 4 oldalú sokszög úgy, hogy az első csúcsai mid pirosak, a második csúcsai mid kékekk és a harmadik csúcsai mid zöldek. dr.becze Mihály,BukarM rest Képzeljük el, egy tegelye három azoos fogaskereket, amelyeke az eredeti szíezésű sokszögük va. Az első kereket ráfordítjuk a másodikra elvégezve az összes 6000 forgatást. Így midegyik piros csúcs átmegy az összes kék csúcso, amiből 8 szítalálat va. Igazoljuk, hogy létezik egy forgatás, amelyek sorá 670 piros egybeesik 670 kékkel. Alkalmazzuk a skatulya elvet és a reductio ad absurdum 46

49 módszert. Tételezzük fel, hogy a forgatások sorá legfeljebb 669 dupla (piros-kék) szítalálatuk va. Vegyük 670 skatulyáak megfelelő papír fecit, midegyikre írjuk rá, hogy háy dupla (piros-kék) szítalálatuk va a forgatások sorá, az elsőre egy k 0 számot, a másodikra egy k számot és így tovább, az utolsóra egy k 669 számot. Az i. fecire az a k i szám kerül, miszerit az összes forgatás sorá potosa i dupla (piros-kék) szítalálatuk volt. Tegyük fel, hogy az utolsó fecire a 600 szám lett felírva, értelemszerűe a többi fecire 0 kerül. Ez azt jeleti, hogy = dupla szítalálat lehet maximum. De 8 = 007 = dupla szítalálatuk kell legye, ez elletmodás. Tehát valóba létezik egy forgatás, amelyek sorá 670 piros egybeesik 670 kékkel. Most megforgatjuk a harmadik kereket is, így a 007 zöld csúcs átmegy a 670 piros-kék csúcso. Így tripla (piros-kék-zöld) egybeesés keletkezik. Hasolóa godolkodva, igazolható, hogy létezik egy forgatás, amelyek sorá 4 tripla (piros-kék-zöld) egybeesés keletkezik, mivel 600 = 4460, amely kisebb mit = Megjegyzés: a feti értékek a legagyobb értékek, amelyekre biztosra mehetük, hisze: > 8 és > feladat: Ha adott az ( a ) lim x y z x y z x y z ( a a a + aa a4 + + aa a ) Mivel a sorozat koverges, pozitív tagú koverges sorozat, akkor számítsd ki a határértéket, ahol x, y, z > 0 és x + y + z =. a R úgy, hogy lim a = a. dr. Becze Mihály, Bukarest Alkalmazva a számtai és mértai középaráyosok közötti egyelőtleséget és Cesaro-Stolz tételéek egyik következméyét: x y z x y z x y z x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z lim ( a a a + aa a4 + + aa a ) lim a a a = = lim a a a = a Ismert a súlyozott számtai és mértai középaráyosok közötti egyelőtleség, azaz ax + by + cz x y z ha x, y, z > 0 és a, b, c > 0, akkor x y z ( a b c + + ) és mivel a mi esetükbe x + y + z x y z x + y + z =, az egyelőtleség a következőképpe alakul: ax + by + cz a b c. Az utóbbi egyelőtleséget alkalmazva: x y z x y z x y z lim ( a a a + aa a4 + + a a a ) lim ( xa + ya + za + + xa + ya + za ) = = lim ( x + y + z)( a + a + + a ) lim = ( a + a + + a ). Alkalmazva Cesaro-Stolz tételéek másik következméyét: lim ( a + a + + a ) = a. x y z x y z x y z A fogó tétel értelmébe: lim ( a a a + a a a4 + + aa a ) = a. 47

50 EREDMÉNYEK V. osztály Sorszám Diák eve Iskola Hivatal Összpot EMMV MECS Díj Díj Kaiser Daiel székelyudvarhelyi Baczkamadarasi Kis Gergely R. Kollégium I Ku Édua Boróka agyváradi Lorátffy Zsuzsaa Református Gimázium II Bota Reáta Britta kolozsvári Báthory Istvá Elméleti Líceum III 4 Boda Edia zilahi Simio Barutiu Általáos Iskola M 5 Kovács Álmos baróti Gaál Mózes Általáos Iskola M 6 Kis Aita marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum Back Istvá Levete aradi Csiky Gergely Fogimázium Kotró Előd kézdivásárhelyi Nagy Mózes Elméleti Líceum Szilágyi Botod marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum Korpoay Albert agybáyai Németh László Elméleti Líceum D Éles Júlia szatmárémeti Kölcsey Ferec Fogimázium D Berszá Örs brassói.sz. Diacou Coresi Általáos Iskola D Atal Szilárd szászrégei Petru Maior Szaklíceum Agocs Gábor Péter margittai Horváth Jáos Elméleti Líceum Cseke Bara székelyudvarhelyi Tamási Áro Elméleti Líceum Nyegró David Imre brassói Áprily Lajos Fogimázium Fehér Aa szatmárémeti Hám Jáos R. K. Teológiai Líceum Pükösti Györk zilahi Wesseléyi Református Kollégium Tofalvi Áges dévai Téglás Gábor Elméleti Líceum Kürth Varsóczky Réka agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum Molár Julia Móika agyeyedi Bethle Gábor Kollégium Szekely Vada Atoia magyaremegyei Általáos Iskola Suciu Balázs gyimesbükki Dai Gergely Általáos Iskola

51 VI. Osztály Sorszám Diák eve Iskola Hivatal Összpot Árva Norbert Ákos agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum I Péter Ákos csíkmadarasi Kiss Ferec Általáos Iskola II Laczkó Csogor sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium III 4 Rokaly Kriszta gyergyószetmiklósi Fogarasy Mihály Általáos Iskola M 5 Orosz Katali temesvári Bartók Béla Elméleti Líceum M 6 Mészár Aa Orsolya aradi Csiky Gergely Fogimázium Bucescu Adreea Blaka brassói Áprily Lajos Fogimázium D 8 Kovács Péter zilahi Simio Barutiu Általáos Iskola D 9 Müller Áges besztercei Adrei Mureşau Fogimázium D 0 Fogarasi Adrás kolozsvári Nicolae Titulescu Általáos Iskola Máthé Arold marosvásárhelyi Mihai Viteazu Állami Gimázium Csegezi-Balázs Orsolya agyeyedi Bethle Gábor Kollégium Osvath Tamas dévai Téglás Gábor Elméleti Líceum Geller Levete medgyesi Báthory Istvá Általáos Iskola Kása-Baumli Dávid szatmárémeti Hám Jáos R. K. Teológiai Líceum Csegezi Zsombor erdocsiádi Általáos Iskola Gracsa Robert bukaresti Ady Edre Elméleti Líceum EMMV Díj MECS Díj VII. osztály Sorszám Diák eve Iskola Hivatal Összpot Miklós Csege sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium I Roth Apor sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium II Józsa Kriszta brassói Áprily Lajos Fogimázium III 4 Egri Csogor csíkszeredai Nagy Imre Általáos Iskola M 5 Pulbere Dávid kolozsvári Báthory Istvá Elméleti Líceum M 6 Szabó Dóra-Reáta marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum Fodor Orsolya dévai Téglás Gábor Elméleti Líceum D 49 EMMV Díj MECS Díj

52 8 Boros Csaba szatmárémeti Hám Jáos R. K. Teológiai Líceum D 9 Jakab Lórád temesvári Bartók Béla Elméleti Líceum D 0 Kristó Rolad csíkszeredai Liviu Rebreau Általáos Iskola D Éles Dávid agyszalotai Aray Jáos Elméleti Líceum Vicsi Márk zilahi Simio Barutiu Általáos Iskola Pop Kriszta agybáyai Nicolae Iorga Általáos Iskola Viczi Márk-Levete medgyesi Báthory Istvá Általáos Iskola Jakab Etele marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum Balogh Ádám-Csaba agybáyai Németh László Elméleti Líceum Gyarmathy Csaba agybáyai Németh László Elméleti Líceum Atal Brigitta Ibolya bethlei Grigore Silasi Általáos Iskola Molár Orsolya Izabella agyeyedi Bethle Gábor Kollégium VIII. osztály Sorszám Diák eve Iskola Hivatal Összpot Garfield Adriee kolozsvári Jáos Zsigmod Líceum I Portik Ábel szovátai S. Illyés Lajos Általáos Iskola II Péter Istvá csíkszeredai Petofi Sádor Általáos Iskola III 4 Fazakas Borbála kolozsvári Báthory Istvá Elméleti Líceum M 5 Ferecz Dáiel marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum M 6 Tamás Nádor Károly kézdialmási Keleme Didák Általáos Iskola Saláki Miklós agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum D 8 Keresztes Beáta zilahi Simio Barutiu Általáos Iskola D 9 Pelok Balázs-Istvá székelyudvarhelyi Baczkamadarasi Kis Gergely Ref Koll D 0 Kuruczi Viktória aradi Csiky Gergely Fogimázium Racz Máté csíkszeredai Nagy Imre Általáos Iskola Marica Edia brassói Áprily Lajos Fogimázium Harkay Gabriella temesvári Bartók Béla Elméleti Líceum Petkes Kiga agykárolyi.sz. Általáos Iskola EMMV Díj MECS Díj

53 5 Petek Balázs marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum Daczó Dávid sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium Szép Bece szatmárémeti Hám Jáos R. K. Teológiai Líceum Máté Éva magyardécsei Általáos Iskola IX. osztály Sorsz Diák eve Iskola H 4 5 I. forduló H Gergely Aa csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum I sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Demeter Ábel Kollégium II Szabó Liza temesvári Bartók Béla Elméleti Líceum III 4 Bartis Zsolt csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum M sepsiszetgyörgyi Székely Mikó 5 Máté Zsolt Kollégium M székelyudvarhelyi Tamási Áro Elméleti 6 Schram Istvá Líceum M 7 Petres Sára csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum M 8 Szőcs Orsolya-Reáta kolozsvári Báthory Istvá Elméleti Líceum Barayai Istvá Dávid 0 Dái Eszter Sádor József szatmárémeti Kölcsey Ferec II. forduló Főgimázium D kézdivásárhelyi Nagy Mózes Elméleti Líceum D székelyudvarhelyi Tamási Áro Elméleti Líceum D marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Viczi Richárd Líceum D sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Bakó Bece Kollégium D 4 Sóos Márto brassói Áprily Lajos Főgimázium D 5 Puskás Dávid marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum D sepsiszetgyörgyi Székely Mikó 6 Bálit Huor Kollégium D sepsiszetgyörgyi Székely Mikó 7 Szabó Richárd Kollégium D 8 Nemes Emília zilahi Silvaia Főgimázium marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti 9 Szász Tamás Líceum Adrás Noémi kolozsvári Jáos Zsigmod Líceum Összp EMMV Díj MECS Díj

54 Udvari Róbert dévai Téglás Gábor Elméleti Líceum marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Béres-Duha Csogor Líceum Fita Klara-Eikő kolozsvári Jáos Zsigmod Líceum agykárolyi Kalazaci Szet József 5 Schlachter Kicső Elméleti Líceum égyfalui Zajzoi Rab Istvá Elméleti 6 Sipos Emese Líceum Szász Tamás temesvári Bartók Béla Elméleti Líceum Hegyi Boglárka aradi Csiky Gergely Főgimázium Mátyás Gergely Péter csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum szatmárémeti Hám Jáos Római 0 Skapiyák Szilárd Katolikus Teológiai Líceum Kozma Gergő-Tamás agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum Moriczi Sádor besztercei Adrei Mureşau Főgimázium Stelczer Norbert dévai Téglás Gábor Elméleti Líceum Nagy Edwárd Szilárd brassói Áprily Lajos Főgimázium marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti 5 Kátor Huor-Ákos Líceum Potos Erika Brigitta agyváradi Mihai Emiescu Főgimázium Salak Jáos besztercei Adrei Mureşau Főgimázium Badi Mária- Magdola bukaresti Ady Edre Elméleti Líceum máramarosszigeti Leöwey Klára Elméleti 9 Balas Zoltá Attila Líceum Göczel A. Rolad besztercei Adrei Mureşau Főgimázium X. osztály Sorszám Diák eve Iskola H 4 I. forduló H szatmárémeti Hám Jáos Római Katolikus Schefler Bara Teológiai Líceum I Takó-Gábor Tihamér csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum II 4 Divi Péter agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum III 5 Baja Zsolt székelyudvarhelyi Tamási Áro Elméleti Líceum M II. forduló Összp. EMMV Díj MECS Díj 5

55 6 Szabó Áges- Kriszta marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum M 7 Tőtős György zilahi Silvaia Főgimázium M 8 Cseke Alpár csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum D 9 Tamás Adrea kézdivásárhelyi Nagy Mózes Elméleti Líceum D 0 Vészi Blaka marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum D Kádár Attila baróti Baróti Szabó Dávid Szakközépiskola D Veres-Vitályos Álmos sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium D Medgyesi Attila sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium D 4 Török Norbert marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum D 5 Demeter Huor székelyudvarhelyi Tamási Áro Elméleti Líceum D 6 Fogel Peter szatmárémeti Kölcsey Ferec Főgimázium D 7 Péterfi Orsolya marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum D 8 Lukács Áro Zsolt csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum D 9 Nyámcz Simo Istvá- Balázs kolozsvári Jáos Zsigmod Líceum D 0 Deméy Adrea Beradett csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum Petres Botod marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum Csukás Bálit agyszalotai Aray Jáos Elméleti Líceum Vad Bertala agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum Sárga Agéla agybáyai Németh László Elméleti Líceum Hammas Attila brassói Áprily Lajos Főgimázium Fogarasi Zsigmod Levete kolozsvári Brassai Sámuel Elméleti Líceum Uivári Melida kolozsvári Báthory Istvá Elméleti Líceum Gegő Csege brassói Áprily Lajos Főgimázium Iloa Judit aradi Csiky Gergely Főgimázium Molár Rolad agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum Heveli Richard agykárolyi Elméleti Líceum Harkay Tímea temesvári Bartók Béla Elméleti Líceum Oláh Evely temesvári Bartók Béla Elméleti Líceum

56 4 Forró László bukaresti Ady Edre Elméleti Líceum Kovács Ádám Lajos agyszalotai Aray Jáos Elméleti Líceum XI. Osztály Sorszám Diák eve Iskola H 4 54 I. forduló H Sütő Ágosto marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum I Burus Edre csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum II szatmárémeti Hám Jáos Római Katolikus Schefler Gergo Teológiai Líceum III 4 Füstös Áges kolozsvári Báthory Istvá Elméleti Líceum M 5 Hegedüs Huor székelyudvarhelyi Tamási Áro Elméleti Líceum M 6 Gábor Csaba-László kolozsvári Báthory Istvá Elméleti Líceum M szatmárémeti Hám Jáos Római Katolikus 7 Boros Zoltá Teológiai Líceum Osztiá Pálma marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum Kovács Ádám csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum Józsa Máté székelyudvarhelyi Tamási Áro Elméleti Líceum D Miklós Botod égyfalui Zajzoi Rab Istvá Elméleti Líceum D Gombos Kriszta zilahi Silvaia Főgimázium D Máté Orsolya marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum D 4 Mali Imre Gergely szatmárémeti Kölcsey Ferec Főgimázium D 5 Batiz Orsolya Beradett kolozsvári Apáczai Csere Jáos Elméleti Líceum D 6 Sata Bálit székelyudvarhelyi Tamási Áro Elméleti Líceum D 7 Kovács Tamás szatmárémeti Kölcsey Ferec Főgimázium D II. forduló 8 Oltea-Péter Boróka marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum Kovács Levete kézdivásárhelyi Nagy Mózes Elméleti Líceum Papp Adrea Kiga csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum Cara Alessio aradi Csiky Gergely Főgimázium Rab Zsolt sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium Zákáy Tamás agybáyai Németh László Elméleti Líceum Összp. EMMV Díj MECS Díj

57 szatmárémeti Hám Jáos Római Katolikus 4 Heim László Teológiai Líceum Dudaş Norbert agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum Sisa Richárd aradi Csiky Gergely Főgimázium Horosyi Zsolt agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum Kovács Gyula agyszalotai Aray Jáos Elméleti Líceum Gricz Alexadra agyszalotai Aray Jáos Elméleti Líceum Kátor Kiga besztercei Adrei Mureşau Főgimázium XII. osztály Sorszám Diák eve Iskola H 4 I. forduló H gyergyószetmiklósi Salamo Erő Elméleti Székely Attila Líceum I Gotha Gütter agybáyai Németh László Elméleti Líceum II Csutak Balázs sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium III 4 Beilad Arold agykárolyi Elméleti Líceum M 5 Csala Huor csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum M 6 Szász Apolka baróti Baróti Szabó Dávid Szakközépiskola M marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti 7 Kucsvá Zsolt Líceum D 8 Mate Rudolf zilahi Silvaia Főgimázium D 9 Mester Attila sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium D 0 Nagy Istva zilahi Silvaia Főgimázium D Saláki Dáiel agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum D Bíró Eikő kézdivásárhelyi Nagy Mózes Elméleti Líceum D 4 Lazar Ioa Stefa szatmárémeti Kölcsey Ferec Főgimázium D 5 Simo Ádám sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium D 6 Sólyom Gellért csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum D 7 Erősdi Zakariás csíkszeredai Márto Áro Elméleti Líceum D 8 Gyarmathy Timea agybáyai Németh László Elméleti Líceum D 9 Szabó Izabella aradi Csiky Gergely Főgimázium D 0 Farkas Eszter kolozsvári Báthory Istvá Elméleti Líceum II. forduló Összp. EMMV Díj MECS Díj 55

58 marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Nagy Dáiel Líceum Ecsedi Flóra-Rebeka margittai Horváth Jáos Elméleti Líceum Bács Béla sepsiszetgyörgyi Székely Mikó Kollégium Nagy Lilla kolozsvári Báthory Istvá Elméleti Líceum gyergyószetmiklósi Salamo Erő Elméleti 5 Kopacz Aikó Líceum Dombi Kristóf- Barabás margittai Horváth Jáos Elméleti Líceum Matis Adrie zilahi Silvaia Főgimázium székelykeresztúri Orbá Balázs Elméleti 8 Gagyi Mátyás Líceum marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti 9 Mózsa Gellért Líceum Kovács Arold- Szilveszter agyváradi Ady Edre Elméleti Líceum Lakatos Arpad besztercei Adrei Mureşau Főgimázium Máthé Emese aradi Csiky Gergely Főgimázium Salak Balazs Attila besztercei Adrei Mureşau Főgimázium Pap S. Ervi besztercei Adrei Mureşau Főgimázium

59

60