0 Norma A mátrixok bizoyos tulajdoságaiak például sorozataik kovergeciájáak vizsgálatába haszosak az olya meyiségek, melyek a köztük lévő külöbségeket a távolságra emlékeztető módo mérik Ehhez az abszolút érték fogalmáak általáosításá keresztül vezet út Vektororma Vektor abszolút értéke az euklideszi orma A 2- és 3-dimeziós vektorok abszolút értékét a?? fejezetbe defiiáltuk, majd az -dimeziós terekre is kiterjesztettük Eek segítségével két vektor távolságát is defiiáli tudtuk A következőkbe olya az alkalmazásokba is fotos függvéyeket defiiáluk, amelyek az abszolút érték origótól való távolság tulajdoságát általáosítják E függvéyeket ormáak evezzük Mideekelőtt ilye evet aduk a vektor abszolút értékéek is, és egyúttal valós vektorokról komplexekre is kiterjesztjük a defiíciót: 0 defiíció (Euklideszi orma) Az x vektor euklideszi ormája vagy más éve abszolút értéke x 2 = x 2 = x 2 i = x T x, ha x R, (0) x i 2 = x H x, ha x C (02) Például az x = (+i, 2i, 3) vektor euklideszi ormája x 2 = (+i)( i)+( 2i)(+2i)+3 2 = 2+5+9 = 4 Vektor euklideszi ormájára az, és a 2 jelölések egyarát haszálatosak
72 A komplex vektorokra adott defiícióak a valós speciális esete, így akár ez az egy is megfelele Sőt, így a defiíció C tetszőleges részteste fölötti vektorokra is érvéyes Ha x egy tetszőleges emzérus vektor, akkor x/ x 2 egységvektor Egy vektorból az azoos iráyú egységvektor ilye módo való képzését ormálásak evezzük, és azt modjuk, hogy az x vektort ormáljuk A p-orma Ha egy égyzethálós utcaszerkezetű város egy kereszteződésébe álluk (legye ez az origó), akkor egy x házyival keletre és y házyival északra fekvő pothoz vezető legrövidebb út hossza gyalog vagy taxival x+y Általába e mérték szerit az origóból az (x, y) koordiátájú kereszteződéshez vezető legrövidebb út hossza x + y Mivel itt csak a koordiátaredszer rácsvoalai haladhatuk, szokás e ormát rácsormáak evezi Egy másik ormához jutuk a következő számítógépes képméretező feladattal Ki va jelölve egy kép közepe Egy (x, y) képpot tőle való távolsága legye az a legkisebb c szám, hogy e pot a ( c, c) és (c, c) potok által meghatározott égyzetbe még épp beleférje Világos, hogy c = max{ x, y } E ormát maximum ormáak is evezik Az euklideszi orma, a rácsorma és a maximum orma is származtatható a következő általáosabb ormából: 02 defiíció (p-orma) A p valósra az x C vektor p-ormája x p = ( x i p ) /p, míg eek határértéke a -orma, azaz x = lim p x p Az agolszász taköyvek a rácsormára gyakra a Mahatta orm vagy a taxicab orm kifejezést haszálják Például (3, 4, 5) 3 = 3 27+64+25 = 6, (+i, i, 0) = + 2 Világos, hogy a 2-orma megegyezik az euklideszi-ormával, az -orma a rácsormával A maximum orma megegyezik a -ormával, azaz x = lim p x p = lim p ( ) /p x i p = max x i i Eek bizoyításához jelöljük a legagyobb abszolút értékű koordiátát x max -szal Ekkor mide x i koordiátára x i / x max, és így x i /x max p Midegyik kifejezést /p-edik hatváyra emelve, majd x max -szal beszorozva kapjuk, hogy x max x max ( x i x max p ) /p és /p, ha p, ami bizoyítja az állítást x max /p,
orma 73 Érdekes megtekitei az origótól valamely ormába egységyi távolságra lévő potok halmazát, vagyis az egységgömböt A 0 ábra az -, 3 2 -, 2-, 3- és -ormához tartozó egységköröket (2-dimeziós egységgömböket) mutatja A orma általáos fogalma Az előzőekbe az abszolút értékhez vagyis az origótól való távolsághoz kerestük hasoló függvéyt Kérdés azoba, hogy milye tulajdoságok fotosak számukra, melyeket meg akaruk őrizi Az abszolút értékkel defiiált távolság haszálatakor a következő tulajdoságok tűek fotosak: (a) x 0, azaz vektor abszolút értéke em egatív (b) x = 0 potosa akkor áll fe, ha x = 0 Eek fotos tartalma, hogy a d(x, y) = x y képlettel defiiált távolságfüggvéy szeparálja a potokat, azaz két külöböző pot távolsága sosem 0 (c) cx = c x, ami a lieáris leképezésekél megismert homogeitásra emlékeztető tulajdoság: szokás pozitív homogeitásak evezi (d) x + y x + y, amit háromszögegyelőtleség éve ismerük E tulajdoságok a következő defiícióhoz vezetek: 03 defiíció (Norma) Egy f : R R, vagy f : C R függvéyt ormáak evezük, ha feállak a következők: f(x) 0 mide x vektorra, és f(x) = 0 potosa akkor áll fe, ha x = 0, 2 f(cx) = c f(x) mide x vektorra, 3 f(x+y) f(x)+ f(y) Az f(x) értéket x ormájáak evezzük p = p = 3 2 p = 2 A ormát általába az abszolút értékre emlékeztető zárójellel jelöljük, azaz x ormáját x jelöli E jelöléssel tehát a orma egy : R R, vagy : C R függvéy x = x bármely ormára igaz, hisz x = x = x Ige haszos a háromszögegyelőtleség külöbségre fölírt következő alakja: p = 3 z x z x (03) Ez a következőképp igazolható: legye z = x + y, ekkor a háromszögegyelőtleségből kapjuk, hogy z x z x, de x és z szerepét fölcserélve x z x z is igaz, így z x = x z igazolja az egyelőtleséget Axiomatikus felépítésbe kevesebb is megkövetelhető a orma defiíciójába, evezetese az első pot két feltétele helyett elég egy is, p = 0 ábra: Az -ormájú potok mértai helye, azaz az egységkörök p =, p = 3/2, p = 2, p = 3 és p = eseté
74 azaz elég a következő: ha f(x) = 0, akkor x = 0, 2 f(cx) = c f(x) mide x vektorra, 3 f(x+y) f(x)+ f(y) A defiíció utolsó két tulajdoságából adódik, hogy bármely x vektorra f(x) 0, és f(0) = 0, így 3 ekvivales 3 -vel (ld a 02 feladat) p = A p-orma mide p esetbe orma Eek bizoyítása meglehetőse techikai jellegű, ezért csak a feladatok közt közöljük (ld 0) A bizoyítás két evezetes egyelőtleségre a Hölder- és a Mikowski-egyelőtleségre épül, melyeket ugyacsak feladatkét tűzük ki (ld 09, 00) Valójába a Mikowski-egyelőtleség maga a háromszögegyelőtleség: x+y p x p + y p (04) A Hölder-egyelőtleség a CBS-egyelőtleség általáosítása: p = 2 x H y x p y q, ahol p + q = (05) A legfotosabb esetekbe, vagyis a p =, p = 2 és p = esetbe aak bizoyítása, hogy a p-orma orma, eddigi ismereteiket felhaszálva egyszerű, ezért aak meggodolását mide olvasóak ajáljuk (ld 03, 04 feladatok) Normából további ormák származtathatóak Ha x x egy orma, és A egy egy-egy értelmű lieáris leképezés, akkor az x Ax leképezés is orma (07 feladat), továbbá orma az x y x sup y =0 y p = 02 ábra: Az -ormájú potok mértai helye a térbe, azaz az egységgömbök p =, p = 2 és p = eseté függvéy is (ld 08) Azoal látszik, hogy azaz max{ x i } i x 2 + + x 2 x + + x x x 2 x (06) Másrészt az is köye igazolható (ld 05, hogy x x 2, x 2 x és x x (07) Ezek az egyelőtleségek vezetek a ormák ekvivaleciájáak fogalmához, ami a következő paragrafus témája Mide orma folytoos függvéy Ez például a a (03) egyelőtleségek és a (07) első becsléséek következméye (ld 06 feladat)
orma 75 Vektorormák ekvivaleciája A (06) és a (07) egyelőtleségek szerit x x és x x, vagyis midkét ormáak felső korlátját adja a másik egy megfelelő kostasszorosa Ez azt jeleti, hogy például a kovergeciakérdések eldötésébe e két orma egyformá viselkedik, vagyis egy vektorsorozat potosa akkor koverges az egyik szerit, ha a másik szerit is 04 defiíció Azt modjuk, hogy az a és b ormák ekvivalesek, ha va olya c és d pozitív valós, hogy a c b és b d a A (06) és a (07) egyelőtleségek azt mutatják, hogy az -, 2- és -ormák mid ekvivalesek 05 tétel (Normák ekvivaleciája) Legye K = C vagy R A K tére értelmezett bármely két orma ekvivales Bizoyítás Megmutatjuk, hogy tetszőleges K -e értelmezett orma ekvivales az -ormával Ebből azoal következik, hogy bármely két orma ekvivales egymással A háromszögegyelőtleséget alkalmazva az x = x e + +x e felbotásra kapjuk, hogy x x i e i c x i = c x, ahol {e,, e } a stadrad bázis, és c = max i e i Ezzel bizoyítottuk, hogy x c x Az x d x egyelőtleség bizoyításához meg kell mutatuk, hogy x / x felülről korlátos a emulla vektorok halmazá Idirekt módo tegyük fel, hogy va olya {x k } sorozat, hogy x k / x k, ha k Ekkor x k / x k 0, azaz az y k = x k / x k olya sorozat, hogy y k 0, és y k = Mivel az -ormájú egységgömb korlátos, ezért feltételezhető, hogy az y k sorozat koverges (egyébkét vegyük egy koverges részsorozatát), melyek y-al jelölt határértéke is az egységgömbö va, azaz y =, így y = 0 Másrész folytoos, így y k y, tehát y = 0, ami elletmodás Fölvetődik a kérdés, hogy ha az összes orma ekvivales, akkor mi értelme bevezeti ormák ekvivaleciájáak fogalmát! A válasz az, hogy az ekvivaleciát csak véges dimeziós terekre bizoyítottuk, és valóba, végtele dimeziós terekbe em teljesül Az viszot fotos következméy, hogy véges dimeziós terekbe vektorok kovergeciakérdéseiek eldötéséhez midig olya ormát választhatuk, ami
76 a legkéyelmesebbe haszálható, hisz az eredméy a ormaválasztástól függetle Feladatok 0 Számítsuk ki az alábbi vektorok megadott ormáit! x = ( 3 i, 6i, 3), y = (0, 02, 02), p =, 2, ; 2 (, 2, 2), (2, 3, 6), (, 4, 8), (4, 4, 7), p = 2; 3 (i, 2, 2 2i, 4i), p =, 2, ; 4 (3, 4, 5), (, 2, 3, 4), p = 3; 5 (95800, 2759, 44560) 4, (27, 84, 0, 33) 5 02 Mutassuk meg, hogy a 03 defiíció 3 potja és az utáa következő megjegyzés 3 potja ekvivalesek 03 Mutassuk meg, hogy az -orma orma 04 Mutassuk meg, hogy az -orma orma 05 Mutassuk meg, hogy x p c x q, ahol c a következő táblázatból kiolvasható, ahol p értékei a sorok, q értékei az oszlopok fejlécébe vaak 2 2 06 Mutassuk meg, hogy mide orma folytoos függvéy 07 Mutassuk meg, hogy ha egy orma, és A egy egyegy értelmű lieáris leképezés, akkor az x Ax leképezés is orma 08 Mutassuk meg, hogy ha egy orma, akkor az x y x sup y =0 y függvéy is az E ormát duálormáak is szokás evezi 09 Hölder-egyelőtleség Igazoljuk, hogy bármely x, y C vektor és p, q valósok eseté x i y i x p y q, ahol p + = (08) q A következő lépéseket javasoljuk: Igazoljuk, hogy a, b > 0, p, q és p + q = eseté ab ap p + bq q Eek igazolására határozzuk meg az f : x x p függvéyhez tartozó két alábbi satírozott tartomáy területét! b a 2 Az előző egyelőtleségbe végezzük el az a = x i x p, b = y i y q helyettesítéseket, majd ezzel igazoljuk a Hölderegyelőtleség (08) alakját 3 Végül bizoyítsuk a Hölder-egyelőtleség (05) alakját is 00 Mikowski-egyelőtleség Igazoljuk, hogy bármely x, y C vektor és p valós eseté x+y p x p + y p (09) A következő lépéseket javasoljuk: Igazoljuk, majd alkalmazzuk az x i, y i számokra az a+b p = a+b a+b p/q a a+b p/q + b a+b p/q egyelőtleséget, ahol /p + /q = 2 Alkalmazzuk a Hölder-egyelőtleséget a x i x i + y i p/q kifejezésre 0 Mutassuk meg, hogy a p-orma orma f Mátrixorma Vektorormák mátrixoko Egy m -es mátrix tekithető egy m-dimeziós vektorak is, így a vektorokra defiiált ormák mátrixokra is alkalmazhatók Ezek között legfotosabb a 2-orma mátrixokra való kiterjesztése, mely több ekvivales alakba is felírható
orma 77 06 defiíció (Frobeius-orma) Az A C m mátrix Frobeiusormája A F = m a ij 2 = m i A 2 2 = A j 2 Itt azért em a 2-orma elevezést haszáljuk, mert azt más ormára tartogatjuk A Frobeius-orma további módoko is számolható: 2 07 tétel (Frobeius-orma ekvivales alakjai) A F = trace(a H A) = mi(m,) σi 2 (00) Bizoyítás Az első alak azoal következik a yom defiíciójából, hisz A H A átlójáak i-edik eleme éppe A i 2 2-tel egyezik meg Mivel pedig egy mátrix yoma megegyezik sajátértékeiek összegével, és A H A sajátértékei pedig a sziguláris értékek égyzetei, ezért trace(a H A) = mi(m,) σi 2, ami bizoyítja az állítást Egy vektororma akkor yújthat igazá haszos iformációt a mátrixokról is, ha valamilye módo kapcsolatba va a mátrix olya sajátosságaival, ami m-dimeziós vektorkét eheze leírható A mátrixszal való szorzás például ilye A vektorok 2-ormája és a mátrixok Frobeius-ormája közt például a következő összefüggés áll fe: 08 állítás Bármely x C vektorra és A C m mátrixra Ax 2 A F x 2 (0) Bizoyítás Igazolására a Cauchy Buyakovszkij Schwarz-egyelőtleséget alkalmazzuk: Ax 2 2 = A i x 2 i A 2 2 x 2 2 = A 2 F x 2 2 E tulajdoság általába em igaz mide mátrixokra alkalmazott vektorormára Ilye a maximum orma is, melyet a következőképp vihetük át mátrixokra: A max = max{ a ij } i,j Például az A = [ 2 0 ] mátrix maximum ormája 2 E mátrix külöböző vektorokkal vett szorzatáak ormája és a ormák szorzata közt
78 midhárom reláció feállhat Például az [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] 2 2 0 2 =, =, 0 0 0 0 [ ][ ] [ ] 2 3 = 0 szorzatokba a ormákra a 2 >, 2 = 2, 2 < 3 relációk teljesülek A (0) tulajdoság mátrixok szorzatára is átvihető, azaz AB F A F B F igaz bármely A C m és B C k mátrixokra A mátrixorma általáos fogalma A vektorormák alkalmazhatók mátrixokra is Sok köyv azoba és így teszük mi is egy ormát csak akkor tekit mátrixormáak, ha a vektororma axiómái mellett egy mátrixszorzásra voatkozóak is eleget tesz 09 defiíció (Mátrixorma) Legye K = R vagy C Egy K fölötti mátrixoko értelmezett valós értékű függvéy mátrixorma, ha tetszőleges azoos méretű A és B mátrixra és összeszorozható A és C mátrixra A 0, és A = 0 potosa akkor áll fe, ha A = O, 2 ca = c A, 3 A+B A + B, 4 AC A C A korábbiak szerit tehát a Frobeius-orma mátrixorma, míg a maximum ormát em tekitjük mátrixormáak 00 defiíció Azt modjuk, hogy a M mátrixorma valamit a a és a b vektorormák illeszkedek vagy kozisztesek, ha tetszőleges A mátrixra és megfelelő dimeziójú x vektorra Ax b A M x a Például a (0) szerit a Frobeius-orma illeszkedik a 2-ormához Idukált orma E paragrafusba vektorormákból kiidulva újabb mátrixormákhoz jutuk 0 defiíció (Idukált orma) Legye egy tetszőleges vektororma Ekkor az A = max Ax (02) x = egyelőséggel defiiált függvéyt a vektororma által idukált mátrixormáak, vagy operátorormáak evezzük
orma 79 Az idukált mátrixormára a vektororma jelölését szokás haszáli, így például a mátrix p-orma defiíciója A p = max Ax p x p = A ormák ekvivaleciájából következik, hogy bármely ormába az egységgömb korlátos és zárt Így a rajta értelmezett folytoos x Ax függvéyek va maximuma és miimuma, tehát a defiíció értelmes Az előző megjegyzést is figyelembe véve köye igazolható, hogy a defiíció a következő ekvivales alakokba is átírható: Ax A = sup x =0 x = max Ax x =0 x (03) Ez abból következik, hogy az y = x/ x jelöléssel ( ) A = max Ay = max x A = max y = x =0 x x =0 Ax x Azt még igazoluk kell, hogy a mátrixorma elevezés e függvéyre valóba jogos 02 tétel (Idukált orma tulajdoságai) Legye egy tetszőleges vektororma, ekkor az idukált, a (02) képlettel defiiált mátrixfüggvéy mátrixorma, azaz feáll a 09 defiíció mid a égy feltétele, 2 illeszkedik az idukáló vektorormához, azaz Ax A x Bizoyítás Először az illeszkedést igazoljuk Ha x = 0, akkor az egyelőtleség teljesül, hisz midkét oldalá 0 áll Ha x = 0, akkor a (03) szerit Az A = max z =0 z Ax x, azaz Ax A x A mátrixormát defiiáló 4 feltétel közül az első három yilvávalóa teljesül A egyedik igazolásához legye y egy olya vektor, amelybe az x ABx felveszi a maximumát az egységgömbö, azaz amelyre y =, és ABy = max ABx = AB x = Ekkor az illeszkedés kétszeri alkalmazásával AB = ABy A By A B y = A B
80 Az -, 2- és -orma mátrixokra A föt defiiált p-ormák közül mátrixokra is az -, 2- és a -orma a legfotosabb Kiszámításukra a defiícióál egyszerűbb módszer is adódik 03 tétel (-, 2- és -orma kiszámítása) Legye A C m, ekkor A = max j A = max i A 2 = m A H 2 = max a ij = legagyobb abszolút oszlopösszeg, (04) a ij = legagyobb abszolút sorösszeg, (05) max x 2 = y 2 = y H Ax = σ, (06) ahol σ az A legagyobb sziguláris értéke, azaz A H A legagyobb sajátértékéek gyöke Ha az A C mátrix ivertálható, akkor A 2 = max x 2 = Ax 2 = ahol σ az A legkisebb sziguláris értéke mi Ax 2 x 2 = = σ, (07) Bizoyítás p = : Bármely x vektorra x = eseté a skalárokra voatkozó háromszögegyelőtleség miatt m m m Ax = a ij x j a ij x j = x j a ij ) ( x j max j m a ij = max j m a ij Ez a maximum el is érhető, mert ha a k-adik oszlopba a legagyobb az abszolút értékek összege, akkor Ae k = max j m a ij p = : Bármely x vektorra x = eseté Ax = max i a ij x j max i a ij x j max i a ij Ez a maximum el is érhető, mert ha a k-adik sorba a legagyobb az abszolút értékek összege, akkor az ] x = [ akj a kj vektorra x = és Ax = max i a ij p = 2: A CBS-egyelőtleség szerit y H Ax y 2 Ax 2, így max max x 2 = y 2 = y H Ax max Ax 2 = A 2 x 2 =
orma 8 Így csak azt kell megmutati, hogy va olya x 0 és y 0 egységvektor, melyre az előbbi egyelőtleségbe egyelőség áll Legye x 0 az a vektor, melybe Ax 2 a maximumot adja, és y eek ormált képe, azaz Ekkor Ax 0 2 = max Ax 2 = A 2, y 0 = Ax 0 = Ax 0 x 2 = Ax 0 2 A 2 y H 0 Ax 0 = xh 0 AH Ax 0 A 2 = Ax 0 2 2 A 2 = A 2 2 A 2 = A 2 Az A 2 = σ igazolásához a következő maximumot keressük: A 2 2 = max x =0 Ax 2 2 x 2 2 = max x =0 x H A H Ax x H x Mivel A H A öadjugált, ezért létezik sajátvektoraiból álló ortoormált bázisa Vektorai legyeek u,, u, a hozzájuk tartozó sajátértékek λ,, λ, melyek közül λ legye a legagyobb Ekkor egyrészt λ = uh AH Au u Hu, másrészt bármely x = j c j u j = 0 vektorra λ xh A H Ax x H x = λ λ jc 2 j c2 j = (λ λ j )c 2 j c2 j 0, tehát A 2 2 = λ, azaz A 2 = λ = σ p = 2 eseté A ormája is egyszerűe számolható: mi Ax 2 x 2 = = max x 2 = = max y =0 = max Ax 2 y =0 A ( y 2 A = max y 2) A y A y 2 x 2 = A y = max 2 y =0 y 2 2 A x = A 2 Mivel A sziguláris értékei az A sziguláris értékeiek reciprokai, ezért A legagyobb sziguláris értéke az A legkisebb sziguláris értékéek reciproka Az -, a - és a 2-ormára szokásos másik elevezés: oszloporma, sororma és spektrálorma
82 Feladatok 02 Számítsuk ki az alábbi mátrixok Frobeius-, -, 2- és -ormáját! [ ] [ ] [ ] 2 3 0 2 2 A =, B =, C = 2 4 4 0 2 03 Számítsuk ki az alábbi mátrixok Frobeius-, -, 2- és -ormáját! 0 0 2 2 2 2 A = 4 0 0, B = 2 2, C = 2 2 0 0 8 2 2 2 2 04 Kostruáljuk olya A, B és C mátrixokat, hogy maximum ormájukra AB max < A max B max, AC max = A max C max és BC max > B max C max legye 05 Igazoljuk, hogy mide idukált mátrixormára I =, ugyaakkor I F = 06 Igazoljuk, hogy tetszőleges mátrixormára ρ(a) A, ahol ρ(a) az A spektrálsugara 07 Bizoyítsuk be, hogy ha A ormális (A H A = AA H ), akkor A 2 = ρ(a) 08 Megoldások 0 x =, x 2 = 7, x = 6, y = 05, y 2 = 03, x = 02 2 Ezek az úgyevezett Pitagorászi számégyesekből képzett vektorok, amelyekbe a koordiáták égyzetösszege égyzetszám, így a 2-ormájuk egész A ormák 3, 7, 9, 9 3 9, 5, 4; 4 6, 20; 5 e két példa a p = 4 és p = 5 értékre a legkisebb olya p -dimeziós pozitív egész vektor, melyek p-ormája egész: (95800, 2759, 44560) 4 = 42248, (27, 84, 0, 33) 5 = 44 Euler még azt sejtette, hogy ilye ics 02 A F = 5, A = 6, A 2 = 5, A = 6 B F = 5, B = 7, B 2 = 5, B = 7 C F = 3, C = 4, C 2 = 3, C = 4 03 A F = 9, A = 8, A 2 = 8, A = 8 B F = 3 3, B = 5, B 2 = 3, B = 5 C F = 3 3, C = 5, C 2 = 5, C = 5 04 Tekitsük például az alábbi három mátrixot: [ ] [ ] [ ] 2 0 0 2 A =, B =, C = 0 2 2 0 Ezek midegyikébe 2 az elemek maximuma, így bármely két mátrix maximum ormájáak szorzata 4 Szorzataik: [ ] [ ] [ ] 0 2 2 4 0 AB =, AC =, BC = 2 2 0 2 6 Ezek elemeiek maximuma redre 2, 4, 6 06 Ha λ egy tetszőleges sajátértéke A-ak, és x a hozzá tartozó egyik sajátvektor, azaz Ax = λx, akkor Axx H = λxx H A xx H Axx H xx = λ H, és mivel x = 0, így xx H = O, azaz xx H = 0, vagyis leosztva vele λ A adódik Ez mide sajátértékre, így a spektrálsugárra is igaz 07 Ha A ormális, akkor uitére hasoló egy diagoális D mátrixhoz, azaz A = QDQ H valamely uitér Q mátrixszal Ekkor A H A D H D is föáll, ugyais A H A = (QDQ H ) H (QDQ H ) = QD H DQ H, tehát A H A és D H D sajátértékei megegyezek Másrészt D H D mide sajátértéke λ 2 alakú, ahol λ az A valamely sajátértéke Összegezve: mivel A 2 = σ, azaz az A H A legagyobb sajátértékéek gyöke, ami viszot megegyezik A legagyobb sajátértékével, azaz a ρ(a) spektrálsugárral
Nemegatív mátrixok Külööse sok alkalmazása va azokak a mátrixokak, melyek elemei em egatív számok Ilye mátrixok például azok, melyek elemei mérési eredméyek, gazdasági adatok, valószíűségek, Mátrixok összehasolítása Mátrixok elemekéti összehasolítására a szokásos relációjeleket fogjuk haszáli A > B azt jeleti, hogy midkét mátrix azoos méretű, és a ij > b ij Hasolóa A B, ha a ij b ij Egy A mátrixot pozitívak (emegatívak) evezük, ha A > O (A O), azaz ha a ij > 0 (a ij 0) Itt O a ullmátrixot jelöli E fogalmakat és jelöléseket vektorokra is haszáljuk: az x vektor pozitív, azaz x > 0, ha x mide koordiátája pozitív Néháy köye igazolható észrevétel: A O Ax 0 mide x 0 vektorra, () A > O Ax > 0 mide x 0, x = 0 vektorra, (2) A O, és x y 0 Ax Ay, (3) A > O, B O AB > O (4) Később fotos szerepet kapak a következő mátrixok is: egy mátrix primitív, ha emegatív, de valamely pozitív egészkitevős hatváya pozitív Például a [ 2 ] mátrix pozitív, így primitív is, hisz első hatváya pozitív, az [ 0 [ 0 ]2 = [ 2 ] mátrix emegatív, de primitív, mert ] > O, míg az [ 0 ] mátrix emegatív, de em primitív, mivel tetszőleges pozitív egész -re [ 0 ] = [ 0 ], ami em pozitív A valós vagy komplex elemű A mátrix (A) spektrálsugará a legagyobb abszolút értékű sajátértékéek abszolút értékét értjük Máskét fogalmazva a spektrálsugár a komplex számsík legkisebb olya origó közepű köréek a sugara, amely tartalmazza az összes sajátértéket
84 Pozitív mátrixok E szakaszba csak pozitív mátrixokat vizsgáluk Az itt ismertetedő elmélet Perrotól származik, melyet két tételbe foglaluk össze tétel (Perro-tétel: pozitív sajátérték és sajátvektor) Ha A pozitív mátrix, és r = (A) jelöli a spektrálsugarát, akkor r > 0, 2 r sajátérték egy pozitív sajátvektorral, 3 A-ak e pozitív sajátvektor skalárszorosai kívül ics más emegatív sajátvektora Bizoyítás Ha r = 0, akkor A mide sajátértéke 0, azaz A ilpotes az 0 tétel szerit Ez viszot pozitív mátrixra lehetetle, hisz aak mide hatváya pozitív, tehát semelyik sem O 2 Legye λ C egyike a legagyobb abszolút értékű sajátértékekek, azaz λ = r, és legye az x sajátvektorral Ax = λx Legye p az x koordiátáiak abszolút értékéből álló vektor, azaz p = ( x, x 2,, x ) Írjuk fel az Ax = λx midkét oldaláak i-edik koordiátáját, majd vegyük aak abszolút értékét: a ij x j = λ x i Ebből, a háromszög-egyelőtleséget fölhaszálva kapjuk, hogy rp i = λ x i = a ij x j a ij p j, azaz rp Ap Ha itt egyelőség áll, kész vagyuk, hisz rp = Ap eseté r valóba sajátérték Ha em, akkor az u = Ap rp vektorra u 0 és u legalább egyik koordiátája határozotta pozitív A (2) szerit ekkor Au > 0, azaz A(Ap) rap > 0 A v = Ap jelöléssel eszerit Av > rv, ahol v > 0 Megmutatjuk, hogy ez elletmodásra vezet, azaz megmutatjuk, hogy ics olya v vektor, hogy Av > rv Legye ε > 0 egy olya szám, melyre még feáll az Av (r + ε)v egyelőtleség A B = r+ε A mátrixra tehát egyrészt Bv v, másrészt (B) = ( r+ε A) = r+ε r <, azaz B spektrálsugara -él kisebb Ez azt jeleti, hogy lim k B k = O Így a v < Bv < B 2 v < < B k v vektorsorozat a 0 vektorhoz tart, vagyis v < 0, ami elletmod korábbi feltevésükek Ezzel bizoyítottuk, hogy Ap = rp Még meg kell mutatuk, hogy p > 0 Tudjuk, hogy p 0, így a (2) összefüggés miatt Ap > 0, de Ap = rp, tehát rp > 0, azaz p > 0 3 Idirekt feltevés szerit legye (λ, x) egy sajátpár, azaz Ax = λx és ahol x 0, és λ = r, legye továbbá q > 0 az ugyacsak pozitív, és
emegatív mátrixok 85 azoos spektrumú A T mátrix r-hez tartozó pozitív sajátvektora, azaz q T A = rq T Ekkor rq T x = (q T A)x = q T (Ax) = λq T x, amiből q T x > 0 miatt r = λ adódik, elletmodás Az alkalmazásokba gyakori szerepe idokolja a következő kitütető elevezést Pozitív mátrix spektrálsugarához, mit sajátértékhez tartozó pozitív p sajátvektorát Perro-vektorak evezzük, ha koordiátáiak összege A hasoló módo defiiált bal sajátvektort bal Perro-vektorak evezzük Ez megegyezik az A T Perro-vektorával Összefoglalva: a p Perro-vektort és a q bal Perro-vektort a Ap = rp, képletek defiiálják p i =, q T A = rq T, q i = 2 tétel (Perro-tétel: egyszeres és domiás sajátérték) Ha A pozitív mátrix, és r = (A), akkor r egyszeres sajátértéke A-ak, 2 r domiás, azaz mide további λ sajátértékre λ < r Bizoyítás Megmutatjuk, hogy r egyszeres sajátérték Tegyük fel először, hogy va r-hez tartozó, de p-től függetle s sajátvektor Ekkor megfelelő c kostassal elérhető, hogy a p+cs 0 vektorak legye 0 koordiátája Erről azoba az imét láttuk be, hogy elletmodásra vezet, tehát mide r-hez tartozó sajátvektor p többszöröse Be kell még látuk, hogy ics olya v > 0 általáosított sajátvektor, hogy(a ri)v = p, azaz Av = rv+p legye Ha ugyais vola, akkor Av = rv+p rv lee, ami az előző potba bizoyítottak szerit elletmodásra vezet Tegyük fel tehát, hogy létezik Köye elérhető a p egy megfelelőe agy d kostasszorosáak hozzáadásával, hogy v > 0 legye, ugyais (A ri)(v+dp) = p+d(a ri)p = p miatt ha v általáosított sajátvektor, akkor v + dp is 2 Belátjuk, hogy ha λ az A egy sajátértéke, akkor λ < r Idirekt módo legye λ = r E bizoyítás 2 potjába leírtakat ismételve a komplex számok összegére voatkozó háromszögegyelőtleséget alkalmazva kapjuk, hogy a ij x j a ij x j = λ x i (5) Mit azt beláttuk, ekkor ( x, x 2,, x ) sajátvektor, a hozzá tartozó sajátérték r = λ, és a (5) egyelőtleségbe egyelőségek kell
86 állia A komplex számokra voatkozó z + +z k = z + + z k egyelőség csak akkor áll fe, ha midegyik komplex szám azoos argumetumú Ez esetükbe azt jeleti, hogy va olya ϕ szög, hogy mide i-re x i = e iϕ x i Eszerit x = e iϕ p, tehát λ = r Tipográfiai külöbség va az imagiárius egység álló i-je és a változó idex dőlt i-je között! Feladatok Legye 6 A = 5 6 6 4 4 Számítsuk ki a két Perro-vektort, és elleőrizzük Perro tételét 2 Egy pozitív elemű 4-edredű mátrix három sajátértéke, 2i, 2i A 3, 2, 3, 4i, 4 számok közül válasszuk ki midegyik olyat, amelyik a egyedik sajátérték lehet! 3 Mutassuk meg, hogy ha az A > O mátrix mide oszlopába vagy mide sorába c az elemek összege, akkor c a spektrálsugár Nemegatív mátrixok A pozitív mátrixok Perro tételeibe kimodott tulajdoságai közül változtatás élkül egyik sem marad érvéybe emegatív mátrixokra Például a [ 0 0 0 ] mátrix emegatív, de mivel midkét sajátértéke 0, ezért spektrálsugara is 0, az [ 0 0 ] mátrix spektrálsugara, de az kétszeres sajátérték, és több lieárisa függetle pozitív sajátvektor is tartozik hozzá, a [ 0 0 ] mátrix sajátértékei és, így spektrálsugara ugyacsak, de a spektrálkörö több külöböző sajátértéke is va, az [ 0 ] mátrixak ics pozitív sajátvektora Ugyaakkor az sem modható, hogy ha egy emegatív mátrixak vaak 0 elemei, akkor em teljesülek a Perro-tételek állításai Például az [ 2 0 ] mátrix emegatív, sajátértékei 2,, spektrálsugara tehát 2, ami egyszeres sajátérték, és a spektrálkörö az egyetle sajátérték, a hozzá tartozó (, ) sajátvektor pozitív A Perro-tételek állításaiból émi gyegítés utá, de még az összes emegatív mátrixra érvéyes módo a következő marad: 3 tétel (Perro Frobeius-tétel gyege változat) Ha A emegatív mátrix, akkor az r = (A) spektrálsugár sajátértéke A-ak, melyhez tartozik emegatív sajátvektor Bizoyítás A bizoyítás alapötlete, hogy az A emegatív mátrixot pozitív mátrixokkal közelítjük, melyekre haszálhatók Perro-tételei
emegatív mátrixok 87 Legye A k = A+ k, k N Jelölje A k spektrálsugarát r k, Perro-vektorát p k, az A mátrix spektrálsugarát r A p k vektorok korlátos halmazt alkotak R -be, mivel midegyik koordiátájuk 0 és közé esik, így bee vaak az egységkockába A Bolzao Weierstrass-tétel szerit kiválasztható közülük egy koverges p km részsorozat A határértéket jelölje p Megmutatjuk, hogy p az A-ak r-hez tartozó sajátvektora és hogy p 0, de p = 0 Mivel p k > 0, ezért a határértékéről azt tudjuk, hogy p 0 Tekitsük a folytoos f(x) = x i függvéyt Mivel f(p km ) =, ezért f(p) = is feáll, így p = 0 Tekitsük ezutá az r k sorozatot A?? tétel szerit, A > A 2 > A k > > A, így r r 2 r k r, azaz az r k sorozat mooto csökkeő, és alulról korlátos, tehát koverges Határértékét jelölje ˆr Ez egyúttal az r km részsorozatak is határértéke A fetiek szerit ˆr r Másrészt Ap = A( lim m p k m ) = lim m Ap k m = lim m r k m p km = ˆrp Tehát ˆr sajátérték, akkor viszot ˆr r Kaptuk tehát, hogy ˆr = r és Ap = rp A következőkbe két olya tételt moduk ki, melyek a emegatív és így a pozitív mátrixokra korlátozás élkül érvéyesek 4 tétel (Collatz Wieladt-tétel) Az A O mátrix r spektrálsugarára [Ax] r = max mi i (6) x x i Máskét megfogalmazva: 0 =x 0 r = max x i x i =0 cx Ax 0 =x 0 max c (7) A képletek úgy értedők, hogy mide x vektorra kiszámítjuk az [Ax] i /x i törtek miimumát, és eze értékek maximumát vesszük, ha x végigfut a emegatív, de ullvektortól külöböző vektoroko Az x i = 0 esetet a keresésből kizártuk, de modhattuk vola azt is, hogy a tört ekkor legye, így em változa a miimum A második képletbe mide x vektorra meghatározzuk azt a legagyobb c számot, melyre cx Ax, majd vesszük az így kapott c értékek maximumát
88 Bizoyítás A két megfogalmazás yilvá ekvivales, hisz ha egy adott x 0 vektorra c az [Ax] i x törtek miimuma, akkor c egyúttal a i legagyobb olya szám, melyre cx Ax Először pozitív A mátrixra bizoyítuk Legye q a bal Perrovektor, r a spektrálsugár Ekkor a q T x > 0 számmal való osztás lehetőségét is haszálva cx Ax cq T x q T Ax = rq T x c r Másrészt az x = p vektorra rp = Ap, tehát a lehetséges c értékek maximuma r Ezutá marad az A O eset Az előző tétel bizoyításába haszált ötletet és az ott defiiált A k mátrixot haszálva kapjuk, és bal Perro-vektorát q k -val jelölve, hogy egy rögzített x 0, x = 0 vektorra 0 cx Ax A k x cq T k x qt k A kx = r k q T k c r k r Ekkor az előzőekhez hasolóa az x = p vektorra rp = Ap, tehát a lehetséges c értékek maximuma r 5 tétel (Nemegatív mátrixok spektrálsugaráak becslése) Ha A O, akkor a spektrálsugár a sorösszegek miimuma és maximuma, illetve az oszlopösszegek miimuma és maximuma közé esik, azaz mi i mi j { a ij } { a ij } (A) max i (A) max j { a ij } { a ij } Bizoyítás Az első egyelőtleség felső korlátjáak bizoyításával kezdjük Legye(λ, x) egy sajátpár, azaz λx = Ax Válasszuk úgy x-et, hogy legagyobb koordiátája legye, például x i =, és tetszőleges koordiátára x j Ekkor λ = λ x i = λx i = a ij x j a ij x j a ij Ez bizoyítja az első egyelőtleség jobb oldalát A bal oldali egyelőtleség a Collatz Wieladt-tételből következik, ha ugyais x =, akkor akkor az [Ax] i /x i háyados épp a sorösszeg, tehát aak miimuma kisebb vagy egyelő r-él A második egyelőtleségeket megkapjuk, ha az elsőt A T -ra alkalmazzuk, melyek spektruma és így spektrálsugara is azoos A-éval
emegatív mátrixok 89 Feladatok 4 Egy emegatív mátrix az (4, 6, 5) vektort az (5, 6, 7) vektorba viszi Mutassuk meg, hogy spektrálsugara legalább 5 Legye x > 0 tetszőleges, és A O Igazoljuk az alábbi egyelőtleségeket! x j x j mi i a ij (A) max x i i a ij x i } } mi j { x a i ij x j (A) max j { x a i ij x j (Ötlet: ha D = diag(x,, x ), akkor B = D AD hasoló A-hoz, így (B) = (A) Alkalmazzuk a 5 tételt) 6 Az előző feladat eredméyét haszálva becsüljük meg az 6 8 0 6 3 7 2 3, és a 6 2 2 6 4 2 2 mátrix spektrumát a x = (2,, 2) vektorral Az eredméy alapjá mit modhatuk x-ről? Irreducibilis mátrixok Az előző szakaszba láttuk, hogy Perro tételei em maradak érvéybe általába, de vaak mátrixok, amelyekre ige Frobeius talált rá arra a köye elleőrizhatő feltételre, mely alapjá eldöthető, hogy egy emegatív mátrix melyik csoportba tartozik 6 defiíció (Reducibilis és irreducibilis mátrixok) Az R mátrixot reducibilisek evezzük, ha a sorok és oszlopok azoos permutációjával [ A O ] B C alakra hozható, ahol A és C égyzetes mátrixok Azaz létezik olya P permutációmátrix, hogy PRP T a feti alakú Az olya mátrixot, amely em hozható ilye alakra, irreducibilisek evezzük 7 példa Dötsük el, hogy az alábbi mátrixok közül melyik reducibilis, melyik irreducibilis! (Segítségül a emulla mátrixelemekről leolvasható a sor- és oszlopidex) 0 3 4 0 0 2 0 0 0 2 22 23 24 25 0 0 0 24 25 A = 3 0 33 34 0, B = 3 0 0 0 0 4 0 43 44 0 0 0 43 0 0 5 52 53 54 55 0 52 0 54 0 Megoldás Az A mátrixo köyű észrevei, hogy reducibilis, mert az első és utolsó sorok és oszlopok cseréjével, vagyis a következő P
90 permutációmátrixszal a kívát alakra hozható: 0 0 0 0 55 52 53 54 5 0 0 0 0 25 22 23 24 2 P = 0 0 0 0, PAP T = 0 0 33 34 3 0 0 0 0 0 0 43 44 4 0 0 0 0 0 0 3 4 Nem ez az egyetle permutáció, pl az 3 4 5 2 csere is megteszi: 0 0 0 0 22 25 2 23 24 0 0 0 0 52 55 5 53 54 P = 0 0 0 0, PAP T = 0 0 3 4 0 0 0 0 0 0 3 33 34 0 0 0 0 0 0 4 43 44 5 2 A második mátrixba több 0 va, azt hiék, ez ikább lesz reducibilis, mégsem találuk megfelelő P permutációmátrixot De az hogy igazolható, hogy ics? Segít a következő ötlet Tekitsük azt az - csúcsú gráfot, amelybe az i-edik csúcsból a j-edikbe potosa akkor fut iráyított él, ha a ij = 0 A mátrix sorai és oszlopai végrehajtott azoos permutáció így megfelel a gráf csúcsai átszámozásáak Például a feti A mátrixhoz redelt gráf a ábrá látható Vegyük észre, hogy a {2, 5} pothalmazból em fut ki él Ez azt jeleti, hogy ha a csúcsokat átszámozzuk az 5-ös és -es sorszám fölcserélésével, akkor az {, 2} halmazból em fut él a {3, 4, 5} halmazba Ez épp azt jeleti, hogy bármely mátrixba, melyek ez a gráfja, a bal alsó 3 2-es részmátrixa zérusmátrix Tehát a mátrix reducibilis Általáosa megfogalmazva: egy mátrix potosa akkor reducibilis, ha gráfjáak csúcsaiból kiválasztható egy olya részhalmaz, melyből em idul ki él a komplemeter csúcshalmazba Ebből az is következik, hogy egy mátrix potosa akkor irreducibilis, ha ilye részhalmaz ics, azaz bármely csúcsból bármely csúcs elérhető iráyított úto Az ilye gráfot erőse összefüggőek evezzük A B mátrix gráfja például ilye, hisz az -2-5-4-3- útvoalo bármely potból bármely másik elérhető Tehát B irreducibilis 5 4 4 ábra: Az A és B mátrixokhoz redelt két gráf 3 3 2 [ A B O C Fotos megjegyezi, hogy a 6 defiíció a sorok és oszlopok azoos permutációjáról szól, tehát em elég a mátrixot elemi sorműveletekkel ] alakra hozi Ugyaazokat a műveleteket az oszlopokra is alkalmazi kell Például a 0 0 0 0 0 0 mátrix irreducibilis, hisz egy 3-hosszú iráyított kör szomszédsági
emegatív mátrixok 9 mátrixa, de az első két sor cseréje a kívát alakra hozza Az első két oszlopot is kicserélve viszot már em az [ O A C B ] alakot kapjuk! Frobeius vette észre és bizoyította, hogy az irreducibilitás az a feltétel, melyek feállása eseté a emegatív mátrixokra is kiterjeszthetők a tétel állításai 8 tétel (Perro Frobeius-tétel erős változat) Ha az A emegatív mátrix irreducibilis, és r = (A) jelöli a spektrálsugarát, akkor r > 0, 2 r sajátértéke A-ak, melyhez tartozik pozitív sajátvektor, 3 A-ak e pozitív sajátvektor skalárszorosai kívül ics más emegatív sajátvektora, 4 r egyszeres sajátérték Bizoyítás Feladatok 8 Keressük egy-egy permutációs mátrixot az 7 Melyik irreducibilis az alábbi mátrixok közül? Amelyik em, azt melyik permutációs mátrix viszi [ 0 0 0 A B O C] alak- A = ba? Amelyik irreducibilis, aak meyi a spektrálsugara B = 0 C = 0 0 0 és Perro-vektora? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 mátrixok midegyikéhez, mely bizoyítja reducibilitásu- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kat! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R =, R 0 0 0 0 0 2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Megoldások Sajátértékek: 0, 3, 3, jobb sajátvektor: u = (5, 9, ), bal sajátvektor: v = (4, 2, ), a két Perro-vektor: p = 25 (5, 9, ), bal sajátvektor: v = 7 (4, 2, ) 2 A spektrálsugár még ics a sajátértékek közt, így Perro tétele miatt csak a 3 és a 4 lehet sajátérték 3 Ha A mide sorösszege c, akkor az vektor sajátvektor, c sajátértékkel Mivel > 0, ezért ez csak a Perrovektor -szerese lehet, és akkor c a hozzá tartozó sajátérték, így c a spektrálsugár Hasolóképp a bal Perro-vektor a másik állítást is igazolja 4 Mivel a mi{5/4, 6/6, 7/5} =, ezért a Collatz Wieladt-tétel szerit spektrálsugara is legalább eyi (Vagy a tételbeli másik képlettel: mivel a c(4, 6, 5) A (4, 6, 5) = (5, 6, 7) egyelőtleségbe c lehetséges maximuma, ezért a spektrálsugár legalább ) 5 Mivel D = diag(/x,, /x ), ezért követve az ötletbe leírtakat, a 5 tétel első képlete a feladat első képletét adja A DAD mátrixból a második képletet kapjuk 6 A 7 feladat első képlete az első, a második képlete a második mátrixról azt adja, hogy a miimum és a maximum is 0, így a spektrálsugár 0, tehát 0 a domiás sajátérték midkét esetbe, és x a hozzá tartozó sajátvektor az első esetbe a jobb, a másodikba a bal (Godoljuk meg!)
92 7 Az irreducibilitás eldöthető a mátrixokhoz redelt szomszédsági gráfokkal: 6 2 5 3 4 6 2 5 3 4 R irreducibilis, mert a gráf erőse összefüggő, azaz bármely csúcsból bármely másikba el lehet juti iráyított úto R 2 reducibilis, hisz például em idul iráyított él a következő halmazokból a komplemeterükbe: {6}, {3}, {, 5}, {2, 4}, {, 5, 6}, {2, 3, 4}, Így ige sok olya P permutációs mátrix va, amelyik R 2 -t a kívát alakba viszi Közülük legegyszerűbb az idetikus mátrix, hisz R 2 már a kívát alakú: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 IR 2 I T 0 0 0 0 0 = R 2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Az R mátrixak yilvávalóa sajátvektora a p = (,,,,, ) vektor az sajátértékkel Mivel R emegatív és irreducibilis, ezért a Frobeius Perro-tétel szerit a spektrálsugárhoz, mit sajátértékhez tartozó sajátvektor az egyetle sajátvektor, mely pozitív elemű Ebből következik, hogy a spektrálsugár Másik megoldás a feladat második részére: λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 det(r λi) = = λ 6 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ A karakterisztikus poliom gyökei a hatodik egységgyökök, melyek az -sugarú körö vaak, tehát a spektrálsugár A spektrálsugár valóba sajátérték, és a λ = -hez tartozó sajátvektor p = (,,,,, ) 8 A három mátrixhoz az alábbi gráfok tartozak: 2 3 4 2 2 3 4 3 4 Eek alapjá az első gráfba az {, 4}, a másodikba az {, 3, 4}, a harmadikba a {2} halmazból em érhető el a többi pot A potokak egy olya átsorszámozását keressük, melybe e potok a többi utá következek, ugyais általába, ha az{, 2,, k, k+,, } csúcshalmazba az első k potba em fut él a {k+,, } halmazból, akkor a szomszédsági mátrix [ O A C B ] alakú lesz Az első gráfba például a 3-2--4 sorred jó, hisz az {, 4} halmaz elemei vaak hátul, amit a ( 3 2 2 3 4 4 ) permutáció megvalósít: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A második esetbe például jó a 2--3-4 sorred, hisz az {, 3, 4} halmaz elemei vaak hátul, amit a ( 2 2 3 3 4 4 ) permutáció megvalósít: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Végül a harmadik mátrixál jó az -4-3-2 sorred, így a 2 elem va hátul, amit az ( 2 4 3 3 4 2 ) permutáció megvalósít: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A balról szorzó permutációmátrix az egységmátrixból a megadott permutáció sorokra való alkalmazásával, míg a jobbról szorzó mátrix az oszlopokra való alkalmazásával lett meghatározva