Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy kétváltozós függvény egy adott pontban mindkét változó szerint parciálisan deriválható még nem következik, hogy itt folytonos is. Az egyik legegyszerűbb példa az a sík minden pontjában értelmezett függvény, amelynek értéke 0, ha x és y is pozitív, és 1 máskor. Ezért a parciális differenciálhatóság nem tekinthető az egyváltozós differenciálhatóság általánosításának. Legyen (a, b) a D f belső pontja és tegyük fel, hogy létezik f x (a, b) és f y (a, b). Az f függvény differenciálható az (a, b) pontban, ha tetszőleges (x, y) D f esetén f(x, y) f(a, b) = f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) + r(x, y), (1) ahol az r(x, y) egy alkalmas függvény, amelyre lim (x,y) (a,b) r(x, y) (x a)2 + (y b) 2 = 0. Ekkor már bebizonyítható, hogy ha f differenciálható az (a, b) pontban, akkor itt folytonos is.
2. A parciális deriváltfüggvények maguk is kétváltozós függvények. Tekinthetjük ezek bármelyik változó szerinti parciális deriváltfüggvényeit. Ezek a másodrendű parciális deriváltfüggvények. Ezekből tehát négy darab van, ezek jelölése f xx (x, y), f xy (x, y), f yx (x, y), f yy (x, y). (2) f xx (x, y) és f yy (x, y) a tiszta, f xy (x, y) és f yx (x, y) a vegyes másodrendű parciális deriváltfüggvények. Feladat 1 Határozzuk meg az f(x, y) = sin(x 2 y) függvény másodrendű parciális deriváltfüggvényeit. Megoldás: f x (x, y) = 2xy cos(x 2 y) és f y (x, y) = x 2 cos(x 2 y), ezért azt kapjuk, hogy f xx (x, y) = 2y cos(x 2 y) 4x 2 y 2 sin(x 2 y), f xy (x, y) = 2x cos(x 2 y) 2x 3 y sin(x 2 y), f yx (x, y) = 2x cos(x 2 y) 2x 3 y sin(x 2 y), f yy (x, y) = x 4 sin(x 2 y).
3. Legyen (a, b) a D f belső pontja. Ha f mindkét változó szerint parciálisan deriválható egy (a, b) középpontú körlap minden pontjában és a parciális deriváltak folytonosak (a, b)-ben, akkor f differenciálható (a, b)-ben. A leggyakrabban erre a tételre hivatkozva lehet megállapítani a differenciálhatóságot. 4. Legyen (a, b) D f. Az f kétszer differnciállható az (a, b) pontban, ha differenciálható és mindkét parciális deriváltfüggvénye is differenciálható (a, b)-ben. Fontos tény, hogy ha f kétszer differenciállható (a, b)-ben, akkor f xy (a, b) = f yx (a, b). A számunkra érdekes esetekben minden szükséges differenciálhatóság teljesülni fog, ezért nem is fogjuk azokat külön ellenőrizni.
5. Legyen f differenciálható az (a, b) pontban, és v = (v 1, v 2 ) egy tetszőleges vektor. Ekkor az f függvény v irányú iránymenti deriváltja az (a, b) pontban f v (a, b) = f x (a, b) v 1 v + f y(a, b) v 2 v, (3) ahol v = v1 2 + v2 2, a v vektor hossza. Ez a parciális derivált általánosítása. Az x szerinti parciális derivált a v = (1, 0) irányú, az y szerinti parciális derivált a v = (0, 1) irányú iránymenti derivált. 6. Legyen f differenciálható az (a, b) pontban. Ekkor f gradiensevektora vagy gradiense az (a, b) pontban grad f(a, b) = (f x (a, b), f y (a, b)). (4) Fontos tény a gradiensel kapcsolatban, hogy ha grad f(a, b) 0, akkor az összes (a, b)-beli iránymenti derivált közül a v = grad f(a, b) irányú iránymenti derivált a legnagyobb értékű. Ez azt jelenti, hogy a függvény a gradiensvektor irányába növekszik leggyorsabban, az azzal ellentétes irányba csökken a leggyorsabban, és az arra merőleges két irányba változik a leglassabban, a gradiensvektor merőleges a ponton átmenő szintvonalra. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Feladat 2 Számítsuk ki az f(x, y) = 2xy 2 függvény v = ( 4, 3) irányú iránymenti deriváltját és gradiensét az (1, 2) pontban. Megoldás: Először is f x (x, y) = 2y 2, f y (x, y) = 4xy, ebből azt kapjuk, hogy f x (1, 2) = 8, f y (1, 2) = 8. Mivel v = ( 4) 2 + 3 2 = 5, így illetve f v (1, 2) = 8 4 5 + ( 8) 3 5 = 56 5, grad f(1, 2) = (8, 8).
7. Legyen az (a, b) pont a D f belső pontja. (a, b) lokális maximumhely, ha van olyan (a, b) középpontú körlap, hogy ennek minden (x, y) pontjában f(x, y) f(a, b). Az (a, b) lokális minimumhely, ha van olyan (a, b) középpontú körlap, hogy ennek minden (x, y) pontjában f(x, y) f(a, b). A lokális maximumhelyet, illetve a lokális minimumhelyet közösen lokális szélsőértékhelynek is hívjuk. A lokális maximumhelyen felvett értéket lokális maximumnak, a lokális minimumhelyen felvett értéket lokális minimumnak, a kettőt közösen lokális szélsőértéknek hívjuk. Egy függvény lokális szélsőértékhelye vagy lokális szélsőértéke sok gyakorlati feladatban játszik fontos szerepet. 8. Legyen (a, b) a D f belső pontja. Ha itt f-nek lokális szélsőértéke van, és itt mindkét változó szerint parciálisan deriválható, akkor f x (a, b) = f y (a, b) = 0. (5) Az { fx (x, y) = 0 f y (x, y) = 0 kétismeretlenes egyenletrendszer D f -be eső megoldásait az f stacionárius pontjainak hívjuk. A stacionárius pontok halmaza az S stacionárius halmaz. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
9. Fontos, hogy nem minden stacionárius pont lokális szélsőértékhely is egyben. Ahhoz, hogy a stacionárius pontok közül ki tudjuk választani a szélsőértékhelyeket, szükségünk lesz a kétváltozós függvényre. D(x, y) = f xx (x, y)f yy (x, y) f 2 xy (x, y) 10. Ha egy (a, b) stacionárius pont körüli körlap minden pontjában mind a négy másodrendű parciális derivált létezik és folytonos, akkor D(a, b) > 0 és f xx (a, b) > 0 esetén (a, b) lokális minimumhely, D(a, b) > 0 és f xx (a, b) < 0 esetén (a, b) lokális maximumhely, D(a, b) < 0 esetén (a, b) nem lokális szélsőértékhely, D(a, b) = 0 esetén nem tudunk következtetést levonni. (6)
Feladat 3 Számítsuk ki az f(x, y) = 4xy x 4 y 4 lokális szélsőértékeit. Megoldás: A függvény értelmezési tartománya az egész sík és minden lehetséges parciális deriváltja létezik és még az egész síkon folytonos is. Az elsőrendű parciális deriváltak f x (x, y) = 4y 4x 3, f y (x, y) = 4x 4y 3. Megoldjuk az { fx (x, y) = 0 f y (x, y) = 0 azaz a { 4y 4x3 = 0 4x 4y 3 = 0 egyenletrendszert. Az első egyenletből y = x 3. Ezt beírva a második egyenletbe x (x 3 ) 3 = x(1 x 8 ) = 0. Ebből x 1 = 0 y 1 = 0, vagy x 2 = 1 y 2 = 1, vagy x 3 = 1 y 3 = 1. A stacionárius halmaz tehát S = {(0, 0), (1, 1), ( 1, 1)}. Ezekben a pontokban lehet csak szélsőérték. Hogy a stacionárius pontok közül ki tudjuk választani a valódi szélsőértékhelyeket, szükségünk van a D(x, y) függvényre.
Így f xx (x, y) = 12x 2, f xy (x, y) = 4, f yx (x, y) = 4, f yy (x, y) = 12y 2. D(x, y) = f xx (x, y)f yy (x, y) f 2 xy (x, y) = 144x2 y 2 16. Sorra megvizsgáljuk a stacionárius pontokat. D(0, 0) = 16 < 0 (0, 0) nem szélsőértékhely. D(1, 1) = 128 > 0, f xx (1, 1) = 12 < 0 (1, 1) lokális maximumhely. D( 1, 1) = 128 > 0, f xx ( 1, 1) = 12 < 0 ( 1, 1) szintén lokális maximumhely. Végül a két lokális maximum értéke f(1, 1) = 2 és f( 1, 1) = 2. A függvény grafikonjának egy darabja látható a következő ábrán.
Feladat 4 Négy literes, felül nyitott papírdobozt akarunk készíteni. Hogyan válasszuk meg a méreteket, hogy a legkevesebb papírra legyen szükség? Megoldás: Az a célunk, hogy a 4 literes, felül nyitott dobozokhoz szükséges papír területét kifejezzük két olyan változó függvényében, amelyek a doboz alakját egyértelműen meghatározzák, majd megkeressük ennek a függvénynek a lokális minimumát. Jelölje a doboz aljának oldalait x és y, a magasságát z. Ekkor az elkészítéshez szükséges papír területe F = xy + 2xz + 2yz. ( ) Ez három változó függvénye, de abból a feltételből, hogy a térfogat 4 liter, egy összefüggést nyerünk a három változó között, nevezetesen azt, hogy V = 4 = xyz. Ebből kifejezhetjük a z változót az x és az y segítségével, z = 4. Ha ezt beírjuk a ( ) egyenlőségbe, megkapjuk a szükséges papír xy területét az x és az y függvényében: F (x, y) = xy + 8 y + 8 x. Az x és az y nyilván csak pozitív lehet, tehát ennek a függvénynek az első síknegyed az értelmezési tartománya.
Meghatározzuk először a stacionárius halmazt. Mivel F x (x, y) = y 8 x 2, F y(x, y) = x 8 y 2, az alábbi egyenletrendszert kell megoldanunk: { y 8 x 2 = 0 x 8 y 2 = 0 Az első egyenletből y = 8, amit a másodikba beírva x 8 x 2 64 = 0, azaz x 4 x x4 = 0. Ebből x 8 1 = 0, ami nyilván nem jöhet szóba, vagy x 2 = 2 y 2 = 2. A stacionárius halmaz tehát az egyelemű S = {(2, 2)} halmaz. Mivel F xx (x, y) = 16, F x 3 xy (x, y) = 1, F yx (x, y) = 1, F yy (x, y) = 16, kapjuk, hogy y 3 D(x, y) = 256 x 3 y 3 1. D(2, 2) = 3 > 0, F xx (2, 2) = 2 > 0 (2, 2) lokális minimumhely. A lokális minimun értéke F (2, 2) = 12, ennyi papírra van tehát szükségünk. F ábrája a következő.
Feladat 5 A 4 egység kerületű paralelogrammák közül melyiknek a legnagyobb a területe? Megoldás: Először most is találni kell egy kétváltozós függvényt, amely megadja a paralelogramma területét. Tudjuk, hogy T = ab sin β, ahol a és b a paralelogramma egyik csúcsából kiinduló két oldal, β pedig a közrezárt szögük. Mivel a kerületre K = 4 = 2a + 2b, így b = 2 a. Ezt felhasználva T (a, β) = a(2 a) sin β = (2a a 2 ) sin β, ahol 0 < a < 2 és 0 < β < π. T a (a, β) = (2 2a) sin β, T β (a, β) = (2a a 2 ) cos β. A { (2 2a) sin β = 0 (2a a 2 ) cos β = 0 egyenletrendszer első egyenletéből a = 1, hiszen a 0 < β < π intervallumon sin β sehol sem nulla. A második egyenletből β = π, a stacionárius 2 halmaz tehát {( S = 1, π )}. 2
A másodrendű parciális deriváltak T aa (a, β) = 2 sin β, T aβ (a, β) = (2 2a) cos β, T βa (a, β) = (2 2a) cos β, T ββ (a, β) = (2a a 2 ) sin β. ( ) ) Mivel D 1, π = 2 > 0 és T 2 aa (1, π = 2 < 0, az egyetlen 2 stacionárius pontban lokális maximum van. A maximális területű parelelogramma tehát az egységnyi oldalú négyzet, aminek a területe persze 1. A T ábrája a következő oldalon.