Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú feladatok ige épszerûek a külöbözô rejtvéyújságokba, társasjátékokba, televíziós vetélkedôkö Sajos, ezek hivatalos megoldása matematikailag midig hibás, ugyais véges sok kezdôtag sohasem határozza meg egyértelmûe a sorozatot A feladatba kitûzött sorozatot is számtala módo folytathatjuk, éháy lehetôség: lehetséges, hogy az elsô égy tag periodikusa ismétlôdik; a egyedik tag utá a második és harmadik ismétlôdik periodikusa; az ötödik tagtól kezdve mide tag egy 9es számjegy; egyáltalá bármilye alakzat lehet az ötödik tag (A sorozatokat még végtele sok tagjuk sem határozza meg) Az alábbi feladatok émelyikébe a sorozatok képzési szabályáak meghatározása a feladat A fetiek értelmébe tehát fotos kihagsúlyozi, hogy ezek a sorozatok bárhogya folytathatók; egy esetleges csúya szabály matematikailag éppe olya helyes, mit egy elegás vagy frappás formula egfeljebb arra törekedhetük, hogy a legvalószíûbb vagy legkevésbé ökéyes szabályt próbáljuk megtaláli 8 a) Többféle szabály adható ehetséges pl, hogy a háromszögek az óramutató járásával megegyezô iráyba kerigeek, s váltakozó szíûek Ekkor a háromszög lépésekét visszatér a kiidulási helyére, s lépésekét ugyaolya szíel E szabály szerit az ábrasorozat lépésekét ismétlôdik elöljük a el az ábrát ( N + )! Ekkor a 0 a, a a, a 778 a Egy másik lehetséges szabály szerit pl az ábrasorozat ötösével ismétlôdik Ekkor a 0 a, a a, a 778 a b) Egy lehetséges szabály, hogy a háromszögek az óramutató járásával megegyezô iráyba kerigeek és forogak Ekkor a kezdôhelyére, azoos állásba lépésekét kerül vissza a háromszög Ha b el jelöljük az ábrát, akkor b 0 b 8, b b, b 778 b 0 A három ábra látható a 8/I ábrá c) Egy lehetséges szabály, hogy a égyzetek az óramutató járásával meg 8 8/I
Sorozatok 8/II 8/III egyezô iráyba kerigeek és elletétes iráyba forogak A periódus hosszú, c 0 c 8, c c, c 778 c 0 A három ábra látható a 8/II ábrá d) Egy lehetséges szabály, hogy a égyzetek az óramutató járásával megegyezô iráyba, a háromszögek pedig elletétes iráyba forogak, váltakozó szíel A periódus hosszú, d 0 d 8, d d, d 778 d 0 (8/III ábra) 8 a) Elsô megoldás: A következô tagot úgy kapjuk, hogy az elôzô tagot megöveljük számjegyeiek összegével Ekkor a folytatás:, 7, 7, 8, 7, 79, 9, 09, 9, 0,,, 9,, 7 stb A 0 tag 7 Második megoldás: A tagok közötti külöbség kétszeresre ô Ekkor a folytatás:, 7, 7, stb A 0 tagot úgy kaphatjuk meg, hogy a 0 kezdôtaghoz hozzáaduk + + + 8 + + 8 t, eek értéke 0 + 9 9 + 9 Harmadik megoldás: Egy lehetséges szabály, hogy pl midig periodikusa ez az öt szám ismétlôdik Ekkor tehát a folytatás 0,,, 7,, 0 stb, a 0 tag Megjegyzés: Nem mide szabály eseté sikerül a sorozat további tagjait valamilye haszálható képlettel megadi Ha pl az elsô megoldás szabályát alkalmazva a 00 tag értéke lett vola a kérdés, em lett vola más lehetôségük, mit egyesével kiszámoli a sorozat tagjait Ebbe és a hasoló helyzetekbe esetleg érdemes egy rövid számítógépes programot készítei, amellyel tetszôleges sorszámú tagot meghatározhatuk b) Egy lehetséges szabály szerit a következô tagot úgy kaphatjuk meg, hogy az aktuális szám számjegyeiek égyzetösszegét képezzük A folytatás 89,,, 0, stb Észrevehetjük, hogy a továbbiakba ismétlôdek a tagok (hisze újra megkaptuk a et, s bármely tag csak az ôt közvetleül megelôzô tagtól függ), így a 0 tag c) Elsô megoldás: Egy lehetséges szabály, hogy tekitjük az elôzô tag kétszeresét, s eze szám számjegyeiek összege lesz a sorozat következô tagja A folytatás ekkor,,, 8 stb, a 0 tag Második megoldás: Egy másik lehetôség, hogy az elôzô tag kétszereséek 9es maradéka lesz a sorozat következô tagja A szabályok külöbözek, de a két sorozat megegyezik
Sorozatok bevezetése 7 87 (87/I II ábra) A sorozatok elsô hat tagja s egy lehetséges képzési szabály (! N + ): a),,,,, ; a b),,, 7, 8, 9; b + c),,, 7, 9, ; c d), 0,, 0,, ; d u u e), 0,,,, 0; e 8 + f),, 8,,, ; f g),, 9, 7, 8, ; g 88 a) 0; b) 00; c) 00; d) k; e) k + ; f) k 89 a) ; b) 98; c) 008; d) k ; e) (k +) k + ; f) k 80 a) 9; b) 99; c) 009; d) k ; e) (k + ) k + ; f) k 8 a) A sorozat tagja a (! N + ) A számok közül mal osztva maradékot ad a 7, 0 és 00, ezek redre a, és tagok b) A sorozat tagja b ( ),! N + b 7, b 00 c) A tíztagú sorozat tagja c + + 8 ( ) + c c 8 d) Az elsô tag 7 A sorozat mide tagja 7 re vagy re végzôdik, így a többi szám em szerepel a sorozatba 8 Több megoldás va ehetséges képletek (! N + ): a) A szomszédos tagok közötti külöbség váltakozva, illetve Ha k (k! N + ) alakú, akkor a a k k ; ha k alakú, akkor a a k k b) A sorozat tagjai váltakozó elôjelûek: b () 87/I 87/II 0 c) A számokat közöséges tört alakba felírva,,,,, stb sorozatot kapjuk, ie c d) d $ e) e () + $ + f) A szomszédos tagok közötti külöbség ; f + 8 Az a, b +, c (! N + ) sorozatok egymás eltoltjai a 00 b 9 c 0 ; hasolóa b 00 a 0 c 07 ; illetve c 00 b 07 a 0
8 Sorozatok 8 Az értékkészletek: a) {0; }; b) {0; }; c) { ; 0; }; d) { ; }; e) {0; ; ; ; ; ; ; 0; 0}; f) *,,,,, 8 99 8 Az utolsó számjegyek sorozatai: x 7 8 9 x 9 9 x 8 7 9 x x 7 8 9 A táblázatból látható, hogy az utolsó számjegyek periodikusa ismétlôdek (x utolsó számjegye csak x utolsó számjegyétôl függ); a periódus hossza lehet, vagy a) A sorozat 00 tagja x b) A tag megegyezik x utolsó számjegyével c) Az értékkészlet, vagy elemû lehet ( + ) r r 8 a) Nem; si si ( ) b) Nem; pl eseté si + r 0 c) Ige d) Nem e) Ige f) Nem g) Ige si x cos x r N N mide xd re h) Ige (si x si (x + r) mide xre) 87 a) a 7 ; b) b ; c) + + 7 egyeletbôl ( + ), tehát c Másik megoldási lehetôség: az ( + + ) átalakításból osztója ak d) d ; e) e ; f) 9 $ () + $ () + $ (), így f k, ahol k! N + 88 A mal osztva maradékot adó (pozitív) számok sorozatát az a képlettel adhatjuk meg a) a 7; b) a 00 99; c) a 00 0; d) a ; e) a ( ) 0 89 Ha a + a + a a + (a + a + )(a a + ) mide pozitív egész re, akkor két lehetôség adódik: a + a + 0 Ekkor a sorozat tagjai váltakozó elôjellel egymás elletettjei: k, k, k, k,
Sorozatok bevezetése 9 a + a +! 0 Ekkor a a +, a sorozat tagjai egyesével csökkeek: k, (k ), (k ),, viszot ez a sorozat em állhat végtele sok természetes számból Ha a + a a + a, akkor a fetiekhez hasoló megfotolásokkal a k, (k + ), (k + ), további sorozatot kapjuk 870 A sorozat elsô tíz tagja közül egyik sem lehet ulla, hisze az elsô és második elem szorzata em ulla A feltételt általáosa felírva a $ a + $ a + a a + (,,, 9), s mivel a +! 0 és a! 0, ie a + + adódik a egye a sorozat elsô két tagja a a és a b, ekkor a képlet alapjá a továb b a bi tagok a, a, a, a, a7 a, a a a b b 8 b Ezutá a tagok ismétlôdek, a 9 a a, a 0 a stb, hisze az a + + képlet alapjá bármely a tag csak az ôt közvetleül megelôzô két tagtól függ b b Az elsô öt tag szorzata a $ a $ a $ a $ a a $ b $ $ $, a második öt a a b a a b tag szorzata a $ a 7 $ a 8 $ a 9 $ a 0 $ a $ b $ $ b Tehát b, a, a sorozat:,,,,,,,, b a a A tagok os periódussal ismétlôdek 00 tal osztva maradékot ad, tehát a sorozat 00 tagja 87 elöljük a sorozat elsô két tagját aval és bvel, és írjuk fel segítségükkel a további tagokat, felhaszálva, hogy bármely szomszédos tag összege! A sorozat: a, b, a b, a, b, és ietôl a tagok ismétlôdi fogak (bármely tag csak az ôt közvetleül megelôzô két tagtól függ) A sorozat mide harmadik tagja megegyezik Mivel 0 maradéka mal osztva, a 0; 00 maradéka mal osztva, b 8; a mal osztható sorszámú tagok értéke 0 8 a 87 a)öye belátható, hogy a sorozat mide tagja kisebb 00ál Mivel végtele számú tagból áll a számsorozat, és bármely tag értéke csak az ôt közvetleül megelôzô tagtól függ, elôbbutóbb fellép az ismétlôdés b) A számítások meggyorsítására érdemes egy egyszerû programot íri, de mauálisa is célt érhetük 9 elöljük az,,,, 9cel kezdôdô sorozatokat `aj, `aj, `aj,, `aj el (! N + )! Ha a kezdôtag, a sorozat további tagjai,, ; vagyis a `a j:,,, 7, 8, 89,,, 0,, s ie ismétlôdés lép fel a a0, a periódus hossza p 8 `a j:, 9, 8,,, 7, a a, p 8 `a j: a a, p 8
0 Sorozatok `a j:,, 9, 8, 89, a a, p 8 `a j:,,,, 7, 0,, a7 a 7 7 `a j: 7, 9, 97, 0, 0,, a a 8 8 `a j: 8,,, 9, a a 9 9 `a j: 9, a a, p 8, p 8, p 8, p Vagyis a,,,,, 8, 9cel kezdôdô sorozatok periódusa a leghosszabb, 8 87 Az alábbi táblázat mutatja Béla egy lehetséges stratégiáját rossz tippek száma 0 feltevés a kezdeti golyószámra 0 tipp 0 8 0 tippelés sorszáma Eszerit Béláak a páros számokat érdemes tippelie Ha a dobozba kezdetbe x golyó volt, (x + ) próbálkozásra a x tippel talál Számtai sorozatok 87 Számtai sorozatok: a), b), c), d), j), l), m) Meg kell mutatuk, hogy a szomszédos tagok külöbsége álladó l a + a ( + ) 8 ( 8), s ez valóba álladó érték Hasolóa járhatuk el a többi számtai sorozat eseté is; míg ez a feltétel a em számtai sorozatokra em teljesül ( + )( ) A(j ) sorozatra, hisze! ; a (k ) sorozat pedig eseté em értelmezett + + 87 Igaz, a tagok közötti külöbség álladó (éppe d) 87 Ha egy (a ) számtai sorozat kezdôtagja a, külöbsége d, akkor az edik tagra a a + ( )d, s ez éppe a kívát alakra alakítható át: a a d + d 877 a) d > 0; b) d < 0; c) d 0 Itt d éppe a számtai sorozat differeciája (külöbsége) 878 Néháy lehetséges módszer: épezzük az a + a (! N + ) általáos tagok külöbségét; ha ez em álladó (vagyis tôl függ), a sorozat em számtai A számtai sorozat explicit alakja d + b (! N + ), s ez lieáris függvéye az változóak Ha az (a ) sorozat em hozható ilye alakra, akkor a sorozat em számtai Elég keresi szomszédos tagot, melyek külöbsége em egyforma (egegyszerûbb pl az elsô tag két külöbségét megvizsgáli)
Számtai sorozatok 879 éldául: a) A szomszédos tagok külöbsége +, em álladó ( + ) b) A kifejezés másodfokú, em lieáris c) Az elsô három tag,, 8; a külöbségek, illetve d) Az elsô égy tag, 0,, 0; a külöbségek em álladók 880 (ábra) A függvéyértékek egyegy számtai sorozat hat szomszédos tagját alkotják 88 (ábra) Az elôzô megoldához hasoló grafikookat kaptuk Az 7 a + b (! Z + ) függvéyek az x 7 ax + b lieáris függvéyek leszûkítései; a képpotok ezért egy egyeese helyezkedek el 88 Az állítások igazak Általába is igaz, hogy a számtai sorozat bármely tagjától számított mide kadik tagja (k! N + ) számtai sorozatot alkot Ha az eredeti sorozat differeciája d, akkor a kadik tagok által alkotott sorozat differeciája kd (Ha k, akkor az eredeti sorozat valamely késôbbi tagjával kezdôdô részsorozatát kapjuk) 88 Ha a sorozat szigorúa övekvô vagy csökkeô, akkor az értékkészlet végtele halmaz; ha a sorozat álladó, akkor az értékkészlet egyetle elembôl áll 88 a a d, ie d, d Mivel a a + d, a a d 7 $ Asorozat kezdôtagja a, differeciája d A számtai sorozat edik tagját az a a + + ( )d képlet segítségével számolhatjuk ki, így a kezdôtag és a külöbség már egyértelmûe meghatározza a sorozatot 88 a a 7d, ie d a 00 a + 99d 999 880 88
Sorozatok 88 7d, d, a a a + ( )d ( ) + Ugyaezt az eredméyt kapjuk akkor is, ha az a a + ( )d összefüggést alkalmazzuk 887 A sorozat elsô tagja a a 8 7d, az edik tagja a + ( ) Az 00 < < 700 egyelôtleségeket az 7, 7,, 8 számok elégítik ki, tehát a sorozatak tagja esik 00 és 700 közé 888 a) a ; a 00 98, a k k b) b ; b 00 9, b k k c) c 0,7; c 00 99,, c k k 0,7 d) d + ; d 00, d k k + k e) e ; e00 7, e k 889 Csak páros számú gyerek eseté lehetek egymással szembe állók, így jelöljük kval a gyerekek számát (k,! N + ) Észrevehetjük, hogy az es sorszámú gyerekkel szembe a (k + )edik, a essel szembe a (k + )edik, általába az iedik gyerekkel szembe az (i + k)adik gyerek áll Ie k 0, vagyis gyerek va a körbe 890 Az et és t is számolva számot kapuk Mivel ezek számtai sorozatot alkotak, a differecia, a keresett számok:,,,, 89 A számtai sorozat elsô tagjáak összege ( a a ) a ( ) d S + + $ ( ) a) Az explicit alak: a S + ( 00) $ 00, S00 + 00 b) b + 9 ( 0 9) ( 9 ) S + + + ( 9 + 00) $ 00, S00 90 c) c ( ) ( ) S + ( 00 ) $ 00, S00 90 d) d ( ) ( ) S + ( 00 ) $ 00, S00 970
Számtai sorozatok e) e 0,7; (, 0 07,) ( 0,) S + ( 00 0, ) $ 00, S00 980 f) f ; N + ( ) S ( 00) $ 00, S00 89 a) A 00 + 0 + + 998 összeg 0 tagból áll, ezért ( 00 + 998) $ 0 S0 7 00 b) A 0 + 0 + + 999 összeg 0 tagból áll, ezért ( 0 + 999) $ 0 S0 7 00 c) A legfeljebb háromjegyû páros számok összege + + + 998 ( + 998 ) $ 99 9 00, a legfeljebb háromjegyû páratla számok összege + + + 999 ( + 999 ) $ 00 0 000 Megjegyzés: A b) eredméyhez más úto is eljuthatuk A 0 darab páratla szám midegyike gyel agyobb, mit az a) feladatbeli páros számok, így összegük 0 el több Hasolóa a c) feladatba tól 999ig 99cel agyobb a páratla számok összege, s ehhez jö még a kezdeti + 89 a) A kadik páratla szám k, a ( + 7)edik ( + 7) + + Az összeg ( + + )( + 7 ) ( + 7) 9 + + Megjegyzés: Hasoló okoskodással evezetes eredméyt kapuk: az elsô páratla természetes szám összege ( + ) b) ( + + )( + ) ( + )( + ) + 7 + c) + + + ( ) ( + ) ( + ) 89 0 + 0 + + 999 ( 0 + 999 ) $ 00 0 0 89 + 7 + + 97 ( + 97 ) $ 0
Sorozatok 89 elöljük el az összeg utolsó tagját (! N + )! Ekkor 000 # + + + < 0 000 + + + ( + ), így a megoldadó egyelôtleségredszer: + 000 $ 0, illetve + 0 000 < 0 Az elsô egyelôtleség megoldása #, vagy, # ; a másodiké,9 < < 0,9 A megfelelô értékek:,,, 0 897 Az elsô tag összege 0 + + 8 Az összegképlet alapjá ( 0 + 8 ) $, ie 7 8 A sorozat differeciája 7, az elemek: 0, 7,, 9, 8,, 8 A közbülsô tagok száma 898 $ $ $ $ 00 + + + 00 00 Ha ez a szám k jegyû (k! N + ), akkor 0 k # 00 < 0 k A 0es alapú expoeciális függvéy (és a 0es alapú logaritmus függvéy) szigorúa mooto ô; midkét oldalt logaritmizálva k # lg ( 00 ) < k lg ( 00 ) 00 $ lg 0,, vagyis a szám jegyû 899 A defiícióból közvetleül következik, hogy a sorozat bármelyik (él a + a agyobb idexû) tagja a szomszédos tagok számtai közepe: a + Megjegyzés: Csak pozitív számok hatváyközepeit értelmeztük (számtai közép, mértai közép, harmoikus közép stb) A számtai sorozat tagjai egatív számok is lehetek, így ebbe az esetbe helyesebb lee a számtai közép helyett az átlag kifejezést haszáluk Hibát azoba em követük el, mivel a számtai közép fogalmát egatív számokra is köye kiterjeszthetjük 900 elöljük dvel a sorozat külöbségét! Ekkor a kp a k pd és a k+p a k + pd, így a k p+ a k + p a k pd a k + + pd ak valóba teljesül 90 Az a)e) esetekbe megmutathatjuk, hogy a számtai sorozatba bármely a k taghoz képest szimmetrikusa elhelyezkedô tagok átlaga a k a) Az a 8 tagra szimmetrikus tagok átlaga a 8 Ugyais a 7 a 8 d, a 9 a 8 + d, így a 7+ a 9 a 8 d + a 8+ d a8 b) a + a + a + a + a a d + a d + a + a + d + a + d a c) a 0 d) a 7 e) a f) Ebbe az esetbe is a tagok átlagát kapjuk: a a + A szimmetriatulajdoságot pl a d t helyettesítéssel a + a + a + a 7 a + t alakba is felírhatjuk
Számtai sorozatok 90 A szimmetriatulajdoság miatt az elsô kilec tag átlaga 0, így az elsô kilec tag összege 90 90 (Az elsô tag pozitív) 90 elöljük aval a középsô számot, dvel a sorozat külöbségét! Ekkor a három szám a d, a, a + d Az a d + a + a + d 8 feltételbôl a, az (a d) $ a $ (a + d) 9 feltételbôl d, d! A három szám,, 8 (ét megfelelô háromtagú sorozat va:,, 8, illetve 8,, ) 90 A égy szám átlaga Alkalmazzuk a sorozat külöbségére a d t helyettesítést! Ekkor a égy szám t, t, + t, + t, s mivel szorzatuk, ie 9t 0t + 0 A t be másodfokú egyelet gyökei, illetve 9 I e t!, illetve t! Négy megfelelô sorozatot találtuk:,,, ; 9,, +, + ; valamit ezek fordítottjai 90 elöljük a sorozat második tagját aval, a differeciát dvel! Ekkor (a d) + a 0, a + (a + d) 0 Az egyeletek összeadása és kivoása utá az ad 8, a + d egyeletredszert kapjuk A d a 8 helyettesítéssel a 8a + 0, ie a!9 (d!), illetve a! bd! 9 l Négy sorozatot kapuk: a + ; b ; c 9 7 ; d 9 + 7 907 a) 0 hét elteltével b) Feltételezve, hogy a termelés egyik héte sem szüetel, az héte 00 + $ terméket gyártaak 00 + 0 + + ( 00 + ) $ 0 908 a) $ ( + + 8 + + 9) $ ( + + + ) darab b) $ ( + + + ) ( + ) darab 909 A sorba szék va, így összese ( 0 + ) $ 7 a férôhelyek száma 90 Ha sor szék va a ézôtére (! N + ), akkor az ülôhelyek száma ( 0 + + 8 ) $ ( + 9), ie ( hamis gyök) 9 A kiosztott részek számtai sorozatot alkotak elöljük aval a legkisebb részt, dvel a külöbséget, ekkor: ( a+ a+ d) $ 00 és 7(a + a + d) a + d + a + d + a + d
Sorozatok A kapott egyeletredszer: a + d 0 és a d, eek megoldása a és d 7 Arészek:,, 0,, 9 elöljük tvel a második kerékpáros idulásától a találkozásig eltelt idôt! Ekkor az elsô kerékpáros 0 + 8 + + + (8 t) utat tett meg, a második 0 + + + (7 + t) utat A megtett utak összege 9 km, ie ( 0 + 8 t) $ ( t+ ) ( 0 + 7 + t) $ t + 9 A t + t 0 egyelet megoldása t, t Elfogadható megoldás t, a két kerékpáros a második idulása utá órával (az elsô idulása utá órával) találkozik Megjegyzés: Természetese ezt az értéket rövid próbálgatás utá is meghatározhatjuk Ekkor azoba meg kell idokoli, hogy miért em lehetséges több megoldás 9 elöljük uval az utolsó mukás mukaóráiak számát, mmel a mukába részt vevô mukások számát! Az egyes mukások mukaideje számtai sorozatot alkot, ezért az összes mukaidô ( u + u) $ m Ie ( u + u) $ m m, u, u Az elsô mukás órát dolgozott, de a mukások számát em tudjuk meghatározi + + + 9 9 A bûvös álladó értéke A ös összeg lehetséges $ elôállításai: + + 9, + + 8, + + 9, + + 8, + + 7, + + 8, + + 7, + + Észrevehetjük, hogy csak az ös szerepel égy összegbe is, így a középsô mezôre kerül A,,, 8 számok kétkét összegbe szerepelek, ezek leszek a bûvös égyzet csúcsaiba stb Egy lehetséges megoldás (ez található az Icsig (Változások köyve) c ôsi kíai jósköyvbe is): 8 9 7 9 Elsô megoldás: Az elôzô feladat megoldáshoz hasolóa megmutathatjuk, hogy ha a sorozat tagjai a d, a d,, a + d, akkor a középsô mezôre szükségképpe a kerül; a csúcsokba a d, a d, a + d, a + d; végül az élközép mezôkre a d, a d, a + d, a + d Ie már köye szerkeszthetô bûvös égyzet Második megoldás: Észrevehetjük, hogy ha a bûvös égyzet mide eleméhez ugyaazt a számot adjuk, vagy mide elemét ugyaazzal a számmal megszorozzuk, akkor továbbra is bûvös marad Így az,,, 9 számokat a tetszô
Számtai sorozatok 7 leges a, a + d, a + d,, a + 8d számtai sorozatra traszformáljuk: a sorozat tagjait dvel szorozva a d, d,, 9d sorozatot kapjuk, majd itt mide taghoz (a d)t aduk A bûvös égyzet bûvös tulajdosága megmarad, például az alábbi égyzetbôl kiidulva: 7 9 8 d " 7d d d " d d 9d 8d d a + d a + d a + d a a + d a + 8d a + 7d a + d a + d 9 Tegyük fel, hogy az eredeti tervek szerit t hétre volt elegedô a takarmáy, ekkor a meyisége t A valóságba t ideig tartott ki a takarmáy, a fogyasztás + + + ( t) volt Ie ( + t) $ t t, t 8, t 0 Összese 0 liter takarmáyt tároltak, eredetileg 8 hétre száták Amikorra a takarmáy elfogyott, a tyúkok is elfogytak $ 7 97 Összese mérkôzésre került sor Eyi a játékosok potszámaiak összege is, ezért a helyezett verseyzô potot szerzett Ha a szám tai sorozat külöbsége 0, akkor midekiek potja volt; ha a számtai sorozat külöbsége 0,, akkor a potszámok:,; ;,; ;,; ;,; ha a számtai sorozat külöbsége, akkor a potszámok: 0,,,,,, (Ez utóbbi esetbe em volt dötetle, mide játékos legyôzte a ála gyegébbet) Több lehetôség ics 98 Az elsô ágyás megötözéséhez 0 + + 0, a másodikhoz + +, a harmadikhoz + +,, az utolsóhoz 8 + + 8 méteryi utat kell megteie A + 8 + + + 0 számtai sorozat összege ( + 0) $ 0 0 (m) 99 elöljük a +, a +,, a + el a szomszédos természetes számokat (a! N)! Ezek összege a + ( + ), s ez potosa akkor osztható el, ha páratla k( + ) 90 Az a + kifejezés osztható el, ha páratla vagy k páros (Csak akkor em osztható el, ha páros és k páratla) 9 Sokféle megoldás adható l csoportosítsuk hármasával a számokat, az egyes csoportokba 0,,, 9, a számok összege (Az összeg midig hármasával ô, ugyais a megfelelô tagokat párosítva + + a változás) Így a 00 tagig 0 + + + + 00 a tagok összege, ehhez jö még +00 Eredméy: 70 9 Más megoldási lehetôségek: Összegezhetjük külö az,, 7,, 00, valamit,, 8,, 00, illetve,, 9, 00 sorozatokat; vagy az + + + + 00 összegbôl levohatjuk a + + + 00 összeg kétszeresét
8 Sorozatok 9 Az elsô egy tag összege a S 8, az elsô két tag összege a + a S stb Ha $, általába is teljesül, hogy S S + a a S S + d_ i + _ i +, vagyis az (a ) sorozat valóba számtai 9 elöljük az oldalakat a, b, cvel, s legye pl a # b # c Ekkor a számtai sorozat számtaiközéptulajdosága miatt b 0, s az (a, c) párra öt megoldást kapuk: (a, c) (, ), (7, ), (8, ), (9, ), (0, 0) Több em lehet a háromszögegyelôtleség miatt 9 elöljük a szögeket a, b, cval, s legye pl a # b # c! Ekkor a szimmetriatulajdoság miatt b 0, a! {,,, 0 }, s mide ahoz egyetle c tartozik Összese 0 megoldás va 9 elöljük a sokszög oldalszámát el (! N + ), ekkor szögei 0,, 0,, + $ Bármely szög belsô szögeiek összeg ( ) $ 80, így a mértékegységeket elhagyva 0 + + +( + ) ( ) $ 80 Ie ( 0 + + ) ( ) $ 80, átalakítva + 0 A másodfokú egyelet gyökei 9, A feladatak csak az 9 a megoldása; az esetbe a sokszögek 80 os szöge is vola 9 egye a három oldal hossza a d, a, a + d (a > d; a, d! N + ), a legkisebb szöge a! Ekkor itagorasz tételébôl (a + d) a + (a d), ie ad a Mivel a! 0, a háromszög oldalai d, d, d si a, a,9, a másik két szög, és 90 Megjegyzés: A megoldásba em haszáltuk ki, hogy az oldalak egész számok Ha tehát egy tetszôleges derékszögû háromszög oldalai számtai sorozatot alkotak, szögei,9,, és 90 97 a) Az elsô 99 sorba + + + 99 90 szám va, így a 00 sor kezdôszáma 9, a helye álló szám 9 ( ) b) Az elsô ( ) sorba szám va, az sor k helyé álló ( ) szám + k ( ) c) Az # 000 egyelôtleségbôl, # #,, tehát az $ 000 a sorba található Az elsô sorba 990 szám va, az 000 a sor 0 száma 98 a) Az elsô 9 sorba az elsô + + + 9 páratla szám található A 0 sor elsô eleme a páratla szám, + $ 9 A keresett összeg 9 + 9 + + 09 ( 9 + 09 ) $ 0 99
Számtai sorozatok 9 b) A sor az páratla számmal kezdôdik, közepé a páratla szám va, a $ ( ) c) Az + k sorszámú páratla szám áll itt, eek értéke ( ) + k ( + ) 99 Az elsô sorba lévô számok összege, a második soré ( + ) ( + ) +, a harmadiké + és így tovább; az utolsó sorba az ( + ) összeg + ( ) Eze számok összege ( + ) ( + ) N + + ( ) ( + ) 90 A feltételek szerit S b, S c, keresedô S Észrevehetjük, hogy a második elem mide egyes tagja éppe a differeciával agyobb, mit az elsô elem megfelelô tagjai Ha a sorozat differeciáját dvel jelöljük, akkor c b + d, hasolóa S b + d Ie S b + (c b) c b 9 Tegyük fel, hogy kezdetbe tagú volt a sorozat; ekkor tagjai 7, 8,, + (! N + )! Észrevehetjük a következôket: páratla számú szomszédos egész szám átlaga egész szám; páros számú szomszédos egész szám átlaga egész szám és fél; ha kiveszük egy tagot a sorozatból, a megmaradt számok átlaga az eredeti átlagtól legfeljebb 0,del tér el Ez alapjá két lehetôséget vizsgáluk meg: a szám kivétele elôtt az átlag lehetett vagy, Ha az átlag volt (vagyis páratla), akkor ( 7 + + ), ie 7 Az eredeti sorozat 7, 8,, 87, a tagok összege ( 7 + 87 ) $ 7 9 A kivétel utá a maradék 70 szám átlaga,, ekkor a számok összege, $ 70 8ra módosult A kivett szám a Ha az átlag, volt (vagyis páros), akkor ( 7 + + ),, ie 7 Az eredeti sorozat 7, 8,, 88, a tagok összege ( 7 + 88 ) $ 7 780 A kivétel utá a maradék 7 szám átlaga,, ekkor a számok összege, $ 7 Ez em egész, ekkor ics megoldás
0 Sorozatok Mértai sorozatok 97/II 9 Mértai sorozatok: b), c), e), g), h), k), l) Meg kell mutatuk, hogy a szomszédos tagok háyadosa álladó (ha a sorozat semelyik tagja sem 0); vagy, kicsit potosabba, meg kell mutatuk, hogy bármelyik tag az elôzô tag qszorosa, ahol q a sorozat háyadosa (kvóciese) l b + $ b mide re, így a (b ) sorozat mértai; míg pl az (a ) sorozat elsô három tagja,,, s mivel!, a 97/I sorozat em mértai 9 Igaz; bármely tag az elôzô qszorosa 9 A sorozat tagjai a, aq, aq stb éldául: a) a > 0, q > ; vagy a < 0, 0 < q < b) a > 0, 0 < q < ; vagy a < 0, q > c) q d) a, q 9 Több lehetôségük va Egyrészt a mértai sorozat explicit alakja a aq ; ha a vizsgált (a ) sorozat explicit alakja más, és em is hozható erre az alakra, akkor em mértai sorozat Másrészt megmutathatjuk, hogy a szomszédos tagok háyadosa em álladó (ha a tagok egyike sem zérus); egyes esetekbe az általáos eset helyett már kétkét szomszédos tag háyadosáak vizsgálata is elletmodásra vezethet a+ 9 a)! álladó, függ tôl a + b) A sorozat elsô három tagja, 0, ; a szomszédos tagok em ugyaayiszorosai egymásak c) Az elsô tag, a második ; de a harma dik tag (9) em szorosa a másodikak d) A sorozat tagjai, 0, stb; ezek ismét em alkotak mértai sorozatot 97 A függvéyértékek egyegy mértai sorozat tagjait adják (97/I II ábra) 98 Az állítások igazak Általába is igaz, hogy a mértai sorozat bármely tagjától számított mide kadik tagja (k! N + ) mértai sorozatot alkot Ha az eredeti sorozat há
Mértai sorozatok yadosa q, akkor a kadik tagok által alkotott sorozat háyadosa q k (Ha k, akkor az eredeti sorozat valamely késôbbi tagjával kezdôdô részsorozatát kapjuk) 99 Az értékkészlet lehet elemû (ha a sorozat álladó), elemû (ha a kvócies és em ulla az elsô tag), vagy végtele sok elemû 90 a, a 7 9 Mivel a 7 a $ q, q, q! a q ét megoldás va: a kezdôtag, a háyados pedig + vagy Az explicit alak a $ vagy a $ () a 7 a 7 9 q 8$, ie q a a $ q a $ $ $ + ; a00 007 9 a) Nem szerepelhet, hisze mide tag 7ek többszöröse b) Ha egy egész szám em osztható mal, akkor a kétszerese sem, ezért a sorozatba ics mal osztható szám c) A0 9 # 7 $ <0 0 egyelôtleségredszer megoldásszámát keressük Az x7 log x függvéy szigorúa övô, így log 0 9 # log (7 $ ) < <log 0 0, 9 log 0 log 7 + # <0log 0 log 7 +, ie 8,09 # <, Három megoldás va 9 a)c): Nicseek ilye sorozatok d) A hetedik tag q szerese a harmadik tagak, ezért a két tag em lehet elletétes elôjelû Nics ilye sorozat Általába is igaz, hogy a mértai sorozat páratla sorszámú tagjai em lehetek külöbözô elôjelûek (és természetese ugyaez teljesül a páros sorszámú tagokra is) e) q 8, q!, tehát két ilye sorozat va 9 A sorozatra q, a $, így a $ 000 < $ < 000, ie, < <, ét tag esik a megadott itervallumba: a és a 9 a) a, így a 00 99, a 8k 8k N b) b 8 $, így b 00 8 N 00 $, b 8k 8 8k N $ c) c $ (), így c 00 $ () 99, c 8k $ () 8k d) d (0,), így d 00 (0,) 00, d 8k (0,) 8k e) e $ ( ), így e 00, e 8k 9 Az (a ) mértai sorozatba a és a, ie q A tíz szám:,,,, 0
Sorozatok 97 elöljük Tvel a gyáregység kezdeti termelését! Ekkor az elsô hóap végé,0 $ T, a második hóap végé,0 $ T, az edik hóap végé,0 $ T a termelés a) Egy év alatt a termelés,0 $ T,7Tre emelkedik, a övekedés,7%os b),0 $ T T, ie 9, Álladó ütemû övekedés mellett 70 hóap alatt kétszerezôdik meg a termelés 98 A háyados lehet vagy, az összeg 0 vagy 0 99 elöljük a keresett összeget Ssel: S + + + + + + 00 Ie S + + + + + 00 + 0, a kettô külöbségébôl S 0 90 Hasolóa járhatuk el, mit az elôzô feladat megoldásába egye S a + aq + aq + + aq ; ekkor qs aq + aq + + aq + aq, s a kettô külöbségébôl (q )S aq a q Ha q!, akkor a mértai sorozat elsô tagjáak összege S a $ q Ha q, akkor ez a képlet em haszálható Mivel q eseté a mértai sorozat mide tagja a, S a $ 9 a) b) + c) 9 9 $ 0, ezért 9 + 8 + + + 9 9 $ ( + + + 0 ) 9 $ ( ) d) 8 $ ( + + + + ) 8 $ 8 ( ) $ $ () e) ( 7) $ () 9 Az (a ) mértai sorozatba q(a + a + a + a ) (a + a + a + a ), így q a + a + 9a + 7a 0, ie a a (! N) 9 q $ (a + a + a ) (a + a + a 7 ), így q! Ha q, akkor a, a, az összeg + 0 + 8; ha q, akkor a, 7 7 $ a ( 7) $, az összeg + 0 0,7 7 7 9 Ha a sorozat tagjai pozitívok, akkor bármely tag a szomszédos tagok mértai közepe Ha a szomszédos tagok között egatívok is vaak, akkor helyesebb úgy fogalmazuk, hogy bármely tag égyzete egyelô a szomszédos tagok szorzatával (Csak pozitív számok mértai közepét értelmezzük) a 9 a k p k a, a q p k + p a k q p k, p aq p $ k a k valóba (Ha a tagok között egatívok is vaak, akkor a ak pak + p q ak összefüggés helyett az a k p a k + p a k képletet alkalmazhatjuk)
Mértai sorozatok 9 Megmutatható, hogy a pozitív tagú mértai sorozatba bármely a k taghoz képest szimmetrikusa elhelyezkedô tagok mértai közepe a k ; ha pedig a tagok között egatívok is vaak, az elôzô feladat megoldásához hasolóa hatváyalakba fogalmazhatjuk meg a kapcsolatot a a) a 8 ; b) ua u; c) aaa aaq a q ; d) a ; e) ua 0 u; f) a 7 ; g) ua u h) Ha a tagok pozitívok, aaaa 7 aa, a szomszédos tagok mértai közepét kapjuk 97 0 9 a a 98 egye a három szám, a, aq (q! 0)! Ekkor + a + aq, q q a N a + a + a q q Átalakítva az egyeleteket: + aq a, q a N a N + aq + a q + a q q, ezért ( a) + a Ie a, s az elsô 0 egyeletbôl + q, q vagy q q ét megfelelô sorozat va:,, 8, illetve 8,, 0 99 A szimmetriatulajdoság miatt a középsô szám 0; az elsô szám, a q 0 harmadik 0q (q! 0)! Ekkor + 0q, q, q q 0, A sorozat:, 0, 0, illetve 0, 0, 90 A búzaszemek száma + + + +, irdatla agy szám Eyi búza többszöröse befedé a Föld teljes felszíét (Egy másik hasolat: ha a búzatároló raktár alapterülete 0 m, akkor magasságáak éppe a Napig kellee emelkedie, hogy eyi búza beleférje) 9 8 000 $ 0,9 0 0 89 (Ft) 9 Az elsô hajtogatás utá hajtásvoal keletkezik A második hajtogatás utá új hajtásvoal lesz (összese ), a harmadik utá új hajtásvoal (összese 7),, az hajtogatás utá új hajtásvoal keletkezik Összese + + + + a keletkezett hajtásvoalak száma Megjegyzés: A kapott hajtásvoalak száma elvi érték, a gyakorlatba csak éháy hajtogatást végezhetük Érdemes kipróbáli! 9 a) Midkét méret részére csökke Az összehajtogatott papír mérete, cm #,7 cm b) + + + 8 vízszites és ugyaeyi függôleges hajtásvoal keletkezik c), cm, illetve,7 cm Megjegyzés: A gyakorlatba a yolc hajtogatás ige eheze hajtható végre
Sorozatok 9 a) A jelelegi termelések: T I 00 $,0 0 80,; T II 80 $,0 0, A II vállalat már megelôzte az Iest a termelésbe b) Az össztermelések: S I 00 $,0 + 00 $,0 + + 00 $,0 0 0 0, 00 $, 0 $ 77,; 0, 0 0, S II 80 $,0 + 80 $,0 + + 80 $,0 0 80 $, 0 $ 0, 777, Az eltelt 0 év alatt a II vállalat termelt többet 9 a) egye a vállalatok termelése kezdetbe 00 egységyi! Az I vállalatál az egyes évekbe 0, 0,, 00 a termelés agysága Az össztermelés ( 0 + 00 ) $ 0 0 A II vállalatál jelölje x a övekedés ütemét! 00 $ x 0 00, ie x 0,07, vagyis a övekedés 7,%os Az össztermelés 00 0 0 c + + 0 + + 0 0 m 0 0 00 0 0 0 9 $ c + + + + 0 m 00 $ 0 0 9, b) Ha évet tekitük, a két össztermelés: T I ( 0 + 00 + 0 ) $ 0 + 0, illetve T II 00 $ 0 9, $ 0 b l 0 eseté T I 0, T II 7,; re T I 700, míg T II 70 A évbe a II vállalat össztermelése agyobb lesz; s mivel övekedéséek üteme gyorsabb, a külöbség ôi fog 9 A hat hajtogatás utá darab réteg kerül egymásra a) b) $ 9 97 Elsô megoldás: koskodjuk visszafelé! Mivel a hetedik vevô a maradék almák felét és még egy fél almát kapott, s ekkor elfogytak az almák, a hatodik vevô utá összese alma maradt Hasoló okoskodással az ötödik vevô utá maradt (ebbôl kapott meg a hatodik vevô, + 0, almát), a egyedik utá 7, a harmadik utá, a második utá, az elsô utá ; s kezdetbe 7 volt (Elleôrizzük!) Második megoldás: elöljük xszel az almák kezdeti számát! Az elsô vevô x x + + almát kapott, maradt x A második vevô x x+ x x+ x + almát kapott, maradt Tovább
Mértai sorozatok folytatva az eljárást, a harmadik vevô x x + +,, a hetedik vevô 8 x+ x+ x+ x+ x+ 7 almát kapott + x 8 + + 7, ie x 7 98 Az r sugarú félkör hossza rr a) Az egyes félkörök hossza mértai sorozatot alkot: r, r, r, N Ezek együttes hossza 0 lépés utá r + + + + 9 N 0 N r r 9 b) Az elôzô átalakításhoz hasolóa megmutatható, hogy lépés utá N (! N + ) a spirális hossza r Ez az érték midig kisebb, mit r; a kör kerülete soha em érhetô el c) r( + + + + 9 ) r( 0 ) 99 Vegyük fel az ábra szerit két éritkezô kört! elöljük a körök középpotjait Bvel és Cvel, 99 a középpotokból az egyik szárra bocsátott merôlegesek talppotjait redre Evel és Ffel; legye továbbá a B középpotú kör sugara x, a C középpotúé y Mivel a körközéppotoko átmeô egyees szimmetriaokok miatt felezi az A csúcsál lévô 0 os szöget, ezért az ABE derékszögû háromszög szögei 0 és 0 Ie AB BE x, hasolóa AC CF y Mivel BC x + y, így y x x + y, ahoa x y A kapott eredméy a többi éritkezô körre is igaz; a körök sugaraiak hosszai olya mértai sorozatot alkotak, melyek háyadosa A sugarak övekvô r r sorredbe:,, r, r, 9r 9 970 Alkalmazzuk a 0 0 becslést! 0 km 0 m 70 m (Valójába 9,90 $ 0 0, 70,8 $ 0 ) A 0 geerációak még 70szer kellee osztódia, hogy térfogatuk elérje a Föld térfogatát A 0 osztódás idôtartama valamivel kevesebb, mit ap 97 Mide egyes hajtogatásál a felület felére csökke, a vastagság kétszerezôdik a) 0 b) Ha jelöli a hajtogatások számát (! N + ), akkor $ 0, $,8 $ 0, ie $,8 hajtogatásra vola szükség
Sorozatok 97 a) a 0 ; 0 b) b $ + ; 9 0 0 ( 0 )( 0 + ) c) c 0 $ + $ 9 9 9 g 97 a) + g + g + + g ; g _ + gi` g j b) _ + gi`+ g + g +fg j ; g g g ( g + )( g ) c) $ $ g + $ g g g 97 a) 8 cm # 8,8 cm; T 0 9979, cm b) cm #,9 cm; T T 0,9 cm c), cm #,7 cm; T 0 T 0 0 9,7 cm 97 Az elsô kiötés utá az g só 80%a marad meg; a második utá már csak eek a 80%a stb $ 0,8 0 0, (g), eyi só marad 97 Az elsô kiötés utá 9 liter víz marad; a második utá eek a 9%a; a harmadik utá már csak a maradék 9%a stb A megmaradt víz: 0 $ 0,9 9,7 (l), tehát 0,7 liter alkohol marad az edéybe 977 a) Az elsô év végé tartozásuk 0 $,08 Ft Ebbôl 0 Ftot az év végé törlesztettük, így a második év elejé tartozásuk 0 $,08 0 Ft, ez fog kamatozódi A második év végi törlesztés utá tartozásuk 0 $,08 0 $,08 0 Ft, általába az év végé (! N + ) 0 $,08 0 $,08 0 $,08 0 Ft 0 $,08 0 $,08 0 $,08 0 08, 0 $,08 0 $ Ha az év végé ics tartozásuk, 08, akkor 0 $,08, $ 0 $,08 +, $ 0 # 0 Eek megoldása $ 0,9, vagyis a év végé fizetjük vissza a tartozásukat (Az utolsó évbe kevesebbet fizetük vissza, mit 00 000 Ft) b) 0 éve keresztül $ 0 Ftot fizetük vissza A 0 év végé tartozásuk, $ 0 0, $ 0 $,08 0 8 7 Ft; a teljes visszafizetett összeg 08 7 Ft 978 Az félhag frekveciája a 0 Hz alapérték szerese Így a frekveciák kerekített értékei: hag frekvecia (Hz) a b h c cisz d disz e f fisz g gisz a 0 9 87 9 98 70 78 8 880
Mértai sorozatok 7 979 egye a mértai sorozatot alkotó három szám a, aq, aq Ha egyúttal számtai sorozatot is alkotak, akkor a + aq aq, ie a(q q + ) 0 Az a 0 vagy a q lehetôségek azt mutatják, hogy a három szám egyelô Megjegyzés: Az ilye típusú feladatokba kiidulhatuk az a d, a, a + d számtai sorozatból is Ha ezek a számok mértai sorozatot alkotak, akkor (a d)(a + d) a, d 0 980 Elsô megoldás: egye a számtai sorozatot alkotó három szám a d, a, a + d Ha a reciprokaik mértai sorozatot alkotak, akkor $ a d a + d a, ie d 0 A három szám egyelô, de a! 0 Második megoldás: Ha az a, aq, aq mértai sorozatból iduluk ki, akkor az + egyeletbôl q (a! 0) a aq aq 98 Elsô megoldás: egye a számtai sorozat három eleme a, a + d, a + d; ekkor a mértai sorozat három eleme a, a + d, a + d + Ie a(a + d + ) (a + d), valamit a + d + a Az egyeletredszer megoldása d, a A számtai sorozat tagjai:,, ; a mértai sorozaté,, Második megoldás: Ha az a, aq, aq mértai sorozatból iduluk ki, akkor a, aq, aq számtai sorozatot alkot (a + aq aq) és a + aq 98 egye a számtai sorozat három eleme d,, + d; ekkor d,, + d mértai sorozatot alkot, tehát ( d)( + d) Ie d!, a három szám,, 8 98 Iduljuk ki a számtai sorozatból! A három szám összege 0, így tagjai 0 d, 0, 0 + d; az eredeti mértai sorozat tagjai pedig 0 d,, 0 + d Ie (0 d)(0 + d), d!8 A három szám,, 8 98 Elsô megoldás: egye a három szám a, a + d, a + d! Ie a + a + d + a + d, valamit a(a + d) (a + d) A második egyeletbôl ad d Ha d 0, a 8, 8, 8 sorozatot kapjuk; ha d! 0, akkor d a Az elsô egyeletbe visszahelyettesítve a, d adódik; ekkor a három szám,, 98 Második megoldás: egye a három szám a, aq, aq! Ekkor a + aq + aq, valamit 8(aq a) aq a Mivel a! 0, a második egyeletbôl 8(q ) q ; ie q és q 7 adódik stb 98 Elsô megoldás: egye a három szám a, aq, aq! Ekkor a + aq + aq, valamit (a + ) + (aq + ) (aq + ) A két egyelet külöbségébôl aq, visszahelyettesítve az elsô egyeletbe q 0q + 0 A két gyök q, q ; a kezdôtag a, a 8 A három szám,, 8 (vagy 8,, sorredbe) Második megoldás: A számtai sorozat három tagjáak összege + + +, így a számok d,, + d A d,, 9 + d számok mértai sorozatot alkotak, ie ( d)(9 + d), d d 0 Eek gyökei
8 Sorozatok d 9, d 7; a számtai sorozat,, vagy 9,, ; a hozzájuk tartozó mértai sorozatok,, 8, illetve 8,, 98 Ha a számtai sorozat három tagja a d, a, a + d, akkor a kezdeti a d, a, a + d és a végsô a d, a, a + d + számok is mértai sorozatot alkotak Ie (a d)(a + d) (a ), valamit (a d)(a + d + ) a Az 8 N egyeletredszer megoldása (d; a) (8; 0) vagy (d; a) ; 9 ; a három 0 0 szám lehet,, 8 vagy,, 9 9 9 987 egye a égy szám a d, a, a + d, ( a+ d )! Ekkor a d + ( a+ d ) a a, a + a + d 0 Az egyeletredszer megoldása (d; a) (; 8), illetve (d; a) (;,) A égy szám, 8,, 8; vagy 7,,,, 7,,, 988 egye a d + c (! N +, d! 0)! a) a + a + d + c + d( + ) + c d + c + d szité számtai sorozat (a differecia d) b) a + a d, álladó számtai sorozat c) a d + c számtai sorozat d) a d + dc + c ; ez ú másodredû számtai sorozat (a szomszédos tagok külöbsége alkot em álladó számtai sorozatot) a c d e) $ ( ) mértai sorozat (q d ) 989 Számtai sorozatokat kapuk 990 Az a)f) esetekbe mértai sorozatokat kapuk egye a a q (a, q > 0,! N + )! a) a + a + a q + a q a ( + q)q mértai sorozat (a kvócies q) b) a q a q a (q )q (Ha q, a kostas 0 sorozat adódik) c) a a q d) a a $ `q j, a háyados q e) aq a $ b ql N f) $ a a q g) lg a lg (a q ) lg a + ( ) lg q, számtai sorozat (lg q a külöbség) 99 Ha a páratla sorszámú tagok összegét Aval jelöljük, akkor a páros sorszámú tagok összege qa (q a sorozat háyadosa) A + qa A, ie q (A 0 em lehet, a tagok pozitívok) 99 egye A a + a + a + a 8 és B a + a + a + a 7! Ekkor A + B 0, 8 A B 0; ie A 00, B 0, s mivel A qb, q a $ 0, 0 ie a 0 8 9 A sorozat: a 0 $ 9
Mértai sorozatok 9 99 a) egye a háromszög három oldala a # aq # aq (q $ ) A háromszögegyelôtleségek teljesülie kell, ezért a + aq > aq ; ie aq aq a < 0 Az egyelôtleség megoldása + + < q < Háromszöget # q <, eseté kapuk Ha em tesszük fel, hogy q $, akkor 0, + N + az alsó korlát: < q < b) Ha a háromszög derékszögû, akkor a + a q a q + Ie q q 0, a pozitív gyök q Ebbôl a pozitív q + értéke,7; ekkor a derékszögû háromszög oldalai mértai sorozatot alkotak ehetséges a reciprok megoldás is, ekkor N q 079, ( ) 99 a) S $ ( ); $ ; N $ ( ); N N R $ $ q b) Ha a sorozat em álladó (q! ), akkor S b $ ; q ( ) q b $ q ; N b $ ; q N q q N R b $ b ( q ) $ q q Ha a sorozat álladó, akkor S $ b, b, N $ b, R b 99 Ha a mértai sorozat mide tagja, akkor elem összege 9; ekkor azoba $! 8
0 Sorozatok Ha a mértai sorozat a a $ q (! N +, q! ) alakú, akkor az elsô tagjáak összege S q a $, az elsô tag reciprokáak összege q q N R $ a ( q ) q q q N Ie S $ 9, R $ q ( q ) q Az elsô egyeletbôl (q ) (q ), a másodikból (q ) q (q ); ie q, 8 vagyis q q Visszahelyettesítve q,, a tagok:,,,, 8 99 A 0 év végé a faállomáy 0 000 $,0 0, majd ritkítás utá 9000 $,0 0 m lesz Ugyaígy a év végé 9000 $,0 0 $,, illetve 800 $,0 0 $, m, a év végé 800 $,0 0 $,, illetve 790 $,0 0 $ $, m, vagyis 079 m a faállomáy A kitermelt fa meyisége,0 0 $ (000 + 900 $, + 80 $, ) m, vagyis 00 m fát vágak ki N 997 a + + q q, a N + q q 0 egye z + q, ekkor q a (z ), a z 0 A két egyelet háyadosából 0(z ) z, ie 0z z 0 0 z, vagy z 0,; az elsô esetbe q vagy q 0, (a ), míg a második esetbe ics megoldás ét lehetséges sorozatot kaptuk: a $, illetve a 8 $ 0, Rekurzív sorozatok Explicit és rekurzív alakok 998 A sorozatok kezdôtagját tôl idexeljük, így pozitív egész szám a) Explicit alak: a Rekurzív alak: ha $, akkor a a ; a Egy másik rekurzív megadás pl a a ( $ ), a a b) Explicit alak: b + ; Rekurzív alak: b b + ( $ ), b c) Explicit alak: c ; Rekurzív alak: c c + ( $ ), c d) Explicit alak: d + ; Rekurzív alak: d d ( $ ), d 8 N e) Explicit alak: e 8 $ ; Rekurzív alak: e e ( $ ), e
Rekurzív sorozatok f) Explicit alak: f ( ) $ ; Rekurzív alak: f f ( $ ), f g) Explicit alak: ha páratla, g ; ha páros, g 7 Másik lehetôség: g $ () + Rekurzív alak: g g + $ () ( $ ), g h) Explicit alak: h + + + + + ( ) + ( ) +0 Rekurzív alak: h h + ( $ ), h i) Explicit alak: i 7 + 9 + + ( + ) ( 7+ + ) + Rekurzív alak: i i + ( + ) ( $ ), i 7 j) Explicit alak: j! Rekurzív alak: j $ j ( $ ), j k) Explicit alak: k k Rekurzív alak:, ie k k k $ ( $ ), k Egyéb lehetôségek: k k ( + ) így k k ; ( + ) vagy k $ k ( +, ie k ) $ ( + ) k l) Explicit alak: l + 7 7 Rekurzív alak: l l $ + + ( $ ), l 8 999 a) a a + ( $ ), a b) b b + ( $ ), b c) c c ( $ ), c d) d d ( $ ), d e) e e ( $ ), e f) f f ( ) ( $ ), f g) g g ( $ ), g
Sorozatok Rekurziók osztályozása 000 a) Ez a számtai sorozat rekurzív alakja; álladó együtthatós, elsôredû, d 0 eseté homogé, egyébkét ihomogé, lieáris rekurzió (Az explicit formula: a c + ( )d, ( $ )) b) Ez a mértai sorozat: álladó együtthatós, elsôredû, homogé, lieáris rekurzió A mértai sorozat explicit alakja b cq ( $ ) c) Nem álladó együtthatós, elsôredû, homogé, lieáris rekurzió Megoldása c! ( $ 0) a 0! megállapodással d) Elsôredû, másodfokú (emlieáris) rekurzió e) Másodredû, törtes (emlieáris) rekurzió f) A jól ismert Fiboaccisorozat: álladó együtthatós, másodredû, homogé, lieáris rekurzió (eoardo isao (70) itáliai matematikus vizsgálta elôször ezt a sorozatot) g) Negyedredû homogé emlieáris rekurzió 00 A sorozat explicit alakja a (! N + ) a) a a + ( $ ), a b) a a + ( $ ), a, a Egy másik lehetôség: mivel bármely közbülsô tag a szomszédos tagok a + a számtai közepe, $ eseté a +, vagyis a + a a Ie idexeltolással a a a ( $ ), a és a c) a a + 8 ( $ ), a, a, a, a 8 a+ a + a+ a+ + a+ Másik lehetôség: az a összefüggést átalakítva a + a + + a a a ( $ ), a, a, a, a 8 ( a+ )( a+ ) d) l a, a a, a Teljes idukció 00 a) Az a, a, a behelyettesítések alapjá az explicit alakra az a összefüggést sejthetjük meg Teljes idukcióval bizoyítuk: feltesszük, hogy ak k, s kérdés, hogy ak + k + teljesüle A rekurziós összefüggés és az idukciós feltevés alapjá ak + + ak + k + k, vagyis sejtésük igaz a 00 0 b) Sejtés: a + 99 Teljes idukcióval bizoyíthatuk Az öröklôdés az ak + + ak + k+ 99 k+ 00 átalakításból következik a 00 99
Rekurzív sorozatok N 00 A sorozat éháy kezdôtagja alapjá a, a, a az a + sejtést próbálhatjuk bebizoyítai az a k k k idukciós feltevésbôl kiidulva Mivel ak a + + k +, így az explicit képlet valóba a + k k k + k + 00 Elsô megoldás: A sorozat tagjaiak hárommal való osztási maradékai (, 0,, 0, ) periodikusa ismétlôdek, mert a sorozat bármely tagja csak az ôt közvetleül megelôzô tagtól függ Így a sorozat páros idexû tagjai és csak azok oszthatók mal Megjegyzés: A periodicitás egyébkét a skatulyaelv miatt bármely redû rekurzív összefüggés és a as helyett tetszôleges modulus esetébe is feáll, ha a sorozat elemei egészek Második megoldás: A sorozat kezdôelemei,,, 9, 7 stb Észrevehetjük, hogy midegyik tag eggyel agyobb egy kettôhatváyál, így az a + ( $ ) explicit alakot sejthetjük meg Az idukciós feltevés a k k +, ebbôl kell belátuk, hogy a k+ k +, ez pedig az a k+ a k ( k + ) k + átalakításból már következik + ugyaazt a maradákot adja mal osztva, mit () +, tehát a sorozat páros idexû tagjai oszthatók mal Elsôredû lieáris rekurziók 00 Írjuk fel az i tag rekurziós alakját redre az i,,,, esetekbe: a c, a a + f, a a + f, a i a i + f i, a a + f Az egyeleteket összeadva a c + f + f + + f N rqvidebbe: a c+! f i Vagyis mide olya esetbe felírhatjuk a et zárt i alakba, amikor az f + f + + f összeg zárt alakra hozható
Sorozatok 00 a) Az a a + + (! N +, $, a 0) összefüggésbôl a 0, a a +, a a +, a a + + Az egyeleteket összeadva a 0 + + + + ( + ) ( )( ) 0 + + + + +, s így 00 + $ 00 + a00 0 0 b) A mal való oszthatóság szempotjából elég vizsgáli az a + + explicit alak számlálóját, hisze és relatív prímek Ha maradéka 0, vagy, akkor + + maradéka redre,, Vagyis ebbe a sorozatba ics mal osztható tag 007 Elsô megoldás: Az elsô csúcsból ( ) darab szakaszt húzhatuk (kimarad ömaga); a második csúcsból már csak ( )t, hisze az elsô csúccsal már összekötöttük egyszer; a harmadikból ( )at stb; végül az utolsó, ( ) csúcsból már csak egy szakasz húzható A behúzott szakaszok száma + + + ( ) ( ), az átlók száma ( ) ( ) tehát Második megoldás: Mide csúcsból átlót húzhatuk; ez ( ) átlót jelet Mivel mide átlót kétszer számoltuk, az összes átló száma ( ) Harmadik megoldás (rekurzióval): Ha a kovex ( )szög átlóiak száma A, akkor az csúcs felvételekor új átló keletkezik, valamit egy korábbi oldalélbôl is átló lesz Vagyis az A A + ( $, A 0) rekurzió explicit alakját kell elôállítauk Eek megoldása a hagyomáyos módo A + + + ( ) ( ) 008 Adott számú egyees eseté a legtöbb síkrészt akkor kaphatjuk, ha az egyeesek között icseek párhuzamosak, és semelyik poto em megy át kettôél több egyees (Véges számú egyeest így midig felvehetük) Az alábbi táblázatba feltütettük, hogy 0,,,, egyees felvételekor háy tartomáy keletkezett egyeesek száma: tartomáyok száma: külöbség: 0 7
Rekurzív sorozatok Észrevehetjük, hogy a szomszédos tartomáyszámok külöbsége eggyel ô A sejtés bizoyításához tegyük fel, hogy egyees S részre osztja a síkot Az egyees elmetszi a korábba felvett egyeest, ekkor új tartomáy keletkezik; valamit az utolsó metszéspot utá szité kapuk egy további (em korlátos) síkrészt Vagyis egyees legfeljebb S + részre osztja fel a síkot, mit azt sejthettük Az S S + ( $, S 0 ) rekurzió megoldása: S + + + + + ( ) ; legfeljebb eyi részre oszthatja egyees a síkot 009 Adott számú kör felvételekor a legtöbb síkbeli tartomáyt akkor kaphatjuk, ha bármely két kör két potba metszi egymást és semelyik metszéspoto em megy át kettôél több kör (Ellekezô esetbe a tartomáyok számát övelheték) A továbbiakba tehát csak az ilye helyzetû körökkel foglalkozuk Tegyük fel, hogy darab kör k részre osztja a síkot Az kör felvételekor ( ) metszéspotot kapuk, s midegyikhez tartozik egy új tartomáy Így a k k + ( ) ( $, k ) rekurzív összefüggést kapjuk, eek megoldása k + ( + + + ( )) + ( ) + A maximális helyzet el is érhetô Tetszôleges eseté megadhatuk darab kört úgy, hogy bármely kettôek két metszéspotja legye l egy adott kört rögzített iráyba ( )szer kissé eltoluk; ha az elsô és utolsó kör középpotjáak távolsága kisebb, mit a kör sugara, akkor midegyik kör metszi midegyik kört, külöbözô potokba 00 Az alábbi táblázatba az,,, téglalaphoz tartozó maximális tartomáyú síkfelosztás adatai láthatók téglalapok száma: tartomáyok száma: külöbség: 8 egtöbb síkrészt akkor kapuk, ha bármely két téglalap égy potba metszi egymást (Ez a helyzet el is érhetô) Tegyük fel, hogy ( ) darab téglalap t részre osztotta fel a síkot! Az téglalapak a korábbi téglalapokkal ( ) metszéspotja va, s midegyik metszéspothoz egyegy új tartomáy tartozik Ie t t + ( ) ( $, t ) A rekurzió megoldása: + + 8 + + + ( ) + $ `+ + + f + _ ij + 0 Írjuk fel a sorozat éháy kezdôtagját és vizsgáljuk a szomszédos tagok külöbségét: a e, a b $ a + c, a b $ a + c, a b $ a + c, Akülöbségek: a a b $ a + c e, a a b(a a ), a a b(a a ), Defiiáljuk a (d ) külöbségsorozatot d i a i a i (i $ ) formába, ekkor
Sorozatok d b $ a + c e ( álladó), d b $ d, d b $ d Vagyis (d ) egy b háyadosú mértai sorozat, d b $ d Mivel a d + a, a d + a, a d + a, a (d ) sorozat ismeretével egy olya elsôredû rekurziót kaptuk (a ) re, melybe a együtthatója Eek megoldása már korábba láttuk: a a + d + d + d + + d, ie b b a a+ d e + _ be + c ei b b 0 Elsô megoldás: A sorozat kezdôtagjai: a, a a + 7, a a +, a a + A külöbségsorozat d, d 8, d,, d Így a a + d + d + + d + + 8 + + + Második megoldás: Behelyettesíthetük az elôzô feladat megoldásába levezetett a b e + _ be + c ei formulába: a b e, b, c, így a + _ $ + i + Harmadik megoldás: Az explicit alak köye megsejthetô, dolgozhatuk teljes idukcióval is Megjegyzés: A külöbségsorozat haszálata miatt kissé kéyelmesebb az (a ) sorozatot 0tól idexeli 0 a) a 0 b) a 0 9 + c) a + 0 Ha c 0, akkor a rekurzió homogé, egyébkét ihomogé Az általáos megoldást a speciális homogé rekurzió megoldása segítségével állítjuk elô A továbbiakba feltesszük, hogy b! 0 (egyébkét a rekurzió elfajul) egye a c 0 esethez tartozó homogé rekurzió megoldása (h ): h b $ h ( $, a N h 0 értéke egyelôre szabado választható); majd tekitsük a (q ) h sorozatot: + c c + Az így kapott q h a ba c a h h h q +, ( $, q h h 0 c c c késôbb meghatározadó) rekurzió megoldása q q 0 + + + + h h h c N i vagy rqvidebbe q0+! i h Ie a a 0 ci +!, vagyis i h h0 i hi a 0 ci a h h h +! 0 i hi A homogé rekurzió megoldása h h 0 b b b (Ha b álladó, akkor speciális esetkét a mértai sorozatot kapjuk meg) átható, hogy a h 0 választás ci a legkéyelmesebb; ekkor h b b b, és a a 0 h +h! h i i
Rekurzív sorozatok 7 0 Elsô megoldás: A sorozat éháy kezdôtagja a 0, a, a, a 8 8 stb Megsejthetjük, hogy ha a sorozat egyik tagja y x, akkor a követke x + zô tag ; így a olya tört alakba írható, melyek evezôje, számlálója pedig az x y x +, x 0 rekurzív összefüggésbôl határozható meg Ez utóbbi megoldási képletét már korábba levezettük, most vagy idexeltolást alkalmazuk, vagy x kezdôtaggal számoluk: + x + _ $ + i + Sejtésük alapjá a, ezt teljes idukcióval bizoyíthatjuk Az állítás 0ra igaz Ha a k $ k N k (k! N + ), akkor a k k a k + $ k k k N + k+ $ k + k + k $, tehát valóba feáll az $ $ k $ öröklôdés Második megoldás: Helyettesítsük be az általáos képletbe A h $ h N ( $, h 0 ) homogé rekurzió megoldása h Mivel b, c, N N N N így a + + + + + N + + + + + ` + + + + j + N + $ 0 A sorozat éháy kezdôtagja: a 0, a, a 8, a 9 stb Elsô megoldás: Alkalmazzuk az elôzô feladat megoldási módszerét (b, c ) A h $ h ( $, h 0 ) homogé rekurzió megoldása h, így N a + + + + + + $ + $ + $ + + $ ( ) + $ A tag utái összeget felfoghatjuk, mit darab mértai sorozat összegét:
8 Sorozatok (): + + + + ; (): + + + + ; ( ): + ; (): Ezek összege +, így a $ Második megoldás: Tekitsük az (a ) sorozat külöbségsorozatát d a a a + (a + ) d + d, a (d ) sorozat explicit alakja d + $ ( ) $ ( $ ) Ie a a 0 + d + d + + d + $ ( + + + + ) + $ $ 07 a) A sorozat éháy kezdôtagja: a 0, a, a 9, a A h h, (! N +, h 0 ) homogé lieáris rekurzió megoldása h A + + + összeg értéke N N + N $ ; végül + N N + + a + Az explicit alak a + + (! N + ) + b) Az elsô elem összege S + + c) A + + kifejezés tel való osztási maradékait vizsgáljuk Az oszthatósági szempotból egyeértékû () + + kifejezés páratla értékekre ulla maradékot ad, páros ek eseté $ + a maradék Tehát az a a + (! N +, a 0 ) sorozatba csak a páratla sorszámú tagok oszthatók tel Megjegyzés: Egyes esetekbe speciális megoldási módszereket is alkalmazhatuk Az a 0, a a 0 +, a a +, a a +, a a + egyeletek összeadása elôtt azoos együtthatókat állítuk elô midkét oldalo
Rekurzív sorozatok 9 Az (utolsó elôtti) egyeletet megszorozzuk mal; az ( ) egyeletet al, az ( )et al,, végül az elsô egyeletet el Az így kapott egyeleteket összeadva a + $ + $ + + $ + Ezt tekithet jük egy kezdôtagú és kvóciesû mértai sorak, amit a hagyomáyos képlettel összegezhetük; vagy megszorozhatjuk a ( )es téyezôvel, s így e vezetes azoosságot kapuk: + + ( $ 0) 08 eletse a az év végé meglévô összeget, ekkor tulajdoképpe az a 0 000 $,0, a (a + 0 000) $,0,0a + 0 000 $,0 rekurziót kell megoldauk ( $ ) Az elsô év végé a 0 000 $,0 az összeg; a második év végé ez tovább kamatozik, értéke 0 000 $,0 lesz; s az újoa betett 0 000 Ft további 0 000 $,0 értéket ad A harmadik év végére (0 000 $,0 + 0 000 $,0) $,0 + 0 000 $,0 0 000 $,0 + 0 000 $,0 + 0 000 $,0 a kamatozott összeg Észrevéve a szabályosságot, az év végére 0 000 $,0 + 0 000 $,0 + + 0 000 $,0 a teljes összeg, ami agyobb vagy egyelô, mit 000 000 Ezutá alkalmazhatjuk a mértai sorozat összegképletét Eredméy: $,97, vagyis év Másodredû rekurziók 09 A sorozat kezdôtagjai 0,,, 7,,,, Az (a ) sorozat megoldását a x alakba keressük; ekkor az x x + x átalakítás utá x (x x ) 0 Mivel x! 0, az x x 0 ú karakterisztikus egyelet gyökei b és c Ez azt jeleti, hogy az a a + a összefüggést az a b () és az a c mértai sorozatok is kielégítik Sôt az általáos megoldást b és c lieáris kombiációjakét kaphatjuk meg (Egyszerû behelyettesítéssel meggyôzôdhetük arról, hogy a mértai sorozatok lieáris kombiációja valóba megoldása az eredeti rekurzióak) Az a ub + vc általáos megoldásba az u, v értékeket az a 0 0, a kezdeti értékek illesztésével határozhatjuk meg Az a 0 0 feltételbôl u + v 0, az a feltétel miatt u + v Az egyeletredszer megoldása u, v ; tehát a sorozat explicit alakja a ( ) + $ Hasolóa járhatuk el mide a b $ a + c $ a rekurzió megoldásakor, ha a karakterisztikus egyeletek két valós gyöke va; sôt akkor is, ha a két gyök komplex