V.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V.fejezet A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Vlószíűleg ez z tékö. elye legtö feldtot tlálták ki középiskolások száá, hisze ezek feldtok jó lklt yújtk z úgy is fotos htváyközepek közti egyelőtleségek gykolásá. Ngyo sok ilye jellegű feldt tlálhtó z iodlojegyzéke feltűtetett köyveke és feldtgyűjteéyeke. Ee fejezete csk éháy édekese feldt szeepel, gyészt ezekől összegyűjtve. Sokszo poléát okoz szélsőéték keeséseko z, hogy köye egfeledkezük következő téyől: h egy A eyiséget felülől vgy lulól ecsülük egy ásik B eyiséggel (ellyel egyelő is lehet), kko z ég e jeleti zt, hogy A-k z A = B esete iu ill. iiu v. Ez csk kko igz, h B eyiség álldó (lsd. V.7.feldt). A feldtok felhszált htváyközepeke votkozó egyelőtleségek izoytás egtlálhtó Bevezetés-e. V..feldt: Adott egy k kö elsejée egy P pot. Melyik jt áteő húok közül legövide (V..á)? P V..á Megoldás: Sejtésük lpjá vlószíűleg P- áteő átéőe eőleges hú tippelük. Ezt zo izoyíti is kellee. Botsuk P-e illeszkedő tetszőlegese

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek válsztott hút P pottl két észe: - és -e. Keessük ezek összegéek iiuát. Tudjuk, hogy z és szkszok szozt álldó, káilye helyzetű is legye P- áteő hú. = álldó. Mi viszot + iiuát keessük. A száti és éti közepeke votkozó egyelőtleség szeit: + + így kko legkise, h egyelő ezzel z álldóvl. Ez pedig kko teljesül, h: = (lsd.: Bevezetés). Ez z eedéy egyezik sejtésükkel, hisze csk z esete állht fe z = egyelőség, h hú eőleges P poto áteő átéőe. V..feldt: Egy köleez elsejéől ekko kocetikus köleezt kell kiváguk, h zt kjuk, hogy egdó kögyűű lkú leeze dott átéőjű huzlól lehető legtöet csévélhessük fel egyétegűe (V..á)? d ρ V..á Megoldás: Legye z eedeti köleez sug:, kivágott köleezé: ρ, huzl átéője pedig: d. Ekko összese ρ π eet tekecselhető fel gyűűe. d Egy eet hossz pedig: (-ρ).

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek ρ π Így teljes felcsévélhető huzl hossz: l= ( ρ) = ( ) d 4π ρ ρ. d Ai száuk fotos, z ρ(-ρ) szozt, hisze 4π álldó. d Ez szozt pedig ρ(-ρ) éti közepéek égyzete. Mivel égyzetgyök függvéy szigoú ooto övekvő, ezét h ρ o eseté lesz iális ρ(-ρ) étéke, kko ρ( ρ) is ρ=ρ o éték ellett lesz leggyo. ( ) ρ ρ ( ρ) ρ+ = = álldó. Tehát feltekehető huzl hossz kko leggyo, h: zz: ρ = -ρ, ρ=. V..feldt: Adott félköe ít tégllpok közül elyikek v leggyo teülete? Megoldás: ) Legye tégllp átéőe illeszkedő oldlák hossz (V./.á). Ekko teülete: T = Tlá átságos éz ki kifejezés, h T = ( ) lk íjuk. A gyökjel ltt egy szozt áll, tehát kifejezés és éti közepe. Alklzv száti és éti közepeke votkozó egyelőtleséget: + T = ( ) = = álldó.

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Tehát T =. Ez z egyelőség eseté teljesül; kko pedig: = = V./.á α V./.á ) Jelöljük α-vl félkö középpotjáól tégllp egyik csúcsá húzott sugá és z átéő áltl ezát kise szöget (V./.á). A tégllp teülete ekko: T = cosα siα= siα cosα Keessük tehát siα cosα iuát, tudv zt, hogy si α+ cos α=. H ost éti és égyzetes közepek közti egyelőtleséget lklzzuk, kko: siα cosα si α+ cos α siα cosα si α+ cos α =. siα cosα kko leggyo, h z egyelőség áll fe. Az pedig kko áll fe, h siα = cosα, tehát α= 45. z ) egoldáseli eedéyel egyezőe. A tégllp oldlik áy tehát: :. Az eedéyől is következtethetük, hogy egy dott köe ít tégllpok közül égyzet leggyo teületű. V.4.feldt: Az előző feldteli tégllpok közül elyik keülete lesz leggyo? 4

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V.5.feldt: Egy dott sugú félkö köé íjuk egyelőszáú háoszögeket úgy, hogy két csúcsuk (A,B) idig félkö átéőjéek egyeesé legye. Ezek közül elyik legkise teületű (V.5/.á)? A B C V.5/.á V.6.á V.6.feldt: Egy háoszög A csúcs egy sugú egyedkö középpotj, B csúcs köíve v, C csúcs pedig B-ek z egyik htáoló sugá vló eőleges vetülete (V.6.á). Keessük eg ezek közül leggyo teületű háoszöget. V.7.feldt: Egy dott sugú köe ít háoszögek közül elyikek teülete leggyo? Megoldás: A lll..feldt lpjá á tudjuk, hogy z egyelő oldlú háoszögek. Felejtsük ost el ezt egoldást, és póálkozzuk ás úto. O Rjzoljuk z dott köe egy tetszőleges háoszöget. H öveli kjuk teületét, legegyszeű lépés z lehet, hogy egyelő száúvá tesszük egyik oldlák változtlul hgyás ellett. Ezzel ugyis z ehhez z oldlhoz ttozó gsságát egöveltük, és így teülete is gyo lett (V.7.á). V.7.á H ezt z eljáást so lklzzuk háoszög oldli szátl sokszo, eg lehet utti, hogy htáétékkét z egyelő oldlú háoszöget kpjuk. Mi zo póáljuk kiiduli egy ilye egyelő száú háoszög teületéől, és utssuk eg, hogy z kko leggyo, h háoszög ide oldl egyelő. Jelölje ost á egyelő száú háoszög lpják kö középpotjától ét távolságát. Ekko z lp hossz:, hozzá ttozó gsságé pedig: +. 5

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek A háoszög teülete: T = + = + = +. Ez pedig z +, +, + és - eyiségek éti közepéek égyzete. Feáll száti és éti közepeke votkozó egyelőtleség: T = + 4 + + 4 = 4 4 Az egyelőtleség jo oldlá álló eyiség zo e álldó, így egyáltlá e iztos, hogy loldli eyiségek kko v iu, iko vele egyelő. H ez lpjá keesék szélsőétéket, kko -ivel egyelőség kko áll fe, h z dott eyiségek idegyike egyelő egyássl, zz + = - - z z = 0 ellett vlósul eg. H zo úgy lkítjuk át éti középe szeeplő eyiségeket egy álldó szozóvl, hogy zok száti közepe á álldó legye, kko iztosk lehetük, hogy á átlkított éti közép kko leggyo, h z őt felülől kolátozó álldó száti középpel egyelő. H tehát pl. +, +, + és - éti közepe helyett +, +, + és (-) éti közepét ( T helyett 4 T -t) tekitjük (elyek ugyoly ellett v iu, T -ek pedig ugyott, hol T-ek), kko: 4 T = + 4 + + + + + + 6 = = 4 4 álldó. Ezzel z átlkítássl elétük, hogy zt eyiséget, elyek szélsőétékét keessük, egy álldóvl sikeült felülől kolátozi, égpedig úgy hogy zzl egyelő is lehet (ikois zok eyiségek, elyek közepeit vizsgáljuk, id egyelők egyássl). Tehát iu z egyelőség eseté áll fe. Ekko pedig: + = (-), zz: =. 6

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Ez z eedéy e egyezik z előzővel. A feti idoklás viszot eek helyességét tásztj lá. Vgyis z egyelő száú háoszög köülíhtó köéek középpotj egyeesik súlypotjávl. (Met egyelő száú háoszög eseté z lphoz ttozó gsság és súlyvol egyeesik, súlypot pedig ezt hdolj: itt / és hosszúságú szkszok osztv zt. Ee z esete viszot köülíhtó kö középpotj is ugyezt teszi: tehát két pot egyeesik.) Ez pedig csk z egyelő oldlú háoszöge igz. Tehát hogyh száti és éti közepeke votkozó egyelőtleséget kjuk lklzi szélsőéték eghtáozásá, kko "kolátozó" középe e szeepelhet változó, he álldók kell leie. Ez igz töi htváyközép közti egyelőtleség eseté is. V.8.feldt: Egy dott köe ít tégllpot yolcszöggé egészítük ki úgy, hogy égy csúcs egegyezze tégllp égy csúcsávl, továi égy csúcs pedig z őket összekötő köívek felezőpotjá v (V.8/.á). Hogy válsszuk eg tégllpot, hogy yolcszög és tégllp teületéek áy iiális legye? V.8/.á V.8/.á Megoldás: Az egyszeűség kedvéét elegedő köek csk egy egyedét vizsgáli (V.8/.á). Legye tégllp oldlik hossz ill., kö sug pedig. Ekko V.8/.á lpjá keesett teületáy: T T y = + + = + 7

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek + Eek eyiségek keessük iiuát. Az kifejezés + + ecipok. Ez pedig z és hoikus közepe. iiuák keesése egyeétékű iuák keesésével. Tehát egy hoikus közép lehető + leggyo étékéek egtlálás feldt. H tlálák ál gyo htváyközepek közt egy olyt, ely álldó, kko = jeleteé egoldást. Póálkozzuk! álldó. e álldó. + se. Viszot + =, tehát + = = álldó. + A ecipok eyiség, keesett teületáy így = eseté legkise. A tégllp tehát égyzet, yolcszög pedig szályos. V.9.feldt: Adott ABCD tégllp "köé" íjuk iiális teületű egyelő száú háoszöget úgy, hogy egyik oldl z AB oldlegyeese legye, ásik kettő pedig illeszkedje C ill. D csúcsok. Megoldás: A szieti itt elegedő z áák csk z egyik felét vizsgáli. Ekko háoszög R csúcs z AB szksz felezőeőlegesé változht, Q csúcs z AB egyeesé, QR oldl pedig illeszkedik C csúcs. R d D G C Keessük QR szksz és z elő elített egyeesek áltl htáolt legkise teületű háoszöget (V.9.á). Az á szeiti jelöléssel eek teülete: P A f F B c Q V.9.á 8 T = + d+ c

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek tégllp feléek teülete, tehát álldó. Elegedő eyiséget vizsgáli. T'= d + c A kifejezése ég idig két iseetle változó szeepel (c és d), holott éezzük, hogy összefüggek egyássl: c öveléseko d csökke és fodítv. A hiáyzó összefüggés o deíthető ki, hogy z BQC és GCQ háoszögek hsolók. Így: Eitt: d c = T'= d + = d + d d A záójeleli összeg tgjik szozt álldó. Célszeű lee tehát száti közepüket éti középpel lulól ecsüli. d+ T '= d d =. d T' (és így T is) z esete iiális, h htváyközepek egyelők, zz ee szeeplő téyezők is egyelők: d = d d =. Ez zt jeleti, hogy ekko tégllp C csúcs felezi "köé ít" háoszög QR oldlát. V.0.feldt: Adott egy szögszá és ee egy P pot. A szögszáól egy P- áteő egyeessel kietszük egy háoszöget. Hogy tegyük ezt eg, hogy teülete lehető legkise legye? 9

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Megoldás: Az előző feldt áltláosításáól v szó. Ugyis h szögszák eőlegesek, kko V.9.feldt z AB szksz illeszkedő egyees, vlit z AB szksz felezőeőlegese jeletik szögszákt, z ittei P potk pedig ott C felel eg. Hogy lehete felhszáli z előző feldt egoldását? R d G P F B c Q V.0.á H z egész áát egy kicsit eldefoáljuk (tetikilg foglzv egy ffi képét tekitjük), kko z előző feldt egoldásál felhszált téyek ost is évéye dk (V.0.á). Az FBPG plelog teülete ost is álldó Q ill. R változás soá, vlit BQP és GPR háoszögek is hsolók.a külöség csk yi, hogy á e deékszögűek, így z FQR háoszög teülete: T = + d siα+ csiα T' = si d + c α Most is elegedő záójele álló kifejezés iiuát egkeesi. A BQP és GPR háoszögek hsolóság itt ugyoly kifejezése jutuk, it z előző feledt, tehát k szélsőétéke is ugyott v. A keesett háoszög teülete kko legkise, h P pot felezi á illeszkedő oldlt. V./.feldt: Adott egyelő száú háoszöge ít tégllpok közül elyikek v leggyo teülete? V./.feldt: Hogy ódosul feldt, h tetszőleges háoszöge foglzzuk eg? V..feldt: Adott egy ABC háoszög teülete és BCA szöge. Hogy válsszuk eg z AC és BC oldlk hosszúságát, hogy AB oldl lehető legkise legye? 0

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Megoldás: Az AB = c oldl egdott dtoktól cosius-tétel szeit függ (V..á): B c = + cosγ C γ c A háoszög teülete: T = siγ V..á A Eől kifejezhető pl. oldl: T = siγ Így c T T 4T = + 4T cosγ = + ctgγ siγ siγ si γ 4T ctgγ álldó, így elegedő egkeesi 4T + si γ iiuát. 4T + si γ 4T T = = álldó. si γ siγ A keesett összeg kko legkise, h: 4T = si γ T = = siγ = A háoszög c oldl tehát kko legkise, h háoszög egyelő száú.

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V./.feldt: Adottk egy plelog oldli: és. Hogy válsszuk eg z lkját, hogy átlói hosszák összege iális legye? Megoldás: Az átlók hosszáól isét cosius-tétel segítségével tudhtuk eg vlit (V./.á): D e α A B V./.á C f f = + cosα ( α) e = + cos 80 = + + cosα Rögtö feltűik, hogy e két kifejezés összege álldó. Tehát egy plelog átlóik égyzetösszegéek fele egyelő z oldlk égyzetösszegével. Vgy ásképpe fogl-zv: plelog átlóik égyzetes közepe z ugyoly oldlhosszúságú tégllp átlójávl egyelő. e + f = álldó. e+ f e + f = álldó. Az átlók összege tehát kko leggyo, h plelog tégllp. V./.feldt: Áltláosítsuk poléát diezió! V.4.feldt: Ppíkoogól tölcsét készítük úgy, hogy egy köcikket kivágv előle, kúppá hjtjuk össze. Mekko legye köcikk középpoti szöge, hogy lehető legtö fgyllt féje tölcsée (V.4.á)? R α R V.4.á

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Megoldás: A kúp téfogt: V = A A kúp lplpják teülete, pedig gsság. H z lplpot htáoló kö sug, kko: és Így: A = π = R V = π R = π R 4 Eek kifejezésel iuát keessük. H sikeül egy ál gyo álldót tláli, ivel dott esete egyelő is lehet, kko késze vgyuk. Megit ddig kell űvészkedük kifejezéssel, íg ee lklssá e válik. Kiek e jut eszée, hogy V-ek ugyzo étéke ellett v iu, it 8V -ek. π 8V 4 π = R = R + + R. = R = álldó A űvészkedés sikeült. A legtö fgyllt kko fé tölcsée, h zz: = R, R =

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek A tölcsé peee így p= π = Rπ hosszúságú. A ppíkoogól kivágott köcikk középpoti szögée feáll: Rπ π α p = = = π Rπ Rπ Ez k 66 -os szögek felel eg. α = π V.5.feldt: Egy R epülőgép félkö lkú pályá epül z A potól B-e. Ezt egy egfigyelő z AB szksz M potjáól ézi. Hogy válsszuk eg z M potot, hogy egfigyelőtől lehető legtávol legye epülőgép zo feltétel ellett, hogy AR = AM? (V.5.á). R A O M V.5.á B Megoldás: Az á lpjá háo egyeletet íhtuk fel: + = () + = + = () () 4

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek iuát keessük. Fejezzük ki -t z első két egyelet segítségével és függvéyekét! ()-t ()- ív: + = = = (') ()-t ()-e ív: + = + = = (') (')-t (')-e ív: = = = = ( ) = ( ) + + 4 = Tehát z M egfigyelőek z A-tól éve AB távolságyi kell álli. V.6.feldt: Adott egyees kúp helyezett hegeek közül elyik leggyo téfogtú? Megoldás: Első godoltuk z lehete pl., hogy ics it száoli, hisze poléát á egoldottuk V..feldt z egyelő száú háoszöge ít leggyo teületű tégllp egkeeséseko. Csk köe kell fogtuk zokt síkidookt és osti poléához jutuk; vgy kúp egy főetszetét tekitve visszvezethető feldt síkeli kédése. Ott zt z eedéyt kptuk, hogy tégllpk z egyelő száú háoszög lpjá fekvő oldl z lp hosszák fele. 5

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Most is jelöljük ugyúgy kúp és eléít hege síketszetéek jellezőit, it V..feldt (V.6.á). y y V.6.á Ekko hege téfogt: V = π y A egfelelő háoszög hsolóság itt ost is feáll: Így: V y = = = π π Póáljuk ezt ilizáldó kifejezést vlilye lkls htváyközéppé lkíti úgy, hogy egy ál gyo álldó étékű htváyközéppel tudjuk felülől ecsüli (ivel szélsőétékét felvéve egyelő lehet). + + = = álldó. V + + = π = = álldó. A hege téfogt iális, h : = (- ), zz = 6

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Ez pedig e egyezik V..feldt eedéyével ( Az áltláosításk is vk tehát htái. = ). Miét kptuk ás eedéyt, it ie V..feldt lpjá esetleg száíthttuk? Met z itt ilizáldó eyiség: hege téfogt egy -szel, it változóvl vló szozó elté V..feldteli tégllp teületéek kifejezésétől, és így z it szozó "gyo súllyl esik lt". T = ( ) V = π ( ) Édeese tehát hege lplpják teületét öveli, gyok válszti iká, hisze z z szeit égyzetese ő, íg gsság eköze csk lieáis csökke. Tehát szélsőéték "eltolódik". Ezét őtt étéke - ôl -. V.7.feldt: Négyzet lpú gúlá helyezett egyees hsáok közül elyik leggyo téfogtú (V.7.á)? V.7.á V.8/.á V.8.feldt: Egy egyees gúl lpj oldlú szályos sokszög. A gúlá egy egyees hsáot helyezük el úgy, hogy lplpj gúl lplpják síkjá legye, fedőlpják csúcsi pedig gúl egyes oldlélei. Hogy válsszuk eg hsáot, hogy téfogt lehető leggyo legye (V.8/.á)? 7

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V.9.feldt: Milye ellett v z Megoldás: Az előző feldtok egoldás z kifejezések iu? (, 0) kifejezés iuák egkeesésé lpult. = vgy = és = speciális esetekkel. Ez feldt tehát egy áltláosítás z előző poléákk és egye továi segítség hhoz, hogy hogy lkíthtó át egy kifejezés oly foájú htváyközéppé, hogy ee szeeplő változók egy ásik, álldó étékű htváyközepével legye kolátozhtó. egy szozt, tehát ee szeeplő változók éti közepét célszeű vizsgáli. Eek iális étékét keessük, tehát egy ál gyo vgy egyelő htváyközéppel póáljuk eg felülől ecsüli. Kosts szozók segítségével olyá kellee változókt lkíti, hogy eek htváyközepükek z étéke álldó legye. felfoghtó egy + téyezős szoztk, elye d és d (-) téyező szeepel. Ezek éti közepe: + Póáljuk eg legegyszeű száti középpel felülől ecsüli! + + + ( ) = álldó + + Vlhogy olyá kellee lkíti változókt, hogy száti közepük álldó legye, de éti közepükek ugyoly ellett legye iu, it zelőtt. H száláló "kiese" z -t ttlzó kifejezés, kko száti közép álldó lee. Milye esete "esik ki"? Akko, h együtthtój z összeg egyik tgjá c, ásik pedig -c (c egy álldó). Tekitsük z eedeti ( ) kifejezés helyett ( ) közepét! Ekko: éti 8

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek + Ez á álldó, így + + = + szozt kko leggyo, h: zz: = = = + + Ez gyo hsolít poléá, iko egy hosszúságú úd egyik végée, ásik végée pedig töegű test v ksztv (V.0.á), úd végpotjik koodiátái deékszögű koodiát-edszee: ( 0, 0 ) és (, 0 ). V.9.á Hol lesz edsze súlypotj? A úd töegű végétől + távolság. Miél gyo z töeg, ál közele keül hozzá edsze súlypotj. Itt viszot iél gs htváyo szeepel z változó (-) htváykitevőjéhez képest, ál gyo ellett v z kifejezések iu, hisze édeese -t gyok válszti, "gyo súllyl esik lt". Ez függvéytilg zt jeleti, hogy z > és it hogy z > eseté z függvéy "gyos ő", csökke. Tehát -t ég "édees" öveli ddig potig, hol (-)dik csökkeése gyosá e válik övekedéséél. 9

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek A tetik yelvé: z függvéy eedeksége (vgy diffeeciálháydos függvéye) > és > eseté egy, 0 itevlluo pozitív, zz függvéy szigoú ooto övekvő. Miuát kko éi el, h függvéy eedeksége 0-vá válik. Ez z o > pot következik e. Diffeeciálássl is z elei úto yet eedéyel zoos szélsőétékhelyet kpuk: ' ( ( ) ) = ( ) + ( )( ) ' = 0, h: ( ( ) ) = 0 = = + A ost kpott eedéyt lklzhtjuk z előző feldtok esetée. A V.6.feldt pl. = és =. Ott = helye volt kifejezés szélsőétéke. Az e feldteli = + is ugyezt z eedéyt dj. Vgy V..feldt : = és = étékek ellett = eedéy., és z új képletükkel száolv is ez z V.0.feldt: Adott göe ít kúpok közül elyik leggyo téfogtú? Keessük eg feldt síkeli lóg páját és hsolítsuk össze z eedéyeket! 0

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V.0.á V..á V..feldt: Adott lkotójú egyees kúpok közül elyikek leggyo téfogt? Megoldás: Most á okulvá V.6.feldtól, e tételezzük fel, hogy elegedő testekek egy főetszetét tekitei és egoldi síkeli poléát. H V.. és V.6.feldtok közti lógiát hszáljuk, kko eek feldtk z síkeli polé felel eg, hogy száukkl dott egyelő száú háoszögek közül elyikek leggyo teülete? H z dott szák hossz, kko: T = siα hol α szák áltl közezát szög. T oly α eseté lesz iális, elye siα is z, tehát h α = 90. Vizsgáljuk osti feldtot (V..á)! A kúp téfogt: V = π Itt z lpköéek sug, kúp gsság. Legye z lkotóik hossz. Ekko: Ezt téfogt képletée ív: = V = π = π 4 Ez kifejezés teljese hsoló V.4.feldt tölcsé téfogtá kpott kifejezéshez. Ugyoly godolt lpjá V kko iális, h: vgyis: = =

V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek A síkeli poléáál -ek z egyelő száú háoszög lpják fele felel eg. A egfelelő jelölésekkel ott z = = eedéyt kptuk (deékszögű háoszög átfogóják fele efogók = - szeese. Az ost is -dá változott. Ne csod, hisze ugyoly jellegű lógi v z ittei két polé, és V. ill V.6.feldtok közt. V..feldt: Azok közül szályos égyoldlú gúlák közül, elyekek ide oldléle hosszúságú, elyikek téfogt leggyo? V..feldt: Egy oldlú gúl ide oldléle hosszúságú. Eze gúlák közül elyik leggyo téfogtú? V.4.feldt: Milye eseté v z k k ( ) (, 0). kifejezések iu?

V.fejezet A feldtok egoldási A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek A V.fejezet feldtik egoldási V.4.feldt: A tégllp keesett háo oldlák összhossz: + (M.V.4.á). Tudjuk, hogy: + =. A száti és égyzetes közepek közti egyelőtleség szeit: + + = = + álldó. M.V.4.á + iális, h =. H félköt tüközzük z átéöjée tégllppl együtt, és zt kédezzük, hogy elyik leggyo keületű köe íhtó tégllp, kko z elői egoldás lpjá válsz égyzet lesz. V.5.feldt: ) Az hogy háoszög oldli éitik félköt, és így z éitési pot húzott sugá egye gsságvol is z eedeti háoszög félevágás soá kpott egyik háoszögek, lehetőséget d, hogy egyszeűe fejezzük ki háoszög teületét (V.5/.á). Jelölje E háoszög AC oldlák félköel vló éitési potját. Ekko gsságtétel szeit: A keesett háoszög teülete: AE EC= T = AC = AC

V.fejezet A feldtok egoldási A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Keessük tehát AC iiuát. AC = AE + EC és AE EC = álldó. A száti és éti közepeke votkozó egyelőtleség lpjá: AE EC AE + EC AC =. Így AC és eitt háoszög teülete is kko legkise, h AE = EC, vgyis ABC deékszögű és egyelő száú háoszög. A iiális teület: C C E E A B A α B M.V.5/.á M.V.5/c.á ) Legye α = (AOE), hol O félkö középpotj (V.5/c).á. Ekko: AE = tgα EC = tg(90 -α) = ctgα ( tgα ctgα ) T = AC = AE+ EC = + így: tgαctgα= = tgα ctgα tgα+ ctgα. Az álldó szozóktól eltekithetük. A háoszög teület iális, h tgα = ctgα, zz α = 45. Vgyis egit zt kptuk, hogy ABC deékszögű egyelőszáú háoszög. V.6.feldt: A háoszög teülete legegyszeűe : B A C T = AC BC képlet lpjá íhtó fel (M.V.6.á). 4

V.fejezet A feldtok egoldási A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek A Pythgosz-tétel szeit AC + BC =. Tehát keessük két eyiség szozták iuát, tudv hogy égyzetösszegük álldó. A éti és égyzetes közepek közti egyelőtleséget lklzv: AC BC AC + BC = = álldó. T = AC BC AC + BC = 4 A háoszög teülete kko leggyo, h -tel egyelő, és ekko AC = BC. 4 iv./.feldt: Legye háoszög lpj, gsság, tégllp lppl páhuzos oldl, gssággl páhuzos oldl pedig y hosszúságú (M.V./.á). Az APS és z AFC háoszögek hsolóság itt: A tégllp teülete: Eek iuát keessük. T leggyo étékét = -, vgyis tégllp csúcsi felezik háoszög száit. y = T = y = = T + = = = esete veszi fel. Ez zt jeleti, hogy C C S R S R y y A P F Q B A P F Q B M.V./.á M.V./.á 5

V.fejezet A feldtok egoldási A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V./.feldt: H C csúcshoz ttozó gsságvolll két észe osztjuk háoszöget, és id két észháoszöge egoldjuk feldt ) észe szeit poléát, kko isét z eedéye jutuk, hogy z R pot felezi háoszög BC oldlát (M.V./.á). V./.feldt: A feldt ) észe úgy áltláosíthtó, hogy htáozzuk eg z dott oldlélű plelepipedook közül zt, ely átlóik összege leggyo. Az ) ész-eli egoldás zo téye lpult, hogy plelog átlóik égyzetes közepe z ugyoly oldlú tégllp átlóják hosszávl egyelő. Eek eguttás utá száti és égyzetes közepek közti egyelőtleség lklzásávl fejeztük e feldtot. H ost sikeüle egutti, hogy z dott oldlhosszúságú plelepipedook átlóik égyzetes közepe z z ugyoly hosszú oldlkkl edelkező tégltest átlóják hosszávl egyelő, kko isét késze leék. Hszáljuk fel feldt ) észéek eedéyeit! H E G h D e g F j i c A f C B M.V./.á AG = e BH = f DF = g CE = h BG = i CF = j Az M.V./.á szeiti jelölésekkel: e + f = + i és g + h = + j 6

V.fejezet A feldtok egoldási A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Ezeket összedv: Mivel: így e + f + g + h = 4 + i + j i + j = + c e + f + g + h = 4 + 4 + 4c e + f + g + h 4 4 = + + c = álldó. Mi z e+f+g+h összeg iuát keessük. e+ f + g+ h e + f + g + h 4 4 4 = + + c A leggyo étékét e = f = g = h esete éi el, Tehát plelepipedook közül tégltest átlóik összege leggyo. V.7.feldt: Ugyoly jelölésekkel, it V.6.feldt, eít hsá téfogt csk egy π szozó té el z előző feldteli hege téfogtától (M.V.7.á): M.V.7.á y V = Eélfogv szélsőéték is "ugy-ott" v, tehát = eseté. V.8.feldt: Legye gúl lpjá lévő csúcsokk z lplp középpotjától ét távolság:, gúl gsság:, eít hsá csúcsik tegelyétől ét távolság:, tegelytől csúcsok húzott szkszok áltl ezát szög: α, gsság pedig: y. Ekko z M.V.8/.á szeit hsá téfogt: 7

V.fejezet A feldtok egoldási A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek y α M.V.8/.á V = siα y= siα y Elegedő z y eyiség iuát egkeesi, hisze töi eyiség álldó kifejezése. A V.. és V.6.feldttl teljese hsoló poléához jutottuk. Ugyis: így V y = = siα Eek iiu á iset ódo htáozhtó eg, és ugyzt egoldást kpjuk, it V.. és V.6.feldtok. Tehát eít hsá téfogt kko leggyo,h: =. V.0.feldt: A polé síkeli logoj V.7.feldt. Azz: dott sugú köe íjuk iális teületű háoszöget. Ott egoldás egyelő oldlú háoszög volt. Most is yílvá z egyees kúpok közt kell keesük egoldást, hisze h kúp e ilye lee kko - V.7.feldttl lóg ódo- övelhető lee gsság és így téfogt is. 8

V.fejezet A feldtok egoldási A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Tekitsük ost gö és egy elé ít egyees kúp főetszetét és jelöljük ugyúgy egfelelő jellezőket, it V.7.feldt (M.V.0.á). Ekko kúp téfogt: O V = + = + π π + + + = = M.V.0.á = álldó. A szélsőétéket kifejezés z esete veszi fel. Ekko: + = =. A V.7.feldt z = eedéyt kptuk. Megit csk ól százik z "eltolódás iáyá", hogy összehsolítv ilizáldó kifejezéseket: T = + ill. V = π ( + )( ) z utói gs htváyo szeepel. Így h zt kjuk, hogy kifejezés iális legye, kko z -t ost kisee kell válszti, hisze z levodókét szeepel. -e V..feldt: A V..feldttl lóg jelölésekkel (M.V..á) égyzetes gúl téfogt: A keesett szélsőétéket = V = = esete veszi fel. 9 Ekko egyelő gúl oldllpjik gsságávl.

V.fejezet A feldtok egoldási A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek M.V..á V..feldt: Mivel gúl ide oldléle egyelő, így lplpják csúcsi szükségképpe egy köö helyezkedek el. H A z lplp teülete, és gúl gsság, kko téfogt (M.V..á): V = A A gúl lplpják szályos -szögek kell leie, hisze h e z, kko teülete és így gúl téfogt is övelhető (dott gsság ellett). M.V..á Így z lplp teülete: 60 A= si eg v htáozv z oldlélek és z lplp köé ít kö sug áltl: 0

V.fejezet A feldtok egoldási A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek = Ezeket téfogt képletée ív: V = si 60 Isét kifejezés iuát keessük függvéyée. Ez z előző feldtok lpjá z = helye v. k k V.4.feldt: Az előző háo feldt ( ) keestük. Ezeke z eseteke k =, =, = volt. k k Az ( ) ely szeit ekko: lkú kifejezések szélsőétékét k = y és = helyettesítéssel visszvezethető V.9.feldt, így k = y= + = k. + Az előző feldtok poléái lklzv ( k =, =, = / helyettesítéssel) : = + =. Ugyz, it z ott kiszáolt éték.

V.fejezet A feldtok egoldási A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Néháy egjegyzés V.fejezethez A feldtok gy észéek egoldás száti és éti közepek közti egyelőtlesége lpul. Az itt euttott eljáások egpóálják egutti, hogy hogy lehet gyo sok ilye jellegű poléát egoldi. Mjde ide feldt eseté egfoglzhtó k duális: h egy A eyiség álldóság ellett keessük B iuát, z ekvivles zzl poléávl, hogy B álldóság ellett keessük eg A iiuát. Ez ól téyől következik, hogy h htváyközepek segítségével olduk eg egy feldtot, kko keesett szélsőétéket zok egyelősége eseté kpjuk. Édees ég felfigyeli, hogy h egy A álldó étékű htváyközéppel kolátozuk felülől vgy lulól egy ásik B htváyközepet, elyek szélsőétékét keessük, kko B szélsőétéke eseté A egyelő htváyközépe szeeplő eyiségek idegyikével (elyek htváyközepéől szó v), hisze zok B szélsőétéke eseté egyássl egyelők, és egyelő eyiségek áely htváyközepe egyelő zokkl. A feldtok külööző htváyközepek közti egyelőtleségek szeit osztályozv: száti - égyzetes : /, éti - égyzetes: /, 6 égyzetes - hoikus: 8 A töi feldt egoldás száti - éti közepek közti egyelőtlesége lpul.

V.fejezet A feldtok egoldási A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek