Ágoston Kolos Csaba Hogyan hat a bizonytalanság és a vev ör nagysága együttesen az árara?
Operációutatás Tanszé Témavezet : Kovács Erzsébet Copyright c Ágoston Kolos Csaba, 2004
Budapesti CORVINUS Egyetem Közgazdaságtani Ph.D. program Hogyan hat a bizonytalanság és a vev ör nagysága együttesen az árara? Ph.D. érteezés Ágoston Kolos Csaba Budapest, 2005
Tartalomjegyzé A dolgozatban használt jelölése 13 1. Bevezetés 15 2. A vizsgálódás erete 19 3. Termépiac 23 3.1. Egyszerepl s termépiac....................... 23 3.2. Többszerepl s termépiac...................... 28 4. Biztosítási piac 63 4.1. Egyszerepl s biztosítási piac..................... 69 4.2. Többszerepl s biztosítási piac.................... 76 5. Számpéldá 91 6. Numerius eredménye 105 6.1. Termépiaco elemzése........................ 105 6.2. Biztosítási piaco elemzése...................... 118 6.3. Információ véges so szerepl alapján................ 122 7. Továbblépési lehet sége 127 Hivatozáso 129 5
Ábrá jegyzée 1. ábra.................................. 106 6
Táblázato jegyzée 1. táblázat................................ 107 2. táblázat................................ 108 3. táblázat................................ 108 4. táblázat................................ 109 5. táblázat................................ 109 6. táblázat................................ 110 7. táblázat................................ 110 8. táblázat................................ 111 9. táblázat................................ 111 10. táblázat................................ 112 11. táblázat................................ 113 12. táblázat................................ 114 13. táblázat................................ 115 14. táblázat................................ 115 15. táblázat................................ 116 16. táblázat................................ 116 17. táblázat................................ 117 18. táblázat................................ 119 19. táblázat................................ 120 20. táblázat................................ 121 7
21. táblázat................................ 121 22. táblázat................................ 124 23. táblázat................................ 125 8
Feleségemne
10
Köszönetnyilvánítás A dolgozat legelején szeretném öszönetemet ifejezni azona a személyene, ai soat segítette az érteezés megírásában. Els ént feleségemne ai a dolgozat megírásána ezdetét l a végéig támogatott és bátorított. Soszor átnézte a félig ész munát, elmondta véleményét, tanácsoat adott és ijavította a szövegben el forduló hibáat és elírásoat. Rögtön utána témavezet mne, Kovács Erzsébetne, ai végigísérte a utatásomat értées megjegyzésivel, tanácsaival. Az eddig született összes munámat ismeri és az elvárhatót messze meghaladóan segített az elészült anyago jobbá tételében. Szeretném ifejezni öszönetemet ismer seimne, ollégáimna. Külön említést érdemel Kánnai Zoltán, aihez bármior fordulhattam, ha a matematiai jelleg bizonyításo során nehézségeim támadta. Ezen a téren so segítséget aptam Kisvarga Józseft l is. Hálás vagyo azért, hogy elészült részleteet több emberne többe özött Solymosi Tamásna, Komáromi Évána, Megyeri Krisztinána, Pintér Milósna, Gömöri Andrásna és Benede Gáborna is oda tudtam adni, hogy megvitassu az addig elészült m vet, és tanácsuat érjem a további irányhoz. Külön szeretné öszönetet mondani Arató Milósna és Krámli Andrásna, hogy a disszertáció leadása el tt nem soal i tudta segíteni az egyi bizonyításnál felmerült érdéssel apcsolatban. Ágoston Kolos
12
A dolgozatban használt jelölése (a, b [a, b] [x] f i(x 1, x 2,..., x n C u U v V P K q P P pm P n nyílt intervallum zárt intervallum egészrész függvény f függvény i. változója szerinti parciális deriváltja Az eladó induló vagyona Az eladó vagyon iránti hasznossága Az eladó hasznossága bizonytalan imenete esetén A vev (érdel d vagyon iránti hasznossága A vev (érdel d hasznossága bizonytalan imenete esetén A legmagasabb ár, amennyiért az eladó terméét el lehet adni Kár beövetezéseor a biztosító eora összeget zet a biztosítottna A áresemény beövetezténe valószín sége Az az ár, amely esetén az eladóna özömbös, hogy értéesíti-e a terméet vagy sem Nyereségmaximalizáló (ocázatsemleges eladó esetén az optimális ár n-szerepl s piac esetén az optimális ár.
14
1. Bevezetés Az egyetemen atuárius 1 szairányon végeztem, talán innen eredeztethet a biztosítási piacohoz való vonzódásom. A biztosítás elméletére így ét oldalról is rálátásom nyílt: egyi oldalról a onrét atuáriusi aluláció fel l, amior ülönböz típusú biztosításo díjalulációját ellett elsajátítanun. Mási oldalról pedig a özgazdasági elmélet felöl, ahol a biztosítási piac egy állatorvosi ló, hiszen nagyon soféle miroöonómiai problémát be lehet mutatni biztosítási piacoon eresztül. A ét terület hatással is van egymásra, de Magyarországon a biztosítást a szama inább matematiai-statisztiai(-pénzügyi-számviteli-mareting területne teinti, a biztosítás miroöonómiai elmélete nem domináns része az érdel dési örüne. A miroöonómuso edvelt területe a biztosítási piac, de szóhasználatu a özgazdasági terminológiát öveti, amelyt l részben eltér az atuárius terminológia. A dolgozatban (végzett atuáriusént a biztosítási piacot miroöonómiai eszözöel elemzem. Bízom benne, hogy az eredménye mind az elméleti miroöonómuso, mind a biztosítási szama számára érdees eredményeet tartalmaz. A dolgozatom elején szeretném a biztosítás miroöonómiai megjelenéseit számba venni. A biztosítás legels megjelenése a bizonytalan döntése vizsgálatához öthet, de az állítás fordítva is igaz: a bizonytalanság melletti döntése vizsgálatána legelején már felt nt a biztosítás. A bizonytalanság melletti döntése elmélete a szentpétervári paradoxonnal ezd dött (lásd pl. [19]. Kés bb megalottá a várható hasznosság elméletét, ahol a döntéshozó a ülönböz imenete hasznosságána várható értée alapján hozza meg a döntést (Neumann-Morgenstern hasznosságfüggvény, lásd pl. [19]. Az elmélet biztosítási piacora vonatozó 1Az atuárius szót ma Magyarországon biztosításmatematiusna szotá fordítani, de ez a szama ennél többet jelent, a biztosítási tevéenységben jelentez ocázato feltárásával és ezelésével foglalozi. 15
vetülete, hogy ha a biztosító a ocázat várható érténe megfelel díjat 2 állapít meg, aor minden ocázaterül döntéshozó a teljes biztosítás mellett dönt. Az állítás és bizonyítása megtalálható a dolgozatban a 4.1. Tételben (lásd még pl. [13]. A bizonytalanság melletti döntése elmélete tovább fejl dött és a biztosításra úgy teintette mint a ocázaton való osztozodásra. Az egyi legalapvet bb összefüggés, amit meg lehet állapítani az az, hogy ha az egyi fél ocázaterül, aor minden ocázatot visel. Ez tulajdonéppen az el z beezdésben szerepl megállapítás újrafogalmazása. Mindenéppen érdemes megemlíteni Arrow [3] ciét arra az esetre amior több ocázaterül szerepl osztozodi a ocázaton. Borch [4] feltételt adott arra, hogy mi jellemzi az optimális osztozodást több ocázaterül döntéshozó esetén. Az általa leírt modellben viszontbiztosító cserélté el egymás özött ocázataiat. Az optimális csere esetén egyesíti a ocázatoat és az összárt osztjá el egymás özött. Kocázaton történ osztozodásna teinthet a biztosítás is. Különöséppen aor váli érdeessé, ha a biztosító a ocázat várható értéénél magasabb árat határoz meg. Enne oa az, hogy a biztosítóna szüségszer en öltségei is vanna, amit a biztosítottna ell fedeznie. A témát b vebben ifejti pl. Raviv [16]. Az aszimmetrius informáltság és erölcsi ocázat máig is vizsgált érdésör a miroöonómiában. Az aszimetrius informáltság legismertebb modellje a megbízó-ügynö modell (lásd pl. [10]. A modellben a megbízó nem tudja özvetlenül meggyelni az ügyviv (modern szóhasználattal élve a menedzser er feszítéseit csa a beövetezett végeredményt, ami nem független az ügyviv er feszítéseine nagyságától, de anna nem is determinisztius függvénye. A megbízó eresi azt a javadalmazási rendszert, amely esetén a saját hasznosságát maximalizálja. A modellt biztosítási helyzetre is lehet alalmazni: a beövete- 2Illusztrációéppen megemlítem, hogy az atuárius terminológia ezt a díjat atuáriusan fair díjna, vagy egyszer en nettó díjna hívja. 16
zett ár nagysága függ a biztosított óvintézedéseit l. A biztosító által zetett ártérítés is függ a ár nagyságától oly módon, hogy ezzel a biztosítottat a biztosító számára el nyös mérté óvintézedése betartására ösztönözze. Az erölcsi ocázat biztosítási megjelenési formája az, hogy biztosítással rendelez döntéshozó viseledése megváltozi biztosítás megvásárlása után. Szoás (még ma is ezt a jelenséget a biztosítási csalás egyi eseténe teinteni. Isaac Ehrlich és Gary Becer [8] ciüben részletesen elemzi a problémát és hangsúlyozzá, hogy téves az erölcsi ocázat e fajtáját csalásént értelmezni 3. Shavell [18] ciében szintén az erölcsi ocázatot vizsgálja és megállapítja, hogy az erölcsi ocázat létezése nem tudja megsemmisíteni a biztosítási piacot. Biztosítási piaco miroöonómia modelljei özül nem maradhat i a Rotchild és Stiglitz [17] által leírt modell, amior a biztosította árbeövetezési valószín sége ülönböz, de a biztosító nem tudja a biztosítottaat megülönböztetni. Rotchild és Stiglitz a ciben nem evesebbet állít, mint hogy ilyen piacoon nem alaul i egyensúly. Szívemne nagyon edves téma, hogy a biztosítási szerz déseet hogyan lehet miroöonómiai modelleel vizsgálni, jellemezni. Kutatásaim során arra voltam íváncsi, hogy a ocázatözösség nagysága hogyan befolyásolja a szerz dést (pl. nagyobb/isebb önrész stb... Ezt a it zött célt még nem értem el, de a vizsgálódásaim során már így is érdees jelenségeet fedtem fel. Az eredménye aor válna igazán érdeessé, ha összevetjü et a termépiaco esetén érvényes összefüggéseel. A övetez fejezeteben a saját eredményeimet özlöm (csa azt jelzem ülön ami nem saját eredmény. A modellben több szerz dést vizsgálo egyszerre. Több szerz dés együttes vizsgálata nem jellemz a szairodalomra, ezért evés a szövegben a hivatozás. A modellben a biztosítás mai irodalmához épest nagyon egyszer szerz dést választottam. Enne az az oa, hogy így is meglehet sen nehézesen ezelhet 3Természetesen biztosítási csalás létez jelenség, de világosan el ell ülöníteni az erölcsi ocázatot és a biztosítási csalást. 17
a modell. Természetesen célom a modell iegészítése. Az egyszer ne választott szerz désne az az el nye, hogy a jelenség tiszta formájában gyelhet meg. 18
2. A vizsgálódás erete Ph.D. dolgozatomban azt a témát járom örül, hogy milyen hatással van a piac nagysága az eladási árra. Olyan piacoat vizsgálo, ahol az eladás bizonytalansággal jár, és az eladás után is jelentezhet ocázat az eladó számára. Els sorban biztosítási piaco érdeelne. Arra vagyo íváncsi, hogy a biztosítási piaco ülönbözne-e a többi piactól, vagy velü egyformán viseledne. Az elemzéseim elvégzése során iderült, hogy érdees eredményere juto, amior a termé és a biztosítási piacoat összehasonlítom. A dolgozatomban monopol piacoat vizsgálo. Enne els sorban az az oa, hogy így a verseny hatását isz röm. Kés bb látni fogju, hogy az elemzése még monopólium esetében is meglehet sen nehézese. Természetesen célom az, hogy a apott eredményeet a és bbieben megnézzem nem monopol piacoon is. Az eladó rendelezi valameora induló vagyonnal, amine nagyságát C-vel jelölöm. Az eladó viseledését hasznosságfüggvénnyel jellemzem u(. Bizonytalanság melletti döntése esetén az eladó a várható hasznosságát szeretné maximalizálni (Neumann-Morgenstern hasznosságfüggvény, U(. Az eladó a nagyobb vagyont többre értéeli (u > 0. Ez az egész dolgozatban így van, ezért ülön sehol sem jelzem. Az eladó általában ocázaterül (u < 0, néha ocázatsemleges (u = 0. Ahhoz, hogy bizonyos jelensége magyarázatát fel tudjam tárni, az eladóról bizonyos eseteben -didatiai ooból- fel fogom tenni a ocázatedvel tulajdonságot. Mivel a ocázattal szembeni magatartás nem mindig azonos, ezért ezt a tulajdonságot az állításonál mindig jelzem. Az eladó viseledéséne vizsgálatában fontos szerep jut a ocázatelutasítás csöen mértééne 4 (absolute decreasing ris averse, mely a hasznosságfügg- 4A fogalmat Pratt vezette be, b vebben lásd [15]. 19
vényt l a övetez tulajdonságot öveteli meg: ( d u (x < 0. (1 dx u (x Fontos ihangsúlyozni, hogy az (1 tulajdonság nem öveteli meg a hasznosságfüggvényt l, hogy ocázatelutasító legyen: teinthetjü például az e x e x hasznosságfüggvényt. Könny látni, hogy ez a függvény negatív vagyonra ocázaterül, pozitív vagyonra pedig ocázatedvel magatartást mutat, ugyanaor teljesül rá az (1 tulajdonság. Természetesen ahhoz, hogy az (1 tulajdonságot értelmezni lehessen, teljesülnie ell anna, hogy az els derivált mindenhol pozitív. Az eladó a terméét értéesíteni szeretné a piacon. Amennyiben a terméét nem tudja a vizsgált id szaban értéesíteni a piacon, aor a és bbieben nem tud vele mit ezdeni (pl.: megromli vagy esztétiailag elavul. Enne az a övetezménye, hogy a hasznosságában a termé mennyisége nem jeleni meg, hanem csa az érte apott ellenérté. További feltétel, hogy olyan piacoat vizsgálo, ahol az eladó i tud szolgálni minden lehetséges vev t. Eze a feltétele els ránézésre meglehet sen szigorúna és speciálisna t nne, de egészen hétöznapi példáat is tudo mutatni: Szoftverfejleszt : a legtipiusabb példa a szoftverfejleszt. Miután elészítette a programot a program elészítésére fordított pénz elveszett, ez a továbbiaban már nem befolyásolja döntését, csa a programért befolyt összeg érdeli. Természetesen az elészült programot aárhány vásárlóna el tudja adni. Ingatlanözvetít : teintsün például egy ingatlanözvetít t, ai bizonyos számú ingatlant megapott értéesítésre. A szerz dés azt mondja i, hogy az ingatlano tulajdonosa minden laásért egy meghatározott összeget aar apni. Ha az ingatlanözvetít ezen ár felett értéesíti az ingatlant, aor 20
a bázison felüli részen egyenl arányban osztozna. Amennyiben az ingatlanözvetít el re rögzített id n belül nem tudja értéesíteni az ingatlant, elveszíti az eladás jogát és az ingatlano tulajdonosa valai mást bíz meg az értéesítéssel. A rendelezésre álló id rövidsége miatt a özvetít egy ingatlant csa egy emberne tud iözvetíteni. Ha nem veszi meg, nincs id újabb (lehetséges vev felutatására. Lényeges, hogy az ingatlanözvetít minden (omoly érdel d t i tud szolgálni, tehát nem fordul el az a helyzet, hogy többen is licitálna egy laásra. Sportautóészít : egy vállalozás sportautóat észít. Egy autó el állításána el re meghatározott átlagöltsége van. A sportautó iránt ereslet mutatozi. Az érdel d el el re leszerz di az üzem, és a gyártást csa a szerz dés megötése után ezdi meg. Ebben az esetben nem eletezi egyáltalán fölös észlet, ezért nem lesz jelen a termé mennyisége a hasznosságfüggvényben. Feltesszü, hogy az üzem rendelezi aora apacitással, hogy minden igényt ielégít. Az egységöltség nem függ attól, hogy hány autó gyártására tudott leszerz dni. Beduin: a sivatagban él egy beduin. A területén lév homo iránt néhányan (pl.: ülönc ameriai turistá érdel dést mutatna, és hajlandóa lennéne pénzt is adni érte. Mivel a sivatagban b séges mennyiségben található homo, ezért a beduin hasznosságérzetét nem fogja csöenteni a cseély mennyiség homo hiánya, amit így értéesít. Biztosító: a biztosító termée a biztosítás. Mivel a biztosító t éje nagy, így nagy számú ügyfelet i tudna szolgálni. A biztosításna nincs ziai megjelenési formája, nem ell ratároznia 5, ezért a termé mennyisége még elvileg sem jelenhet meg a biztosító hasznosságában. Érdemes hangsúlyozni, hogy a biztosító viseledését is hasznosságfüggvénnyel jellemezzü, 5Az informatiai nyilvántartás nehézségeit l teintsün el. 21
tehát a biztosító a modellünben nem (feltétlenül ocázatsemleges. Az eladó értéesítése függ a termée árától, a piaci ereslett l nem tudja függetleníteni magát. A biztosító rendelezésére áll egy vásárlási valószín ség függvény (V (P. Ez a függvény megadja, hogy ha a biztosító P árat határoz meg, aor az érdel d ne meora aránya vásárolja meg a terméet. A piaci szerepl (érdel d számát jelöljü n-nel. A D(P = nv (P függvény eor egy hagyományos eresleti függvény. Az elemzéseet én mégsem a eresleti függvénnyel végeztem el, mert az értéesítési bizonytalanságot a eresleti függvény nem jeleníti meg 6. V (P vásárlási valószín ség függvényt vissza lehet vezetni egyéni döntésere: az érdel d rezervációs ára ülönböz, de az eladó nem tudja megülönböztetni a vev et, csa aggregált adatoat ismer, azaz ismeri a rezerváció ára eloszlását 7. Biztosítási piaco esetén V (P függvényt vissza lehet vezetni a vagyon eloszlására is. V (P függvényr l felteszem, hogy létezne olyan P < P ára, amire V (P = 1 és V (P = 0. Máséppen megfogalmazva létezi olyan ár, amelyen mindeni hajlandó vásárolni, és létezi olyan, amelyen seni sem. V (P függvényr l felteszem továbbá, hogy folytonosan dierenciálható. 6Az 5. fejezetben szerepl értéesítési bizonytalanság nélüli modellben hagyományos eresleti függvényeel végzem az elemzést. 7Ez alapján beszélhetün egyfajta információs aszimmetriáról. Az érdel d tisztában vanna saját rezervációs árual, az eladó viszont csa eze eloszlását ismeri. 22
3. Termépiac Ebben a fejezetben termépiacoat elemze. Termépiac az, ahol bizonytalanság csa abban van, hogy az eladó el tudja-e adni a terméét. Értéesítés után az eladó számára semmilyen vagyonváltozás nem jelentezi. A biztosítási piac természetesen nem ilyen, mivel az értéesítés után is van ocázat, nevezetesen, hogy beövetezi-e ár vagy sem. Termépiaco esetén P változó a döntéshozó (egy szerz désre jutó nyereségét jelenti. Az általam felsorolt esete többségében ez megegyezi a termé árával. Pl. ha a szoftverészít számára az értéesítés öltségeit l elteintün 8, aor a programért apott bevétel teljes egészében nyereség lesz (a program ifejlesztéséne öltségei elveszett öltsége, amelye nem befolyásoljá a döntését. A beduin esetében a homo ellenértée szintén teljes egészében nyereség. A sportautó észít már más helyzet. Az esetében a bevétel nem teljes egészében nyereség, enne egy része öltség. Ezeben az eseteben P alatt a nyereséget ell érteni. A termé ára egyszer összeadással meghatározható: egységöltség 9 plusz a döntéshozó nyeresége. Az egyszer ség edvéért P változóra ezeben az eseteben is árént fogo hivatozni, mert így átteinthet bb a dolgozat. Felteszem, hogy V (0 = 1, azaz 0 áron (az eladóna 0 a protja 10 mindeni vásárol. Korábban már feltettü, hogy létezi olyan P érté, amire V (P = 0, azaz létezi olyan magas ár, amin már seni sem hajlandó vásárolni. 3.1. Egyszerepl s termépiac Teintsü el ször azt az esetet, amior egy érdel d van a piacon. Az eladó P árat határozott meg termée árána. A monopólium hasznosságát a övetez 8A dolgozat egészében elteinte a öltséget l, tiszta cseregazdaságoat vizsgálo. 9Az egységöltségr l feltettü, hogy nem függ a sorozatnagyságtól. 10Elépzelhet olyan szituáció is, hogy önöltségen sem hajlandó bári vásárolni. Ezzel az esettel azért nem foglalozom, mert csa a bizonyításoat bonyolítja, de semmi lényeges változást nem hoz. 23
éplet adja meg: U(C, P, 1 = V (P u(c + P + (1 V (P u(c, (2 ahol U függvény els argumentuma az eladó induló vagyonát jelenti, a másodi az eladó által meghatározott árat, a harmadi pedig a piaci létszámot. Piaci létszám alatt azt értem, hogy hány (lehetséges vev van a piacon. Egyszerepl s piac esetén 1, étszerepl s piac esetén 2... A (2 éplet magyarázata: az eladó V (P valószín séggel tudja értéesíteni terméét. Ennyi a valószín sége anna, hogy az érdel d rezervációs ára nagyobb (nem isebb mint P. Ha az eladó értéesíteni tudja terméét a C + P vagyoni helyzetbe erül. 1 V (P a valószín sége anna, hogy a monopólium olyan emberrel találozi, aine a rezervációs ára isebb mint P. Ebben az esetben meghiúsul az értéesítés, a monopólium marad a C vagyoni helyzetben. 3.1. Lemma. Az U(C, P, 1 függvény rögzített C érté mellett P változójában felveszi a maximumát a [0, P ] intervallumon, továbbá a maximum a [0, P ] szaasz bels pontja, tehát a derivált értée 0 ebben a pontban. Bizonyítás. Mivel u és V (P függvénye folytonosan dierenciálhatóa, ezért f(p = U(C, P, 1 függvény is az. A Weierstrass tétel szerint az f függvény felveszi a széls értéeit a [0, P ] zárt intervallumon. Tudju továbbá, hogy U(C, 0, 1 = U(C, P, 1 = u(c, és olyan P (0, P értéere, melyere V (P > 0 (tehát P > 0 U(C, P, 1 = = V (P u(c + P + (1 V (P u(c > V (P u(c + (1 V (P u(c = u(c. 24
Ilyen P pont biztosan létezi, mert ha minden P (0, P pontra V (P = 0, aor ez ellentmond a V (P függvény folytonosságána, hiszen V (0 = 1. A maximumhely tehát a [0, P ] intervallum bels pontja. Mivel az f függvény a vizsgált szaasz minden pontjában deriválható, ezért a maximumhelynél a deriváltna 0- na ell lennie. 3.2. Megjegyzés. A maximumhely egyedisége nehezebb érdés. Természetesen, ha f(p = U(C, P, 1 függvény szigorúan onáv, aor a maximumhely egyértelm, de ez nem szüséges feltétel. Nagyon nehéz olyan feltételt adni, amely (elég tágan biztosítja, hogy a maximumhely egyértelm. Enne ellenére a numeriusan vizsgált eseteben nem fordult el olyan eset, amior a maximumhely nem egyedi volt (lásd 6. fejezet. A dolgozat további részében felteszem, hogy az optimális ár egyedi. 3.3. Állítás. Egyszerepl s termépiac esetén az eladó olyan P árat határoz meg, amelyre: V (P (u(c + P u(c = V (P u (C + P. (3 Bizonyítás. Deriválom P szerint a (2 ifejezést: U 2(C, P, 1 = V (P u(c + P + V (P u (C + P V (P u(c, (4 ahol U 2(C, P, 1 az U(C, P, 1 függvény másodi argumentuma szerinti deriváltat jelenti. A 3.1. Lemma állítása szerint a maximumhelyen a függvény deriváltja 0. Egyenl vé teszem (4 ifejezést 0-val. Átrendezés után adódi az állítás bizonyítása. 25
3.4. Megjegyzés. A 3.3. Állításban nem állítom, hogy nem maximumhelyen nem teljesülhet a (3 összefüggés. A (3 összefüggésne özgazdasági jelentése is van. Az egyenlet bal oldalán álló ifejezés jelentése: ha megváltozi az ár, aor mennyivel változi a hasznosság amiatt, hogy megváltozi az értéesítési valószín ség. A jobboldalon álló ifejezés jelentése: változi a hasznosság amiatt, hogy drágábban vagy olcsóbban értéesíti az eladó a terméét. Optimumban a ét hatásna meg ell egyeznie. Egyszemélyes termépiac esetén a hasznosságmaximumot biztosító árat P 1 módon jelölöm. A hasznosságmaximumot adó árra optimális vagy egyensúlyi árént is fogo hivatozni. 3.5. Állítás. Ha az f(p = U(C, P, 1 függvény vázionáv, aor ocázaterül (u < 0 döntéshozó esetén az egyszerepl s termépiac optimális ára isebb mint a nyereségmaximumot biztosító ár (P pm. Bizonyítás. A várható nyereséget a övetez összefüggés adja meg: pm(p = V (P P. (5 A pm függvényr l szintén állítható hogy folytonosan deriválható, tehát a Weierstrass tétel szerint felveszi a széls értéeit. Továbbá pm(0 = pm(p = 0, és létezi olyan P (0, P, mire V (P P > 0. Az el z megállapításoat gyelembe véve ijelenthet, hogy a nyereségmaximumot biztosító árban a derivált 0. Deriválom az (5 ifejezést, majd a deriváltat egyenl vé teszem 0-val: A (6 ifejezést átrendezem a övetez alara: V (P P + V (P = 0. (6 V (P = V (P P. (7 26
Megmutatom, hogy az U(C, P, 1 függvény deriváltja a nyereségmaximumot biztosító ár esetén negatív. Ebb l már övetezi a lemma állítása: az f(p = U(C, P, 1 függvény vázionáv, ami azt jelenti, hogy a derivált csa egyszer vált el jelet, tehát a hasznosságmaximumot biztosító árna isebbne ell lennie, mint nyereségmaximumot adó ár. Az U(C, P, 1 függvény deriváltját megadja a (4 ifejezés. A nyereségmaximumot biztosító ár esetén fennáll a (7 összefüggés is. A (4 ifejezésben V (P helyére behelyettesítem a (7 összefüggést: V (P pm (u(c + P pm u(c u (C + P pm P pm. (8 A (8 összefüggésben V (P pm értée negatív, tehát az egész ifejezés el jele az u(c + P pm u(c u (C + P pm P pm szorzótényez el jelét l függ. u (C + P pm P pm ifejezés az u(c + P pm u(c dierencia lineáris özelítése. Az u függvény onáv, ezért u(c + P pm u(c > u (C + P pm P pm, (9 tehát az U(C, P, 1 függvény P szerinti deriváltja negatív a nyereségmaximumot biztosító ár esetén (U 2(C, P pm, 1 < 0. A 3.5. Állítás interpretálható özgazdaságtanilag is. Mivel az eladó ocázaterül, és bizonytalanság jelentezi a termé értéesítésénél, ezért megelégszi a nyereségmaximumot biztosító árnál alacsonyabb árral is, amelyet viszont nagyobb valószín séggel realizál. 3.6. Megjegyzés. A özgazdasági megérzés azt súgja, hogy minél isebb az elérhet nyereség az induló vagyonhoz épest, annál evésbé tér el hasznosságmaximumot biztosító ár a nyereségmaximumot adó ártól. A megérzés alátámasztható matematiailag is. Ahogy P csöen, u (C + P P egyre jobb özelítése 27
u(c + P u(c ülönbségne, tehát az u(c + P u(c u (C + P P ifejezés értée egyre özelebb erül a 0-hoz. Ez azt eredményezi, hogy az U(C, P, 1 függvény deriváltjána értée is egyre özelebb erül a 0-hoz, ezért vélhet en a hasznosságmaximumot biztosító ár nem lesz messze a nyereségmaximumot biztosító ártól. Természetesen ezen észrevételem nem számít bizonyításna. Ezt érdésört részletesen vizsgálom a 6. fejezetben. 3.7. Megjegyzés. A 3.5. Állítás megfogalmazható ocázatedvel döntéshozóra is. Eor természetesen az az állítás, hogy ocázatedvel döntéshozó a nyereségmaximumot biztosító árnál magasabb árat határoz meg. Eor a (9 összefüggésben fordított a reláció, az állítás többi része analóg. 3.2. Többszerepl s termépiac Az el z alfejezetben megvizsgáltam az eladó viseledését egyszerepl s piac esetén. Ebben az alfejezetben megvizsgálom, hogy viseledi a biztosító, ha nem egy, hanem több érdel d van a piacon. Kétszerepl s piac esetén az eladó hasznossága, ha P árat határoz meg a termééne: U(C, P, 2 = = V (P 2 u(c + 2P + 2V (P (1 V (P u(c + P + (1 V (P 2 u(c. (10 Az eladó V (P 2 valószín séggel tudja mindét érdel d ne eladni a terméét, eor a C + 2P vagyoni helyzetbe erül. 2V (P (1 V (P valószín séggel csa az egyi szerepl veszi meg a terméet, (1 V (P 2 valószín séggel pedig egyi sem. A felírás módjából látszi, hogy az értéesítése függetlene egymástól. Abból, hogy az els érdel d ne el tudta-e adni a monopólium a 28
terméet, semmilyen többletinformáció nem övetezi a másodi érdel d re vonatozóan. A rezervációs ára eloszlása véletlenszer (iismerhetetlen a soaságban. Ha nem csa ett, hanem n szerepl van a piacon, az eladó hasznosságát az alábbi összeggel tudju felírni: U(C, P, n = n =0 (( n V (P (1 V (P n u(c + P. (11 Az értéesítése most is függetlene egymástól (lásd orábbi megjegyzésemet. Érdemes felgyelni arra, hogy az eladó hasznosságára érvényes a övetez reurzív összefüggés: U(C, P, n = V (P U(C + P, P, n 1 + (1 V (P U(C, P, n 1. (12 3.8. Állítás. Rögzített P ár esetén az eladó hasznossága n+1-szerepl s piac esetén nagyobb, mint n-szerepl s piac esetén. Bizonyítás. Felhasználva a (12 összefüggést felírhatom a övetez egyenl séget: ( U(C, P, n + 1 U(C, P, n = V (P U(C + P, P, n U(C, P, n. (13 Másrészr l U(C + P, P, n U(C, P, n = n (( n = =0 n (( n =0 n (( n = =0 V (P (1 V (P n u(c + ( + 1P V (P (1 V (P n u(c + P + = V (P (1 V (P n ( u(c + ( + 1P u(c + P. 29 (14
Mivel u > 0, ezért (14 ifejezés pozitív, amib l övetezi, hogy (13 ifejezés is pozitív, amib l övetezi, hogy: U(C, P, n + 1 > U(C, P, n, ami a bizonyítani ívánt állítás. Hipotézis. Termépiac esetén a monopol helyzet eladó és a vev érdee ellentétes: az eladó a piaci méret növelésében érdeelt. 3.9. Követezmény. Termépiac esetén a monopol helyzetben lev eladó a piaci létszám növelésében érdeelt. Bizonyítás. P n -nel jelölöm az n-szerepl s piacon az eladó haszonmaximalizáló árát. A 3.8. Állítás alapján: Másrészr l U(C, P n, n + 1 > U(C, P n, n. (15 U(C, P n+1, n + 1 U(C, P n, n + 1, (16 mivel P n+1 ár n + 1-szerepl s piac esetén a legnagyobb hasznosságot biztosítja. A (15 és (16 összefüggése alapján: U(C, P n+1, n + 1 > U(C, P n, n, amit bizonyítani aartam. 30
3.10. Megjegyzés. Érdees lenne megvizsgálni, egy olyan modellt is, ahol a biztosító bizonyos összeg ráfordításával növelni tudja a piac méretét. Ilyen típusú piacoal eddig nem foglaloztam. A 3.1. Lemma állítását általánosíthatju n szerepl esetére is. 3.11. Lemma. Az U(C, P, n függvény rögzített C és n érté esetén P változójában felveszi a maximumát a [0, P ] intervallumon, továbbá a maximum a [0, P ] szaasz bels pontja, tehát a derivált értée 0 ebben a pontban. Bizonyítás. A bizonyítás a 3.1. Lemma bizonyításána analógiájára elvégezhet : Mivel u és V (P függvénye folytonosan dierenciálhatóa, ezért f(p = U(C, P, n függvény is az. A Weierstrass tétel szerint az f függvény felveszi a széls értéeit a [0, P ] zárt intervallumon. Tudju továbbá, hogy U(C, 0, n = U(C, P, n = u(c, és olyan P (0, P értéere, melyere V (P > 0 U(C, P, 1 > u(c. Ilyen P pont biztosan létezi, mert ha minden P (0, P pontra V (P = 0, aor ez ellentmond a V (P függvény folytonosságána, hiszen V (0 = 1. A maximumhely tehát a [0, P ] intervallum bels pontja. Mivel az f függvény a vizsgált szaasz minden pontjában deriválható, ezért a maximumhelynél a deriváltna 0- na ell lennie. Ismét jelzem, hogy nagyon nehéz olyan feltételt adni, amely esetén a maximumhely egyedisége biztosított. A dolgozat további részében felteszem, hogy a várható hasznosság P szerinti maximuma minden C és n esetén egyedi. 31
3.12. Állítás. n-szerepl s termépiac esetén az eladó olyan P árat határoz meg, amelyre: n 1 (( n 1 V (P =0 n 1 (( n 1 +V (P = 0. =0 V (P (1 V (P n 1 (u(c + ( + 1P u(c + P V (P (1 V (P n 1 u (C + ( + 1P + (17 Bizonyítás. Deriválom P szerint a (11 ifejezést: U 2(C, P, n = n (( n = V (P V (P 1 (1 V (P n u(c + P + =1 n 1 (( n V (P V (P (n (1 V (P n 1 u(c + P + =0 n (( n + V (P (1 V (P n u (C + P = =1 n 1 (( n 1 = nv (P V (P (1 V (P n 1 u(c + P + P + =0 n 1 (( n 1 nv (P V (P (1 V (P n 1 u(c + P + =0 n 1 (( n 1 +nv (P V (P (1 V (P n u (C + P + P. =0 (18 A 3.11. Lemma állítása szerint a maximumhelyen a függvény deriváltja 0. Egyenl vé teszem (18 ifejezést 0-val. Átrendezés után adódi a bizonyítani ívánt állítás. 32
Az egyszer bb ezelhet ség miatt bevezetem a övetez jelöléseet: du(c, P, n ddu(c, P, n n =0 n =0 ( n V (P (1 V (P n u (C + P, (19 ( n V (P (1 V (P n u (C + P. (20 A (19 ifejezést felhasználva a U 2(C, P, n deriváltat tömörebb formában is i tudom fejezni: U 2(C, P, n = ( = V (P U(C + P, P, n 1 U(C, P, n 1 + V (P du(c + P, P, n 1. (21 A dolgozat további része szempontjából fontos, hogy a (12 reurzív összefüggés igaz du illetve ddu függvényere is: du(c, P, n = V (P du(c + P, P, n 1 + (1 V (P du(c, P, n 1, ddu(c, P, n = V (P ddu(c + P, P, n 1 + (1 V (P ddu(c, P, n 1. Hipotézis. Termépiac esetén a monopol helyzet eladó a nyereségmaximumot adó árnál isebb árat állapít meg. 3.13. Állítás. Kocázaterül döntéshozó esetén (u < 0 amennyiben f(p = U(C, P, n függvény vázionáv, aor P n isebb, mint a nyereségmaximumot biztosító ár (P pm. Bizonyítás. A várható nyereséget a övetez összefüggés adja meg: pm n (P = n =0 (( n V (P (1 V (P n P = nv (P P. (22 33
A (22 összefüggés megmutatja, hogy a nyereségmaximumot biztosító ár nem függ attól, hogy hány személyes a piac, ami nyilvánvaló, hiszen a nyereségmaximalizálás ocázatsemlegességet jelent. A 3.5. Állítás gondolatmenetét felhasználva megállapítható, hogy pm n felveszi a maximumát, továbbá a maximumhelyen a derivált 0. Azt is tudom, hogy a nyereségmaximumot biztosító ár esetén V (P = V (P P. (23 Most is azt fogom megmutatni, hogy az U(C, P, n függvény P szerinti parciális deriváltja a nyereségmaximumot biztosító ár esetén negatív. Az f(p = U(C, P, n függvény vázionavitásából övetezi, hogy a derivált csa egyszer vált el jelet, amib l már övetezi a bizonyítani ívánt állítás. ahol U 2(C, P pm, n = = nv (P pm (U(C + P pm, P pm, n 1 U(C, P pm, n 1+ +nv (P pm du(c + P pm, P pm, n 1 = = nv (P pm A, A = U(C+P pm, P pm, n 1 U(C, P pm, n 1 P pm du(c+p pm, P pm, n 1. Megmutatju, hogy A > 0: A = = U(C + P pm, P pm, n 1 U(C, P pm, n 1+ P pm du(c + P pm, P pm, n 1 = n 1 ( n 1 = V (P pm (1 V (P pm n 1 mu(c, P pm,, =0 34
ahol mu(c, P pm, = u(c +( +1P pm u(c +P pm P pm u (C +( +1P pm. Mivel u onáv, ezért mu(c, P pm, mindig pozitív, amib l övetezi, hogy A értée is mindig pozitív. Ha A értée pozitív, aor V (P A ifejezés értée negatív, tehát U(C, P, n függvény P szerinti deriváltja a nyereségmaximumot biztosító pontban negatív. A övetez ben megmutatom, hogy termépiac esetén minél nagyobb a piac, annál drágább a piacon lév termé. Az állítás bizonyításához szüségese a övetez lemmá. 3.14. Lemma. Amennyiben a, b, c és d számora teljesül, hogy b és d el jele megegyezi, továbbá: a b > c d, aor Bizonyítás. a b > a + c b + d > c d. a b > c d ad > cb ab + ad > ab + cb a b > a + c b + d Hasonlóan be lehet látni az egyenl tlenség mási felét is. 35
3.15. Lemma. Legyene u 1, u 2,... u n olyan hasznosságfüggvénye, amelyere teljesül a ocázatelutasítás csöen mértée. Legyen v(x = α 1 u 1 (x + α 2 u 2 (x + + α n u n (x, ahol α i > 0! Eor v(x függvény is hasznosságfüggvény, továbbá v függvényre is teljesül a ocázatelutasítás csöen mértée. Bizonyítás. v hasznosságfüggvény, hiszen hasznosságfüggvénye lineáris ombinációja is hasznosságfüggvény. A lemma bizonyítását el ször csa ét hasznosságfüggvényre mutatom meg, ett nél több hasznosságfüggvényre az állítást teljes inducióval bizonyítom. ( d v (x = d ( α 1u 1(x + α 2 u 2(x dx v (x dx α 1 u 1(x + α 2 u 2(x = f(x g(x, (24 ahol f(x = és = α 1 u 1 (xα 1 u 1(x + α 2 u 2 (xα 2 u 2(x+ +α 1 u 1 (xα 2 u 2(x + α 2 u 2 (xα 1 u 1(x+ α 1 u 1(xα 1 u 1(x α 2 u 2(xα 2 u 2(x+ α 1 u 1(xα 2 u 2(x α 2 u 2(xα 1 u 1(x g(x = ( α 1 u 1(x + α 2 u 2(x 2. g(x függvény értée pozitív. Belátom, hogy f(x függvény értée is pozitív. A ( d u i (x < 0 feltételb l tudju, hogy dx u i (x u 1 (xu 1(x > u 1(xu 1(x (25 36
és u 2 (xu 2(x > u 2(xu 2(x. (26 A (25 és a (26 egyenl tlenséget összeszorozzu, majd gyööt vonun 11 : u 1 (xu 1(xu 2 (xu 2(x > u 1(xu 2(x. (27 Alalmazva a számtani és mértani átlag özti egyenl tlenséget apom, hogy: u 1 (xu 2(x + u 2 (xu 1(x 2 > u 1(xu 2(x. (28 A (25, (26 és (28 összefüggéseb l övetezi, hogy f(x is pozitív. Ha f(x ( és g(x is pozitív, aor a (24 egyenl ség értelmében d v (X < 0, amit dx v (x bizonyítani szerettem volna. Teljes inducióhoz vezessü be a övetez jelölést: v i (x = i α u (x. =1 Az eddigie értelmében i = 1-re és i = 2-re teljesül, hogy v i függvényre a ocázatelutasítás csöen mértée a jellemz. Belátom, hogy ha v i függvényre teljesül a csöen mérté ocázatelutasítás, aor v i+1 -re is teljesül. A bizonyítás észen van, hiszen: v i+1 = v i + α i+1 u i+1. A lemma feltételei szerint u i+1 függvényre teljesül a csöen mérté ocázatelutasítás, és ez a tulajdonság az induciós feltétel szerint v i -re is teljesül. Így v i+1 ét olyan hasznosságfüggvény nemnegatív lineáris ombinációja, amelyere teljesül a csöen mérté ocázatelutasítás; a bizonyítás els részéne értel- 11A (25 és a (26 összefüggése alapján állíthatom, hogy a (27 egyenl tlenség bal oldalán a gyöjel alatt álló ifejezés pozitív, így ha u 1(xu 2(x ifejezés negatív, (27 egyenl tlenség aor is teljesül. 37
mében enne a tulajdonságna v i+1 -re is teljesülnie ell. 3.16. Lemma. Ha u hasznosságfüggvényre ( u u < 0, aor ( d ddu(x, P, n < 0. dx du(x, P, n Bizonyítás. Legyen v(x = U(x, P, n. Bármilyen rögzített P érté esetén v függvény is hasznosságfüggvény, hiszen hasznosságfüggvénye lineáris ombinációja, továbbá: v (x = du(x, P, n és ( A 3.15. Lemma értelmében d dx v (x = ddu(x, P, n. v (x v (x < 0, ami a bizonyítani ívánt állítás. 3.17. Lemma. Tudju. hogy u hasznosságfüggvényre ( u u < 0. Eor y > 0 esetén: Bizonyítás. ( d dx du(x + y, P, n U(x + y, P, n U(x, P, n d ( du(x + y, P, n dx U(x + y, P, n U(x, P, n 38 > 0. = f g, (29
ahol a deriválási szabályna megfelel en: f = = ddu(x + y, P, n(u(x + y, P, n U(x, P, n+ du(x + y, P, n(du(x + y, P, n du(x, P, n és g = (U(x + P, P, n U(x, P, n 2. A (29 tört nevez je mindig pozitív, így csa a számlálóról ell bebizonyítani, hogy pozitív. Ha fennáll, a ddu(x + y, P, n du(x + y, P, n > du(x + y, P, n du(x, P, n U(x + y, P, n U(x, P, n (30 egyenl tlenség, aor a (29 tört számlálója pozítiv. A (30 egyenl tlenség pedig fennáll, mert a Cauchy özépértététel miatt létezi 0 < α < y, hogy a (30 egyenl tlenség jobboldala megegyezi ddu(x+α,p,n ifejezés értéével. Innen a du(x+α,p,n 3.16. Lemma állításából övetezi a (30 egyenl tlenség. 3.18. Megjegyzés. Tudju. hogy u hasznosságfüggvényre ( u < 0. Eor u y > 0 esetén: állítás is igaz. ( d dx du(x y, P, n U(x y, P, n U(x, P, n < 0 Bizonyítás. A bizonyítás teljesen a 3.17. Lemma bizonyításána mintájára elvégezhet. A ülönbség csa annyi, hogy a (30 egyenl tlenség helyett a ddu(x y, P, n du(x y, P, n < du(x y, P, n du(x, P, n U(x y, P, n U(x, P, n 39 (31
egyenl tlenséget ell belátni. A Cauchy özépértététel értelmében most is létezi egy 0 < α < y szám, amire: ddu(x α, P, n du(x α, P, n = du(x y, P, n du(x, P, n U(x y, P, n U(x, P, n. 3.16. Lemma értelmében ddu(x y, P, n du(x y, P, n < ddu(x α, P, n du(x α, P, n, amit bizonyítani szerettem volna. 3.19. Állítás. Tudju, hogy u hasznosságfüggvényre a ocázatelutasítás csöen mértée a jellemz ( ( u u < 0. Eor: U 2(C, P 0, n = 0 = U 2(C, P 0, n + 1 > 0. Bizonyítás. U 2(C, P 0, n = = nv (P 0 (U(C + P 0, P 0, n 1 U(C, P 0, n 1+ +nv (P 0 du(c + P 0, P 0, n 1 = (32 = 0. A (32 összefüggést a célomna jobban megfelel alara hozom: V (P 0 V (P 0 = du(c + P 0, P 0, n 1 U(C + P 0, P 0, n 1 U(C, P 0, n 1. (33 40
Másrészr l U 2(C, P 0, n + 1 = = (n + 1V (P 0 (U(C + P 0, P 0, n U(C, P 0, n +(n + 1V (P 0 du(c + P 0, P 0, n. (34 és a A (34 derivált el jeléne meghatározásához elég a V (P 0 V (P 0 du(c + P 0, P 0, n U(C + P 0, P 0, n U(C, P 0, n (35 ifejezése özti reláció eldöntése. Felhasználom a (33 összefüggést, így tulajdonéppen a (36 du(c + P 0, P 0, n 1 U(C + P 0, P 0, n 1 U(C, P 0, n 1 és a (35 ifejezése özti reláció eldöntése a cél. ahol du(c + P 0, P 0, n U(C + P 0, P 0, n U(C, P 0, n = f g, és f = V (P 0 du(c + P 0 + P 0, P 0, n 1 + (1 V (P 0 du(c + P 0, P 0, n 1 g = ( = V (P 0 U(C + P 0 + P 0, P 0, n 1 U(C + P 0, P 0, n 1 + ( +(1 V (P 0 U(C + P 0, P 0, n 1 U(C, P 0, n 1. A 3.14. Lemma és a 3.17. Lemma állítását felhasználva adódi, hogy a (35 41
tört értée nagyobb, mint a (36 tört értée, ami azt jelenti, hogy a derivált értée pozitív. Hipotézis. Termépiac esetén a monopol helyzet eladó és a vev érdee ellentétes: a vev a piaci méret csöentésében érdeelte. 3.20. Követezmény. Termépiac esetén ha a f(p = U(C, P, n függvény minden n esetén vázionáv és az u hasznosságfüggvényre teljesül a csöen mérté ocázatelutasítás feltétele, aor P n < P n+1, azaz n+1-szerepl s piac esetén az optimális ár magasabb, mint n-szerepl s piac esetén. Bizonyítás. A bizonyítás a 3.19. Állításból övetezi: a f(p = U(C, P, n függvény vázionavitása azt jelenti, hogy a P szerinti derivált csa egyszer vált el jelet. A P n pontban pozitív, igy P n < P n+1. Ezen hipotézis bizonyításhoz használt állításo egyiéhez sem volt szüség a ocázatelutasítás feltételéhez csa ahhoz, hogy a ocázatelutasítás mértée csöenjen a vagyon növeedésével. A szairodalomban népszer az olyan hasznosságfüggvény (lásd.: [12], amely is vagyono esetén ocázaterül, nagy vagyono esetén ocázatedvel 12. Ezen hasznosságfüggvénye esetén a ocázatelutasítás mértée nem feltétlenül csöen a vagyonnal, de vanna öztü ilyene is (például a orábban már említett u(x = e x + e x. Ezere a hasznosságfüggvényere is érvényese a megfogalmazott hipotézise. A ocázatelutasítás 12Ilyen hasznosságfüggvénnyel próbáljá magyarázni azt a tényt, hogy egyes embere biztosítást ötne és lottózna egyszerre. 42
(u < 0 feltételét csa anna bizonyítására használtu fel, hogy a haszonmaximalizáló ár alacsonyabb a nyereségmaximalizáló árnál. Természetesen ez nem marad érvényben. Mási lehetséges iterjesztés a Marowitz féle (lásd.: [12]. Ilyen típusú hasznosságfüggvénye onavitása többször is változi, így a megfogalmazott tétele segítségével nem tudju meghatározni az eladó viseledését. Anna bizonyításához, hogy n-szerepl s piac esetén az ár alacsonyabb, mint n + 1-szerepl s piac esetén, felhasználtam, hogy az eladó viseledésére a ocázatelutasítás csöen mértée a jellemz. Az eladó viseledésére általában a csöen mérté ocázatelutasítást szoás feltenni, de érdees megvizsgálni, hogy lehet-e valamilyen állítást megfogalmazni, ha az eladóra növev mérté ocázatelutasítás a jellemz. A 3.15. Lemmához hasonlóan nem lehet állítani, hogy több olyan hasznosságfüggvény lineáris ombinációjára is a ocázatelutasítás növev mértée a jellemz, amelye a ocázatelutasítás növev mértéét mutatjá. Az ellenpélda megalotásához szüség van a övetez lemmára. 3.21. Lemma. Legyen v(x függvény folytonos az [a, b] intervallumon. Tudju, hogy v (x > 0, v (x < 0 és ( v (x > 0 az [a, b] intervallumon. Eor v (x megadható egy olyan u(x legalább étszer folytonosan deriválható függvény, amely az [a, b] intervallumon egyenl lesz v(x-szel és u > 0, u < 0, ( u u > 0 a teljes számegyenesen. Bizonyítás. A ( v (x v (x > 0 feltétel egyenérté ln(v (x < 0 (37 feltétellel. A (37 feltétel azt mondja i, hogy az ln(v (x függvény onáv az [a, b] intervallumon. 43
Bevezetem a övetez jelöléseet: v (x v (x = A, x=a ( v (x = AA, v (x x=a v (x v (x = B, x=b ( v (x = BB. v (x x=b A feltétele értelmében A, AA, B és BB mindegyie pozitív véges szám. Legyen ln(u (x = α x + β + c 1, x < a esetén, ahol α > 0 és β < a. Eor ln(u (x folytonos, szigorúan monoton csöen és onáv lesz a [, a] intervallumon. Meghatározom α és β értéeet úgy, hogy lim x a ln(u (x = A és lim x a ln(u (x = AA teljesüljön. lim x a ln(u (x = lim x a α (x + β = 2 = α = A (38 (a + β 2 lim x a ln(u (x α = lim x a 2(x + β = 3 = α = AA (39 2(a + β 3 Megoldva a (38 és (39 egyenleteb l álló egyenletrendszert apom az α = A 3 és β = a A értéeet. 4AA 2 2AA Meghatározom c 1 onstans értéét úgy, hogy ln(u (x folytonos legyen az a pontban. 44
Legyen ln(u (x = γ(x δ 2 + c 2, x > b esetén, ahol γ > 0 és δ > b. Eor ln(u (x folytonos, szigorúan monoton csöen és onáv lesz a [b, ] intervallumon. Meghatározom γ és δ értéeet úgy, hogy lim x b+ ln(u (x = B és lim x b+ ln(u (x = BB teljesüljön! lim x a ln(u (x = lim 2γ(x δ = x b+ = 2γ(b δ = B (40 lim x b+ ln(u (x = lim 2γ = x b+ = 2γ = BB (41 Megoldva a (41 egyenletet γ értéére BB adódi. Visszahelyettesítve γ értéét a (40 egyenletbe α értéére B adódi. Meghatározom c 2 BB 2 onstans értéét úgy, hogy ln(u (x folytonos legyen a b pontban. Összességében meghatároztam ln(u (x függvényt a teljes valós számegyenesen. Mivel ln(u (x onáv és étszer deriválható, ezért ( u u > 0. teljesül. Jelölje ln(u (x függvényt a továbbiaban f(x. E függvény segítségével fel tudom írni u (x függvényt: u (x = e f(x. (42 A (42 összefüggésben önnyen lehet látni, hogy u (x > 0. Mivel ln(u (x függvény csöen és deriválható, ezért u (x u (x 45 < 0. (43
Tudom, hogy u > 0 ezért a (43 összefüggés miatt u < 0. Az [a, b] intervallumon ívül u(x függvény integrálással apható meg: ha x < a és ha x > b. u(x = v(a u(x = v(a + a x x b e f(x, e f(x, 3.22. Példa. Legyene u 1 és u 2 olyan hasznosságfüggvénye, amelyere teljesül a ocázatelutasítás növev mértée. Eor: v(x = u 1 (x + u 2 (x hasznosságfüggvényre nem mindig teljesül a ocázatelutasítás növev mértée. Bizonyítás. A övetez példa során u 1 és u 2 hasznosságfüggvényre is a ocázatelutasítás növev mértée a jellemz, a ét függvény összegére enne ellenére sem teljesül a ocázatelutasítás növev mértée. Legyen a [0, 1] intervallumon u 1 (x = (x 23 3 és u 2 (x = 10 3 ( x 100 1 3. Eor u 1(x = (x 2 2, u 1(x = 2(x 2 és ( u ( 1(x 2(x 2 = = u 1(x (x 2 2 46 ( 2. 2 x
A [0, 1] intervallumon teljesül, hogy u 1 > 0, u 1 < 0 és ( u 1 > 0, ezért a u 1 3.21. Lemma értelmében u 1 függvényt i lehet terjeszteni a valós számegyenesre úgy, hogy u 1 hasznosságfüggvényre a ocázatelutasítás növev mértée legyen a jellemz. Legyen u 1 egy tetsz leges ezen iterjesztése özül. Hasonlóan u 2(x = 10 ( x 1 2 (, u 100 2(x = 1 x 1 és 5 100 ( u ( 2(x = u 2(x ( 1 x 1 5 100 10 ( x 1 2 = 100 ( 2 1 x. 100 A [0, 1] intervallumon teljesül, hogy u 2 > 0, u 2 < 0 és ( u 2 u > 2 0, ezért a 3.21. Lemma értelmében u 2 függvényt is i lehet terjeszteni a valós számegyenesre úgy, hogy u 2 hasznosságfüggvényre a ocázatelutasítás növev mértée legyen a jellemz. Legyen most is u 2 egy tetsz leges ezen iterjesztése özül. Legyen A [0, 1] intervallumon v > 0, v < 0. v(x = u 1 (x + u 2 (x. ( ( v (x = ( u 1(x + u 2(x = 2(x 2 + 1 5 v (x u 1(x + u 2(x ahol és ( x 100 1 (x 2 2 + 10 ( x 100 1 2 f(x = 2, 004002x 2 + 8, 4084x + 10, 388 g(x = ( ( x 2 2 (x 2 2 + 10 100 1. = f(x g(x, (44 A [0, 1] intervallumon f(x és g(x értée is pozitív, tehát (44 derivált értée negatív, ezen az intervallumon a ocázatelutasítás csöen mértée jellemz v(x hasznosságfüggvényre. 47
A 3.22. Példában beláttam, hogy a növev ocázatelutasítás tulajdonsága nem rz di meg hasznosságfüggvénye lineáris ombinációjával. A 3.23. Lemmában viszont bebizonyítom, hogy amennyiben a hasznosságfüggvénye harmadi deriváltja negatív, aor a növev ocázatelutasítás tulajdonság is meg rz di hasznosságfüggvénye lineáris ombinációjával. 3.23. Lemma. Legyene u 1, u 2,... u n olyan hasznosságfüggvénye, amelyere az [a, b] intervallumon teljesül, hogy u i < 0. Legyen v(x = α 1 u 1 (x + α 2 u 2 (x + + α n u n (x, ahol α i > 0. Eor v függvény is hasznosságfüggvény, továbbá az [a, b] intervallumon v függvényre is teljesül, hogy v < 0, ami biztosítja a ( v v > 0 feltétel teljesülését. Bizonyítás. v hasznosságfüggvény volta egyértelm. v (x = α 1 u 1 (x + α 2 u 2 (x + + α n u n (x. Mivel α 1 > 0 és u i (x < 0 ha x [a, b], ezért v (x triviális módon negatív. Másrészr l ( v (x = v (xv (x (v (x 2. (45 v( (x (v (x 2 Ha v < 0, aor (45 ifejezés értée is negatív. 3.24. Megjegyzés. A 3.23. Lemma állítása sajnos csa orlátozott érté. u < 0 feltétel azt jelenti, hogy u függvény onáv. Összességében u függvényne folytonosna, pozitívna, szigorúan monoton csöen ne és onávna ell lennie. Sajnos nincs olyan függvény, amelyi ezene a tulajdonságona eleget tesz és 48
legalább a [0, ] intervallumon értelmezve van. A 3.23. Lemmát ezért tudtu csa egy [a, b] intervallumra imondani. 3.25. Lemma. Legyen P pozitív és N pozitív egész szám. u(x hasznosságfüggvényr l tudju, hogy [c, c + (N + 1P ] intervallumon u < 0. Eor 0 < n < N, 0 < P < P és x [c, c + P ] esetén ( d ddu(c + x, P, n > 0. dx du(c + x, P, n Bizonyítás. Legyen v i (x = u(c + x + ip, i = 0, 1,..., n 1. Eor mindegyi v i hasznosságfüggvény, és a iinduló feltétele miatt állíthatju, hogy minden v i -re v i < 0 ha x [0, P ]. A 3.23. Lemmából adódi a bizonyítani ívánt állítás. 3.26. Lemma. Legyen P pozitív és N pozitív egész szám. u(x hasznosságfüggvényr l tudju, hogy [c, c + (N + 2P ] intervallumon u > 0, u < 0. Eor: 0 < n < N, 0 < P < P, 0 < x < P és 0 < y < P esetén Bizonyítás. d ( du(c + x + y, P, n dx U(c + x + y, P, n U(c + x, P, n d ( U(c + x + y, P, n dx U(c + x + y, P, n U(c + x, P, n 49 < 0. = f(x g(x, (46
ahol a deriválási szabályna megfelel en: f(x = = ddu(c + x + y, P, n(u(c + x + y, P, n U(c + x, P, n+ du(c + x + y, P, n(du(c + x + y, P, n du(c + x, P, n és g(x = (u(c + x + P, P, n U(c + x, P, n 2. A (46 tört nevez je mindig pozitív, így csa a számlálóról ell bebizonyítani, hogy pozitív. Ha fenáll, a ddu(c + x + y, P, n du(c + x + y, P, n < du(c + x + y, P du(c + x, P, n U(c + x + y, P, n U(c + x, P, n (47 egyenl tlenség, aor a (46 tört számlálója pozitív. A (47 egyenl tlenség pedig fenáll, mert a Cauchy özépértététel miatt létezi 0 < α < y, hogy a (47 egyenl tlenség jobboldala megegyezi ddu(c+x+α,p,n ifejezés értéével. Innen a du(c+x+α,p,n 3.25. Lemma állításából övetezi a (47 egyenl tlenség. 3.27. Állítás. Legyen P pozitív és N pozitív egész szám. u(x hasznosságfüggvényr l tudju, hogy [C, C + (N + 2P ] intervallumon u < 0. Ha 0 < n < N 1 és U 2(C, P 0, n = 0, aor U 2(C, P 0, n + 1 < 0. Bizonyítás. A bizonyítás a 3.19. Állítás bizonyításána analógiájára elvégezhet felhasználva a 3.26. Lemmát. A 3.5. Állítás és a 3.13. Állítás során azt állítottu, hogy a hasznosságmaximumot biztosító ár alacsonyabb, mint a nyereségmaximumot biztosító ár. 50
Kérdés, hogy ez a ülönbség észrevehet marad-e, ha a piac szerepl ine száma nagy. Máséppen fogalmazva: nagy létszámú vev ör mellett az eladó meggyelt viseledéséb l eldönthet -e, hogy nyereségmaximalizáló vagy protmaximalizáló. Matematiailag úgy vizsgálhatju meg a érdést, hogy a U 2(C, P, n függvény nyereségmaximumot adó pontban vett értéeine sorozata tart-e a 0-hoz, ha n-nel tartun a végtelenbe. Amennyiben f(p = U(C, P, n függvény szigorú vázionavitása teljesül, aor e tulajdonság alapján vélhetjü, hogy ahogy a piaci szerepl száma tart a végtelenbe, aor a haszonmaximalizáló ár egyre özelebb erül a nyereségmaximumot adó árhoz. Szándéosan használtam a véleedés szót, hiszen tulajdonság alapján nem állítható, hogy lim U 2(C, P pm, n = 0 n lim P n = P pm. n Ehhez g(n = P n függvény folytonosságára lenne szüség. A g függvény csa egész értée esetén van értelmezve. A piaci létszám folytonossá tétele olyan matematiai apparátust (pl. gamma függvény igényel, ami az általánosan használt özgazdasági eszöztárat meghaladja, ezért ett l elteinte. A 6. fejezetben numerius módszereel vizsgálom az eladó viseledését, és a megvizsgált eseteben lim n P n = P pm hipotézis elfogadható. A érdés vizsgálatához szüség van a övetez lemmára: 3.28. Lemma. Teintsü az a sorozatot, melyr l tudju, hogy lim a = A. 51
Eor bármilyen 0 < q < 1 esetén: lim n ( n =0 (( n q (1 q n a = A. Bizonyítás. 13 Tegyü fel, hogy A = 0! Megmutatom, hogy minden ε-hoz található n 1 üszöbindex, hogy ha n > n 1, aor: n =0 Els lépésént belátom, hogy lim n (( n q (1 q n a < ε. ( m =0 (( n q (1 q n = 0. (48 Mivel értée maximum m lehet a (48 összegben, ezért ( n = n!!(n! n(n 1(n 2 (n + 1 nm. (49 Felhasználva a (49 összefüggést megállapíthatju, hogy ( ( n q q (1 q n n m q n 0. (50 1 q A (48 ifejezésben véges so 0-hoz tartó ifejezést ado össze, ezért az összeg is a 0-hoz tart. Mivel a sorozat tart 0-hoz, ezért minden ε 2 számhoz létezi olyan n 0 index, hogy minden > n 0 esetén a < ε 2. Legyen m > n 0. A vizsgált összeget bontsu 13A bizonyítás lényegi része Kánnai Zoltán munája, segítségét ezúton is öszönöm. 52
ét részre: Mivel n =0 = (( n q (1 q n a = m =0 (( n q (1 q n a + lim n ( m =0 n =m+1 (( n q (1 q n a = 0, ezért található n 1 > m index, hogy n > n 1 esetén, m =0 (( n q (1 q n a < ε 2. (( n q (1 q n a. Másrészr l: n (( n q (1 q n a < n (( n q (1 q n ε < 2 =m+1 n (( n q (1 q n ε = 2 =m+1 =0 = ε 2. Végeredményben ha n > n 1, aor: n (( n q (1 q n a = m (( n = q (1 q n a + =0 =0 ε 2 + ε 2 = = ε. 53 n =m+1 (( n q (1 q n a <
Innen övetezi, hogy lim a = 0 esetén: lim n ( n =0 (( n q (1 q n a = 0. Ha lim a = A, ahol A 0 és A = aor a övetez éppen járo el: lim n ( n (( n =0( n (( n =0( n (( n + lim n ( =0 n (( n = lim n = lim n q (1 q n a A + A = =0 q (1 q n a A + q (1 q n A = q (1 q n a A + A. Ha a A, aor a A 0, tehát a bizonyítás els része alapján: lim n ( n =0 (( n q (1 q n a A = 0. Innen A esetén adódi a bizonyítani ívánt állítás. Ha A = a övetez éppen járo el: legyen A =. Tegyü fel, hogy lim n ( 0 =0 (( n q (1 q n a A = K. Mivel lim a =, ezért létezi 0 index, hogy > 0 esetén a K + 1. Deniálom a övetez sorozatot: b a ha 0 K + 1 ha > 1. 54