Konvex optimalizálás feladatok



Hasonló dokumentumok
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

Boros Zoltán február

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Metrikus terek, többváltozós függvények

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

A fontosabb definíciók

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

A lineáris programozás alapjai

Dierenciálhányados, derivált

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

Matematika III előadás

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Nemlineáris programozás 2.

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

DiMat II Végtelen halmazok

Egyváltozós függvények 1.

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Gazdasági Matematika I. Megoldások

Parciális dierenciálegyenletek

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A valós számok halmaza

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

A matematika nyelvér l bevezetés

Diszkrét matematika 1. középszint

Exponenciális, logaritmikus függvények

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Többváltozós függvények Feladatok

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Matematika III előadás

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

Matematika A1a Analízis

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A derivált alkalmazásai

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf tk.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

3. Lineáris differenciálegyenletek

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

2014. november Dr. Vincze Szilvia

Matematika 8. osztály

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

Matematika A1a Analízis

Diszkrét matematika I.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

Lineáris algebra gyakorlat

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1

Hozzárendelés, lineáris függvény

Átírás:

(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x függvény konvex (deníció szerint)! 3. Feladat. Legyen c 1, c 2 R és r R rögzített. Mutassuk meg, hogy a {(x, y) R 2 (x c 1 ) 2 + (y c 2 ) 2 r 2 } halmaz konvex! Általánosítsuk a problémát, és igazoljuk, hogy ha X normált tér, p X és r > 0 tetsz legesek, akkor B(p, r) cl := {x X x p r} konvex halmaz! 4. Feladat. Mutassuk meg, hogy a {(x, y) R 2 x > 0, y > 0, xy 1} halmaz konvex! Határozzuk meg a halmaz konvex burkát, kúp burkát, an burkát és lineáris burkát! 5. Feladat. Igazoljuk, hogy ha H konvex halmaz, akkor cone(h) is konvex! 6. Feladat. Vizsgáljuk meg a halmazt konvexitás szempontjából! {f C R ([0, 1]) f(0) = 0, f(1) = 1, f(1/2) 1/2}

(2. gyakorlat, 2014. szeptember 23.) 1. Feladat. Igazoljuk, hogy (1) az üres halmaz konvex; (2) ha X lineáris tér, és K(X) jelöli az X konvex részhalmazainak összességét, akkor K(X) konvex kúp; (3) ha X és Y lineáris tér és A X Y konvex, akkor π X (A) és π Y (A) is konvex. 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy ha X lineáris tér, akkor bármely x 0,..., x n X elemek esetén teljesül! aff{x 0,..., x n } = x 0 + lin{x 1 x 0,..., x n x 0 } 3. Feladat. Legyen X topologikus vektortér, D X zárt, konvex halmaz. Mutassuk meg, hogy bármely x X esetén ( ) cl T x (K) := λ (K {x}) konvex kúp. (Segítség: rajzoljuk le el tte a halmazt; mi történik, ha x K?) λ>0 4. Feladat. Számoljuk ki a halmaz an burkát! {f C([0, 1]) f(0) = 0, f(1) = 1, f(1/2) 1/2} 5. Feladat. Legyen X lineáris tér, valamint f : X R adott függvény. Mutassuk meg, hogy (1) ha f konvex, akkor {f c} konvex halmaz minden c R számra; (2) f pontosan akkor kvázikonvex, ha {f c} konvex minden c R számra! 6. Feladat. Legyen X lineáris tér, D X pedig olyan, hogy 0 D. Mutassuk meg, hogy az f : X R, f(x) := inf{λ R + x λd} függvény pontosan akkor konvex a D halmazon, ha D konvex! 7. Feladat. Legyen X lineáris tér, D X és D := {(λx, λ) λ > 0, x D}. Mutassuk meg, hogy D pontosan akkor konvex, ha D konvex kúp! 8. Feladat. Legyen I R valódi intervallum. Igazoljuk, hogy egy f : I R függvény pontosan akkor konvex, ha epi(f) := {(x, y) I R f(x) y} konvex halmaz. (Az f függvény pontosan akkor alulról félig folytonos, ha epi(f) zárt halmaz.) 9. Feladat. Határozzuk meg a {(0, 0), (0, 1), (1, 0)} R 2 halmaz konvex burkát! Vizsgáljuk meg a halmazt konvexitás szempontjából! H := {(x, y) R 2 x, y 0, x + y 1} R 2

(3. gyakorlat, 2014. szeptember 30.) 1. Feladat. Tekintsük a H := {(x, y, z) R 3 x + y + z 1} halmazt (poliéder el állítás). a.) Mutassuk meg, hogy H konvex halmaz! b.) Adjuk meg a H halmaz politóp el állítását! c.) Adjuk meg a cone(h), aff(h) és lin(h) halmazokat! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy H := {f C R ([0, 1]) f(0) + f(1) = 0, f(1/2) 1} konvex halmaz, és adjuk meg cone(h) és lin(h) halmazokat! 3. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : X R függvény pontosan akkor an, ha f f(0) lineáris (X lineáris tér)! 4. Feladat. Legyen X metrikus tér a d metrikával, H X és deniáljuk az f H függvényt a következ módon: f H : X [0, + [, f H (x) := inf d(x, y). y H Mutassuk meg, hogy ha H konvex halmaz, akkor f H konvex függvény 5. Feladat. Legyen X normált tér, ezen kívül tartsuk meg a 4. Feladat összes jelölését! Mutassuk meg, hogy f H Lipschitz-tulajdonságot teljesít, következésképpen folytonos függvény! 6. Feladat. Igazoljuk, hogy egy {x 1,..., x k } R n vektorrendszer pontosan akkor an függ, ha az {x 1 x k,..., x k 1 x k } rendszer lineárisan függ! 7. Feladat. Legyen X lineáris tér és p : X [0, + [ tetsz leges norma X-en. Mutassuk meg, hogy az {(x, r) X [0, + [ p(x) r} halmaz konvex! (Gyengíthet k-e a p függvényre tett feltételek úgy, hogy ez az állítás érvényben maradjon?) Ha r > 0 rögzített, akkor mit lehet mondani az halmaz konvexitásáról? {(x, a) X R p(x) r, a R} 8. Feladat. Mutassuk meg, hogy ha X lineáris tér és f : X R lineáris függvény, akkor az {(x, f(x)) x X} halmaz an! 9. Feladat. Legyen X lineáris tér és D X konvex halmaz! Mutassuk meg, hogy konvex halmaz! A D := {x X létezik λ [0, 1] : λx D}

(4. gyakorlat, 2014. október 07.) Tétel. (Konvex halmazok szeparálása lineáris függvénnyel.) Legyen X topologikus vektortér, A, B X konvex halmazok, és tegyük fel, hogy int(a), B és A B =. Ekkor létezik ϕ : X R folytonos lineáris függvény, hogy sup ϕ(p) inf ϕ(p). p A p B 1. Feladat. Legyen A := {(x, y) R 2 y 0}, valamint B := {(x, y) R 2 x, y > 0, xy 1}. Adjuk meg az összes olyan ϕ : R 2 R (folytonos) lineáris függvényt, amely szeparálja a megadott halmazokat a fenti értelemben! 2. Feladat. Legyen A := (conv{(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}) o, valamint B := {( 1 3, 1 3, 1 3)}. Adjuk meg az összes olyan ϕ : R 3 R (folytonos) lineáris függvényt, amely szeparálja a megadott halmazokat a fenti értelemben! 3. Feladat. Legyen A := conv{(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}, valamint B := {(2, 2, 2)}. Adjuk meg az összes olyan ϕ : R 3 R (folytonos) lineáris függvényt, amely szeparálja a megadott halmazokat a fenti értelemben!

(6. gyakorlat, 2014. november 04.) 1. Feladat. Legyen X lineáris tér, valamint A, B X nemüres halmazok. Igazoljuk, hogy ekkor (1) cor(a) cor(b) cor(a B), (2) cor(a) cor(b) = cor(a B), (3) ha A B, akkor cor(a) cor(b). Deníció. Legyen X lineáris tér, valamint D X konvex halmaz. Egy f : D R konvex függvény p D pontbeli szubgradiensén a f(p) := {ϕ : X R ϕ lineáris és ϕ(h) f (p, h) minden h X esetén}. halmazt értjük, ahol f 1 (p, h) := lim (f(p + th) f(p)). t 0+ t Azt mondjuk, hogy az f a p pontban szubdierenciálható, hogy f(p) nem az üres halmaz. Szubdierenciálási szabályok: (1) minden p D esetén (f + g)(p) = f(p) + g(p), (2) minden p D és λ > 0 esetén (λ f)(p) = λ f(p), (3) ha g := max{f 1,..., f n }, ahol f j : D R konvex függvény minden j-re, akkor ( ) g(p) = conv f j(p). f j(p)=g(p) 2. Feladat. (Házi feladat) Igazoljuk, hogy a szubgradiens mindig konvex halmaz! 3. Feladat. Mutassuk meg, hogy az alábbi függvények konvexek, de nem szubdierenciálhatók az x 0 = 0 pontban: (1) legyen f(0) := 1, és f(x) := 0, ha x > 0; (2) legyen f(x) := x, ha x 0. 4. Feladat. Adjuk meg az f : R R, f(x) := x függvény szubgradiensét minden p R pontban! Ábrázoljuk a szubgradiens elemeinek meredekségét a p pont függvényében! Igaz-e, hogy a dierenciálható függvények osztálya zárt a maximumképzésre nézve? 5. Feladat. Adjuk meg az f : R R, f(x) := x χ {y 0} (x) + x 2 χ {y>0} (x) függvény szubgradiensét minden p R pontban! Ábrázoljuk a p f(p) halmazérték leképezés értékkészletét!

(7. gyakorlat, 2014. november 11.) Ha g : R R, g(x) := max{f 1 (x),..., f n (x)} (n 2), akkor g (p, h) = max{f j(p, h) f j (p) = g(p)}, ( ) g(p) = conv f j(p). f j(p)=g(p) minden p D g és h R \ {0} esetén. 1. Feladat. Írjuk fel az f : R R, f(x) := max{0, x 2 1} függvény szubgradiensét tetsz leges p R pontban, majd ábrázoljuk a p f(p) leképezés értékkészletét. 2. Feladat. Adjuk meg az f : R R, f(x) := max{2x + 1, 3 4x} függvény szubgradiensét tetsz leges p R pontban. Ábrázoljuk a p f(p) halmazérték leképezés értékkészletét. 3. Feladat. Legyen x 0 R és 0 < t < 1 rögzített. Határozzuk meg az függvény szubgradiensét minden p R pontban. f : R R, f(x) := t(x 0 x) + + (1 t)(x 0 x) 4. Feladat. Határozzuk meg az f : R 3 R, f(x, y, z) := max{0, x + y + z}, g : R 2 R, g(x, y) := max{ (x, y) 2, x + 3y} függvények szubgradiensét minden értelmezési tartománybeli pontban.

(9. gyakorlat, 2014. november 25.) 1. Tétel. (KarushKuhnTucker) Legyen X lineáris tér, D X konvex halmaz, továbbá f 0, f 1,..., f n : D R konvex függvények és H := {x D f 1 (x) 0,..., f n (x) 0}. Tegyük fel, hogy f 0 -nak a p cor(d) pontban minimumhelye van, azaz f 0 (p) f 0 (x), ha x H. Ekkor léteznek olyan λ 0, λ 1,..., λ n 0 valós számok, hogy (1) λ 0 + + λ n = 1, (2) 0 λ 0 f 0 (p) + + λ n f n (p), és (3) λ j f j (p) = 0, ha j = 1,..., n. Másfel l, ha (1) és (2) teljesül egy olyan λ 0, λ 1,..., λ n 0, λ 0 + + λ n = 1 konvex kombinációs rendszerrel, ahol λ 0 > 0, akkor f 0 -nak minimumhelye van a p pontban a fenti H halmazon. 1. Feladat. Keressük meg az f : R 2 R, f(x, y) := x függvény minimumhelyeit az x y 1 és x 2 + y 2 1 feltételek mellett, tehát ha H = {(x, y) R 2 f 1 (x, y) := x y 1 0, f 2 (x, y) := x 2 + y 2 1 0}. 2. Feladat. Legyen A := {(x, y) R 2 x < 1} és B := {(x, y) R 2 y 2 + 1 x}. Adjuk meg azon (a, b) R 2 párokat, amelyre sup (ax + by) inf (ax + by). (x,y) A (x,y) B 3. Feladat. Minimalizáljuk az f : R 2 R, f(x, y) := x + 3y függvényt az x + 2 y és x 2 2 y 2 feltételek mellett.

1. zárthelyi dolgozat Konvex optimalizálás, 2014. október 28. Összesen 25 pont szerezhet. Az értékelés független a feladatok megoldásának sorrendjét l. 1. Feladat. Legyenek n, m N tetsz legesen rögzített természetes számok, H D R n R m konvex, nemüres halmaz, továbbá f : H D R konvex, alulról korlátos függvény. Mutassa meg, hogy a g : H R, g(x) := inf{f(x, y) y D}. függvény konvex! (A függvény alulról való korlátossága azért kell, hogy g deníciója értelmes legyen!) 2. Feladat. Igazolja, hogy a H := {f C R ([0, 1]) 3f(1) + f(0) = 0, f(1/3) 2} halmaz konvex! Határozza meg a cone(h) és lin(h) burkokat! 3. Feladat. Tekintsük az A := conv{(0, 0, 0), (1, 2, 0), (0, 1, 2), (2, 0, 1)} és B := {(1, 1, 1)} halmazokat R 3 -ban. a.) Határozza meg az A halmaz poliéder el állítását! b.) Adja meg az összes olyan ϕ : R 3 R folytonos lineáris függvényt, melyekre teljesül! sup ϕ(x, y, z) inf ϕ(x, y, z) (x,y,z) A (x,y,z) B (5+5 pont) 4. Feladat. Legyen X lineáris tér és D X konvex halmaz! Mutassa meg, hogy ekkor az halmaz is konvex! A D := {x X létezik λ ]0, 1] : λx D}

2. zárthelyi dolgozat 1 Konvex optimalizálás, 2014. december 16. Összesen 25 pont szerezhet. Az értékelés független a feladatok megoldásának sorrendjét l. 1. Feladat. Optimalizálja az f : R 2 R, f(x, y) := 3x + 2y függvényt az y 2 3 (x 1) 2 és y 1 x feltételek mellett! (10 pont) 2. Feladat. Számolja ki deníció alapján a g : R R, g(x) := 2x χ R (x)+x 3 χ R+ {0}(x) függvény iránymenti deriváltját és szubgradiensét minden értelmezési tartománybeli pontban! 3. Feladat. Határozza meg a. 2 : R 2 R + {0}, (x, y) 2 := x 2 + y 2 függvény iránymenti deriváltját és szubgradiensét minden (p, q) R 2 pontban! 4. Feladat. Igazolja, hogy a k : [ 1, + [ R, k(x) := x + 1 függvény konvex! Szubdierenciálható-e k a p 0 = 1, illetve q 0 = 2 pontokban? (A függvény konvexitásának igazolásához bármilyen, arra alkalmas módszer felhasználható!) Szorgalmi feladatok 1. Feladat. Legyen X lineáris tér, A X nemüres konvex halmaz. Mutassa meg, hogy bármely x 0 core(a), y A és 0 < λ 1 esetén λx 0 + (1 λ)y core(a). (1 pont) 2. Feladat. Legyen X lineáris tér. Mutassa meg, hogy ha A X nemüres konvex halmaz, akkor core(a) = core(core(a)) Mely irányú tartalmazás marad érvényben, ha az A halmazról nem tesszük fel, hogy konvex? (1 pont) 3. Feladat. Ábrázolja a második feladatban szerepl g függvény esetén a p g(p) halmazérték leképezés értékkészletét! (1 pont) (1 pont) 1 Jelölések: R := {u R u < 0}, R + := {u R u > 0}, illetve ha A R, akkor χ A (x) = 1, ha x A és χ A (x) = 0, ha x R \ A. (Azaz χ A jelöli az A halmaz karakterisztikus függvényét.)