(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x függvény konvex (deníció szerint)! 3. Feladat. Legyen c 1, c 2 R és r R rögzített. Mutassuk meg, hogy a {(x, y) R 2 (x c 1 ) 2 + (y c 2 ) 2 r 2 } halmaz konvex! Általánosítsuk a problémát, és igazoljuk, hogy ha X normált tér, p X és r > 0 tetsz legesek, akkor B(p, r) cl := {x X x p r} konvex halmaz! 4. Feladat. Mutassuk meg, hogy a {(x, y) R 2 x > 0, y > 0, xy 1} halmaz konvex! Határozzuk meg a halmaz konvex burkát, kúp burkát, an burkát és lineáris burkát! 5. Feladat. Igazoljuk, hogy ha H konvex halmaz, akkor cone(h) is konvex! 6. Feladat. Vizsgáljuk meg a halmazt konvexitás szempontjából! {f C R ([0, 1]) f(0) = 0, f(1) = 1, f(1/2) 1/2}
(2. gyakorlat, 2014. szeptember 23.) 1. Feladat. Igazoljuk, hogy (1) az üres halmaz konvex; (2) ha X lineáris tér, és K(X) jelöli az X konvex részhalmazainak összességét, akkor K(X) konvex kúp; (3) ha X és Y lineáris tér és A X Y konvex, akkor π X (A) és π Y (A) is konvex. 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy ha X lineáris tér, akkor bármely x 0,..., x n X elemek esetén teljesül! aff{x 0,..., x n } = x 0 + lin{x 1 x 0,..., x n x 0 } 3. Feladat. Legyen X topologikus vektortér, D X zárt, konvex halmaz. Mutassuk meg, hogy bármely x X esetén ( ) cl T x (K) := λ (K {x}) konvex kúp. (Segítség: rajzoljuk le el tte a halmazt; mi történik, ha x K?) λ>0 4. Feladat. Számoljuk ki a halmaz an burkát! {f C([0, 1]) f(0) = 0, f(1) = 1, f(1/2) 1/2} 5. Feladat. Legyen X lineáris tér, valamint f : X R adott függvény. Mutassuk meg, hogy (1) ha f konvex, akkor {f c} konvex halmaz minden c R számra; (2) f pontosan akkor kvázikonvex, ha {f c} konvex minden c R számra! 6. Feladat. Legyen X lineáris tér, D X pedig olyan, hogy 0 D. Mutassuk meg, hogy az f : X R, f(x) := inf{λ R + x λd} függvény pontosan akkor konvex a D halmazon, ha D konvex! 7. Feladat. Legyen X lineáris tér, D X és D := {(λx, λ) λ > 0, x D}. Mutassuk meg, hogy D pontosan akkor konvex, ha D konvex kúp! 8. Feladat. Legyen I R valódi intervallum. Igazoljuk, hogy egy f : I R függvény pontosan akkor konvex, ha epi(f) := {(x, y) I R f(x) y} konvex halmaz. (Az f függvény pontosan akkor alulról félig folytonos, ha epi(f) zárt halmaz.) 9. Feladat. Határozzuk meg a {(0, 0), (0, 1), (1, 0)} R 2 halmaz konvex burkát! Vizsgáljuk meg a halmazt konvexitás szempontjából! H := {(x, y) R 2 x, y 0, x + y 1} R 2
(3. gyakorlat, 2014. szeptember 30.) 1. Feladat. Tekintsük a H := {(x, y, z) R 3 x + y + z 1} halmazt (poliéder el állítás). a.) Mutassuk meg, hogy H konvex halmaz! b.) Adjuk meg a H halmaz politóp el állítását! c.) Adjuk meg a cone(h), aff(h) és lin(h) halmazokat! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy H := {f C R ([0, 1]) f(0) + f(1) = 0, f(1/2) 1} konvex halmaz, és adjuk meg cone(h) és lin(h) halmazokat! 3. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : X R függvény pontosan akkor an, ha f f(0) lineáris (X lineáris tér)! 4. Feladat. Legyen X metrikus tér a d metrikával, H X és deniáljuk az f H függvényt a következ módon: f H : X [0, + [, f H (x) := inf d(x, y). y H Mutassuk meg, hogy ha H konvex halmaz, akkor f H konvex függvény 5. Feladat. Legyen X normált tér, ezen kívül tartsuk meg a 4. Feladat összes jelölését! Mutassuk meg, hogy f H Lipschitz-tulajdonságot teljesít, következésképpen folytonos függvény! 6. Feladat. Igazoljuk, hogy egy {x 1,..., x k } R n vektorrendszer pontosan akkor an függ, ha az {x 1 x k,..., x k 1 x k } rendszer lineárisan függ! 7. Feladat. Legyen X lineáris tér és p : X [0, + [ tetsz leges norma X-en. Mutassuk meg, hogy az {(x, r) X [0, + [ p(x) r} halmaz konvex! (Gyengíthet k-e a p függvényre tett feltételek úgy, hogy ez az állítás érvényben maradjon?) Ha r > 0 rögzített, akkor mit lehet mondani az halmaz konvexitásáról? {(x, a) X R p(x) r, a R} 8. Feladat. Mutassuk meg, hogy ha X lineáris tér és f : X R lineáris függvény, akkor az {(x, f(x)) x X} halmaz an! 9. Feladat. Legyen X lineáris tér és D X konvex halmaz! Mutassuk meg, hogy konvex halmaz! A D := {x X létezik λ [0, 1] : λx D}
(4. gyakorlat, 2014. október 07.) Tétel. (Konvex halmazok szeparálása lineáris függvénnyel.) Legyen X topologikus vektortér, A, B X konvex halmazok, és tegyük fel, hogy int(a), B és A B =. Ekkor létezik ϕ : X R folytonos lineáris függvény, hogy sup ϕ(p) inf ϕ(p). p A p B 1. Feladat. Legyen A := {(x, y) R 2 y 0}, valamint B := {(x, y) R 2 x, y > 0, xy 1}. Adjuk meg az összes olyan ϕ : R 2 R (folytonos) lineáris függvényt, amely szeparálja a megadott halmazokat a fenti értelemben! 2. Feladat. Legyen A := (conv{(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}) o, valamint B := {( 1 3, 1 3, 1 3)}. Adjuk meg az összes olyan ϕ : R 3 R (folytonos) lineáris függvényt, amely szeparálja a megadott halmazokat a fenti értelemben! 3. Feladat. Legyen A := conv{(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}, valamint B := {(2, 2, 2)}. Adjuk meg az összes olyan ϕ : R 3 R (folytonos) lineáris függvényt, amely szeparálja a megadott halmazokat a fenti értelemben!
(6. gyakorlat, 2014. november 04.) 1. Feladat. Legyen X lineáris tér, valamint A, B X nemüres halmazok. Igazoljuk, hogy ekkor (1) cor(a) cor(b) cor(a B), (2) cor(a) cor(b) = cor(a B), (3) ha A B, akkor cor(a) cor(b). Deníció. Legyen X lineáris tér, valamint D X konvex halmaz. Egy f : D R konvex függvény p D pontbeli szubgradiensén a f(p) := {ϕ : X R ϕ lineáris és ϕ(h) f (p, h) minden h X esetén}. halmazt értjük, ahol f 1 (p, h) := lim (f(p + th) f(p)). t 0+ t Azt mondjuk, hogy az f a p pontban szubdierenciálható, hogy f(p) nem az üres halmaz. Szubdierenciálási szabályok: (1) minden p D esetén (f + g)(p) = f(p) + g(p), (2) minden p D és λ > 0 esetén (λ f)(p) = λ f(p), (3) ha g := max{f 1,..., f n }, ahol f j : D R konvex függvény minden j-re, akkor ( ) g(p) = conv f j(p). f j(p)=g(p) 2. Feladat. (Házi feladat) Igazoljuk, hogy a szubgradiens mindig konvex halmaz! 3. Feladat. Mutassuk meg, hogy az alábbi függvények konvexek, de nem szubdierenciálhatók az x 0 = 0 pontban: (1) legyen f(0) := 1, és f(x) := 0, ha x > 0; (2) legyen f(x) := x, ha x 0. 4. Feladat. Adjuk meg az f : R R, f(x) := x függvény szubgradiensét minden p R pontban! Ábrázoljuk a szubgradiens elemeinek meredekségét a p pont függvényében! Igaz-e, hogy a dierenciálható függvények osztálya zárt a maximumképzésre nézve? 5. Feladat. Adjuk meg az f : R R, f(x) := x χ {y 0} (x) + x 2 χ {y>0} (x) függvény szubgradiensét minden p R pontban! Ábrázoljuk a p f(p) halmazérték leképezés értékkészletét!
(7. gyakorlat, 2014. november 11.) Ha g : R R, g(x) := max{f 1 (x),..., f n (x)} (n 2), akkor g (p, h) = max{f j(p, h) f j (p) = g(p)}, ( ) g(p) = conv f j(p). f j(p)=g(p) minden p D g és h R \ {0} esetén. 1. Feladat. Írjuk fel az f : R R, f(x) := max{0, x 2 1} függvény szubgradiensét tetsz leges p R pontban, majd ábrázoljuk a p f(p) leképezés értékkészletét. 2. Feladat. Adjuk meg az f : R R, f(x) := max{2x + 1, 3 4x} függvény szubgradiensét tetsz leges p R pontban. Ábrázoljuk a p f(p) halmazérték leképezés értékkészletét. 3. Feladat. Legyen x 0 R és 0 < t < 1 rögzített. Határozzuk meg az függvény szubgradiensét minden p R pontban. f : R R, f(x) := t(x 0 x) + + (1 t)(x 0 x) 4. Feladat. Határozzuk meg az f : R 3 R, f(x, y, z) := max{0, x + y + z}, g : R 2 R, g(x, y) := max{ (x, y) 2, x + 3y} függvények szubgradiensét minden értelmezési tartománybeli pontban.
(9. gyakorlat, 2014. november 25.) 1. Tétel. (KarushKuhnTucker) Legyen X lineáris tér, D X konvex halmaz, továbbá f 0, f 1,..., f n : D R konvex függvények és H := {x D f 1 (x) 0,..., f n (x) 0}. Tegyük fel, hogy f 0 -nak a p cor(d) pontban minimumhelye van, azaz f 0 (p) f 0 (x), ha x H. Ekkor léteznek olyan λ 0, λ 1,..., λ n 0 valós számok, hogy (1) λ 0 + + λ n = 1, (2) 0 λ 0 f 0 (p) + + λ n f n (p), és (3) λ j f j (p) = 0, ha j = 1,..., n. Másfel l, ha (1) és (2) teljesül egy olyan λ 0, λ 1,..., λ n 0, λ 0 + + λ n = 1 konvex kombinációs rendszerrel, ahol λ 0 > 0, akkor f 0 -nak minimumhelye van a p pontban a fenti H halmazon. 1. Feladat. Keressük meg az f : R 2 R, f(x, y) := x függvény minimumhelyeit az x y 1 és x 2 + y 2 1 feltételek mellett, tehát ha H = {(x, y) R 2 f 1 (x, y) := x y 1 0, f 2 (x, y) := x 2 + y 2 1 0}. 2. Feladat. Legyen A := {(x, y) R 2 x < 1} és B := {(x, y) R 2 y 2 + 1 x}. Adjuk meg azon (a, b) R 2 párokat, amelyre sup (ax + by) inf (ax + by). (x,y) A (x,y) B 3. Feladat. Minimalizáljuk az f : R 2 R, f(x, y) := x + 3y függvényt az x + 2 y és x 2 2 y 2 feltételek mellett.
1. zárthelyi dolgozat Konvex optimalizálás, 2014. október 28. Összesen 25 pont szerezhet. Az értékelés független a feladatok megoldásának sorrendjét l. 1. Feladat. Legyenek n, m N tetsz legesen rögzített természetes számok, H D R n R m konvex, nemüres halmaz, továbbá f : H D R konvex, alulról korlátos függvény. Mutassa meg, hogy a g : H R, g(x) := inf{f(x, y) y D}. függvény konvex! (A függvény alulról való korlátossága azért kell, hogy g deníciója értelmes legyen!) 2. Feladat. Igazolja, hogy a H := {f C R ([0, 1]) 3f(1) + f(0) = 0, f(1/3) 2} halmaz konvex! Határozza meg a cone(h) és lin(h) burkokat! 3. Feladat. Tekintsük az A := conv{(0, 0, 0), (1, 2, 0), (0, 1, 2), (2, 0, 1)} és B := {(1, 1, 1)} halmazokat R 3 -ban. a.) Határozza meg az A halmaz poliéder el állítását! b.) Adja meg az összes olyan ϕ : R 3 R folytonos lineáris függvényt, melyekre teljesül! sup ϕ(x, y, z) inf ϕ(x, y, z) (x,y,z) A (x,y,z) B (5+5 pont) 4. Feladat. Legyen X lineáris tér és D X konvex halmaz! Mutassa meg, hogy ekkor az halmaz is konvex! A D := {x X létezik λ ]0, 1] : λx D}
2. zárthelyi dolgozat 1 Konvex optimalizálás, 2014. december 16. Összesen 25 pont szerezhet. Az értékelés független a feladatok megoldásának sorrendjét l. 1. Feladat. Optimalizálja az f : R 2 R, f(x, y) := 3x + 2y függvényt az y 2 3 (x 1) 2 és y 1 x feltételek mellett! (10 pont) 2. Feladat. Számolja ki deníció alapján a g : R R, g(x) := 2x χ R (x)+x 3 χ R+ {0}(x) függvény iránymenti deriváltját és szubgradiensét minden értelmezési tartománybeli pontban! 3. Feladat. Határozza meg a. 2 : R 2 R + {0}, (x, y) 2 := x 2 + y 2 függvény iránymenti deriváltját és szubgradiensét minden (p, q) R 2 pontban! 4. Feladat. Igazolja, hogy a k : [ 1, + [ R, k(x) := x + 1 függvény konvex! Szubdierenciálható-e k a p 0 = 1, illetve q 0 = 2 pontokban? (A függvény konvexitásának igazolásához bármilyen, arra alkalmas módszer felhasználható!) Szorgalmi feladatok 1. Feladat. Legyen X lineáris tér, A X nemüres konvex halmaz. Mutassa meg, hogy bármely x 0 core(a), y A és 0 < λ 1 esetén λx 0 + (1 λ)y core(a). (1 pont) 2. Feladat. Legyen X lineáris tér. Mutassa meg, hogy ha A X nemüres konvex halmaz, akkor core(a) = core(core(a)) Mely irányú tartalmazás marad érvényben, ha az A halmazról nem tesszük fel, hogy konvex? (1 pont) 3. Feladat. Ábrázolja a második feladatban szerepl g függvény esetén a p g(p) halmazérték leképezés értékkészletét! (1 pont) (1 pont) 1 Jelölések: R := {u R u < 0}, R + := {u R u > 0}, illetve ha A R, akkor χ A (x) = 1, ha x A és χ A (x) = 0, ha x R \ A. (Azaz χ A jelöli az A halmaz karakterisztikus függvényét.)