Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c) = cos Megoldás: a) Implicit, harmadrendű, elsőfokú (azaz lineáris), inhomogén. b) Eplicit, másodrendű, nincs foka. c) Eplicit, másodrendű, másodfokú, homogén.. Oldjuk meg a következő (szétválasztható) differenciálegenleteket, illetve kezdetiértékproblémákat! a) + = 0 b) (+) 3 = 0, (4) = 6 c) (+ ) +(+ ) = 0 d) + = 0 az ( ) = 0, illetve az (3 ) = kezdeti feltétellel 5 Megoldás: a) = vag ± d = d ln =ln +C ln =lnec = A, ahol A R tetsz. =± A (A R) b) d = = 3 + 3 + d vag 0 ln = 3 ln + +C =A + 3/ c) Az (4) = 6 kezdeti feltétel miatt 6 = a 9 3/ = 7A A = 3 = 9 (+)3/ (mert = 4 körnezetében + > 0, tehát + = +). + = + + d = + d arctg() = ln(+ )+C
Mat. A3 9. feladatsor/ 06/7, első félév ( = tg ) A ln(+ )+C = tgln, + d) ahol A = e C > 0. d = vag 0 = d ln = +C =Ae, ahola = ±e C tetszőleges nem 0 szám, vaga = 0 a szinguláris megoldás miatt. Az( ) = 0 kezdeti feltételt az 0 megoldás, az ( 3 5 ) = kezdeti feltételt az = e 4/5 e megoldás elégíti ki. 3. Ha a differenciálegenlet = g(/) alakra hozható, akkor z = / függvén bevezetésével szétválaszthatóvá tehető. Oldjuk meg ennek segítségével az alábbi differenciálegenleteket! a) =, () = b) = e / +, () = 0 Megoldás: a) A differenciálegenlet = = ( ) ( ) alakra hozható, íg alkalmazhatjuk a z =, azaz z = helettesítést, amelnél z + z =, tehát a differenciálegenlet z +z = z z. z z +z = (A kezdeti érték közelében,, és íg z is pozitív, tehát nem kell foglalkozni azzal, hog osztottunk-e 0-val.) z z z + = z z + dz = d ln(z +) = ln +C = ln ec z + = A + =A (A 0) =± A Az () = feltételből A =, és =.
Mat. A3 9. feladatsor/3 06/7, első félév b) A differenciálegenlet = e / + helettesítésnél = z +z. alakra hozható. z = /, azaz = z z +z =e z +z z e z = e z dz = d e z =ln +C z = ln( ln C)) Mivel az = körnékén érvénes megoldást keressük, a z = ln( ln C) lesz a megfelelő. Ebből = ln( ln C). Az () = 0 feltételt a C = elégíti ki: = ln( ln). 4. Oldjuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegenleteket! a) = b) + = e c) +cos = sincos, (0) = d) (+) = 3 Megoldás: Bármelik egenletet megoldhatjuk multiplikátorral vag állandók variálásával is. a) Multiplikátorral: Az + p() = q() egenletet e P() -szel kell beszorozni, ahol P () = p(). Ekkor az egenlet bal oldala ( e P() ) lesz. p() =, P() = ln = ln, ep() =. = ( ) = = d = +C = 3 +C Állandók variálásával: A homogén differenciálegenlet: = 0 = vag 0 d = d ln =ln +C =A (A R)
Mat. A3 9. feladatsor/4 06/7, első félév Az inhomogén megoldását = A() alakban keressük. =A ()+A() A ()+A() A() = A () = A() = d = +c = 3 +c. b) Multiplikátorral: p() =, P() =, e P() = e. e +e = (e ) = e = d = +C =e (+C) = e +Ce. (Az állandók variálásánál a homogén d.e. megoldása A e lenne, az inhomogén megoldását = A()e alakban keressük, és A()-re +c jön ki.) c) A megfelelő homogén differenciálegenlet, + cos = 0, azaz = cos (ha 0), és ebből ln = C sin azaz = Ae sin, ahol A R tetszőleges. Az inhomogén differenciálegenlet megoldását az állandó variálásával = A()e sin alakban keressük. Behelettesítve az eredeti egenletbe: A ()e sin A()(cos)e sin + A()e sin cos = sincos, azaz A ()e sin = sincos, amiből A () = e sin sincos. Ebből A() = e sin sincosd = ue u du, ha u = sin helettesítést végzünk. Ez parciális integrálással: ue u du = ue u e u du = (u )e u + c = ( + sin)e sin + c, és = A()e sin = + sin + ce sin. A kezdeti feltételt az = +sin+e sin függvén elégíti ki. (Ha multiplikátorral oldjuk meg, akkor e sin -szel kell beszorozni a differenciálegenletet.) d) A megfelelő homogén differenciálegenlet = + alakra hozható ( 0 esetén), és a megoldása ln = + ln + C, azaz ln = lne e C, tehát = Ae. Az inhomogén differenciálegenlet megoldását az állandó variálásával = A()e alakban keressük. Behelettesítés után A () e +A()e +A() e (+)A()e = 3, azaz A() = A () = e e, és íg e e d = e +e e d = e +c, tehát = +ce.
Mat. A3 9. feladatsor/5 06/7, első félév (Ha multiplikátorral oldjuk meg, az + = alakú d.e.-ből kell kiindulnunk, itt p() = + = +, és + d = +ln +C, tehát e +ln = e -szel kell beszoroznunk a d.e.-et.) 5. Ellenőrizzük, hog az alábbi differenciálegenletek egzaktak-e. Ha nem, keressünk alkalmas multiplikátort, amellel egzakttá tehetők, és úg oldjuk meg! a) 3 3 +( 3 ) = 0 b) ln +e ++( +e ch) = 0 c) ( )+( ) = 0 d) (sin )+ cos = 0 e) ( +)+( ) = 0 f) +cos (sin) = 0, () = 0 g) e +(e e ) = 0 Megoldás: a) P = 3 3, P = 6, Q = 3, Q = 6. Mivel P = Q, a d.e. egzakt, és olan u(,) függvént kell keresnünk, amelre u = P = 3 3 és u = Q = 3 3. u = 3 3 d = 4 4 3 +g(), u = 3 + g () = 3 g () = g() = 3 3 + c. Tehát u = 4 4 3 + 3 3 megfelel, és a differenciálegenlet megoldása az 4 4 3 + 3 3 = C implicit egenlettel megadott függvén, tetszőleges C konstansra. b) P(,) = ln + e +, Q(,) = + e ch, P = + e, Q = + e. Mivel P = Q, a differenciálegenlet egzakt, és a megoldása u(,) = C, ahol u a (P(,),Q(,)) vektor-vektorfüggvén egik potenciálfüggvéne. u = P-ből u = ln +e ++g() valamel g() függvénre, és u = +e +g () = +e ch, tehát g() = sh, és ezzel u(,) = ln + e + sh megfelelő. A differenciálegenlet megoldását az ln+e + sh = C implicit egenlet adja meg tetszőleges C konstanssal. c) P =, P =, Q =, Q =, P Q, tehát a d.e. nem egzakt. P Q =, és P Q Q = ( ) = csak -től függ, ezért van -től függő M() multiplikátor, amelre lnm() = d = ln + c, azaz M() = e ln = megfelel. ( )+( ) = 0 már egzakt: itt P =, P =, Q =, Q = P = Q. Keresünk eg olan u(,) függvént, amelre u = és u =. Ilen az u = ln +. Tehát a d.e. megoldása ln + = C. d). megoldás: P(,) = sin, Q(,) = cos, P = sin, Q = sin, P Q tehát az egenlet nem egzakt. = sin csak -től függ, tehát van M() Q cos multiplikátor. Erre lnm() = sin cos d = ln(cos)+c = ln cos +c,
Mat. A3 9. feladatsor/6 06/7, első félév tehát M() = cos megfelelő. Ezzel végigszorozva az egenletet: sin cos cos + cos = 0, ami már valóban egzakt. Az új egenlethez tartozó u(,) függvénre u = sin cos cos, és u =, aminek az egik megoldása u = tg, tehát a differenciálegenlet megoldása az tg = C, azaz = sin+ccos. cos cos cos. megoldás: A differenciálegenlet lineáris, és a hozzá tartozó homogén lineáris cos + sin = 0 differenciálegenlet megoldására ln = sin cos d = lncos + C, amiből = Acos. Az inhomogén differenciálegenlet megoldása = A()cos alakú, ahol A ()cos A()sincos + A()cossin =, azaz A() = cos d = tg+c, és íg = sin+ccos. e) A differenciálegenlet nem egzakt, P Q 4 = Q ( ) = 4 csak -től függő, 4 és íg ad eg M() multiplikátort, amelre lnm() = d = ln( )+ c = ln ( ) + c, vagis (c = 0-val) M() = ( ). Ezzel végigszorozva a differenciálegenletet: ( +) ( ) + = 0. Ennek az egzakt differenciálegenletnek a megoldását annak az u(, ) függvénnek a segítségével tudjuk kifejezni, amelre u = ( +) ( ) és u =. Ennek az egik megoldása u = +, íg a differenciálegenlet megoldására + = C, azaz = ± C( ). f) A differenciálegenlet egzakt, az u = +cos, u = sin feltételeket kielégítő egik u függvén +cos, tehát a differenciálegenlet általános megoldása +cos = C. Az () = 0 feltétel + = C esetén teljesül ( =, = 0-t helettesítünk az egenletbe), tehát +cos =, azaz = arccos.
Mat. A3 9. feladatsor/7 06/7, első félév g) A differenciálegenlet nem egzakt, P = e, Q = e, és P Q = Q e e e = nem csak -től függ, tehát nincs M() multiplikátor. e = e Viszont Q P = csak (legföljebb) -tól függ, tehát N() multiplikátor P e létezik: lnn() = d = +c miatt N() = e megfelel. A differenciálegenletet ezzel végigszorozva az e +(e ) = 0 egzakt differenciálegenletet kapjuk. Ennek megoldását az u(,) = e függvénből az e = C implicit egenlet adja.