Pogáts Feren A sík egyevágósági és... Pogáts Feren A sík egyevágósági és tengelyes tükrözések A ímen foglltk tárgylás során támszkodni fogunk Hjós György: Bevezetés geometriá (TANKÖNYVKIADÓ, Budpest, 1960). tnkönyvének témánkt érintő foglmir és tételeire. Így különösen z első fejezet.3., 3.4 és 3.5., 6.1-5. szkszir, vlmint második fejezet 11. és 1. prgrfusir. A szokásos jelöléseken túl, lklmzzuk még z láikt is:,,, (ltin kisetűk) nem sk egy-egy egyenest jelölnek, hnem jelenthetik jelölt egyenesre vontkozó tükrözést is. jelöli z egyenesre, mjd ezt követően egyenesre vontkozó tükrözést. Szóhsználtunkn ez: két tükrözés szorzt, egymásutánj. O, A, B, (ltin ngyetűk) nemsk egy-egy pontot jelölnek, hnem jelenthetik jelölt pontr vontkozó tükrözést is. BA jelöli z A pontr, mjd ezt követően B pontr vontkozó tükrözést. Ez eseten szólhtunk két tükrözés szorztáról, egymásutánjáról. F(0, φ) jelöli z O közepű, φ előjeles mértékű, pont körüli forgtást. T eltolást jelöl, hosszát T. Az eltolást z irányított AB szksszl is megdhtjuk. I z identikus leképezést, zt z egyevágóságot jelöli, melyen minden pont képe önmg. (Ez tehát z egyik legfontos (egyevágósági) trnszformáió, semmittevés). H Φ, Ψ, Π, (görög ngyetűk) egy-egy egyevágóság, kkor Φ(P)=P zt jelenti, hogy P pont fixpontj e trnszformáiónk. A ΨΦ szorzt zt z egyevágóságot jelöli, melyet Φ, mjd ezt követően Ψ egyevágóság szolgáltt. (A Ψ ΨΨ szorztot jelöli.) A Φ -1 Φ egyevágóság inverzét jelöli, vgyis zt távolságtrtó leképezést, mely Φ(P) képpontokt z eredeti P pont viszi vissz, zz Φ -1 Φ = Φ Φ -1 = I. 1
Pogáts Feren A sík egyevágósági és... 1. Forgtások, eltolások 1. TÉTEL: Az egymást O pontn metsző és egyenesekre vontkozó tükrözésszorzt z O pont körüli AOB irányított szögű elforgtás, hol A, ill. B z, ill. egyenesek egy-egy O tól különöző pontj, vgyis jelöléseinkkel =F(O;ϕ =AOB ). BIZONYÍTÁS: Jelölje P sík egy tetszőleges P pontjánk z egyenesre vontkozó tükörképét, míg P P -nk re vló tükörképét (1. ár). Azt fogjuk megmuttni, hogy OP=OP, és POP (irányított) szög nem függ P megválsztásától. A tükrözés távolságtrtó voltáól z (1) OP=OP =OP, A szögtrtó voltáól pedig z irányított szögekre felírt P () POA =AOP, P OB =BOP O egyenlőségek következnek. Az irányított szögekre érvényes P POP =POA + AOP + P OB +BOP P B zonosságól, () felhsználásávl. POP =AOP +P OB =(AOP +P OB )=AOB 1. ár és ezzel izonyítottuk állításunkt. Tételünk megfordítás is igz:. TÉTEL: A sík minden F(O;φ) O közepű, φ irányított szögű elforgtás végtelen sokféleképpen dhtó meg két, z O pontr illeszkedő, egyenesekre vló tükrözésszorzttl, hol -t -e z O körüli, előjeles φ/ mértékű forgás viszi. BIZONYÍTÁS: A két egyenest jelzett módon válsztv, z 1. TÉTEL szerint z F(O;φ=AOB ) forgást kpjuk. A két egyenes egyikét, például -t tetszés szerint válszthtjuk, z O pontr illeszkedő egyenesek közül. 3.TÉTEL: Az egymássl párhuzmos és egyenesekre vontkozó tükrözésszorzt egy T eltolás, melynek hosszát és irányát két egyenest merőlegesen összekötő AB irányított szksz kétszerese dj, zz T=AB. BIZONYÍTÁS: Legyen sík egy tetszőleges P pontjánk z egyenesen lévő tlppontj A, egyenesen pedig B (. ár). A tengelyes tükrözés távolságtrtó és félsíkváltó tuljdonságáól következik, hogy z irányított szkszokr felírt (1) PA=AP, P B=BP egyenlőségek teljesülnek. Mivel z irányított egyenesre illeszkedő, nem feltétlenül különöző pontokr PP =PA+AP +P B+BP irányított szkszokkl zonosság, ezért (1) mitt PP =AP +P B=(AP +P B)=AB, mi állításunkt igzolj, hiszen AB irányított szksz nem függ fentiek szerint P pont megválsztásától. A tétel lái megfordítás is igz: P A. ár 4. TÉTEL: Minden T eltolás végtelen sokféleképpen dhtó meg két párhuzmos, egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl. P B P
Pogáts Feren A sík egyevágósági és... BIZONYÍTÁS: Legyen z egyenes merőleges z eltolás irányár, és vele párhuzmos, tőle T / távolságr hldó egyenest T eltolássl egyező irányú eltolássl kpjuk z egyenesől. Elői tételünk szerint T =, és mivel T -re merőleges válsztás tetszőleges volt, ezzel tételünket izonyítottuk. 3
Pogáts Feren A sík egyevágósági és.... A középpontos tükrözések 5. TÉTEL: Két (különöző),, egyenesre vontkozó tükrözésszorzt kkor és sk kkor kommuttív, zz =, h két egyenes merőleges egymásr. BIZONYÍTÁS: =, kkor és sk kkor, h (1) ()=(), zz két oldlon álló tükrözésszorztot követő, egyenesre vló tükrözésnek ezekkel vló szorzt egynz z egyevágóság. A leképezések sszoitív tuljdonság mitt (1) kkor és sk kkor áll, h () ()=(), zz (3) I = = (). Legyen * egyenes z egyenesnek egyenesére vló tükörképe (3. ár). * * 3. ár A 4. és. TÉTELeink szerint eltolás vgy forgtás, z * eltolás vgy forgtás, zz = *, mivel (3)-ól z sszoitívitást is ismételten felhsználv (4) =()=()=( * )= * )= * ()= * I= *. Ám z egyenes pontosn kkor zonos tükörképével, h z egyenes tengely (vgyis = ), vgy pedig z merőleges egyenesre. Mivel feltettük, hogy és két (különöző) egyenes, ezért sk z utói eset lehetséges. DEFINICIÓ: Az egymásr merőleges, egyenesekre vontkozó tükrözésszorztot két egyenes közös O metszéspontjár vontkozó tükrözésnek (O közepű, 180 -os forgtás), röviden középpontos vgy entrális tükrözésnek nevezzük. MEGJEGYZÉSEK: (1) A. és z 5. TÉTEL szerint minden O közepű középpontos tükrözés végtelen sokféleképpen dhtó meg z O r illeszkedő két, egymásr merőleges egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl. () Az 5. TÉTEL izonyítás során eláttuk zt is, hogy két, nem feltétlenül különöző, egyenesre vontkozó tükrözésszorzt kkor és sk kkor kommuttiv, h =, vgy. (3) Az = kkor és sk kkor áll, h ()()=()(), zz, h z sszoitivitást töszörösen felhsználjuk l oldli szorztr, úgy ()=(I)=(I)==I=()()=(). Ezek szerint egyrészt ármely két, nem feltétlenül különöző, egyenesre () -1 =, vgyis z () tükrözésszorzt inverze, másrészt pedig () tükrözésszorzt kétszeri, egymás utáni lklmzás pontosn kkor dj z identikus leképezést, h = vgy, h tehát mg z identitás (=) vgy =(O; π ). 6. TÉTEL: Legyen O 1 és O két középpontos tükrözés. Az O O 1 tükrözésszorzt eltolás, mégpedig O 1 O vel. 4
Pogáts Feren A sík egyevágósági és... BIZONYÍTÁS: Legyen egyenes z O 1 O egyenes (h O 1 =O, kkor z O 1 -re illeszkedő tetszőlegesen válsztott egyenes lesz ), és z legyen z O 1 -en -re merőleges, pedig z O -en emelt, ugynsk -re merőleges egyenes (4. ár). A. és z 5. TÉTEL szerint O 1 =, O =, zz O 1 O O O 1 =()()=()=(I)=(I)=, mi viszont 3. TÉTEL szerint O 1 O eltolás. 4. ár 7. TÉTEL: Minden T eltolás végtelen sokféleképpen dhtó meg két O 1, O pontr vontkozó O O 1 tükrözésszorzttl. BIZONYÍTÁS: H sík tetszőlegesen válsztott O 1 pontjához zt z O pontot válsztjuk, melyre O 1 O =T, kkor elői tételünk mitt O O 1 =T. 8. TÉTEL: A nem feltétlenül különöző O 1, O, O 3 pontokr vontkozó O 3 O O 1 tükrözésszorzt mindig egyetlen O pontr vontkozó tükrözéssel zonos. O O 1 5. ár O 3 O BIZONYÍTÁS: A 7. TÉTEL szerint z O O 1 tükrözésszorzt dt eltolást z O 3 O tükrözésszorzttl is megdhtjuk, h z O pontot úgy válsztjuk meg, hogy z O 3 O = O O 1 legyen (5. ár). Eme válsztásr z sszoitivitást töszörösen felhsználv O 3 O O 1 =O 3 (O O 1 )=O 3 (O 3 O)=(O 3 O 3 )O=IO=O. 5
Pogáts Feren A sík egyevágósági és... 3. A súszástükrözések DEFINICIÓ: Az egymássl párhuzmos, egyenesekre, mjd z ezeket követő, rájuk merőleges egyenesre vontkozó () tükrözésszorztot (vlódi) súszástükrözésnek, vgy súszttv tükrözésnek nevezzük (6. ár). A B 6. ár MEGJEGYZÉSEK: (1) A párhuzmos, egyenespárr vló tükrözésszorzt AB eltolás, z ezt követő, egyenesre vló tükrözés pedig z eltolássl egyállású egyenesre vló tükrözés. A 6. ár súszástükrözés tehát definiió szerint egy eltolás, és egy ezzel egyállású egyenesre vló tükrözés egymásutánj. () A merőleges egyenesekre vontkozó tükrözésszorzt kommuttívitás mitt, felhsználv z sszoitív tuljdonságot is ()=()=()=()=()=(), vgyis súszástükrözést dó két trnszformáió (eltolás és tükrözés) sorrendje felserélhető. (3) A súszástükrözés z egyik leghétköznpi egyevágóság. Miót z emer kétágú és tlpr állt, mást sem tesz, mint np mint np ezt gykorolj. (Lásd 7. ár: Fehér tenger homokos prtján sétáló ennszülött lányomát, mint kosm felé trt.) 7. ár MEGÁLLAPODÁS: A tengelyes tükrözést is súszástükrözések közé soroljuk és nem vlódi, illetve vlódi súszástükrözésről eszélünk szerint, hogy = vgy (6. ár). E megállpodás szerinti szóhsználttl élve teljesül 9. TÉTEL: Bármely három, nem feltétlenül különöző,, egyenesre vontkozó tükrözésszorzt (vlódi vgy nem vlódi) súszástükrözés. BIZONYÍTÁS: H z egyenesek között vn két zonos, úgy 1., = esetén ()=()=I=;., = esetén =()=()=I=; 3., = esetéen pedig, h * jelöli egyenesnek z egyenesre vontkozó tükörképét, úgy = * = *, tehát =()=( * )=() * =I * = *, vgyis most vizsgált eseteken igz z állítás. A továikn feltesszük, hogy z egyenesek különözőek. Ekkor kölsönös helyzetüket tekintve vgy vn közöttük két párhuzmos vgy páronként metszik egymást. 8. ár 6
Pogáts Feren A sík egyevágósági és... Az első eseten z egyenesek vgy egymássl párhuzmosk, vgy közülük pontosn két egyenes párhuzmos ( és ezeket metszi hrmdik; 8. ár). A második eseten három egyenes vgy ugynn pontn, vgy páronként különöző pontokn metszi egymást (9. ár). 7 9. ár Először zt fogjuk igzolni, hogy h három egyenes egy sugársorhoz trtozik (zz párhuzmosk, vgy egy pontr illeszkednek), kkor =d, hol d egyenest ugynz z eltolás (h ), illetve forgtás (h ) viszi egyenese, mint z egyenest -e. E válsztásr ugynis =d első négy tételünk mitt, és így ()=(d)=()d=id=d. A még nem tárgylt két esetet ( két egyenesnek vn közös pontj, mi mindhármójuknk nem pontj) egyszerre intézhetjük el. A egyenest z és egyenesek leglá egyike metszi, különen három egymássl párhuzmos egyenesünk lenne. Feltehetjük, hogy z és egyenesek metszik egymást, mert ellenkező eseten z egymást metsző és egyenesekre szorítkozv ugynúgy izonyítnánk, mint így. Legyen z, egyenesek közös pontj M, és illesszünk z M-re egy, egyenesre merőleges, f egyenest (10. ár). Jelölje e zt z M ponton áthldó egyenest, melyet ugynz z M pont körüli forgtás visz z f egyenese, mint z egyenest -e. E válsztásr =fe, vgyis (1) ()=((fe)=(f)e. Jelölje N z egymásr merőleges és f egyenesek közös pontját. Mivel f tükrözésszorztot ármely két, egymást z N-en metsző, M merőleges egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl előállíthtjuk, ezért z ilyenek közül válsszuk meg zt g, h párt, melyre h e N e teljesül. Ezzel válsztássl f=hg, h f g 10. ár és (1) így lkul: () ()=(f)e=(hg)e=h(ge). Az e és g egyenesek párhuzmosk, hiszen ugynrr z egyenesre, h-r merőlegesek (és különöznek, mivel e z M pontr, g pedig z M-től különöző N pontr illeszkedik), zz () vlódi súszástükrözés. Bizonyításunkól z is kiderült, hogy három, nem feltétlenül különöző egyenesre vontkozó tükrözésszorzt pontosn kkor vlódi súszástükrözés, h vn olyn pont, melyik pontosn két egyeneshez trtozik. Bizonyításunk konstruktív is n z értelemen, hogy áltl megdhtó (szerkeszthető) z z eltolás és z ezzel párhuzmos tengely, melyek meghtározzák tétel szerinti súszástükrözést. A sík egyevágóságink tükrözésszorzttl eddig tárgylt eseteien fixpontok hlmz rendre: ) h z egyevágóság z I identitás, úgy sík minden pontj; ) h z egyevágóság z egyenesre tükrözés, úgy z egyenes pontji;
Pogáts Feren A sík egyevágósági és... ) h z egyevágóság (vlódi) eltolás, úgy z üres hlmz; d) h z egyevágóság (vlódi, zz nem teljes szög egész töszörösével történő) forgtás, úgy egyetlen pont, forgásentrum; e) h z egyevágóság (vlódi) súszástükrözés, úgy z üres hlmz. Az első négy eseten per definitionem igz z állítás. Az e) eseten P fixpont, h (1) (())(P)=P. Ez kkor és sk kkor teljesül, h () (()) (P)=(())(P)=P. Mivel és, ezért (()) =(())(())=()()()=()()()= =(()()=(I)()=() =(T), ezért () pontosn kor áll, h (T) (P)=P. Ám T eltolás négyzetének (vgyis T T nek) skis kkor vn fixpontj, h T nem vlódi eltolás, h tehát T z identikus leképezés, zz =, és így ()= nem vlódi súszástükrözés. Az eddigiek lklmzásként eizonyítjuk: A háromszög oldlfelező merőlegesei egy ponton mennek át. BIZONYÍTÁS: A 11. ár jelöléseivel z, és oldlfelező merőlegesekre vontkozó tükrözésszorzt vlódi vgy nem vlódi súszástükrözés. Mivel ()(B)=B, zz B fixpontj tükrözésszorztnk, hiszen (B)=C, (C)=A és (A)=B, ezért nem vlódi súszástükrözés. Az oldlfelező merőlegesek páronként metszik egymást, ezért z előiek szerint egy ponton kell átmenjenek. B A 11. ár C 8
Pogáts Feren A sík egyevágósági és... 4. Eltolások, forgtások szorzt H,, és d négy nem feltétlenül különöző egyenes, kkor d tükrözésszorzt z sszoitivitás mitt (d)() lkn is írhtó. A nyert két tényező két tükrös szorztok, tehát eltolások vgy forgtások. Ilyen szorztokról szól 10. TÉTEL: ) Két, T 1, T eltolás T T 1 szorzt T eltolás; ) T eltolás és F(O;φ ) forgtás szorzt új középpont körüli ugynolyn szögű forgtás; ) Két F 1 (O 1 ;φ 1 ), F (O ;φ ) forgtás F F 1 szorzt, h φ 1 + φ =π n, n Ζ, kkor eltolás, h φ 1 + φ π n, kkor φ 1 + φ szögű forgtás O 1 =O esetén O 1 körül, egyéként pedig új O középpont körül. A tételen dott egyevágóságokról feltettük, hogy egyikük sem z identitás, tehát vlódi eltolásokról, forgtásokról, illetve ilyenek szorztáról szól tételünk. BIZONYÍTÁS: ) A 7. TÉTEL szerint T 1 és T eltolások megdhtók z (O O 1 ) és ( O 3 O ) tükrözésszorztokkl, így T T 1 = ( O 3 O ) ( O O 1 ) = O 3 ( O O ) O 1 = O 3 I O 1 = O 3 O 1 = T. O e f O T 1 T ϕ O O 1 O 3 T T ϕ O* 1. ár ) A. és 4. TÉTEL szerint mind T eltolás, mind z F(O;φ ) elforgtás két egyenesre vló tükrözésszorzttl előállíthtó, és mindkét trnszformáión z egyik tükörtengely z O entrumr illeszkedő T állásár merőleges egyenes legyen (1. ár). Az F T tükrözésszorzt tényezőit z, illetve tükrözésszorztokkl állítjuk elő, hol is = T Ú, és t z - T-vel egyező irányú eltolás viszi, továá egyenes z egyenesnek z O pont körüli φ Ú szögű elforgtottj. Így F T = ( )( ) = ( ) = ( I ) =. Mivel és egyenes φ Ú π n mitt metszi z egyenest, ezért metszi z -vl párhuzmos egyenest is egy O * pontn, és ezért -t -e z O * körüli ugynsk φ Ú szögű forgtás viszi, tehát F T = = F * (O * ; φ ). H z F forgtást követi T eltolás, úgy ezeket z egyevágóságokt most z e, illetve f tükrözésszorztok dják, melyeken z e, illetve f egyenes, illetve egyenesnek z egyenesre vontkozó tükörképe (1. ár). Ezek szerint 9
Pogáts Feren A sík egyevágósági és... T F= ( f )( e ) =f ( )e=f ( I )e=fe. Az f mitt, mivel e metszi -t, ezért metszi vele párhuzmos f egyenest is z O pontn és e-t z f-e z O pont körül ugynz φ Ú szögű forgtás viszi, mint e-t z -. ) Ugynsk. TÉTEL szerint z F 1 és F forgtások metsző egyenesekre vontkozó tükrözésszorztokkl dhtók meg, és két forgtást előállító tükörtengelyek között legyen ott z O 1, O forgásközéppontokr illeszkedő egyenes (13. ár). H z egyenest úgy válsztjuk meg, hogy őt z O 1 körüli O ϕ+ϕ 1 ϕ ϕ 1 O O 1 13. ár φ 1 / szögű forgás vigye egyenese, egyenest pedig úgy, hogy egyenest z O körüli φ / szögű forgás vigye -e, kkor e válsztásokkl F 1 ( O 1 ; φ 1 ) =, F ( O ; φ ) =, zz F F 1 = ( ) ( )= ( )= ( I )=. Az és (nem feltétlenül különöző) egyenesekre vló tükrözések szorzt eltolást, vgy pont körüli forgtást d. H két forgásközép O 1 és O zonosk (ekkor egyenes tetszőlegesen válszthtó z O 1 -re illeszkedők közül), kkor (φ 1 + φ )/ szögű, O 1 körüli forgtás viszi z egyenest -e, így F F 1 ==F(O 1 ; φ 1 + φ ), mely F forgtás szerint vlódi vgy sem, hogy φ 1 + φ π n vgy φ 1 + φ = πn (n Ζ ) melyike teljesül. H z O 1 és O pontok különözőek, kkor rájuk illeszkedő illetve egyenesek pontosn kkor metszik egymást, h φ 1 /+ φ / π n ( n Ζ ), és közös O pontjuk körüli (φ 1 + φ )/ szögű forgtás viszi z egyenest -e. Ez eseten tehát F F 1 = = F( O; φ 1 + φ ) (13. ár). H most ( φ 1 + φ )/ = π n, de φ 1 / π k ( k Ζ ), úgy z és egyenesek párhuzmosk (14. ár) és F F 1 = = T. H pedig φ 1 / = πk, úgy φ / = πm, vgyis z és egyenesek zonosk, így F F 1 = = = I. és ezzel tételünket igzoltuk. ϕ 1 ϕ O 1 O 1 T 14. ár MEGJEGYZÉSEK: (1) Az egyes esetek izonyításin megszerkeszthettük zokt z egyeneseket, melyekre vló tükrözések egymásutánj z eredő egyevágóságot dj. () Tételünkkel zt is igzoltuk, hogy ármely négy (nem feltétlenül különöző) egyenesre vontkozó tükrözésszorzt mindig két (nem feltétlenül különöző) egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl zonos. Eől eredően, h t 1, t, t 3,, t n leglá négy, nem feltétlenül különöző egyenese síknk, kkor z áltluk képzett (1) t n t n-1 t 3 t t 1 n tényezős tükrözésszorzt legfelje három ( nem feltétlenül különöző) egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl zonos, mivel tételünk szerint t 4 t 3 t t 1 = s s 1, mi áltl z (1)-eli n-tényezős szorzt n- tényezőssé válik. Ez z eljárás mindddig ismételhető, míg mrdó tükrözésszám leglá négy. 10
Pogáts Feren A sík egyevágósági és... A sík egyevágóságink tengelyes tükrözésszorztokkl vló előállíthtásáról szólnk z lái tételek. 11. TÉTEL: H sík vlmely egyevágóságánk vn három, nem kollineáris fixpontj, kkor minden pont fixpont, vgyis z egyevágóság z I identitás. BIZONYÍTÁS: Legyen síkot önmgá vivő vlmely Φ egyevágóságánk három, nem egy egyenesre illeszkedő fixpontj z A, B és C, vgyis A = Φ( A )= A; B =Φ(B)=B; ( ) C = Φ( C )= C (15. ár). Indirekt okoskodunk. Tegyük fel, hogy tétel állításávl ellentéten vn oly síkeli D pont, mely nem fixpontj Φ egyevágóságnk, zz D Φ ( D )= D. B= ϕ( B)= B' B D A= ϕ( A)= A' 15. ár A C' C C= ϕ( C)= C' 16. ár ϕ( D)= D' B'=B C A'=A =A C Az egyevágóság távolságtrtó, zz CD = C D = C D, BD = B D = B D, AD = A D = A D, ( ) feltétel mitt, és így z A, B és C pontoknk DD szksz felezőmerőlegesén kell lenniök, mi ellentmond rájuk tett megszorításnk. 1. TÉTEL: A sík minden egyevágóság legfelje három (tengelyes) tükrözésszorzttl előállíthtó. BIZONYÍTÁS: Elegendő zt megmuttnunk, hogy h z egyevágóság sík nem kollineáris A, B, C pontjihoz z A ', B ' és C ' pontokt rendeli, kkor ez legfelje 3 egyenesre vontkozó tükrözésszorzttl elérhető. Ugynis, h Φ egyevágóság nem kollineáris pontpárr, z ezek Ψ dt B A, B, C pontokhoz z A ' = Φ (A ), B ' = Φ ( B ), C ' = Φ (C ) pontokt rendeli, kkor tekintsük zt Ψ ponttrnszformáiót, mely sík Φ ( A ), Φ ( B ) és Φ ( C ) pontjit helyenhgyj, de sík ármely más P pontjához Φ egyevágóság dt P ' = Φ ( P ) képét rendeli, zz Ψ: P Φ ( P ), Ψ ( P ) = Φ ( P ) = P ' A Ψ leképezés egyevágóság, mivel ármely P, Q Ψ ( P ) = Φ ( P ) = P ' és Ψ ( Q ) = Φ ( Q ) = Q ' képeinek távolság, Φ egyevágóság voltáól következően, PQ szksz hosszávl egyenlő. A Ψ leképezésnek vn három, nem kollineáris fixpontj, ezért elői tételünk szerint Ψ z identitás. H tehát legfelje három tükrözés egymásutánj nem kollineáris A, B, C pontokt Φ dt képeie viszi, kkor ez tükrözésszorzt sík minden pontját Φ dt képée viszi. Legyen most z A, A' pontokt egymás vivő tengely z egyenes (16. ár). H A=A', kkor nins szükségünk erre z egyenesre, illetve rá vontkozó tükrözésre. Tükrözzük síkot z egyenesre. A pontok tükörképét rendre A, B, és C jelölje. E tükrözés z A pontot z A'-e viszi. A B pontot B' e vivő tengelyt jelölje (h 11
Pogáts Feren A sík egyevágósági és... B =B', kkor ez tengely felesleges). Tükrözzük síkot egyenesre, és pontok tükörképét jelölje rendre A, B és C. Az A' B' = A B = A' B mitt z A' pont egyenesen vn, tehát A' = A = A. A tükrözés B pontot B pont viszi, és így tükrözésszorzt z A és B pontokt z A', illetve B' pontok viszi. H most C és C különöző pontok ( ellenkező eseten z állítás igzolásávl készen vgyunk), kkor jelöli szkszuk felező merőlegesét, úgy egyrészt ezen z egyenesen z A C =A'C = A'C és B C =B'C = B'C mitt z A' és B' rjt vn, másrészt pedig tükrözésszorzt z A, B, C ponthármst z A', B', C' ponthárms viszi. Ezzel tételünket igzoltuk. A 10. TÉTELhez fűzött megjegyzésünk szerint sík minden páros számú tényezőt trtlmzó tükrözésszorzt két tényezős szorzttá, míg pártln számú tényezőt trtlmzó tükrözésszorzt (egy vgy) három tényezős szorzttá redukálhtó. Ezekről szól 13. TÉTEL: A sík semelyik páros sok tényezőt trtlmzó tükrözésszorzt nem egyenlő egy pártln sok tényezős tükrözésszorzttl. BIZONYÍTÁS: Indirekt. Tegyük fel, hogy síknk vn olyn páros sok tényezős, zz lehetséges redukió mitt kéttényezős tükrözésszorzt, mely egy három- (vgy egy-) tényezős szorzttl zonos. (1) t t 1 = t 3 t 4 t 5 (Az (1)-en t 4 = t 5 legyen, h feltételünk egy tükrös egyevágóságról ez legyen t 3 - állítj l oldlll vló zonosságot.) Az (1) kkor és sk kkor áll, h ( t t 1 )-gyel vló szorztukr is z egyenlőség áll, zz h () I = ( t t 1 ) -1 ( t t 1 ) = ( t t 1 ) -1 ( t 3 t 4 t 5 ) = t 1 t t 3 t 4 t 5. A jo oldli öt tényezős szorzt 10. TÉTEL mitt három tényezőssé, zz vlódi vgy nem vlódi súszástükrözéssé redukálhtó, tehát (3) I = lenne, mi lehetetlen, mert jo oldli egyevágóság fixpontjink hlmz nem egyezik meg l oldliévl. MEGJEGYZÉSEK (1) A 1. és 13. TÉTELekkel sík egyevágóságit tükrözésszámuk szerint is osztályozhtjuk: 0 tükrös z I identitás, 1 tükrösek tengelyes szimmetriák, tükrösek vlódi (és nem vlódi) eltolások, pont körüli forgtások, 3 tükrösek vlódi (és nem vlódi) súszástükrözések. () A sík egyevágósági, z egymásutánisággl (szorztukkl) soportot 1 lkotnk. Tételeink szerint e soport elemei legfelje 3, nem feltétlenül különöző egyenesre vló tükrözésszorztok. Egységelem z I 1 A nem üres H hlmz elemein értelmezett egy szorzásnk mondott művelet. H minden, H r H teljesül, úgy H hlmzt e műveletre zártnk mondjuk. H minden,, H r = ( ) = ( ), kkor művelet sszoitív. H H minden eleméhez vn olyn -1 ( gyel jelölt ) elem, hogy ármely elemre -1 =, kkor műveletet invertálhtónk, z -1 elemet z inverzének, és z -1 elemet egységelemnek nevezzük, és továikn e vel jelöljük. H H hlmz rjt értelmezett szorzásr nézve zárt, sszoitív és minden elemnek vn inverze, kkor zt mondjuk, hogy H z dott műveletre nézve soportot lkot. Könnyen eláthtó, hogy soportn -1 = és -1 = -1 = e is fennáll. 1
Pogáts Feren A sík egyevágósági és... identitás, mely z egyenesre vló kétszeri tükrözés, és ármely t 3, t, t 1 egyenesre t 1-1 = t 1, ( t t 1 ) -1 = t 1 t, ( t 3 t t 1 ) -1 = t 1 t t 3. (3) A 10. TÉTEL szerint fenti soportnk vlódi részsoportját dják (nem feltétlenül különöző) két egyenesre vló tükrözésszorztok, vgyis vlódi és nem vlódi eltolások és pont körüli forgtások. Az eredeti egyevágósági soportnk e részsoport szerinti mellékosztályit két tükrös egyevágóságok (eltolások, forgtások), illetve három tükrös egyevágóságok (vlódi és nem vlódi) súszástükrözések dják, vgyis soportnk e részsoport szerinti indexe. Ugynsk 10. TÉTEL szerint z elői részsoportnk egy továi (kommuttív) részsoportját z egyállású egyenesekre vló két tényezős tükrözésszorztok, vgyis vlódi és nem vlódi eltolások dják. A 13. TÉTEL szerint definiálhtók z láik. DEFINÍCIÓ: A páros sok tényezőt trtlmzó tükrözésszorztot körüljárástrtó, míg pártln sok tényezőt trtlmzó tükrözésszorztot körüljárásváltó egyevágóságnk mondjuk. A fentiek szerint körüljárástrtó egyevágóságok egy részsoportját dják sík egyevágóságink, mely részsoport szerinti egyik mellékosztály körüljárásváltó egyevágóságokól áll. A H' H H nk (nem üres) részhlmzát H részsoportjánk mondjuk, h H' is soport H eli művelettel. H H' részsoportj H nk, kkor h H vl képzett hh' hlmzt, mi z összes H' eli elem (lról vett) h vl vló szorztánk hlmz, H nk H' részsoportj szerinti egyik l oldli mellékosztályánk nevezzük. Az összes H eli elemmel vett l oldli mellékosztály z dott H hlmznk H' részsoport szerinti l oldli mellékosztályit dják. Nem nehéz elátni, hogy H hlmz H' szerinti l oldli mellékosztályi között, h vn kettőnek közös eleme, kkor minden elemük közös, és így páronként diszjunkt (idegen) l oldli mellékosztályok egyesítése mg H. A fentiek lpján képezhető H nk H' szerinti H' h vl jelölt jo oldli mellékosztályi. A H soport rendjén elemeinek számát értjük. A mellékosztályok definíiójáól rögvest következik, hogy h H soport véges, kkor ármely H' részsoportjánk rendje osztój H rendjének. A H nk H' részsoportj szerinti mellékosztályok számát H nk e részsoport szerinti indexének mondjuk. 13