Középiskolai tanulmányok alapján átismétlend, illetve önállóan feldolgozandó anyag

Átírás

1 Mrkó Zoltán Középiskoli tnulmányok lpján átismétlend, illetve önállón feldolgozndó nyg GEOMETRI

2

3 Trtlomjegyzék Trtlomjegyzék... 3 sík egyevágósági és hsonlósági trnszformáiói... 5 Egyevágósági trnszformáiók tuljdonsági... 5 Egyevágósági trnszformáiók... 5 Egyevágóságok elállítás tengelyes tükrözések egymásutánjként... 9 Hsonlósági trnszformáiók... 9 háromszög Összefüggések háromszög oldli és szögei között Háromszög-egyenltlenség Szinusztétel Koszinusztétel Nevezetes pontok, vonlk, körök Súlyvonl, súlypont Középvonl-háromszög Mgsságvonl, mgsságpont Tlpponti háromszög Küls és els szögfelezk... 0 Szögfeleztétel... 1 Oldlfelez merlegesek, körülírt kör... Simson-egyenes... 4 Menelosz-tétel... 4 ev-tétel... 5 Euler-egyenes... 5 Euler-féle összefüggés... 7 Izogonális pont... 7 Feuerh-kör, Feuerh-tétel... 8 Heron-képlet Thlész-tétel... 3 Pitgorsz-tétel Mgsságtétel, efogótétel Poligonok Konvex sokszögek els és küls szögeinek összege Érintnégyszögek Húrnégyszögek Ptolemiosz-tétel... 4 Szályos sokszögek szögei és szimmetriái rnymetszés Szályos ötszög és tízszög szerkesztése Kör Középponti és kerületi szögek Látószög-körív Körhöz húzott érint- és szelszkszok tétele polloniusz-kör Források

4 4

5 sík egyevágósági és hsonlósági trnszformáiói Egyevágósági trnszformáiók tuljdonsági Definíió: geometrii trnszformáió ponthlmzok között értelmezett függvény. következken z lphlmz és képhlmz is ugynz sík, tárgylt trnszformáiók tehát sík pontji között létesítenek függvénykpsoltot. Geometrii trnszformáió megdáskor függvények megdásánk szempontjit kell figyeleme venni, vgyis meg kell dnunk z lphlmzt, képhlmzt, és hozzárendelési szályt. mennyien nem kötjük ki külön, geometrii trnszformáiók lphlmz sík. geometrii trnszformáiók során lklmzott legfontos foglmk: Tárgypont: z pont, melyhez hozzárendelünk ( függvények változóivl nlóg foglom). Jelölése mgyr áéé ngyetivel történik, pl.,,. Képpont: z pont, mit hozzárendelünk ( függvények helyettesítési értékével nlóg foglom). Jelölése vonássl történik, pl. pont képe. Távolságtrtás definíiój: zon geometrii trnszformáió távolságtrtó, melyen ármely két tárgypont távolság egyenl képpontjik távolságávl. definíióól következik, hogy h egy geometrii trnszformáió távolságtrtó, kkor szksz képe vele megegyez hosszúságú szksz. Szögtrtás definíiój: zon geometrii trnszformáió szögtrtó, melyen ármely szög képe z eredetivel megegyez ngyságú szög. távolságtrtó trnszformáiók z egyevágósági trnszformáiók, míg szögtrtó trnszformáiók hsonlósági trnszformáiók. Mindkét típussl lente részletesen fogllkozunk. távolságtrtásól következik szögtrtás, és hogy egyenes képe egyenes. Fixpont: olyn pont, melynek képe önmg. Hsonlón z olyn lkztot, melynek képe önmg, fixlkztnk nevezzük. Invriáns lkzt: olyn lkzt, melynek képe önmg, de nem minden pontj fix. Körüljárási irány: ármely sokszöget két lehetséges irány tudunk körüljárni: megállpodás szerint z órmuttó járásávl ellentétes irányt tekintjük pozitívnk, z órmuttó járásávl megegyez irányt pedig negtívnk. Egyevágósági trnszformáiók Definíió: Egyevágósági trnszformáiónk nevezzük geometrii trnszformáiót kkor, h ármely szksz képe ugynolyn hosszúságú, mint z eredeti szksz. definíió tuljdonképpen zt mondj ki, hogy z egyevágósági trnszformáió nem más, mint távolságtrtó trnszformáió. Definíió: két lkztot egyevágónk nevezünk, h vn olyn egyevágósági trnszformáió, mely z egyiket másik viszi át. z egyevágóság jele:. 5

6 Mivel ármely síkeli lkzt háromszögekre drolhtó, ezért z egyevágóság eldöntéséhez élszer megvizsgálni háromszögek egyevágóságát. Háromszögek egyevágóságánk lpesetei izonyítás nélkül, xiómszeren fogdjuk el háromszögek következ 4 egyevágósági lpesetét. Két háromszög egyevágó, h (1) megfelel oldlik egyenlk; () két-két oldluk és e két oldl áltl közrefogott szögük egyenl; (3) két-két oldluk és e két oldl közül ngyoikkl szemközti szög egyenl; (4) egy-egy oldluk és rjt fekv két szögük egyenl. H e négy feltétel közül ármelyik is teljesül, kkor két háromszög egyevágó. Két sokszöget kkor tekintünk egyevágónk, h háromszögekre drolv ket háromszögek páronként egyevágók, és helyzetük megegyezik. Két kör kkor egyevágó, h sugrik hossz megegyezik. következken fogllkozunk legfontos egyevágósági trnszformáiókkl. Tengelyes tükrözés Definíió: dott síkon egy t egyenes, tükrözés tengelye. sík ármely P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot úgy, hogy - h P t, kkor P = P, - h P t, kkor P-hez olyn P -t rendelünk, hogy PP szksznk t felezmerlegese legyen, vgyis Pt = P t. Ez hozzárendelés egyértelm, tehát függvény, értelmezési trtomány és értékkészlete is sík. tengelyes tükrözés tuljdonsági: t (1) tengelyen lév pontok fixpontok, vgyis tengelyen lév pontok képe önmg. = () tengelyes tükrözés szimmetrikus, vgyis h egy P pont képe P, kkor P képe P. (3) tengelyes tükrözés egyenestrtó, vgyis egyenes képe egyenes. H z egyenes illeszkedik tengelyre, kkor z egyenes fixegyenes. H z egyenes párhuzmos tengellyel, kkor képe is t párhuzmos tengellyel és tárgyegyenessel. H z egyenes merleges tengelyre, kkor metszéspontjuk fixpont, és z egyenes képe önmg, ár pontji tükrözése mitt nem fix: invriáns egyenes. (4) tengelyes tükrözés szögtrtó. (5) tengelyes tükrözés szksztrtó. (6) tengelyes tükrözés lkzttrtó, z lkztok körüljárási irányát megváltozttj. 6

7 Középpontos tükrözés Definíió: dott síkon egy O pont, tükrözés középpontj. sík ármely P pontjához hozzárendelünk egy P pontot úgy, hogy - h P = O, kkor P = P ; - h P O, kkor P képe olyn P pont, melyre igz, hogy PP szksznk O felezéspontj, vgyis PO = P O. Ez hozzárendelés egyértelm, tehát függvény, értelmezési trtomány és értékkészlete is sík. középpontos tükrözés tuljdonsági: (1) Egyetlen fixpontj vn, tükrözés középpontj. O () középpontos tükrözés szimmetrikus, vgyis h egy P pont képe P, kkor P képe P. (3) középpontos tükrözés egyenestrtó, h z egyenes nem illeszkedik O-r, kkor z egyenes képe párhuzmos z eredeti egyenessel. H z egyenes illeszkedik z O-r, kkor z egyenes képe egyeesik z eredeti egyenessel, de mivel nem pontonként fix, ezért invriáns egyenesrl eszélünk. (4) középpontos tükrözés szögtrtó. (5) középpontos tükrözés szksztrtó. (6) középpontos tükrözés lkzttrtó, z lkztok körüljárási irányát nem változttj meg: középpontos tükrözés nem más, mint egy 180 -os pont körüli forgtás (lásd lente). O Pont körüli forgtás Definíió: dott síkn egy O pont, forgtás középpontj és egy szög, forgtás szöge, és dott z elfogtás irány, mely pozitív, h z órmuttó járásávl ellentétes és negtív, h zzl megegyez. sík ármely P pontjához hozzárendelünk egy P pontot úgy, hogy - h P = O, kkor P = P ; - h P O, kkor P-hez olyn P -t rendelünk, hogy P O = PO, és POP =. Ez hozzárendelés egyértelm, tehát függvény, értelmezési trtomány és értékkészlete is sík. pont körüli forgtás tuljdonsági: (1) Egyetlen fixpontj vn, z O pont, h 0. H = 0, kkor minden pontj fixpont. () Áltlános eseten nem szimmetrikus, h = 180, kkor pont körüli forgtás középpontos tükrözés. (3) Egyenestrtó. Egyenes és képe egymássl szöget zár e. (4) Szksz- és távolságtrtó. (5) Szögtrtó. (6) lkzttrtó, körüljárási irányt nem változttj meg: O P P 7

8 O Eltolás Definíió: dott síkn egy v vektor, z eltolás vektor. sík ármely P pontjához hozzárendelünk egy P pontot úgy, hogy PP = v. Ez hozzárendelés egyértelm, tehát függvény, értelmezési trtomány és értékkészlete is sík. z eltolás tuljdonsági: v (1) Fixpontji áltlánosn ninsenek, h z eltolás vektor nullvektor, P P kkor minden pontj fixpont. () Nem szimmetrikus. (3) Egyenes képe egyenes, és kép-egyenes párhuzmos tárgy-egyenessel. (4) Szksz képe szksz, z eltolás távolságtrtó. (5) Szögtrtó. (6) lkzttrtó, z lkztok körüljárási irányát nem változttj meg: v v v 8

9 Egyevágósági trnszformáiók elállítás tengelyes tükrözések egymásutánjként Könnyen eláthtó, hogy ármely tárgylt egyevágósági trnszformáió eláll tengelyes tükrözések egymásutánjként, z irányításukt megtrtó trnszformáiók esetén ez két megfelel tengelyes tükrözést jelent, hiszen tengelyes tükrözés z irányítást megfordítj. Hsonlósági trnszformáiók Definíió: hsonlósági trnszformáióknk nevezzük szögtrtó trnszformáiókt. eláthtó, hogy ármely hsonlósági trnszformáió elállíthtó gy középpontos hsonlóság és egy egyevágósági trnszformáió segítségével. Vizsgáljuk ezért elször középpontos hsonlóságot. Középpontos hsonlóság Definíió: dott síkon egy O pont, hsonlóság középpontj, vlmint dott egy 0-tól különöz k vlós szám, hsonlóság rány. sík minden P pontjához hozzárendelünk egy P pontot úgy, hogy OP = k OP teljesüljön. H 0 < k < 1, kkor középpontos hsonlóság kisinyítés, pl: O kisinyített kép körüljárási irány megegyezik tárgy körüljárási irányávl. O H k = 1, kkor középpontos hsonlóság helyenhgyás (identitás). 9

10 H 1 < k, kkor középpontos hsonlóság ngyítás, pl.: H k negtív szám, kkor középpontos tükrözéshez hsonlón P -t PO egyenesen veszszük fel, de z O-t trtlmzó félegyenesen. H k = 1, kkor középpontos hsonlóság középpontos tükrözés, h 1 < k < 0, kkor középpontos hsonlóság kisinyítés, h pedig k < 1, kkor középpontos hsonlóság ngyítás. z lkzt körüljárás nem változik meg, pl.: O k értékétl függetlenül, középpontos hsonlóság tuljdonsági: (1) Szögtrtó. () Egyenes képe vele párhuzmos egyenes; (3) szksz hossz k -szorosár változik; (4) Fixpontj O; (5) középpontr illeszked egyenesek invriáns egyenesek. Hsonlóság Definíió: Két síkeli lkzt hsonló, h vn olyn hsonlósági trnszformáió, mely z egyiket másik viszi át. hsonlóság jelölése: ~. ármely konvex sokszög háromszögekre drolhtó, így élszer megvizsgálni háromszögek hsonlóságát. Háromszögek hsonlóságánk lpesetei xiómszeren, izonyítás nélkül elfogdjuk háromszögek hsonlóságánk négy következ lpesetét: Két háromszög hsonló, h (1) oldlik hosszánk rányi páronként egyenlk; () két-két oldluk hosszánk rány egyenl és z áltluk közezárt szögek ngyság egyenl; (3) h két-két oldluk hosszánk rány egyenl és ngyoikkl szemközti szögek ngyság egyenl; (4) h szögeik páronként egyenlk. definíióól következik, hogyh két háromszög hsonló, kkor megfelel oldlik rány egyenl. Például z árán láthtó háromszög hsonló háromszöghöz, és emitt: 10

11 = = = k, hol k hsonlóság rány. háromszög Összefüggések háromszög oldli és szögei között háromszög els és küls szögei háromszög els szögei már megfoglmzott, β és γ szögek. Ezek mellékszögeit háromszög küls szögeinek nevezzük. γ γ β β Mivel els és küls szögek egymásnk mellékszögei, ezért + = β + β = γ + γ = 180. Tetszleges háromszögre igzk következ tételek: Tétel: háromszög els szögeinek összege 180. izonyítás: Legyen dv z háromszög, els szögei rendre, β és γ. Húzzunk párhuzmost -n keresztül -vel. Ezen egyenesnek árán láthtó pontji P és Q. P γ β Q β 11

12 Mivel P és váltószögek, ezért egyenl ngyságúk. Hsonlón, Q és is váltószögek, tehát ezek is egyenlk. Tehát P = és Q = β. Viszont z árán láthtó módon P + + Q = 180, és így + β + γ = 180. Ezt kellett izonyítnunk. Tétel: háromszög küls szögeinek összege 360. izonyítás: z elz tétel szerint + β + γ = 180, és tudjuk, hogy: djuk össze ezt három egyenletet: + = 180 β + β = 180 γ + γ = β + γ + + β + γ = β + γ = β + γ = 360 Mivel végig ekvivlens átlkításokt végeztünk, tétel igz. Tétel: háromszög egy küls szöge egyenl nem mellette fekv két els szög összegével. izonyítás: elátjuk, hogy = β + γ. Tudjuk, hogy + = 180 = 180. Ugynkkor zt is izonyítottuk, hogy + β + γ = 180 = 180 β γ. Ezt felhsználv: = 180 ( ) = β γ = β + γ = β + γ Ehhez hsonlón tétel töi küls szögre is eláthtó. Összefüggés háromszög oldli és szögei között Tétel: egy háromszögen két oldl kkor és sk kkor egyenl, h velük szemközti szögek ngyság megegyezik: = = β. izonyítás: elször igzoljuk, hogyh egy háromszög két oldl egyenl hosszúságú, kkor megfelel szögek ngyság egyenl. Induljunk ki z árán láthtó egyenl szárú háromszögl, hol =. Húzzuk e z oldl F felezpontját -vel összeköt szkszt. Ily módon kpjuk F és F háromszöget. Ezen háromszögek megfelel oldli egyenlk, emitt megfelel szögeik is megegyeznek. El következik, hogy h =, kkor = β. β F 1

13 Most lássuk e ennek megfordítását: h egy háromszögen két szög megegyezik, kkor szögekkel szemközti szögek is megegyeznek. Tekintsük F következ DEF háromszöget, melynek z árán láthtó szögek megegyeznek. Húzzuk e β szög szögfelezjét! Ily módon kpjuk DGF és GEF háromszöget, β melyeknek megegyezik egy oldluk (FG) és minden szögük, tehát két háromszög egyevágó. El viszont már következik, hogy megfelel oldlik megegyeznek, tehát DEF háromszög egyenl szárú, és ezt kellett izonyítnunk. Tehát tétel mindkét állítását eláttuk. Ezen tétell következik, hogy szályos (egyenl D G E oldlú) háromszögnek minden szöge megegyezik, és mivel háromszög els szögeinek összege 180, ezért szályos háromszög egy szöge 60 -os. Tétel: Egy háromszögen hossz oldlll szemen ngyo szög vn és viszont: > > β. izonyítás: elször elátjuk, hogy egy háromszögen ngyo oldlll szemen ngyo szög vn. Tekintsük z árán láthtó háromszöget, melynek oldl legyen ngyo - nál: >. izonyítndó ekkor, hogy γ >. Vegyük fel D pontot -n úgy, hogy D = = teljesüljön. Ekkor D háromszög egyenl szárú, és z árán láthtó szögei megegyeznek. Látszik, hogy ϕ < γ, és emellett < ϕ, hiszen D ϕ D z D háromszög egy küls szöge, és így ϕ = + ( γ ϕ ). Felhsználv e két összefüggést γ ϕ kpjuk, hogy < ϕ < γ, vgyis < γ, és ezt kellett izonyítnunk. Most izonyítsuk e tétel megfordítását, vgyis hogy háromszögen ngyo szöggel szemen hossz oldl vn. Tekintsük DEF háromszöget, hol z árán láthtó módon γ >. izonyítndó ekkor, hogy >. Végezzük izonyítást indirekt úton, vgyis tegyük fel, hogy > nem igz. Ekkor egyrészt teljesülhet z egyenlség két oldl között, másrészt < reláió. H =, kkor γ =, és ez ellentmond kiindulási feltételnek, tehát ez z eset nem lehetséges. H <, kkor γ <, és ez szintén ellentmond γ kiindulási feltételnek. Tehát sk > reláió fordulht el, h γ >. Ezt kellett izonyítnunk. 13

14 Háromszög-egyenltlenség Tétel: háromszög ármely két oldlánk összege ngyo hrmdik oldlnál. Ezt z összefüggést háromszög-egyenltlenségnek nevezzük. tétel szerint szokásos jelölésekkel: + >, + >, + >. izonyítás: tétel közvetlenül következik háromszög megszerkeszthetségél. H ugynis háromszög két oldlánk összege kise lenne, mint hrmdik oldl, kkor e három szksz nem htározn meg háromszöget. Emitt háromszög létezéséhez háromszögegyenltlenségnek teljesülnie kell. Megjegyzés: eldáson vettük z egzkt izonyítást. Szinusztétel Szinusztétel: háromszög oldli úgy ránylnk egymáshoz, mint velük szemközti szögek szinuszi. szokásos jelölésekkel: sin sin sin = ; = β ; =. γ sin β sinγ sinγ izonyítás: háromszög területét meghtározhtjuk trigonometrikus területképlet segítségével. Felírv ezt úgy, hogy és β legyen z oldlk áltl közezárt β szögek: T sin sin β = és T =. két terület értelemszeren megegyezik, vgyis: sin sin β = sin = sin β Mivel háromszög egyik oldl és egyik szögének szinusz sem lehet 0, ezért kpott egyenletet következ lkr rendezhetjük: sin =. sin β tétel hsonlón eláthtó ármely két oldl esetén. Áltlános szinusztétel Áltlános szinusztétel: Egy háromszög egy oldlánk és vele szemközti szög szinuszánk hánydos állndó, értéke háromszög köré írhtó kör sugránk kétszerese. szokásos jelölésekkel, h háromszög köré írhtó kör sugr R: 14

15 = = = R. sin sin β sinγ izonyítás: háromszög köré írhtó kör középpontj legyen z árán láthtó módon O. Ekkor kerületi és középponti szögek tétele lpján O =, és ekkor O háromszög egyenl szárúság mitt O =. Írjunk fel OF derékszög háromszögen szinusz szögfüggvényt: sin = = Rsin. R Hsonlón eláthtó másik két oldlr is, hogy: R O R F = Rsin β és = Rsinγ. kpott egyenleteket szögek szinuszávl osztv dódik tétel. Koszinusztétel Koszinusztétel: háromszög egyik oldlánk négyzetét megkpjuk, h másik két oldl négyzetösszegél kivonjuk e két oldl és ezen két oldl áltl ezárt szög koszinuszánk szorztát. szokásos jelölésekkel: = + osγ. koszinusztétel nem más, mint Pitgorsz-tétel áltlánosítás, illetve Pitgorsz-tétel koszinusztétel speiális esete, h tételen szerepl szög 90 -os. izonyítás: Tekintsük z árán láthtó háromszöget, és vezessük e következ vektorokt: = ; = ; =. Ekkor =. Írjuk fel vektor négyzetét: γ ( ) = = + = + osγ. Ugynkkor egy vektor négyzet egyenl szolút értékének négyzetével, és jelölt vektorok szolút értékei nem mások, mint háromszög oldlink hosszi. Így: = + osγ = + osγ = + osγ Ezzel tételt igzoltuk. 15

16 Nevezetes pontok, vonlk, körök Súlyvonl, súlypont Definíió: háromszög súlyvonl súspontot szemközti oldl felezpontjávl öszszeköt szksz. súlyvonl szemléletes jelentése szerint, h homogén nygól készített háromszöglpot súlyvonl mentén támsztunk lá, kkor z egyensúlyn mrd. Tétel: háromszög súlyvonl felezi háromszög területét. izonyítás: tekintsük z árán láthtó s súlyvonlt, z oldlt metssze F pontn. E súlyvonl definíió szerint felezi oldlt. Húzzuk e háromszög -hoz trtozó mgsságát! Ekkor F háromszög területe: m s T F m 1 m 1 = = = T. Hsonlón z F háromszög területe: F T F m 1 m 1 = = = T. 1 zt kptuk tehát, hogy TF = TF = T, és ezt kellett izonyítnunk. tétel hsonlón eláthtó töi súlyvonlr is. Tétel: háromszög súlyvonli egy pontn metszik egymást, ezt pontot háromszög súlypontjánk nevezzük. súlypont súlyvonlnk ponttól távoli hrmdolópontj. súlypont szemléletes jelentése szerint, h egy homogén nygól készült háromszöglpot súlypontj ltt támsztunk lá, kkor z egyensúlyn mrd. izonyítás: Legyen z árán láthtó módon z háromszög oldlánk felezpontj E, oldlánk felezpontj F, z F és E súlyvonlk metszéspontj S. E F S 16

17 EF két oldlfelez pontot összeköt szksz, vgyis háromszög oldlll párhuzmos középvonl. Ekkor viszont z S és z ESF háromszögek hsonlók egymáshoz, mert párhuzmosság mitt szögeik megegyeznek. hsonlóság rányát is ismerjük, mivel EF középvonl fele z szksznk. H viszont hsonlók, kkor megfelel oldlk rány megegyezik: EF ES = S ES S = Tehát S hrmdolj E-t, és egy másik rányt felírv kpjuk, hogy S hrmdolj F-et is. E két súlyvonl metszéspontj tehát oldlkhoz közelei (súsoktól távoli) hrmdolópont. eláthtó, hogy hrmdik súlyvonl is illeszkedik z S pontr. Ugynis pl. z oldlt felez és z oldlt felez súlyvonlt erjzolv, zok szintén E sústól távoli hrmdolópontján metszenék egymást, és e pont z oldlt felez súlyvonlt is hrmdolj. Ezzel tételt eláttuk. Tétel: háromszög súlypontját háromszög súsivl összekötve három egyenl terület háromszöget kpunk. Másképp: súlypont és súsok áltl meghtározott szkszok háromszöget három egyenl terület részre osztják. izonyítás: legyen dott z háromszög, súlypontj z árán láthtó módon z S pont. oldl felezéspontj legyen F. Húzzuk e háromszög oldlához trtozó mgsságát, tlppontj legyen T, vlmint S pontól z re osátott merleges szkszt, mely -t metssze R-en. Ekkor TF háromszög hsonló RFS háromszöghöz, mivel párhuzmosság mitt szögeik megegyeznek. Ekkor megfelel oldlk rány S megegyezik. Hsználjuk fel, hogy súly- pont súlyvonlnk sústól távoli hrmdolópontj: = F T = 3 SR = T. SR SF SR 3 T R F Viszont T és SR nem más, mint z háromszögnek, illetve z S háromszögnek z oldlhoz trtozó mgssági. Így S háromszög és háromszög területe: 1 T S SR T = és T =. T SR 1 1 Vgyis 3 T TS = = = = T. Ehhez hsonlón eláthtó, hogy 3 3 S, S háromszögek területe is hrmd háromszög területének, és ezt kellett izonyítnunk. 17

18 Középvonl-háromszög Definíió: háromszög két oldlfelez pontját összeköt szkszt háromszög középvonlánk nevezzük. definíióól dódón egy háromszögnek három középvonl vn. Tétel: háromszög középvonl párhuzmos nem felezett oldlll, és ngyság nnk fele. izonyítás: Legyen oldl felezéspontj E, oldl felezéspontj F. zt kell elátni, hogy EF oldlll párhuzmos és ngyság nnk fele. EF háromszög hsonló háromszöghöz, mivel szögeik megegyeznek. Ekkor, mivel E párhuzmos -vel és F párhuzmos -vel, EF párhuzmos -vel. Ugynkkor hsonlóság rányát is felírhtjuk: E F E = EF EF 1 Mivel E oldlfelez pont, ezért =, vgyis EF skugyn fele vele párhuzmos oldlnk, és ezt kellett izonyítnunk. Péld 1. Szerkesszünk egy dott háromszöggel hsonló háromszöget, melynek területe negyede z eredeti háromszögének! Megoldás: háromszög egy középvonlát erjzolv máris ilyen háromszöget kpunk, ilyen pl. izonyítás áráján láthtó EF háromszög. Ugynis ez háromszög z eredeti háromszöghöz hsonló, hsonlóság rány pedig 1. Mivel hsonló síkidomok területének rány hsonlóság rányánk négyzetével egyezik meg, z EF háromszög területe z eredeti háromszög területének negyede, így megfelel feldt feltételének. El viszont már z is következik, hogy háromszög középvonli z eredeti háromszöget négy egyenl terület háromszögre osztják, és e háromszögek egyevágók (mivel oldlik megegyeznek: z eredeti háromszög egyes oldlink felei). E F G 18

19 Mgsságvonl, mgsságpont Definíió: háromszög egy súsáól szemközti oldlr osátott merleges szkszt háromszög mgsságánk nevezzük. mgsság háromszögön túli meghosszítás mgsságvonl. definíióól dódón egy háromszögnek három mgsságvonl vn. Tétel: háromszög mgsságvonli egy pontn metszik egymást, ez pont háromszög mgsságpontj. izonyítás: Húzzunk -n, -n és -n keresztül szemközti oldlkkl párhuzmos egyeneseket, z ezek áltl meghtározott háromszög súsi legyenek z árán láthtó módon 1, 1 és 1. párhuzmosság mitt 1 négyszög prlelogrmm, emitt = 1. Hsonlón, 1 négyszög is prlelogrmm, így = 1. Ekkor viszont 1 = 1, vgyis z 1 1 szksz felezéspontj. 1 1 M Hsonlón eláthtó, hogy 1 1, míg 1 1 szkszok felezéspontji. Húzzuk meg háromszög oldlfelez merlegeseit! Ezekrl tudjuk, hogy egy pontn metszik egymást. Viszont mivel párhuzmos 1 1 -gyel, ezért 1 1 oldlfelez merlegese merleges -re is, és mivel -re illeszkedik, ezért ez z oldlfelez nem más, mint háromszög -hez trtozó mgsság. Hsonlón eláthtó, hogy háromszög oldlfelezi rendre megegyeznek háromszög mgsságvonlivl, és mivel z oldlfelezk egy pontn metszik egymást, ez mgsságvonlkr is igz. Ezzel tételt igzoltuk. mggáspont helyzete más és más különöz típusú háromszögek esetén (ez z oldlfelez merlegesekkel z eli izonyításn tlált kpsolt mitt vn így). Hegyesszög háromszög esetén háromszög mgsságpontj háromszög elsejéen vn, derékszög háromszög esetén derékszög súsl egyeesik, míg tompszög háromszögnél háromszögön kívül helyezkedik el. Tlpponti háromszög Definíió: hegyessszög háromszög mgsság-tlppontji áltl meghtározott háromszöget tlpponti háromszögnek nevezzük. 1 19

20 Tétel: háromszög mgsságvonli tlpponti háromszög szögfelezi. izonyítás: Tekintsük hegyesszög háromszöget, tlpponti háromszög súsi legyenek z árán láthtó módon P, Q és R. Mivel R = Q = 90, ezért R és Q rjt vn szksz Thlész-körén. Vgyis,, Q, R ponton egy körön vnnk, tehát QR húrnégyszög. Ekkor húrnégyszögek tétele mitt RQ = 180 β, és így QR = β. Hsonlón eláthtó, hogy PQ négyszög is húrnégyszög, így QP = 180 β, zz PQ = β. De kkor RQ = 90 β és QP = 90 β, mi éppen zt jelenti, hogy Q mgsság felezi tlpponti háromszög RQP szögét. z állítás hsonlón eláthtó másik két mgsságvonlr is. Emellett izonyításól z is látszik, hogy RQ, PR, PQ háromszögek hsonlók z háromszöghöz, mivel szögeik megegyeznek. Küls és els szögfelezk, eírt és hozzáírt körök háromszög els szögeinek felezjére érvényes következ tétel: Tétel: háromszög els szögfelezi egy pontn metszik egymást, ez pont háromszöge írhtó kör középpontj. izonyítás: z árán láthtó módon legyenek els szögek felezi f, f β és f γ. R β P β Q 180 β γ γ f f β β f γ Ekkor definíió szerint f zon pontok hlmz síkn, melyek -tl és -tl egyenl távolságr vnnk. Ugynkkor f β zon pontok hlmz síkn, melyek -tl és -tól egyenl távolságr vnnk. metszéspontjuk z pont, mely egyenl távolságr vn -tl és -tl, emellett -tl és -tól is, vgyis mindhárom oldltól egyenl távolságr vn. Ekkor viszont már egyenl távolságr vn -tól és -tl is, így rjt kell hogy legyen f γ egyenesen is. Kptuk tehát, hogy három szögfelez egy pontn metszi egymást. Mivel ez pont egyenl távolságr vn háromszög mindhárom oldlától, ez pont háromszöge írhtó kör középpontj. eírt kör sugrát áltlán r-rel jelöljük. 0

21 eírt körhöz hsonlón definiálhtó háromszög hozzáírt köre. Tétel: háromszög egy els és nem mellette fekv két küls szögének felezi egy pontn metszik egymást, ez pont háromszög egy hozzáírt körének középpontj. Ez pont egyenl távolságr vn háromszög egy oldlától, és másik két oldl egyenesétl. izonyítás: izonyítás: z árán láthtó módon legyenek els szögfelez f β, nem mellette fekv küls szögek felezi f és f γ. f β f γ f γ γ β Ekkor definíió szerint f β zon pontok hlmz síkn, melyek egyenesétl és egyenesétl egyenl távolságr vnnk. Ugynkkor f zon pontok hlmz síkn, melyek egyenesétl és -tl egyenl távolságr vnnk. metszéspontjuk z pont, mely egyenl távolságr vn egyenesétl és egyenesétl, emellett egyenesétl és -tl is, vgyis z és egyenesétl, vlmint oldltól is egyenl távolságr vn. Ekkor viszont már egyenl távolságr vn -tl és egyenesétl is, így rjt kell hogy legyen f γ egyenesen is. Kptuk tehát, hogy három szögfelez egy pontn metszi egymást. Mivel ez pont egyenl távolságr vn háromszög két oldlegyenesétl és hrmdik oldlától, ez pont háromszöghöz írhtó egyik kör sugr. z értelmezés mitt egy háromszögnek három hozzáírt köre vn, ezek sugrát r -vl, r -vel és r -vel jelöljük. Szögfeleztétel Tétel: háromszög els szögfelezje felezett szöggel szemközti oldlt szomszédos oldlk rányán osztj. izonyítás: z ár jelöléseivel zt kell elátnunk, hogy x =. y x Ehhez írjuk fel P és P háromszög területét is d f kétféleképpen. z ár jelöléseinek megfelelen: P T T P P d m x = = d m y = = E két összefüggésl kpjuk következ egyenletrendszert: m d y 1

22 d m x = = d m y kpott két egyenletet osztv egymássl dódik, hogy = x, és ezt kellett izonyítnunk. y szögfeleztételhez hsonló állítás igz háromszög küls szögfelezjére is, h z metszi szöggel szemközti oldl egyenesét. Tétel: H háromszög küls szögfelezje metszi szemközti oldl egyenesét, kkor ezen oldlegyenesl szomszédos oldlk rányán metsz ki szkszokt. x izonyítás: tétel állítás z ár jelölései szerint következ: = x + Q P x súsnál lév küls szög felezje metssze z oldl egyenesét P-en. Húzzunk -n keresztül P-vel párhuzmost, ez -t metssze Q-n. súsnál lév els és küls szög szögfelezi egymásr merlegesek, így els szög felezje merleges Q-r. El viszont következik, hogy e els szögfelez z Q háromszög mgsság és szögfelezje is, így Q egyenl szárú háromszög, és = Q. párhuzmos szelk tétele lpján: Ezzel tételt eláttuk. Oldlfelez merlegesek, körülírt kör P Q = P x = x + Definíió: háromszög oldlink, mint szkszoknk felezmerlegesét háromszög oldlfelez merlegeseinek nevezzük. z oldlfelez merlegesek tehát olyn pontok hlmzi, melyek háromszög két-két súsától egyenl távolságr vnnk.

23 Tétel: háromszög oldlfelez merlegesei egy pontn metszik egymást, ez pont háromszög köré írhtó körének középpontj. izonyítás: Legyenek z árán láthtó jelölések szerint z oldlfelez merlegesek f, f és f. f f f Ekkor definíió szerint f zon pontok hlmz síkn, melyek -tól és -tl egyenl távolságr vnnk. Ugynkkor f zon pontok hlmz síkn, melyek -tl és -tl egyenl távolságr vnnk. E két egyenes metszi egymást, mivel és egyenesek metszik egymást, és f és f z eliekre merleges egyenesek. metszéspontjuk tehát z pont, mely egyenl távolságr vn -tól és -tl, emellett -tl és -tl is, vgyis mindhárom súsponttól egyenl távolságr vn. Ekkor viszont már egyenl távolságr vn -tól és -tl is, így rjt kell hogy legyen f egyenesen is. Kptuk tehát, hogy három oldlfelez egy pontn metszi egymást. Mivel ez pont egyenl távolságr vn háromszög mindhárom súspontjától, ez pont háromszög köré írhtó kör középpontj. körülírt kör sugrát áltlán R-rel jelöljük. eírt kör középpontjánk elhelyezkedése más és más különöz háromszög-típusok esetén. Hegyesszög háromszög esetén háromszögön elül tlálhtó, derékszög háromszögnél z átfogó felezéspontjár illeszkedik (ez Thlész-tételél következik), míg tompszög háromszög esetén háromszögön kívül tlálhtó. 3

24 Simson-egyenes Tétel: Legyen háromszög köréírt körének tetszleges (nem súsponttl egyees) pontj P. kkor P merleges vetületei háromszög oldlegyeneseire egy egyenesre esnek, ez Simson-egyenes. izonyítás: Legyen P z árán láthtó helyzet, vetületei z oldlk egyenesére rendre Q, R, S. S ω P Q és R rjt vn P szksz Thlészkörén, így QPR húrnégyszög. kkor R ω ε és P rjt vn Q szksz egy látókörívén, vgyis QR = QP = ϕ. ϕ R Hsonlón, RPS is húrnégyszög, és R és P rjt vn S egy látókörívén, zz RS = PS = ω. ϕ Ugynkkor P szintén húrnégyszög, és így húrnégyszögek tétele szerint: + ε + ϕ = 180. Q De QPS négyszög is húrnégyszög, mert QP és SP szögekre teljesül húrnégyszögek tétele. kkor másik két szemközti szögre: + ε + ω = 180. kpott két egyenlet szerint: ϕ = ω, ez pedig éppen zt jelenti, hogy S, R és Q egy egyenesre esnek. Menelosz-tétel Menelosz-tétel: Legyenek egy háromszög oldlegyeneseinek egy tetszleges egyenessel vló metszéspontji z árán láthtó módon P, Q és R. kkor = 1, hol z P Q R P Q R oldlk irányítottk. izonyítás: Húzzunk -n keresztül vel párhuzmost, ennek PR egyenessel legyen metszéspontj. kkor írjuk fel párhuzmos szelszkszok tételét R PR szögre és, illetve R szelire: Q P R P R P R = = = P ' P ' P '. Ugynkkor párhuzmosság mitt P 4

25 RQ háromszög és Q háromszögek hsonlók, így megfelel oldlik rányi megegyeznek: kérdéses szorzt ekkor: ev-tétel Q ' Q ' = =. Q R Q R P Q R R ' R R = = = 1. P Q R ' R R R ev-tétel: Legyen három pont z háromszög oldlin, -n, -n és -n rendre P, Q és R. Ekkor h Q, R és P egyenesek egy pontn metszik egymást (O), kkor P Q R = 1, hol z oldlk irányítottk. P Q R izonyítás: Írjuk fel Menelosz tételét P háromszögre és OR szelre: PO R = 1. P O R R O Q Ugynsk Menelosz-tétel P háromszögre és OQ szelre: PO Q = 1. P O Q P E két egyenletet osztv egymássl: PO R P O Q = 1. P O R PO Q Felhsználv, hogy z irányítás mitt =, Q = Q, Q = Q illetve P = P, éppen izonyítndó állítás dódik: Euler-egyenes P Q R = 1. P Q R következ tétel megfoglmzás és izonyítás Euler nevéhez fzdik, innen is kpt enne szerepl nevezetes egyenes nevét. Tétel: háromszög M mgsságpontj, S súlypontj és köré írhtó kör O középpontj egy egyenesen vn. Ezt z egyenest háromszög Euler-egyenesének nevezzük. súlypont z MO szksz O-hoz közelei hrmdolópontj. 5

26 izonyítás: tétel töféleképpen is izonyíthtó, legegyszer tlán következ izonyítás, mely vektorokt hsznál fel. tétel állítás szályos háromszög esetén nyilvánvló, ekkor mindhárom pont egyeesik (sk z rány felírásánk nins értelme). Áltlános háromszög esetén legyen körülírt körének középpontj O, súlypontj S. Ezek nyilvánvlón egy egyenesre illeszkednek. P S O djuk meg, és pontok helyét z O-ól indított vektorokkl: O =, O =, O =. + + Ekkor háromszög súlypontjá muttó vektor: s = OS =. 3 Legyen P pont z árán láthtó módon olyn, hogy p vektor z s vektor háromszoros legyen: + + p = OP = 3s = 3 = Elegend elátni, hogy P háromszög mgsságpontj, hisz ekkor igzoltuk z állítást (M, S és O egy egyenese esik, és S z MO O-hoz közelei hrmdolópontj). Ehhez zt kell igzolni, hogy P, mert kkor hsonló módon igzolhtó lenne, hogy P és P. H P, kkor e két vektor skláris szorzt 0: P = 0 ( p) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = 0 ( + + ) ( ) = 0 = 0 = = 0 = 0 kpott egyenlség viszont igz. Ugynis = = R és = = R, és R R = 0. Tehát P, hsonlón P és P, vgyis P pont skugyn háromszög mgsságpontj. Ezzel tételt eláttuk. 6

27 Euler-féle összefüggés Euler-tétel: háromszög köré és háromszöge írhtó körök középpontjink távolságánk négyzete: d = R rr, hol R köré írt kör, r eírhtó kör sugr. izonyítás: Vektorokkl: Legyen vontkozttási pont köréírt kör O középpontj, és súsok muttó vektorok: O =, O =, O =. kkor eírt kör K középpontjá muttó + + vektor igzolhtón: k = OK =. + + vontkozttási pont válsztás mitt = = = R, és pl. ( ) = = = + = + = R + R = R. zz = R, hsonlón kérdéses távolság négyzete: R = és = R. z origó válsztás mitt ( + + ) d ( ) = k = = = + + = s 4 1 = ( ) = 4s 1 = ( R ( + + ) ) = 4s 1 = ( R ( + + ) + ( R ) + ( R ) + ( R )) = 4s 1 = ( R ( + + ) ( + + ) ) = R. 4s s Ugynkkor háromszög területe: T = sr és T =, zz sr 4R = rr 4R s =. Vgyis éppen izonyítndó állítást kpjuk: d = R = R rr. s Izogonális pont Definíió: Egy háromszög izogonális pontj z pont háromszög síkján, melyet háromszög súsivl összekötve keletkez összeköt szkszok összhossz minimális. H háromszögnek nins 10 -nál ngyo szöge, kkor z izogonális pont egyen z pont, melyl minden oldl egyenl szög ltt látszik. H vn 10 -nál nem kise szöge, kkor ezen szöghöz trtozó sús z izogonális pont. Tétel: dott háromszög esetén z izogonális pontot megkpjuk, h z oldlkr kifelé szályos háromszögeket emelünk, mjd ezek újonnn keletkez súsit összekötjük szemközti súsokkl, kkor ezek egy pontn metszik egymást, és ez z izogonális pont. 7

28 izonyítás: Legyen F z R és Q egyenesek metszéspontj. zt krjuk megmuttni, hogy z FP göre egyenes. Mivel R = és = Q, ezért R = R +, és Q = Q + Q. Emellett R és Q 60 -osk, mivel els szögei szályos háromszögeknek, és így R = Q. R F El következik, hogy R és Q háromszögek egyevágók. Vgyis RF = F = és QF = F, így látókörívek tétele mitt RF és QF húrnégyszögek. Emitt: P F = F = F = 10. De FP szintén húrnégyszög, hiszen F + P = 180, így FP = P = 60. Tehát FP = F + FP = 180, zz, F és P egy egyenesre esnek. húrnégyszögek tétele mitt pedig következik, hogy F-l háromszög oldli 10 -os szögen látsznk, vgyis F z izogonális pont. Feuerh-kör, Feuerh-tétel következ tétel helyességének megsejtése Feuerh nevéhez fzdik, ár még sk z oldlfelez pontokról és mgsságok tlppontjiról látt e, hogy egy körön vnnk. Tétel: háromszög oldlfelez pontji, mgsságtlppontji vlmint mgsságpont és súsok áltl meghtározott szkszok felezéspontji egy körön vnnk. Ezt kört háromszög Feuerh-körének (vgy kilen pont körének) nevezzük. Feuerh-kör középpontj mgsságpont és háromszög köré írhtó körének középpontj áltl meghtározott szksz felezéspontj, sugr körülírhtó kör sugránk fele. izonyítás: szintén vektorok segítségével történik. Legyenek z háromszög oldlfelez pontji z árán láthtó módon 1, 1 és 1, mgsságok tlppontji,,, mgsságpont (M) és súspontok áltl meghtározott szkszok felezéspontji 3, 3 és 3, körülírt kör középpontj O. tételt elegend elátni egy megfelel ponthármsr is, mert pontok egyenrngúság mitt kkor tétel már töi pontr is izonyíthtó. 8

29 Legyen MO szksz felezéspontj K. Hsználjuk O pontot vontkozttási pontnk. Legyenek következ vektorok: O =, O =, O =. Ekkor igzolhtón m = OM = + +, és m + + így k = OK = = e muttó helyvektor: 1 = O1 = + + +, ekkor K1 = 1 k = =. zt kptuk, hogy K 1 szksz hossz körülírt kör sugránk fele, mivel vektor hossz körülírt kör sugr. + z M szksz M 3 felezéspontjá muttó helyvektor: 3 = O3 = m = k +. Ekkor K 3 = 3 = + k k k =. Tehát K 3 szksz hossz ugynsk fele körülírt kör sugránk M K O Vgyis 1 és 3 iztos rjt vn K középpontú körön, hol K z MO szksz felezéspontj. De e két pont egyúttl átmért is htároz meg, mivel K-ól 1 -e illetve 3 - muttó vektorok sk eljelüken különöznek egymástól. 1 3 tehát Feuerh kör átmérje. pontól 1 3 szksz derékszög ltt látszik, így Thlész tétele mitt rjt kell lennie 1 3 átmérj körön. Ezzel eláttuk, hogy 1,, 3 pontok mindegyike rjt vn z MO szksz felezéspontj körül körülírt kör sugránk felével, mint sugárrl rjzolt körön. z eli gondoltmenethez hsonlón igzolhtó, hogy 1,, 3, vlmint 1,, 3 pontok is rendre illeszkednek körre. Feuerh-tétel: Feuerh-kör elülrl érinti háromszög eírt körét, vlmint kívülrl háromszög hozzáírt köreit. izonyítás: tételt eírt kör esetén izonyítjuk, hozzáírt körökre hsonlón eláthtó. Legyen Feuerh-kör középpontj F, eírt köré K. H köréírt kör sugr R, kkor Feuerh-kör sugr: R. Legyen emellett eírt kör sugr r. R H igz tétel, vgyis eírt kör elülrl érinti Feuerh-kört, kkor FK = r. Megmuttjuk, hogy ez igz. izonyítás ismét vektorokkl történik: legyen vontkozttási pont 9

30 köréírt kör O középpontj, ekkor O =, O =, O =, eírt kör középpontjár így + + k = OK = Emellett f = OF =, így FK ( s ) + ( s ) + ( s ) = FK = f k = =. s s Felhsználv, hogy = R, hsonlón = R és z Euler-tételnél), kérdéses távolság négyzete: R = (izonyítás Felhsználv, hogy T T =, vlmint Heron-képlet izonyításánál látottk sze- 4R rint: ezért ( 1 FK = R ( 3s s ( + + ) ) + 4s ( s )( s ) ( s )( s ) ( s )( s )) = 1 ( R s R s s 4s ( R )( s )( s ) ( R )( s )( s )) ( ( ) ( ) ( )( )( ) = = 1 = R ( + + s + 6s s ) 4s ( )( ) ( )( ) ( )( )) s s s s s s = = s R s + ( ). 4s 4 = sr és T = + + +, 1 R R FK = ( s R 4sTR + 4T ) = rr + r = r. 4s R z Euler-tétel egyszer következménye, hogy r 0, így mindkét oldlól négyzetgyököt R vonv dódik z állítás: FK = r. 30

31 Heron-képlet Tétel: z, és oldlú háromszög területe T = s ( s )( s )( s ), hol s háromszög félkerülete. izonyítás: húzzuk meg z háromszög oldlához trtozó mgsságát, melynek tlppontj legyen T. z oldl -re vontkozó merleges vetülete legyen x, ekkor oldl merleges vetülete -re x. Írjuk fel Pitgorsz tételét T és T háromszögen is: = x + m = ( x) + m Vonjuk ki egymásól két egyenletet: = x + m x + x m El z egyenletl: = x + m egyenlet mindkét oldlávl 4 -tel: ( ) = x + x x = x x = +. Szorozzuk z 4 = 4 x + 4 m ( ) ( ) 4 = x + m Írjuk e ee z egyenlete x-re kpott értéket, és hsználjuk fel, hogy kpott egyenlet jo oldlánk második tgj nem más, mint háromszög négyzetes területének négyzete: ( ) 4 + = 16T m ( ) = kpott egyenlet l oldlán elvégezzük négyzetre emelést, mjd zonos átlkításokt végzünk: 16T = 4 + ( ) ( ) 16T = T = T = ( )( ) 16T = x T m x 31

32 16 16 (( ) )( ( ) ) ( )( )( )( ) T = + T = lkítsuk át jo oldlt úgy, hogy megjelenjen enne félkerület: 16 ( )( )( )( ) T = T = s s s s 16T = ( )( )( ) ( )( )( ) T = s s s s Mivel mindkét oldl nemnegtív, vonhtunk négyzetgyököt, és így épp kívánt egyenlséget kpjuk: T = s ( s )( s )( s ). Thlész-tétel P Thlész tétele: H egy kör átmérjének és végpontját összekötjük körvonl egy hrmdik P pontjávl, kkor P háromszög derékszög, és átfogój. O izonyítás: Vegyük fel z árán láthtó P pontot z átmérj körvonlon úgy, hogy ne essen egye P -vl és -vel. Tükrözzük P háromszöget kör O középpontjár, kpjuk z P P négyszöget. tükrözés tuljdonsági mitt ezen négyszög PP is kör egy átmérje, így kpott négyszög átlói egyenl hosszúk és felezik egymást. z ilyen tuljdonságú négyszög viszont tégllp. Tehát P P tégllp, el következen minden szöge derékszög. Így P is derékszög, és ezt kellett izonyítnunk. tétel megfordítás: Tétel: H egy háromszög derékszög, kkor köréírt körének középpontj z átfogó felezéspontj. izonyítás: Tekintsük z árán láthtó derékszög háromszöget, és tükrözzük háromszöget z átfogó F felezpontjár! Ily módon kpjuk négyszöget, mely tégllp (ugynis tükrözés mitt szemközti oldli F megegyeznek, tehát prlelogrmm, és háromszög derékszögsége mitt két szemközti szöge derékszög, emitt minden szöge derékszög). tégllp átlói egyenlk és felezik egymást. Emitt F = F = F, tehát F háromszög súsitól egyenl távol- ság vn, ez pedig éppen zt jelenti, hogy háromszög köré írt kör középpontj z F pont. két tétel együtt: Tétel: sík zon pontjink hlmz, melyl egy szksz derékszög ltt látszik, szksz, mint átmér fölé rjzolt kör, kivéve szksz két végpontját. 3

33 Ezen kört szksz Thlész-körének nevezzük. Pitgorsz-tétel Pitgorsz tétele: derékszög háromszög efogójár emelt négyzetek területének összege egyenl z átfogór emelt négyzet területével. tételt töféleképpen is megfoglmzhtjuk, pl. így is: derékszög háromszög efogóink négyzetösszege egyenl z átfogó négyzetével. z ár jelöléseit hsználv Pitgorsz tétele: + = izonyítás: tételnek sokféle izonyítás létezik. Mivel e tétel z egyik legnevezetese geometrián, tö izonyítást is emuttunk. (1) Els izonyítás: legyenek egy derékszög háromszög efogói és, átfogój. Rjzoljunk két egyevágó, + oldlú négyzetet, és helyezzünk ezeken el következ oldli árán láthtó módon négy-négy derékszög háromszöget. H ngy négyzet területe T, derékszög háromszögé pedig t, kkor jól láthtón z els négyzet területe: T = 4t + +. második négyzeten derékszög háromszögek egy romuszt htárolnk, ugynis egy olyn négyszögrl vn szó, melynek minden oldl. Derékszög háromszögekrl lévén szó, + β = 90, így z pontnál lév szögekre: ( ) ϕ = β = = 90. Hsonlón eláthtó, hogy második négyzeten derékszög háromszögek áltl közrefogott romusznk minden szöge derékszög, vgyis kérdéses romusz egy oldlú négyzet. β ϕ Ekkor második négyzet területére felírhtó, hogy T = 4t +. Ezt összevetve zzl, hogy T = 4t + + : 4t + = 4t + + Ezt kellett izonyítnunk. = + 33

34 () Második izonyítás: Írjuk fel z árán láthtó derékszög háromszögen efogótételt, mjd djuk össze kpott két egyenletet: = q + = p + = p + q ( ) + = p + q + = Ezzel tételt eláttuk. (3) Hrmdik izonyítás: Legyen derékszög háromszög két efogój és, átfogój, és legyen kise -nél. Rjzoljunk -vel, mint sugárrl egy kört, melynek középpontj legyen z árán láthtó módon pont. Ekkor z érint- és szelszkszok tételét felírv: ( )( ) = + = + = Tehát tételt eizonyítottuk. (4) Negyedik izonyítás: ármely háromszögre igz koszinusztétel: Derékszög háromszög esetén γ = 90, így izonyítnunk. (5) Ötödik izonyítás: ármely szögre sin + os = 1. Derékszög háromszögen e szögfüggvények z árán láthtó módon oldlk rányát jelentik. Így z egyenlet: Vgyis: Ezt kellett izonyítnunk. + = 1 0 osγ = +. = + os 90 = +, és ezt kellett + = 1 + = p q 34

35 Pitgorsz tételének megfordítás: Tétel: H egy háromszög két oldlánk négyzetösszege egyenl hrmdik oldl négyzetével, kkor háromszög derékszög. izonyítás: Írjuk fel koszinusztételt: = + osγ. feltétel szerint + =, így: = osγ 0 = osγ Mivel és egy háromszög oldlhosszink mérszámi, iztosn pozitívk. kpott egyenlség tehát sk úgy teljesülhet, h osγ = 0. Viszont γ egy háromszög els szöge, így ez z egyenlség sk kkor igz, h γ = 90, és ezt kellett izonyítnunk. Pitgorsz tétele és megfordítás együtt: Tétel: Egy háromszög kkor és sk kkor derékszög, h két oldlánk négyzetösszege egyenl hrmdik oldl négyzetével. Pitgorsz tételéhez hsonló összefüggések igzk hegyesszög, illetve tompszög háromszögekre is. eláthtó, hogy h egy háromszög hegyesszög, kkor + >, h tomp- szög, kkor + <, h háromszög leghossz oldl. Mgsságtétel, efogótétel efogótétel: Derékszög háromszögen ármely efogó hossz mértni közepe z átfogónk és z dott efogó átfogór merleges vetületének. z ár jelölései szerint: = p és = q. izonyítás: T háromszög hsonló höz, mivel szögeik páronként egyenlk. Ekkor megfelel oldlk rányi megegyeznek: = p = p Mivel mindkét oldl nemnegtív, vonhtunk négyzetgyököt, és el már dódik izonyítndó állítás. tétel másik efogór teljesen hsonlón láthtó e. Mgsságtétel: Derékszög háromszögen z átfogóhoz trtozó mgsság efogók átfogór merleges vetületeinek mértni közepe, vgyis z ár jelöléseivel: m = pq. izonyítás: T háromszög hsonló T háromszöghöz, mert szögeik páronként egyenlk. Ekkor megfelel oldlk rá- p p T T m q q 35

36 ny megegyezik: m q = p m m = pq Mivel mindkét oldl nemnegtív, vonhtunk négyzetgyököt, és így dódik izonyítndó állítás. Poligonok Konvex sokszögek els és küls szögeinek összege Definíió: n oldlú sokszögnek (n-szögnek) nevezzük z olyn zárt síkidomot, melyet n d szksz htárol. definíióól következen z n-szögnek n d oldl, szöge és sús vn. nem szomszédos súsokt összeköt szksz sokszög átlój. ( 3) n n Tétel: z n oldlú konvex sokszögnek d átlój vn. izonyítás: sokszög egy súsáól nem húzhtó átló önmgá vlmint két szomszédos sús (e két súsl ugynis két oldl köti össze). Egy súsól tehát 3-ml kevese átló húzhtó, mint hány sús vn sokszögnek. Tehát egy súsól n oldlú sokszög esetén 3 n n 3 d átlót rjzolhtunk. Viszont mivel n d átló húzhtó, így n súsól összesen ( ) egy átlónk két végpontj vn, ezért minden átlót kétszer számoltunk. Vgyis kpott eredményünket osztni kell kettvel. Így kpjuk, hogy n oldlú sokszög átlóink szám, n( n 3) és ezt kellett izonyítnunk. Tétel: z n oldlú konvex sokszög els szögeinek összege ( n ) 180. izonyítás: z elz tétel izonyítás során felismertük, hogy sokszög egy súsáól n 3 d átló húzhtó. Ezen átlók viszont sokszöget n háromszögre ontják, melyek els szögeinek összege megegyezik sokszög els szögeinek összegével. Mivel háromszög n 180. els szögeinek összege 180, ezért sokszög els szögeinek összege ( ) Tétel: z n oldlú konvex sokszög küls szögeinek összege 360. izonyítás: konvex sokszög küls szögeit háromszög küls szögeihez hsonlón értelmezzük, vgyis egy els szög küls szöge els szög kiegészít szöge. Legyenek sokszög els szögei rendre 1; ; ; n, ekkor küls szögeinek összege: 1 1 ( ) ( ) = 180 n = = 180 n n 180 = 180 n 180 n = 360. n 36

37 Érintnégyszögek Definíió: Érintnégyszögnek nevezzük z olyn négyszöget, melynek oldli egy kör érinti. Ezzel ekvivlens következ definíió is: Érintnégyszög z olyn négyszög, melye kör írhtó. z érintnégyszög z láikn részletezett tétel lpján is definiálhtó. Érintnégyszögek tétele Érintnégyszögek tétele: H egy négyszög érintnégyszög, kkor szemközti oldlink öszszege egyenl, vgyis szokásos jelölésekkel: + = + d. izonyítás: z érintnégyszöge írt kör középpontját kössük össze z érintési pontokkl, melyek legyenek rendre E 1, E, E 3 és E 4. Mivel küls pontól körhöz húzott érintszkszok egyenl hosszúk, ezért D Eszerint: E = E és E = E E = E és DE = DE és + D = E + E + E + DE = = E + E + E + DE = 4 4 = E4 + DE4 + E + E = D + D Tehát + D = D +, és ezt krtuk izonyítni. z érintnégyszögek tételének megfordítás: Tétel: H egy konvex négyszögen szemközti oldlk hosszánk összege egyenl, kkor négyszöge kör írhtó (érintnégyszög). izonyítás: indirekten történik. Tegyük fel, hogy egy konvex négyszög szemközti oldlink összege egyenl, de négyszöge nem írhtó kör. H nem érintnégyszög, kkor ármely három oldlegyenese áltl meghtározott háromszöge írt kör negyedik oldlt nem érinti. H nins tompszöge, kkor mind négy szöge derékszög kell legyen, mert sk így lesz els szögeinek összege 360. Ekkor viszont szemközti oldlhosszk egyenlsége mitt négyzetet kptunk, mely érintnégyszög. H vn tompszöge, kkor három kiválsztott oldlegyenese összesen négy háromszöget htároz meg, melyeke négy kört írhtunk. Ezek közül z egyik olyn, hogy z árán láthtó módon négyszög egyik tompszögének szárát érinti, másikkl pedig nins közös pontj. nem érint oldl súsán át rjzoljunk érintt körhöz, D oldlll vló metszéspont legyen E. Ekkor E érintnégyszög, vgyis érvényes rá z érintnégyszögek tétele: D E 4 E O E 1 E 3 E 37

38 + E = E + ED háromszög tompszög, így leghossz oldl z E, vgyis E > D. Ugynkkor E D oldl els pontj, emitt E < D. Ekkor viszont: D + < E + = + E < + D D + < + D kpott eredmény viszont ellentmond nnk, hogy négyszög szemközti oldlink összege egyenl. Tehát ellentmondáshoz jutottunk, vgyis kiindulási feltevésünk helytelen volt. El következik, hogy h egy négyszög szemközti oldlink összege megegyezik, kkor z érintpnégyszög. Kerület z érintnégyszög oldli is különöz hosszúságúk lehetnek, így kerülete: Terület K = d. Tétel: z érintnégyszög területét T = s r összefüggés dj meg, hol s z érintnégyszög félkerülete, r pedig eírhtó kör sugr. izonyítás: Tekintsük z árán láthtó érintnégyszöget. Teljesül rá z érintnégyszögek tétele, így E1 = E4 és E1 = E és E = E3 és DE3 = DE4, ezen szkszokt x-szel, y-nl, z-vel és u-vl jelöltük. Ekkor z érintnégyszög területe 8 derékszög háromszög területeként írhtó fel, melyek páronként egyevágók (egy oldluk és két szögük megegyezik, mivel eírt kör középpontj egyen szögfelezk metszéspontj u u D is). E 3 Tehát: E 4 z r r z x r y r z r u r T = = x E O r = r x + y + z + u. r y ( ) Viszont háromszög kerülete: x E 1 y K = x + y + z + u = ( x + y + z + u), K vgyis x y z u s ezt kellett izonyítnunk = =, és így területre kpott kifejezés: ( ) T = r x + y + z + u = rs, és 38

39 Húrnégyszögek Definíió: Húrnégyszögnek nevezzük z olyn négyszöget, mely köré kör írhtó. Ezzel ekvivlens z definíió, hogy húrnégyszögnek nevezzük z olyn négyszöget, melynek oldli egy kör húrji. húrnégyszöget emellett definiálhtjuk következ tétellel is, melyet húrnégyszögek tételének nevezünk. Húrnégyszögek tétele Húrnégyszögek tétele: H egy négyszög húrnégyszög, kkor szemközti szögeinek összege 180. izonyítás: kerületi és középponti szögek tételét hsználjuk fel. H z árán láthtó húrnégyszög két szemközti szöge és γ, kkor hozzájuk trtozó ívekhez trtozó középponti szögek illetve γ, és z árán láthtó módon ezek épp teljesszöget teszik ki: D γ γ + γ = γ = 180 Mivel négyszög els szögeinek összege 360, ezért másik két szemközti szög összege is 180. Ezzel tételt eláttuk. tétel hsonlón igzolhtó olyn húrnégyszögre is, melynek köré írhtó körének középpontj húrnégyszögön kívül vn. tétel megfordítás: Tétel: H egy négyszög szemközti szögeinek összege 180, kkor négyszög húrnégyszög. izonyítás: indirekt úton történik. Tegyük fel, hogy egy négyszög egyik szöge és vele szemközti szög γ = 180, de nem írhtó köré kör (lásd következ oldli ár). Három pont köré mindig írhtó kör, legyen ez z árán láthtó módon z D háromszög köréírt köre, melyre nem illeszkedik. Két eset lehetséges, vgy körön elül, vgy zon kívül vn, ezt z lái két ár szemlélteti: ármelyik esetet is tekintjük, D egyenese metssze kört z E pontn. Ekkor ED négyszög húrnégyszög, és emitt igz rá h úrnégyszögek tétele, vgyis E szög ngyság 180. Viszont mivel D szög is 180, ezért E szög. Ekkor zonn z E háromszög egyik szöge, másik szöge 180, és mivel egy hrmdik szöge is vn, szögösszeg nem dódn 180 -nk. Tehát ellentmondáshoz jutottunk, így kiinduló állításunk helytelen. Tehát, h egy négyszög szemközti szögeinek összege 180, kkor négyszög húrnégyszög. két tétel együtt: Tétel: Egy négyszög kkor és sk kkor húrnégyszög, h szemközti szögeinek összege

40 D D 180 E 180 E Kerület húrnégyszög kerületét, mivel oldli között ninsenek feltétlenül egyenlk, z áltlános négyszögekre jellemz K = d képlettel számíthtjuk. Terület húrnégyszögek területképlete (éppen zért, mert kör írhtó köréjük), hsonlóságot mutt háromszögek Héron-féle területképletével (egy háromszög köré is mindig írhtó kör). 180 Tétel: z,, és d oldlú húrnégyszög területét T = ( s )( s )( s )( s d ) összefüggés lpján számíthtjuk, hol s húrnégyszög félkerülete. izonyítás: Írjuk fel z árán láthtó D húrnégyszögen D és D háromszögeken f-re koszinusztételt! = + os, és f = + d d os( 180 ) f. z egyenletek jo oldlát egyenlvé téve, vlmint os( 180 ) hsználv, kpjuk, hogy: + os = + + os d d = os összefüggést z egyenletet rendezzük os -r: (1) + d os = ( + d ). 40

41 Most fejezzük ki húrnégyszög T területét D és D háromszögek területének összegeként, trigonometrikus területképletet hsználv: ( ) sin dsin 180 sin d sin sin T = + = + = + d kifejezés átlkítás során kihsználtuk, hogy sin ( 180 ) = sin. kpott összefüggésl kifejezzük sin -t: T () sin =. + d ( ) Emeljük négyzetre z (1) és () egyenleteket (mivel mindkét egyenleten mindkét oldl nemnegtív, ezt megtehetjük): sin = 4T ( + d ) Mivel sin + os = 1, ezért: törtet eltávolítv: z egyenletet ( ) os = ( + d ) ( ) ( + d ) 4T + = 1 + d 4 + d 4 ( + d ) ( ) ( ) 16 4 T + + d = + d 16T -re rendezzük, mjd zonos átlkításokt végzünk: ( ) ( ) 16T = 4 + d + d ( ) ( ) 16T = + d + + d + d + + d 16T = + d + + d + d + + d ( ) ( ) 16T = + d + d d + d H evezetjük z ( ) ( ) ( ) ( d ) ( )( )( )( ) = + + T d = T d d d d d s = jelölést, kkor egyenletünk következ lk írhtó: ( ) ( ) ( ) ( ) T = s s s s d tl osztv és z egyenlet mindkét oldláól négyzetgyököt vonv kpjuk, hogy: T = ( s )( s )( s )( s d ).. 41