5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz leges pontossággal közelíthet az f függvénynek az u-hoz eléggé közeli helyeken felvett értékeivel. Az pedig, hogy az f függvény határértéke az u helyen v-vel egyenl ismét csak els közelítésben azt jelenti, hogy v közelíthet tetsz leges pontossággal az f függvénynek az u-hoz eléggé közeli és u-tól különböz helyeken felvett értékeivel. Ahhoz, hogy a tetsz leges pontossággal és az eléggé közeli kifejezéseket pontosabbá tudjuk tenni, szükségünk lesz a környezetek és a pontozott környezetek fogalmára. S t, annak érdekében, hogy bal és jobb oldali folytonosságról, továbbá bal és jobb oldali határértékr l is tudjunk beszélni, bevezetjük még a bal és jobb oldali könyezetek, illetve pontozott környezetek fogalmát is. Annak pontos körülírása céljából, hogy egyáltalán mely pontokban vethet fel a függvényhatárérték létezésének kérdése, szükségünk lesz valós számhalmazok torlódási pontjainak fogalmára. Ilyen pont (ahol egy függvénynek létezhet határértéke, vagyis a fenti u), lehet a, vagy a + is, miként a függvény határértéke, a fenti v is, ez magyarázza azt, hogy miért lesz szó a fejezet bevezet szakaszában a és a + környezeteir l is. 5.. Környezetek, torlódási pontok 5.. Deníció. Ha u valós szám és r pozitív szám, akkor az u szám r sugarú bal oldali környezetén, r sugarú jobb oldali környezetén, r sugarú bal oldali pontozott környezetén, r sugarú jobb oldali pontozott környezetén, illetve r sugarú pontozott környezetén rendre a B (u, r) := (u r, u], B + (u, r) := [u, u + r), Ḃ (u, r) := (u r, u), Ḃ + (u, r) := (u, u + r), intervallumot, illetve a Ḃ(u, r) := (u r, u + r) \ {u} halmazt értjük. 5.2. Deníció. Tetsz leges r pozitív szám esetén a r sugarú környezetén, r sugarú pontozott környezetén és r sugarú jobb oldali pontozott környezetén egyaránt a (, /r) intervallumot, a + r sugarú környezetén, r sugarú pontozott környezetén és r sugarú bal oldali pontozott környezetén egyaránt az (/r, + ) intervallumot értjük, legyen továbbá Ḃ (, r) := Ḃ + (+, r) :=. 5.3. Deníció. u R pontozott környezetén olyan valós számhalmazt értünk, amely megegyezik az u valamekkora sugarú pontozott környezetével. Hasonló értelemben beszélünk tetsz leges u R { } jobb oldali, és tetsz leges u R {+ } bal oldali pontozott környezeteir l is. 5.4. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy tetsz leges u R és 0 < r R esetén Ḃ(u, r) Ḃ(u, R), és hasonlót állíthatunk a bal és a jobb oldali pontozott környezetekr l is. Érdemes megjegyezni továbbá azt is, hogy bármely w és v (w < v) R-beli elemekhez található olyan r pozitív szám, melyre minden (x, y) B(w, r) B(v, r) esetén x < y. Például w v /2, ha w R és v R;, ha w / R és v / R; r := /( w + ), ha w R és v / R; /( v + ), ha v R és w / R. 5.5. Deníció. Legyen H R; az R halmaznak azokat az elemeit nevezzük a H számhalmaz torlódási pontjainak, amelyeknek minden egyes pontozott környezete tartalmaz H-beli számot. Hasonlóan, az R halmaznak azokat az elemeit nevezzük a H halmaz bal (jobb) oldali torlódási pontjainak,

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 64 amelyeknek minden egyes bal (jobb) oldali pontozott környezete tartalmaz H-beli számot. A H halmaz torlódási pontjainak halmazát H -vel, bal (jobb) oldali torlódási pontjainak halmazát H -vel (H +-vel) jelöljük. 5.6. Példa. Tetsz leges pozitív egész M esetén (Z (M, + )) = (Z (M, + )) = {+ }; Q = (R \ Q) = R; ha a nem-elfajuló I intervallum bal végpontja a, jobb végpontja b, akkor I = [a, b]. A következ tétel a torlódási pontok különféle jellemzéseit sorolja fel. 5.7. Tétel. Tetsz leges H R és u R esetén a következ állítások egymással egyenérték ek:. u H, 2. minden egyes r pozitív szám esetén H Ḃ(u, r) végtelen halmaz, 3. vagy minden r pozitív szám esetén H Ḃ (u, r) végtelen halmaz, vagy minden r pozitív szám esetén H Ḃ+(u, r) végtelen halmaz, 4. u H H +, 5. van olyan u-hoz tartó szigorúan monoton számsorozat, melynek minden tagja H-ban van, 6. van olyan u-hoz tartó számsorozat, melynek minden tagja H-nak u-tól különböz eleme. Bizonyítás.. 2. Tegyük fel, hogy van olyan R pozitív szám, melyre X := H Ḃ(u, R) véges nemüres halmaz, és bizonyítsuk be, hogy ekkor u-nak van olyan pontozott környezete, amely egyetlen H-beli elemet sem tartalmaz. Ez u R esetén az r := min{ x u } x X sugarú pontozott környezetére, u = esetén a (, min X), u = + esetén a (max X, + ) intervallumra biztosan teljesül. Mindhárom állítás abból következik, hogy ha u R és 0 < r R, akkor Ḃ(u, r) Ḃ(u, R), a második állításban r := / min X, a harmadikban r := / max X. 2. 3. Indirekt úton okoskodunk: tegyük fel, hogy van olyan r és r + pozitív szám, hogy H-nak mind a Ḃ (u, r ), mind a Ḃ+(u, r + ) pontozott egyoldali környezetben csak véges számú eleme van. Ekkor viszont bevezetve az r := min{r, r + } jelölést a H Ḃ(u, r) = (H Ḃ (u, r)) (H Ḃ+(u, r)) halmaz is véges, ami ellentmond a 2. állításnak. 3. 4. Evidens, hogy ha a 3. állítás els része teljesül, akkor u H, ha a második teljesül, akkor u H +. 4. 5. Tegyük fel, hogy u H, ekkor u vagy valós szám, vagy +. Deniáljuk az (y n ) sorozatot az el bbi esetben az y n := u /n, az utóbbi esetben az y n := n utasítással. Most olyan szigorúan monoton növ (x n ) sorozatot értelmezünk (éspedig rekurzióval), melyre minden n esetén x n H (y n, u). Legyen x a H (y, u) halmaz tetsz leges eleme, és ha valamely pozitív egész n mellett az x,..., x n számokat már értelmeztük, éspedig úgy, hogy egyrészt szigorúan növeked sorozatot alkossanak, másrészt minden k, n esetén x k H (y k, u) legyen, akkor x n+ legyen a H- nak tetsz leges olyan eleme, amely benne van a (max{x n, y n }, u) nyílt intervallumban (ilyen elem tényleg van, hiszen ez az intervallum bal oldali pontozott környezete u-nak és u bal oldali torlódási pontja H-nak). A közrefogási elvb l, illetve a + -hez tartó sorozatokra vonatkozó összehasonlító kritériumból következik, hogy lim(x n ) = u. A másik esetben, vagyis ha u jobb oldali torlódási pontja H-nak, hasonlóan konstruálható olyan u-hoz tartó szigorúan fogyó számsorozat, melynek minden tagja H-ban van: ezúttal u R vagy u = és y n := u + /n, illetve y n := n. 5. 6. Ha egy (x n ) számsorozat szigorúan monoton és az m-edik tagja egyenl u-val, akkor u R, és u nem lehet a határértéke ennek a sorozatnak, hiszen n > m esetén x n u ε := x m+ x m. Tehát ha egy sorozat szigorúan monoton és határértéke u, akkor minden tagja u-tól különböz. 6.. Legyen r tetsz leges pozitív szám és (x n ) olyan u-hoz tartó sorozat, melynek a tagjai H-nak u-tól különböz elemei. A határérték deníciójából következik (u = és u = + esetén is!), hogy valamely pozitív egész M küszöbindext l kezdve minden n-re x n B(u, r), tehát x n H Ḃ(u, r).

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 65 5.8. Állítás. Egy H számhalmaznak akkor és csakis akkor van torlódási pontja, ha H végtelen halmaz. Bizonyítás. Ha H-nak van torlódási pontja, akkor az el z tétel. 2. része szerint H-nak van végtelen részhalmaza, így maga a H halmaz is végtelen. Ha H végtelen és alulról (felülr l) nem korlátos, akkor biztosan torlódási pontja a (a + ). Ha H korlátos végtelen számhalmaz, akkor egyszer rekurzióval megadható olyan injektív sorozat, melynek értékkészlete részhalmaza a H-nak: Legyen x a H halmaz tetsz leges eleme (H nem üres, hiszen végtelen halmaz); ha valamely pozitív egész n esetén már értelmezettek a H halmaz páronként különböz x,, x n elemei, akkor az X := H \ {x,, x n } halmaz nem lehet az üres halmaz, hiszen akkor H nem végtelen halmaz volna, hanem n elem ; ennek az X halmaznak tetsz leges elemét x n+ -nek nevezve az x,, x n+ elemek továbbra is páronként különböz H-beli elemek. Az ilyen rekurzióval értelmezett (x n ) sorozat szükségképpen injektív, hiszen ha egy pozitív egész n és egy nála nagyobb m egész esetén x n = x m volna, akkor az x,, x m elemek nem volnának páronként különböz k. Továbbá egy ilyen (x n ) sorozat szükségképpen korlátos: H bármely alsó, illetve fels korlátja egyúttal a sorozatnak is alsó, illetve fels korlátja. A Bolzano Weierstrass-tétel szerint egy ilyen sorozatnak van konvergens részsorozata. Ha u a határértéke egy konvergens részsorozatnak, akkor u H, hiszen a határérték deníciója szerint az u szám bármely környezetében van a (rész)sorozatnak egynél több (végtelen sok) tagja, ezek elemei a H halmaznak, de az injektivitás miatt közülük legfeljebb egy lehet egyenl az u-val. Az alábbi, bizonyítás nélkül közölt állítások bizonyítása nem okozhat gondot az Olvasó számára. 5.9. Állítás. Legyen H R és u az R-nak -nél nagyobb (+ -nél kisebb) eleme. Ekkor a következ két-két állítás egymással egyenérték :. u bal oldali (jobb oldali) torlódási pontja a H- nak, 2. u torlódási pontja a H (, u) (H (u, + )) halmaznak. 5.0. Állítás. Ha H K R, akkor H K, H K és H + K +. 5.. Állítás. Ha A R és B R, akkor (A B) = A B. 5.2. Állítás. Bármely H R és bármely véges V R esetén (H V ) = (H \ V ) = H. 5.2. A folytonosság fogalma 5.3. Deníció. Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). Az a kijelentés, hogy f folytonos az u helyen (vagy u folytonossági helye az f függvénynek), azt jelenti, hogy minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, hogy minden x D(f) B(u, δ) esetén f(x) f(u) < ε. Az a kijelentés pedig, hogy f-nek szakadása van az u helyen (vagy u szakadási helye az f függvénynek), azt jelenti, hogy f nem folytonos az u helyen. Roppant egyszer en belátható a fenti deníciónak néhány további állítással való egyenérték sége: 5.4. Állítás. Tetsz leges egyváltozós f függvény és u D(f) esetén a következ kijelentések egymással egyenérték ek:. f folytonos az u helyen, 2. minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, hogy minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) f(u) < ε, 3. minden pozitív ε számhoz található az u számnak olyan U környezete, melyre minden x D(f) U esetén f(x) B(f(u), ε). 5.5. Deníció. Egy egyváltozós valós függvényt akkor nevezünk folytonosnak, ha az értelmezési tartományának minden egyes pontjában folytonos.

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 66 Közvetlenül a deníció alapján evidens, hogy a konstans függvények tetsz leges értelmezési tartomány mellett folytonosak (0 < ε miatt ε választásától függetlenül akármelyik pozitív szám alkalmas a δ szerepére). Újabb példák folytonos függvényre a pozitív egész kitev j, valamint az /q kitev j (q pozitív egész) hatványfüggvények: 5.6. Állítás. Tetsz leges pozitív egész m szám mellett az id m függvény (vagyis az egész R-en értelmezett x x m függvény) folytonos. Bizonyítás. Legyen u R és ε R +. Minthogy minden x B(u, ) esetén x u +, s így m x m u m m = x u x k u m k x u x k u m k x u m ( u + ) m, k=0 az és az ε/(m ( u + ) m ) számok közül a kisebbik játszhatja a δ szerepét. 5.7. Állítás. Minden pozitív egész q esetén az id /q függvény (vagyis páratlan q esetén az egész R- en értelmezett, páros q esetén pedig a nemnegatív számok halmazán értelmezett x q x függvény) folytonos. Bizonyítás. I. El ször a 0 helyen való folytonosságot bizonyítjuk. Legyen ε tetsz leges pozitív szám; az id /q függvény szigorúan monoton növ, ezért páratlan q esetén a ( ε q, ε q ) intervallumot a ( ε, +ε) intervallumba, páros q esetén a [0, ε q ) intervallumot a [0, ε) intervallumba vagyis mindkét esetben az értelmezési tartomány és a B(0, ε q ) környezet közös részét a B(0, ε) környezetbe képezi. II. Ha u pozitív szám és x B(u, u), akkor k=0 q x q u = x u x u q k=0 ( q x) k ( q q k u) ( q q < ε, u) ha x u < min{u, ε ( q u) q } =: δ. III. Ha q páratlan, u negatív és ε pozitív, akkor a függvényünknek a u helyen való és a II. részben már bizonyított folytonossága alapján választva a δ pozitív számot, a függvényünk páratlan voltából következik, hogy minden x B(u, δ) esetén amit bizonyítani kellett. q x q u = q x q u < ε, 5.8. Állítás. Az alábbi formulával értelmezett f : R R függvény folytonos a 0 helyen: f(x) := { x sin(/x), ha x 0 0, ha x = 0 Bizonyítás. Legyen ε R + és δ := ε. Minthogy a szinusz függvény értékkészlete része a [, ] intervallumnak, minden x Ḃ(0, δ) esetén f(x) f(0) = x sin(/x) x < ε, és persze a 0 = f(0) f(0) szám is kisebb, mint ε. 5.9. Állítás. A 0 pont szakadási pontja a szignum függvénynek.

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 67 Bizonyítás. Ha ε (0, ], akkor nincs olyan δ pozitív szám, melyre minden x B(0, δ) esetén sgn(x) 0 < ε volna, hiszen mindegyik ilyen környezetben van 0-tól különböz szám, de a 0 az egyetlen olyan szám, amely kielégíti az egyenl tlenséget. 5.20. Állítás. A Dirichlet-függvény egyetlen pontban sem folytonos. Bizonyítás. Minden számnak minden egyes környezetében van racionális szám is és irracionális szám is, tehát minden u R és δ R + esetén van olyan x B(u, δ), ahol a Dirichlet-függvény helyettesítési értéke pontosan -gyel tér el az u-beli helyettesítési értékt l. Ebb l következik, hogy az (0, ]-beli ε hibakorlátokhoz nem található olyan δ, amilyennek az u-beli folytonosság deníciója szerint kellene léteznie. 5.2. Deníció (egy oldali folytonosság). Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). Az f függvényr l akkor mondjuk, hogy balról (jobbról) folytonos az u helyen, ha minden egyes ε pozitív számhoz található olyan δ pozitív szám, hogy minden x D(f) (u δ, u] esetén (minden x D(f) [u, u + δ) esetén) f(x) f(u) < ε. A következ állítások (igen egyszer ) bizonyítását a Kedves Olvasóra bízzuk. 5.22. Állítás (a folytonosság megfogalmazása az egy oldali folytonosság segítségével). Egy egyváltozós valós függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartományának egy pontjában, ha ott balról is és jobbról is folytonos. 5.23. Állítás (az egy oldali folytonosság megfogalmazása a folytonosság segítségével). Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). f pontosan akkor balról (jobbról) folytonos az u helyen, ha az f D(f) (,u] függvény (az f D(f) [u,+ ) függvény) folytonos az u helyen. 5.24. Állítás (folytonosság és egy oldali folytonosság). Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). f pontosan akkor folytonos az u helyen, ha mind az f D(f) (,u], mind az f D(f) [u,+ ) függvény folytonos az u helyen, másszóval u pontosan akkor szakadási pontja az f függvénynek, ha az f D(f) (,u] és f D(f) [u,+ ) függvények közül legalább az egyiknek szakadási pontja. 5.3. Függvény határértéke, folytonosság és határérték kapcsolata 5.25. Deníció (függvényhatárérték). Legyen f egyváltozós valós függvény, u torlódási pontja D(f)-nek és v R. Az a kijelentés, hogy f határértéke az u helyen v-vel egyenl, a következ t jelenti: minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, amelyre minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) B(v, ε). 5.26. Megjegyzés. Egy f-nek egy u D(f) helyen legfeljebb egy határértéke lehet. Ha ugyanis w is, és a nála nagyobb v is határértéke volna f-nek az u helyen, akkor véve egy olyan r pozitív számot, amelyre B(w, r) B(v, r) = (lásd a + és a környezeteinek bevezetése után tett Megjegyzést), akkor ehhez az ε := r számhoz is található volna olyan δ w, illetve δ v pozitív szám, hogy minden x D(f) Ḃ(u, δ w) esetén f(x) B(w, r) és minden x D(f) Ḃ(u, δ v) esetén f(x) B(v, r) volna, ezért a δ := min{δ w, δ v } jelöléssel minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) B(w, r) B(v, r) = volna.

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 68 Annak a ténynek a jelölésére, hogy az f függvény határértéke az u helyen v, a lim x u f(x) = v és a lim u f = v, illetve kiemelt formulákban a lim f(x) = v, lim f = v x u u jelsorozatok egyikét használjuk de természetesen az x helyett más bet is használható. Hasonlóan értelmezhet a bal és a jobb oldali határérték fogalma is: 5.27. Deníció (egy oldali határértékek). Legyen f egyváltozós valós függvény, u bal (jobb) oldali torlódási pontja D(f)-nek és v R. Az a kijelentés, hogy az f függvény bal (jobb) oldali határértéke az u helyen v-vel egyenl, a következ t jelenti: minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, amelyre minden x D(f) Ḃ (u, δ) (x D(f) Ḃ+(u, δ)) esetén f(x) B(v, ε). Annak jelölésére, hogy f bal oldali határértéke az u helyen v-vel egyenl, a lim x u f(x) = v, lim u f = v, lim x u 0 f(x) = v, vagy lim u 0 f = v, illetve kiemelt formulákban a lim f(x) = v, lim x u u f = v; lim f(x) = v, lim x u 0 f = v u 0 jelsorozatokat szokás használni (mi az els kett t-kett t fogjuk); jobb oldali határérték esetén a mínusz jel helyére a plusz jel kerül. A határérték és az egy oldali határértékek fogalma közötti kapcsolatokat illet en a következ ket állíthatjuk (ezek bizonyítását az Olvasóra bízzuk): 5.28. Állítás (az egy oldali határérték lesz kített függvény határértéke). Legyen u bal (jobb) oldali torlódási pontja az f függvény értelmezési tartományának és v R; ekkor a következ két kijelentés egymással egyenérték :. lim x u f(x) = v, (lim x u+ f(x) = v), 2. az f (,u) D(f) (f (u,+ ) D(f) ) függvény határértéke az u helyen v-vel egyenl. 5.29. Állítás (kapcsolatok az egy oldali limesz(ek) és a limesz között). I. Ha u D(f) D(f) + és lim x u f(x) = lim x u+ f(x) = v, akkor lim x u f(x) = v, II. ha lim x u f(x) = v és u D(f) (u D(f) +), akkor lim x u f(x) = v (lim x u+ f(x) = v), III. ha u D(f) \ D(f) + (u D(f) + \ D(f) ) és v R, akkor az a kijelentés, hogy f határértéke az u helyen egyenl v-vel, egyenérték azzal, hogy f bal (jobb) oldali határértéke az u helyen egyenl v-vel. Minthogy a sorozatok is egyváltozós valós függvények, és sorozatokkal kapcsolatban is beszéltünk határértékr l, kellemetlen lenne, ha a kétféle határérték-fogalom között nem lenne meg az összhang. A következ tétel eloszlatja az ezzel kapcsolatos esetleges aggodalmakat (vegyük gyelembe azt is, hogy az 5.6. Példa szerint egy sorozat értelmezési tartományának egyetlen torlódási pontja a +, s emiatt a határérték létezésének kérdése csak a + helyen vethet fel). 5.30. Tétel (sorozat határértéke mint függvényhatárérték). Legyen (a n ) valós számsorozat és v R; ekkor a következ két kijelentés egymással egyenérték :. lim(a n ) = v, 2. az (a n ) függvény határértéke (az imént bevezetett értelemben) a + helyen v-vel egyenl. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy lim(a n ) = v deníciója v = ± esetén is fogalmazható úgy, hogy minden pozitív ε számhoz létezik olyan M pozitív egész, melyre minden M-nél nagyobb n esetén a n B(v, ε). De minthogy az M-nél nagyobb egészek halmaza megegyezik a sorozat értelmezési tartományának és a B(+, /M) környezetnek a metszetével, az el bbi állítás ugyanazt fejezi ki, mint a tételben megfogalmazott 2. állítás.

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 69 5.3. Deníció. Legyen u H R; ekkor az a kijelentés, hogy u izolált pontja a H halmaznak, azt jelenti, hogy létezik olyan r pozitív szám, melyre H B(u, r) = {u}, míg az, hogy u nem-izolált pontja H-nak, azt jelenti, hogy u H H. 5.32. Megjegyzés. Összehasonlítva az izolált pont denícióját a torlódási pont deníciójával, látható, hogy tetsz leges H R számhalmaz izolált pontjainak halmaza egyenl a H \ H halmazzal, tehát H azon pontjainak halmaza, amelyek nem izolált pontjai a H-nak, azonos H nem-izolált pontjainak halmazával (H \ (H \ H ) = H H ). 5.33. Tétel (a folytonosság jellemzése a határérték segítségével). Tetsz leges egyváltozós valós f függvény és u D(f) esetén a következ két kijelentés egymással egyenérték :. f folytonos az u helyen; 2. u izolált pontja D(f)-nek, vagy u D(f) és lim x u f(x) = f(u). Bizonyítás.. 2. Ha u nem izolált pontja D(f)-nek, akkor a tétel el tt tett megjegyzés szerint u D(f) és az u-beli folytonosság deníciója szerint minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, melyre minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) f(u) < ε, azaz f(x) B(f(u), ε). 2.. Ha van olyan r pozitív szám, amelyre D(f) B(u, r) = {u} és ε tetsz leges pozitív szám, akkor minden x D(f) B(u, r) esetén, azaz x = u esetén 0 = f(x) f(u) < ε. Ha pedig u D(f) D(f), akkor a határérték deníciója szerint minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, melyre minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) B(f(u), ε), azaz f(x) f(u) < ε. Az egyváltozós valós függvény értelmezési tartományának egy eleme pontosan akkor szakadási pontja a függvénynek, ha ott a függvény nem folytonos, így az el bbi tétellel egyenérték az alábbi is: 5.34. Tétel (a szakadási pontok jellemzése). Az f függvény értelmezési tartományának egy u eleme pontosan akkor szakadási pontja f-nek, ha u torlódási pontja az értelmezési tartománynak és az f(u) szám nem határértéke f-nek az u helyen. 5.35. Tétel (a véges függvényhatárérték jellemzése a folytonosság segítségével). Legyen az u valós szám torlódási pontja az f függvény értelmezési tartományának és legyen v is valós szám. Ekkor a következ két kijelentés egymással egyenérték :. lim x u f(x) = v; 2. az { f(x), ha x D(f) \ {u}, F (x) := v, ha x = u formulával értelmezett F : D(f) {u} R függvény folytonos az u helyen. Bizonyítás. Mindkét kijelentés azt jelenti, hogy minden pozitív ε számhoz található olyan δ, melyre minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) v < ε, hiszen u minden egyes pontozott környezetének ugyanaz a metszete a D(f) halmazzal, mint a D(F ) halmazzal és egy ilyen metszethalmaz minden egyes x elemére f(x) = F (x). 5.4. Átviteli elvek, sorozatfolytonosság és a Cauchy-féle feltétel Most olyan szükséges és elégséges feltételeket fogunk megismerni, amelyek a függvény folytonosságának, illetve határértékének fogalmát a sorozat határértéke fogalmának segítségével ragadják meg, utána a sorozatok véges határértékének létezésére vonatkozó Cauchy-féle feltétel általánosításáról lesz szó. Az els tételben szerepl. és 2. állítások egyenérték ségét kimondó tételt szokták a határértékre vonatkozó els átviteli elvnek nevezni.

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 70 5.36. Tétel. Legyen u torlódási pontja az egyváltozós valós f függvény értelmezési tartományának és v R; ekkor a következ három kijelentés egymással egyenérték :. lim u f = v, 2. minden olyan u-hoz tartó (x n ) sorozatra, melynek tagjai D(f)-nek u-tól különböz elemei, v = lim(f(x n )), 3. minden olyan u-hoz tartó szigorúan monoton (x n ) sorozatra, melynek tagjai D(f)-ben vannak, v = lim(f(x n )). Bizonyítás.. 2. Legyen (x n ) olyan u-hoz tartó sorozat, melynek minden tagja D(f)-nek u-tól különböz eleme és legyen ε tetsz leges pozitív szám. Az. állítás alapján válasszunk olyan δ pozitív számot, melyre minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) B(v, ε), majd egy olyan küszöbindexet, amelyt l kezdve minden n-re x n B(u, δ). Ekkor δ választása és x n u miatt ugyanett l a küszöbindext l kezdve minden n-re f(x n ) B(v, ε). 2. 3. Legyen (x n ) olyan u-hoz tartó szigorúan monoton sorozat, melynek minden tagja benne van f értelmezési tartományában. Egyszer indirekt okoskodás mutatja, hogy minden n-re x n u: ha valamely m pozitív egész esetén x m = u volna, akkor egyrészt u mindenképpen valós szám volna, másrészt a sorozat szigorú monoton növekedése [csökkenése] miatt a sorozat m+-nél nagyobb index tagjai nagyobbak [kisebbek] volnának x m+ -nél, vagyis nem lennének benne az u szám ε := x m x m+ sugarú környezetében, így az ε hibakorláthoz nem lehetne találni megfelel küszöbindexet. Ezek szerint a (x n ) sorozatról a 2. állítás alapján állíthatjuk, hogy a hozzá tartozó függvényértéksorozat határértéke v. 3.. Azt mutatjuk meg, hogy az. állítás tagadásából következik a 3. állítás tagadása: Ha v nem volna határértéke f-nek az u helyen, akkor volna olyan ε pozitív szám, melyre minden δ pozitív számhoz létezne a D(f) Ḃ(u, δ) halmazban az f(x) / B(v, ε) feltételnek eleget tev x, azaz bevezetve a H := f [R \ B(v, ε)] (= {x D(f) : f(x) / B(v, ε)}) jelölést u torlódási pontja lenne a H halmaznak, azaz (lásd a torlódási pontok jellemzéseir l szóló tétel. és 5. állításának egyenérték ségét) létezne olyan u-hoz tartó szigorúan monoton (x n ) sorozat, melynek minden tagja a H halmazban van, ezért v nem lehet határértéke az (f(x n )) sorozatnak (a szóban forgó ε pozitív számhoz nem található olyan küszöbindex, melyt l kezdve minden n-re f(x n ) benne volna a B(v, ε) környezetben). A következ tételben szerepl. és 2. állítások egyenérték ségét kimondó tételt szokták a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek nevezni. 5.37. Tétel. Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). Ekkor a következ három kijelentés egymással egyenérték :. f folytonos az u helyen, 2. minden olyan u-hoz tartó (x n ) sorozatra, melynek tagjai D(f)-ben vannak, lim(f(x n )) = f(u), 3. minden olyan szigorúan monoton u-hoz tartó (x n ) sorozatra, melynek minden tagja eleme az értelmezési tartománynak, f(u) = lim(f(x n )). Bizonyítás.. 2. Legyen (x n ) olyan u-hoz tartó sorozat, melynek tagjai D(f)-ben vannak és legyen ε tetsz leges pozitív szám. Válasszunk. alapján egy olyan δ pozitív számot, melyre minden x D(f) B(u, δ) esetén f(x) B(f(u), ε), majd lim(x n ) = u alapján egy olyan M küszöbindexet, melyt l kezdve minden n-re x n B(u, δ). Ekkor ugyanett l a küszöbindext l kezdve minden n-re x n D(f) B(u, δ), ezért f(x n ) B(f(u), ε). 2. 3. Nyilvánvaló. 3.. Tegyük fel, hogy f nem folytonos az u helyen, bizonyítjuk, hogy ekkor a 3. állítás sem teljesülhet. Az el z szakasz utolsó el tti tétele (5.34.) szerint u torlódási pontja az értelmezési tartománynak és f(u) nem határértéke az f függvénynek. Az el z tétel alapján ebb l következik egy olyan u-hoz tartó szigorúan monoton (x n ) sorozat létezése, melynek minden tagja D(f)-ben van, s melyre f(u) nem határértéke az (f(x n )) sorozatnak.

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 7 5.38. Deníció (sorozatfolytonosság (szekvenciális folytonosság)). Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). Azt, hogy az (f, u) párra teljesül a most bizonyított tételben szerepl 2. állítás, úgy szokták rövidebben fogalmazni, hogy f az u pontban sorozatfolytonos (vagy szekvenciálisan folytonos). Ha f az értelmezési tartományának minden pontjában sorozatfolytonos, akkor sorozatfolytonosnak, vagy szekvenciálisan folytonosnak nevezik. 5.39. Példák. Szögezzük le, hogy az el z fejezetben néhány függvényr l már bizonyítottuk a sorozatfolytonosságot, vagyis a folytonosságot (s t, egyes esetekben a tételt azonosító rövid címben használtuk is már a szekvenciális folytonosság kifejezést). Melyek voltak ezek a függvények?. Az abszolútérték-függvény: bármely valós u esetén minden u-hoz konvergáló sorozat abszolút értéke konvergál u -hez, 2. az /id függvény, azaz a nullától különböz valós számok halmazán értelmezett x /x függvény: ha egy sorozat minden tagja nullától különböz, és tart egy nullától különböz u számhoz, akkor a reciproka tart /u-hoz, 3. minden -nál nagyobb q egész esetén a q-adik gyök függvény: ha x n u, továbbá páros q esetén u 0 és minden n-re x n 0, akkor q x n q u, 4. az exponenciális függvények, de mindezek el tt említhettük volna még a konstans függvényeket is. Van továbbá néhány olyan függvény, amelynek a sorozatfolytonossága könnyen következik az el z fejezet tételeib l, állításaiból, például a racionális kitev j hatványfüggvényeké és a hiperbolikus függvényeké. Egyváltozós valós függvény valamely pontban vett határértékének létezésére is lehet adni sorozatokkal megfogalmazott szükséges és elégséges feltételt: 5.40. Tétel (a határértékre vonatkozó második átviteli elv). Legyen u torlódási pontja az f függvény értelmezési tartományának. Ekkor a következ két kijelentés egymással egyenérték :. létezik a lim u f, 2. minden olyan u-hoz tartó (x n ) sorozatra, melynek tagjai D(f)-nek u-tól különböz elemei, az (f(x n )) sorozatnak is van határértéke. Bizonyítás. Az. 2. állítás a határértékre vonatkozó els átviteli elv. 2. részéb l következik (v := lim u f). 2.. Elég azt bizonyítani, hogy a lim(f(x n )) határérték minden egyes u-hoz tartó (x n ) (D(f) \ {u}) Z+ sorozat esetén ugyanaz lesz, hiszen ekkor az (f(x n )) sorozatok közös v határértékére alkalmazható lesz a határértékre vonatkozó els átviteli elv 2.. része. Legyen tehát (x n ) és (y n ) két olyan u-hoz tartó sorozat, melyeknek minden egyes tagja D(f)-nek u-tól különböz eleme és (z n ) a z 2k := x k, z 2k := y k utasításokkal értelmezett összefésült sorozat. Ez utóbbi sorozat határértéke szintén u, hiszen ha n M esetén x n B(u, ε) és y n B(u, ε), akkor n 2M esetén z n B(u, ε). Továbbá minden n-re z n D(f) \ {u}, így a 2. állítás szerint az (f(z n )) sorozatnak is van határértéke, márpedig mind az (f(x n )), mind az (f(y n )) sorozat részsorozata az (f(z n )) sorozatnak, ezért ezeknek is van határértéke, éspedig mind a kett megegyezik a lim(f(z n )) határértékkel. 5.4. Tétel (a véges függvényhatárérték Cauchy-féle feltétele). Legyen u torlódási pontja az f függvény értelmezési tartományának, ekkor a következ két kijelentés egymással egyenérték :. létezik a lim u f határérték és ez véges, 2. minden egyes ε pozitív számhoz található olyan δ pozitív szám, hogy a D(f) Ḃ(u, δ) halmazból vett x, y számokra f(x) f(y) < ε.

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 72 Bizonyítás.. 2. Legyen ε tetsz leges, δ pedig olyan pozitív szám, hogy minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén teljesüljön az f(x) lim u f < ε/2 egyenl tlenség. Ekkor a háromszög-egyenl tlenségb l következik, hogy ha mind az x, mind az y szám eleme a D(f) Ḃ(u, δ) halmaznak, akkor f(x) f(y) f(x) lim u f + lim u f f(y) < ε. 2.. Az el z tétel 2.. részét fogjuk alkalmazni. El ször azt bizonyítjuk, hogy tetsz leges olyan u-hoz tartó (x n ) sorozatra, melynek minden tagja D(f)-nek u-tól különböz eleme, az (f(x n )) sorozat konvergens, azaz teljesíti a sorozatokra vonatkozó Cauchy-féle feltételt. Legyen tehát ε tetsz leges pozitív szám, válasszunk hozzá olyan δ pozitív számot, amilyennek a létezését a 2. állítás garantálja, majd ehhez egy olyan M küszöbindexet, amelyt l kezdve minden n-re x n Ḃ(u, δ). Ha m M és n M, akkor x m is és x n is eleme a D(f) Ḃ(u, δ) halmaznak, így δ választása alapján f(x m) f(x n ) < ε. Az el z tételb l következik, hogy létezik a lim u f határérték, jelöljük ezt v-vel, az els átviteli elvb l pedig az, hogy ez a v egyenl az el z bekezdésben vizsgált (f(x n )) alakú sorozatok határértékével. S minthogy az utóbbi sorozatok konvergensek, v valóban véges. 5.5. Folyonosság, határérték, alapm veletek Emlékeztetünk rá, hogy egyváltozós valós függvények összegét, különbségét, szorzatát és hányadosát a bevezet fejezet végén értelmeztük. 5.42. Tétel (folytonosság és az alapm veletek). Tegyük fel, hogy f és g folytonos az u D(f) D(g) helyen; I. ekkor f + g, f g és f g is folytonos az u helyen, II. ha továbbá g(u) 0, akkor f/g is folytonos az u helyen. Bizonyítás. I. A folytonosságra vonatkozó átviteli elvet (5.37.) alkalmazzuk. Legyen (x n ) olyan u-hoz tartó sorozat, melynek minden egyes tagja benne van a D(f) D(g) halmazban. Ekkor a 5.37. Tétel. 2. állítása szerint lim(f(x n )) = f(u) és lim(g(x n )) = g(u), tehát az f(u) + g(u) szám egyenl e két sorozat összegének határértékével, azaz (f + g)(u) = lim((f + g)(x n )), és hasonló mondható a különbségr l és a szorzatról is. II. Az I. rész bizonyításához képest csak annyi az eltérés, hogy az u-hoz tartó (x n ) sorozatot most a (D(f/g)) Z+ halmazból kell választanunk, így nem csak a g(u), hanem minden egyes n-re a g(x n ) szám is nullától különböz, ezért ( ) ( ) f f(u) (u) = g g(u) = lim f(xn ) f = lim g(x n ) g (x n), tehát f/g-re is alkalmazható a 5.37. Tétel 2.. állítása. 5.43. Következmény. Minden racionális törtfüggvény folytonos. Az el z tételéhez hasonló az összeg, különbség, szorzat és hányados határértékér l szóló tételek bizonyítása, csak ezúttal nem a folytonosságra, hanem a határértékre vonatkozó (els ) átviteli elvet kell használni, úgyhogy ezeket a bizonyításokat mell zzük, viszont az eredményeket összefoglaljuk kétféle módon is. El ször az alábbi táblázat segítségével:

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 73 5.44. Tétel (határérték és az alapm veletek). Ha f és g egyváltozós valós függvények, h az f +g, f g, f g és f/g függvények egyike, u torlódási pontja a h függvény értelmezési tartományának és léteznek a lim u f =: a, lim u g =: b határértékek, akkor attól függ en, hogy a és b, negatív szám, nulla, pozitív szám, vagy +, a h függvény u-beli határértékér l a következ t lehet állítani (a négy részre osztott rubrikák mindegyikében a bal fels sarok tartalma vonatkozik az összegfüggvényre, a jobb fels saroké a különbségfüggvényre, a bal alsóé, illetve a jobb alsóé a szorzat- illetve a hányadosfüggvényre; a kérd jellel jelölt esetekben semmi általános érvény t nem lehet állítani): b = lim u g a = lim u f = (, 0) = 0 (0, + ) = +? + + +? + = +? + 0? 0 0? a + b a b a + b a b a + b a b + + (, 0) + + a c a/b a c 0 a c a/b a + b a b a + b a b a + b a b + + = 0?? a c? a c? a c??? a + b a b a + b a b a + b a b + + (0, + ) a c a/b a c 0 a c a/b + +? + + + +? = +? 0? 0 + 0 +? Vagyis a táblázat tartalma tömören megfogalmazva: ha a négy alapm velet egyike, h = f g és R-ban elvégezhet az a b m velet, akkor lim u h = a b. A téma lezárásaképpen azt a kijelentést pontosítjuk, hogy a h függvény határértékér l a kérd jellel jelölt esetek egyikében sem lehet semmi általános érvény t állítani. Ezzel kapcsolatban a következ ket lehet bizonyítani:. tetsz leges u R esetén mind a 7 esetben adható példa olyan f és g függvényre, hogy a hozzájuk tartozó h függvénynek nem létezik határértéke az u helyen; 2. ha u R, (a, b, ) R {, 0, + } {+,,, /} a kérd jeles hármasok egyike és v attól a két megszorítástól eltekintve, hogy az a = b / R, = / esetben nem lehet nullánál kisebb és a a = b / R, = / esetben nem lehet nullánál nagyobb az R tetsz leges eleme, akkor van olyan f és g függvény, amelyekre lim u f = a, lim u g = b és lim u f g = v. E példák konstruálását feltétlenül tanácsolom minden Kedves Olvasónak. 5.6. Folytonosság, határérték, kompozíció 5.45. Tétel (a kompozíció folytonossága egy pontban). Ha a g függvény folytonos az u D(g) helyen, v := g(u) D(f) és f folytonos a v helyen, akkor f g folytonos az u helyen. Bizonyítás. Legyen ε tetsz leges pozitív szám; f folytonos a v helyen, azért van olyan pozitív r szám, melyre minden y D(f) B(v, r) esetén f(y) f(v) < ε. g folytonos az u helyen így ehhez az r számhoz (is) található olyan δ pozitív szám, melyre minden x D(g) B(u, δ) esetén g(x) B(v, r). Legyen mármost x D(f g) B(u, δ), ekkor g(x) eleme egyrészt D(f g) deníciója szerint D(f)-nek, másrészt δ választása szerint B(v, r)-nek is, ezért r választása alapján állíthatjuk, hogy f(g(x)) f(g(u)) < ε. 5.46. Következmény (a kompozíció folytonossága). Két folytonos függvény kompozíciója folytonos feltéve persze, hogy létezik a kompozíciójuk.

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 74 Amit most az összetett függvény határértékér l bizonyítunk, tekinthet akár négy tételnek is, de talán pontosabb, ha úgy fogalmazunk, hogy két tétel és az egyiknek két következménye az ismétlések elkerülése végett egy tételben fogalmazva: 5.47. Tétel (a kompozíció határértéke egy pontban). Legyenek f és g egyváltozós valós függvények, u torlódási pontja az f g függvény értelmezési tartományának, és tegyük fel, hogy létezik a lim u g =: v határérték. Ha továbbá I. v D(f), f folytonos a v helyen és w := f(v), vagy II. létezik olyan r pozitív szám, melyre minden x Ḃ(u, r) D(f g) esetén g(x) v, v D(f) és létezik a lim v f =: w, vagy III. v D(f) \ D(f) és létezik a lim v f =: w, vagy IV. g injektív, v D(f) és létezik a lim v f =: w, akkor létezik a lim u f g határérték is és egyenl w-vel. Bizonyítás. Legyen ε tetsz leges pozitív szám. Mind a négy esetben létezik olyan δ 0 pozitív szám, melyre minden y D(f) Ḃ(v, δ 0) esetén f(y) B(w, ε), s t, az I. esetben ezt még az y = v számról is állíthatjuk. Abból, hogy lim u g = v, következik egy olyan δ pozitív szám létezése, melyre minden x D(g) Ḃ(u, δ) esetén g(x) B(v, δ 0). Az I. esetben tetsz leges x D(f g) Ḃ(u, δ) esetén g(x) D(f) B(v, δ 0), ezért f(g(x)) B(w, ε). A II. esetben vegyük az összetett függvény értelemzési tartományának tetsz leges olyan x elemét, amely benne van az u középpontú min{r, δ} sugarú pontozott környezetben is, akkor g(x) Ḃ(v, δ 0) D(f), s emiatt f(g(x)) B(w, ε). A III. eset visszavezethet a II. esetre: legyen r := δ (lásd az összetett függvény értelmezési tartományának denícióját). A IV. esetben a II. állítás szerint elég egy olyan r pozitív szám létezését bizonyítanunk, melyre minden x D(g) Ḃ(u, r) esetén g(x) v. g injektivitása miatt azoknak az u-tól különböz x 0 D(g) valós számoknak a száma, amelyekre g(x 0 ) = v, 0 vagy. Ha egyáltalán nincs ilyen x 0, akkor az el bbi állítás minden egyes r pozitív számra teljesül, ha pedig egy ilyen van, akkor az r számot u R esetén választhatjuk x 0 u -nak, u / R esetén például az x 0 + szám reciprokának. 5.48. Megjegyzés. A III.-ban szerepl v D(f) \D(f) feltétel biztosan teljesül akkor, ha v = és D(f) alulról nem korlátos, vagy ha v = + és D(f) felülr l nem korlátos. 5.7. Folytonosság, határérték, rendezés 5.49. Tétel (a folytonos függvény lokális el jeltartása). Ha az u D(f) helyen az f függvény folytonos, és ott a helyettesítési értéke pozitív (negatív), akkor van olyan δ pozitív szám, melyre minden x D(f) B(u, δ) esetén f(x) > 0 (f(x) < 0). Bizonyítás. Válasszuk a δ számot a folytonosság deníciója alapján az ε := f(u) hibakorláthoz. Vegyük észre, hogy az alábbi tétel egy speciális esetével már találkoztunk a sorozatoknál. 5.50. Tétel (függvényhatárérték és rendezés). Legyen H R, u H, f : H R, g : H R és tegyük fel, hogy léteznek a lim u f =: v és lim u g =: w határértékek. I. Ha w < v, akkor létezik olyan δ pozitív szám, melyre minden x H Ḃ(u, δ) esetén g(x) < f(x); II. ha létezik olyan r pozitív szám, melyre minden x H Ḃ(u, r) esetén f(x) g(x), akkor v w.

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 75 Bizonyítás. I. Legyen ε olyan pozitív szám, melyre minden (z, y) B(w, ε) B(v, ε) esetén z < y (lásd az 5.4. Megjegyzést) és δ olyan pozitív szám, melyre minden x H Ḃ(u, δ) esetén f(x) B(v, ε) és g(x) B(w, ε). II. Ha w < v volna, akkor a tétel I. része szerint létezne olyan δ, melyre minden x H Ḃ(u, δ) esetén g(x) < f(x) volna, de ez azon x H számok esetén, melyek az u elem min{r, δ} sugarú pontozott környezetében is benne vannak, ellentmondásra vezet: ezeknek ki kellene elégíteniük mind az f(x) g(x), mind a g(x) < f(x) egyenl tlenséget. Házi feladatként fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be az azonos számhalmazon értelmezett három függvényr l szóló közrefogási elvet (rend relvet), továbbá a + -hez tartó ( -hez tartó) függvényekr l szóló összehasonlító kritériumot. 5.8. Monoton függvények bal és jobb oldali határértékei Most a monoton sorozatok határértékének létezésér l szóló tétel(eke)t általánosítjuk: 5.5. Tétel. Legyen f egyváltozós valós monoton függvény. I. Tegyük fel, hogy b := sup D(f) / D(f), ekkor { sup R(f), ha f monoton növ, lim f = b inf R(f), ha f monoton fogyó; II. tegyük fel, hogy a := inf D(f) / D(f), ekkor { inf R(f), ha f monoton növ, lim f = a sup R(f), ha f monoton fogyó. Bizonyítás. I. Legyen f monoton növ, ε tesz leges pozitív szám, és jelöljük y-nal a B(sup R(f), ε) környezet bal végpontját. Ez a szám kisebb, mint sup R(f), ezért van olyan z D(f), melyre f(z) > y, s így f monoton növ volta miatt minden x D(f) (z, b) esetén y < f(z) f(x) sup R(f), vagyis ezen x számokra f(x) B(sup R(f), ε). És minthogy a D(f) (z, b) halmaz tartalmazza b egy pontozott környezetének D(f)-fel való metszetét, f (bal oldali) határértéke a b helyen valóban sup R(f). A további három állítás bizonyítása hasonlóan történhet. 5.52. Megjegyzés. A tétel I. állításából nem csak a korlátos monoton sorozatok konvergenciájáról szóló tétel következik, hanem az is, hogy ha egy nem korlátos sorozat monoton növ (fogyó), akkor határértéke + ( ). 5.53. Tétel (monoton függvény egy oldali határértékei). Legyen g egyváltozós valós monoton függvény. I. Tegyük fel, hogy b D(g), ekkor { sup R(g D(g) (,b) ), ha g monoton növ, lim g = b inf R(g D(g) (,b) ), ha g monoton fogyó, ha ráadásul a b D(g) feltétel is teljesül, akkor ez a határérték véges, éspedig növeked g esetén nem nagyobb, fogyó g esetén nem kisebb g(b)-nél. II. Tegyük fel, hogy a D(g) +, ekkor lim a+ g = { inf R(g D(g) (a,+ ) ), ha g monoton növ, sup R(g D(g) (a,+ ) ), ha g monoton fogyó,

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 76 ha ráadásul az a D(g) feltétel is teljesül, akkor ez a határérték véges, éspedig növeked g esetén nem kisebb, fogyó g esetén nem nagyobb g(a)-nál. III. Tegyük fel, hogy u D(g) D(g) +, ekkor lim u g { limu+ g, ha g monoton növ, lim u+ g, ha g monoton fogyó, és mindkét egy oldali határérték véges; ha ráadásul az u D(g) feltétel is teljesül, akkor a bal és jobb oldali határértékek közrefogják a g(u) számot. Bizonyítás. Az 5.28. Állítás alapján mondhatjuk, hogy I. és II. is következik az el z tételb l, ha azt az f := g D(g) (,b), illetve az f := g D(g) (a,+ ) függvényre alkalmazzuk; ha létezik a g(b), vagy a g(a) helyettesítési érték, akkor az fels, illetve alsó korlátja annak a számhalmaznak, amelyiknek a legkisebb fels, illetve a legnagyobb alsó korlátja a szóban forgó határérték. III. Az R(g D(g) (,u) ) és R(g D(g) (u,+ ) ) halmazok közül monoton növ g esetén az el bbit A-nak, az utóbbit B-nek nevezve, monoton fogyó g esetén az el bbit B-nek és az utóbbit A-nak nevezve, (A, B) olyan halmazpár, amely g monotonitása miatt eleget tesz a módosított Dedekindaxióma feltételeinek, s ezért R sup A inf B R. Ebb l, a már bizonyított I. és II. állítást az a := b := u szereposztással alkalmazva, éppen a bizonyítandó egyenl tlenségeket kapjuk. 5.9. A szakadási pontok osztályozása A 5.34. Tétel szerint egy egyváltozós valós függvény szakadási helyeinek halmaza a függvény értelmezési tartományának azokból az elemeib l áll, amelyek torlódási pontjai is az értelmezési tartománynak, s amelyekben a függvény határértéke vagy nem létezik, vagy létezik ugyan, de nem egyenl az ottani helyettesítési értékkel. Az utóbbi pontok halmaza akár még egyszer ketté bontható az alapján, hogy a határérték véges, vagy végtelen, ezzel lényegében már meg is kaptuk az alábbi tétel bizonyítását: 5.54. Tétel (a szakadási pontok osztályozása az egy oldali határértékek segítségével). Egy u D(f) szám pontosan akkor szakadási pontja az f függvénynek, ha a következ hat állítás közül legalább az egyik teljesül:. u D(f) és nem létezik a lim u f határérték, 2. u D(f) és létezik a lim u f / R, 3. u D(f) és létezik a lim u f R \ {f(u)}, 4. u D(f) + és nem létezik a lim u+ f határérték, 5. u D(f) + és létezik a lim u+ f / R, 6. u D(f) + és létezik a lim u+ f R \ {f(u)}. Bizonyítás. Az 5.24. Állítás szerint u pontosan akkor szakadási pontja f-nek, ha az f D(f) (,u], f D(f) [u,+ ) lesz kítések közül legalább az egyiknek szakadási pontja. Márpedig ha gyelembe vesszük a jelen tétel kimondása el tt idézett 5.34. Tételt, továbbá azt, hogy u pontosan akkor torlódási pontja a D(f) (, u], illetve a D(f) [u, + ) halmaznak, ha bal oldali, illetve jobb oldali torlódási pontja a D(f)-nek, akkor azt kapjuk, hogy egyrészt u pontosan akkor szakadási pontja az f D(f) (,u] lesz kítésnek, ha a tételben felsorolt hat állítás közül az els három egyike igaz, másrészt u pontosan akkor szakadási pontja az f D(f) [u,+ ) lesz kítésnek, ha a másik három állítás egyike igaz.

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 77 5.55. Példa. Ha u := 0 és f : R R olyan függvény, amelyre minden x R \ {0} esetén I. f(x) = sin /x, akkor teljesül a fenti. és 4. állítás; II. f(x) = /x, akkor teljesül a fenti 2. és 5. állítás; végül tipikus példa olyan szituációra, amikor teljesül a 3. és a 6. állítás: u := 0, és f a szignum függvény. 5.56. Deníció (a szakadási pontok fajtái). Ha f egyváltozós valós függvény, u D(f) D(f) D(f) +, f-nek az u helyen a bal és jobb oldali határértéke egyaránt létezik és véges, de egymástól különböz k, akkor azt mondjuk, hogy f-nek ugrása van az u helyen. Ha u D(f), létezik és véges az f határértéke az u helyen, de nem egyenl az f(u) számmal, akkor azt mondjuk, hogy f-nek megszüntethet szakadása van az u helyen. Ha f-nek ugrása, vagy megszüntethet szakadása van az u helyen, akkor azt mondjuk, hogy f-nek els fajú szakadása van az u helyen, vagy azt, hogy u els fajú szakadási pontja az f függvénynek. Ha f-nek szakadása van az u helyen, de u nem els fajú szakadási pontja f-nek, akkor azt mondjuk, hogy u másodfajú szakadási pontja az f-nek (vagy azt, hogy f-nek másodfajú szakadása van az u helyen). 5.57. Tétel (a másodfajú szakadási pontok jellemzése). Legyen u D(f); ekkor a következ két állítás egymással egyenérték : a) f-nek másodfajú szakadása van az u helyen, b) az el z tételben szerepl., 2., 4., 5. állítások közül legalább az egyik teljesül. Bizonyítás. a) b) Lévén u szakadási pontja f-nek, nem lehet izolált pontja H := D(f)-nek, vagyis vagy u H H +, vagy u H \ H +, vagy u H + \ H. Ezt a három esetet külön-külön tárgyaljuk, pontosabban csak az els kett t, hiszen a harmadik eset ugyanúgy vizsgálható, mint a második. Legyen tehát el ször u H H +. Ha a két egy oldali határérték közül legfeljebb az egyik létezik, akkor teljesül az., vagy a 4. állítás, ha mind a kett létezik, de legalább az egyik nem véges, akkor teljesül a 2., vagy az 5. állítás. Az nem lehetséges, hogy mind a kett létezzen és véges legyen, hiszen abban az esetben ez a két határérték vagy különbözne egyástól, ekkor f-nek ugrása lenne az u helyen, vagy egyenl k lennének egymással, ekkor f-nek az u helyen megszüntethet szakadása lenne, vagy folytonos lenne az u helyen. Tegyük fel most, hogy u H \H +. Ekkor f-nek nem lehet az u helyen véges bal oldali határértéke, mert akkor ott vagy megszüntethet szakadása lenne, vagy folytonos lenne. Tehát vagy nem létezik a bal oldali határértéke az u helyen (.), vagy létezik de nem véges (2.). b) a) Azt bizonyítjuk, hogy ha az f-nek az u helyen akár ugrása van, akár megszüntethet szakadása, akkor az el z tételben szerepl., 2., 4., 5. állítások egyike sem teljesülhet. Most is célszer külön-külön vizsgálni a három esetet, ahogy azt a bizonyítás a) b) részében tettük, pontosabban most is elég a második és a harmadik eset közül az egyiket tárgyalni. Az els eset evidens: ha u H H +, és akár ugrása, akár megszüntethet szakadása van f-nek az u helyen, létezik és véges mind a bal, mind a jobb oldali határértéke ezen a helyen. Ha például u H \ H +, akkor f-nek nem lehet ugrása, csak megszüntethet szakadása, ha ez a helyzet, akkor a bal oldali határérték létezik és véges, emiatt mind az., mind a 2. állítás hamis; a 4. és 5. pedig amiatt hamis, hogy most u / H +. 5.0. A monoton függvények szakadási helyei 5.58. Tétel. Monoton függvény minden szakadási pontja els fajú. Bizonyítás. Legyen u szakadási pontja a monoton g függvénynek. Azt bizonyítjuk, hogy g-nek ugrása, illetve megszüntethet szakadása van az u helyen attól függ en, hogy u eleme a D(g) D(g) + halmaznak, vagy nem eleme.

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 78 Tegyük fel tehát el ször azt, hogy u D(g) D(g) +. Az el z szakasz utolsó tétele szerint a g függvény u-beli bal és jobb oldali határértéke egyaránt létezik és véges, továbbá e két határérték közrefogja a g(u) számot. Ezek szerint, ha e két határérték egyenl lenne egymással, akkor a helyettesítési értékkel is egyenl k lennének, vagyis g folytonos lenne az u helyen. Tegyük fel most azt, hogy u / D(g) D(g) +. Azaz, minthogy szakadási pontról van szó, u vagy bal oldali torlódási pontja az értelmezési tartománynak és izolált pontja a D(g) [u, + ) halmaznak, vagy jobb oldali torlódási pontja D(g)-nek és izolált pontja a D(g) (, u] halmaznak. Az el z szakasz második tételéb l következik, hogy az els esetben a bal, a második esetben a jobb oldali határérték létezik és véges; ez persze mindkét esetben határértéke g-nek az u helyen (5.29.III.), így ezúttal valóban megszüntethet szakadásról van szó. Bizonyítás nélkül említjük azt a következményt, hogy bármely monoton függvény szakadási pontjainak halmaza megszámlálható. Bizonyítunk viszont egy másik következményt, mely szerint a monoton függvényeknek egy igen fontos speciális esetben egyetlen szakadási helyük sem lehet: 5.59. Tétel. Intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény inverze folytonos. Bizonyítás. Ha az f : I R függvény g inverzér l akarjuk bizonyítani annak folytonosságát valamely u D(g) = R(f) helyen, és például f növeked, akkor nyilván g is ilyen, hiszen ha g(v) g(w), akkor v = f(g(v)) f(g(w)) = w. Tegyük fel, hogy g nem folytonos az u helyen. Ebb l arra fogunk következtetni, hogy I = R(g) nem intervallum. Az indirekt feltevés szerint tehát g nem folytonos balról, vagy nem folytonos jobbról. Elég az els esettel foglalkozni, mert a másik teljesen hasonlóan tárgyalható. Ezek szerint u bal oldali torlódási pontja g értelmezési tartományának, létezik a lim u g =: v és v < g(u) (5.34., 5.53.). g értékkészletének van v-nél nem nagyobb eleme: g értelmezési tartományának minden egyes u-nál kisebb x elemére g(x) ilyen, természetesen g(u) R(g), tehát ha R(g) intervallum lenne, akkor (v, g(u)) R(g) lenne. Ezzel szemben (v, g(u)) R(g) =, hiszen ha az I-nek egy x eleme kisebb mint u, akkor g(x) v (lásd az 5.53. tételt), ha pedig x u, akkor g(x) g(u). Szigorúan monoton fogyó függvény esetén a tétel hasonlóan bizonyítható. 5.. Néhány nevezetes határérték El ször a monoton függvények egy oldali határértékeir l szóló tételek (5.5. és 5.53.) néhány egyszer következményét soroljuk fel: lim ch = lim sh = lim arch = lim arsh = +, c (, + ) lim exp c = lim log c = +, + + + + + + lim th = lim cth =, c (0, ) lim exp c = 0, és lim log c =, + + + + lim th =, c (, + ) lim exp c = 0, c (0, ) lim exp c = +, 5.60. Tétel. Ha p R +, q R +, c R + \ {} és a (, + ), akkor I. lim x + x /x =, II. log lim c s t q = 0, III. lim = 0, IV. lim s + s p t + at t 0+ tp log c t = 0, V. lim t t =. t 0+ Bizonyítás. I. Legyen ε tetsz leges pozitív szám; bizonyítjuk egy olyan K pozitív szám létezését, melyre minden x (K, + ) esetén x /x ( ε, + ε). Lévén x esetén x /x, ehhez elég a következ két állítást igazolni: a) lim( n n + ) =, s így van olyan K pozitív egész, amelyt l kezdve

Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 79 minden n-re n n + < + ε, b) ha x > K, akkor x /x ([x] + ) /[x] (ekkor ugyanis a vizsgált függvényünknek a K-nál nagyobb helyeken felvett értékei felülr l becsülhet k az ( n n) sorozat olyan tagjával, amely kisebb, mint + ε). Az a) állítás bizonyítása céljából induljunk ki abból, hogy lim( n 2) =, ezért az azonosan sorozat és az ( n 2) sorozat által közrefogott ( n n+ n ) sorozat határértéke is, tehát ha ez utóbbi sorozatot megszorozzuk a szintén -hez tartó ( n n) sorozattal, akkor ismét -hez tartó sorozatot kell kapnunk. b) bizonyítása céljából el bb az -nél nagyobb alapú exponenciális függvények monoton növ voltát, majd a pozitív kitev j hatványfüggvények monoton növ voltát használhatjuk: x /x x /[x] ([x] + ) /[x]. II. A log c folytonos az helyen, így a kompozíció határértékér l szóló els tételünk és az imént bizonyított I. állítás szerint lim x + log c x /x = lim x + (/x) log c x = log c = 0. Ebb l, az 5.47.III. Tételb l, és abból a tényb l, hogy lim + id p = +, következik, hogy log lim c + id idp = 0, ezért ez utóbbi függvény /p-szeresének a határértéke a + helyen szintén nulla. III. Alkalmazzuk az el z állítást a p := /q, c := a szereposztással, majd újra az 5.47.III. Tételt, ezúttal arra a kompozícióra, amelyet az s (log a s)/(s /q ) küls, és az exp a bels függvényb l képezünk, ekkor azt kapjuk, hogy lim t + t = 0, (a t /q ) ha most ez utóbbi függvényb l mint bels függvényb l, és az id q küls függvényb l képezünk újabb kompozíciót, és az 5.47.I. Tételt alkalmazzuk, akkor éppen azt kapjuk, hogy lim t + t q /a t = 0. IV. elég a vizsgált függvény ( )-szeresér l bizonyítani, hogy a határértéke a 0 helyen (jobbról) 0-val egyenl ; de ez a függvény a II. állításban szerepelt függvénynek, mint küls függvénynek, és a pozitív számok halmazán értelmezett t /t függvénynek, mint bels függvénynek a kompozíciója, az utóbbi határértéke a 0 helyen +, ezért ismét az 5.47.III. tételre támaszkodhatunk. V. Az imént is használt bels függvénynek ezúttal az x x /x küls függvénnyel képezve a kompozícióját, ismét 5.47.III.-ból kapjuk, hogy lim t 0+ ( t ) t = lim t 0+ t =, t tehát ez utóbbi függvény reciprokának határértéke is. 5.6. Tétel. I. lim x + ( + /x) x = e, II. lim x ( + /x) x = e, III. lim t 0 ( + t) /t = e. Bizonyítás. I. Minden -nél nagyobb x szám teljesíti az ) [x] A) ( + ) [x] B) ( + ) x C) x x ( + [x] + ( + x ) [x]+ D) ( + ) [x]+ [x] feltételeket: a B) és C) egyenl tlenségeket az + /x alapú exponenciális függvény monoton növ volta miatt, A)-t az [x] kitev j, D)-t pedig az [x] + kitev j hatványfüggvény monoton növ volta miatt. Legyen ε tetsz leges pozitív szám; nyilván elég olyan M pozitív egész létezését igazolni, amelyt l kezdve minden n-re ( e ε < + ) n ( < + n+ < e + ε, n + n)