BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék

ii

Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3 2.1. Hlmzok, relációk, függvények A................... 3 2.1.1. Hlmzok és relációk....................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciój................ 5 2.1.3. Függvények............................ 6 2.2. Feldtok................................. 7 2.3. Hlmzok, relációk, függvények E................... 8 2.3.1. Ekvivlenci és rendezési reláció................ 9 2.3.2. Hlmzok számosság...................... 11 3. Számhlmzok 13 3.1. Vlós számok A............................. 13 3.1.1. A vlós számok xiómrendszere................ 13 3.1.2. Természetes, egész és rcionális számok............ 15 3.1.3. Felső és lsó htár........................ 16 3.1.4. Intervllumok és környezetek.................. 17 3.1.5. Vlós számok htványi..................... 18 3.2. Feldtok................................. 19 3.3. Komplex számok A........................... 22 3.3.1. A komplex szám foglm, műveletek.............. 22 3.3.2. Komplex számok trigonometrikus lkj............ 23 4. Elemi függvények 27 4.1. Vlós-vlós függvények lptuljdonsági A............. 27 4.2. Az elemi függvények A......................... 29 4.2.1. Htványfüggvények........................ 29 4.2.2. Exponenciális és logritmus függvények............ 32 4.2.3. Trigonometrikus függvények és inverzeik............ 34 4.2.4. Hiperbolikus függvények és inverzeik.............. 39 iii

iv TARTALOMJEGYZÉK 4.2.5. Néhány különleges függvény................... 43 4.3. Feldtok................................. 44 5. Soroztok, sorok 47 5.1. Soroztok, sorok A........................... 47 5.1.1. A sorozt foglm és tuljdonsági............... 47 5.1.2. Sorozt htárértéke........................ 49 5.1.3. Divergens soroztok....................... 50 5.1.4. Sorok............................... 51 5.2. Feldtok................................. 52 5.3. Soroztok E............................... 57 5.3.1. Sorozt konvergenciáj...................... 57 5.3.2. Műveletek konvergens soroztokkl............... 58 5.3.3. Részsoroztok........................... 59 5.3.4. Sorozt lim sup-j és lim inf-je................. 61 5.3.5. Intervllumsorozt........................ 62 5.3.6. Cuchy konvergencikritérium.................. 63 5.4. Sorok E................................. 64 5.4.1. Sor konvergenciáj........................ 64 5.4.2. Konvergencikritériumok..................... 64 5.4.3. Végtelen sorok átrendezései................... 67 6. Folytonosság 69 6.1. Folytonosság A............................. 69 6.1.1. A folytonos függvény foglm és tuljdonsági........ 69 6.1.2. A műveletek és folytonosság kpcsolt........... 70 6.1.3. Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági....... 71 6.2. Feldtok................................. 72 6.3. Folytonosság E............................. 73 6.3.1. A folytonosság foglm és z átviteli elv............ 73 6.3.2. Műveletek folytonos függvényekkel............... 74 6.3.3. Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági....... 75 6.3.4. Az inverzfüggvény folytonosság................ 76 6.3.5. Egyenletes folytonosság..................... 77 7. Függvény htárértéke 79 7.1. Függvény htárértéke A........................ 79 7.1.1. "Végesben vett, véges" htárérték............... 79 7.1.2. "Végtelenben vett", illetve "nem véges" htárérték...... 81 7.1.3. Egyoldli htárérték....................... 83 7.2. Feldtok................................. 84 7.3. Függvény htárértéke E........................ 86

TARTALOMJEGYZÉK v 7.3.1. A htárérték áltlános definíciój és z átviteli elv...... 86 7.3.2. Műveletek függvények htárértékével.............. 88 8. Differenciálhtóság 91 8.1. Differenciálhtóság A.......................... 91 8.1.1. A derivált foglm és geometrii jelentése........... 91 8.1.2. Elemi függvények deriváltj és deriválási szbályok..... 94 8.1.3. A derivált kpcsolt függvény tuljdonságivl....... 96 8.1.4. Többszörös derivált és Tylor-polinom............ 98 8.1.5. L Hospitl-szbály........................ 100 8.2. Feldtok................................. 101 8.3. Differenciálhtóság E.......................... 104 8.3.1. A derivált foglm és kpcsolt folytonossággl...... 104 8.3.2. Műveletek differenciálhtó függvényekkel, deriválási szbályok 106 8.3.3. Lokális növekedés, fogyás, lokális szélsőérték.......... 108 8.3.4. Középértéktételek......................... 110 8.3.5. A globális monotonitás elégséges feltételei........... 111 8.3.6. Konvex és konkáv függvények.................. 112 8.3.7. Tylor-formul.......................... 114 8.3.8. L Hospitl-szbály........................ 116 9. Integrálhtóság, integrálszámítás 117 9.1. Integrálszámítás A........................... 117 9.1.1. A Riemnn-integrál foglm és geometrii jelentése...... 117 9.1.2. A Riemnn-integrál és műveletek kpcsolt......... 120 9.1.3. Newton Leibniz-formul..................... 121 9.1.4. Primitív függvény........................ 123 9.1.5. Az integrál lklmzási..................... 124 9.1.6. Fourier-sor............................ 132 9.1.7. Az improprius integrál...................... 134 9.2. Feldtok................................. 135 9.3. Integrálszámítás E........................... 138 9.3.1. Az integrál foglm........................ 138 9.3.2. Az integrálhtóság feltételei................... 139 9.3.3. Műveletek és z integrál kpcsolt............... 141 9.3.4. Primitív függvény és Newton Leibniz-formul........ 143 10.Függvénysoroztok, függvénysorok 147 10.1. Függvénysoroztok, függvénysorok A................. 147 10.1.1. Függvénysoroztok........................ 147 10.1.2. Függvénysorok.......................... 152 10.1.3. Htványsorok........................... 153

vi TARTALOMJEGYZÉK 10.2. Feldtok................................. 154 10.3. Függvénysoroztok, függvénysorok E................. 156 10.3.1. Függvénysoroztok........................ 156 10.3.2. Függvénysorok.......................... 158 10.3.3. Htványsorok, Tylor-sorok................... 158 11.Többváltozós függvények 161 11.1. Többváltozós függvények A...................... 161 11.1.1. Az n-dimenziós tér........................ 161 11.1.2. Többváltozós függvények.................... 163 11.1.3. Htárérték és folytonosság.................... 165 11.2. Feldtok................................. 167 11.3. Többváltozós függvények E...................... 169 11.3.1. Metrikus tér............................ 169 11.3.2. Nyílt és zárt hlmzok; kompkt hlmz............ 171 11.3.3. Folytonos függvények....................... 172 11.3.4. Fixponttétel............................ 173 12.Többváltozós differenciálás 177 12.1. Többváltozós deriválás A........................ 177 12.1.1. Prciális derivált......................... 177 12.1.2. Deriváltmátrix.......................... 179 12.1.3. Érintő............................... 182 12.1.4. Szélsőérték............................ 183 12.2. Feldtok................................. 184 12.3. Többváltozós deriválás E........................ 190 12.3.1. Prciális derivált és deriváltmátrix............... 190 12.3.2. Második derivált; Tylor-formul................ 193 12.3.3. Szélsőérték............................ 196 12.3.4. Implicit- és inverzfüggvény tétel................. 198 12.3.5. Feltételes szélsőérték....................... 201 13.Vonlintegrál 205 13.1. Vonlintegrál A............................. 205 13.1.1. A vonlintegrál foglm és tuljdonsági............ 205 13.1.2. Potenciál............................. 208 13.2. Feldtok................................. 210 13.3. Vonlintegrál E............................. 212 13.3.1. A vonlintegrál foglm és tuljdonsági............ 212 13.3.2. Potenciál............................. 213

TARTALOMJEGYZÉK vii 14.Differenciálegyenletek 219 14.1. Differenciálegyenletek A........................ 219 14.1.1. Alpfoglmk........................... 219 14.1.2. Szétválszthtó változójú differenciálegyenlet......... 220 14.1.3. Alklmzás............................ 221 14.2. Feldtok................................. 222 15.Többváltozós függvény integrálj 225 15.1. Többváltozós integrál A........................ 225 15.1.1. A többváltozós integrál foglm................. 225 15.1.2. Az integrál kiszámítás tégllpon és normáltrtományon.. 226 15.1.3. Az integrál trnszformációj................... 229 15.2. Feldtok................................. 230 16.Vektornlízis 235 16.1. Vektornlízis A............................. 235 16.1.1. Térgörbék............................. 235 16.1.2. Felületek.............................. 239 16.1.3. A nbl.............................. 244 16.1.4. Integrálátlkító tételek..................... 245 16.2. Feldtok................................. 246 17.Komplex függvények 255 17.1. Komplex soroztok, végtelen sorok................... 255 17.2. Komplex htványsorok.......................... 256 17.3. Komplex függvény folytonosság.................... 259 17.4. Komplex függvény htárértéke...................... 260 17.5. Komplex függvény differenciálhtóság................. 261 17.6. Komplex függvények integrálj..................... 263 17.6.1. Primitív függvény, z integrál kiszámítás........... 269 17.7. Tylor-sor, hrmonikus függvények................... 271 17.8. Komplex függvények zérushelyei..................... 273 17.9. Becslések................................. 275 17.10.Komplex függvény mximum...................... 277 17.11.Lurent-sor................................ 278 17.11.1.Szinguláris helyek......................... 280 17.11.2.A reziduum-tétel......................... 282

viii TARTALOMJEGYZÉK

1. fejezet Előszó A jegyzet lpvetően z Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Krán nem mtemtik szkos hllgtók nlízis okttásához készült, bár mtemtik lpszkos hllgtók kiegészítésként szintén hsználhtják. A fizikus, geofizikus, térképész, meteorológus, geológus, környezettudomány szkos hllgtók mtemtik okttás évtizedek ót z Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék feldt. A jegyzet három szerzője szintén évek, évtizedek ót részt vesz ebben z okttásbn. A jegyzetben tárgylt nlízis nygot számos félévben szerzők már tnították, hosszú évek szkmi és pedgógii tpsztlt vn jegyzet trtlm mögött. Temtikáját tekintve jegyzet természetszerűleg hsonlít számos más nlízis tnkönyvre, zonbn hngsúlyozzuk, hogy ennek ellenére több szempontból hiánypótló szerepet tölt be. Egyrészt más nlízis témájú tnkönyvek ngyobbrészt mtemtik szkos hllgtók számár készültek. A nem mtemtik szkosoknk szóló tnkönyvek pedig más egyetemek speciális igényű hllgtói, pl. mérnök vgy közgzdász hllgtók okttásához illenek. Ez jegyzet z ELTE TTK nem mtemtik szkos hllgtóink igényeihez illeszkedik. Sokéves okttási tpsztlt muttj, hogy hllgtók mtemtikát nem z xiomtikus felépítés mentén sjátítják el, hnem fokoztosn, egyre mélyebb szinten értik meg mtemtiki foglmkt és tételeket. Ezért jegyzet nem hgyományos tárgylásmódot követi, hnem kétszer hld végig fent felsorolt fejezeteken. Először lpszinten tárgyl minden témkört. Ennek keretében inkább módszereket tnít. (A fizik szkon ez rész külön tntárgy Klkulus címen.) Ezután másodéves hllgtók számár ugynzok témkörök mélyebb szinten következnek, hgyományos "tétel-bizonyítás" szemlélet szerint. A jegyzet erősen lklmzás orientált. A térképészeknek fontos görbeelmélet, vgy geofizikusoknk szükséges vektornlízis is helyet kp benne. A fizikus hllgtók megtlálhtják benne vonlintegrál, felületi integrál és komplex függvények tárgylását, illetve nehezebb témköröket is, pl. metrikus terek, vgy implicit függvény tétel. 1

2 1. FEJEZET. ELŐSZÓ Köszönetnyilvánítás A szerzők köszönetet mondnk z Eötvös Loránd Tudományegyetem Mtemtiki Intézetében z Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszéken dolgozó kollégáink, kik konstruktív észrevételeikkel támogtták kurzus temtikájánk kilkítását és jegyzet megírását. Köszönet illeti jegyzet lektorát Ngy Bálint tnszékvezető főiskoli docenst, ki mindenre kiterjedő figyelemmel igyekezett jvítni hibákt, és elősegíteni z érthetőséget, és z egységes szerkezetét. A jegyzet TAMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 számú pályázt, Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához című projektjének keretében készült.

2. fejezet Hlmzok, relációk, függvények Bemuttjuk mtemtik eszközeit, lépten-nyomon hsznált foglmkt, fontos megállpodásokt vezetünk be. Biztos lpokt készítünk további építkezéshez. Gykrn lklmzzuk "minden", illetve "tetszőleges" szvk rövidítésére, "létezik, illetve "vn olyn" kifejezések helyett pedig jelet. Az lábbi témköröket tárgyljuk. Hlmz foglm és hlmzműveletek Reláció Függvény foglm és tuljdonsági Kompozíció és inverz Hlmz számosság 2.1. Hlmzok, relációk, függvények A 2.1.1. Hlmzok és relációk Egy hlmzt kkor tekintünk ismertnek, h minden jól megfoglmzhtó dologról el tudjuk dönteni, hogy hozzá trtozik vgy nem trtozik hozzá. (Az okos gondolt, szép lány, z elég ngy szám vgy kicsi pozitív szám nem tekinthető jól megfoglmzott dolognk, ezekről nem kérdezzük, hogy benne vnnk-e vlmilyen hlmzbn, hogy lkotnk-e hlmzt.) Legyen A hlmz, x egy jól definiált dolog. H x hozzátrtozik hlmzhoz, kkor ezt x A jelölje. H x nem trtozik hozzá hlmzhoz, kkor ezt x / A jelöli. A hlmz elemeit felsorolhtjuk, például A := {, b, c, d}, vgy értelmes tuljdonsággl djuk meg hlmzt, például B := {x x vlós szám és x 2 < 2}. 3

4 2. FEJEZET. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 2.1. Definíció. Legyen A és B hlmz. Azt mondjuk, hogy A része B hlmznk, h minden x A esetén x B. Jele: A B. 2.2. Definíció. Legyen A és B hlmz. Az A hlmz egyenlő B hlmzzl, h ugynzok z elemei. Jele: A = B. Könnyen meggondolhtó következő tétel: 2.1. Tétel. Legyen A és B hlmz. A = B pontosn kkor, h A B és B A. Néhány eljárást muttunk, melyekkel újbb hlmzokhoz juthtunk. 2.3. Definíció. Legyen A és B hlmz. Az A és B egyesítése (uniój) z hlmz, melyre A B := {x x A vgy x B}. Az A és B metszete (közös része) z hlmz, melyre A B := {x x A és x B}. Az A és B különbsége z hlmz, melyre A \ B := {x x A és x / B}. A metszet és különbség képzése során elképzelhető, hogy egyetlen x dolog sem rendelkezik kívánt tuljdonsággl. Azt hlmzt, melynek bármely jól definiálhtó dolog sem eleme, üres hlmznk nevezzük. Jele:. Legyen H hlmz és A H egy részhlmz. Az A hlmz (H-r vontkozó) komplementerén z A := H \ A hlmzt értjük. De Morgn-zonosságoknk nevezik következő tételt: 2.2. Tétel. Legyen H hlmz, A, B H. Ekkor A B = A B és A B = A B. Legyen és b dolog. Az {, b} hlmz nyilván sok változtbn felírhtó: {, b} = {b, } = {, b, b, } = {, b, b,, b, b} = stb. Ezzel szemben tekintsük lpfoglomnk z (, b) rendezett párt, melynek lényeges tuljdonság legyen, hogy (, b) = (c, d) pontosn kkor, h = c és b = d. A rendezett pár segítségével értelmezzük hlmzok szorztát. 2.4. Definíció. Legyen A, B hlmz. Az A és B Descrtes-szorzt Például A := {2, 3, 5}, B := {1, 3} esetén A B := {(, b) A és b B}. A B = {(2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (5, 3)}.

2.1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A 5 A rendezett pár foglmár épül reláció. 2.5. Definíció. Azt mondjuk, hogy z r hlmz reláció, h minden eleme rendezett pár. Egy mgyr-ngol szótár is egy reláció, hiszen elemei mgyr és neki megfelelő ngol szóból lkotott rendezett párok. 2.6. Definíció. Legyen r reláció. Az r reláció értelmezési trtomány Az r reláció értékkészlete z D(r) := {x vn olyn y, hogy (x, y) r}. R(r) := {y vn olyn x D(r), hogy (x, y) r}. Nyilván r D(r) R(r). Például r := {(4, 2), (4, 3), (1, 2)} esetén D(r) = {4, 1}, R(r) = {2, 3}. 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciój Két eljárást muttunk be, mellyel dott reláció(k)ból újbb relációhoz juthtunk. 2.7. Definíció. Legyen r reláció. Az r reláció inverze z reláció, mely r 1 := {(s, t) (t, s) r}. Láthtó, hogy r := {(1, 3), (4, 2), (5, 2), (3, 3)} esetén r 1 = {(3, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 3)}. A mgyr-ngol szótár inverze z ngol-mgyr szótár. Értelmezzük relációk kompozícióját (összetett reláció, közvetett reláció) is. 2.8. Definíció. Legyen r, s reláció. Az s belső reláció és r külső reláció kompozíciój legyen r s := {(x, z) vn olyn y R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (x, y) s és (y, z) r}. Például s := {(1, 2), (1, 4), (2, 3)}, r := {(4, 3), (4, 4), (3, 5)} esetén r s := {(1, 3), (1, 4), (2, 5)}. Természetesen elkészíthető z s r reláció is, de ez most s r =. Áltlábn r s s r. Meglepően szép relációk kompozíciójánk inverze és z inverzek kompozíciójánk kpcsolt:

6 2. FEJEZET. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 2.3. Tétel. Legyen r, s reláció. Ekkor (r s) 1 = s 1 r 1. Mivel hlmzok egyenlőségét szeretnénk igzolni, megmuttjuk, hogy 1.) (r s) 1 s 1 r 1 és 2.) s 1 r 1 (r s) 1. 1. Legyen (p, t) (r s) 1 (t, p) r s vn olyn q R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (t, q) s és (q, p) r nyilván (p, q) r 1 és (q, t) s 1 (p, t) s 1 r 1. 2. Legyen (u, w) s 1 r 1 vn olyn v R(r 1 ) D(s 1 ) = R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (u, v) r 1 és (v, w) s 1 nyilván (w, v) s és (v, u) r (w, u) r s (u, w) (r s) 1. 2.1.3. Függvények A függvény speciális reláció. 2.9. Definíció. Legyen f reláció. Azt mondjuk, hogy z f függvény, h bármely (x, y) f és (x, z) f esetén y = z. Például r := {(1, 2), (2, 3), (2, 4)} nem függvény, hiszen (2, 3) r és (2, 4) r, de 3 4; z f := {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} viszont függvény. Néhány megállpodást teszünk függvények körében. H f függvény, kkor (x, y) f esetén y z f függvény x helyen vett helyettesítési értéke, vgy z f függvény z x-hez z y-t rendeli hozzá. Jelölésben: y = f(x). H f függvény és A := D(f), B pedig olyn hlmz, melyre R(f) B (nyilván A függvény értelmezési trtomány, B pedig függvény (egyik) képhlmz), kkor z f A B, f függvény kifejezés helyett z f : A B jelölést hsználjuk ( z f függvény z A hlmzt B hlmzb képezi ). H f függvény és D(f) A, R(f) B, kkor f : A B jelöli ezt ( f z A hlmzból B hlmzb képező függvény ). Például f := {(, α), (b, β), (g, γ), (d, δ), (e, ε)} függvény. Láthtó, hogy β z f függvény b helyen vett helyettesítési értéke, β = f(b). H L ltin betűk, G pedig görög betűk hlmz, kkor f : {, b, g, d, e} G, f() = α, f(b) = β, f(g) = γ, f(d) = δ, f(e) = ε. H csk függvény típusár krunk utlni, elég z f : L G. Természetesen egy függvénynek is vn inverze, ez zonbn nem biztos, hogy függvény lesz. 2.10. Definíció. Legyen f : A B függvény. Azt mondjuk, hogy z f kölcsönösen egyértelmű (injektív), h különböző x 1, x 2 A elemeknek különböző B-beli elemeket feleltet meg, zz bármely x 1, x 2 A, x 1 x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ).

2.2. FELADATOK 7 Könnyen meggondolhtó, hogy kölcsönösen egyértelmű függvény inverze is függvény. Részletesebben: 2.4. Tétel. Legyen f függvény, A := D(f), B := R(f), f kölcsönösen egyértelmű. Ekkor z f inverze f 1 : B A olyn függvény, mely bármely s B ponthoz zt t A pontot rendeli, melyre f(t) = s, (röviden: bármely s B esetén f(f 1 (s)) = s.) Függvények kompozícióját is elkészíthetjük. Szerencsére ez mindig függvény lesz. Legyen g : A B, f : B C. Ekkor relációk kompozíciójánk felhsználásávl megmutthtó, hogy f g : A C, bármely x A esetén (f g)(x) = f(g(x)). Például g függvény minden szám duplájához 1-et djon hozzá (g : R R, g(x) := 2x + 1); z f függvény pedig minden számot emeljen négyzetre (f : R R, f(x) := x 2 ), kkor f g : R R, (f g)(x) = (2x + 1) 2 lesz z f és g kompozíciój. További hsznos foglmk Legyen f : A B és C A. Az f függvény C-re vló leszűkítése z z f C : C B függvény, melyre bármely x C esetén f C (x) := f(x). Legyen f : A B, C A és D B. Az f(c) := {y vn olyn x C, melyre f(x) = y} hlmzt C hlmz f függvénnyel létesített képének nevezzük. Az f 1 (D) := {x f(x) D} hlmz D hlmz f függvényre vontkozó ősképe. (Vigyázt! Az f 1 nem inverzfüggvényt jelöl ebben z esetben.) 2.2. Feldtok 1. Legyen A := {2, 4, 6, 3, 5, 9}, B := {4, 5, 6, 7}, H := {n n egész szám, 1 n 20}. Készítse el z A B, A B, A \ B, B \ A hlmzokt. Mi lesz z A hlmz H-r vontkozó A komplementere? 2. Legyen A := {, b}, B := {, b, c}. A B =? B A =? 3. Legyen r := {(x, y) x, y vlós szám, y = x 2 }. r 1 =? Függvény-e z r? Függvény-e z r 1? 4. Legyen f : R R, f(x) := x 1+x 2. Készítse el z f f, f (f f) függvényeket.

8 2. FEJEZET. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 5. Gondoljuk végig egy f : A B kölcsönösen egyértelmű függvény inverzének szemléltetését! 6. Gondoljuk meg, hogy egy f : A B kölcsönösen egyértelmű függvény inverzét következő lépésekkel lehet előállítni: 1) Felírjuk, hogy y = f(x). 2) Felcseréljük z x és y változókt : x = f(y). 3) Ebből z egyenletből kifejezzük z y-t z x segítségével: y = g(x). Ez g lesz éppen z f 1 inverzfüggvény. Például: f : R R, f(x) = 2x 1. (Ez kölcsönösen egyértelmű függvény.) 1) y = 2x 1 2) x = 2y 1 3) x + 1 = 2y, y = 1 2 (x + 1). Tehát f 1 : R R, f 1 (x) = 1 2 (x + 1). Szemléltesse is z f és f 1 függvényt! 7. Legyen f : A B, C 1, C 2 A, D 1, D 2 B. Mutssuk meg, hogy f(c 1 C 2 ) = f(c 1 ) f(c 2 ) f(c 1 C 2 ) f(c 1 ) f(c 2 ) f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ) f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ). Igz-e, hogy h C 1 C 2, kkor f(c 1 ) f(c 2 )? Igz-e, hogy h D 1 D 2, kkor f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 )? 8. Legyen f : A B, C A, D B. Igz-e, hogy f 1 (f(c)) = C? Igz-e, hogy f(f 1 (D)) = D? 2.3. Hlmzok, relációk, függvények E A rendezett párt lpfoglomnk tekintettük, de lehetőség vn hlmzok segítségével bevezetni rendezett pár foglmát. 2.11. Definíció. Legyen és b. Az (, b) rendezett pár legyen (, b) := {{}, {, b}}. Ezzel z értelmezéssel igzolhtó rendezett párt jellemző tuljdonság. 2.5. Tétel. (, b) = (c, d) = c és b = d. Bizonyítás. ( ) Legyen {{}, {, b}} = {{c}, {c, d}}. 1. Vgy {} = {c}, miből = c következik. Továbbá {, b} = {c, d}, de = c mitt b = d lehet csk.

2.3. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK E 9 2. Vgy {} = {c, d}, miből c = d és így = c = d következik. Ekkor (c, d) = {{}}, de kkor {} = {, b} is igz, így = b. Tehát = b = c = d. ( ) Nyilvánvló! 2.3.1. Ekvivlenci és rendezési reláció A mtemtik néhány kényes foglmát relációkkl és függvényekkel hozzuk kpcsoltb. 2.12. Definíció. Legyen H, r H H, D(r) = H reláció. Azt mondjuk, hogy 1. r reflexív, h x H esetén (x, x) r; 2. r szimmetrikus, h (x, y) r esetén (y, x) r; 3. r ntiszimmetrikus, h minden olyn esetben, mikor (x, y) r és (y, x) r, kkor x = y; 4. r trnzitív, h minden olyn esetben, mikor (x, y) r és (y, z) r, kkor (x, z) r. 2.13. Definíció. H z r reláció reflexív, szimmetrikus és trnzitív, kkor r ekvivlenci-reláció. 2.14. Definíció. H z r reláció reflexív, ntiszimmetrikus és trnzitív, kkor r rendezési reláció. Legyen egy ekvivlenci-reláció H hlmzon (D( ) = H). Állpodjunk meg bbn, hogy (x, y) helyett z x y jelölést hsználjuk. A ekvivlenci-reláció segítségével H hlmzt részhlmzokr bontjuk következő lépésekkel. α) Legyen x H. Az x-hez trtozó ekvivlenci-osztály x / := {y y H, x y}. β) Könnyen beláthtó, hogy h x, z H, kkor vgy x / = z /, vgy x / z / =. Ez zt jelenti, hogy H hlmz felbonthtó közös pont nélküli ekvivlenci-osztályokr. γ) Legyen H / := {X x H, hogy X = x / }. A H / z ekvivlenci-osztályok hlmz. Igzolhtó, hogy

10 2. FEJEZET. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 1. H / elemei közös pont nélküliek ( β) pontbn ezt foglmztuk meg), 2. H / elemeinek (hlmzoknk) z egyesítése kidj H hlmzt. Lássunk két fontos példát erre z eljárásr. 1. Legyen T törtek hlmz, zz { } p T = p, q egész szám, q 0. q A T hlmzon értelmezünk egy relációt: b c d = bc. d Végiggondolhtó, hogy ekvivlenci-reláció. Ekkor b / ekvivlenci-osztályb beletrtozik z összes olyn tört, mely egyenlő z b -vel. A T / hlmz pedig olyn közös elem nélküli hlmzokr vló felbontás T törtek hlmzánk, melyek egyesítéseként visszkpjuk T hlmzt. Az b / egy rcionális szám, T / pedig rcionális számok hlmz. Így válik érthetővé, hogy 1 2 egyenlő 2 4 -del, 6 12-del, hiszen ezek törtek reprezentánsi z 1 2/ rcionális számnk, és rcionális számokkl végzett műveletek során mindig megfelelő reprezentánst húzzuk elő z osztályból. Például zt sugllj, hogy 1 2 + 2 3 = 3 6 + 4 6 = 7 6 1 2 / + 2 3 / = 3 6 / + 4 6 / = 7 6 /. 2. A másik példábn E legyen egy sík irányított szkszink hlmz. Bevezetünk E-n egy relációt: legyen b, h z szksz párhuzmos b-vel, zonos irányúk és egyform hosszúk. Könnyen láthtó, hogy ekvivlenci-reláció. Az / trtlmzz z -vl párhuzmos, vele zonos irányú és hosszúságú irányított szkszokt. Egy ilyen osztály legyen egy vektor. Az E / sík vektorink hlmz. Így válik érthetővé, hogy vektorok összedásánál z egyik vektort eltoljuk úgy, hogy két vektor kezdőpontj megegyezzék. Vlójábn mindkét vektorból z lklms reprezentáns irányított szkszt húzzuk elő, zokkl végezzük el műveletet, és z eredő irányított szkszhoz trtozó ekvivlenci-osztály lesz z összedás eredő vektor.

2.3. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK E 11 A rendezési relációkkl kpcsoltbn csk két egyszerű példát tárgylunk. Legyen N pozitív egész számok hlmz. Legyen z reláció, melyre b, h vn olyn nemnegtív c egész, hogy + c = b. Ez vlóbn rendezési reláció. Még z is igz, hogy bármely, b N esetén vgy b, vgy b. Az N pozitív egészek hlmzán egy másik relációt is bevezethetünk. Azt mondjuk, hogy osztój b-nek, h vn olyn k pozitív egész, hogy b = k. Az oszthtóság reláció reflexív ( = 1), ntiszimmetrikus (h b = k és = bl, kkor b = blk, miből lk = 1, de ez csk k = 1 és l = 1 esetén igz, tehát = b) és trnzitív (h b = k, c = bl, kkor c = kl, zz osztój c-nek), tehát z oszthtóság is rendezési reláció z N hlmzon. Csk nem olyn szép, mint volt, hiszen, vn olyn, b N, melyre nem osztój b-nek, és b sem osztój -nk. (Például := 4 és b := 7.) 2.3.2. Hlmzok számosság Gykrn hsonlítjuk össze hlmzok elemszámát, ezt formlizáljuk z lábbi definícióbn. 2.15. Definíció. Legyen A, B hlmz. Azt mondjuk, hogy A számosság egyenlő B számosságávl, h vn olyn φ : A B függvény, melyre R(φ) = B, és φ kölcsönösen egyértelmű. [Az ilyen φ függvényt bijekciónk nevezzük A és B között.] Például pozitív egészek N hlmz és pozitív páros számok P hlmz egyenlő számosságú, hiszen φ : N P, φ(n) := 2n függvény bijekció N és P között. 2.16. Definíció. Legyen A hlmz. Azt mondjuk, hogy A végtelen (számosságú) hlmz, h A A, A A, hogy φ : A A bijekció. Az előbbi péld éppen zt muttj, hogy N végtelen hlmz. 2.17. Definíció. Legyen A végtelen hlmz. Azt mondjuk, hogy A megszámlálhtó, h φ : N A bijekció. Meglepő, de rcionális számok Q hlmz megszámlálhtó. Írjuk fel z 1, 2, 3,..., n,... nevezőjű törteket soronként.... 3 1 2 1 1 1 1 1 1... 3 2 2 2 1 2 0 2 1 2 2 2... 3 3 2 3 1 3 0 3 1 3 2 3. 0.. 2 1 3 1... 3 2... 3 3...

12 2. FEJEZET. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A φ : N Q bijekciót úgy készítjük, hogy φ(1) := 0 1, φ(2) := 1 1, φ(3) := 1 2, φ(4) := 1 2,... A rjz szerinti lépegetéssel hldunk, ügyelve rr, hogy olyn törtet ugorjunk át, mely már egyszer sorr került. Ezzel biztosítjuk, hogy vlóbn kölcsönösen egyértelmű mrdjon függvényünk. Láthtó z is, hogy előbb-utóbb minden rcionális számhoz eljutunk, így φ bijekció lesz N és Q között, mi zt jelenti, hogy Q megszámlálhtó.

3. fejezet Számhlmzok Kiskorunktól számolunk vlós számokkl, összedjuk, szorozzuk, osztjuk őket, htványozunk, bszolút értékét vesszük számoknk. Egyenleteket, egyenlőtlenségeket rendezünk. Most lefektetjük zt viszonylg egyszerű szbályrendszert, melyből megtnult eljárások levezethetők. Az lábbi témköröket tárgyljuk. Vlós számok hlmz Természetes számok hlmz Egész számok és rcionális számok hlmz Felső és lsó htár Intervllum és környezet Htványozás definíciój és zonossági Komplex számok hlmz Komplex szám trigonometrikus lkj, műveletek 3.1. Vlós számok A 3.1.1. A vlós számok xiómrendszere Legyen R nem üres hlmz. Tegyük fel, hogy vn még egy összedásnk nevezett + : R R R és egy szorzásnk nevezett : R R R függvény is, melyek következő tuljdonságokkl rendelkeznek: 1. bármely, b R esetén + b = b + (kommuttivitás) 2. bármely, b, c R esetén + (b + c) = ( + b) + c (sszocitivitás) 13

14 3. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK 3. vn olyn 0 R elem, hogy bármely R esetén + 0 = (0 z összedásr nézve semleges elem) 4. bármely R esetén vn olyn R ellentett elem, hogy + ( ) = 0. m1. bármely, b R esetén b = b m2. bármely, b R esetén (b c) = ( b) c m3. vn olyn 1 R elem, hogy bármely R esetén 1 = (1 szorzásr nézve semleges elem) m4. bármely R \ {0} esetén vn olyn 1 R reciprok elem, hogy 1 = 1. d. bármely, b, c R esetén (b+c) = b+c (disztributív szorzás z összedásr nézve) Láthtó, hogy szorzás szbályrendszere 4. követelményben lényegesen eltér z összedástól (egyébként nem is különbözne z összedás és szorzás). A d. is z eltérést erősíti. Tegyük fel, hogy R-en vn egy olyn (kisebb vgy egyenlőnek nevezett) rendezési reláció, mely még következő tuljdonságokkl rendelkezik: r1. bármely, b R esetén vgy b, vgy b. r2. minden olyn esetben, mikor b és c R tetszőleges szám, kkor +c b+c. r3. minden olyn esetben, mikor 0 és 0 b, kkor 0 b. Állpodjunk meg bbn, hogy z b, b helyett < b jelölést hsználunk. (Sjnos < nem rendezési reláció, mert nem reflexív.) Az 1. 4., m1. m4., d., r1. r3. lpján levezethető z összes egyenlőséggel és egyenlőtlenséggel kpcsoltos szbály. Kiegészítésül három foglmt külön is megemlítünk. 3.1. Definíció. Legyen, b R, b 0. Ekkor b := 1 b. Az osztás tehát elvégezhető vlós számokkl. 3.2. Definíció. Legyen x R. Az x bszolút értéke { x, h 0 x x := x, h x 0, x 0. Hsznosk z bszolút értékkel kpcsoltos egyenlőtlenségek.

3.1. VALÓS SZÁMOK A 15 1. Bármely x R esetén 0 x. 2. Legyen x R és ε R, 0 ε. Ekkor x ε, és x ε x ε. 3. Bármely, b R esetén + b + b (háromszög-egyenlőtlenség) 4. Bármely, b R esetén b b. Könnyen igzolhtók ezek z állítások. A 4. bizonyítását megmuttjuk. Tekintsük z = b + b egyenlőtlenséget. Ekkor 3. szerint = b + b b + b. Az r2. szerint b számot mindkét oldlhoz hozzádv nem változik z egyenlőtlenség + ( b ) = b b (3.1) Hsonló meggondolássl b = b + b = b + b + b b / ( b ) b = b (3.2) Az (3.1) és (3.2) 2. tuljdonság szerint (x := b ; ε := b szereposztássl) éppen zt jelenti, hogy b b. 3.1.2. Természetes, egész és rcionális számok Most elkülönítjük z R egy nevezetes részhlmzát. Legyen N R olyn részhlmz, melyre 1 o 1 N 2 o bármely n N esetén n + 1 N 3 o bármely n N esetén n + 1 1 (z 1 z első elem) 4 o bból, hogy ) S N b) 1 S c) bármely n S esetén n + 1 S következik, hogy S = N. (Teljes indukció.) Az R-nek z ilyen N részhlmzát természetes számok hlmzánk nevezzük. Kiegészítésül álljon itt még néhány megállpodás: Z := N {0} {m R m N} z egész számok hlmz Q := {x R hlmz vn olyn p Z, q N, hogy x = p q } rcionális számok

16 3. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK Q := R \ Q z irrcionális számok hlmz Az N segítségével műveleti, rendezési szbályrendszer mellé hrmdik követelményt illesztjük z R-hez. Archimedesz-xióm: Bármely, b R, 0 < számokhoz vn olyn n N, hogy b < n. Az Archimedesz-xióm következményeként megmuttjuk, hogy bármely K R számhoz vn olyn n N természetes szám, melyre K < n, ugynis z := 1, b := K szereposztássl z xióm ilyen természetes számot biztosít. Megmuttjuk zt is, hogy bármely ε R, 0 < ε esetén vn olyn n N természetes szám, hogy 1 n < ε, ugynis legyen := ε és b := 1. Az xióm szerint vn olyn n N, hogy 1 < n ε. Rendre lklmzv megfelelő szbályt 1 < nε / + ( 1) 0 < nε 1 / 1 n 0 < 1 n (nε 1) = ε 1 n 1 n < ε. / + 1 n Az Archimedesz-xiómávl sem vált még minden igényt kielégítővé z R. Szükségünk lesz egy utolsó xiómár, melyet néhány foglomml készítünk elő. 3.1.3. Felső és lsó htár 3.3. Definíció. Legyen A R, A. Azt mondjuk, hogy A felülről korlátos számhlmz, h vn olyn K R, hogy bármely A esetén K. Az ilyen K z A hlmz egyik felső korlátj. Legyen A R, A felülről korlátos hlmz. Tekintsük B := {K R K felső korlátj z A hlmznk} hlmzt. Legyen α R B hlmz legkisebb eleme, zz olyn szám, melyre 1 o α B (α is felső korlátj z A hlmznk) 2 o bármely K B felső korlátr α K. A kérdés csupán z, hogy vn-e ilyen α R. Felső htár xiómáj: Minden felülről korlátos A R, A hlmznk vn