Z rzavaros bevezetés a sztochasztius analízisbe özgazdászo számára 1 Medvegyev Péter 1. február 3. 1 A jelenlegi anyag viszonylag hosszú id alatt született. Vagy tíz éve egy pár oldalas el adásjegyzetént látta meg a napvilágot, majd évr l évre b vült. Ezt a verziót többé-evésbé véglegesne gondolom.
Tartalomjegyzé 1. Sztochasztius folyamato 5 1.1. Wiener-folyamato.................................... 5 1.1.1. A Wiener-folyamato nem orlátosa..................... 6 1.1.. A Wiener-folyamato trajetóriáina megfordítása.............. 9 1.1.3. A Wiener-folyamato nem deriválhatóa.................... 1 1.. Poisson- és Lévy-folyamato............................... 1 1..1. Poisson-folyamat................................. 1 1... Lévy-folyamato................................. 14 1..3. Bolyongáso, ompenzált Lévy-folyamato.................. 15 1..4. Marov-lánco.................................. 16 1.3. A töéletes véletlen: martingálo............................ 17 1.3.1. Filtráció és martingálo............................. 19 1.3.. Exponenciális martingálo............................ 1 1.3.3. Függetlenség, orrelálatlanság, martingálo.................. 1.3.4. Loális martingálo............................... 3. Sztochasztius integrálás 7.1. Korlátos változású folyamato szerinti integrálás................... 7.1.1. Riemann-integrál................................. 8.1.. NewtonLeibniz-szabály............................. 31.1.3. Stieltjes-integrálás................................ 3.1.4. Korlátos változású függvénye.......................... 36.1.5. Sztochasztius Stieltjes-integrálás........................ 38.. Itô-féle sztochasztius integrál.............................. 39..1. Kvadratius variáció............................... 4... Martingálo vadratius variációja, ompenzátoro............. 4..3. Martingálo szerinti Itô-integrálás....................... 44..4. Sztochasztius integrálo vadratius variációja............... 48..5. Asszociativitási szabály............................. 49..6. Loális martingálo............................... 49..7. Szemimartingálo................................ 51 3. Itô-formula 54 3.1. Itô-formula mint a NewtonLeibniz-szabály általánosítása.............. 54 3.1.1. Másodrend özelítése, vadratius variáció................. 54 3.1.. Itô-formula alalmazása várható értée iszámolására............ 57 3.1.3. Itô-formula id t l függ transzformációs függvény esetén........... 59 3.1.4. Lineáris sztochasztius dierenciálegyenlete................. 6 3.. FeynmanKac-formula.................................. 6 3..1. Parciális és sztochasztius dierenciálegyenlete............... 6 3... A derivatív árazás alapéplete.......................... 65 3..3. Példá....................................... 65 1
TARTALOMJEGYZÉK 4. Girszanov-formula 7 4.1. Mértécsere megadása s r ségfüggvénnyel....................... 7 4.. Girszanov-formula Wiener-folyamato esetén..................... 7 4.3. Girszanov-formula loális martingálora........................ 78 5. Kvadratius variáció és arbitrázs 8 5.1. A BlacScholes-formula................................. 8 5.1.1. Az árazási éplet levezetése parciális dierenciálegyenlettel......... 8 5.1.. Az árazási formula levezetése mértécserével.................. 84 5.1.3. A nincsen arbitrázs elv.............................. 89 5.1.4. A piac teljessége, az integrálreprezentációs tétel................ 89 5.. Többdimenziós eszözárazás............................... 93 5.3. Fracionális Wiener-folyamat.............................. 97 5.3.1. Itô-lemma fracionális Wiener-folyamat esetén................ 99 5.3.. BlacScholes-modell fracionális Wiener-folyamat esetén.......... 99 6. Függelé: A feltételes várható érté 1 6.1. Valószín ségi változó várható értée.......................... 1 6.. Regressziós függvény................................... 14 6.3. Feltételes várható érté................................. 111 7. Függelé:Hasznossági függvény és martingálmérté viszonya 116 8. Ellen rz feladato 1
TARTALOMJEGYZÉK 3 A sztochasztius analízis, más néven sztochasztius alulus célja a lasszius dierenciálszámítás iterjesztése sztochasztius folyamatora. Az elmélet alapgondolatai igen egyszer e, de az egyszer alapötlete techniai megvalósítása nagyon örülményes és nehézes. A gyelmes olvasó alább több helyen is joggal nehezményezheti a matematiai pontosság teljes hiányát. Integráloat véges összegeel helyettesítün, nem teszün ülönbséget a onvergenciafogalma özött, az integrálo mögé bederiválun, az integrálo sorrendjét minden megfontolás nélül felcseréljü, általában nem teszün ülönbséget loális martingál és martingál özött stb. Eze súlyos matematiai hibá, és az alább bemutatott állításo jelent s része a megfogalmazás pontatlansága miatt matematiailag nem is igaz, de a probléma szabad szemmel remélhet leg azért nem látható. Ugyanaor úgy látju, hogy egy bevezet pénzügyi matematiai urzus során a precizitás magasabb foa inább áros, mint hasznos lenne. Minden heurisztius megözelítés nagy hibája, hogy amennyiben az érdel d olvasó mégis meg aarja érteni a pontos gondolatmenetet bajba erülhet, ugyanis a heurisztius gondolatmenet durván hibás lehet. Miént ismert minden nehéz problémána van egy világos és egyszer, de hibás magyarázata. Határozottan jelezni szeretnén, hogy az alábbi bizonyításo egyiébe sem szabad túlságosan belegondolni. Az elmélet pontos bemutatása nagyon messze vezetne, és meg vagyun gy z dve arról, hogy már a tényleges utazás el észítése is meghaladná a rendelezésre álló id eretet. A tétele pontos alaja, illetve a bizonyításo megtalálhatóa az [] és [1], illetve [3] önyveben. Önritiusan megjegyzzü, hogy reméljü, hogy a hozzáért olvasó nem fogja a fejünre olvasni az alább leírtaat, és elfogadja azt a véleményünet, hogy egy átlagos matematiai felészültséggel rendelez özgazdász hallgató számára a sztochasztius analízis tárgyalásaor a matematiailag özelít leg is precíz stílus teljesen lehetetlen. Ugyanaor azt gondolju, hogy az itt leírta megértése segítheti az érdel d olvasót a pontos matematiai elmélet megértésében és megemésztésében, ugyanis ha heurisztiusan is, de azért a helyes irányba orientálja az olvasót. Máséppen fogalmazva reméljü azért árt nem teszün avval, hogy a matematia tényeit némiéppen lazán interpretálju és idézzü. A pénzügyi matematia ulcs eszöze az Itô-formula. A pénzügyi önyveben legtöbbször idézett alajában a formula meglep en, talán túlzottan is bonyolult, és a legtöbb ember számára legalábbis nagyon nehezen megjegyezhet. Valójában azonban, a tárgyalás során szándéosan mell zött nem cseély apró techniai problémától elteintve, a formula igen egyszer en igazolható, de ami jóval fontosabb a tartalma önnyen megérthet és megjegyezhet. A formula megértéséne ulcsa, mint általában a matematiában, a megfelel néz pont megválasztása. Ha hajlandó vagyun az absztraciós létrán egy icsit feljebb mászni és hajlandó vagyun a sztochasztius analízis bizonyos általános érdéseit megfontolni, aor az egyébént homályos ép azonnal itisztul. Vagy legalábbis reméljü, hogy itisztul. Az Itô-formula számos olvasattal rendelezi: Az alábbiaban a NewtonLeibniz-szabály általánosításaént tárgyalju. Az általánosítás oa, hogy a tiszta véletlen hatására ialauló folyamato által befutott pályá, matematiailag igen omplexe. A pénzügyi matematia iindulópontja, hogy a iélezett piaci verseny hatására a pénzügyi eszözö áralaulását leíró ábrá helyes matematiai absztracióját olyan folyamato alotjá, amelye a szoásos ziai szemlélettel ellentétben nem rendelezne véges úthosszal, csa a folyamat úgynevezett vadratius variációja, négyzetes megváltozása véges 1. A négyzetes megváltozás pozitivitása ét övetezménnyel bír: egyrészt a NewtonLeibniz-formulában megjeleni az Itôformulában szerepl nevezetes másodrend orreciós tag, másrészt a folyamatoban nincsen arbitrázs. Az arbitrázs hiánya, mint alapvet pénzügyi feltétel a piaci folyamato hatéonyságát jellemz, özgazdasági, pénzügyi észrevétel. A piacon azért nincsen arbitrázs, mert a piac az információt azonnal és töéletesen feldolgozza. Ami a hatéony információfeldolgozás után megmarad az töéletesen véletlen, fehér zaj, amib l, a töéletes véletlen deníciója miatt, nem lehet pénzt csinálni. Matematiailag a töéletes véletlen által induált mozgás annyira bonyolult, hogy csa a folyamat vadratius variációja lesz véges. Máséppen fogalmazva, ha nincs vadratius variáció, aor van arbitrázs, és aor befetetéselemzés mint önálló tevéenység szüségtelen és értelmetlen. Némiéppen eltúlozva: a befetetéselemz azért apjá a zetésüet, hogy a pénzügyi életben ezeljé azoat a ompliációat, amelyeet a vadratius variáció pozitivitása ooz. 1 A vadratius variáció, illetve a négyzetes megváltozás azonos fogalma. A vadratius variáció az angol terminológia özvetlen átvétele, a négyzetes megváltozás már az 1.-ás magyarított verzió. V.ö.: fájl, állomány.
TARTALOMJEGYZÉK 4 Nincs vadratius variáció, nincs állás, és lehet menni a híd alá aludni. A befetetéselemz enyéradó gazdája a vadratius variáció! Bár alább özvetlenül nem jeleni meg, a háttérben egy nagyon jól megértett és tisztázott matematiaipénzügyi állítás húzódi meg: az eszözárazás alaptétele. Az eszözárazás alaptétele szerint egyrészt ha valamely piacon nincsen lehet ség arbitrázsra, aor az alapul vett folyamat úgynevezett szemimartingál, másrészt a piacon pontosan aor nincsen arbitrázs, ha alalmas valószín ség, az úgynevezett ocázatsemleges valószín ség mellett, az alapfolyamat loális martingál 3. Minden, nem azonosan onstans, loális martingál vadratius variációja pozitív. A szemimartingálna nevezett folyamatosztály tagjai deníció szerint ét folyamat összegére bonthatóa: az egyi folyamat teljes megváltozása véges, a mási tag pedig loális martingál, így a négyzetes megváltozása véges 4. Az Itô-formula talán legjobb olvasata, hogy a szemimartingálo osztálya zárt a étszer folytonosan deriválható függvényeel való transzformációra nézve. Az Itô-formula megadja, hogy miént módosul az eredeti szemimartingál említett ét omponense a formulában szerepl függvénytranszformáció hatására: Ha valamely loális martingált beleteszün egy étszer folytonosan deriválható függvénybe, aor a transzformált folyamat felbontását magadó Itô-formulában szerepl Itô-féle sztochasztius integrál a transzformáció során apott szemimartingál loális martingál része, miözben a formulában szerepl másodrend orreciós tag teljes megváltozása véges. Vegyü észre, hogy bár Budapest so szép híddal rendelezi, a hida alatt legfeljebb egy évfolyamnyi befetetéselemz férne el. Mivel a legtöbb befetetéselemz ne van állása ezért az empirius tapasztalat azt mutatja, hogy a vadratius variáció a gyaorlatban is pozitív. Vagy talán mégse? Lehet, hogy a matematia és a pénzügyi gyaorlat ölcsönhatása bonyolultabb? Annyi azonban igazna t ni, hogy a vadratius variáció megértése nem rontja az álláshoz jutás esélyeit. Azért ez is valami. 3 Bizonyos szempontból a sztochasztius analízis megértéséne ulcsa a borzalmas terminológia elfogadása és tudomásulvétele. Sajnos szinte minden tudományra és áltudományra jellemz a nagyép terminólógiai használata. Azért legyün szinté: a short call opcióra való hivatozás legalább annyira pofátlan blabla mint a szemimartingál. Általános szabályént elmondható, hogy egy terület annál evésbé tudományos minnél zavarosabb és nagyép bb a terminológiája. A sztochasztius analízis azonban ez alól ivétel. A borzalmas terminológia egyi oa, hogy a terület igencsa nem rég, és meglehet sen váratlanul, erült i a világ vezet matematiusaina egy sz szetájána eze özül. Az alapító atyá nem igazán számította arra, hogy valaha ezeel a fogalmaal a sz szetatagoon ívül bári is foglalozni fog. 4 Hogy ez mit jelent az alábbiaból remélem világos lesz. Sajnos a terminológia történelmileg alault i, így nem töéletes. Jobb lenne, ha a teljes megváltozás helyett els rend megváltozást írhatnán, vagyis azt mondhatnán, hogy minden szemimartingál ét folyamat összegére bontható: az els ne az els rend, a másodina a másodrend megváltozása véges. Vigyázni ell azonban, nem minden folyamat, amelyne a négyzetes megváltozása véges lesz loális martingál. A szemimartingálo felbontásában a vadratius variációval rendelez tagna loális martingálna ell lenni.
1. fejezet Sztochasztius folyamato Ebben az els fejezetben röviden átteintjü a sztochasztius folyamato elméleténe néhány alapfogalmát. Bevezetjü a Wiener és Poisson-folyamatoat és a martingáloat. Sztochasztius folyamaton mindig étváltozós függvényt értün. Az egyi változó, amit általában t vagy s jelöl, az id ; a mási, amit általában ω jelöl, véletlen, ismeretlen paraméter, amely a lehetséges értéeit egy Ω, A, P valószín ségi mez b l veszi fel. Bizonyos szempontból nagyon zavaró, de ugyanaor igen indoolt onvenció, hogy az ω argumentumot általában elhagyju. Ha a épletet a szövegörnyezetb l iragadju, nem világos, hogy egyszer salárról, vagy valószín ségi változóról van-e szó. A folyamatot úgy célszer elépzelni, hogy a t = id pontban iválasztásra erül az ω véletlen imenetel értée, és ami meggyelhet, az az ω rögzítése mellett eletez t ξ t, ω úgynevezett trajetória, vagyis a folyamat realizációja az ω imenetel megvalósulása esetén 1. A sztochasztius analízis nehézségei abból származna, hogy az érdees eseteben a t ξ t, ω trajetóriá igen széls séges matematiai tulajdonságoal rendelezne. Általában durván nem folytonosa, tele vanna szaadásoal, isebb nagyobb ugrásoal. A sztochasztius folyamato általános elmélete, vagyis amior ugrásoat és szaadásoat is megengedün igen nehéz, így az alábbiaban csa a folytonos sztochasztius folyamato elméletével foglalozun. Folytonosságon azt értjü, hogy feltételezzü, hogy a trajetóriá folytonos függvénye. A folytonosság igen szigorú megötés, a pénzügyi tapasztalat azt mutatja, hogy a legtöbb meggyelt sztochasztius folyamat nem folytonos. Pontosabban a folytonos folyamato számos, a pénzügyi gyaorlatban meggyelt jelenséget nem megfelel en modellezne. Enne ellenére a matematiai tárgyalás egyszer sége céljából a folytonosság feltételét alább lényegében mindig meg fogju övetelni. 1.1. Wiener-folyamato A leghíresebb 3 folytonos sztochasztius folyamat a Wiener-folyamat, pontosabban a Wienerfolyamat típusú folyamato családja. 1.1 Deníció. Valamely {w t, ω} t sztochasztius folyamat Wiener-folyamat, ha teljesíti az alábbi öt feltételt: 1 Természetesen a meggyel nem tudja, hogy melyi ω imenetel lett iválasztva. A trajetória meggyelése során az id el rehaladtával egyre több információhoz jutun és az ω imenetelt egyre pontosabban meg tudju becsülni. Talán a legszerencsésebb példa a övetez : Tegyü fel, hogy a [, 1] szaasz egy pontját a t = id pontban iválasztju. Tegyü fel, hogy a apott számot bináris formában írju fel, és hogy az id múlását diszrét id pontoal ábrázolju. Tegyü fel továbbá, hogy az id el rehaladtával minden id pontban megtudju a a t = id pontban iválasztott szám egy újabb bináris számjegyét. Természetesen az id múlásával egyre többet tudun meg a számról, de minden id pontban az új számjegy meglepetés lesz számunra. Ez a modell evivalens avval hogy minden id pontban egy fej vagy írás játéal egy újabb számjegyet írun a orábbi számjegye mögé. Ett l azonban a matematiai tárgyalás nem lesz soal egyszer bb, ugyanis a folytonos sztochasztius folyamato általában nem deriválhatóa, és alább némi túlzással nem deriválható függvényere aarun dierenciálszámítást csinálni. 3 A folyamat méltán híres. A Wiener-folyamat a matematiuso, és reméljü a pénzügyese egyi edvence. 5
1.1. WIENER-FOLYAMATOK 6 1. w,. a w növeményei függetlene 4, 3. a w stacionárius növemény, vagyis a w t + h w t növemény eloszlása csa a h-tól függ és nem függ a t-t l, 4. tetsz leges s < t értéere 5 w t w s = N, t s, 5. a w folytonos abban az értelemben, hogy minden ω imenetelre a t w t, ω trajetória folytonos. Más szavaal, a [, id intervallumon értelmezett w folytonos trajetóriájú, független és stacionárius növemény folyamatot Wiener-folyamatna mondju, ha minden t id pontban a w t eloszlása N, t. Mivel a Wiener-folyamato összes véges dimenziós eloszlása normális, ezért a Wiener-folyamato Gauss-folyamato 6. Érdemes hangsúlyozni, hogy a Wiener-folyamatoat deniáló feltétele szorosan összefüggne, és nem azonos súlyúa. Például a negyedi feltétel szerint a növeménye eloszlása normális. Megmutatható 7, hogy ez övetezi a trajetóriá folytonosságából, illetve a növeménye függetlenségéb l 8. A szórásra tett feltétel, a normalizáló onstanstól 9 elteintve, a stacionaritás feltételével azonos. Ugyancsa hangsúlyozni ell, hogy a Wiener-folyamat elnevezés pontatlan. Helyesebb lenne Wiener-típusú folyamatoról beszélni. A Wiener-folyamat fogalma emléeztet az eloszlás, például a normális eloszlás fogalmára. Számos ülönböz valószín ségi változó létezi amely normális eloszlású. Ha ξ standard normális eloszlású, aor az η ξ is standard normális eloszlású és triviálisan a {ξ = η} esemény valószín sége nulla. Hasonlóan, ha w Wienerfolyamat, aor az u w folyamat is Wiener-folyamat, és anna a valószín sége, hogy valamely t id pontban w t = u t ismételten nulla. Két folyamat aor ülönböz, ha a folyamatot megadó étváltozós függvénye ülönböz e. Természetesen ét függvény triviálisan ülönböz, ha az értelmezési tartományu ülönböz. Számos olyan matematiai onstrució létezi, amely segítségével Wiener-folyamat észíthet. A ülönböz onstrucióban a folyamatot hordozó Ω, A, P tere általában ülönböz e, így természetszerüleg a folyamato is ülönböz e. A sztochasztius analízis talán legszebb állításai azo, amelye valamely bonyolult onstrució eredményér l azt állítjá, hogy a folyamat Wiener-folyamat, vagy folyamato széles osztályára megadjá azoat a további feltételeet, amelye garantáljá, hogy a folyamatosztály elemei Wiener-típusú folyamato leszne. 1.1.1. A Wiener-folyamato nem orlátosa Fontos, hogy viszonylagosan pontos épün legyen a Wiener-folyamato legalapvet bb valitatív tulajdonságairól. 4 Vagyis ha t 1 < t < < t n tetsz leges id pont sorozat, aor a w t w t w t 1 növeménye függetlene. Megjegyezzü, hogy a ξ és az η valószín ségi változóat függetlenne mondju, ha tetsz leges A R és B R esemény esetén az {ω : ξ ω A} és az {ω : η ω B} eseménye függetlene, vagyis P ξ A, η B = P ξ A P η B. A feltétel úgy is fogalmazható, hogy az együttes eloszlásfüggvény a peremeloszláso szorzatára bontható. 5 A = egyenl ségen azt értjü, hogy a ét oldal eloszlása azonos. 6 Gauss-folyamaton olyan ξ t, ω sztochasztius folyamatot értün, amelyre tetsz leges t véges számú id pont esetén a ξ t véletlen vetor normális eloszlású. 7 Viszonylagosan nehéz tételr l van szó. Az irodalomban szoás jelezni, hogy az állítás a centrális határeloszlástételb l övetezi. Ez igaz, de az összefüggés nem jön i a centrális határeloszlás-tétel elemi alajából. 8 Ez is mutatja, hogy a trajetóriá folytonosságára tett feltétel igen szigorú. A pénzügyi adatsoro esetén széles örben meggyelt vastag faro jelenség nehezen illeszthet össze a folytonossági feltétellel. 9 Vagyis hogy a szórás éppen t-vel és mondju nem t-vel n.
1.1. WIENER-FOLYAMATOK 7 El ször vizsgálju meg a folyamat globális 1 tulajdonságait. A normális eloszlás legalapvet bb tulajdonságai miatt tetsz leges t-re a folyamat nagy valószín séggel a ±3 t parabola által leírt tartományban ingadozi. A normális eloszlás jórészt özépen ingadozi és bár el fordulhatna nagyon nagy értée is, anna a valószín sége hogy egy adott t-re a ±3 t parabolán ívül találju magunat nagyon icsi 11. Ha úgy tetszi tetsz leges id pontban a parabolán ívüli meggyelése el fordulása gyaorlati szempontból elhanyagolható. Máséppen fogalmazva nem övetün el nagy hibát, ha minden véges és x id pontban az eloszlás tartóját orlátosna épzeljü el. A trajetóriá globális viseledését leíró pontos állítást az úgynevezett iterált logaritmuso 1 tétele tartalmazza, amely szerint w t w t P lim inf = 1 = P lim sup = 1 = 1. t t ln ln t t t ln ln t Emléeztetün, hogy deníció szerint valamely függvény vagy sorozat limesz inferiorja, illetve limesz szuperiorja a torlódási ponto özül a legisebbet, illetve a legnagyobbat jelenti. Például az a n 1 n 1 + 1 n sorozat limesz szuperiorja 1 a limesz inferiorja 1. Vegyü észre, hogy a sorozat, illetve a függvény értéei egy id után a limesz szuperior és a limesz inferior által el írt szaasz tetsz legesen icsi, de azért pozitív sugarú, örnyezetében fog ingadozni. Az imént említett a n sorozat esetén a sorozat tagjai elég nagy n indexre az 1 ε, 1 + ε szaaszon belül fogna elhelyezedni. Vagyis a sorozat a végtelenben lényegében a limesz superior és a limesz inferior özött ingadozi. A torlódási pont tulajdonság miatt tetsz legesen icsi ε > megengedett hiba esetén a sorozat tagjai, vagy függvény esetén a függvény értéei egy id után a limesz inferior, illetve a limesz szuperior öré írt ε széles örnyezetbe végtelen soszor visszatérne. Ugyanaor mondju a limesz szuperiort deniáló maximalitási megötés miatt a limesz szuperiornál nagyobb érté már nem rendelezi evvel a tulajdonsággal. Vagyis egy id után a sorozat minden értée a limesz szuperiornál egy tetsz legesen icsivel nagyobb, de azért rögzített, érté alatt fog elhelyezedni. Természetesen az ε csöenésével esetlegesen egyre ritábban fog a sorozat a limesz szuperior, illetve a limesz inferior özelébe visszatérni, illetve egyre és bbi id pontotól ezdve fog a ifejezés a ét érté által meghatározott sávban elhelyezedni, de egy id után a sorozat ingadozása ε pontosággal a limesz inferior és a limesz szuperior özött lesz. Az iterált logaritmuso tétele szerint tetsz leges ε > esetén a trajetóriá a végtelenben egy valószín séggel 13 a t ln ln t ε és t ln ln t + ε görbé által leírt tartományban tartózodna amely tartományna a orábban említett ±3 t parabola egy durva bár igen szemléletes és pratius özelítése. Kicsi t értéere a ±3 t tartomány b vebb mint a ± t ln ln t ponto által megadott tartomány, de nagyon nagy t értéere ± t ln ln t ponto által leírt tartomány b vebb mint a ±3 t ponto által leírt parabola. A ét görbe a 9 t = exp exp 1, 1 39 pontban metszi egymást. 1 Miént alább látni fogju a folyamat loális és globális tulajdonságai szorosan összefüggne. 11 A 3 onstansna nincsen jelent sége. Egyszer en a statisztiában szoásos három szigma szabályra utalun. De bári gondolhat a négy vagy aár hét szigma szabályra is. Az alábbiban a lényeg az, hogy tetsz leges, elegend en nagy a-ra a ±a t parabola nagy valószín séggel tartalmazza a trajetóráat, ugyanaor a trajetóriá ebb l a parabolából elegend en hosszú id alatt id nént egy valószín séggel ilépne. 1 Az iterált logaritmuso elnevezés a épletben szerepl ln ln ifejezés indoolja. Vagyis venni ell a t logaritmusána logarimusát. Már maga a logaritmus függvény is elépeszt en lassan n. Ugyanis az exponenciális függvény elépeszt en gyorsan n. Az iterált logarimus függvény, elég nagy t értéere "szabad szemmel nézve" nem n, szinte állandó. 13 Az egy valószín séggel itétel azt jelenti, hogy azo a trajetóriá, amelyere a feltétel nem teljesül nulla valószín séggel övetezne be.
1.1. WIENER-FOLYAMATOK 8 Miözben véges id horizonton a trajetóriá lényegében egy x orlát alatt maradna 14 végtelen id horizonton a trajetóriá orlátlano. Ha a imenetele valamely A halmazán a w trajetóriái orlátosa lennéne, aor a w t / t = N, 1 eloszlású változó sorozata az A halmazon nullához tartana 15, vagyis elég nagy t-re az A valószín ség özel nulla lenne, ami csa úgy lehetséges, ha az A valószín sége már eredend en nulla. Némiéppen pontosabban érvelve vegyü észre, hogy A = n A n, ahol az A n halmaz azoból a imeneteleb l áll, amelyere az n természetes szám a trajetória abszolút értééne egy fels orlátja, ugyanis az A halmaz a orlátos trajetóriá halmaza és minden orláthoz van olyan n természetes szám, amely nagyobb nála. Nyilván az összes n-re az A n nem lehet nulla valószín ség, ugyanis aor az egész A halmaz valószín sége is nulla lenne, mi pedig feltettü, hogy az A valószín sége pozitív. Legyen δ tetsz leges. Ha a t elég nagy, aor n/ t δ. Ilyenor w t < P A n P δ = P N, 1 δ. t A jobb oldalon álló valószín ség a δ alalmas megválasztásával tetsz legesen icsi lehet, ami lehetetlen,ugyanis a bal oldalon egy x pozitív szám van. Az így apott ellentmondás miatt a P A valószín ség nulla 16. Mivel egy igen fontos észrevételr l van szó özvetlenül is imondju: 1. Állítás. Egy valószín séggel a Wiener-folyamato trajetóriái nem orlátosa. Az, hogy a w trajetóriái nem orlátosa csa a nem orlátossággal apcsolatos megfontoláso egyi fele. Mivel minden Wiener-folyamat szimmetrius, például a felülr l való nem orlátoságból övetezi, hogy a trajetóriá sem alulról sem felülr l nem orlátosa, vagyis az id el rehaladtával egy valószín séggel minden trajetória egyre nagyobb pozitív és egyre nagyobb abszolút érté negatív számot is felvehet. Összefoglalva: nem övetün el nagy hibát, ha globálisan úgy épzeljü el, hogy valamely w Wiener-folyamat t w t trajetóriái nagy valószín séggel ±3 t parabola által megadott tartományban bolyongana miözben az id el rehaladtával végtelen soszor ilépne a parabola által megadott tartományból 17 Alul is meg felül is. A trajetóriá az id el rehaladtával szétspricelne, egyre nagyobb hullámoat alotva bolyongana a plusz és a mínusz végtelen értée özött. Az id el rehaladtával a ±3 t parabolából való ilépése nagysága és enne megfelel en id tartama egyre nagyobb lehet. A folyamat üís burolóját a ±3 t parabolától egyre távolodó ± t ln ln t görbé adjá meg. Tetsz leges ε > szám esetén bizonyos id eltelte után 18 a trajetóriá az t ln ln t ε, + t ln ln t + ε intervallumon belül helyezedne el. 14 Természetesen a feltételezett folytonosság miatt minden trajetória minden véges szaaszon önmagában orlátos. Természetesen az egyes trajetóriá fels orlátjaina a halmaza nem orlátos. Vagyis egy adott szaaszon, persze esetlegesen igen icsi valószín séggel, aár meora nagy fels orlát el fordulhat. Az el z paragrafus szerint nagy valószín séggel", gyaorlati szempontból" a trajetóriá véges id tartományon egyenletesen" is orlátosa. 15 Ugyanis az A halmazon a számláló orlátos, a nevez pedig végtelenbe tart. 16 A pontos indolást az iterált logarimuso tételével is elvégezhetjü. Vegyü észre, hogy az iterált logaritmuso tételében szerepl hányados limesz szuperiorja 1, vagyis a hányados egyi torlódási pontja, nevezetesen a legnagyobb, éppen az 1, vagyis a számláló végtelen soszor megegyezi" a nevez vel, miözben a nevez a plusz végtelenhez tart. A Wiener-folyamat szimmetrius, így ugyanez igaz a mínusz végtelen oldalon is. Vagyis a trajetóriá alalmas sorozaton a plusz végtelenbe és valamely mási alalmasan választott sorozaton pedig a mínusz végtelenhez tartana. 17 A Wiener-folyamato trajetóriái nagy valószín séggel a parabolán belül haladna. És minden rögzített t esetén pratiusan" fel is tehetjü, hogy a parabolán belül van. Ugyanaor végtelen soszor megisérelve egy icsi, de azért pozitív valószín ség eseményt végtelen számú beövetezést apun. Közgazdaságilag fogalmazva, egy forint nem túl nagy érté, de nagyon so egy forintos nagyon nagy érté. Mindegy, hogy forint, dollár vagy euró. Csa so legyen bel le! Máséppen, ai a icsit nem becsüli, a nagyot nem érdemli. 18 Az utolsó ilépési id nagysága trajetória függ és nyilván függ az ε számtól.
1.1. WIENER-FOLYAMATOK 9 A Wiener-folyamat orlátlanságána egy gyaran használt és idézett övetezménye az úgynevezett duplázási stratégia véges id alatt való befejez dése. Tegyü fel, hogy fej vagy írás játéot játszun és a umulált nyereményt vizsgálju. Ha duplázva tesszü meg a téteet, aor az n-edi lépés után a megtett téte összege 1 + + 4 +... + n = n+1 1. Ha az n + 1-edi lépésben bejön a várva várt eredmény, aor mivel az utolsó tét n volt, a nyeremény a játé szabályai szerint enne duplája n+1 lesz, és így a nettó nyereményün n+1 n+1 1 = 1 lesz. Anna a valószín sége, hogy az n-edi lépésben bejön a ívánt érté éppen n. Így tehát anna a valószín sége, hogy valamior nyerün 1 + 1 4 + 1 8 +... = 1, vagyis egy valószín séggel a duplázási stratégiához szüséges lépése száma véges. A fej vagy írás játé nettó eredményét megadó folyamat nagyon hasonlít egy Wiener-folyamatra. Valójában a Wiener-folyamat a fej vagy írás játé folytonos változata. Legyen a > egy el re megadott nyereségi szint. Vezessü be a övetez értéet τ a min {t : w t a}. 1.1 Egy adott ω imenetel esetén τ a ω az els olyan id pont, amior az a nyeremény, az ω imenetel megvalósulása esetén, már a zsebünben van. Mivel a Wiener-folyamat trajetóriái nem orlátosa, ezért egy valószín séggel el bb vagy utóbb mindig be tudju gy jteni az a nyereményt. Vagyis a Wiener-folyamat orlátlansága miatt a τ a egy valószín séggel mindig véges. Máséppen fogalmazva, ha tetsz leges soáig tudun játszani, aor mindig nyerhetün. Ez a modern matematiai pénzügye nyelvén ifejezve azt jelenti, hogy orlátlan er forrással rendelezve mindig van arbitrázs stratégia. Máséppen fogalmazva az arbitrázs lehetetlensége csa aor értelmes, ha hozzátesszü, hogy véges er forrás esetén nincsen arbitrázs. Az isteneet semmi sem orlátozza, így számura van arbitrázs. Követezéséppen számura a pénz is érdetelen. Nem emlészem rá, hogy valahol arról olvastam volna, hogy Zeusz a t zsdei monitoroat gyelte volna. Az arbitrázs, vagyis a önnyen való meggazdagodás vágya az emberi er forráso sz ös voltána bizonyítéa 19. 1.1.. A Wiener-folyamato trajetóriáina megfordítása Miént említettü, nem csa egy Wiener-folyamat van. Ezt a legegyszer bben úgy láthatju be, ha meggondolju, hogy ha a w Wiener-folyamat, aor az u w is Wiener-folyamat. Ugyanis ielégíti a folyamatosztályt deniáló feltételeet. Soal érdeesebb a övetez példa: 1.3 Példa. Ha w Wiener-folyamat, aor az u t tw 1/t folyamat is Wiener-folyamat. Ahhoz, hogy valami Wiener-folyamat legyen a folyamatna teljesíteni ell a Wiener-folyamatot mint folyamatosztályt deniáló feltételeet. A példában gondot jelent, hogy a t = id pontban az u nincsen deniálva, így az u nem is lehet szigorú értelemben Wiener-folyamat. Ugyanaor a példa értelemszer en úgy értend, hogy a t = id pontra az u folyamatot a határértéével terjesztjü i. Els lépésben tehát meg ell mutatni, hogy lim u t lim tw t t 1 t =. 19 Az arbitrázs hiánya elv tehát a miroöonómiában tárgyalt sz össégi elv sajátos megjelenése a pénzügyi elméletben. Valahogy úgy, ahogy a sin x függvényt az x = pontban az 1 értéel deniálva folytonos függvényhez jutun. x
1.1. WIENER-FOLYAMATOK 1 Vegyü észre, hogy a határérté tulajdonéppen értelmetlen, ugyanis adott t mellett a w 1/t az Ω téren értelmezett függvény 1, és függvénye örében a határérté az elemi analízisben lényegében nincsen deniálva. Máséppen fogalmazva, ha függvénye határértéér l beszélün, aor mindig meg ell mondani, hogy hogyan értjü a határértéet, ugyanis szemben a számoal, illetve a véges dimenziós vetoroal, a határérté a függvénye örében nem egyértelm en deniált fogalom. Ebben a onrét esetben a határérté úgy értend, hogy az Ω egy olyan részhalmazán, amely valószín sége 1 a határérté létezi és értée éppen. Enne oa a övetez : Ha t 1/n, aor u t = u 1 n w n n. A w n eloszlása N, n, és a w n teinthet n darab független N, 1 eloszlású valószín ségi változó összegéne. Máséppen 1 u w n n =1 N, 1 =, n n n ahol az összegben szerepl tago függetlene. A nagy számo er s törvénye szerint a ifejezés a özös N, 1 eloszlás várható értééhez, vagyis nullához tart. Máséppen fogalmazva, ha u, aor az u folyamat folytonos lesz, vagyis a t = id pontban megadott deníció miatt az u minden t id pontban automatiusan folytonos. Tetsz leges t-re az u t eloszlása u t = tn, 1 t = N, t, és az egyes id szaoban a növeménye a w megfelel tulajdonsága miatt nyilván függetlene maradna, így az u-ra a Wiener-folyamatot deniáló tulajdonságo teljesülne. Követezéséppen az u Wiener-folyamat. Triviálisan az u és a w ülönböz folyamato. Az u t, ω tw 1/t, ω folyamat felfogható úgy mintha a w folyamatot id ben visszafelé, a t = id pontból visszafelé haladva, gyelnén meg. Ez alapján a Wiener-folyamat tulajdonság független az id tengely irányától 3. 1.1.3. A Wiener-folyamato nem deriválhatóa Az el z pontban szerepl példa szerint a Wiener-folyamato a végtelenben hasonlóan viseledne mint a t = pontban. Mivel a folyamat a stacionárius növeménye feltétele miatt az id tengely mentén eltolható, ezért bármely id pont után valitatíve ugyan úgy ingadozi mint a nulla id pont után. Mivel a végtelenben össze-vissza ingadozi, ezért a megfordított, visszafelé olvasott folyamat a nulla id pontot övet tetsz leges id szaaszon ingadozi vadul. Mindegy, hogy a folyamatot távolról és hosszú ideig nézzü, vagy egészen özelr l és rövid ideig. Minét esetben a z rzavart látju. A z rzavar egészében és részleteiben is z rzavar. Ez a lényege a övetez méltán ünnepelt észrevételne. 1.4 Állítás. PaleyWienerZygmund A Wiener-folyamat trajetóriái nem deriválhatóa. 1 Adott t-re a az ω w t, ω függvényr l van szó. A nagy számo er s törvénye szerint független, azonos eloszlással rendelez változó számtani átlaga egy nulla valószín ség eseményt l elteintve a özös eloszlás várható értééhez tart. A véges határértéhez való onvergencia szüséges és elegend feltétele anna, hogy a özös eloszlásna legyen várható értée. 3 Egy véletlen jelsorozatot elölr l olvasni pontosan annyira értelmes dolog mint visszafelé olvasni. A ígyó a fejét l a faráig pontosan olyan véletlen mint a farától a fejéig. Természetesen a megjegyzés egy icsit sántit, ugyanis a ténylegesen visszafelé meggyelt t w 1/t folyamat nem Wiener-folyamat. A t normalizáló szorzó szerepe is fontos, vagyis ha a ígyót visszafelé gyeljü meg, aor a meggyelés során egy a t = id pontban elhelyezett tölcséren át ell préselni.
1.1. WIENER-FOLYAMATOK 11 A Wiener-folyamat matematiailag legizgalmasabb tulajdonsága, hogy a folyamat trajetóriái egyetlen id pontban sem deriválhatóa. Enne indolása céljából egy tetsz leges t id pontban írju fel a dierenciahányadost: w w h + t w t. t h A deníció alapján evidens, hogy tetsz leges t id pont esetén a v h w h + t w t folyamat szintén Wiener-folyamat. Ezt úgy interpretálhatju, hogy a Wiener-folyamat tulajdonság független attól, hogy a folyamatot mior és hol ezdjü el meggyelni. A ülönbségi hányados w v h t h sv 1 s u s módon írható, ahol értelemszer en s 1/h. Mivel a v Wiener-folyamat, ezért az u s az el z példa szerint szintén Wiener-folyamat. Ha h, aor s, így a dierenciahányados határértée az egyes imenetelere Wiener-folyamatént szétspriccel. Az állítás fontos övetezménye, hogy az úgynevezett fehér zaj folytonos id horizont esetén nem teinthet valós érté sztochasztius folyamatna. A fehér zaj intuitív szinten a folytonosan beérez apró, nulla várható értéel rendelez független löéseb l álló folyamat. A fehér zajt leginább a rosszul beállított rádió sistergéseént, vagy a rosszul beállított televizó éperny jén megjelen ponto avaládjaént épzelhetjü el. A zaj azért fehér, mert nincsen benne információ és ezért nincsen szine. Hangsúlyozzu, hogy a fehér zajna az egyes id pontoban felvett értéei és nem a folyamat növeményei függetlene. Mivel a fehér zaj egyes értéei függetlene, a fehér zaj integrálja, a független tagoból álló részösszege folyamata, a löése umulált összege független növemény ellene, hogy legyen. Ha ugyanis az I 1 és I id intervallumo metszete üres, aor az I 1 -ben beövetez hatáso összege független lesz az I -ben beövetez hatáso összegét l. Mivel a löése relatíve egyenl és icsi értée, ezért az integrálfolyamatna folytonosna ellene lenni, vagyis az apró löéseb l álló fehér zaj integrálfolyamata Wienerfolyamat. De a Wiener-folyamatona nincsen deriváltja, így a folytonos id paraméter fehér zaj, mint özönséges sztochasztius folyamat értelmetlen. A sztochasztius analízis célja éppen az, hogy az intuitíve világos fehér zaj fogalmát matematiailag precíz módon ezelje. Ezen az úton az els lépés az, hogy megértsü, hogy a vállaozás miért is nem olyan egyszer. Ezen a ponton érdemes egy lozóai érdést is felvetni. Miért mondjá a matematiuso, hogy a fehér zaj fogalma értelmetlen, miözben a fehér zajt valóságént hallhatju és láthatju. Elment ezene az esze? Az ellentmondásra a válasz természetesen a modell és a valóság nyilvánvaló ülönböz ségében rejli. A sztochasztius analízis a valóságos folyamato egy épe. Hasonlóan, ahogyan a fényép nem azonos a fényépen szerepl személlyel, a sztochasztius analízis is csa bizonyos szempontoból türözi a mögöttes meggyeléseet, folyamatoat. Számtalan statisztiai vizsgálat létezi, amelye azt igazoljá, hogy a ténylegesesen meggyelt árfolyammozgáso nem írható le a matematiai pénzügye egyenleteivel 4. Nyilván nem! Miért olyan meglep ez? A ét dolog mindjárt az elején szétváli. Miözben a fehér zaj tapinthatóan, hallhatóan létezi, a fehér zaj matematiai modelljében a fehér zaj nem értelmezhet. Csa az integrálját tudju deniálni! Természetesen a modellt és a tényleges tapasztalatoat mindig össze ell mérni, a ett t tapasztalati úton alibrálni ell. A özgazdaságtan egyi alapvet problémája, hogy ezt nem végzi el rutinszer en. Bár életün párja nem azonos a róla észített esüv i fényéppel, enne ellenére érdemes az esüv i fotóat eltenni és id nént el venni. Miért? Hogy tudju, hogy mior és miért tévedtün! 4 Az eloszláso fara vastag, a volatiltás laszterez di, bla, bla, bla...
1.. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK 1 1.. Poisson- és Lévy-folyamato Természetesen Wiener-folyamaton ívül számos más típusú sztochasztius folyamat létezi. Általában mi csa folytonos trajetóriával rendelez folyamatoat tárgyalun, de röviden érdemes a nem folytonos folyamatoat is megvizsgálni. A nem folytonos sztochasztius folyamato özül a legfontosabba a Poisson-folyamato. 1..1. Poisson-folyamat A Wiener-folyamat mellett a sztochasztius folyamato mási irálya a Poisson-folyamat. A Wiener-folyamat so is, önmagában jelentételen, gyaran, a matematiai absztració szerint folyamatosan, beövetez innitezimális hatású esemény eredményeént, ered jeént létrejöv viseledési forma modellezésére szolgál 5. Ezzel szemben a Poisson-folyamat az R + félegyenes mint id tengely mentén ritán, egymástól függetlenül beövetez eseménye számát adja meg. A és bbie szempontjából érdemes hangsúlyozni, hogy ha a π t, ω folyamat Poisson-folyamat, aor a t π t, ω trajetóriái monoton n ne és nem folytonosa. Az, hogy az eseménye ritán övetezne be, a övetez t jelenti: elegend en icsi szaaszon már csa legfeljebb egy esemény övetezhet be, vagyis az eseménye beövetezéséne id pontjai nem torlódhatna. Enne öveteztében a ülönböz ω Ω véletlen imenetelere megadható egy I n ω, pozitív számoból álló, természetesen ω-tól függ, számsorozat, amely elemei a ülönböz eseménye özött eltelt, pozitív hosszúságú id tartamoat adjá meg. Az ω imenetel realizációja esetén az els esemény az I 1 ω > id pontban övetezi be, a másodi esemény I ω > id pont múlva, vagyis az I 1 ω + I ω id pontban stb. A Poisson-folyamat fontos tulajdonsága, hogy a Wienerfolyamathoz hasonlóan független és stacionárius növemény. A stacionaritás feltétele azt jelenti, hogy az id tengely bármely azonos hosszúságú részén a folyamat által számlált eseménye azonos eséllyel övetezhetne be, és mivel a folyamat független növemény, ezért az egyes diszjunt id szaaszoon a számlálandó eseménye egymástól függetlenül övetezhetne be. Hasonlóan a Wiener-folyamathoz a Poisson-folyamat mint valószín ségszámítási jelenség független attól, hogy az id tengely mely pontját teintjü indulópontna, vagyis mior ezdjü el a folyamat mögötti eseménye számolását. Enne megfelel en a Poisson-folyamat egy olyan rita jelenségsorozat eseményeit számlálja, amely eseményeet egy strutúráját nem változtató rendszer generál, nyilván ritán és véletlenszer en 6. Ha dt egy elegend en icsi id hossz, aor a ritasági feltétel miatt egy dt hosszú id szaaszon csa egyetlen esemény övetezhet be. Legyen λdt özelít leg anna a valószín sége, hogy a számlálandó eseménye valamelyie egy dt hosszú szaaszon beövetezi. Ha λ nagy, aor az adott rögzített dt hosszú szaaszon az esemény beövetezéséne valószín sége nagy, így a számlálandó eseménye gyaran övetezne be, ha λ icsi aor ritán. Máséppen, ha a λ nagy, aor átlagban ét esemény özött evés id van, ha icsi, aor az átlagos váraozási id hosszú. 5 Ez a feltétel nyilván nem mindig teljesül. A szoásos példa a övetez : Ha egy stadionba összegy jtün 1 ezer embert majd hozzátesszü a világ legnehezebb emberét, az átlagos súly nem fog változni. Ha azonban ezt a jövedelmeel tesszü, önnyen elépzelhet, hogy a világ leggazdagabb emberéne nagyobb lesz a vagyona, vagy aár a jövedelme, mint a stadionban lev embere összes vagyona, illetve jövedelme. F leg, ha az afriai éjben a stationban éppen Ghána és Kamerun csapata játszi. A példából világos, hogy vanna esete, amior az átlagtól való eltérést a rendszer bünteti. Ez például a testmagasság esetén így van. Ilyenor a Wiener-folyamat jól használható. Vanna azonban esete, amior a gy ztes mindent visz. Ez a társadalmi ülönbsége esetén igen gyaori. Gondoljun csa arra, hogy a divat" milyen igazságtalan" tud lenni. A divatos önyvet mindeni olvassa, az író dúsgazdag. A ölt pedig gyaran nyomorogna. Valamely versenyszám gy ztese a gy ztes, a másodi helyezete a vesztes. Ha az átlagtól való eltérést a rendszer nem bünteti, ha az átlag örüli szórás nagyon nagy, aor Wiener-folyamat valószín leg használhatatlan modellje a vizsgált jelenségne. 6 Példaént szoás a balesete, földrengése, cs d eseménye számát hozni. De szoás valamely telefonözpontba beérez híváso számát is említeni. Ez utóbbi példa esetlegesen sántíthat. Ha mindenine van telefonja és mindeni éjjel-nappal telefonál, nehéz a ritasági feltételt omolyan venni. És valóban, számos statisztiai vizsgálat ismert, amely azt mutatja, hogy a Poisson-folyamatra jellemz exponenciális váraozási id például a telefonhíváso özötti id tartamora nem jellemz. Meg vagyun lepve? Nem igazán. A Poisson-eloszlás rita" eseménye számáról szól, mi pedig éjjel nappal, a metróban, az utcán, tetsz leges percdíj esetén folyamatosan csevegün. Még mondja valai, hogy a mareting nem, omoly dolog.
1.. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK 13 A λ tehát az esemény beövetezéséne intenzitását adja meg: a s r n beövetez, intenzíven jelentez eseménye λ paramétere nagy, a ritán beövetez é icsi. Ha egy < T < hosszú szaaszt dt hosszú is szaaszora bontju, aor N T/dt darab is részintervallumun lesz. Mivel az egyes dt hosszú részintervallumoon az egyes eseménye beövetezése egymástól független, a T hosszú id sza alatt 1 λdt N = 1 λt N exp λt N anna a valószín sége, hogy a T hosszú id tartam alatt nem övetezi be az esemény. A valószín séget megadó szorzat felírásaor természetesen felhasználtu, hogy az egyes dt hosszú résszaaszoon a beövetezés, pontosabban a be nem övetezés, valószín sége minden résszaaszon azonos. Ez éppen a stacionaritás feltétele. A szorzat felírásaor felhasználtu még, hogy a számlálandó esemény be nem övetezése az egyes részintervallumoon a többi részintervallumtól függetlenül nem történi meg. Máséppen, ha τ jelöli azt a valószín ségi változót, hogy mennyi id múlva jön a övetez esemény, aor P τ > T = exp λt. Ebb l övetez en az eseménye beövetezése özött eltelt id t megadó ω I n ω valószín ségi változó eloszlása exponenciális, és az eloszlás paramétere 7 λ. Némiéppen általánosabban: anna a valószín sége, hogy egy T hosszú szaaszon pontosan esemény övetezi be P T = N λdt 1 λdt N, ahol N T/dt a dt hosszú szaaszo száma. Az N binomiális együttható épletét beírva Ha N nagy és icsi 8, aor P T = = P T = λt! λt! λt! N! λt! N! N 1 λt N N. 1 λt N N! N N N! = 1 λt N N N 1 N + 1 N N exp λt, vagyis egy T hosszú id sza alatt beövetez eseménye száma Poisson-eloszlást övet λt paraméterrel. Ez indoolja, hogy a folyamatot Poisson-folyamatna hívju. A Poisson-eloszlás várható értééne éplete szerint egy T hosszú id szaasz alatt beövetez eseménye számána várható értée λt. Ez tulajdonéppen nem meglep, ugyanis az exponenciális váraozási id miatt ét esemény özött átlag 1/λ hosszú id intervallum gyelhet meg, vagyis egységnyi id alatt átlag λ esemény övetezi be, így T id hosszú alatt átlagosan λt darab esemény gyelhet meg. Összefoglalva: A Poisson-folyamat a valószín ségszámítás ét fontos eloszlását apcsolja össze. Az eseménye özötti id hossza exponenciális eloszlású, valamely adott id sza alatt beövetez eseménye száma viszont Poisson eloszlású. Az eloszláso paraméterei a övetez : Ha λ az eseménye beövetezéséne intenzitása, aor a ét esemény özötti várható id tartam hossza 1/λ, 7 Emléeztetün arra, hogy a τ változó exponenciális eloszlású, ha P τ < x = 1 exp λx. Ebb l P τ x = exp λx. Az exponenciális eloszlás várható értée 1/λ, vagyis ha a λ intenzitási paraméter nagy, aor az egyes eseménye özött eltelt id várható értée, 1/λ, icsi. 8 Vagyis ha rögzített mellett dt.
1.. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK 14 ugyanis az exponenciális eloszlás várható értée 1/λ. Enne megfelel en egy x T id sza alatt λt esemény övetezi be átlagosan, így az eseménye számát megadó Poisson-eloszlás várható értée λt. Ha átlagban ét percenént változi az ár legalább egy forinttal, aor egy óra alatt átlagban 3 egy forintnál nagyobb árváltozást gyelhetün meg. Ha átlagban ét percenént változi az ár, aor a ét árváltozás özötti id átlagos hossza perc. Ilyenor, mivel az exponenciális eloszlás várható értée 1/λ a λ = 1/. Ebb l övetez en 6 perc alatti eseménye várható száma 6 1/ = 3. 1... Lévy-folyamato A Poisson- és a Wiener-folyamato egy b vebb folyamatosztály, a Lévy-folyamato osztályána alapvet reprezentánsai. Valamely ζ t, ω folyamatot Lévy-folyamatna, pontosabban Lévy-típusú folyamatna mondun, ha 1. ζ =,. a ζ t stacionárius és független növemény, 3. a ζ t trajetóriái regulárisa abban az értelemben, hogy jobbról folytonosa és rendelezne bal oldali véges határértéel. A orábbiaban nem szerepl, így magyarázatra szoruló megötés a harmadi. A feltétel szerint valamely t ζ t, ω trajetória meggyelése esetén egy t id pontban ét dolog lehetséges: vagy a trajetória a t id pontban folytonos, vagy a trajetória ugri. Az ugrás deníció szerint a szaadás egy igen speciális esete, amior az adott pontban a ét ülönböz oldalról vett határérté létezi és véges, de a ét határérté nem egyezi meg 9. A feltétel szerint a trajetória értée minden id pontban megegyezi a trajetória jobb oldali határértéével. A Wiener-folyamat folytonos Lévy-folyamat. Nem egyszer igazolni, de megmutatható a fordított impliáció is, vagyis minden folytonos Lévy-folyamat egy lineáris trendt l elteintve Wiener-folyamat 3. Az állítás igazolása abból áll, hogy meg ell mutatni, hogy ha a folyamat trajetóriái folytonosa, aor a folyamat értée minden id pontban normális eloszlású 31. A trajetóriára tett regularitási feltétel miatt a Lévy-folyamato mindegyie három fajta folyamat lineáris ombinációjára bontható. A három bázisfolyamat a övetez : 1. lineáris trend,. Wiener-folyamat, illetve egy 3. tiszta ugrófolyamat. A lineáris trend oa, hogy a Lévy-folyamatoat deniáló feltétele özött nem szerepel, hogy a növeménye várható értée nulla legyen 3, övetezéséppen el fordulhat, hogy a növeménye várható értée az id vel arányosan n, illetve csöen. A folyamat folytonos részét a Wienerfolyamat reprezentálja. A folyamat ugrásaina szerezete, a trajetóriára tett feltétele miatt, igen speciális. Ha a >, aor a folyamat α-nál nagyobb ugrásai nem torlódhatna, ugyanis ha torlódnána, aor a trajetóriára tett regularitási feltétele az ugráso torlódási pontjában nem teljesülnéne, ugyanis a torlódási pontban a folyamat valamelyi határértééne, vagyis vagy a jobb, vagy a bal oldali határérténe, az a pozitivitása miatt, végtelenne ellene lenni. Ebb l övetez en az a > érténél nagyobb abszolut érté ugráso ritá 33, így az a-nál nagyobb nagyságú ugráso száma Poisson-folyamatot alot. Ebb l övetez en az a da, a + da szaaszba es ugrásoat megadó részfolyamat jól özelíthet egy alalmas λ a paraméter a π t, ω Poisson-folyamattal, ahol a π természetesen az ugrásoat számláló Poisson-folyamat és λ a pedig az a örüli ugráso id ben való beövetezésén intenzitásától függ, a Poisson-folyamat tárgyalásaor említett onstans. Ebb l övetez en egy lineáris trendt l elteintve minden Lévy- 9 Máséppen fogalmazva az oszcilláló, illetve a végtelenbe tartó határértéeet deníció szerint izárju. 3 Egy onstans folyamat csa aor Lévy-folyamat, ha a onstans értée nulla. Minden x t = at alaú lineáris függvény Lévy-folyamat és mint ilyen tulajdonéppen a legegyszer bb Lévy-folyamat. 31 Ez, miént orábban már említettü a centrális határeloszlás-tétel egy igen éles verziójából övetezi. 3 S t, elépzelhet, hogy a várható érté végtelen, vagy esetlegesen nem is létezi! 33 Miént írtu a ritaság azt jelenti, hogy az egyes beövetezési id ponto nem torlódhatna.
1.. POISSON- ÉS LÉVY-FOLYAMATOK 15 folyamat egy Wiener-folyamat és esetlegesen végtelen so ülönböz λ a paraméter Poissonfolyamat végtelen súlyozott összegeént épzelend el 34. A folyamat ugrásaina intenzitását megadó összefüggést vagyis az a λ a hozzárendelést a folyamat spetumána mondju. A spetrum elnevezést az indoolja, hogy miént a fény spetruma megadja a fénysugár felbontását ülönböz rezgés tiszta fénysugarara, egy Lévy-folyamat a λ a spetruma a folyamat felbontását adja meg λ a intenzitású tiszta ugró folyamatora. Természetesen onrét Lévy-folyamat esetén a spetrum a folyamat özvetlen meggyelése alapján iszámolható, s t iszámolandó, ugyanis a folyamat ugrásaira vonatozó legalapvet bb információat éppen a spetrum tartalmazza. A spetrum meggyelése az egyes ugrásohoz tartozó Poisson-típusú részfolyamato meggyelését jelenti. Ez indoolja azt, hogy a Wiener-folyamato mellett a Poissonfolyamatoat teintjü a sztochasztius folyamato mási alaptípusána. Valószín ségszámítási értelemben a Lévy-folyamatoat a lineáris omponens, a Wiener-omponens együtthatója, illetve a spetrálfüggvény jellemzi. A három objetumot együttesen a folyamat araterisztiájána szoás nevezni. Lévy-folyamat esetén csa a araterisztia bír valószín ségszámítási jelent séggel. Ténylegesen maga a ζ Lévy-folyamat nem gyelhet meg, csa a folyamat valamely, véletlenszer en választott realizációja. A meggyelt realizáció alapján várhatóan 35 reproduálható a araterisztia. Valamely folyamattal apcsolatban csa azo a matematiai formulá bírna valószín ségszámítási jelent séggel, tartalommal, amelye statisztiailag meggyelhet adatora épülne. Lévy-folyamato esetén ez azt jelenti, hogy a valószín ségszámítási szempontból releváns formulá adatént egyedül a araterisztiát tartalmazhatjá. A gyelmes olvasóna feltünhetett, hogy a Lévy-folyamato értéét a trajetória jobb oldali határértéével deniáltu. Miért a jobb és miért nem a bal oldali határértéet vettü? A érdés pontos tisztázása igen messze vezetne, de a ét féle folytonosság özötti eltérés heurisztiusan megérthet. Az id tengely nem szimmetrius! Az id, a számegyenes szoásos ábrázolásában, balról jobbra halad. Az ugráso id pontjában a jobb oldali határérté, balról jobbra haladva soha sem látható el re, a bal oldali, legalábbis innitezimálisan, azonban el relátható. Enne megfelel en a balról folytonos folyamatoat, így a folytonosaat is, el rejelezhet ne mondju, a jobbról folytonosaat pedig ocázatosna. Az ugrásoat is tartalmazó Lévy-folyamato ocázatosa. A ocázatosságu abból ered, hogy a folyamat nagysága tetsz leges id pontban még innitezimálisan sem jelezhet el re. A ét folyamatosztály özötti eltérésre a sztochasztius integrálás tárgyalásaor hallgatólagosan és bb vissza fogun térni 36. 1..3. Bolyongáso, ompenzált Lévy-folyamato A Lévy-folyamato esetén a növeménye várható értéére nem tettün megötést. Többe özött az is el fordulhat, hogy a növeménye eloszlásána nincsen várható értée. Tegyü fel, hogy az egységnyi id tartományhoz tartozó növemény várható értée létezi, és az egységnyi id alatti növemény várható értéét jelölje M. Ha ξ t, ω jelöli a Lévy-folyamatot, aor az η t, ω ξ t, ω tm folyamat szintén Lévy-folyamat, de az η növeményeine várható értée már nulla. A t tm lineáris függvényt a ξ folyamat trendjéne, vagy ompenzátorána mondju. A nulla 34 Az állítás csa heurisztiusan igaz, elépzelhet, hogy a folyamat ugrásaiból álló sorozat az id ben való beövetezés sorrendjében onvergens, de nem abszolút onvergens, így ha az ugrásoat a beövetezésüt l eltér en átcsoportosítju, vagyis el bb nagyság szerint, aztán id szerint rendezzü et, aor nem apun onvergens onstruciót. A felmerül probléma heurisztiusan igen nehezen átteinthet és érzéelhet, így csa mint érdeességet jelezzü. A érdés összefügg a és bb tárgyalt vadratius variációval. Minden Lévy-folyamat négyzetes megváltozása véges, de a teljes megváltozása nem feltétlenül. A heurisztiusan vázolt felbontás csa aor m ödi, ha a vadratius variáció mellett a teljes megváltozás is véges. Ha csa a négyzetes megváltozás véges, aor a lineáris trend egy részével az ugrásoat ompenzálni ell. Az ugró rész és a lineáris trend viszonya igen szövevényes, övetezéséppen matematiailag varázslatosan szép, az alalmazáso szempontjából azonban másodlagos. 35 Mint általában a statisztiában, most is csa remélhetjü, hogy a realizáció elég reprezentatív. Az meg már lozóai érdés, hogy mit ezdün azoal a tulajdonságoal, ami a onrét meggyelt realizációban nem gyelhet meg, ugyanis az adott tulajdonságot a véletlen trajetória nem reprezentálja. Például ha a spetrum egy része a onrétan meggyelt trajetóriában nem jelentezi, aor a nem jelentez ugráso most létezne vagy sem? 36 A sztochasztius integrálás során az integrátor ocázatos, az integrandus el rejelezhet.