Exercitatio artem parat (Tacitus) Radom Club 200 tavasz Advaced probabilistic calculus for egieers Mide jeleséget okok redszere hoz létre, amelyek midegyikét legtöbbször em tudjuk figyelembe vei, így a jeleség lefolyása véletleszerű lesz a szemükbe. Ha a figyelembe em vett körülméyek agy számúak, és egyekét kis hatásúak, akkor véletleszerűek evezzük a jeleséget. Komplex jeleségekél kéyteleek vagyuk követi ezt a szemléletmódot. Hogy midemellet karakterizáli tudjuk a jeleséget, ebbe segíteek a sztochasztika módszerei. Ebbe az értelembe redkívül általáos és megkerülhetele eszköztárat kíál fel számukra. Az RC klub első 25 találkozójáak feladatayagát tartalmazza ez az összeállítás. A találkozóko egy-egy témakört dolgoztuk fel, problémák megoldásá keresztül. A problémák/feladatok kitűzése utá éháy percyi egyéi fejtörés következett, majd egy léyeges megoldási trükk megismerése mellett lehetett folytati a töpregést, s ha esetleg még ezutá sem volt egyéi megoldási javaslat, közöse oldottuk meg a feladatot. A klub céljai meghirdetéséek megfelelőe az iformatikus mérökség számára egyik legfotosabb diszciplia, a sztochasztika területéről számítási techikák megismerése, gyakorlása problémamegoldás formájába. Hetete egy órára jöttük össze a BME Hiradástechikai Taszék IE 4. emeleti körtárgyalójába szerdákét. Több voatkozásba is sikeresek tekithető a Klub. Néháy hóap alatt, tisztá feladatmegoldások kapcsá pl. a Black-Scholes egyeletig eljutottuk. Célukak megfelelőe elsősorba a techikákra, kalkulusra összpotosítottuk, de mideütt, ahol ez szorosa kapcsolható volt, alkalmazás modelleket vizsgáltuk mérökséghez közel álló területekről (pl. sorbaállás, kiszolgálás, buffer méretezés, raktározás-tárolás, tőzsdei folyamatok). Ősszel folytatódik a klub. Kellemes fejtörést a feladatokhoz! Üdvözlettel
Tartalom. Klasszikus elemi módszerek 3 2. Eloszlás- és sűrűségfüggvéy kiszámítása: 6 Alaptechikák Redezett mita esete 3. Várható érték 8 Idikátorfüggvéy, várható érték liearitása Feltételes várható érték és általáosítása 4. Geerátorfüggvéy techikák 0 5. Kovergecia A Borel-Catelli techika Alkalmazások a matematikai statisztikába 6. Valószíűség felső becslés módszerek 3 Berstei techika és variációi A agy eltérések módszere 7. Bolyogások 5 Szimmetrikus bolyogás, tükrözési elv A differeciaegyeletek módszere 8. Markov-lácok 7 A Markov-modell Eloszlások, ergodicitás 9. Potfolyamatok 9 Poisso folyamat Várakozási paradoxook Rekurres folyamatok, a felújítási elmélet módszere 0. Határeloszlások számítása 22 Direkt módszerek Ljapuov módszere. Martigálok 24 Martigál megállítása, a véletle választás tétele Martigálok kovergeciája 2. Sztochasztikus differeciálkalkulus 26 Ito-itegrál, Ito-formula Black-Scholes egyelet és a tőzsdei derivatívok 2
Klasszikus módszerek. Egy üzembe gyártott selyemharisyák közül átlagba mide ezredik hibás. A harisyákat kétszázasával csomagolják dobozokba. Számítsuk ki, hogy ezer doboz közül átlagba háy olya lesz, amely csupa hibátla harisyát tartalmaz. 2. Legalább háy ember eseté agyobb ½-él aak a valószíűsége, hogy legalább kettőek azoos hóapra esik a születésapja? 3. Tíz kéziratot harmic irattartóba tuduk elhelyezi (egy kézirat 3 irattartóba fér el). Meyi aak a valószíűsége, hogy 6 véletleszerűe kiválasztott irattartóba em lesz egyetle komplett kézirat sem? 4. Az S = {,2,..., N} számhalmazból véletleszerűe (visszatevéssel) kiválasztuk két részhalmazt, ezek A és B. Számoljuk ki a A B= 0 eseméy valószíűségét! 5. Az S = {,2,..., N} számhalmazból véletleszerűe (visszatevéssel) kiválasztuk r részhalmazt, ezek A,..., A r. Meyi aak a valószíűsége, hogy diszjukt a halmazok eze redszere? 6. Egy mozi egy sorába N szék va, és éző ül (véletleszerű helye). Számoljuk ki a következő eseméyek valószíűségét: a.) sehol sem ül két éző egymás mellett; b.) mide ézőek potosa egy szomszédja va. 7. golyót helyezük el N urába véletleszerűe. Számítsuk ki aak valószíűségét, hogy em lesz üres ura. 3
8. 5 urák va. Az első három urába 2-2 fehér és 3-3 fekete, a egyedik es ötödikbe - fehér és - fekete golyó va. Találomra kiválasztuk egy urát és kihúzuk egy golyót. Meyi aak a valószíűsége, hogy a egyedik vagy az ötödik urát választottuk ki, ha a kihúzott golyó fehér volt? 9. Egy oktató p valószíűséggel jö be egy ap a taszékre. Ha azap bejö, akkor aak valószíűsége, hogy k ember keresi μ paraméterű, míg ha em jö be, λ paraméterű Poisso eloszlás szeriti ( μ > λ ). Feltéve, hogy K hívás érkezett, mi a valószíűsége, hogy bejött az oktató? 0. Egy urába va piros és fehér golyó. Visszatevéssel húzuk az urából egyegy golyót, és mide húzás utá még egy piros golyót teszük az urába. Jelölje X aak a kísérletek a sorszámát, amikor először húzuk fehér golyót. Határozzuk meg X várható értékét!. Szidbádak jogába áll N háremhölgy közül kiválasztai egyet olya módo, hogy az előtte egyekét elvouló hölgyek valamelyikére rámutat. A hölgyek tetszőleges szépségsorredbe érkezhetek, s szépségbe külöbözők. Szidbád azt a stratégiát választja, hogy eleged k hölgyet, amelyek közül megjegyzi a legszebbet, majd a továbbiak közül azt választja, amelyik szebb, mit a megjegyzett. a.) Mi a valószíűsége, hogy a legszebbet választja? b.) Mi legye k értéke, hogy az a.)-beli valószíűség maximális legye? 2. Egy évre d Ft biztosítási díjat fizetük. Ha ics balesetük az évbe akkor ez a 2 díj λ -szeresére mérséklődik ( λ <), ha a következő évbe sics, akkor λ -szeresére, s.í.t., ha viszot egy évbe baleset törtéik, akkor ismét d Ft a díj. Ha p valószíűséggel törtéik baleset, akkor mekkora az -edik évbe várható biztosítási díj? 3. Egy urába a fehér és b piros golyó va. Ha egy fehér golyót húzuk ki, akkor azt visszatesszük, ha pirosat, akkor helyette egy fehéret teszük vissza. Ezt a műveletet -szer ismételjük. Számoljuk ki aak valószíűségét, hogy midezek utá egy golyót kihúzva az fehér lesz! 4
4. Egy utas két villamosjárat közül választhat, hogy melyikkel utazik. A villamosok periódikusa járak, T illetve T 2 időközökét követik egymást. A két járat egymáshoz ics szikroizálva, véletleszerű. Számoljuk ki aak valószíűségét, hogy a megállóba érkező utasak em kell t időél többet várakozia (0<t<mi( T, T 2 )). 5. Egy kerek asztal köré 2 vedég ül le véletle sorredbe, fele férfi, fele ő. Számoljuk ki aak a valószíűségét, hogy a vedégeket szét lehet osztai olya diszjukt párra, hogy mide párba egy férfi és egy ő lesz. 6. Legyeek C, C2,..., C potok függetleek és egyeletes eloszlásúak egy O középpotú, sugarú K körbe. B véletle halmaz elemei legyeek a kör azo potjai, amelyek közelebb vaak az O pothoz, mit a kör határvoalához vagy a C, C2,..., C potok bármelyikéhez. Számoljuk ki a B halmaz területéek várható értékét. 7. Tekitsük a következő teszt jellegű vizsgáztatási szabályt: egy vizsgakérdés egy vizsgalapra va felírva, és mide kérdéshez három válasz va megadva, amelyek közül csak egy helyes. A vizsgázóak ezt a lapot kell kitölteie a helyesek vélt választ megjelölve. Tegyük fel, hogy a vizsgázó p valószíűséggel tudja a helyes választ. Ha em tudja a választ, akkor /3 valószíűséggel jelöli meg a 3 lehetséges válasz közül az egyiket. Meyi a valószíűsége, hogy azért adott a vizsgázó helyes választ egy vizsgakérdésre, mert tudta a helyes eredméyt? 8. fiók közül valamelyikbe betette valaki az útlevelét, de elfelejtette, hogy melyikbe. Közvetleül utazás va és idegese keresgél. Aak valószíűsége w, hogy kihúzva azt a fiókot, amelybe az útlevél va, abba megtalálja azt. A fiókok közül a keresgélő ugyaolya valószíűséggel húzza ki midegyiket. Ha az először kihúzott fiókba em találja az útlevelét, meyi aak a valószíűsége, hogy az valóba ics ott? 5
Eloszlás- és sűrűségfüggvéy kiszámítása: Alaptechikák. Egységyi hosszúságú szakaszt véletleül választott potjával két részre osztuk. Mi a rövidebb rész eloszlásfüggvéye? 2. Egy ξ valószíűség változó eloszlásfüggvéye F(x). Határozzuk meg F( ξ ) sűrűségfüggvéyét! 3. A ξ és η függetle valószíűségi változók egyeletes eloszlásúak a [0,a] itervallumo. Határozzuk meg ξ η sűrűségfüggvéyét! 4. A ξ, ξ2, ξ 3 függetle valószíűségi változók egyeletes eloszlásúak a [0,] itervallumo. Határozzuk meg ξ+ ξ2 + ξ3 összeg sűrűségfüggvéyét! 5. A ( ξ, ξ 2) pot egyeletes eloszlású az {( x, y) : 0 x a,0 y a} égyzetbe. Mutassuk meg, hogy ξ ξ2 és mi( ξ, ξ 2) valószíűségi változók azoos eloszlásúak! 6. Addig dobuk egy kockával, amíg 5-él kisebb számot em kapuk. Jelölje ξ az utolsó dobás eredméyét, ν pedig a dobások számát. Függetleek-e eze valószíűségi változók? 7. A,..., ξ ξ valószíűségi változók függetleek, azoos eloszlásúak F(x) eloszlásfüggvéyel. Adjuk meg a miimális és maximális érték valószíűségi változó pár eloszlásfüggvéyét. 6
Eloszlás- és sűrűségfüggvéy kiszámítása: Redezett mita esete. Legyeek ξ és η függetle, [0,] itervallumo egyeletes eloszlású valószíűségi változók. Számoljuk ki a {max( η, ξ) mi( η, ξ) < b}, 0 b eseméy valószíűségét! 2. Legyeek ξ,..., ξ függetle, [0,a] itervallumo egyeletes eloszlású * * valószíűségi változók. Számoljuk ki az ξ,..., ξ redezett mita sűrűségfüggvéyét. * * i ξi 3. A 2.feladat megoldását felhaszálva, mutassuk meg, hogy ξ *, i=,2,,+ ( ξ + =a) redezett mita szomszéd külöbségek azoos eloszlásúak. Eek alapjá számoljuk ki eze külöbségek sűrűségfüggvéyét. * 4. Számoljuk ki ( F( ξ )) aszimptotikus eloszlásfüggvéyét, ha, ahol F(x) a ξi, 0 i valószíűségi változók folytoos eloszlásfüggvéye. 5. Múltba megfigyelt N természeti jeleség maximumot (pl. éves áradás),..., N ξ ξ függetle, azoos eloszlású valószíűségi változóval modellezzük. Számoljuk ki aak valószíűségét, a jövőbe megfigyelhető maximum közül x darab agyobb lesz, mit a már megfigyeltek közül az m-edik legagyobb (azaz övekvő sorba redezve a múltbeli maximumokat az N-m- sorszámú). 7
Várható érték: Idikátorfüggvéy, várható érték liearitása. Urába M fehér, N-M fekete golyó va, visszatevés élkül kihúzuk golyót. Legye ξ a kihúzott fehér golyók száma, ξ eloszlása hipergeometriai. Számítsuk ki ξ várható értékét. 2. Egy csoportba 25-e taulak. Számítsuk ki azo hóapok számáak várható értékét, amelyekre em esik születésap. 3. Egy kockás füzetlapra ledobuk egy egységsugarú kört (égyzetek oldalhosssza ). Számítsuk ki a kör által fedett rácspotok számáak várható értékét. 4. Legyeek ξ,..., ξ valószíűségi változók függetleek, pozitív értékűek és azoos ξk eloszlásúak. Legye ηk =. Számítsuk ki η k várható értékét. ξ +... + ξ 5. N cellába szétosztuk részecskét véletleszerűe. Jelölje μ 0 ( N, ) az ürese maradó cellák számát. Számoljuk ki μ 0 ( N, ) szóráségyzetét. 6. A síkra egymástól függetleül ledobuk darab r sugarú kört úgy, hogy ezek középpotjai egyeletes eloszlásúak egy R sugarú körbe. Ha X(m) jelöli a sík azo potjaiból álló halmaz területét, amelyeket potosa m kör fed le, határozzuk meg a EX ( m) M( m, N, R) = 2 π R ormált várható értéket, illetve a lim M ( mnr,, ) NR, határértéket, ha 2 r N λ. R 8
Várható érték: Feltételes várható érték és általáosítása. Legye ξ valószíűségi változó egyeletes eloszlású a [0,] itervallumo. Legye η valószíűségi változó a következő ξ, ha ξ 0.5 η = 0.5, ha ξ > 0.5 Számítsuk ki E( η ξ ) feltételes várható értéket! 2. Kockával -szer dobuk. Jelölje ξ a dobott 3-asok, η a dobott páratla számok darabszámát. Számítsuk ki az E( ξ η ) feltételes várható értéket! 3. Legye (X,Y) egyeletes eloszlású a (0,0), (0,), (,0) sarokpotú háromszögbe. Számítsuk ki EX ( Y= y) feltételes várható értéket! 4. Egy kockadobás eredméye ξ. Ezutá ξ -szer feldobva a kockát a legagyobb dobás eredméye η. Számítsuk ki E( η ξ ) feltételes várható értéket! 5. A ξ és η függetle valószíűségi változók egyeletes eloszlásúak a [0,] itervallumo. Számítsuk ki E( ξ ξ > η) feltételes várható értéket! 6. Legyeek ξ,..., ξ függetle, azoos eloszlású, véges várható értékű valószíűségi változók, továbbá legye S = ξ +... + ξ. Igazoljuk, hogy E( ξ S = x) = x/! i 7. Tekitsük az ( Ω, AP, ) valószíűségi mezőt. Igazoljuk, hogy tetszőleges A A eseté, ahol A A, feáll, A E( ξ A) dp= E( ξp(a A)) 9
Geerátorfüggvéy techikák. Beroulli kísérletet végzük. Jelölje ξ k a k-adik sikeres kimeetelű kísérlet sorszámát, ahol p egy kisérletbe a siker valószíűsége. Számítsuk ki ξ k várható értékét, szórását és geerátorfüggvéyét! 2. A ξ valószíűségi változó emegatív egész értékeket vesz fel, geerátorfüggvéye g(z). Igazoljuk, hogy b>a>0 eseté z b a a E = z y g( y) dydz ( ξ + a)( ξ + b) 0 0 3. Egy telefoközpotba t idő alatt érkező hívások száma λ t paraméterű Poisso eloszlás szeriti. Egy-egy hívás -p valószíűséggel elvész, p valószíűséggel sikeres. Határozzuk meg az időegység alatti sikeres beszélgetések geerátorfüggvéyét! 4. Adjuk meg max( ξ,..., ξ ν ) eloszlásfüggvéyét, ahol ξ,..., ξ ν függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók F(z) geerátorfüggvéyel, ν ezektől függetle, egész értékeket felvevő valószíűségi változó G(z) geerátorfüggvéyel. 5. Legyeek ξ és η függetle geometriai eloszlású valószíűségi változók p illetve p 2 paraméterrel. Számoljuk ki a mi( ξ, η) geerátorfüggvéyét! 6. Egy egyed k számú egyedet fertőz meg k p valószíűséggel (k=0,, ). A populáció fertőzése egy egyedtől idul. Tegyük fel, hogy időegységekét zajlik le egy fertőzési lépés. Határozzuk meg az -edik időegység végé a fertőzöttek számáak geerátorfüggvéyét! 0
Kovergecia: A Borel-Catelli techika. Legyeek ξ, ξ 2,... függetle, azoos eloszlású, ormális eloszlású valószíűségi ξ változók. Érvéyes-e a agy számok (gyege) törvéye az η = cos, =, 2,... ξ + sorozatra? 2. Végtele sok függetle biáris kísérletbe az -edik sikeréek valószíűsége / α, 0< α <. k egymást követő kísérlet sikerét figyeljük. Borel-Catelli lemma segítségével számoljuk aak valószíűségét, hogy végtele sokszor áll elő siker? 3. Legyeek ξ,..., ξ valószíűségi változók korrelálatlaok, azoos véges m várható 2 értékkel és σ szórásssal. Mutassuk meg, hogy a ξ +... + ξ 2 P lim = m = 2. 4. Legyeek ξ, ξ 2,... függetle, azoos 0 várható értékű valószíűségi változók alábbi eloszlásúak 2 2 2 P ξ = = /, P ξ = = / ( i ) ( i ) ξ +... + ξ Mutassuk meg, hogy P lim = =! 5. Számítsuk ki a következő határértéket: 2 2 +... + lim x x... dx... dx x +... + x 00 0
Kovergecia: Alkalmazások a matematikai statisztikába. Mutassuk meg, hogy a tapasztalati eloszlásfüggvéy az eloszlásfüggvéy torzítatla és kozisztes becslése. 2. Legye x,..., x egy mita, 2 2 = ( ) k k= s x x 4 k Ex ( ) <, k=,2,. Legye x = x,. Határozzuk meg az alábbi határeloszlást: k= k x Ex lim P s/ < x. 3. Beroulli kísérletet végzük, ahol a siker valószíűsége p. Adjuk 2α megbízhatóságú kofidecia itervallumot a p paraméterre. 4. Egy urába ismeretle N számú sorszámozott golyó va. Visszatevéssel kihúzuk golyót. Az N szám becslésére az / η statisztikát haszáljuk, ahol N ( ) k k k= η = ξ ( ξ ) és ξ k jelöli a k sorszámú golyók számát a mitába. a.) Számítsuk ki η várható értékét! b.) Adjuk aszimptotikus közelítést Dη szórásra, N eseté,, ha N / α. 5. Legye x() x(2)... x( ) az x,..., x mita redezettje, ahol x k értékei egyeletes eloszlásúak az [a,b] itervallumo. Az a = x() és a b = x ( ) becslések torzítatla illetve aszimptotikusa torzítatla becslései-e az a,b paraméterekek? 2
Valószíűség felső becslések: A Berstei techika és variációi. Legyeek X,..., X 9 függetle, egyeletes eloszlású valószíűségi változók a [0,] itervallumo. Legye Y = 9 X X X. Adjuk becslést Markov módszerével a P valószíűségre! 2 9 ( 0.88875 < Y < 0.7653) 2. 0 szabályos kockával dobuk. Adjuk felső becslést Csebisev módszerével aak a valószíűségre, hogy a dobott számok átlag vagy agyobb, mit 4 vagy kisebb, mit 3. 3. Vezessük le a Csebisev-Catelli felső becslés formulát: Var( X ) ( ( ) ) 2 P X E X t Var( X ) + t 4. Laci és Sayi játszaak. Pézt dobak fel, s aki eltalálja foritot yer. 00 pézdobásig tart a játék. a.) Berstei módszerével adjuk felső becslést aak valószíűségére, hogy Sayi legalább 3-szor ayit yer, mit Laci. (Ne haszáljuk formulát, vezessük le a felső becslést.) b.) Csebisev-Catelli módszerével mire juták? 5. Legyeek X,..., X függetle, 0, értéket felvevő valószíűségi változók, ahol P X = = p. Adjuk felső becslést Berstei módszerével a ( ) i ( > ( + δ) μ) P X i valószíűségre, ahol X X... X = + + és E ( X ) μ =. 3 6. Egy 000 m térfogatú gödröt tölteek fel teherautók építési sittel. Napota jö egy teherautó, amely maximum 0 m 3 sittet tud szállítai, de véletleszerű, hogy meyit hoz. Eleyésző-e aak a valószíűsége egyedév múlva sics félig a gödör? (Eleyészőek tekitjük, ha kisebb, mit 0.05.. Haszáljuk a Hoeffdig-becslést.) 3
Valószíűség felső becslések: Nagy eltérések módszere. (A agy eltérés ) Pézfeldobás-sorozatot tekitük: ξ,..., ξ, {0, } kimeetelekkel. a.) Mutassuk meg, hogy ( M = ) P > x ~ e I ( x) ξi (~: l M I( x) i= ) x>0, ahol I(x) = xlog(x) + ( x)log( x) l2. (Közvetleül (kombiatorikusa) adjuk alsó és felső becslést l M -re, majd a Stirlig-formula felhaszálásával vizsgáljuk a eze becslések kovergeciáját.) b.) Legye a péz hamis m 0 várható értékkel. Adjuk aszimptotikusa potos becslést a P ξi m ε > valószíűségre! i= c.) Mit tuduk modai a P ξi > x valószíűségről övekvő eseté? i= 2. Biztosítótársaságot üzemeltetük, jauár va. Napota, összese, D biztosítási díj folyik be. Az i-edik api káreseméyek költségét X i valószíűségi változó modellezi. Szereték, hogy legfeljebb p legye aak valószíűsége, hogy az év végé em áll a társaság kasszájába B összegű bevétel (0<B<365D). Mekkora api D biztosítási díjbevétel szükséges? (api káreseméy Φ ( m, σ ) ormális eloszlású). 3. Buffer méretezés összefüggést aduk agy eltérés módszer segítségével. Egy egykiszolgálós sort tekitük (FIFO). Az időegységekéti iputot X, X 2,... illetve outputot (kiszolgáló egységekéti feldolgozó képességét) Y, Y 2,... f.a.e. valószíűségi változó sorozat modellezi ( E( Xi) < E( Yi) ). Adjuk aszimptotikusa potos expoeciális becslést aak valószíűségére, hogy egy q méretű buffer túlcsordul, s eek alapjá vojuk le méretezési összefüggéseket. 4. Egy elemű redszerbe az elemek r külöböző állapotot vehetek fel, α diszkrét eloszlás szerit egymástól függetleül, továbbá másodpercekét újrasorsolódik az állapotuk. Mutassuk meg, hogy aak valószíűsége, hogy az elem állapotából kialakuló empirikus eloszlás egy β eloszlás ε sugarú köryezetébe esik, -be expoeciálisa csökkeő valószíűségű, ahol az eloszlások r dimeziós euklideszi vektorok, továbbá ahol 0 < ε < α β. 4
Bolyogások: Szimmetrikus bolyogás, tükrözési elv. Egy választás sorá A személy szavazatot, B személy m szavazatot kap (>m). Mekkora aak a valószíűsége, hogy A végig vezet a választás sorá? 2. Egy fagylalt ára 0Ft. A fagyisál m+ ember áll (m ) sorba, ahol m emberek csak 0Ft-os érméi, emberek csak 20Ft-os érméi vaak. Ha véletleszerű az emberek sorredje, számoljuk ki aak valószíűségét, hogy sekiek sem kell majd visszajáró pézre várakozia. 3. Egy játékba B yer Ft-ot, ha egy feldobott péz fej oldalára esik, veszít egy Ftot, ha írás jö ki. Iduláskor B zsebébe 0Ft va. a.) Számoljuk ki aak a valószíűségét, hogy az első lépés sorá em fut ki B a pézéből? b.) Ha B kölcsö tud kéri, adjuk becslést aak valószíűsége, hogy 00 lépés utá legalább 20Ft va B zsebébe! 4. Számoljuk ki aak a valószíűségét, hogy a 3.feladatbeli játékos először az m-dik lépésbe lesz újra kiiduló pézéél úgy, hogy addig egyszer sem kellett a kiiduló tőkéjéhez yúlia. Mekkora a valószíűsége aak, hogy ez sohasem fordul elő? 5
Bolyogások: A differeciaegyeletek módszere. Alfoz és Béla pézbe játszik, ahol egy játszmába Alfoz p valószíűséggel yer Ft-ot, -p valószíűséggel veszít Ft-ot, játszmákét függetleül. Alfoz kezdeti vagyoa z Ft Béláé v-z Ft, azaz összvagyouk v Ft. A játék addig folyik, amíg valamelyik fél zsebébe 0Ft marad. a.) Számoljuk ki aak a valószíűségét, hogy Alfoz veszít! b.) Határozzuk meg Alfoz várható yereségét! c.) Legye Alfozak 90 Béláak 0 Ft-ja kezdetbe, továbbá legye p=0.45. Valaki azt állítja, hogy Alfoz yerési esélyei ilyekor kedvezőtleek, ugyaakkor ha megduplázák a tétet (2Ft), akkor ez helyzet megfordula. Igaz lehet ez? 2. Valaki azt a meglepő dolgot állítja, hogy ha pézfeldobás játékot folytat Alfoz és Béla (p=0.5), aak elleére, hogy Alfozak 000 Béláak meg csak Ft-ja va kezdetbe a játék várható időtartama 000 lépés (?!!!). Elleőrizzük ezt az állítást, az.feladatbeli általáos paraméterezés mellett is vizsgálva a játék várható időtartamát! 3. Számoljuk ki a fetiekbe bevezetett játékba Alfoz tökremeése időtartama (valószíűség-eloszlása) geerátorfüggvéyét! 6
Markov lácok : A Markov modell. Legyeek ξ t, t=,2, biáris függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók, ahol P( ξt = ) = P( ξt = ) = p. Markov lácot képezek-e a következő v.v. sorozatok: a.) ηt = ξξ t t + b.) ηt = ξξ 2... ξt ηt ξt, ξ t + c.) =Φ ( ), ahol Φ(, ) =, Φ (,) = 2, Φ (, ) = 3, ( ) Φ, = 4? 2. Igazoljuk, hogy a szokásos Markov-lác markovitás tulajdoságával ekvivales az a tulajdoság, hogy a jele ismeretébe a múlt és a jövő függetle egymástól: PX ( = i, X = i,... X = i, X = i,..., X = i X = i) = 0 0 m m m+ m+ m+ m+ m m PX ( = i, X = i,... X = i X = i) PX ( = i,..., X = i X = i) 0 0 m m m m m+ m+ m+ m+ m m 3. Két tartályuk va, A és B, összese 2a labdát tartalmaz. Iduláskor A tartályba k db, B tartályba 2a-k db labda va ( A =k, B =2a-k). Mide lépésbe véletleszerűe választuk egy labdát az összes labda közül, és áttesszük a másik tartályba. Adjuk meg az ( A - B )/2 differecia Markov modelljét (állapottér, valószíűség-átmeet mátrix)! 4. Egy raktárba, ha a készlet mérete az i-edik periódus végére s érték alá esik, akkor a következő periódus elejére S méretre emelik azt. Periódusokét f.a.e. igéy érkezik, az i-edik periódusba ξ i igéy. Adjuk meg X i, az i-edik periódus végé a készlet mérete Markov modelljét! 5. Egy egy-kiszolgálós redszerbe mide egyes időperiódusba egy igéy kerül kiszolgálásra. Periódusokét beérkező igéye függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók, ahol az i-edik periódusba ξ i igéy érkezik, ahol ξ i a 0,, értékeit pozitív valószíűséggel veszi fel. Adjuk meg az X i az i-edik periódus elejé a várakozó sorhossz Markov modelljét! Irreducibilis-e a Markov lác? 6. Vizsgáljuk a visszatérőség tulajdoságot egydimeziós bolyogás feladatba. Egyrészt emlékezhetük a differeciaegyeletek módszeréél vizsgált tökremeés k problémájára, másrészt közvetleül is vizsgálhatjuk a kérdést kiszámolva a P 0,0, k=0,, állapotátmeet valószíűségeket és felhaszálva azt a tételt, miszerit egy i k állapot akkor és csak akkor visszatérő, ha Pii, =. k= 0 7
Markov lácok : Eloszlások, ergodicitás. Legye ξ t, t=,2, Markov lác állapotaiak halmaza az {,2,3} halmaz, átmeetvalószíűség-mátrixa { p ij } és stacioér eloszlása π j. Mutassuk meg, hogy ha p = p22 = p33 = 0 és π = π2 = π3 = /3, akkor p2 = p23 = p3 és p3 = p2 = p32. 2. Egy játékkockát azoos valószíűséggel, és az előző mozgásoktól függetleül, folyamatosa átfordítjuk az egyik oldaláról a égy szomszédos oldal valamelyikére. eseté milye határértékhez tart aak a valószíűsége, hogy az -edik forgatás utá a kocka a 6 oldalára kerül, ha kezdetkor is eze az oldalá állt? 3. Legye egy víztároló köbtartalma K. Mide évbe azoos M meyiségű vizet veszük ki a tárolóból. A folyó t-edik évbe f.a.e. ξ t meyiségű vizet hoz, ami túlcsordul, ha megtelik a tároló. Egyszerűsítésül feltehetjük, hogy a folyó oldali betöltés a kivétel előtt befejeződik. A tárolóba levő víz meyiségét a kivét utá jelölje η t. Legye pi = P( ξt = i), i=0,,2 a betöltési eloszlás, továbbá P( ξt K) > 0. Markov lácot alkot-e η t, t=,2,. A feladat a tároló méretezése azo feltétel mellett, hogy egy P( ηt m) valószíűséget szereték beállítai elfogadható értékre, ahol m a kritikusa kevés vízmeyiségek felelje meg. 4. Legye ξ t, t=,2, Markov lác állapotaiak száma +, az átmeetvalószíűségek a következők: pii = α, i=,2,,+; pij = α /, i j. A folyamat egy k, k + állapotból idul. Jelölje τ azt az időpotot, amikor a folyamat először kerül az + edik állapotba. Adjuk meg olya b, ( b, ) számsorozatot, hogy τ lim P < x b határérték (határeloszlás) létezze, és számítsuk ki ezt a határértéket. 8
Potfolyamatok: Poisso folyamat (Segédtétel) Tekitsük egy Poisso potfolyamatot. Az egymás utái törtéések közti időtartamok akkor és csak akkor leszek függetle, azoos paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változók, ha a folyamat homogé Poisso.. Egy, λ =0 hívás/óra itezitású Poisso folyamat szerit futak be a telefohívások. 30 percig regisztráljuk a hívások számát, ami 4 lett. Adjuk meg a két középső hívás időbeli távolságáak eloszlásfüggvéyét! 2. Egy mellékútvoalról a főútvoalo áthaladi kíváó autó vezetője megvárja, amíg legalább 0 sec időtartamú rés keletkezik a főútvoali forgalomba. A főútvoalo a két elletétes iráyú forgalom midegyiké az egymást követő autók érkezési időpotjai közötti idő várható értéke 5 sec, függetle Poisso folyamat modellel modellezhetők. Meyi aak a valószíűsége, hogy legfeljebb 2 autót kell megvári áthaladásig? 3. Egy szerver FIFO elve szolgálja ki a feladatokat. A feladatok λ paraméterű Poisso folyamat szerit érkezek, az egyes feladatok kiszolgálási ideje függetle és expoeciális eloszlású μ paraméterrel. Egy feladat kiszolgálása alatt meyi a sorhossz övekedés várható értéke? 4. Jelölje H az égboltak azt a részét, ami 0 féyévél távolabb va tőlük, de 20 féyévél közelebb. Tegyük fel, hogy egy köbféyévyi térrészbe várhatóa csillag esik, és mide csillag egyforma féyességű. Egy 0 féyévre levő csillag féyereje egységyi agyságúak látszik. Mi a H-ból a szemükbe jutó féy erejéek várható értéke, szóráségyzete? 9
Potfolyamatok: Várakozási paradoxook. 0 időpotba idul időbeli törtéések függetle, expoeciális eloszlás szeriti differeciájú sorozata, azaz legyeek X, X 2,... függetle, azoos expoeciális eloszlású valószíűségi változók és S = X+ X2 +... + X időpotba következik be az -edik törtéés. Ha valaki pl. azt kérdezi, hogy mekkora a várható értéke az +- edik és az -edik törtéés közötti várakozási időek valamely eseté, azt válaszoljuk, hogy az X + valószíűségi változóra kérdeztük rá, tehát /λ a válasz, ahol λ az exp. eloszlás közös paramétere. Ugyaezt válaszoljuk-e, ha úgy bökük ki egy differeciát, hogy rögzítük valamely t időpotot, s a kérdés, hogy mit tuduk modai L t differecia várható értékéről, ahol Lt = Sk Sk, Sk < t Sk. Nem X k -ról va szó?! 2. Hosszú egysávos, egyiráyú hegyi út idulópotjához függetle, azoos eloszlású valószíűségi változóval modellezhető sebességgel érkezek az autók. Ha egy autó utolér egy másikat beáll mögé, em tud előzi. Mi is vezetük egy autót. Kérdés, hogy a mögöttük esetlegese feltorlódható sorak mi a várható értéke? 3. Postahivatalba egyszerre érkezik A,B,C személy, ahol két ablak va yitva és szabad éppe. A és B beállak az ablakokhoz C várakozik. a.) Mi a valószíűsége, hogy em C jö ki utoljára a postáról? b.) Meyi C várható várakozási ideje. Mi az eloszlása C által a postá eltöltött időek? (kiszolgálási idők függetle, azoos expoeciális eloszlású, λ paraméterű valószíűségi változók) 4. Kette egyszerre érkezük a postára, két kiszolgáló ablak va és éppe midegyik előtt áll egy-egy személy kiszolgálás alatt. Mekkora a valószíűsége, hogy legalább kétszer (t-szer) ayit időt kell várom, mit az akivel együtt érkeztem? 5. Két sávos út vezet be Pestre, midegyike azoos hosszú agy kocsisor va, amikor két gépkocsi megérkezik, s egyik az eyém, s é az egyik, a másik a másik sorba áll be. Figyeljük egymást, hogy melyikük állt jobb sorba. Hol, hol ő, hol é kerülök egy-egy kocsival előbbre, hátra egy-egy lépésbe. Mekkora a várható értéke aak az időtartamak, hogy legalább m kocsi hosszyi előyre teszek szert? 20
Potfolyamatok: Rekurres folyamatok, a felújítási elmélet módszere. Tekitsük egy B rekurres eseméyt. Legye u =P{B bekövetkezik az -edik kísérletbe} f =P{B először az -edik kísérletbe következik be} =0,,2,, továbbá u 0 =, f 0 =0. Adott f, =,2,... eseté számítsuk ki u, =,2,... sorozatot. 2. Lekéstük a véletle kísérletsorozat elejét, és valamikor már érkezésük előtt volt már B eseméyel kapcsolatos bekövetkezés. Aak a valószíűségét, hogy megfigyelésük megkezdésétől számítva az első bekövetkezés az -edik lépésbe törtéik meg, jelöljeb, =,2,. Eek bekövetkezte utá az. feladat szeriti rekurres eseméy folyamat idul el (azaz késleltetett rekurres eseméyt tekitük). Adott f, b, =,2,... eseté számítsuk ki v, =,2,... sorozatot, valamit adjuk meg a geerátorfüggvéyeik kapcsolatát. (3. A felújítási tétel, mit számítási segédtétel kimodása.) 4. Tekitsük az. feladatbeli B rekurres eseméyt. Tegyük fel, hogy (determiisztikus) m-edik lépéstől kezdve figyeljük a folyamatot. A 3.potba kimodott felújítási tétel felhaszálásával számoljuk ki aak a valószíűségét, hogy a megfigyelés megkezdésétől számított r-edik lépésbe következik be az eseméy, ha r (a várakozási idő határeloszlását). 5. Egy cégek N darab azoos típusú gépkocsiból álló flottája va. Ha komolyabb felújításra szorula valamelyik, akkor azt eladják és újra cserélik. Tegyük fel, hogy az egyes gépkocsik cseréi időfolyamatát rekurres eseméyel modellezzük a következőképp: a 0-dik pillaatba k életkorú autóból e k darab va ( ek = N). Számítsuk ki az -edik pillaatba szükséges autócserék várható számát, ha. Számítsuk ki a koreloszlás határeloszlását. k 2
Határeloszlások számítása: Direkt módszerek. Egy ξ valószíűségi változó az [a,b] zárt itervallumba vesz fel értékeket, sűrűségfüggvéye folytoos és korlátos. Legye η { ξ } törtrészét jelöli. Számoljuk ki a lim P( η x) határértéket! =, ahol {y} az y valós szám 2. A ξ, ξ 2,... és η, η 2,... egész értékeket felvevő, valószíűségi változó sorozatokra, valamit a, a 2,... és b, b 2,... ( b, ha ) számsorozatokra teljesül, hogy ξ a P x F( x), továbbá b ( ξ = k) ( η = k) P max 0 P ka : k< Ab ahol A < tetszőleges. Mutassuk meg, hogy η a P x F( x). b 3. A 2. feladat módszere valamit a cetrális határeloszlás tétel felhaszálásával mutassuk meg, hogy egy η, η 2,... Poisso-eloszlású valószíűségi változó sorozatra, P = k = e k =, ormális határeloszlás adódik: k! x η y 2 /2 P x Φ ( x) = e dy 2π. ahol ( η ), 0,,... k 4. Egy raktárba percekét és függetleül, λ = 2 paraméterű Poisso eloszlás szerit érkezek alkatrészek, a raktár kapacitása 50 alkatrész, s a raktárt órákét ürítik. A 3. feladat eredméyéek felhaszálásával becsüljük meg aak valószíűségét, hogy 00 óra alatt egyszer sem lesz raktározási god. 5. A ξ, ξ 2,... valószíűségi változó sorozat elemei q paraméterű, geometriai eloszlású valószíűségi változók, q 0. Számoljuk ki η = qξ valószíűségi változók határeloszlását,. 22
Határeloszlások számítása: A Ljapuov módszer (Segédtétel) Az F ( x ), =,2, eloszlásfüggvéyek akkor és csak akkor kovergálak egy F( x ) eloszlásfüggvéyhez F( x ) mide folytoossági potjába, ha az F ( x ) eloszlásfüggvéyek ϕ ( x ) karakterisztikus függvéyei eseté olya ϕ ( x) függvéyhez kovergálak, amely a t=0 potba folytoos. Ebbe az esetbe ϕ( x) az F( x ) karakterisztikus függvéye.. Egy ξ ( p, ) paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változót milye feltétel mellett tuduk dekompoáli ξ = ξ+ ξ2 +... + ξm alakba, ahol a tagok függetle (, p ) paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változók? i i 2. A ξ egész értékeket felvevő valószíűség változó karakterisztikus függvéye f () t. Számítsuk ki a következő valószíűséget: P( ξ m (mod k)). ( ) ( ) ( ) 3. Legyeek ξ, ξ2,..., ξ, =,2, függetle, azoos eloszlású valószíűségi ( ) ( ) ( ) változók P( ξj = ) = P( ξj = ) =, P( ξ j = 0) =, j=,2,,. 2 ( ) ( ) ( ) ξ + ξ2 +... + ξ Számítsuk ki η = valószíűségi változó határeloszlását 2 ( ) D ( ξ ) eseté. 4. Legye ξ λ λ várható értékű Poisso-eloszlású valószíűségi változó. A karakterisztikus függvéyek módszerével mutassuk meg, hogy ξλ λ λ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye λ eseté a ormális eloszlás eloszlásfüggvéyéhez tart. 5. 4. Legye ξ -edredű gamma-eloszlású valószíűségi változó, és legye E( ξ) =. Mutassuk meg, hogy λ λξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye eseté a stadard ormális eloszlás eloszlásfüggvéyhez tart. 23
Martigálok: Martigál megállítása, a véletle választás tétele. F forittal kezdük egy játékot. Mide lépésbe a redelkezésre álló pézük q- szorosát (q<) kockáztatjuk, és 0.5-0.5 valószíűséggel elvesztjük vagy ugyaayit yerük. A játék lépése utá S a redelkezésre álló pézük. Mutassuk meg, hogy { S } martigál. 2. Egy populáció -edik geerációjába jelölje X a férfiak és Y a ők számát. Az egyedek álladó párokat alkotak, így Z = mi{ X, Y} pár hoz létre utódokat, egymástól függetleül. Egy pár utódjai között ξ a fiú és η a láy. Mutassuk meg, hogy Z szupermatigál, ha vagy Eξ vagy Eη. 3. Számegyeese tekitük bolyogást: origóból iduluk, lépésekét függetleül + lépést tesszük p illetve - lépést tesszük -p valószíűséggel. Jelölje S = Y+ Y2... + Y a helyzetet lépés utá, ahol Y i az i-edik lépés ( S 0 = 0 ). Mutassuk q meg, hogy ( p ) S X = martigál. 4. Tekitsük a 3.feladatbeli bolyogást. Jelölje T azt a lépésszámot, amíg a bolyogás először eléri c vagy -d (c,d>0) értéket. A véletle választás tételéek (és a 3.feladat eredméyéek) felhaszálásával számoljuk ki T várható értékét. 24
Martigálok: Martigálok kovergeciája. Legyeek ξ, ξ 2,... f.a.e. v.v-k véges várható értékkel ( E( ξ ) meg, hogy a ξi 2 i i= sor valószíűséggel koverges. k < ). Mutassuk 2. Tekitsük egy Y elágazó folyamatot, ahol az utódeloszlás várható értéke m < ( egyedből iduluk). Mutassuk meg, hogy X = m Y martigál, továbbá, hogy valószíűséggel kovergál. Értelmezzük az eredméyt. 3. Egy urába piros és fehér golyó va. Amilye szíű golyót húzuk, azzal együtt még egy ugyaolya szíűt teszük vissza. Mutassuk meg, hogy a piros golyók X aráya az -edik lépésbe valószíűséggel koverges martigál. 4. Legyeek ξ, ξ 2,... függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók f(x) sűrűségfüggvéyel. Legye g(x) egy másik sűrűségfüggvéy. Mutassuk meg, hogy a g( ξi ) maximum likelihood háyados martigált alkot, továbbá, hogy f ( ξi ) i= valószíűséggel 0-hoz tart. 5. Legyeek a Markov lác állapotai 0,,,m. Egy Markov lác martigál, ha m mide j-re p jkk = j. Mutassuk meg, hogy p00 = p mm =. Mutassuk meg, hogy k= 0 az i állapotból idulva a lác -i/m illetve i/m valószíűséggel kerül a 0 illetve az m elyelő állapotba. 25
Sztochasztikus differeciálkalkulus: Ito-itegrál, Ito-formula. Ito-itegral defiiciója: appproximáció sztochasztikus lépcsősfüggvéyekkel. a.) Igazoljuk vázlatosa- hogy egy htω (, ) adaptált sztochasztikus lépcsősfüggvéy Ito itegrálja martigál. b.) Számoljuk ki az alábbi itegrált az Ito itegrál defiícióját haszálva: WdW 0 s s W stadard Wieer folyamat. ahol { t} 0 t 2. Ito-formula a.) Végezzük el az Ito-formula -vázlatos- levezetését. Az Ito-formula felhaszálásával számoljuk ki uw ( t, t) u(0,0) folyamatot itegrál illetve differeciális alakba, ha 2 b.) uxt (, ) = x t 2 ( uxt (, ) = x mellett oldjuk meg.b) feladatot az Ito-formula segítségével is) rt c.) Mutassuk meg, hogy Zt = e St folyamat kielégíti a dzt / Zt = ( μ r) dt + σ dwt egyeletet, ha ds / S = μdt + σ dw (geometriai Brow mozgás). t t t 3. Tekitsük a geometriai Brow mozgás 2.c. feladatbeli differeciálegyeletét. Az Ito-formula felhaszálásával mutassuk meg, hogy a megoldás a következő alakú: 2 σ { μ σ t} S = S exp ( ) t+ W t 0 2 4. Az Ito-formula felhaszálásával mutassuk meg, hogy a.) t k = 2 0 k 2 EW () t k( k ) EW () s ds b.) Haszáljuk a kapott formulát a ormális eloszlás első 0 mometuma kiszámítására. 26
Sztochasztikus differeciálkalkulus: Black-Scholes egyelet és a tőzsdei derivativok. a.) Vezessük le az Ito-formulát vázlatosa egy x(t) Ito-folyamat G(x,t) idővariás függvéyére (G folytoos és midkét változójába kétszer differeciálható). b.) Az Ito-formula alkalmazásával mutassuk meg, hogy a részvéyárak logormális eloszlást követek. 2. Néháy fogalom bevezetése: short sellig, portfolio, forward-, futures-, opciós (call, put) ügylet, folyamatos kamatszámítás, kockázat-metes hozam, arbitrázs a.) Vezessük le az Black-Scholes egyeletet - vázlatosa. b.) Alkalmazzuk a Black-Scholes egyeletet forward (tőzsdé kívüli határidős) ügyletek árazására. 3. a.) A Black-Scholes egyelet alapjá vezessük be a kockázat-semleges kiértékelési módszert (risk eutral valuatio), s demostráljuk azt b.) a 2b.) feladatbeli forward ügyletek c.) európai call opciók árazása esetére. 27