GÖRBEELMÉLET ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ ÉS FELADATOK

GÖRBEELMÉLET ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ ÉS FELADATOK Ajánlo irodalom: 1. Szilasi József: Bevezeés a dierenciálgeomeriába modern szemléle, sok ismeree aralmazó ankönyv, érdekl d knek kiváló. Kurusa Árpád: Bevezeés a dierenciálgeomeriába modern szemléle, összefoglaló jelleg könyv, érdekl d knek ajánlom. Sz kefalvi-nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péer: Dierenciálgeomeria klasszikus szemléle ankönyv 4. Srohmajer János: Dierenciálgeomeriai példaár 5. V. T. Vodnyev: Dierenciálgeomeriai feladagy jemény 1. A háér A gyakorla során f kén az R valós érben dolgozunk. Analízisb l fel kell idézni egy esz leges f : R n R m függvény ado ponbeli haárérékének, folyonosságának, dierenciálhaóságának sb. fogalmá. A kövekez kben összefoglaljuk a legfonosabb jelölésbeli és szóhasználabeli különbségeke, amelyeke a félév során alkalmazni fogunk. Legyen r esz leges vekor R -ban, koordináái R ermészees bázisára vonakozóan x 1, x, x : r = x 1 e 1 + x e + x e. Amennyiben az r vekor végponja a P pon, úgy P x 1, x, x írhaó. Használni fogjuk az Einsein-féle összegzési konvenció, ahol például az r = x i e i, i = 1,, jelenése: r = x i e i. Egy R-b l R -ba képez függvény szokás vekor-függvénynek vagy vekor-skalár függvénynek is nevezni, és az r: R R, r = x i e i jelölés is használjuk. Azonnal láhaó, hogy i x i : R R i = 1,,. Egy r vekor-függvény homeomorzmus vagy opologikus leképezés, ha bijekív, folyonos és az inverze is folyonos. Egy r = r 1, r, r dierenciálhányados-függvényé ṙ jelöli: ṙ = r 1, r, r. A ṙ 0 helye szokásos még a dr jelölés is. i=1 d =0. A paramerizál görbe fogalma, érin vekor, ívhossz.1. Deníció. Legyen I R nemüres, nyíl inervallum. Egy r: I R leképezés paramerizál görbének nevezünk, ha az legalább C -oszályú. A I 1

valós számoka paraméernek nevezzük. r reguláris, ha ṙ 0 minden paraméerre. r bireguláris, ha ṙ, r lineárisan függelen minden -re. r pályasebessége a v : I R, v := ṙ leképezés. Ha v = 1 minden -re, akkor r- egységpályasebesség nek vagy ermészees paraméerezés nek vagy ívhossz-paraméerezés nek nevezzük. r gyorsulása a sebességének a deriválja, amelye r-al jelölünk. r ívhossza Sr := v = ṙ = r1 + r + r d, I I ahol r 1, r, r az r komponensfüggvényei; ívhosszfüggvénye a I σ : I [0, Sr], σ := függvény, ahol a = infi. r érin egyenese egy paraméer ponban az r + Lṙ lineáris sokaság. a v Megjegyzés: Könnyen kiszámíhaó, hogy ha r: [a, b] R ermészees paraméerezés görbe eseén minden egyes [a, b] paraméer éppen a görbe ívhossza ra-ól a görbe kezd ponjáól r-ig a -hez arozó görbeponig, innen ered az ívhossz-paraméerezés görbe elnevezés... Deníció. Az r: I R és r: I R paramerizál görbék kongruensek, ha van olyan F : R R izomeria, hogy r = F r. Az r: I R és r: Ĩ R paramerizál görbék ekvivalensek, ha léezik olyan θ : Ĩ I dieomorzmus, amelyre r = r θ. Ekkor a θ függvény paraméerranszformációnak nevezzük. Ha minden Ĩ eseén θ > 0 vagy θ < 0, akkor a paraméerranszformáció irányíásaró vagy irányíásváló. 1. A denícióból láhaó, hogy öbb paramerizál görbe ugyanaz a érbeli ponhalmaz érbeli görbé adhaja; de nyilvánvalóan egy paramerizál görbéhez

egyelenegy érbeli ponhalmaz arozha.. Paramerizál görbéke r helye r-vel, c-vel vagy γ-vel is szokás jelölni.. Az érin egyenes lehene szel k haárhelyezeekén is deniálni. Ehhez elegend végiggondolni a dierenciálhányados deníciójá. 4. Az ívhossz valójában a görbeívbe ír normális örvonalak hosszainak halmazának fels korlája. 5. Áparaméerezés során a regulariás, biregulariás invariáns, és az érin egyenes nem válozik. Irányíásaró paraméerranszformáció eseén az ívhossz is invariáns. 6. Egy reguláris paramerizál görbe akkor és csak akkor egyenes, ha gyorsulása el nik. 7. Emlékeze ül: Legyen U R n nemüres nyíl halmaz, f : U R m leképezés. Az f C 1 -oszályú U-n, ha f minden koordináafüggvényének összes parciális deriválja léezik, és folyonosak U fölö. Az f C k -oszályú, ha minden koordináafüggvényének összes parciális deriválja C k 1 -oszályú... Állíás. Minden paramerizál görbe ekvivalens egy ermészees paraméerezés görbével. Bizonyíás. Tegyük fel, hogy r: I R paramerizál görbe és I = [a, b]. Az r görbe σ : [a, b] σ = a v [0, Sr] ívhosszfüggvényé ekinve az inegrandus folyonos, így σ dierenciálhaó: σ = v. Az ṙ injekív, v = ṙ poziív I fölö, ezér σ szigorúan monoon növekv, és kövekezik, hogy léezik az inverze: σ 1 : [0, Sr] [a, b]. Legyen r := r σ 1 az r görbével ekvivalens paramerizál görbe. Könnyen láhaó, hogy r ermészees paraméerezés : r = 1 ṙσ 1 σ σ 1 = ṙσ 1 = vσ 1 1 vσ 1 = 1, 1 σ σ 1 = felhasználva, hogy f 1 = 1 f f 1. Megjegyzés: Bár az állíás bizosíja, hogy egy görbe ívhossza paraméerül szolgálha, nem bizos, hogy ez meg is udjuk adni. Ennek oka az, hogy az ívhossz képleében szerepl inegrál nem mindig udjuk kiszámíani. Feladaok a. fejezehez: 1. Ado a 5 = x +y egyenle kör. Adjuk meg a kör egy paraméerezésé! Raja van-e az 4, koordináájú pon a görbén? Haározzuk meg az érin egyenes egyenleé egy esz leges körponban! Megoldás: r = 5 cos, 5 sin. Írjuk föl az r görbe r 0 -beli érin egyenesének egyenlerendszeré, ha a r = e cos, e sin, e, 0 = 0 Megoldás: x 1 = y = z 1

b r =, ln, + 1, 0 = 1 Megoldás: x ln = y ln = 5z 5 ln c r = cos 4, sin 4,, 0 = π 8 Megoldás: x 4 = z π 8, y = 1. Számísuk ki az r: I R n görbe ívhosszá, ha a I = [0, ], r =, Megoldás: Sr = 810 10 1 7 b I = [1, ], r = cos, sin, Megoldás: Sr = 1 c I = [1, ], r =,, Megoldás: Sr = 41 + 5 ln 6+ 41, felhasználva, hogy 4 5 x + a dx = 1 x x + a + a lnx + x + a + c 4. Vezessünk be ermészees paraméerezés az r = e cos, e sin, e görbénél! Az ívhossz-függvény olyan inervallumon adjuk meg, amelynek 0 a baloldali végponja. Megoldás: r = + 1 cos ln + 1, + 1 sin ln + 1, + 1 5. Adjuk meg álalánosan egy hengeres csavarvonal paraméerezésé, és érin jé esz leges ponban! Vezessük be az ívhossz paraméernek! Megoldás: ha α > 0 a henger alapkörének sugara, β R pedig a csavarvonal emelkedése, akkor r = α cos, α sin, β, a ermészees paraméerezés ekvivalens görbe: r = α cos α, α sin +β α, β +β α +β. A kísér háromél.1. Deníció. Tekinsünk egy r: I R bireguláris, paramerizál görbé. ṙ 1. A ovábbiakban az ṙ egységnyi hosszúságú vekor -vel jelöljük, esz leges paraméerre.. Bármely I eseén az r + Lṙ, r lineáris sokaságo az r görbe r-beli simulósíkjának nevezzük.. Az r simulósíkjára mer leges, egységnyi hosszúságú vekor az r görbe r-beli binormális vekorának hívjuk, és b-vel jelöljük. 1. A simulósík szemléleesen a kövekez képpen is el állíhaó: Legyen ado a denícióbeli görbén egy P 0 = r 0 pon, valamin ezen kívül ké különböz P 1 és P pon. Ez a három különböz pon egyérelm en meghaároz egy síko a érben. Ha P 1, P P 0, azaz a ké esz leges görbepon ar az r 0 ponhoz, min vekorok aranak egy vekorhoz ld. analízis akkor haárhelyzeben a három pon álal felfeszíe sík éppen az ado ponhoz arozó simulósík. A simulósík ehá az a sík, amely a görbe ívé az ado ponban! a lehe legjobban közelíi, azaz simul a görbéhez. 4

. A binormális vekor deníciójából azonnal adódik, hogy bármely I paraméerre b = ṙ r ṙ r eljesül.. Egy paramerizál görbe biregulariása szemléleesen az jeleni, hogy a simulósík deníciójában szerepl alér kédimenziós, így a sík nem fajul el... Lemma. Megarva az el z deníció jelölései, az r görbe r-beli simulósíkjának egyenlee: r r r r x r 1 + r r 1 r 1 r x r + r 1 r r r 1 x r = 0 Bizonyíás. Egyszer számolással adódik az egyenle: ṙ r vekoriális szorza a sík normálvekora, r egy ado ponja... Deníció. Legyen egy r: I R bireguláris, paramerizál görbe. Tesz leges paraméer görbepono véve, az f := b egységnyi hosszúságú vekor az r görbe r-beli f normális vekornak nevezzük. Az f és b álal felfeszíe síko az r görbe r ponjához arozó normálsíkjának, az és b álal felfeszíe síko az r görbe r ponjához arozó rekikáló síkjának hívjuk. A, f, b vekorhármas az r görbe r-beli kísér hároméljének vagy Frene-féle hároméljének mondjuk. A eljes r görbére vonakozóan a, f, b:, f, b leképezés-hármas Frene-féle háromélmez nek is nevezzük. 1. Egy paraméer ponhoz arozó Frene-féle háromél poziív oronormál bázisa R -nak, ezér = f b, f = b, b = f. 5

. Az f f normális kifejezhe a érin -egységvekorral: f = ṫ ṫ.. Mivel egy paramerizál egyenes gyorsulása el nik ld..1 uáni megjegyzés 6. ponjá, ezér az nem bireguláris, és így a Frene-féle háromélmez je is elfajul. 4. Paraméerranszformációval szemben a f normális vekor invariáns, a Freneféle háromél másik ké agja invariáns, illeve el jele vál aszerin, amin a paraméerranszformáció irányíásaró, illeve irányíásváló. 4. Görbüle és orzió 4.1. Deníció. Legyen r: I R paramerizál görbe. r görbülefüggvénye ṫ κ: I R, κ :=. v Speciálisan, ha r ermészees paraméerezés, akkor κ = r. 1. A görbüle szemléleesen: Tudjuk, hogy a paramerizál egyenes ponbeli érin vekorai egymással párhuzamosak, hosszuk megegyezik. Egy esz leges görbé véve, az érin irányválozása az egyenes l való elérés, az irányválozás sebessége =érin vekor hossza pedig az elérés méréké jelzi. Láhaó, hogy a görbüle éppen ez a válozás muaja.. Síkgörbék eseén bevezehe az ún. el jeles görbülefüggvény, amely megmuaja, hogy a görbe egy ado ponjának egy környezeében a görbe a normális felé hajlik ekkor az el jeles görbülefüggvény poziív, vagy elhajlik a normális vekoról ebben az eseben az el jeles görbülefüggvény negaív. Részleesen lásd az ajánlo irodalmak közül például: Rapcsák-Tamássy 9.Ÿ/5. vagy Szilasi I/6.9c.. A görbüle paraméerranszformációval szemben invariáns. 4. A f normális vekor el áll f = vκṫ 1 alakban is. 4.. Állíás. Egy r: I R paramerizál görbe eseén Bizonyíás. Mivel = κ = ṙ ṙ = ṙ v ṙ r ṙ. r = v + vṫ. A ṙ r vekoriális szorzao ovábbírva, ezér ṙ = v. Ez deriválva: ṙ r = v v + vṫ = = v v + v vṫ = 0 + v ṫ E vekor normájának négyzeé véve: ṙ r = v 4 ṫ, ṫ = v 4 ṫ = = ṙ r = v 4 κv = v 6 κ = = κ = ṙ r v = κ = ṙ r ṙ 6

A -gal jelöl lépésben a Lagrange-ideniás használuk fel, a -ban pedig az, hogy konsans normájú vekor-függvény eseén a képvekor és annak deriválja egymásra mer leges, így skaláris szorzauk nulla. 1. Egy paramerizál görbe ponosan akkor bireguláris, ha görbülefüggvénye seholsem nulla.. Egy r gyorsulása el áll r = v + v κf alakban is. 4.. Deníció. Tekinsünk egy r: I R bireguláris paramerizál görbé, valamin ennek egy r ponjá. Az a kör, amely benne van a r-hez arozó simulósíkban, középponja r + 1 1 κ f, sugara κ, az ado görbe ille ponbeli simulókörének nevezzük. 1. A simulókör el állíása szemléleesen: Tekinsünk egy görbén különböz pono. Ezek egyérelm en meghaároznak egy kör. Mos ké ponal arsunk a harmadik ponhoz, és haárhelyzeben a simulókörhöz juunk. v.ö.: simulósík szemlélees el állíása. A simulókör deníciójából azonnal leolvashaó, hogy egy görbeponhoz arozó simulókör görbülee és a görbe ado ponbeli görbülee megegyezik.. A görbe összes ponjához arozó simulókörök középponjainak összessége szinén paramerizál görbe, amelye a görbe evoluájának hívunk. 4.4. Deníció. Tekinve egy r bireguláris paramerizál görbé, a görbe orziófüggvénye az a τ : I R függvény, amelye a képle jellemez. ḃ = vτf 1. A orzió szemléleesen: Egy síkgörbe binormálisai egymással párhuzamos vekorok hiszen egy síkgörbe minden ponjának összes simulósíkja egybeesik. A binormálisok irányválozása a síkgörbé l való elérés, az irányválozás sebessége pedig az elérés méréké jeleni. A orzió ez a válozás muaja.. A orziófüggvény irányíásaró izomeriával és esz leges paraméerranszformációval szemben invariáns, irányíásváló izomeria eseén el jele vál. 4.5. Állíás. Legyen r bireguláris, paramerizál görbe. Ekkor r 1. paramerizál egyenes κ = 0.. paramerizál síkgörbe τ = 0.. körvonal κ > 0 konsans függvény és τ = 0. 4. csavarvonal κ poziív, τ nemzérus konsans függvény. Megjegyzés: Tesz leges R sugarú kör görbülee minden ponjában 1 R. Szemléleesen: minél nagyobb a kör sugara, annál kevésbé hajlik el az egyenes l a kör min görbe. 7

5. Frene-egyenleek. A görbeelméle alapéele 5.1. Téel Frene-egyenleek. Tekinsünk egy r: I R bireguláris paramerizál görbé. Ekkor ṫ = vκf ḟ = vκ + vτb ḃ = vτf Speciálisan ermészees paraméerezés eseén: ṫ = κf ḟ = κ + τb ḃ = τf 5.. Állíás. Ha r bireguláris paramerizál görbe, akkor τ orziójára eljesül:... ṙ ṙ r, r τ = ṙ r = 1 ṙ r de r.... r Természees paraméerezés eseén τ = ṙ r,... r r = 1 κ de 5.. Téel A görbeelméle alapéele. ṙ r... r. 1. Uniciás-éel. Tegyük föl, hogy r: I R és r: I R bireguláris paramerizál görbe, amelyeknek görbüle- és orziófüggvénye megegyezik. Ekkor léezik olyan irányíásaró izomeria, amely a görbék egyiké a másikba viszi á, kövekezésképpen a görbüle- és a orziófüggvény irányíásaró izomeriáól elekinve egyérelm en meghaározza az R -beli paramerizál görbéke.. Egziszencia-éel. Tesz legesen ado κ: I R poziív érék, differenciálhaó és τ : I R dierenciálhaó függvényhez léezik olyan r: I R ermészees paraméerezés szükségképpen bireguláris paramerizál görbe, amelynek görbüle- és orziófüggvénye a megado κ, illeve τ függvény. A feni éelek és állíások bizonyíásai lásd irodalomjegyzék- Megjegyzés: beli könyvek. Feladaok a., 4. és 5. fejezeekhez: 1. Haározzuk meg a r 0 -beli Frene-féle háromél élegyeneseinek egyenlerendszeré és síkjainak egyenleé, ha 8

a r := 1, + 1, 1 4, 0 := 1 Megoldás: érin egyenes: x 1 = y+16 = z+1, normálsík: 6x 48y 1z = 65, 4 4 binormális egyenes: x 1 = y + 16, z = 1, simulósík: 4x + y = 4, 16 x 1 f normális egyenes: = y+16 = z+1, rekikáló sík: 1x 96y + 4 48 10 90z = b r :=,,, 0 := 0 Megoldás: érin egyenes: x = esz., y = z = 0, normálsík: x = 0, binormális egyenes: z = esz., x = y = 0, simulósík: z = 0, f normális egyenes: y = esz., x = z = 0, rekikáló sík: y = 0 c r := e, e, + e, 0 := 0 Megoldás: érin egyenes: x = 1, y 1 = z +, normálsík: y + z = 1, binormális egyenes: x 1 = 1 y = z+, simulósík: 6x y + z = 1, 6 f normális egyenes: x 1 = y 1 = z+, rekikáló sík: 5x + 6y 1z = 47 5 6 1. Igazoljuk, hogy esz leges paramerizál egyenes görbülee valóban el - nik!. Muassuk meg, hogy egy R sugarú kör görbülee a konsans 1 R függvény! 4. Lássuk be, hogy egy hengeres csavarvonal konsans görbüle és konsans orziójú! Megoldás: κ = α, τ = β α +β α +β 5. Számísuk ki az alábbi görbék ado ponbeli görbüleé, ha a r =,, 1, p = 8, 8, 1 Megoldás: κ = 6 69 1715 5 b r =, +,, p =, 1, Megoldás: κ 1 = 6 11 c r =, +, 5, 0 = 1 Megoldás: κ1 = 4 98 d r = 1 cos, sin,, 0 = π sin Megoldás: κ π = π4 +π +18 π +4 π +4 6. Bizonyísuk be, hogy az alábbi görbék síkgörbék: a r = cos, sin, cos b r = + 1, +, + 4 c r = e cos, e sin, e cos + sin 7. Legyen r bireguláris paramerizál görbe, melynek orziója seholsem nik el. Haározzuk meg álalánosan a ṫ és ḃ szögé! Megoldás: Frene-egyenleek segíségével: α = 0, ha τ < 0, és α = π, ha τ > 0 8. Haározzuk meg a ṫ 0, ḟ 0 és ḃ 0 vekoroka, ha a r := sin, cos, 4 sin, 0 := π 4 Megoldás: ṫ π 4 = 1, 0,, ḟ π 4 5, 0, 5 6 9 18 = 6, 4 6, 9 6 9, ḃ π 4 = 9

b r :=,, 4 4 Megoldás: ṫ1 =, 0,, 0 := 1 6, 0, 6 6 6, ḟ1 = c r :=,, 1, 0 := 0 6 Megoldás: ṫ0 = 5, 0, 1 5, ḟ0 = 5 5 1, 0,,,, ḃ1 = 6 6 1 5, 5, 6 5, ḃ0 = 5 5 9. Adja meg az alábbi görbék ado ponjaiban a simulókör középponjá és sugará! a r = + 1, 4 + +, 4, 0 = 0 Megoldás: középpon: 1, 7, 6 5 5, sugár: 9 5 10 b r = 1,, + 0 = 1 Megoldás: középpon: 4, 7 4, 15 4, sugár: 9 4 6. Kiegészíés: Alapve ismereek a görbékhez A görbe megadási módjai: Példaképpen vegyük a síkon az origó középponú, egységsugarú kör. Implici alak: gx, y = 0 ; a kör eseén: x + y = 0. Paraméeres alak: r = a, b ; a kör eseén: r = cos, sin vagy { x = cos y = sin. Explici alak: y = fx ; a kör eseén: y = ± 1 x. Ájárhaóság a különböz ípusú egyenleek közö: Implici alakból paraméeres alak: Amennyiben egy gx, y = 0 egyenleb l szerenénk paraméeres egyenlerendszer el állíani, úgy célszer az implici egyenleb l explici egyenlee lérehozni, és el áll egy r =, f alakú paraméeres alak. Példa: A kör explici egyenlee y = ± 1 x, innen az implici alakból el álló paraméeres megadás: r =, ± 1. Paraméeres alakból implici alak: Ha ado egy r = a, b görbe paraméeres alakban, akkor legyen x := a, és így = a 1 x. A második koordináába ez a - behelyeesíve b = b a 1 x -e kapunk, ebb l pedig: y = b a 1 x. Példa: Kiindulva a kör r = cos, sin megadásából, x = a = cos, a 1 x = arccos x. Ennek segíségével: y = sin arccos x. Azonnal láhaó, hogy ez valóban az álalunk ismer kanonikus egyenlee a körnek, ugyanis: y = sin arccos x = 1 cos arccos x = 1 x x + y = 1. 10

Hogyan írhaunk fel egy esz leges érgörbé, és hogyan állapíhajuk meg, hogy egy pon raja van-e a görbén? Egy paramerizál görbének legalább háromszor folyonosan dierenciálhaónak kell lennie egy ado I inervallumon. Ezér ha komponensfüggvényeknek is ilyen ulajdonságú függvényeke válaszunk, akkor paramerizál görbé adunk meg. Például: r =, cos, e bireguláris paramerizál görbé ad egy megfelel en válaszo inervallumon, de az r = cos π, 5[ + ], e ahol [ ] az egészrész-függvény nem paramerizál görbe. Egy P = p 1, p, p pon raja van az r = a, b, c görbén, ha az p 1 = a, p = b, p = c egyenleekb l álló egyenlerendszernek ponosan egy megoldása van a kapo az ado P ponhoz arozó paraméer. Az el bbi görbe eseén a P 0, 1, 1 pon görbepon, mivel a 0 =, 1 = cos és 1 = e egyenlerendszernek egyelen közös megoldása a = 0. 11