A közoktatás függvénytani ismereteinek összefoglalása

A közoktatás függvéntani ismereteinek összefoglalása Vigné Dr. Lencsés Ágnes 005.

Lektorálta: Dr. Klincsik Mihál a matematika tudománok kandidátusa Szerkesztette: Pilgermajer Ákos Az ábrákat készítette: Pálfi Róbert

Tartalomjegzék Bevezetés I. A függvén fogalma 3 II. Fontosabb függvéntípusok 7. Racionális függvének........................ 9 A. Hatvánfüggvének...................... 9 B. Racionális egész függvének................. C. Racionális tört függvének.................. 5. Irracionális függvének........................ 7 3. Trigonometrikus függvének és inverzeik.............. 0 A. Trigonometrikus függvének................. 0 B. Arcus függvének....................... 9 4. Eponenciális és logaritmus függvének.............. 33 A. Eponenciális függvének.................. 33 B. Logaritmus függvének.................... 36 5. Hiperbolikus és area függvének................... 39 6. Néhán, az előző típusokba nem tartozó függvén......... 49 III.Valós függvének tulajdonságai 53. Zérushel............................... 53. Paritás................................. 55 3. Periodicitás.............................. 57 4. Monotonitás.............................. 60 5. Szélsőérték.............................. 63 6. Korlátosság.............................. 67 i

IV.Műveletek függvénekkel 69. Leszűkítés, kiterjesztés........................ 69. Összeg, szorzat, hánados...................... 7 3. Összetett függvén.......................... 74 4. Inverz függvén............................ 78 5. Elemi alapfüggvének és a függvén műveletek.......... 8 V. Függvéntranszformációk 83 Irodalomjegzék 89

Bevezetés A függvén fogalma a matematika, ezen belül főként a matematikai analízis alapvető fogalma. Alaposabb vizsgálatuk nem csak a matematika, hanem a természettudománok (fizika, kémia,műszakiés közgazdaságitudománok)számos területének művelése szempontjából alapvető fontosságú. A közoktatás minden szintjén, egre bővülő ismeretekkel a tanulók eljutnak a függvén precíz matematikai fogalmához, megismerkednek a függvének sokféleségével. Középiskolában figelmüket a függvéneken belül a kiemelt fontosságú egváltozós valós függvének felé fordítják, a vizsgálat tárgát a függvéntípusok és ezek tulajdonságai képezik. Megismerkednek a függvénképzési módok kal (műveletek), a függvén-transzformációval. Mindezek ismeretében az elemi alapfüggvének kiemelésével a függvénműveletek segítségével az egváltozós valós függvének halmazán eg új tájékozódási bázist alakítanak ki, melre a későbbi tanulmánok során az analízis épül. A matematikai analízis ismeretanagának elsajátításához tehát szükséges a közoktatásban tanult függvéntan precíz, alkalmazni képes tudása. Ebben a fejezetben ezért röviden összefoglaljuk a korábban tanult, feltétlenül szükséges függvéntani ismereteket. Eg másfajta felépítésben tesszük ezt, mint amilen sorrendben a közoktatásban tanulták, és néhán helen kiegészítjük azt új ismeretekkel is. A fejezet tagolása a következő: Először a függvén fogalmát definiáljuk, majd szűkítjük a tárgalást az egváltozós valós függvénekre; ezen belül először a középiskolában tanult függvéntípusokat vizsgáljuk és egészítjük ki; majd megfogalmazzuk a középiskolában megismert függvéntulajdonságok definícióit; összefoglaljuk a függvénekkel végzett műveletek (függvénképzési módok) pontos fogalmát; az egváltozós valós függvének eg részhalmazának szemléltetésére, a grafikon megrajzolására alkalmazzuk a lineáris transzformációval való ábrázolást; végül fejezetünket az elemi alapfüggvének kimelésével zárjuk.

I. fejezet A függvén fogalma Középiskolában a függvén fogalmát a következőképpen határozták meg. Legen adott A és B két nem üres, különben tetszőleges halmaz! Ha az A halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a B halmaz ponosan eg (eg és csak eg) elemét, akkor az A halmazon függvént adtunk meg, melnek értékei a B halmazhoz tartoznak (röviden: az egértelmű hozzárendelés függvént ad meg). Jelölés: f : A B. AzA halmazt a függvén értelmezési tartománának nevezzük, melet D f -fel (dominium) jelölünk. A B halmaz azon részhalmaza, ameleket a A-beli elemekhez rendeltünk, a függvén értékkészlete, melnek jelölése R f (range). Szemléltetve: A a a a 3 f b B b 5 b b 3 b4 Injektív hozzárendelés (eg-egértelmű hozzárendelés) D f R f

4 I. FEJEZET. A FÜGGVÉNY FOGALMA A B a a a a 3 a 4 a 5 f b b b b 3 b 4 Több-egértelmű hozzárendelés (van olan hozzárendelt elem, aminek több eredetije van), a hozzárendelés a C( B) halmazra szürjektív. b 5 D f A B R f a a a a 3 f b b b b 3 Eg-egértelmű hozzárendelés (kölcsönösen egértelmű: minden hozzárendelt elemnek eg eredetije van) (bijektív megfeleltetés) egszerre szürjektív és injektív. D f Felhívjuk a figelmet arra, hog az olvasó találkozhatott olan megfogalmazással is, hog f az A halmazt a B halmazba(-ra) képezi le, azaz a függvén egértelmű leképezés. Problémaként merül fel az előző megfogalmazások kapcsán, hog a hozzárendelést, leképezést korábban nem definiálták, hallgatólagosan alapfogalomnak tekintik, ezért a későbbiekben a függvén fogalomra eg precízebb definíciót adunk. Mielőtt ezt megtennénk, nézzünk néhán példát az eddigi tanulmánokból!. A = B = {a sík vektorai}, v A, f : A A, f : v v (vektor-vektor függvén). S síkon legen adott a t egenes! A t minden pontjához rendeljük önmagát! A t-re nem illeszkedő bármel P ponthoz rendeljük azt a P pontot, amelre a PP szakasz felezőmerőlegese t! (pont-pont függvén; tengeles tükrözés) 3. Legen t R, B = { i,j sík egségvektorai }, f :R V, f :t (cos t)i+ +(sint)j = h(t) (skalár-vektor függvén) R f

5 4. Legen n N +! f : N + R f : n 3n+ n+ (valós számsorozat) 5. Legen R! f :R R f : cos ( + π 3 ) (egváltozós valós függvén) Függvént akkor tekintünk adott nak, ha adott az értelmezési tartomána és a hozzárendelési szabála. E kettő már tulajdonképpen meghatározza az értékkészletet is. Két függvént egenlőnek nevezünk, ha értelmezési tartománuk és értékkészletük megegezik, valamint, ha az értelmezési tartománuk uganazon elemeihez hozzárendelt értékek elemről elemre megegeznek. A precízebb függvén-fogalomhoz ismerkedjünk meg előbb a rendezett pár és a halmazok Descartes (direkt)-szorzatának fogalmával! Két tetszőleges elemből rendezett elempár t úg alkothatunk, hog a két elemet meghatározott sorrendben tekintjük. Például (p, q) rendezett elempár első komponense p, második komponense q. (A(q, p) eg másik, az előzőktől különböző rendezett pár.) Fontos különbség a rendezett elempárok és a kételemű halmazok között, hog az utóbbiban az elemek sorrendje tetszőleges. Definíció. Az A és B halmaz Descartes (direkt)- szorzatán az összes olan rendezett elempár halmazát értjük, amel párok első komponense A-beli, második komponense B-beli elem. Jelölés: A B = {(, ): A, B} A rendezett elempárok, illetve a direkt szorzat definíciójának segítségével most már megadhatjuk a függvén precízebb definícióját, amel teljesen összhangban van a középiskolában tanult definícióval. Definíció. Legen A és B két nem üres halmaz! Az f A B ( olvasd: az A Bf részhalmazát) függvénnek nevezzük, ha (a, b) f és (a, b ) f,akkor b = b. Jelölés: f : A B. (Tehát különböző első komponensű rendezett elempárok halmaza a függvén. Vesse össze a definíciót a halmazos ábrával!) Tehát az f : A B szimbólum jelentése :. A és B két nem üres halmaz; a A, b B. f A B és (a, b) f,(a, b ) f esetén b = b 3. f értelmezési tartomána A, vag A részhalmaza.

6 I. FEJEZET. A FÜGGVÉNY FOGALMA Az a A elemhez hozzárendelt b B elemet az f függvén a helen felvett (helettesítési) értékének nevezzük és f(a)-val jelöljük. Ha f : A B,akkorD f A, R f B és f(d f )=R f. Ha a függvének tulajdonságait akarjuk vizsgálni, ezt egszerre nem tudjuk megtenni, mert igen sokfélék. A függvénfogalomból is láthatjuk, hog az abban szereplő A és B halmazokra semmiféle feltételt nem szabtunk (azon kívül, hog nem üresek), elemeik bármik lehetnek. Nilván a függvén tulajdonságai és vizsgálati módjai attól függnek, hog mik az A illetve B halmaz elemei. Ezért a továbbiakban szűkítjük a tárgalást, a függvének közül igen kis szeletet vizsgálunk, azokat, amelekkel eddigi tanulmánaik során részletesen foglalkoztak, nevezetesen: amelek értelmezési tartomána és értékkészlete is a valós számok halmaza, vag annak részhalmaza. Ezek az egváltozós valós függvének. Az egváltozós valós függvének esetén a hozzárendelés módjának megadására legtöbbször képlet et használunk. Például: f : R R, cos ( + π 3 ) = f() Megállapodunk abban, hog akkor is adottnak tekintjük az egváltozós valós függvént, ha csak a hozzárendelés módja adott, az értelmezési tartomána nem. Ekkor a függvén értelmezési tartománán a valós számok azon legbővebb részhalmazát értjük, amel elemekre a hozzárendelési szabál értelmes, értéke kiszámítható. A középiskolában a függvének leírására, szemléltetésére (de általában nem megadására!!!) használják még a níldiagrammot (lásd halmazos ábra),melnek előne,hog jól szemlélteti a függvén fogalmát, a hozzárendelés iránát; értéktáblázat ot, melnek előne, hog világosan látszanak a függvént alkotó rendezett elempárok; grafikont, síkbeli Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben. Az f : H R (H R) függvén grafikonján a G = { (, ) R : H, = f() } R R = R síkbeli ponthalmazt értjük. A grafikon előne, hog annak geometriai tulajdonságai jól tükrözik a függvén tulajdonságait. Vigázat! A függvént ne azonosítsuk a grafikonjával! Az = f() nem a függvén, hanem a függvént szemléltető görbe,geometriaialakzat egenlete. A grafikon csak eszköz a függvén megismeréséhez.

II. fejezet Fontosabb függvéntípusok (egváltozós valós) Ebben a részben összefoglaljuk a középiskolában megismert egváltozós valós függvének típusait, azok tulajdonságait. Definíció. Egváltozós valós elemi függvénnek nevezzük a konstans, hatván-, gök-, trigonometrikus-, eponenciális- és logaritmus függvéneket, illetve az ezen függvénekből véges számú függvén képzési móddal (összeadással, kivonással, szorzással, osztással, összetett és inverz képzéssel, értelmezési tartomán leszűkítésével) előállított függvéneket. Ezeket tovább szokás két nag csoportra bontani: algebrai illetve transzcendens függvénekre. Az algebrai függvének racionálisak vag irracionálisak, a racionálisak egészek vag törtek. Ezt a felosztást szemléltetjük, példával illusztráljuk, melnek segítségével pontosan megfogalmazható az elnevezés miértje.

8 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK Elemi függvének 3 Algebrai függvének Transzcendens függvének 3 Racionális Irracionális Egész Tört 3 +3 3 + 3 ++ 0 + + sin + log 3 A jobb tájékozódás érdekében nézzük a fejezet további tagolását, melben megjelöljük azokat az új ismereteket is, amelek kiegészítik a középiskolában megismert függvénekkel kapcsolatos ismereteket.. Racionális függvének (a) Hatvánfüggvének (emlékeztetőül:, 3, ) (b) Racionális egész függvének (például: + ) (c) Racionális tört függvének (például: +, ). Irracionális függvének (mint a hatvánfüggvének inverzei) például:, 3, 5 3 3. Trigonometrikus függvének és azok inverzei (a) A sin, cos, tg, ctg függvének (b) Arcus függvének új ismeret : a trigonometrikus függvének leszűkítettjeinek inverzei 4. Eponenciális és logaritmus függvének 5. Hiperbolikus és area függvének új ismeret 6. Néhán, az előző típusokba nem sorolható függvén Előjel-, abszolútérték-, egészrész, törtrész függvén

. RACIONÁLIS FÜGGVÉNYEK 9 Felhívjuk figelmét, hog a függvének jellemzésében használt fogalmak értelmezését amenniben nem emlékezne rá eddigi tanulmánaiból az III. fejezetben találja meg. A származtatás esetén találkozik különböző függvén képzési módokkal is, ezek definíciói az IV. fejezetben találhatók.. Racionális függvének A. Hatvánfüggvének A racionális függvének magját a hatvánfüggvének képezik. Definíció. Az f : R R, n = f() (n N + adott) hozzárendeléssel megadott függvéneket hatvánfüggvének nek nevezzük. Az alábbi ábra az n =,,3,4 esetet szemlélteti. Feltételezzük, hog ismeri a pozitív egész kitevőjű hatván fogalmát és az erre vonatkozó azonosságokat, de álljon itt emlékeztetőül! Definíció. a R, n N +.Ekkora n = a a z a }. ndb Azonosságok: a n a m = a n+m (II.) a n a m = an m (n>m, a 0) (II.) a n b n = (a b) n (II.3) a n a n b n = (b 0) (II.4) b (a n ) m = a n m (II.5) Nevezetes azonosságok: (a+b) = a +ab+b (II.6) (a+b) 3 = a 3 +3a b+3ab +b 3 (II.7) a b = (a b)(a+b) (II.8) a 3 b 3 = (a b) a +ab+b (II.9) a 3 +b 3 = (a+b) a ab+b (II.0) a n b n = (a b) a n +a n b+ +ab n +b n (II.) Hatvánfüggvének grafikonja és jellemzése (n =,,3,4 esetén az ábra)

0 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK 8 4 3 8 Jellemzésük értelmezési tartomán: R paritás: ha n páratlan: f páratlan ha n páros: f páros zérushel: =0 monotonitás: ha n páratlan: szigorúan monoton nő ha n páros: nem monoton ekkor <0-ra szigorúan monoton csökken >0-ra szigorúan monoton nő szélsőértékek: ha n páratlan: nincs ha n páros: =0helen heli minimum, f(0) = 0 értékkészlet: ha n páratlan: n R ha n páros: n 0

. RACIONÁLIS FÜGGVÉNYEK Felhívjuk a figelmét a következőkre: az n (n N + ) hatvánfüggvéneket két csoportba oszthatjuk aszerint, hog n páratlan vag páros. Ha n =k + alakú, azaz páratlan, akkor a hatvánfüggvének értelmezési tartomána és értékkészlete is a valós számok halmaza, szigorúan monoton növekvőek, azaz minden értéküket csak eg helen veszik fel, tehát az értelmezési tartomán és az értékkészlet elemei között kölcsönösen egértelmű a megfeleltetés. Ha n =k alakú, azaz páros, akkor az n = f() függvének értelmezési tartomána a valós számok halmaza, értékkészlete viszont a nem negatív valós számok halmaza.a nulla értéketcsak eg helen, az =0-ban veszik fel, bármel más pozitív értéket pedig két helen. Ezek az értelmezési tartománban egmás ellentett elemei. Tehát az értelmezési tartomán és az értékkészlet elemei között nem kölcsönösen egértelmű a megfeleltetés. A hatvánfüggvének esetén, ha n =k +, a hozzárendelés iránát elemről elemre ellenkezőre váltva is függvént kapunk, azaz ezek invertálhatók, de n =k esetén ezen függvéneknek nincs inverzük. Utóbbiak értelmezési tartománát 0-ra leszűkítve, a hozzárendelés már kölcsönösen egértelmű, tehát már invertálhatók. Íg juthatunk az irracionális függvénekhez, ameleket a. szakaszban tárgalunk. A hatvánfüggvének tulajdonságait felsoroltuk, de nem bizonítottuk. Példaként lássuk be, hog 0 esetén az f()= szigorúan monoton növekvő! Legen 0 < tetszőleges! Vizsgáljuk meg az és heleken felvett függvénértékek különbségét! f( ) f( )= =( )( + )>0 az, -re szabott feltétel miatt (mindkét ténező pozitív). Az egenlőtlenséget rendezve kapjuk, hog 0 < esetén f( )<f( ), ami éppen a függvén szigorú monoton növekedésének definíciója. Tehát az f() =, 0 esetén szigorúan monoton növekvő. Tegünk néhán észrevételt a hatvánfüggvénekkel kapcsolatban! Mindegik hatvánfüggvénre igaz, hog értelmezési tartománukon foltonosak. Az változó növekedésével a függvénértékek tetszőlegesen nagok, ezt a tulajdonságot a későbbiekben úg fogalmazzuk, hog -ben a határértékük. Haaz változó tetszőlegesen kicsi, akkor a függvénértékek páros n esetén tetszőlegesen nagok, páratlan n esetén tetszőlegesen kicsik,amit úg mondunk, hog -ben a határértékük (páros n-re) illetve (páratlan n-re). Ezeket a

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK fogalmakat ebben a fejezetben még nem definiáljuk, ezek precíz definícióit az analízisben fogjuk megismerni. Megjegzések Figeljünk az aritmetika és a függvéntan kapcsolatára! a (II.3) hatvánazonosság az n függvén eg tulajdonságát fejezi ki: adott pozitív egész kitevőjű hatvánfüggvén szorzat (a b) helen felvett értéke a ténezők (a és b) heleken felvett értékeinek szorzatával egenlő. Hasonlóan átfogalmazható a (II.4)-es azonosság is. Ezeket a tulajdonságokat általánosan íg is fogalmazhatjuk: f(a b)=f(a) f(b) illetve f a f(a) b = f(b), b 0, f(b) 0. Az (II.5) azonosság összekapcsolja az (II.),(II.) és a (II.3),(II.4) azonosságok két csoportját. Az (II.5) azonoság jelentése az összetett függvén képzésénél derül ki számunkra. Nézzük meg eg példán! 5 ) =u u u 5 = 0 Úg is fogalmazhatunk, hog az összetett függvén képzése a pozitív egész kitevőjű hatvánfüggvének köréből nem vezet ki. B. Racionális egész függvének (polinomok) A hatvánfüggvének konstansszorosainak összegeként (véges sok) jutunk el a polinomokhoz illetve a racionális egész függvénekhez. (A polinom szó több tag -ot jelent.) Eddigi tanulmánai során ezek közül az első- és másodfokúakkal találkozott. A racionális egész függvén definíciójának megadása előtt az ezekkel kapcsolatos tudnivalókat ismételjük át. Definíció. Az f : R R,f()=a+b (a 0,a,b Radott) függvéneket elsőfokú függvéneknek nevezzük. Néhán elemét szemlélteti a következő ábra. 4 5 + 3 +3 3 + 5

. RACIONÁLIS FÜGGVÉNYEK 3 értelmezési tartomán: monotonitás: változásuk mértéke: zérushel: tengelmetszet: értékkészlet: Jellemzésük R ha a>0, szigorúan monoton növekvők ha a<0, szigorúan monoton csökkenők állandó: a = b a f(0) = b f() R Definíció. Az f : R R, f() =a + b + c függvéneket másodfokú függvéneknek nevezzük. (a 0, a,b,c R adott) 9 6+9=( 3) 3 = ( ) 3 3 4 4= (+) 4+= (+) +3 Jellemzésükhöz alakítsuk át a képletet!(teljes négzetté egészítünk ki.) a +b+c = a ( + ba ) [ ( +c = a + b a ( = a + b a ) ] b 4a +c = ) b 4a +c = a ( u) +v = f() a b b a =u és 4a +c=v jelölést bevezetve. Az a előjelétől függően két csoportra bonthatók.

4 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK v v u a>0 u a<0 értelmezési tartomán: zérushel: ha D = b 4ac > 0, ha D = b 4ac =0, ha D = b 4ac < 0, szélsőérték: hele = u: minősége: monotonitás: értékkészlet: ha a>0 ha a<0 Jellemzésük R a +b+c =0egenlet valós megoldásai két különböző eg(illetve két egbeeső) nincs valós zérushel értéke: f(u)=v ha a>0, minimum ha a<0, maimum nem monoton függvének, <u-ra szigorúan monoton csökkenők, >u-ra szigorúan monoton növekvők, <u-ra szigorúan monoton növekvők, >u-ra szigorúan monoton csökkenők a>0 esetén f() v, alulról korlátos a<0 esetén f() v, felülrőlkorlátos A másodfokú függvének képletét ha két zérushel van gakran úgnevezett gökténezős alakban is használjuk. Mint például az ábrán látható f()= 3 = ( ) = (+)( 3) függvén esetén, ahol f( ) = f(3) = 0. Az f : R R,f()=a 3 +b +c+d (a 0, a,b,c,d R) függvének a harmadfokú polinomok. Ezek vizsgálata nem szerepel a középiskolai tanulmánok során. A kettőnél magasabb fokú racionális egész függvének (polinomok)

. RACIONÁLIS FÜGGVÉNYEK 5 vizsgálatával az analízis keretein belül ismerkedünk meg. Ehelütt definíciójukat adjuk meg. Definíció. Az f :R R,f()=a 0 +a +a + +a n n függvéneket, ahol a 0,a,..., a n R és a n 0 n-ed fokú polinomnak (racionális egész függvéneknek) nevezzük. C. Racionális tört függvének A legegszerűbb racionális törtfüggvén az f : R R, f()= 0.Eza függvén képezi a magját a racionális törtfüggvéneknek, az hatvánfüggvén reciproka. Jellemzés értelmezési tartomán: 0 zérushel: nincs paritás: páratlan (f( )= = = f()) monotonitás: nem monoton <0-ra szigorúan monoton csökken >0-ra szigorúan monoton növekvő értékkészlet: f() 0 Definíció. Lineáris törtfüggvénnek nevezzük az f : R R, függvéneket ( d c ), ahol c 0, a,b,c,d R adott. Nézzünk eg példát! f()= + +,D f :, zérushel: =. f() = a+b c+d Az ábrázoláshoz és néhán további tulajdonság megállapításához alakítsuk át a képletet! A számlálóban és a nevezőben elsőfokú polinom szerepel, ezért a tört

6 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK nem valódi tört. Írjuk fel eg egész és eg valódi tört összegeként! Egszerű fogással megtehetjük, hog előállítjuk a számlálóban a nevezőt, majd tagonként osztunk. f()= + + = (+) = + + Innen már megállapítható R f : f(). Ebből az alakból az függvénből kiindulva függvéntranszformációval már képet alkothatunk a monotonitásról, és arról is, hogan viselkedik tetszőlegesen nag illetve kicsi -ekre, valamint a hel körnezetében. + + (A grafikonnak mindig csak eg darabja rajzolható fel!) A függvén nem monoton. < -re szigorúan monoton növekvő, > -re szigorúan monoton növekvő, az értelmezési tartománon foltonos. Bármel nag (illetve kicsi ) -ekre a függvénértékek tetszőlegesen közel vannak -hez. Ezt a tulajdonságot úg nevezzük későbbi tanulmánaink során definiáljuk, hog -ben ( -ben) a határértéke. A bal- (illetve jobb-) oldali körnezetében vizsgálva, a függvénértékek tetszőlegesen nagok (illetve kicsik), azaz a -ben a baloldali határérték (jobboldali ). A lineáris törtfüggvén általános jellemzését nem végezzük el, a fenti példa mintájára járunk el. Definíció. Racionális törtfüggvénnek nevezzük a két racionális egész függvén hánadosaként értelmezett függvént. f : R R, f()= P n() Q m () = a n n +a n n + +a +a 0 b m m +b m m + +b +b 0, ahol a n,b m 0(n, m N,m )

. IRRACIONÁLIS FÜGGVÉNYEK 7 (Vegük észre, hog az előző példa ide sorolandó: n =,m=!) Értelmezési tartomán: a Q m () polinom zérusheleit kivéve a valós számok halmaza, zérushel: P n () polinom zérushelei,... Tudásunk itt már elég hiános, nem tudjuk megállapítani a függvén tulajdonságait, grafikonjáról sincs elképzelésünk. Példák egszerű racionális törtfüggvénekre: ezeket a grafikonokat olan meggondolással készíthetjük el, hog eg transzformációval ábrázolható függvén (nevezőben lévő) értékeinek reciprokát vesszük. + +. Irracionális függvének Induljunk ki az A. pontban szereplő hatvánfüggvénekből! Konkrétan az és 3 függvénekből! Az esetén az értelmezési tartomán néhán elemére a hozzárendelés: ( 3) 9, ( ), 0 0,, 3 9. A hozzárendelés iránát elemről elemre ellenkezőjére váltva: 9 ( 3), ( ), 0 0,, 9 3 nem kapunk függvént, mert nem egértelmű a hozzárendelés (például: -hez a ( )-et is és az -et is hozzárendeltük.) Az 3 esetén az értelmezési tartomán néhán elemére a hozzárendelés: ( 3) 7, ( ), 0 0,, 3 7. A hozzárendelés iránát elemről elemre ellenkezőjére váltva: 7 ( 3), ( ), 0 0,, 7 3 függvént kapunk. Ha az értelmezési tartománát leszűkítjük 0-ra, a hozzárendelés már kölcsönösen egértelmű, tehát a hozzárendelés iránát ellenkezőjére váltva is függvént kapunk.

8 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK 4 4 Q függvén 0 R függvén Az ( 0) függvént Q-val jelöltük, mert emlékeztet a négzet területére, a kvadratúrára, az függvént R-rel jelöltük, mert a radi (gökér) szó kezdőbetűjéből származik a jel. A az R függvénnek az az értéke, amel az -hoz tartozik, a az -ból ered, a -nak az a gökere (radia), négzetgöke. Az R függvéngrafikonját hozzuk a megszokott helzetbe! Origó körül 90 -kal elforgatva, majd tengel körül 80 -kal elforgatva és a tengeleket a szokásos módon jelölve kapjuk a jól ismert függvént! R R R Az 3 esetén a hozzárendelés iránát elemről elemre ellenkezőjére váltva jutunk az 3 függvénhez. f()= 3 f()= 3 A gökfüggvének illetve irracionális függvének a hatvánfüggvének (illetve páros n esetén 0-ra leszűkítettjeik) inverzei. Közös koordinátarendszerben

n =k + esetén: ha a R, n a R, amelre n a n = a. IRRACIONÁLIS FÜGGVÉNYEK 9 a fenti ábrán szerepel az ( 0) és,az 3 ( R) és 3, valamint az 4 ( 0) és 4. f()=, 0 f()= 4, 0 f()=, 0 f()= 4, 0 Definíció. Az f : R R, f()= n függvéneket irracionális (vag gök) függvéneknek nevezzük. Jellemzésük n =k + n =k értelmezési tartomán: R 0 szélsőérték: nincs =0-ban min. és f(0) = 0 monotonitás: szig. mon. nő szig. mon. nő zérushel: =0 =0 értékkészlet: f() R f() 0 Emlékeztetőül az inverz függvén hozzárendelési szabála alapján felelevenítjük a gök fogalmát és a rá vonatkozó azonosságokat. Definíció. Ha a 0, a az a nem negatív szám, amelnek négzete a. Jelöléssel: a 0, a = a 0 n n =k esetén: ha a 0, a 0, amelre n a n = a Néhán azonosság: (a, b definícióban megadott értékei esetén érvénesek) n ab = n a n b (II.) r n a n a = b n (II.3) b q n k a = nk a (II.4) n a k = np a k (II.5) (II.6) Megjegzések

0 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK Az n (páros n-re 0) függvénekre is igaz az f(ab)=f(a) f(b) illetve f a = b = f(a) tulajdonság, amint azt az (II.) és (II.3) azonosság mutatja. f(b) A (II.4) azonosság azt jelenti, hog a gökfüggvének az összetettfüggvénképzésre nézve zártak. Például: 3 ) =u q u 3 = 6 ( 0) u A pozitív egész kitevős hatvánfüggvéneket, ezek reciprokait és a gökfüggvéneket kapcsoljuk össze összetett függvénképzéssel! ) 3 =u u 3 ( 0) u 5 ) =u u u 5 5 5 = ( R) 9 =u = u 3 ; 3 ( 0) u 5 9 =u = u ; 5 4 u 4 ( 0) Általánosan az n m illetve az n m függvénekhez jutunk, ahol n, m N+. Az összes ilen függvén értelmezési tartomána a pozitív valós számok halmaza. 3. Trigonometrikus függvének és inverzeik A. Trigonometrikus függvének Középiskolában a háromszögek hasonlósága lehetővé tette, hog derékszögű háromszögben eg hegesszög szögfüggvéneit értelmezzük. Hegesszög és oldalak arána közt kölcsönösen egértelmű megfeleltetést létesítve definiálhatjuk derékszögű háromszögben hegesszög sinusát, cosinusát, tangensét, cotangensét. B c β a sin α = a c, cos α = b c, tg α = a b, ctg α = b a. A α b C

3. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK Matematikai és fizikai problémák vizsgálata szükségessé tette, hog tetszőleges szögekre kiterjesszük ezeket a fogalmakat. A szög forgásmenniség. Kétféle mérését használjuk, fokban illetve radiánban (ívmértékkel) mérjük. Mivel a szög forgásmenniség, ezért vizsgálva a körmozgásokat, azon belül is az egenletes körmozgásokat, ezek leírásával kapjuk a sinus és cosinus függvéneket. Elegendő olan egenletes körmozgást vizsgálni, amel pálájának sugara egségni (r =), és amelnek szögsebessége is egségni (ω =), azaz a tömegpont eg másodperc alatt radián szöget fut be. Legen a tömegpont a nulla időpontban P -ben, a szöget az OP félegenestől mérjük. (Az időpontok és a forgásmenniségek szögek között kölcsönösen egértelmű megfeleltetés van; ezen körmozgásnál a keringési idő π másodperc.) Helezzük a vektorsíkot a kör síkjára úg, hog az origó a kör középpontjában legen, az tengel pozitív fele az OP félegenesre illeszkedjék! + O P A tömegpont helét minden időpontban eg helvektorral (h) egértelműen adhatjuk meg. (Minden időpontnak megfelel a tömegpont eg helzete, azaz pontosan eg vektor,eg vektornak végtelen sok időpont felel meg.) Azaz függvént kapunk : t h, melnek értelmezési tartomána a valós számok halmaza, értékkészlete pedig a sík egségvektorainak halmaza. O j + M h i P Minden helvektornak egértelműen megfelel eg rendezett valós számpár, a vektor koordinátái, tehát a t h (skalár-vektor) függvént felbonthatjuk két valós-valós függvénre.

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK j h M j S h M O Q i O i Ha az M tömegpont a körön egenletesen mozog, akkor ezen pont tengelre eső merőleges vetületének (Q) a mozgása a t függvént adja meg, melnek első negedbeli értékei a derékszögű háromszögben értelmezett cosinus függvén értékei, tehát a t függvén ezen függvén kiterjesztése. Az M tömegpont tengelre eső merőleges vetületének (S) mozgása a t függvént adja meg, írja le, melnek első negedbeli értékei a derékszögű háromszögben értelmezett sinus függvén értékei, tehát ennek a t függvén kiterjesztése. A t h függvén tehát: t (cos t)i+(sint)j (t R). A koordinátarendszerbe rajzolt kör nem a t h függvén grafikonja, mert nincs rajta az értelmezési tartománt szemléltető t tengel. Ez a kör nem lehet a függvén értékkészlete sem, mert a t h függvén értékei vektorok. Ez a kör a t h függvén értékkészletéhez tartozó egségni hosszúságú vektorok végpontjai által meghatározott halmaz. A fentiek alapján fogalmazzuk meg a középiskolából jól ismert definíciókat a szokásos jelölést használva: Definíció. Az ( R) szög sinusán (cosinusán) értjük az i vektor szögű elforgatott vektorának (h) második (első) koordinátáját. j(0; ) z } cos h =(cos)i+(sin)j 9 >= >; sin i(; 0) Az értelmezésből adódnak az sin és cos függvének tulajdonságai és rajzolhatók meg grafikonjaik.

3. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK 3 f : R R, sin = f() j Ψ sin i π sin π π π Jellemzés értelmezési tartomán: R periodicitás: π szerint periódikus sin =sin(+kπ) (k Z) periódusa π paritás: páratlan sin( )= sin zérushel: = kπ (k Z) szélsőérték: = π +kπ-ben sin = heli maimum = 3π +kπ-ben sin = heli minimum értékkészlet: sin foltonos f : R R, cos = f() j z} cos i π π cos π π

4 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK Jellemzés értelmezési tartomán: R periodicitás: π szerint periódikus cos =cos(+kπ) (k Z) periódusa π paritás: páros cos( )=cos zérushel: = π +kπ (k Z) szélsőérték: =kπ-ben cos = heli maimum = π +kπ-ben cos = heli minimum értékkészlet: cos foltonos Megjegzés vegük észre, hog a cosinus függvént a sinus függvénből is származtathattuk volna: π R : cos =sin +. Igazak a sinus és cosinus függvén közötti úg nevezett pótszöges öszefüggések: R : sin π =cos, cos π =sin. A tangens és cotangens függvének bevezetése a középiskolában kétféleképpen történik.. mód Tekintsük az origó középpontú, egségsugarú körbe helezve az α hegesszögű, egségni átfogójú, derékszögű háromszöget! 0 α 9 (, tg α) >= >; tg α = 0 α ctg α z } α (ctg α,) =

3. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK 5 Húzzuk meg az = illetve az = egeneseket (tengelekkel párhuzamos körérintőket)! Az α szögszár ezekkel alkotott metszéspontjainak koordinátái(, tg α) illetve (ctg α, ), melek a keletkező két új háromszögből leolvashatók a hegesszög tangensének illetve cotangensének derékszögű háromszögben tett értelmezése alapján. Ez az észrevétel lehetővé teszi, hog tetszőleges szög ( R) tangensét illetve cotangensét az alábbi módon értelmezzük. Definíció. Az szög tangensén értjük az =egenes és az szögszár metszéspontjának második koordinátáját. Definíció. Az szög cotangensén értjük az = egenes és az szögszár metszéspontjának első koordinátáját. Ebből az értelmezésből azonnal látjuk, hog nincs minden szögnek tangense illetve cotangense. Ha a szögszár párhuzamos az érintővel, nem kapunk metszéspontot, tehát nincs tangense az = π + kπ (k Z) illetve nincs cotangense az = kπ (k Z) szögeknek.. mód Hegesszögek tangensének, cotangensének értelmezéséből látható, hog milen kapcsolat van a hegesszög tangense illetve cotangense és uganazon szög sinusa és cosinusa közt: B α c a A α b A b C Kézenfekvő ezen összefüggések alapján értelmezni tetszőleges szög tangensét illetve cotangensét. B a C tg α = a b = a b = sin α ctg α = b a = b a cos α ; = cos α sin α Definíció. Jelentse az szög tangensét illetve cotangensét sinusuk és cosinusuk illetve cosinusuk és sinusuk hánadosa. Jelöléssel: f : R R f : R R, sin α cos α =tg = f() π +kπ (k Z) illetve, cos α sin α =ctg = f() kπ (k Z)

6 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK Nilván ekkor tangens esetén az szögek közül ki kell zárni a cosinus függvén zérusheleit, cotangens esetén a sinus függvén zérusheleit. (Tehát két függvén hánadosaként értelmeztünk.) Mutassuk meg, hog a kétféle bevezetési mód (közvetlen illetve függvének hánadosaként) egenértékű, eg és uganazt jelenti! R O ctg z } cos S N A 9 B z } 9 >= M tg >= sin >; >; Az ONM OAB ( szög közös és derékszögűek), íg a megfelelő oldalak arána: sin cos = tg =tg Az ONM ORS ( szög váltószög és derékszögűek), íg a megfelelő oldalak arána: cos sin = ctg =ctg Az értelmezésből következnek a függvéntulajdonságok, meleket az alábbiakban foglalunk össze és megrajzoljuk a grafikonokat. f : R R, tg = f()

3. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK 7 =tg )(; tg ) tg π π 4 π π 3π Jellemzés értelmezési tartomán: π +kπ (k Z) periodicitás: tg =tg(+kπ) (k Z) periódusa π paritás: páratlan tg( )= tg zérushel: = kπ (k Z) monotonitás: nem monoton, de eg periódusban szigorúan monoton növekvő értékkészlet: tg R foltonos f : R R, ctg = f()

8 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK =ctg ctg z } (ctg ;) π π 4 π π Jellemzés értelmezési tartomán: kπ (k Z) periodicitás: ctg =ctg(+kπ) (k Z) periódusa π paritás: páratlan ctg( )= ctg zérushel: = π +kπ (k Z) monotonitás: nem monoton, de eg periódusban szigorúan monoton csökken értékkészlet: ctg R foltonos Megjegzés Vegük észre, hog ha a tangens függvén illetve cotangens függvén értelmezési tartománából elhagjuk a zérusheleiket (azaz az értelmezési tartománukat leszűkítjük R, de k π (k Z) elemekre), akkor a két függvén értékei egmás reciprokai: tg = ctg k π (k Z) illetve ctg = tg k π (k Z) A trigonometrikus függvének értékeit az értelmezési tartománuk tetszőleges elemére nem tudjuk kiszámítani, ezt majd az analízis tanulmánok teszik lehetővé. Jelenleg a számológép segítségével adjuk meg közelítő értékeiket. A

3. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK 9 számológép számolási algoritmusára is a későbbi tanulmánok adnak magarázatot. Értelmezésük alapján az úgnevezett nevezetes szögek és határszögek és a trigonometrikus azonosságok felhasználásával ezekből nerhető szögek szögfüggvéneinek értékét tudjuk megadni. A 30,60 illetve 45 szögfüggvéneinek értékét a következő háromszögekről célszerű leolvasni. Ezeket jegezzük meg! (Két egség oldalú, szabálos illetve egségni befogójú, egenlő szárú háromszögek.) 30 3 60 45 A középiskolában tanult szögfüggvének közötti összefüggések közül a következő ötből bármel másik können levezethető, ezért csak ezeket célszerű memorizálni. B. Arcus függvének cos α+sin α = (II.7) sin (α+β) = sinα cos β +cosαsin β (II.8) cos (α+β) = cosα cos β sin α sin β (II.9) sin α = sinα cos α (II.0) cos α = cos α sin α (II.) Ebben a részben új fogalmakkal, függvénekkel ismerkedhetünk meg, ezeket nem tanuljuk a középiskolában. Ezeket a trigonometrikus függvénekből származtatjuk függvénképzési móddal, nevezetesen leszűkítéssel és inverz képzéssel. Az új függvéneket arcus függvéneknek hívjuk. A sinus és cosinus függvének π szerint periodikus, a tangens és cotangens függvének π szerint periodikus függvének, tehát uganazt a függvénértéket több (végtelen sok) értelmezési tartománbeli elemhez hozzárendelik, azaz a hozzárendelés nem bijektív, nem kölcsönösen egértelmű. Íg, ha a hozzárendelés iránát elemről-elemre ellenkezőre váltjuk, az íg kapott hozzárendelés nem lesz egértelmű, azaz nem függvén. Ezért alkalmas módon leszűkítjük értelmezési tartománukat. Ezt többféle módon megtehetnénk,de a matematikusok közti megállapodás szerint sinus esetén

30 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK a [ π, ] ( π zárt, a cosinusnak a [0,π] zárt, a tangensnél a π, ) π nílt, a cotangensnél a (0,π) nílt intervallumra szűkítjük le az értelmezési tartománt. Ezen az intervallumon a hozzárendelések már kölcsönösen egértelműek (bijektívek), azaz invertálhatók. Az arcsin függvén értelmezése Definíció. Az f : [ π, π ] f :[,] [,], [ π, π sin = f() inverze az ], arcsin = f(); az arcsin (olvasd: árkusszinusz) azt a [ π, π ] zárt intervallumba eső szöget jelenti, amelnek sinusa -szel egenlő. Formulákkal: π arcsin π és sin (arcsin )=, ha. π arcsin sin π f() π π π π arcsin jellemzése értelmezési tartomán: monotonitás: szigorúan monoton növekvő zérushel: =0 paritás: páratlan arcsin( )= arcsin értékkészlet: π arcsin π korlátos: k = π, K = π foltonos

3. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK 3 Az arccos függvén értelmezése Definíció. Az f :[0,π] [,], f :[,] [0,π], cos = f() inverze az arccos = f(); az arccos (olvasd: árkuszkoszinusz) jelenti azt a [0,π] zárt intervallumba eső szöget, amelnek cosinusa -szel egenlő. Formulákkal: 0 arccos π és cos (arccos )=, ha. π arccos π f() π π π 3 π cos π arccos jellemzése értelmezési tartomán: monotonitás: szigorúan monoton csökken zérushel: = értékkészlet: 0 arccos π korlátos: k =0, K = π foltonos Az arctg függvén értelmezése Definíció. Az ( f : π, π ) R, tg = f() inverze az ( f : R π, π ), arctg = f();

3 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK az arctg (olvasd: árkusztangens) jelenti azt a ( π, π ) nílt intervallumba eső szöget, amelnek tangense -szel egenlő. Formulákkal: π < arctg <π és tg (arctg )=, ha R. tg π π 4 arctg π π 4 f() π π 4 π π 4 π π Az arcctg függvén értelmezése Definíció. Az arctg jellemzése értelmezési tartomán: R monotonitás: szigorúan monoton növekvő zérushel: =0 paritás: páratlan arctg( )= arctg értékkészlet: π < arcsin < π korlátos: k = π, K = π határértéke: -ben π -ben π foltonos f :(0,π) R, f : R (0,π), ctg = f() inverze az arcctg = f();

4. EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUS FÜGGVÉNYEK 33 az arcctg (olvasd: árkuszkotangens) jelenti azt a (0,π) nílt intervallumba eső szöget, amelnek cotangense -szel egenlő. Formulákkal: 0 < ctg <π és ctg (arcctg )=, ha R. arcctg π π 4 π π 4 3π 4 π f() π π ctg arcctg jellemzése értelmezési tartomán: R monotonitás: szigorúan monoton csökken értékkészlet: 0 < arcctg <π korlátos: k =0, K = π határértéke: -ben π -ben 0 foltonos 4. Eponenciális és logaritmus függvének A. Eponenciális függvének Ezen függvéntípus bevezetéséhez tekintsük a korábban tárgalt függvéntípusok közül a hatvánfüggvéneket (,, 3,..., n ), az ezekből származtatott gökfüggvéneket (, 3, 4,..., n ), a hatvánfüggvének reciprokait (,,,..., 3 ) és az n ezek összetételéből nert n m, n m függvéneket! Mint korában megállapítottuk, ezek közös értelmezési tartomána a pozitív valós számok halmaza. Képzeljük el grafikonjaikat eg közös koordinátarendszerben! (Az alábbi ábra néhánat szemléltet.)

34 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK 3 Jelöljük az előbb felsorolt összes függvént: α -val, ahol α Q, >0! Vegük például a közös értelmezési tartománból az = helen a helettesítési értékeiket, α -t kapunk. α-hoz rendeljük hozzá a α -t, íg az α függvének metszeteként racionális kitevőre a α függvént kaptuk. Az = = 3 vag =4vag = 5 3 helettesítést elvégezve az α függvének esetén az α ( ) α 3,α 4 α,α ( 5 α 3) függvénekhez jutunk, melek értelmezési tartomána (α) a racionális számok halmaza. A α, ( ) α 3, 4 α, ( 5 α 3) értékei pozitívak, szigorúan monoton növekvőek. Az α függvének metszeteként kapott új függvének változója a kitevőben szerepel, íg idegen szóval eponenciális függvéneknek nevezzük őket, meleknek értelmezési tartomána jelenleg a racionális számok halmaza. Az eponens szó kitevőt jelent. Kitérő! A racionális kitevőjű hatvánfogalommal kapcsolatban felelevenítjük a tanult definíciókat. Figeljen arra, hog a hatvánfogalom racionális kitevőre való kiterjesztésénél az alapok halmazát szűkíteni kell! a 0 = a 0 a n = a n a 0 a p q = q a p a>0

4. EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUS FÜGGVÉNYEK 35 Megjegezzük, hog racionális kitevő esetén is érvénesek a pozitív egész kitevőjű hatván fogalmára érvénes öt azonosság. Természetesen értelmezhető -nek, 3 -nak, 4-nek, 5 3 - nak (stb.) irracionális kitevőjű hatvána is. Ezzel későbbi tanulmánai során fog találkozni, itt csak eg szemléltetést mutatunk α = esetére. < 9 < < <,4 < <,5,4 <,4 < <,5 >= <,4,44 <,4 < <,4 <,45,44 < <,45 >;.. A baloldali racionális kitevőjű hatvánok nőnek, a jobboldaliak csökkennek, ezért a -t tartalmazó intervallumok egre szűkebbek. Az irracionális kitevőjű hatvánt tetszőleges pontossággal lehet közrefogni racionális kitevőjű hatvánokkal. Egmásba skatulázott intervallumokat kapunk, ezek közös pontja a. A bevezető példánkhoz hasonlóan a közös értelmezési tartománból ( > > 0) választott = a helen véve az α függvének helettesítési értékeit, ezen függvének metszeteként jutunk az a α eponenciális függvénhez racionális α-ra, ez is értelmezhető irracionális α esetén is. A szokásos jelöléssel: Definíció. Az f : R R, a = f() függvént, ahol a adott pozitív szám, eponenciális függvénnek nevezzük. A függvén tulajdonságai tehát a hatván tulajdonságaiból származnak. Az a alaptól függően három csoportba sorolhatók: 3 4 5 3

36 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK Jellemzésük f()=a 0 <a< a = <a D f R R R monotonitás: szig. mon. csökkenő állandó szig. mon. növekvő értékkészlet: R + R + határértéke -ben 0 határértéke -ben 0 foltonos (Az értelmezési tartománon foltonos függvének, -ben a> esetén, 0<a<-re 0 a határértékük, -ben a> esetén 0, 0<a<-re a határértékük. Ezen utóbbi fogalmak pontos jelentését az analízis tanulásakor ismeri meg.) Megjegzések. A hatvánfüggvéneknél a hatván azonosságokkal kapcsolatban tett megjegzéseinknél a (II.) azonosság fejezi ki az eponenciális függvének karakterisztikus tulajdonságát, általánosan: f() f()=f(+). Úg is fogalmazhatunk, hog egenlő léptékekre a függvén értéke ugananniszorosára változik.. A (II.) azonosság a kitevő kiterjesztésével elvesztette önállóságát, mert a n a m = an a m = a n m. 3. A (II.5) azonosság az eponenciális függvének közötti kapcsolatot fejezi ki. Például: 3 = 3 =( ) 3 illetve 3 =8, tehát látható, hogan lehet átváltani a függvénről a 8 függvénre. 4. Gakran azonos értelemben használják az és azaz az és formát. Ez azt jelentené, hog gondolatmenetünket a visszájára fordítjuk, vagis az eponenciális függvének metszeteként kapnánk az függvént. Felhívjuk a figelmet, hog íg nem kapható meg az összes gökfüggvén. Például a 3 8= nem más, mint az 3 függvén értéke az = 8 helen. A ( 8) 3 -nak azonban nincs értelme, hiszen negatív alapú eponenciális függvént nem értelmeztünk. Az 3 függvén nem nerhető vissza az eponenciális függvénekből. B. Logaritmus függvének Az eponenciális függvén a > 0, de a esetén szigorúan monoton, tehát az értelmezési tartomán és értékkészlet elemei között a megfeleltetés kölcsönösen egértelmű. Tehát a>0, dea esetén a hozzárendelés iránát elemről elemre ellenkezőre váltva függvént kapunk, azaz

4. EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUS FÜGGVÉNYEK 37 Definíció. Az a eponenciális függvének a>0, dea esetén invertálhatók, ezek inverzeit logaritmus függvének nek nevezzük. (A logaritmus szó jelentése viszonszám.) Nézzünk eg konkrét példát! Tekintsük az eponenciális függvént! Az értelmezési tartomán néhán elemére a hozzárendelés: =, 0 0 =, 3 3 =8, 4 4 =6. A hozzárendelés iránát elemről elemre ellenkezőjére váltva: =, 0 = 0, 3 =8 3, 4 =6 4. Úg fogalmazhatjuk ezen utóbbi hozzárendeléseket, hog például a 6-hoz kettes alap mellett a 4 kitevő tartozik, vag 8-hoz kettes alap mellett a 3 kitevő tartozik. Általában erre a logaritmus elnevezést használjuk: 6 4=log 6, 8 3=log 8,... stb. a = a 0 0 =a 0 log a = 0 0 =log a 0 A második ábrát a megfelelő helzetbe hozva, a változókat a szokásos módon jelölve a jól ismert logaritmus függvénekhez jutunk. Az log a = f() néhán adott a esetén: log 3 log lg log 0 log 3 log 45

38 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK Az log a = f() a>0,a jellemzése értelmezési tartomán: >0 monotonitás: a> esetén szig. mon. növekvő 0 <a< esetén szig. mon. csökkenő zérushel: = értékkészlet: log a R foltonos. Megjegzések. A logaritmusfüggvén tehát az eponenciális függvén inverze (a ), a = f(), visszarendelve: f() = f (a )=log a a =.. Hangsúlozzuk, hog az inverz szimmetrikus viszon, az eponenciális és logaritmus függvének egmás inverzei. Tehát azt is mondhatjuk, hog a logaritmus függvén inverze az eponenciális függvén. log a = f(), visszarendelve: f() = = f f () = f (log a )=a log a. A középiskolából jól ismert a log a = (>0,a> > 0,a )alakhoz jutunk, melet a logaritmus fogalmának nevezünk. 3. Az inverz kapcsolatból következik, hog a hatvánazonosságok igazak maradnak, ha a logaritmus nelvére fordítjuk le azokat. Például a>0,a,u,v>0 esetén: hatvánalak u = a p v = a q uv = a p+q logaritmusos alak log a u = p log a v = q log a uv = p +q =log a u+log a v Tehát a szorzat logaritmusa :log a uv =log a u +log a v. Hasonlóan adódik a tört (hánados) logaritmusa : a>0,a,u,v>0 esetén log a v =log a u log a v és a hatván u logaritmusa: a>0,a,u,v>0,k R esetén log a u k = k log a u. 4. Vizsgáljuk meg, milen kapcsolat van a logaritmusfüggvének között! hatvánalak u = a p u = b q u = a p = b q logaritmusos alak log a u = p log b u = q log a a p =log a b q,azaz p log a a = q log a b és mivel log a a =,ígp = q log a b. Figelembe véve p és q jelentését: log a u =log b u log a b, melet rendezve a log b u = log a u log a b különböző alakú logaritmusok közötti összefüggést kapjuk. Például térjünk át 3-as alapú logaritmus függvénről 0-es alapúra! log 3 = log 0 log 0 3 = lg 3 lg (>0), azaz

5. HIPERBOLIKUS ÉS AREA FÜGGVÉNYEK 39 a 3-as alapú logaritmus függvén a 0-es alapú konstansszorosa.analógmódon: log a = lg lg a = lg a lg (a >0,a,>0); természetesen a 0-es alapú lg 3 logaritmusnak nincs kitüntetett szerepe, bármel más alapú logaritmus függvént is vehettük volna. Tehát a logaritmus függvének halmazának bármel eleme előállítható eg konkrét elemének (példánkban lg ) c(c 0) konstansszorosaként. 5. Hiperbolikus és area függvének Ebben a szakaszban olan, az elemi függvének közé sorolt függvénekkel ismerkedünk meg, melek nem szerepelnek a közoktatás matematika anagában, de a későbbi tanulmánokhoz szükségesek. Mielőtt ezeket értelmeznénk előkészítés képpen két lépést teszünk.. Az eponenciális függvének esetén az adott a alap tetszőleges pozitív számot jelenthet. Ezen függvénhalmaz eg kitüntetett elemével ismerkedjünk meg! Az a alapnak eg irracionális számot választunk (nem szakaszos, végtelen tizedes törtet), melnek értéke és 3 között van és fontos szerepe lesz az analízis tanulmánokban is. Ezt az irracionális számot e-vel jelölik a matematikusok, melnek közelítő értéke,78888..., Euler-féle számnak is nevezik. Az e = f() ( R) függvén az eponenciális függvéneknél az a> esetre leírt tulajdonságokkal rendelkezik. Inverze az ln =f() (>0) (olvasd:elen) a természetes alapú logaritmus függvén. e e e ln. A műszaki életben a középiskolában megismert függvénmegadási, leírási módokon túl (a fizikában is) fontos szerepet játszik az úgnevezett paraméteres megadási mód. Ez a leírási mód nagon gakran nem is függvént ad meg, hanem görbék egenletét. Például az + =kör egenletét

40 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK =cost, =sint, ahol0 t π egenletrendszer alakban írhatjuk fel (cos t +sin t =), vag t v(t)=(cost) i+(sint) j. (Például eg test ezen a körpálán mozog, ez a pála egenlete, de nem függvén (egenletes körmozgás: egségni szögsebesség, r =)!) A t paraméter az elfordulás szöge, de egben az OPEP körcikk területe is! O P (, ) 9 = ; sin t z } (,0)E cos P Vajon mi lehet az = hiperbola pálán mozgó tömegpont paraméteres egenletrendszere? P (, ) O t (,0) E P A P hiperbolapont abszcisszája () is, ordinátája () isat paraméter (OPEP idom területe) függvéneként írható fel. Ezen függvének hasonló tulajdonságokat mutatnak a trigonometrikus függvének tulajdonságaihoz, és mivel hiperbola paraméteres előállítását adják, cosinushiperbolikus illetve sinushiperbolikus elnevezéssel illetjük őket. Tehát az = hiperbola paraméteres előállítása: =cht, =sht,melből t v(t)= =(cht) i +(sht) j és ( ch t sh t ) =. Ezeket az új függvéneket már

5. HIPERBOLIKUS ÉS AREA FÜGGVÉNYEK 4 ismert függvénekkel ki tudjuk fejezni. sh = e e th = sh ch ch = e +e cth = ch sh A sinushiperbolikus függvén és inverze Definíció. Az f :R R, f()=sh= e e hozzárendeléssel megadott függvént sinushiperbolikus függvénnek nevezzük. e sh e értelmezési tartomán: paritás: zérushel: monotonitás: értékkészlet: foltonos. Jellemzés R páratlan sh( )=f( )= e e = = e e = f()= sh e e =0 e e =0 e = =0 szigorúan monoton növekvő sh R Az sh szigorúan monoton növekvő (tehát kölcsönösen egértelmű), íg invertálható.

4 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK Definíció. A sinushiperbolikus függvén inverzét areasinushiperbolikus függvénnek nevezzük és arsh -szel jelöljük. Az inverz képletének meghatározása: f()= e e e f()=(e ) 0=(e ) e f() (e ), = f()± 4f ()+4 = f()± f ()+. / e Mivel e > 0, ezért csak a + előjel jöhet szóba, íg e = f()+ ( f ()+,azaz =ln f()+ ) f ()+. A változók cseréjét elvégezve az sh inverze: ( f()=ln + ) + D f = R R f = R ( arsh =ln + ) +. arsh sh A cosinushiperbolikus függvén és inverze

5. HIPERBOLIKUS ÉS AREA FÜGGVÉNYEK 43 Definíció. Az f :R R, f()=ch= e +e hozzárendeléssel megadott függvént cosinushiperbolikus függvénnek nevezzük. ch = e +e Jellemzés értelmezési tartomán: R paritás: páros ch( )=f( )= e +e = f()=ch monotonitás: nem monoton értékkészlet: ch foltonos. Trigonometrikus azonosságokkal analóg összefüggések: ch sh = e +e +e e e +e e e = 4 4 4 4 =, ch +sh =ch, sh =shch. A bizonítást az olvasóra bízzuk. Az ch függvén nem invertálható! Szűkítsük le az értelmezési tartománát 0, íg már kölcsönösen egértelmű. Definíció. Az 0-ra leszűkített cosinushiperbolikus függvén inverzét areacosinushiperbolikus függvénnek nevezzük és arch -szel jelöljük. A hozzárendelés szabálának levezetését az arsh függvén levezetése alapján az olvasóra bízzuk. ( f()=arch =ln + ) D f : R f : f() 0

44 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK ch arch A tangenshiperbolikus függvén és inverze Definíció. Az f : R R, f()=th = sh e +e hozzárendeléssel megadott függvént tangenshiperbolikus függvénnek nevezzük. ch = e e th Jellemzés értelmezési tartomán: R paritás: páratlan th( )=f( )= e e e +e = = e e e +e = f()= th zérushel: =0 monotonitás: szigorúan monoton növekvő értékkészlet: < th < határértéke: -ben - -ben foltonos. Az értékkészlet meghatározásához: th = e e e +e = e e + = e + e = + e +, innen

5. HIPERBOLIKUS ÉS AREA FÜGGVÉNYEK 45 e > 0 e +> 0 < e + < 0 > e + > > e + > > th >. Az th szigorúan monoton növekvő (tehát kölcsönösen egértelmű), íg invertálható. Definíció. A tangenshiperbolikus függvén inverzét areatangenshiperbolikus függvénnek nevezzük és arth -szel jelöljük. Az inverz képletének meghatározása: f()=th = e e e +e = e e + f()e +f()=e [f() ] e = [f()+] e = f()+ f() = f()+ f() = f()+ ln f(). (f() < ) Betűcserével: f()= ( ) + ln =arth D f = << R f :arth R

46 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK arth A cotangenshiperbolikus függvén és inverze Definíció. Az f : R R, f()=cth = ch e e 0 hozzárendeléssel megadott függvént cotangenshiperbolikus függvénnek nevezzük. sh = e +e cth

5. HIPERBOLIKUS ÉS AREA FÜGGVÉNYEK 47 Jellemzés értelmezési tartomán: 0 R paritás: páratlan cth( )=f( )= e +e e e = = e +e e e = f()= cth monotonitás: nem monoton <0-ra szigorúan monoton csökken >0-ra szigorúan monoton csökken értékkészlet: cth > határértéke: -ben - -ben foltonos. Az értékkészlet meghatározásához: cth = e +e e e = e + e = e + e =+ e, innen. ha >0, akkor e > e > 0 e > 0 / e > 0 /+ cth =+ e >,

48 II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK. ha <0, akkor 0 <e < <e < 0 e < / e < /+ cth =+ e <. Az cth kölcsönösen egértelmű, íg invertálható. Definíció. A cotangenshiperbolikus függvén inverzét areacotangenshiperbolikus függvénnek nevezzük és arcth -szel jelöljük. arcth Az inverz képletének meghatározását az olvasóra bízzuk. f()=arcth = ( ) + ln D f = > R f :arcth 0

6. NÉHÁNY, AZ ELŐZŐ TÍPUSOKBA NEM TARTOZÓ FÜGGVÉNY 49 6. Néhán, az előző típusokba nem tartozó függvén Előjel függvén Definíció. Az f : R R, f()=sgn hozzárendeléssel megadott függvént szignum vag előjel függvénnek nevezzük, ahol,ha >0 sgn = 0,ha =0,ha <0. sgn Jellemzés értelmezési tartomán: R zérushel: =0 paritás: páratlan monotonitás: monoton nő értékkészlet: {,0,} foltonosság: a 0 hel kivételével foltonos és határértéke a 0 helen: jobbról balról - Abszolútérték függvén Definíció. Az f :R R, f()= hozzárendelésselmegadottfüggvént abszolútérték függvénnek nevezzük, ahol {,ha 0 =,ha <0.