Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk belőlük, és esetleg utáa redezzük sorba Mide ilye feladatál fel lehet tei a következő kérdéseket Sorba kell-e redezi az összes elemet? Permutáció) Ki kell-e választai közülük valameyit? Variáció vagy kombiáció) Az elemek külöbözőek, vagy azoosak is vaak közöttük? Ismétlés élküli vagy ismétléses) A kiválasztás utá számít a sorred vagy em? Variáció vagy kombiáció) A következőkbe a feti felsorolás zárójelbe lévő fogalmait fogjuk potosa defiiáli 11 Variáció 1 Defiíció Egy elemű halmaz elemeiből képezhető k-tagú ismétlődést megegedő) sorozatot az elem k-adosztályú vagy k-tagú) ismétléses variációjáak evezzük Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak az 1, 8, 7, 1, 10 sorozat egy 5-öd osztályú ismétléses variációja 3 Defiíció Egy elemű halmaz elemiből képezhető k-tagú ismétlés élküli sorozatot az elem k-adosztályú vagy k-tagú) ismétlés élküli variációjáak, vagy csak egyszerűe variációjáak evezzük Ilye csak akkor létezik, ha k 4 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a 3, 10, 7, 1, sorozat egy 5-öd osztályú variációja 5 Megjegyzés A feti defiíciók léyege, hogy elemből kiválasztuk k darabot és utáa sorba redezzük Ismétléses variációál darab külöböző elemből akkor is ki tuduk választai k darabot, ha esetleg k > Nyilvá az ismétlés élküli esetbe ez em tehető meg, mert darab külöböző elemből legfeljebb külöböző darabot választhatuk ki Felmerül a kérdés, hogy háy külöböző variációja és ismétléses variációja va egy elemű halmazak Azaz külöböző elemből kiválasztva k darabot, majd ezeket sorba redezve háy külöböző sorozatot kaphatuk Erre ad választ a következő két tétel 1
6 Tétel Legye, k N Ekkor elem k-adosztályú ismétléses variációiak száma k 7 Tétel Legye, k N és k Ekkor elem k-adosztályú variációiak száma 1) ) k + 1) 8 Megjegyzés Az előző tételbe szereplő képletet úgy célszerű megjegyezi, hogy egy egyesével csökkeő k-téyezős szorzatot képzük 9 Példa Háyféleképpe tölthetük ki egy totószelvéyt? A magyar totó 14 meccs végeredméyére lehet fogadi, és midegyik meccs kimeetele háromféle lehet: 1, 0 vagy x) A {0, 1, x} halmaz elemeiből kell képezük egy 13 + 1 hosszú sorozatot Nyilvá két meccs eredméye lehet ugyaaz is, ezért a feti, ismétléses variációra voatkozó képletet kell haszáluk = 3 és k = 14 adatokkal Így 3 14 -féleképpe tölthetük ki egy totószelvéyt 10 Példa Egy taácsba 10 ember ül, és ki akarják maguk között sorsoli, hogy ki legye az igazgató és az igazgató helyettese Háyféleképpe végződhet a sorsolás? Ismétlés élküli variációról va szó = 10 és k = paraméterekkel A sorred valóba számít a kisorsoltak között, mert em midegy, ki lesz az igazgató, és ki lesz a helyettese) Tehát a sorsolás 10 9, azaz 90-féleképpe végződhet? 11 Példa Háy külöböző égybetűs szó képezhető a SAJTÓ szó betűiből? Az 5 külöböző betű közül kell kiválasztai 4-et a feladat em modja, hogy em ismétlődhetek), és ezeket kell sorbaredezi, tehát ismétléses variációt kell alkalmazi = 5 és k = 4 paraméterekkel Így 5 4 szó képezhető 1 Példa Egy kerékpárlakato egy 4 számjegyből álló kombiáció yitja és zárja a zárszerkezetet Elfelejtettük ezt a kombiációt Legrosszabb esetbe háy kombiációt kell végigpróbáli? Ismétléses variáció = 10 és k = 4 paraméterekkel, mivel a 10 külöböző számjegyből kell 4-et kiválasztai, és azokból sorozatot képezi A lakat az ismétlődő számjegyeket em tiltja) Így 10 4 kombiáció lehetséges 13 Példa Egy bajokságo 8 csapat idult Háyféle sorred alakulhat ki a dobogó, ha sehol sem lehet holtversey, és mide csapat csak egy darab helyezést érhet el Ismétlés élküli variációt kell alkalmazi, mert a 8 csapatból kell kiválasztai 3-at, őket sorba redezi, mert a dobogó számít a sorred, és az ismétlést a feladat szövege tiltja Összese 8 7 6 sorred lehetséges 1 Permutáció 14 Defiíció Adott külöböző elem eseté azokak egy sorba redezését az elem egy ismétlés élküli) permutációjáak evezzük 15 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a 8, 1,, 7, 10, 3 sorozat egy permutációja
16 Megjegyzés Középiskolába általába a permutációkat elkülöítve próbálják taítai a variációktól, pedig észre kell veük, hogy a permutáció egy olya variáció, ahol egy elemű halmazból elemet választuk ki, és ezeket rakjuk sorba Tehát olya, mit az ismétlés élküli variáció k = paraméterekkel A permutációkak is létezik ismétléses változata, azoba eek defiiálásához vissza kell emlékezük a redszer fogalmára A redszer a halmazhoz hasoló fogalom, ayi a külöbség, hogy a redszerbe egy elemet többször is felsorolhatuk Például az 1, 1, 3, 4, 6, 6, 7 egy 7-elemű redszer A redszerek elemeit szádékosa em tesszük kapcsos zárójelbe, mert azt halmazok eseté haszáljuk, és a redszer em halmaz 17 Defiíció Egy elemű redszer elemeiek sorozatba rakását az elem ismétléses permutációjáak evezzük 18 Példa A 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 redszerek a 4, 3, 5, 4, 5, 3, 4 sorozat egy ismétléses permutációja 19 Tétel Legye N 0 Ekkor elem ismétlés élküli permutációiak száma 1) ) 1 =! ejtsd: faktoriális) Megállapodás szerit 0! = 1! = 1 0 Tétel Tekitsük egy elemű redszert, melybe r külöböző elem va, és mide külöböző elemből k 1, k,, k r darab va a redszerbe Tehát = k 1 + k + + k r Ekkor az elem ismétléses permutációiak száma! k 1! k r! A k i számokat az i-edik elem multiplicitásáak evezzük, ez mutatja, hogy az i-edik elemek háy példáya va a redszerbe 1 Példa Háyféleképpe tuduk 6 külöböző köyvet sorba redezi a köyvespolco? A válasz 6! = 70 Példa Háy külöböző 5-betűs szó készíthető az ABLAK szó betűiből, midegyiket felhaszálva? Azaz 5 elemet kell sorba redezi, ám az elemek között vaak egyformák Ekkor ismétléses permutációt haszáluk, a válasz 5!! = 5 4 3 = 60 3 Példa Háyféleképpe lehet egy 5 lapos póker-paklit megkeveri? A válasz 5!, ami mellékese egy 68 jegyű szám 4 Példa Háyféle külöböző sorredje va a MATEMATIKA szó betűiek? Azaz 10 elemet kell sorba redezi, ám az elemek között vaak egyformák Ekkor ismétléses permutációt haszáluk, a válasz 10!! 3!! = 15100 5 Példa Háy 10 jegyű szám készíthető 6 darab kettes, darab hetes és darab hatos számjegyből, ha midegyiket fel akarjuk haszáli? Ismétléses permutációról va szó, ahol a redszer 10 elemű, azaz = 10 Továbbá három darab külöböző elem va a redszerbe:, 7, 6 Az ezekhez tartozó multiplicitások: k = 6, k 7 = és k 6 = Tehát a válasz a kérdésre: 10! 6!!! 3
13 Kombiáció 6 Defiíció Egy elemű halmaz k elemű részhalmazait az elem k-adosztályú ismétlés élküli kombiációiak evezzük 7 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a {, 7, 8} halmaz egy 3-ad osztályú kombiációja 8 Megjegyzés Részhalmazok felsorolásáál az elemek sorredje em számít, mert halmazelméleti szempotból {1,, 3} = {3, 1, } Vegyük észre, hogy egy -elemű halmaz k-elemű részhalmazáak megadása azt jeleti, hogy elemből kiválasztuk k darabot, és a feti megjegyzés alapjá eze kiválasztásál az elemek sorredje em számít 9 Defiíció Egy elemű halmaz k elemű részredszereit az elem k-adosztályú ismétléses kombiációiak evezzük 30 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a 3, 7, 3, 1, 10, 1, 3 redszer egy 7-ed osztályú ismétléses kombiációja 31 Megjegyzés Az előző defiícióba a részredszer képzése azt jeleti, hogy egy elemet többször is kiválaszthatuk a halmazból Az elemek sorredje most sem számít, mivel a redszerbe em számít az elemek sorredje 3 Tétel Legye k Ekkor elem k-adosztályú ismétlés élküli kombiációiak száma )! 1) k + 1) = = k k)! k 1 33 Defiíció Az előző tételbe szereplő k) kifejezést biomiális együtthatóak evezzük 34 Tétel Az elem k-adosztályú ismétléses kombiációiak száma ) + k 1 k 35 Példa Háyféleképpe tudjuk kitöltei az ötöslottót? Magyarországo 90 számból 5-öt kell megtippeli) Mivel a sorsolás utá a megjelölt számok sorredje teljese irrelevás, így a 90 számból 5 darab kiválasztásáál a sorred em számít Tehát ) 90 5 -féleképpe tölthető ki egy ötöslottószelvéy 36 Példa Háyféleképpe osztható szét 100000 forityi jutalom 3 dolgozó között, ha mideki csak 10000-rel osztható összeget kaphat? Természetese az is megegedett, hogy valaki em kap semmit) Ismétléses kombiációról va szó, mert mide tízezresre ki kell választai egy embert a három közül Tehát 3-ból választuk 10 helyre, és egy-egy embert yilvá több ezreshez is ki kell választauk, így a megoldás ) 3+10 1 10 = 1 10) 4
37 Példa Háy olya domió va, amelyek midkét felé a potok száma 0-tól 6-ig terjed? Így 7 elemből kell kiválasztai -t, de egy elemet midkét oldalra is kiválaszthatuk, azaz ismétléses kombiációt kell haszáli Így ) 7+ 1 = 8 ) = 8 domió va, ami a feladat feltételéek eleget tesz Biomiális tétel Emlékezzük vissza a középiskolába is tault a + b) = a + ab + b és a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 azoosságokra Mit ahogy az a következő tételből látható lesz, ez a -es és 3-as kitevő helyett általáosítható tetszőlegese agy egész kitevőre 38 Tétel Biomiális tétel) Ha N, továbbá a és b valós számok, vagy valós határozatlaok, akkor ) ) ) ) ) a + b) = a + a 1 b + a b + + ab 1 + b, 0 1 1 vagy rövidebbe a + b) = i=0 ) a i b i i Azért, hogy lássuk, a biomiális tétel hogya kapcsolódik a kombiatorikai problémákhoz, vizsgáljuk meg a jobboldali összegebe fellépő általáos i) a i b i tagot Képzeljük el, hogy az darab a + b) téyezőt elkezdjük összeszorozi egymással egyesével Azokat a tagokat számoljuk, ahol i darab b-t, és i darab a-t szorzuk össze Háyféleképpe tehettük ezt meg? Potosa ayiféleképpe, aháyféleképpe az darab a + b) téyezőből ki tudjuk választai az i darab b-t Ez pedig potosa i) A biomiális együtthatókból felépíthető Pascal-háromszögből azoal látszódak a biomiális együtthatók legfotosabb tulajdoságai Az alábbi ábrá látható a Pascal-háromszög első éháy sora, melybe az k) értékek vaak feltütetve = 0, k = 0 0 = 1, k = 0, 1 1 ) 0) 1 1 0 =, k = 0, 1, ) ) 1) 1 1 0 1 = 3, k = 0, 1,, 3 3 ) 3 ) 3 ) ) 1 1 3 0 1 = 4, k = 0, 1,, 3, 4 4 ) 4 ) 4 ) 4 ) 3) 1 3 3 1 4 0 1 3 4) = 5, k = 0, 1,, 3, 4, 5 5 ) 1 4 6 4 1 5 0 1 3 4 5) 1 5 10 10 5 1 A biomiális együttható és a Pascal-háromszög legfotosabb tulajdoságait az alábbi tétel foglalja össze 5
39 Tétel Legye k, N 0 és k Ekkor érvéyesek az alábbi összefüggések 1 0) = ) = 1 A háromszög két oldalá 1-esek állak) ) k = k) A háromszög tegelyese szimmetrikus) 3 Ha 0 < k <, akkor ) k = 1 ) k 1 + 1 ) k A háromszögbe bármelyik elem a felette lévő két elem összege, feltéve, hogy va felette két elem) 4 Bármely N 0 -ra i=0 i) = A Pascal-háromszögbe az i-edik sor összege i 1 ) Természetese adódik a kérdés, hogy a kitevő általáosítása utá, tudjuk-e tovább általáosítai a problémát, modjuk a változók számát tekitve A választ az alábbi tétel adja meg 40 Tétel Poliomiális tétel) Ha N, továbbá a 1,, a k valós számok, vagy valós határozatlaok, akkor 3 Szitaformula a 1 + + a k ) = i 1,,i k N 0 i 1 ++i k =! i 1! i k! ai 1 1 a i a i k k Köye megfigyelhető a halmazokra voatkozó alábbi állítás 41 Állítás Ha A, B véges halmazok, akkor A B = A + B A B A feti állítás szemléletese köye igazolható, ugyais az A B halmazba azok az elemek vaak, amik legalább az egyikbe bee vaak Így megszámoljuk azokat, amelyek bee vaak A-ba, illetve külö, amik bee vaak B-be, de mivel a metszetüket kétszer számoltuk, így a metszet elemszámát egyszer le kell voi, hogy mide elemet csak egyszer számoljuk Természetese a feti állítás kiterjeszthető több halmazra is 4 Tétel Legyeek A 1, A véges halmazok Ekkor A 1 A = 1) r 1 r=1 {i 1,i r} {1,,} {i 1,,i r} =r A i1 A ir A feti tétel első ráézésre egyáltalá em tűik kéyelmesek Segíthet, ha megértjük, mi törtéik a képletbe Va darab véges halmazuk, és keressük az uiójuk elemszámát Az r = 1 eseté összeadjuk a halmazok elemszámát Így éháy elemet kétszer számoltuk ezért le kell vouk belőle bizoyos elemszámokat, például r = eseté a kettős metszetek elemszámát Ezutá hozzáadjuk a hármas metszetek elemszámát, levojuk a égyes metszetek elemszámát, és ezt folytatjuk, míg el em jutuk az r = esethez, ami az összes halmazak a metszete A feti tétel következméye a szitaformula 6
43 Tétel Szitaformula) Legyeek A 1, A halmazok a véges U uiverzum részhalmazai Ekkor A1 A = U + 1) r A i1 A ir r=1 {i 1,i r} {1,,} {i 1,,i r} =r A szitaformula a 4 Tétel egyees következméye, ugyais A1 A = U A 1 A 44 Példa A szegedi tudomáyegyetem matematika taszékcsoportja 100 matematika, 00 biológia és 400 iformatika szakos hallgatót oktat Akik egyszerre matematika és biológia szakosak, azokak a száma 1, a matematika és iformatika szakosoké 44, illetve a biológiaiformatika szakos hallgatók száma 6 Négy fő végzi egyszerre mid a három szakot Háy hallgatót oktat a matematika taszékcsoport? Jelölje I, B, M redre az iformatika, biológia és matematika szakos hallgatók halmazát Ekkor a a 4 Tétel szerit I B M = I + B + M I B I M B M + I B M = 400 + 00 + 100 6 44 1 + 4 = 64 7