9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós számok azon legbővebb részhalmazát, melyen értelmezhetők: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch th cth arsh arch arth arcth e 0,5 4 ln log 0,5 e - sin log 9.. Ábrázolja az alábbi függvényeket: 0, ha 0 0, ha < 0 a, f () = f () =, ha > 0, ha 0 +, ha > ( + ), ha < log, ha 0 < < f () =, ha < 0 f, f () = 0, különben ( ), ha 0 0, különben 0, ha <, ha < 0 f () = f () = sgn() =, ha 0, ha = 0, ha > 0 cos, ha 0 < < π f () = 0, különben 9.. Ábrázolja síkbeli polár koordinátarendszerben a következő függvényeket: a, r(ϕ) = 5, ϕ [0,π] r(ϕ) = ϕ, ϕ [0,π] r(ϕ) = (+cosϕ), ϕ [0,π] r(ϕ) = sin4ϕ, ϕ [0,π] r(ϕ) = cosϕ, ϕ [0,π] f, r(ϕ) =sin (ϕ/), ϕ [0,π]
9.4. Ábrázolja a következő t ((t),y(t)) típusú vektorértékű függvényeket (síkgörbéket) a megadott halmazon : a, t () = + cost yt () = 4 + sint t () = t t+ yt () = t + t+ t () = + 6t yt () = 5t t () = t yt () = t t () = ( t sin) t yt () = ( cos) t f, t () = cost yt () = sint 9.5. Ábrázolja a következő t ((t),y(t),z(t)) típusú vektorértékű függvényeket (térgörbéket) a megadott halmazon : t () = cost a, y(t) = sint, t [0,4π] zt () = t t () = 4 y(t) = + cost, t [0,π] zt () = + sint t () = t y(t) = t zt () = t+ cos t t () = t sin t y(t) =, t [0,4π] t zt () = t t () = y(t) = t zt () = t 9.6. Ábrázolja a következő (u,v) ((u,v),y(u,v),z(u,v)) vektorértékű függvényeket (felületeket): uv (, ) = + u+ v uv (, ) = u a, y(u, v) = u + v y(u, v) = v zuv (, ) = u+ v zuv (, ) = u + v uv (, ) = y(u, v) = v zuv (, ) = sinv 9.7. Határozza meg a következő (u,v) ((u,v),y(u,v),z(u,v)) vektorértékű függvények (felületeket) paramétervonalait: uv (, ) = cosu cosv a, yuv (, ) cosu sinv, u π π =, v [0,π] zuv (, ) = sinu uv (, ) = ( + cos u) cosv yuv (, ) = ( + cos u) sinv, u π π, v [0,π] zuv (, ) = sinu uv (, ) = cosv yuv (, ) = sinv zuv (, ) = u uv (, ) = u yuv (, ) = v zuv (, ) = uv 9.8. Határozza meg a következő kétváltozós függvények szintvonalait és a paramétervonalait: a, f (, y) = y f(,y) = 4- -y f(,y) = f(,y) = -5y- f(,y) = y f, f(,y) = y f (, y) = h, f(,y) = sin y i, f(,y) = +y
9.9. Határozza meg a következő háromváltozós függvények szintfelületeit: a, f(,y,z) = +y f (, y,z) = y z f(,y,z) = +y+z f (, y, z) f (, y,z) = + y + z y y = + f, f (, y, z) = + + z 4 9 4 9 9.0.Határozza meg a valós számok azon legbővebb részhalmazát, melyen az alábbi függvények értemezhetők: a, sin + 4 lg lg( ) lg (cos ) lg ln ( -6) f, arcsin h, + 5 + 6 lg 5 0 + 6 i, lg( -5+4) j, arcth ( -) k, 0 lg ln l, arcsin + 7 5 + m, lg (sin ) n, + o, + arth p, + arth q, arcth (log ) r, arcsin + 4 9..Határozza meg az R halmaz azon legbővebb részhalmazát, melyen az alábbi R R függvények értelmezhetők: a, f (, y) = y f(,y) = arcsin(-y) arccos(+y) f(,y) = ln (+y+) 9..Számítsa ki a következő kifejezések pontos értékét a trigonometrikus és a hiperbolikus függvényekre vonatkozó azonosságok felhasználásával: a, sh (arsh - arch) sin (arctg5) cos (arctg0,5 - arcsin0,7) sin (arch) ch (ln) f, th (arsh0,6 + arch,) cos (arcsin (-/)) h, arch5 sh i, arcth, ch j, tg (arctg+arctg) k, arcsin + arccos
9..Az azonosságok felhasználásával hozza olyan alakra az alábbi kifejezéseket, amelyben nem szerepelnek trigonometrikus ill. hiperbolikus függvények,: a, sh (ln ) cos (arcsin) th (arch) sin (arctg - arcsin) sh (arth) f, e arth e arch 9.4.Oldja meg a következő trigonometrikus egyenleteket: a, tg = ctg - sin = sin = cos sin π = sin + = cos f, cos = π tg = h, ctg = i, sin = cos 6 j, sin = cos 9.5.Határozza meg a következő függvények inverzét a megadott intervallumon: a, f() = + log ( + ), ]-, [ j, f() = log 0,5 (4+6) 8, ]-/, [ 6 () = log, [-/, [ + f f () + k, + 5 f () = 6e + 4, ]5, [ =, ]0, [ l, f () = arch, [, [ f () = arch, [, [ m, f () = ch( + 4), [0, [ f () = +, [, [ n, + 4 f () =, [-/4, [ 4 + + 4 f, π f () = tg, π π π, o, f()=arccos(0,5-)+, 4, 4 4 4 f () = th +, R p, f () = arth + 5, [, [ 5 h, + f () = ln, ]-,[ q, f() = e +, R i, f() = - 0, R 9.6.Határozza meg a következő polinomok zérushelyeit, előjelét és a határértékét a (+ )-ben és a (- )-ben, továbbá a kapott eredmények felhasználásával vázolja a függvényeket! (Egyes polinomoknál néhány gyök meg van adva, ezek a számolásban felhasználhatók):
polinom ismert gyök(ök) a, P() = - + 6 + 05 P() = 4 + + 9 P() = - - 6 P() = -6 5 + 6 4 + 40 P() = 4 - + 6 f, P() = 6-9 - 6 P() = - 5 + 4 + - 8 + 96 =, = h, P() = 4 + - 65-9 + 504 =, = - i, P() = 4 + 8 + 8 + 6 + 5 = -5 j, P() = 4-0 - - 0 - k, P() = 5 + 4-75 + 69 + 7-5 9.7.Határozza meg a következő racionális törtfüggvények zéróhelyeit, szakadási helyeit és a határétéket a (+ )-ben, a (- )-ben és a szakadási helyek jobb és bal oldalán, továbbá a kapott eredmények felhasználásával vázolja a függvényeket! a, f() = + 0 f() = + + 4 + f() = 4 + f() = + 4 f() = 4 6 + 8 4 + f, f() = + f() = + + 4 + 4 h, f() = 5 4 + 6 + + 8 6 i, f() = 6+ 9 j, f() = + + k, f() = 4 0 9