. feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk ki fiút, és keressük ekik eg-eg lát. fiúból -et C! 4!! féleképpe tuduk kiválasztai. 4! fiúhoz kell választai lát úg, hog a számít a sorred. Ezt V4 féleképpe! tudjuk megtei. Mivel mide fiú kiválasztáshoz meg kell szorozi V4 -tel. V 4 féleképpe lehet lát választai, ezért a végeredmé: C V 4 330 980 5080400 C -t Megjegzés Ugaerre az eredmére jutuk, ha először lát választuk ki, majd a sorred figelembevételével választuk hozzá fiút. feti godolatmeettel midkét megoldás teljes értékű.
. feladat: Eg autógárba a fémlemezeket két és B hegerrel hegerelik. z a heger cm, a b heger 0 cm átmérőjű. Mivel azoba úg ítélik meg, hog ez kevés, ezért még eg c hegert is hozzáépíteek a következő módo: Midhárom heger ériti egmást, valamit ha a hegerek középpotjait redre, B, C-vel jelöljük, akkor BC szög éppe 0 -os lesz. Készítse vázlatrajzot a hegerek keresztmetszetéről és számítsa ki, hog mekkora a harmadik heger átmérője? ( lemezvastagság elhaagolható.) Heles vázlatrajz készítés: a 3 c 3 0 0 BC háromszögre felírva a kosziusz tételt a következő egeletet kapjuk: C 0 5 3 3 5 3 3 5 cos 0 5 5 B b (0 pot) 0 5 9 4 3 0 5 3 8 3 Tehát a harmadik heger átmérője 4 cm.
3. feladat: Számítsa ki értékét, ha log 3 log log 5 5 5 (5 pot) logaritmus defiíciójából adódik, hog: 3 0, azaz 3, amiből 3, valamit, 0 lkalmazva a logaritmus azoosságait a következő azoossághoz jutuk: log 3 log 4 5 5 logaritmus függvé szigorú mootoitása miatt: 3 4 9 4 0 9 0 9 9 0 9 0 9 0 (5 pot lépésekét pot) Ie 0 vag 9 0 z 0 egeletből azt kapjuk, hog, amiből, ami em lehet, hisze az 3 kell teljesüli. z 9 0 egeletből viszot azt kapjuk, hog 9, amiből 9 és ez megfelel a kiidulási feltételükek.
4. feladat: Eg mértai sorozat első eleme 3, -edik eleme 3. z első elem reciprok értékeiek összege 8. Számítsa ki a sorozat első eleméek összegét! (0 pot) mértai sorozatról tudjuk, hog a 3 és a 3, azaz a a q q. 3 s a a q a q a q a q q q sorozat első eleméek összege s 3 q q q sorozat első eleméek reciprokösszege: q q q ( pot) 3 3q 3q 3q 3q feltétel szerit: 3 8 q q q, amiből 8 3 q q q. (4 pot) Tehát: s q q q 3 3 8 3 3 (4 pot)
5. feladat: derékszögű Descartes-féle koordiáta redszerbe mekkora területet fedek le azo, potok, amelek teljesítik az 0 egelőtleséget. Vizsgáljuk meg az egelőtleség bal oldalát az abszolútérték defiíciója alapjá., ha 0, ha 0 (0 pot) Ha 0, akkor, azaz 0 egelőtleséghez jutuk. djuk midkét oldalhoz -et: (5 pot) mit megfelelőe átalakítva kapjuk, hog Ezt az egelőtleséget az ;0 középpotú, sugarú kör körvoala és a körvoalo belül lévő potok elégítik ki. Eek területe: r Ha 0, akkor, azaz 0 djuk midkét oldalhoz -et: mit megfelelőe átalakítva kapjuk, hog Ezt az egelőtleséget az ;0 középpotú, sugarú kör körvoala és a körvoalo belül lévő potok elégítik ki. Eek területe: r Tehát a koordiáta redszerbe azo ; potpárok halmazáak területe, amelek kielégítik az 0 egelőtleséget.
. feladat: Eg távoli jövőbe, a föld kerigési páláját keresztezi eg kisbolgó pálája. Mei a valószíűsége aak, hog a keresztezési pothoz legalább 0 perc külöbséggel érkezek, ha az előzetes számítások szerit már tudják, hog greewichi középidő (GMT) szerit a keresztezési pothoz 0:00 és 0:30 között érkezik a két bolgó? (5 pot) Jelöljük a föld érkezési idejét -szel, a kisbolgó érkezési idejét -al. Íg a feladatba szereplő kérdést úg is megfogalmazhatjuk, hog mei a valószíűsége aak, hog eg félórás időitervallumba véletleszerűe kiválasztva két potot, a két pot távolsága agobb, mit 0 perc, azaz agobb mit óra. véletleszerűe kiválasztott két időpotot reprezetálhatjuk Descartes-féle koordiátaredszerbe ; potjával. Íg az elemi eseméek halmaza a koordiátaredszer azo potja, amire feáll, hog 0, és koordiátaredszerbe eg égzetet határoz meg H [lásd később]. 0. Ez a kedvező eseméek pedig azo potok leszek, amire feáll, hog lkalmazva az abszolútérték defiícióját, azt kapjuk, hog Ie azt kapjuk, hog, illetve. illetve (5 pot) (4 pot) (4 pot) Tehát a kedvező eseméek a égzete belül azok a potok leszek, amelekre teljesül a feti két egelőség.
z előbbi két egelőséget tekithetjük két lieáris függvéek is, íg a kedvező eseméeket jelető potok azok leszek, amelek az felett vaak. függvé alatt illetve a (4 pot) kedvező eseteket a szürkére szíezett háromszögek területe szimbolizálja. Íg a keresett valószíűség: t t H Eg kisháromszög területe: 3. két háromszög területe: 8 8 ak a valószíűsége, hog a két bolgó között lesz legalább 0 perc külöbség: 8 4 8 4 8 8 8 9 4