Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat mootoitás szempotjából!(a tétel alapjá, em elegedő a sorozat éháy eleméek kiszámolása) (a) a = +1 + [a sorozat szigorúa mooto ő (b) a = + 1+ [a sorozat szigorúa mooto csökke (c) B a = +7 1 [a sorozat szigorúa mooto csökke (d) B a = +4 [a sorozat szigorúa mooto ő (e) B a = 1 [a sorozat szigorúa mooto csökke (f) B a = 1+ [a sorozat szigorúa mooto ő (g) B a = 4 [a sorozat szigorúa mooto csökke 4. Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat mootoitás szempotjából (elegedő a sorozat éháy eleméek kiszámolása) és korlátosság szempotjából! ( ) (a) B,V a = 1 4 [a sorozat em mooto; legagyobb alsó korlát: k= 1 1 4 ; legkisebb felső korlát:k= 16 ; a sorozat korlátos (b) B,V a = ( 4) [a sorozat em mooto; legagyobb alsó korlát:ics; legkisebb felső korlát:ics; a sorozat em korlátos (c) B,V a = [a sorozat szigorúa mooto ő; legagyobb alsó korlát: k= ; legkisebb felső korlát:ics; a sorozat em korlátos (d) B,V a = 4 [a sorozat szigorúa mooto csökke;legagyobb alsó korlát:ics; legkisebb felső korlát:k= 1; a sorozat em korlátos. Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat kovergecia szempotjából! ( ) (a) B a = 1 [a sorozat koverges (b) B a = ( 4) (c) B a =
Bodó Beáta (d) B a = 4 6. Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat mootoitás szempotjából (a tétel alapjá, em elegedő a sorozat éháy eleméek kiszámolása) és korlátosság szempotjából! (a) V a = 4 7 [szigorúa mooto ő; legagyobb alsó korlát: k= 1 ; legkisebb felső korlát:k= 4 7 ; a sorozat korlátos (b) V a = +4 1 [szigorúa mooto csökke; legagyobb alsó korlát: k= ; legkisebb felső korlát:k= 7 4 ; a sorozat korlátos (c) V a = 8 [szigorúa mooto ő; legagyobb alsó korlát:k = 1; legkisebb felső korlát:ics; a sorozat em korlátos (d) V a = [szigorúa mooto csökke; legagyobb alsó korlát:ics; legkisebb felső korlát:k= ; a sorozat em korlátos 7. Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat kovergecia szempotjából! Ha a sorozat koverges, adja meg azt az N 0 küszöbszámot, amelytől kezdve a sorozat elemei a határérték ε = 10 sugarú köryezeté belül esek! (a) V a = 1 4 [a sorozat koverges, N 0 = 1 (b) V a = 6 + + (c) V a = 8 10 + [a sorozat koverges, N 0 = (d) V a = 4+1 [a sorozat koverges, N 0 = 87 (e) V a = 4 +8 +7 8. Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat mootoitás szempotjából (a tétel alapjá, em elegedő a sorozat éháy eleméek kiszámolása) és korlátosság szempotjából! Ha a sorozat koverges, adja meg azt az N 0 küszöbszámot, amelytől kezdve a sorozat elemei a határérték ε = 10 sugarú köryezeté belül esek! (a) V a = 7 4 [a sorozat szigorúa mooto csökke; legagyobb alsó korlát: k= 7 ; legkisebb felső korlát:k=, a sorozat korlátos, a sorozat koverges, N 0 = 10
Bodó Beáta (b) V a = 1+ [a sorozat szigorúa mooto ő; legagyobb alsó korlát:k= 0; legkisebb felső korlát:k=, a sorozat korlátos, a sorozat koverges,n 0 = 888 (c) V a = +1 [a sorozat szigorúa mooto ő; legagyobb alsó korlát:k= 4; legkisebb felső korlát:ics, a sorozat em korlátos, a sorozat diverges. V Vizsgálja meg az a = 1 sorozatot mootoitás szempotjából (a tétel alapjá, em elegedő a sorozat éháy eleméek kiszámolása) és korlátosság szempotjából! Ha a sorozat koverges, adja meg azt az N 0 küszöbszámot, amelytől kezdve a sorozat elemei a határérték ε = 10 4 sugarú köryezeté belül esek! [szigorúa mooto csökke; legagyobb alsó korlát: k= 1 ; legkisebb felső korlát:k=, a sorozat korlátos,a sorozat koverges, N 0 = 1 10. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét! (a) a = + 4 8 (b) a = 4 + 7 4 (c) a = 4 + 1 (d) a = (e) B a = 7 4 6 (f) B a = 6 7 + 8 (g) B a = 6 + 4 (h) B (i) B (j) B,V a = [ 7 + 8 4 + 4 + 7 [0 a = ( 4) + [ a = ( ) 4 1 7 (k) B,V a = ( 6 ) + + 4 + [0 (l) B,V a = ( + 1)( + ) ( 1) [ (m) B,V a = ( 1)( + 1) ( + 4) [ 11. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét! (a) B a = + 7 6 + [
Bodó Beáta 4 (b) B a = + 6 (c) B a = + 4 6 (d) B a = + 4 + 8 + (e) B a = + 6 + 8 1 11 (f) B a = 6 + 1 + 7 + (g) B a = + 4 6 + 4 1 4 16 (h) B a = 7 + 6 4 + 4 (i) B a = 8 + 4 6 + 8 1 (j) B a = 4 + + (k) B a = + (l) B a = 4 + 1 + (m) B a = [0 [ 8 [ + 6 [0 [10 [ 1 1 4 7 [0 () V a = + (o) V a = 4 + + 6 + 8 1 (p) V a = 4 + 4 + 16 4 (r) V a = 6 + 7 + 6 4 10 + 6 [0 1. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét! [ 1 (a) a = (b) a = 10 4 (c) a = (d) a = + 4 4
Bodó Beáta (e) a = 8 + 4 8 [ 1 4 (f) a = + 7 + 8 [0 (g) a = +1 + [ + (h) B a = + 10 + [0 (i) B (j) B (k) B (l) B a = 4 10 10 8 7 a = +1 8 1+ +1 [ 0 a = 4+1 + 6 + 6 1 [ 1 6 a = +1 + + + [ 1 4 (m) B a = 7 + + 8 + 1 + + [ () B a = + 4 +1 4 1 + + (o) B a = + +1 + 1+ [0 (p) B a = 1 + + +1 4 +1 1. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét! (a) V a = 4+1 + + 7 4 + 1 (b) V a = 4 +1 + 4 1+ [ 0 (c) V a = + +1 7 8 + + [0 (d) V a = + 6 6 +1 6 + 1 (e) V a = 4+ + 1 7 +1 + 4+ [ 4 (f) V a = 6 + + +7 1 (g) V a = + 4 4+1 [ 1
Bodó Beáta 6 14. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét! ( ) [e (a) a = 1 + ( ) (b) a = 1 6 [e 6 = 1 e 6 ( ) 1 [1 (c) a = 1 + 7 1 = 1 ( ( ) (d) B a = 1 + ) + [1 7 + 0 = 1 ( 100 ( ) (e) B a = 1 + ) 8 [1 8 100 = ( ( ) (f) B a = 1 + ) + 1 [e + = ( ( ) [ (g) B a = 1 + ) 6 1 0 = 1 e 6 e 6 ( 10 ( ) (h) B,V a = 7 1 + ) [7 1 10 = 7 = ( ( ) [ (i) B,V a = 1 + ) + 1 = e e ( ( ) (j) B,V a = 1 + ) + 6 1 [ e + 6 = ( ( ) [ (k) B,V a = 1 ) 8 1 0 = e e ( ) ( ) (l) B,V a = 6 1 + 7 8 4 [6e 11 7 8 = ( ) [ (m) B,V a = 7 1 11 + 4 4 7e 11 + 4 0 = 7 e 11 1. B Az alábbi sorok közül melyik geometriai sor? ( ) k, 4 k, 4 k, ( ) k [ ( ) kkvócies:q 4 = 4, ( ) k kvócies:q = 16. B Az alábbi geometriai sorok közül melyik koverges? ( ) k 1 ( ) 4 7 8 k (, 4, 4 1 k 1, 7) [ ( ) k 1 4, q =, ( ) k 1 4 1 7, q = 1 7, 8 0, k 8 0, k, q = 0, ( 17. Dötse el, hogy a alábbi sorok kovergesek-e! Ha ige, adja meg a sor összegét! S = ) a 1 q (a) B,V (b) B,V ( ) k 8 [q =,a sor em koverges ( ) 7 k 1 [q = 7, S =
Bodó Beáta 7 (c) B,V (d) B,V k 1 [ 8 = ( 1 k 1 ) k 1, q = 1, S = 7, ( ) k [q =, S = 16 7 18. V 18 éve keresztül mide év elejé beteszek a bakba 70 000 Ft-ot. A 18. év végé meyi pézt sikerül összegyűjtei, ha az éves kamatláb 4%? [70 000 1, 04 + 70 000.1, 04 +... + 70 000 1, 04 18, 1 866 86F t 1. V 0 éve keresztül mide év elejé beteszek a bakba 10 000 Ft-ot. A 0. év végé meyi pézt sikerül összegyűjtei, ha az éves kamatláb,%? [ 6 1 Ft 0. V Egy kis vállalkozás jauári yeresége 00 000 Ft volt. A körülméyek úgy alakultak, hogy az év hátralévő részébe, mide hóapba a yereség az előző hóaphoz képest %-kal csökket. Meyi volt a teljes éves yereség? [00 000 + 00 000 0, +... + 00 000 0, 11, 4 6 F t 1. V Egy fakitermeléssel foglalkozó cég az egyik évbe 000 m fát vágott ki. A következő 8 évbe a termelés évete %-kal csökket az előző évhez képest. Háy m fát vágtak ki a év alatt összese? [07 81, m