Hasznos korrelációk kötötten összefonódott állapotokból Vértesi Tamás Atomki, Debrecen Nicolas Brunnerrel, Pál Károllal és Tóth Gézával közös munkák alapján SZTE Elméleti Fizikai Tanszék, 2019. március 14.
Absztrakt A kötötten összefonódottság eg nagon genge formáját képviseli az összefonódott állapotoknak. Ezen állapotok olannira gengén összefontak, hog végtelen számú példánukból sem nerhető ki tiszta összefonódottság. Ennek ellenére hasznosnak bizonulnak a kvantumos kulcskiosztásban, vag metrológiai feladatokban. Ebben az előadásban megmutatjuk, hog a kötötten összefonódott állapotokat Bell-egenlőtlenségek sértésére is lehet használni. Ez egúttal ellenpéldát ad Asher Peres sejtésére. Az eredménünk a kvantuminformatika eszközfüggetlen alkalmazásaiban is hasznosulhatnak.
Tartalom 1. (Kötött) összefonódottság 2. Bell-nemlokalitás 3. Összefonódottság / nemlokalitás 4. Más nemlokalitás tesztek 5. Peres-sejtés 6. Ellenpélda 7. Nitott problémák
1. (Kötött) összefonódottság Eg kétrészű állapot szeparálható: ρ = ρ λ AB pλ A λ ρ λ B Az állapot összefonódott, hog ha nem írható fel a fenti formában.
1. (Kötött) összefonódottság A szinglet állapot eg tiszta állapot, amel két kvantumbit maximálisan összefonódott állapota: Ψ = 0 1 1 2 0 Kísérleti körülmének között a zaj elkerülhetetlen, íg csak a tiszta állapotok keveréke valósul meg. Azonban a kvantuminformatikai protokollok jellemzően a szinglet állapotra épülnek, mint erőforrásra. Pl. kriptográfia, teleportáció. Létezik-e megoldás erre a problémára?
1. (Kötött) összefonódottság Alice és Bob k példánát osztja meg eg állapotnak: ρ AB kevert k Alice Bob
1. (Kötött) összefonódottság Ezután eg desztillációs eljárást végeznek el (LOCC = lokális műveletek és klasszikus kommunikáció): k m Alice Bob Alice Bob
1. (Kötött) összefonódottság k m Alice Bob Alice Bob Ennek eredméneképpen, m<k példánát kapják meg a szinglet állapotnak, amelet már felhasználhatnak kvantuminformatikai célokra.
1. Kötött összefonódottság ρ AB Minden két-kvantumbites (kétqubites) összefonódott állapotból desztillálható szinglet állapot a fenti desztillációs eljárással. Vajon igaz lesz-e ez magasabb dimenziós rendszerek esetén is?
1. Kötött összefonódottság ρ AB Minden két-kvantumbites (kétqubites) összefonódott állapotból desztillálható szinglet állapot a fenti desztillációs eljárással. Vajon igaz lesz-e ez magasabb dimenziós rendszerek esetén is? Horodeckiék 1998-ban megmutatták, hog nincs íg. Találtak olan zajos, gengén összefonódott állapotokat, amelekből nem lehet szinglet állapotot kinerni desztillációs eljárással (vagis LOCC műveletekkel). Ezen állapotokat kötötten összefonódott állapotoknak nevezzük. Erre a legegszerűbb példa eg 3x3 dimenziós állapot, amel az ún. UPB-konstrukción alapszik.
1. Kötött összefonódottság ρ AB Adott eg összefonódott állapot. Hogan dönthető el, hog desztillálható-e vag sem (vagis az állapot kötötten összefonódott-e)? Ez eg nehéz kérdés, mivel nem létezik eg általános recept a desztillációs eljárásra: bármilen LOCC művelet megengedett, illetve az állapot példánainak a száma is tetszőleges lehet.
1. Kötött összefonódottság Eg elégséges, gakorlatban können igazolható feltétel mégis adható a nem-desztillálhatóságra. Ez a feltétel a részleges transzponálás (Partial Transpose) műveleten alapszik: PT ( ρ ) = ( I )( ) AB TB ρ AB Ha eg állapoton a fenti PT-műveletet elvégezve, az állapot pozitív marad (vagis az állapot eg fizikai állapotba kerül vissza), akkor biztosan nem desztillálható. Az ilen állapotokat PPT kötötten összefonódott állapotoknak nevezzük.
1. Kötött összefonódottság Hasznosak-e a kötötten összefonódott állapotok?
1. Kötött összefonódottság Hasznosak-e a kötötten összefonódott állapotok? Igen, például: Kvantumkulcs-kiosztásban (Horodecki et al.: Secure ke from bound entanglement, PRL 2005). Adatelrejtésben: ún. private állapotokhoz tetszőlegesen közeli PPT kötötten összefonódott állapotok állíthatók elő. Ilen típusú PPT állapotokból sok kulcsot lehet gártani. (L. Lami, C. Palazuelos, and A. Winter: Ultimate data hiding in quantum mechanics and beond, 2018). Metrológiában, lineáris interferométerekben.
1. Kötött összefonódottság Metrológia: ρ U ( ) iaθ θ = e ρ θ M A feladat a (kicsi) θ paraméter becslése a dimanikában. Azt mondjuk, hog a ρ állapot hasznos, hog ha bármel szeparálható állapotnál pontosabb becslést tudunk vele elérni adott A mellett. (G. Tóth and T. Vértesi: Quantum states with a positive partial tranpose are useful in metrolog, PRL 18)
1. Kötött összefonódottság Kérdés: Az előbbi példákon túl hasznosak lehetnek-e a kötötten összefonódott állapotok a nemlokális korrelációk keltésében? Lehet-e segítségükkel olan korrelációkat előállítani, amelek klasszikusan nem szimulálhatóak? Nevezetesen, lehet-e velük Bell-egenlőtlenséget sérteni? A következő diákon ezt fogjuk megvizsgálni.
2. Bell-nemlokalitás Kísérleti Bell-féle elrendezés: Távoli felhasználók (Alice és Bob) m különböző mérést végezhet, és minden mérésnek r különböző kimenetele lehet. Alice x=0,,m-1 ρ AB =0,,m-1 Bob a=0,,r-1 b=0,,r-1 Kísérletből kinerhető adat: P(a,b x,) J.S. Bell: On the einstein-podols-rosen paradox, 1964
2. Bell-nemlokalitás Eg optikai Bell-kísérlet elrendezése (2 be, 3 kimenet, 2 qutrit): Forrás: X.M. Hu, B.H. Liu, Y. Guo, G.Y. Xiang, Y.F. Huang, C.F. Li, G.C. Guo, M. Kleinmann, T. Vértesi, A. Cabello: Observation of strongerthan-binar correlations with entangled photonic qutrits, PRL 18
2. Bell-nemlokalitás Kísérleti Bell-féle elrendezés: kvantumos eset. Alice x=0,,m-1 ρ AB =0,,m-1 Bob a=0,,r-1 b=0,,r-1 P(a,b x,) A lehetséges kvantumkorrelációk: ( M M ) P ( a, b x, ) tr AB a x b = ρ
2. Bell-nemlokalitás Kísérleti Bell-féle elrendezés: klasszikus eset eg közös véletlen változó. Λ Alice x=0,,m-1 Λ =0,,m-1 Bob a=0,,r-1 b=0,,r-1 P(a,b x,) A lehetséges lokális korrelációk: λ ( a x, λ) P( b λ) P( a, b x, ) = p λ P,
2. Bell-nemlokalitás A P(a,b x,) valószínűségi eloszlást nemlokálisnak nevezzük, hog ha az előbbi alakban nem írható fel. Mi ennek a jelentése? Λ eg közös véletlen változó, ami külön-külön befolásolja az A és B heli eloszlásokat. P ( a, b x, ) = tr ρ M a x M ρ AB Uganakkor, ha a AB nemlokális, akkor azt mondjuk, hog a nemlokális. ( ) b eloszlás állapot
2. Bell-nemlokalitás λ ( a x, λ) P( b λ) P( a, b x, ) = p λ P, Geometriailag, a lehetséges lokális eloszlások L halmaza véges számú pontnak a konvex burka. Vagis L eg politópot határoz meg. A politóp D i csúcsai az ún. determinisztikus stratégiákhoz tartoznak. Ilenkor a p λ súlok a 0/1 értékeket vehetik fel. D1 D2 L D i
2. Bell-nemlokalitás λ ( a x, λ) P( b λ) P( a, b x, ) = p λ P, Geometriailag, a lehetséges lokális eloszlások L halmaza véges számú pontnak a konvex burka. Vagis L eg politópot határoz meg. A politóp D i csúcsai az ún. determinisztikus stratégiákhoz tartoznak. Ilenkor a p λ súlok a 0/1 értékeket vehetik fel. A Bell-egenlőtlenségek ezen lokális korrelációk halmazát határoló félsíkok. L
2. Bell-nemlokalitás λ ( a x, λ) P( b λ) P( a, b x, ) = p λ P, Az ábrán a Bell-egenlőtlenség a P korrelációt nemlokálisnak detektálja. P (ab x) L
3. Összefonódottság / nemlokalitás Szeparálható állapot mindig felírható ilen formában:. Alice és Bob méréseket végeznek az állapot hozzájuk tartozó felén. Az ebből származó korrelációk matematikailag íg írhatóak: amel utóbbi képlet pontosan a korrelációk lokális formáját adja meg. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ ρ ρ ρ ρ ρ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ,, tr tr tr tr B A b P x a P p M M p M M p M M b x a b x a B A b x a AB = = = = λ λ λ λ ρ ρ ρ B A AB p = ),, ( x b a P
3. Összefonódottság / nemlokalitás Megfordítva a fenti eredmént, azt kapjuk, hog nemlokális korrelációk észlelése összefonódottság jelenlétére utal. Bell-nemlokális korrelációk Kvantumösszefonódottság
3. Összefonódottság / nemlokalitás Megfordítva a fenti eredmént, azt kapjuk, hog nemlokális korrelációk észlelése összefonódottság jelenlétére utal. Bell-nemlokális korrelációk Kvantumösszefonódottság Ez példa az összefonódottság ún. eszközfüggetlen észlelésére: Összefonódottság megléte igazolható anélkül, hog a két kísérletező, Alice és Bob, ismerné a mérőműszerei működésének részleteit.
3. Összefonódottság / nemlokalitás Megfordítható-e a fenti irán?? Bell-nemlokális korrelációk Kvantumösszefonódottság
3. Összefonódottság / nemlokalitás Tiszta állapotokra a válasz: Igen. Az egedüli tiszta állapot, amel nem sért Bellegenlőtlenséget (vagis lokális), a szorzatállapot: (Gisin 91, Popescu and Rohrlich 92): Ψ = ΨA Ψ B
3. Összefonódottság / nemlokalitás Kevert állapotokra: A válasz nem ismert.
3. Összefonódottság / nemlokalitás Példaként vegük a p paraméteres kétqubites Wernerállapotokat: ρ ( p) p Ψ Ψ + ( p) Szeparálható Lokális modell = Ebben a tartománban a I 1 2 0 1/3 5/12 1 ρ( p) I 2 p összefonódott, de lokális.
3. Összefonódottság / nemlokalitás A fenti Bell-féle elrendezésben csak egszeri méréseket feltételezünk, és ezek is csak ρ p egetlen példánán hatnak. ( ) ( ) Lehetséges-e a ρ p nemlokális tartománát kibővíteni azáltal, hog ennél általánosabb elrendezést tekintünk? A következőkben ilen általánosított Bell-féle teszteket mutatunk be.
4. Nemlokalitás tesztek Sok példán: Alice és Bob egüttes méréseket végezhet a állapot több példánán. ρ AB x ρ k AB Alice a Bob a P(a,b x,) b k ( ρ M ) AB M a x b = tr
4. Nemlokalitás tesztek Sok példán: Ha P(a,b x,) nemlokális, akkor azt mondjuk, hog k-cop nemlokális. ρ AB x ρ k AB Alice a Bob a P(a,b x,) b k ( ρ M ) AB M a x b = tr
4. Nemlokalitás tesztek Sok példán: Palazuelos (PRL, 2012) a Khot-Vishnoi játékon alapuló Bell-egenlőtlenség segítségével mutat ki nemlokalitás aktiválását. Palazuelos munkáját továbbfejlesztve megmutatható, hog bármel összefonódott kétqubites Werner állapot k-cop nemlokális (D. Cavalcanti, A. Acin, N. Brunner, T. Vértesi, PRA 2013): Szeparálható Lokális model A nemlokalitás itt aktiválható k-cop nemlokalitás 0 1/3 5/12 1 p
4. Nemlokalitás tesztek Szűrés: Rejtett nemlokalitás kimutatása (Popescu 1995, Gisin 1996). x Alice ρ AB Bob a 2 a 1 b 1 b 2 p(a,b x,, a =0,b =0) 1 1 Egetlen mérés helett most Alice és Bob mérések sorozatát végezheti az állapoton (tipikusan kettőt egmás után). Amenniben az első mérések sikeresek voltak, utána eg hagomános Bell-féle kísérletet végeznek.
4. Nemlokalitás tesztek Szűrés: Rejtett nemlokalitás (Popescu 95, Gisin 96). x Alice ρ AB Bob a 2 a 1 b 1 b 2 p(a,b x,,a =0,b =0) 1 1 Hirsch et al. (PRL, 2013) valódi rejtett nemlokalitásra ad példát: Eg olan kétqubites állapotot találnak, amelre lokális modell adható a hagomános Bell-féle elrendezésben, de Bell-egenlőtlenséget sért, ha előtte szűrést hajtunk végre az állapoton.
4. Nemlokalitás tesztek Sok példán és szűrés egütt: = Összefonódottság desztillációja.
4. Nemlokalitás tesztek Sok példán és szűrés egütt: = Összefonódottság desztillációja. Emiatt: Bármel desztillálhatóan összefonódott állapotból kinerhető a szinglet állapot, amel használható Bellnemlokális korrelációk keltésére. De léteznek kötötten összefonódott állapotok, amelekből nem nerhető ki desztillációval összefonódottság. Vajon mit mondhatunk ezen állapotok nemlokalitásáról? Sérthetnek-e Bell-egenlőtlenséget? Erre vonatkozik a következő dián Asher Peres sejtése.
5. Peres-sejtés Sejtés: Minden nem-desztillálható állapot rendelkezik lokális modellel (A. Peres, Foundations of Phsics 29, 589-614 (1999)), íg ezen állapotok nem sérthetnek Bellegenlőtlenséget: Note that there exist inseparable quantum states that cannot be distilled into singlets. In particular, quantum states whose partial transpose has no negative eigenvalue have that propert. Thus, if the preceding conjectures are correct, it follows that these peculiar inseparable quantum states violate no Bell inequalit, and therefore, owing to Farkas s lemma, their statistical properties are compatible with the existence of local objective variables.
5. Peres-sejtés Peres mellett: o A CHSH-Bell-egenlőtlenség csakis desztillálható állapotokkal sérthető (Acin 01, Masanes 06). Uganez vonatkozik a CHSH-nak kettőnél több résztvevős általánosítására is, az ún. Mermin-féle Bellegenlőtlenségekre. Tehát ezen egenlőtlenségek nem sérthetőek PPT kötötten összefonódott állapotokkal.
5. Peres-sejtés Peres mellett: o Moroder et al. (PRL, 2013) eg numerikus módszert közölt, amel tetszőleges Bell-egenlőtlenségnek PPT kötötten összefonódott állapotokkal való sértésére ad felső korlátot. Ezen tanulmánban több száz Bellegenlőtlenség ilen módon való sérülését sikerült kizárni.
5. Peres-sejtés Peres mellett: o Puse sejtése (2013): kötötten összefonódott állapotok nem hasznosak az EPR steering (állapotok kormánozhatósága) jelenségében. Az EPR steering a Bell-féle nemlokalitás eg gengébb formájának tekinthető. Íg ezen sejtés a Peres eredeti sejtésénél még erősebb feltételt ad a kötötten összefonódott állapotokkal elérhető korrelációk erősségére.
5. Peres-sejtés Peres ellen: Peres sejtése nem igaz három részrendszer esetében: A A A B C B C B C Eg olan 3 qubites összefonódott állapotot találtunk, amel minden kétrészű osztásra nézve szeparálható (Vértesi & Brunner, PRL 2012). Emiatt ebből az állapotból nem desztillálható kétrészű összefonódottság.
5. Peres-sejtés Uganakkor megfelelő mérések mellett, ezen 3 qubites állapot sérti az egik Sliwa-féle Bell-egenlőtlenséget: [ A + A B A B A B C A B C + A B C ] 3 Sm 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 Itt a korrelátorokat a következőképpen definiáltuk: A x B C z = a, b, c=± 1 abc P ( a, b, c x,, z) A sértés mértéke: Q = 3.0187. Vagis a fenti 3 qubites kötötten összefonódott állapot Bell-nemlokális.
5. Peres-sejtés Peres ellen: Nem sokkal Puse 2013-as sejtése után (amel a Peres sejtését erősítette), sikerült azt megcáfolni (Moroder, Gittsovich, Huber, Gühne, PRL, 2014). Eg olan PPT kötötten összefonódott állapotot találtak, amel sért eg EPR-steering egenlőtlenséget. Ebben az elrendezésben Bob mérései teljesen karakterizáltak, míg Alice mérései fekete doboznak tekinthetőek (vagis ez eg hibrid, vag félig-eszközfüggetlen elrendezés).
6. Ellenpélda Mit mondhatunk a teljesen eszközfüggetlen esetről, amikor mindkét fél eszközei fekete dobozok? Peres eredeti sejtése erre a kétrészű Bell-féle elrendezésre vonatkozik. A következő ellenpéldát találtuk. Konkrétan eg 3x3 dimenziós PPT kötötten összefonódott állapotot adtunk meg, amel sért eg kétrészű Bell-egenlőtlenséget. [T. Vértesi and N. Brunner: Disproving the Peres conjecture b showing Bell nonlocalit from bound entanglement, Nat. Commun. 2014]
6. Ellenpélda A következő ellenpéldát találtuk. Konkrétan eg 3x3 dimenziós PPT kötötten összefonódott állapotot adtunk meg, amel sért eg kétrészű Bell-egenlőtlenséget. Az állapot 4 rangú: ρ AB = i= 1 Invariáns a PT-műveletre: 4 λ i ψ i ψ i PT ( ρ AB ) = ( I TB ) ρ AB = ρ AB Ez biztosítja, hog az állapot PPT és emiatt nem desztillálható. Ezen példa minimális dimenziójú, hiszen 2x3 dimenzióban nem létezik PPT összefonódott állapot.
6. Ellenpélda Bell-egenlőtlenség (S. Pironio, 2014): x=0,1,2 =0 Alice ρ AB Bob a=0,1 b=0,1,2 P(a,b x,)
6. Ellenpélda Bell-egenlőtlenség (S. Pironio, 2014): x=0,1,2 =1 Alice ρ AB Bob a=0,1 b=0,1 P(a,b x,)
6. Ellenpélda Bell-egenlőtlenség (S. Pironio, 2014): x=0,1,2 =1 Alice ρ AB Bob a=0,1 P(a,b x,) b=0,1 Bellegenlőtlenség: I = p + A p ( 0 2) 2 pb ( 0 1) p( 01 00) p( 00 10) + p( 00 20) ( 01 20) + p( 00 01) + p( 00 11) + p( 00 21) I <= 0 teljesül bármel lokális P(a,b x,) eloszlásra.
6. Ellenpélda Bell-egenlőtlenség (S. Pironio, 2014): x=0,1,2 =1 Alice ρ AB Bob a=0,1 b=0,1 Kvantumos esetben PPT állapotokkal: P(a,b x,) = tr ρ ( M ) PPT M a x b I PPT = 3386 + 18 42 5 131 + 45 5502 2.63144 10 43025 4
6. Ellenpélda 4 Az előbbi konstrukciónk, amelre I PPT 2.63144 10is analitikus (mind a PPT állapot és a mérések is zárt alakban megadhatóak). A Pironio-féle Bell-egenlőtlenségre lefuttatva a Moroder et al. SDP algoritmusát a következő felső korlátot kapjuk a PPT állapotokkal a maximális sértésre: max I PPT 4.8012 10 Vagis nincs kizárva, hog az analitikus eredménünknél eg kicsit nagobb Bell-sérülés is elérhető eg másik PPT állapottal (esetleg 3x3-nál magasabb dimenziós Hilberttéren). 4
6. Ellenpélda Hogan találtuk az ellenpéldát? Vegünk eg általános kétrészű Bell-kifejezést (L lokális korláttal): I = c P ( a, b x ) a, b, x,, a, b, x, L.
6. Ellenpélda Hogan találtuk az ellenpéldát? Vegünk eg általános kétrészű Bell-kifejezést (L lokális korláttal): I = c ( a, b x ) a, b, x,, a, b, x, A feladatunk ezen kifejezés maximalizálása: I PPT = c a b, x, a, b, x, P a (d x d) dimenziós állapotok körében, tetszőleges (ddimenziós) és mérési operátorokat megengedve. M a x ρ PPT, tr ρ M b L ( M M ) PPT a x b
6. Ellenpélda Iteratív eljárás: I PPT = ca, b, x, tr( ρppt M a x M b ) a, b, x,
6. Ellenpélda Iteratív eljárás: I PPT = ca, b, x, tr( ρppt M a x M b ) step 0: pick random ( M a x, M b ) a, b, x,
6. Ellenpélda step 1: ( ) PPT b x a M M ρ, step 0: pick random ( ) b x a M M, Iteratív eljárás: ( ) = x b a b x a PPT x b a PPT M M c I,,,,,, tr ρ
6. Ellenpélda Iteratív eljárás: I PPT = ca, b, x, tr( ρppt M a x M b ) step 0: pick random ( M a x, M b ) step 1: ( M a x, M b ) ρppt step 2: ( M a x, ρppt ) M b a, b, x,
6. Ellenpélda Iteratív eljárás: I PPT = ca, b, x, tr( ρppt M a x M b ) step 0: pick random ( M a x, M b ) step 1: ( M a x, M b ) ρppt step 2: ( M a x, ρppt ) M b step 3: ( M b, ρppt ) M a x a, b, x,
6. Ellenpélda Iteratív eljárás: I PPT = ca, b, x, tr( ρppt M a x M b ) step 0: pick random ( M a x, M b ) step 1: ( M a x, M b ) ρppt step 2: ( M a x, ρppt ) M b step 3: ( M b, ρppt ) M a x step 4: back to step 1 a, b, x,
6. Ellenpélda Az összefonódottság három különböző megnilvánulása közötti kapcsolat: Bell-nemlokalitás? Nem PPTtulajdonság? Desztillálhatóság
6. Ellenpélda Alkalmazási lehetőségek? ρ PPT A kötötten összefont állapotunkkal a Pironio-féle Bellegenlőtlenséget sértő statisztikából nullánál nagobb véletlenszerűség nerhető ki (setup: Pironio et al. 2010): Eve x e Alice a ρ PPT Bob Adott x-re Eve (akinek e a kimenetele) nem találhatja el minden esetben Alice (a) mérési kimenetelét. b
6. Ellenpélda Alkalmazási lehetőségek? Bármel Bell-egenlőtlenséget sértő statisztikából levezethető eg többszereplős kommunikációs probléma (Buhrman et al, PNAS 2016). Ebből a szempontból a kötötten összefont állapotok a klasszikus erőforrásokhoz képest előnösek, mivel bizonos kommunikációs protokollokban csökkenthetik a szükséges klasszikus információátvitel nagságát.
6. Ellenpélda Eredmének 3x3-nál magasabb dimenziós nemlokális kötötten összefonódott állapotokra: Yu és Oh, PRA 2017: Famil of nonlocal bound entangled states Yu és Oh tetszőleges d > 2 esetén előállít eg PPT kötötten összefonódott d x d dimenziós állapotot, amel Bellegenlőtlenséget sért. A d = 3 esetén, az állapot és az egenlőtlenség megegezik a mienkkel. A konstrukció az ún. Hard-féle elven alapszik.
6. Ellenpélda Eredmének 3x3-nál magasabb dimenziós nemlokális kötötten összefonódott állapotokra: Pál és Vértesi, PRA 2017: Famil of Bell inequalities violated b higher dimensional bound entangled states Ebben a cikkben minden véges d > 2 dimenzióra találunk eg Bell-egenlőtlenséget, amel sérthető d x d dimenziós PPT-összefonódott állapotokkal. A konstrukciónk különbözik a Yu-Oh cikkbeli eredméntől. Numerikusan d = 6 dimenzióig azt találtuk, hog ez PPT összefonódott állapotokra eg dimenziótanút határoz meg. Az a sejtésünk, hog ez az eredmén d > 6 dimenzióra is igaz marad.
6. Ellenpélda Eredmének 3x3-nál magasabb dimenziós nemlokális kötötten összefonódott állapotokra: A (d x d) dimenziós PPT-összefonódott állapotokhoz tartozó P(a,b x,) korrelációk halmaza adott d mellett konvex. Hagmahéjszerűen egmásba ágazottak: 3x3 4x4 5x5 6x6
6. Ellenpélda Eredmének 3x3-nál magasabb dimenziós nemlokális kötötten összefonódott állapotokra: A (d x d) dimenziós PPT-összefonódott állapotokhoz tartozó P(a,b x,) korrelációk halmaza. A Bell-egenlőtlenségeink olan hipersíkot határoznak meg, amel PPT-állapotok dimenzióját képes észlelni: 3x3 4x4 5x5 6x6
7. Nitott problémák Más lehetséges alkalmazások? Lehetséges-e PPT kötötten összefonódott állapotokkal kvantumkulcsot előállítani a kvantumkriptográfia eszközfüggetlen keretében? Eddigi példákban a sértés mértéke igen kicsi. Elképzelhetőe nagmértékű sértés esetleg magas dimenziós PPT összefonódott állapotokal? Van-e kapcsolat a metrológiában hasznos, kriptográfiában hasznos és Bell-nemlokális PPT összefonódott állapotok családjai között?
7. Nitott problémák Más lehetséges alkalmazások? Többrészű kiterjesztés: Létezik-e olan (N > 2)-résztvevős teljesen kötötten összefonódott állapot (vagis PPT minden kétrészű osztásra), amelre a P(a,b, x,, ) statisztika valódi N-részűen nemlokális (Svetlichn-féle értelemben, amel erősebb a Bell-féle nemlokalitásnál)? Eg lehetséges konfiguráció 3 résztvevőre: A ρppt ρppt B ρ PPT C
Köszönöm szépen a figelmet!