GRUBER TIBOR ANALÍZIS III. Folytoosság
3 Tartalom A. A RENDEZETT SZÁM N-ESEK TERE I. K N TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI 1. K N struktúrája........................ 7 2. Nyílt halmazok és zárt halmazok............... 15 3. Kompakt halmazok..................... 25 4. Összefüggő, kovex és csillagszerű halmazok........... 30 5. Részhalmazra voatkozó yíltság, zártság............ 35 II. SOROZATOK 6. Sorozatok kovergeciája................... 37 7. A kovergecia kapcsolata K N struktúrájával.......... 42 8. Kovergecia-kritériumok................... 45 9. Részsorozatok, Cauchy-sorozatok............... 48 10. Kovergecia és zártság................... 51 11. R-beli sorozatok kovergeciája............... 53 12. Alsó és felső határértékek.................. 56 13. Speciális sorozatok..................... 59 14. Kettős idexű sorozatok................... 62 III. SOROK 15. Sorok alapvető tulajdoságai................. 66 16. Speciális sorok....................... 70 17. Abszolút kovergecia.................... 73 18. Abszolútkovergecia-kritériumok.............. 76 19. Abel-kritérium, Leibiz-kritérium............... 80 20. Kettős idexű sorok..................... 82 21. Sorok szorzata....................... 84 22. Tizedestörtek. A Cator-féle halmaz............. 86 23. Függvéysorozatok, függvéysorok.............. 91 24. Hatváysorok....................... 94 25. Elemi függvéyek...................... 98
IV. FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 26. Függvéyek határértéke................... 102 27. Függvéyek folytoossága.................. 111 28. Egyeletes folytoosság, Lipschitz-tulajdoság......... 115 29. Folytoosság és kompaktság................. 116 30. Folytoosság és összefüggőség................ 118 31. Folytoos függvéyek sorozata................ 121 32. A Ludolf-féle szám (π)................... 122 B. METRIKUS TEREK. I. METRIKUS TEREK TULAJDONSÁGAI 1. Metrika, orma, skalárszorzat................. 127 2. Metrikus terek topológiája.................. 134 3. Metrika és orma leszűkítése, szorzatmetrikák, szorzatormák... 137 4. Sorozatok metrikus terekbe................. 142 5. Metrikák és ormák összehasolítása.............. 147 6. Véges dimeziós ormált terek................ 151 7. Teljessé tevés........................ 154 II. FOLYTONOS LEKÉPEZÉSEK 8. Határérték és folytoosság metrikus terekbe.......... 158 9. Kotrakciók, fixpottétel................... 166 10. Lieáris leképezések tere................... 169
5 A. A RENDEZETT SZÁM N-ESEK TERE
6 f
1. K N struktúrája 7 I. K N TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI 1. K N struktúrája 1.1. Alig va olya területe a matematika alkalmazásaiak, amelybe a valós vagy komplex számok meg e jeleéek. Sőt ige sokszor em is csak számok, haem redezett szám N-esek játszaak fotos szerepet (például az alkalmazásokba: külöféle meyiségek adott módo elredezett adatai). A valós illetve komplex számok halmazát R illetve C jelöli. Azért, hogy a valós illetve komplex számokkal kapcsolatos problémákról egységese tudjuk beszéli, bevezetjük a K szimbólumot, amely akár R-et, akár C-t jeleti. Tudjuk, hogy adott a C C, x x komplex kojugálás, és x C potosa akkor valós, ha x =x. Ezért értelmezzük a { x K K, x x ha K=C, := x ha K=R kojugálást. Hasolóa, x C potosa akkor valós, ha Re(x)=x, illetve Im(x)=0, ezért értelmezzük a ( ) formulához hasoló módo a Re:K R és Im:K R leképezéseket. A köyv első részébe K N szerkezetét és a K N -el kapcsolatos függvéyek tulajdoságait tárgyaljuk, ahol N em ulla természetes szám. Matolcsi Tamás Aalízis I. (Halmazok, számok) című jegyzetéek jelöléseit fogjuk haszáli. Többek között, mivel K N az alaphalmaz, csak eek elemeivel és részhalmazaival foglalkozuk, haszáljuk a komplemeter-halmaz fogalmát és jelölését: H := K N \H (H K N ).
N 8 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI 1.2. Defiíció Ha x=(x 1, x 2,..., x N ) és y=(y 1, y 2,..., y N ) a K N elemei és α K, akkor A x+y := (x 1 +y 1, x 2 +y 2,..., x N +y N ) αx := (αx 1, αx 2,..., αx N ). K N K N K N, K K N K N, (x, y) x+y, (α, x) αx műveleteket összeadásak, illetve számmal (skalárral) szorzásak evezzük. Legye és x K N eseté 0:=(0, 0,..., 0), x:=( 1)x. Álĺıtás A fet defiiált összeadással és számmal szorzással K N vektortér a K test felett, azaz teljesülek a következő tulajdoságok: mide x, y, z K N és α, β K eseté (A1) x+y=y+x, (A2) (x+y)+z=x+(y+z), (A3) x+0=x, (A4) x+( x)=0, (P) 1x=x, (MP) (αβ)x=α(βx), (AP) (α+β)x=αx+βx, (PA) α(x+y)=αx+αy. Az állítást közvetleül az itt szereplő műveletek defiíciója alapjá is bebizoyíthatjuk, vagy utalhatuk arra a lieáris algebrából jól ismert téyre, hogy ha V vektorkér K felett és X halmaz, akkor a V X halmaz a potokéti műveletekkel vektortér K felett. Az összeadás és a számmal szorzás ilye tulajdoságai miatt K N elemeit a következőkbe vektorokak is fogjuk evezi. Emlékeztetük arra, hogy a em ulla x és y vektorokat egymással párhuzamosak evezzük, ha va olya 0 α K, amellyel y=αx. A ulla vektort mide vektorral párhuzamosak tekitjük.
1. K N struktúrája 9 1.3. (i) Hasolóa, mit valós számok eseté, bevezetjük a halmazok közötti komplexus műveleteket. Ha F, G K N és A K, akkor F +G := {x+y x F, y G}, F G := {x y x F, y G}, G := { y y G}, AG := {αy α A, y G}, Ha x K N és α K, akkor x+g := {x}+g, αg := {α}g, Ax := A{x}. F +G az F G halmaz képe az összeadás által, AF pedig az A F képe a számmal szorzás által. Vegyük észre továbbá, hogy ha F és A em üresek, akkor F +G = (x+g), x F AG = (αg). (ii) Sokszor haszáljuk az egyees és a szakasz fogalmát, amelyeket a következő módo értelmezük. Legye x K N, 0 v K N. Ekkor x+rv := {x+αv α R} az x poto áthaladó, v iráyú egyees. Ha x, y K N és x y, akkor x+r(y x) az x és y potoko áthaladó egyees, továbbá [x, y] := x+[0, 1](y x) az x és y végpotú szakasz. 1.4. Defiíció Az x=(x 1, x 2,..., x N ) és az y=(y 1, y 2,..., y N ) K N -beli vektorok skaláris szorzata, vagy rövide skalárszorzata: x, y := N x ky k K. k=1 α A Mide ehézség élkül, a defiíció közvetle következméyeikét beláthatjuk a skaláris szorzat alapvető tulajdoságait.
N 10 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI Álĺıtás A K N K N K, (x, y) x, y leképezésre teljesülek az alábbiak: mide x, y, z K N és α, β K eseté (S1) x, x R + 0, továbbá x, x =0 potosa akkor, ha x=0, (S2) y, x = x, y, (SA) x, y+z = x, y + x, z, (SP) x, αy =α x, y. Megjegyzés (i) (SA) és (SP) együtt azt jeletik, hogy az (x, y) x, y leképezés a második változójába lieáris. Ezért az is igaz, hogy x, 0 =0 mide x K N eseté (ii) Az (x, y) x, y leképezés az első változójába kojugált lieáris, azaz (SA ) x+y, z = x, z + y, z, (SP ) αx, y =α x, y. Midkét formula az (SA), (SP) és (S2) közvetle következméye, az olvasó köye beláthatja akármelyiket. Például: αx, y = y, αx =(α y, x ) =α y, x =α x, y. Megjegyezzük, hogy K=R eseté ez azt jeleti, hogy a skaláris szorzás az első változójába is lieáris. Értelmezzük két halmaz skaláris szorzatát is a szokásos módo, mit a halmazok Descartes-szorzatáak a skaláris szorzat általi képét: ha F és G a K N részhalmazai, akkor F, G := { x, y x F, y G}. 1.5. Álĺıtás (Cauchy Schwarz-egyelőtleség) Mide x, y K N eseté x, y x, x y, y, és egyelőség potosa akkor áll fe, ha x és y párhuzamosak. Bizoyítás Legye z := x, x y x, y x. Ekkor az 1.4 állítás és az utáa lévő megjegyzés szerit 0 z, z = x, x 2 y, y x, x x, y x, y = x, x ( x, x y, y x, y 2) és egyelőség potosa akkor áll fe, ha z=0. Ha x=0, akkor x, x =0 és x, y =0, így a kívát egyelőtleség yilvávalóa teljesül. Ha x 0, akkor (S1) szerit x, x >0, így x, x y, y x, y 2 0
1. K N struktúrája 11 mely átredezés és égyzetgyökvoás utá a kívát egyelőtleséget adja. Világos továbbá, hogy ha y és x párhuzamosak és α K olya, hogy y=αx, akkor x, y = α x, x = α x 2 = x y. Fordítva, ha a Cauchy Schwarz egyelőtleségbe egyelőség áll fe, akkor z=0, amiből következik, hogy y és x párhuzamosak. 1.6. Defiíció Az x=(x 1, x 2,..., x N ) K N vektor euklidészi ormája vagy rövide ormája (más éve hossza vagy abszolút értéke): x := x, x = N x k 2. k=1 Álĺıtás A K N R + 0, x x leképezésre teljesülek az alábbiak: mide x, y K N és α K eseté (N) x =0 potosa akkor, ha x=0, (NP) αx = α x, (NA) x+y x + y. Bizoyítás (N) ekvivales (S1)-gyel, (NP) pedig a defiíció közvetle következméye. A komplex számok valós, illetve képzetes része kisebb vagy egyelő, mit az abszolút értékük, ezért és a Cauchy Schwarz-egyelőtleség szerit pedig következésképpe Re( x, y ) Re( x, y ) x, y x y, x+y 2 = x+y, x+y = x 2 + y 2 + x, y + x, y = x 2 + y 2 +2Re( x, y ) x 2 + y 2 +2 x y = ( x + y ) 2, ebből pedig égyzetgyökvoással adódik (NA). Megjegyzés Az (NA) tulajdoságot háromszög-egyelőtleségek evezzük. A háromszög-egyelőtleségből következik, hogy mide x, y K N eseté x y x y, ugyais (NA) szerit x = (x y) + y x y + y, y = (y x) + x y x + x,
N 12 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI és (NP) szerit y x = x y, így x y x y x y. Egy másik fotos összefüggés a parallelogramma-egyelőség (egy parallelogramma átlóiak égyzetösszege egyelő az oldalak égyetösszegével): a skalárszorzat tulajdoságaiból azoal adódik, hogy mide x, y K N eseté x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2. 1.7. Defiíció Az x=(x 1, x 2,..., x N ) és az y=(y 1, y 2,..., y N ) K N -beli vektorok euklidészi távolsága vagy rövide távolsága: d(x, y) := x y = N x k y k 2. A d:k N K N R + 0 leképezést euklidészi metrikáak vagy rövide metrikáak, illetve távolságfüggvéyek evezzük. k=1 Álĺıtás A d:k N K N R + 0 metrikára teljesülek az alábbiak: a KN mide x, y, z elemére (M1) d(x, y)=0 potosa akkor, ha x=y, (M2) d(y, x)=d(x, y), (M3) d(x, y) d(x, z)+d(z, y). Bizoyítás (M1) következik (N)-ből, (M2) pedig (NP)-ből az α : = 1 esetére, hisze y x= (x y). Mivel x z = (x y) + (y z), (NA) felhaszálásával kapjuk (M3)-at. Megjegyezés (M3)-at is háromszög-egyelőtleségek hívjuk. A metrika három felsorolt alaptulajdosága az, amit a fizikai terükbe megszokott távolság-fogalmukba természetesek veszük: külöböző potok között a távolság em ulla, és egy pot ömagától és csak ömagától ulla távolságra va, egy pot ugyaolya messze va egy másiktól, mit a másik az egyiktől, egy háromszög bármely oldaláak hossza em agyobb a másik két oldal hosszáak összegéél. 1.8. Nem csak két potak, haem egy potak és egy halmazak, illetve két halmazak a távolságát is értelmezhetjük, de ez, elletétbe a halmazok öszszegével, skaláris szorzatával, stb. em a komplexus-távolság lesz, azaz em a
1. K N struktúrája 13 két halmaz Descartes-szorzatáak a képe a távolságfüggvéy által, haem aak ifimuma, tehát egyetle valós szám. Defiíció A K N emüres F és G részhalmazáak távolsága d(f, G) := if{d(x, y) x F, y G}; az x elem és a emüres G részhalmaz távolsága d(x, G) := d({x}, G) = if{d(x, y) y G}; Ha H a K N akármilye részhalmaza, akkor d(, H) := 0. Világos, hogy ha x G, akkor d(x, G)=0, és ha F G, akkor d(f, G)=0. Azoba egy potak és egy halmazak a távolsága akkor is lehet ulla, ha a pot ics bee a halmazba, és diszjukt halmazok távolsága is lehet ulla. Például d(1, [0, 1[)=0 és d([1, 2], [0, 1[)=0. 1.9. Defiíció A K N egy H em üres részhalmazáak átmérője diam(h) := sup{d(x, y) x, y H} R + 0 { } H korlátos, ha diam(h)< +. Az üres halmazt ulla átmérőjűek és így korlátosak tekitjük. Nyilvávaló, hogy ha F G, akkor diam(f ) diam(g). Ezért korlátos halmaz részhalmaza korlátos. Emlékeztetük arra, hogy a valós számok részhalmazaira már bevezettük a korlátosság fogalmát. Megmutatjuk, hogy rájuk az ittei és a korábbi defiíció egybeesik, sőt K N -beli halmazok korlátossága is szorosa kapcsolódik R-beli halmazok korlátosságához. Álĺıtás A H K N halmaz potosa akkor korlátos, ha a H := { x x H} R halmaz korlátos R-be a korábbi defiíció szerit.
N 14 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI Bizoyítás Mide x, y H eseté d(x, y) d(x, 0) + d(0, y) = x + y 2 sup H, következésképpe diam(h) 2 sup H. Ha tehát a jobb oldalo álló szuprémum véges azaz H korlátos a korábba bevezetett értelembe, akkor a halmaz korlátos. Legye most H korlátos és x 0 tetszőleges, rögzített elem H-ból. Ekkor mide x H eseté x d(x, x 0 ) + d(x 0, 0) diam(h) + x 0, következésképpe sup H diam(h) + x 0 < +. A halmaz átmérője valamiképp azt jellemzi, milye terjedelmes a halmaz. Persze vigyázuk kell egy kicsit, mert az átmérő szó amelyet körrel kapcsolatba szoktuk meg félrevezető lehet. Ugyaazo átmérővel redelkező halmazok közül az egyik lehet testes, a másik véza, a harmadik lyukas ; ajáljuk az olvasóak, példakét ábrázolja magáak az halmazokat. {(x, y) R 2 x 2 +y 2 1}, [ 1, 1] {0} R 2, {( 1, 0), (1, 0)} 1.10. Feladatok 1. Mi a hossza a C 3 -beli (1, i, 1+i) vektorak? Milye távol va ez a pot az (1 i, 2, 3i) pottól? Mi e vektorok skaláris szorzata? 2. Bizoyítsuk be, hogy ha x K N és mide y K N eseté y, x =0, akkor (és csak akkor) x=0. (Útmutatás: y lehet egyelő x-szel.) 3. Mi a következő potok és halmazok távolsága? (i) (0, 0) R 2 és {(x, 1/x x R + 0 } R2, (ii) (1, 2) R 2 és {(x, y) R 2 x 2 +y 2 < 1} R 2, (iii) (i, i) C 2 és {(x+i, x i) x R} C 2. 4. Adjuk meg a következő halmazok távolságát! (i) {(x, 0) x R} és {(x, 1/x) x R + } R 2, (ii) {(x, x 2 +2) x R} és {(x, y) R 2 x 2 +y 2 1}, (iii) {(x, y) C 2 x 2 + y 2 <1} és {(x+i, x i) x R} C 2. 5. Mi az {(x, y, z) R 3 x 2 +2y 2 +3z 2 =1} halmaz átmérője? 6. Mutassuk meg hogy a H K N em üres halmazra diam(h)=0 potosa akkor, ha H egy elemű. 7. Ha F és G a K N részhalmazai és F G em üres, akkor (i) diam(f G) diam(f )+diam(g),
2. Nyílt halmazok és zárt halmazok 15 (ii) diam(f G) mi{diam(f ), diam(g)}. 8. Az előző feladat alapjá lássuk be, hogy (i) korlátos halmaz komplemetere em korlátos, (ii) véges halmaz korlátos. 9. Bármely =H K N, x K N és α K eseté diam(x+h) = diam(h), diam(αh) = α diam(h). 10. Ha F és G a K N emüres részhalmazai és A K, akkor diam(f +G) diam(f ) + diam(g), diam(ag) sup A diam(g) + diam(a) sup G. 2. Nyílt halmazok és zárt halmazok 2.1. Defiíció x K N és r>0 eseté a G r (x) := {y K N d(y, x)<r}, B r (x) := {y K N d(y, x) r}, S r (x) := {y K N d(y, x)=r} halmazokat redre x középpotú, r sugarú (euklidészi) yílt gömbek, zárt gömbek, illetve gömbhéjak evezzük. Ige egyszerű beláti a következő fotos téyeket: Álĺıtás Mide 0 α K eseté továbbá mide x K N eseté αg r (0) = G α r (0), G r (x) = x+g r (0), és B r (x) G s (x) (0<r<s).
N 16 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI Gyakra azt modjuk, hogy G r (x) az x körüli r sugarú yílt gömb. Ha em akarjuk megevezi a sugarat, csak x körüli yílt gömbről beszélük és G(x)-et íruk. Az x körüli yílt gömböket az x gömbköryezeteiek is evezzük. 2.2. 1. Defiíció A T K N halmaz yílt (zárt) tégla, (i) K N =R eseté: ha T yílt (zárt) itervallum, (ii) K N =C eseté: ha létezek T 1 és T 2 yílt (zárt) itervallumok R-be úgy, hogy T =T 1 +it 2, (iii) általába: ha T := N T k, ahol T k yílt (zárt) tégla K-ba mide k=1, 2,..., N eseté. k=1 2. Defiíció ξ K és r>0 eseté legye { ]ξ r, ξ+r[ ha K=R, T r (ξ) := ]Re(ξ) r, Re(ξ)+r[+i]Im(ξ) r, Im(ξ)+r[ ha K=C. Ekkor x=(x 1, x 2,..., x N ) K N és r>0 eseté N T r (x) := T r (x k ) k=1 az x középpotú, 2r oldalú yílt kocka K N -be. Jegyezzük meg, hogy y T r (x) potosa akkor, ha mide k=1, 2,..., N eseté Re(y k x k ) <r és Im(y k x k ) <r. 2.3. Álĺıtás Mide K N -beli yílt gömb tartalmaz ugyaolya középpotú yílt kockát, és fordítva. Bizoyítás Mide x, y K N eseté d(y, x) 2 = N ( Re(yk x k ) 2 + Im(y k x k ) 2). k=1 Ebből a formulából közvetleül látható, hogy T s (x) G r (x) T r (x),
2. Nyílt halmazok és zárt halmazok 17 ahol r N s := r 2N ha K=R, ha K=C. 2.4. Vezessük be a jelölést. { Q ha K=R, P := Q+iQ ha K=C Álĺıtás Mide x K N és r>0 eseté G r (x) P N, T r (x) P N. Bizoyítás Az állítás kockára voatkozó része egyszerű következméye aak az ismert téyek, hogy mide R-beli yílt itervallum tartalmaz racioális számot. Ebből az előző állítás szerit következik a gömbre voatkozó rész. Megjegyzés A P N halmaz azokból a redezett szám N-esekből áll, amelyekek mide koordiátája (illetve koordiátájáak valós és képzetes része) racioális. P N megszámlálható, mivel véges sok megszámlálható halmaz Descartes-szorzata. A későbbiekbe agy jeletősége lesz aak a téyek, hogy K N -be létezik megszámlálható halmaz, melyek mide yílt gömbbel való metszete em üres. 2.5. Defiíció Legye H K N. Az x K N (1) belső potja H-ak, ha létezik r>0 úgy, hogy G r (x) H, (2) éritkezési potja H-ak, ha mide r>0 eseté G r (x) H, (3) torlódási potja H-ak, ha mide r>0 eseté (G r (x)\{x}) H, (4) határpotja H-ak, ha x éritkezési potja H-ak is, H -ek is, (5) izolált potja H-ak, ha létezik r>0 úgy, hogy G r (x) H={x}. A defiícióból azoal adódik, hogy (i) Ha x belső potja vagy izolált potja H-ak, akkor x H. (ii) Ha x H, akkor x éritkezési potja H-ak. (iii) x akkor és csak akkor határpotja H-ak, ha határpotja H -ek. (iv) Mide x K N eseté az alábbi három feltétel közül potosa egy teljesül: (a) x belső potja H-ak, (b) x belső potja H -ek, (c) x határpotja H-ak. (v) x K N akkor és csak akkor éritkezési potja H-ak, ha az alábbi feltételek közül potosa egy teljesül: (a) x torlódási potja H-ak,
N 18 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI (b) x izolált potja H-ak. Álĺıtás Ha x a H torlódási potja, akkor mide r>0 eseté a (G r (x)\{x}) H halmaz végtele. Bizoyítás Idirekt módo okoskoduk. Tegyük fel, hogy létezik r>0 úgy, hogy a (G r (x)\{x}) H =: Z halmaz véges. Ekkor és ρ := mi{d(y, x) y Z} > 0, (G ρ (x)\{x}) H=, ez pedig elletmod aak, hogy x torlódási potja H-ak. Következméy K N véges részhalmazáak ics torlódási potja, és így mide potja izolált pot. 2.6. Köyű beláti, hogy az R-beli ]a, b[ illetve [a, b] itervallumok (1) belső potjaiak halmaza: ]a, b[, (2) éritkezési és torlódási potjaiak halmaza: [a, b], (3) határpotjaiak halmaza: {a, b}, (4) izolált potjaiak halmaza:. 2.7. Álĺıtás Legye H em üres, felülről korlátos részhalmaza R-ek. Ekkor sup H határpotja H-ak. Bizoyítás Legye ε>0 tetszőleges. A szuprémum ismert tulajdosága alapjá ] sup H ε, sup H[ H. sup H felső korlátja a H halmazak, ezért ] sup H, sup H+ε[ H =. Mivel G ε (sup H)=] sup H ε, sup H+ε[, a feti összefüggéseket így is írhatjuk: G ε (sup H) H, G ε (sup H) H, következésképpe sup H éritkezési potja H-ak is és H -ek is, így határpotja H-ak. Természetese ebből az is adódik, hogy ha H em üres, alulról korlátos részhalmaza R-ek, akkor if H határpotja H-ak. 2.8. Defiíció A K N egy részhalmaza (1) yílt, ha mide potja belső pot, (2) zárt, ha tartalmazza mide éritkezési potját, vagy ami ezzel egyeértékű, ha tartalmazza mide torlódási potját.
2. Nyílt halmazok és zárt halmazok 19 Megjegyzések (i) Az eddig haszált yílt és zárt jelzők a gömbökkel és téglákkal kapcsolatba megfelelek az ittei defiicióak. A yílt gömbök yílt halmazok K N -be: ha y G r (x), akkor r d(y, x)>0, és G r d(y,x) (y) G r (x) a háromszög-egyelőtleség alapjá. A zárt gömbök zárt halmazok K N -be. Ugyais, ha y éritkezési potja B r (x)-ek, akkor mide ε>0 eseté létezik z ε G ε (y) B r (x). Mivel d(x, y) d(x, z ε ) + d(z ε, y) < r+ε, és ε tetszőleges, az is igaz, hogy d(x, y) r, tehát y B r (x). A téglákra voatkozóa a 2.15.17. feladatra utaluk. (ii) A valós számok em korlátos itervallumaira is a yílt és zárt jelzők megfelelek az ittei defiícióak, amit azt egyszerűe elleőrizhetjük: a R eseté ]a, [ és ], a[ yílt halmaz, [a, [ és ], a] yílt halmaz. (iii) Olya halmaz, melyek ics torlódási potja, zárt. A 2.5. állítás következméye szerit a véges halmazok speciálisa az egyelemű halmazok is zártak. (iv) A valós számok egy felülről korlátos, zárt részhalmaza tartalmazza szuprémumát az előző állítás szerit. Más szóval, ilye halmazak va maximuma. (v) A következőkbe sokat beszélük yílt halmazokról és zárt halmazokról. Ne higgyük azoba, hogy egy halmaz feltétleül yílt vagy zárt. Például [0, 1[ se em yílt, se em zárt. (v) Egy pot köryezetéek hívuk mide a potot tartalmazó yílt halmazt. Egy yílt halmaz tehát mide potjáak köryezete. 2.9. 1. Álĺıtás H K N eseté x K N potosa akkor (1) belső potja H-ak, ha em éritkezési potja H -ek, (2) éritkezési potja H-ak, ha em belső potja H -ek. Bizoyítás (1) Midkét feltétel ekvivales azzal, hogy létezik olya r>0, amellyel G r (x) H azaz G r (x) H =. (2) Ez egyeértékű az előzővel, H és H szerepét felcserélve. 2. Álĺıtás (1) H potosa akkor yílt, ha H zárt. (2) H potosa akkor zárt, ha H yílt.
N 20 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI Bizoyítás (1) Tegyük fel, hogy H yílt, és legye x éritkezési potja H -ek; ekkor x em belső potja H-ak, ezét x em eleme H-ak, azaz x eleme H -ek; következésképpe H zárt. Tegyük fel, hogy H zárt, és legye x H; ekkor x em eleme H -ek, így x em éritkezési potja H -ek, tehát x belső potja H-ak; következésképpe H yílt. (2) Ez egyeértékű az előzővel, H és H szerepét felcserélve. 2.10. 1. Álĺıtás (1) és K N yíltak. (2) Nyílt halmazok tetszőleges, em üres redszeréek uiója yílt. (3) Nyílt halmazok véges, em üres redszeréek metszete yílt. Bizoyítás (1) K N yilvávalóa yílt. Az üres halmaz is yílt, mivel ics olya eleme (egyáltalá ics eleme), mely em belső pot. (2) Legye (A i ) i I yílt halmazok redszere. Ha x A i, akkor létezik i I, amelyre x A i. A i yílt, így létezik r>0 úgy, i I hogy G r (x) A i. Nyilvávaló, hogy G r (x) i I A i, következésképpe x belső potja a A i halmazak. i I (3) Legye (A i ) 1 i yílt halmazok redszere. Ha x A i, akkor mide i=1, 2,..., eseté x A i, tehát létezik r i > 0 úgy, i=1 hogy G ri (x) A i. Az r := mi{r i 1 i } szám pozitív, és G r (x) G ri (x) i=1 A i, i=1 következésképpe x belső potja a A i halmazak. i=1 Ebből és az előző állításból a de-morga azoosságok segítségével kapjuk: 2. Álĺıtás (1) és K N zártak. (2) Zárt halmazok tetszőleges, em üres redszeréek metszete zárt. (3) Zárt halmazok véges, em üres redszeréek uiója zárt.
2. Nyílt halmazok és zárt halmazok 21 Megjegyzés Nyílt halmazok tetszőleges redszeréek metszete em feltétleül yílt, zárt halmazok tetszőleges redszeréek uiója em feltétleül zárt. Például R-be ] 1/, 1/[= {0} és [0, 1 1/] = [0, 1[. N N 2.11. Álĺıtás K N mide em üres yílt részhalmaza előáll megszámlálható sok yílt gömb uiójakét. Bizoyítás Haszáljuk a 2.4-be bevezetett P jelölést. Mivel P N megszámlálható, a G := {G r (x) x P N, r Q + } yílt gömbökből álló halmazredszer is megszámlálható. Legye A K N yílt részhalmaz. Nyilvávaló, hogy {G G G A} A; megmutatjuk, hogy az ellekező tartalmazás is teljesül, azaz egyelőség áll fe. Ha y A, akkor y belső potja A-ak, ezért va olya r Q +, hogy G r (y) A. A 2.4. állításból következik, hogy létezik x 0 G r/2 (y) P N. Tehát G r/2 (x 0 ) G, továbbá y G r/2 (x 0 ), és végül a háromszög-egyelőtleség szerit G r/2 (x 0 ) G r (y) A, és az imét felsorolt három téyt kellett bizoyítauk. Megjegyzés Hasolóa bebizoyíthatjuk azt is, hogy K N mide yílt halmaza előáll megszámlálható sok yílt tégla uiójakét. 2.12. Defiíció Ha H a K N tetszőleges részhalmaza, akkor (1) a H halmaz belsejéek evezzük midazo yílt halmazok uióját, melyek részei H-ak. Jelölje H a H halmaz belsejét. (2) a H halmaz lezártjáak evezzük midazo zárt halmazok metszetét, melyek tartalmazzák H-t. Jelölje H a H halmaz lezártját. Megjegyzés (i) A 2.10.1. állítás szerit H yílt halmaz K N -be, és a legbővebb a H által tartalmazott yílt halmazok közül, tehát ha N yílt halmaz, és N H, akkor N H; továbbá H potosa akkor yílt, ha H=H, ami egyeértékű azzal, hogy H H. (ii) A 2.10.2. állítás szerit H zárt halmaz K N -be, és a legszűkebb a H-t tartalmazó zárt halmazok közül, tehát ha Z zárt halmaz, és H Z, akkor H Z; továbbá H potosa akkor zárt, ha H=H, ami egyeértékű azzal, hogy H H.
N 22 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI Álĺıtás Bármely H K N eseté (1) x H potosa akkor, ha x belső potja H-ak, (2) x H potosa akkor, ha x éritkezési potja H-ak, (3) H = H {H torlódási potjai}. Bizoyítás (1) Ha x belső potja H-ak, akkor létezik r>0 úgy, hogy G r (x) H. G r (x) yílt halmaz, ezért G r (x) H, tehát x H. Ha x H, akkor lévé H yílt x belső potja H-ak, így belső potja H-ak is. (2) Ha x éritkezési potja H-ak, akkor éritkezési potja H-ak is, mert H H. H zárt, ezért x H. Ha x em éritkezési potja H-ak, akkor létezik r>0 úgy, hogy G r (x) H=. Ekkor H G r (x). G r (x) zárt, ezért H G r (x), azaz G r (x) H=, így x/ H. (3) Mivel a K N egy eleme potosa akkor éritkezési potja H-ak, ha eleme vagy torlódási potja, az előbbi megállapításuk maga utá voja az állított egyelőséget. 2.13 Álĺıtás Legye F és G a KN két részhalmaza. (1) Ha F G, akkor F G és F G, (2) F G F G és F G=F G, (3) F G= F G és F G F G. Bizoyítás (1) F F G; mivel F yílt, és G a legbővebb G-beli yílt halmaz, feáll az F G összefüggés. F G G; mivel G zárt, és F a legszűkebb F -et tartalmazó zárt halmaz, teljesül, hogy F G. (2) F F, G G, tehát F G F G; mivel F G yílt halmaz, igaz a F G F G tartalmazás. F F, G G, tehát F G F G; mivel F G zárt halmaz, igaz, hogy F G F G. Viszot F F G és G F G, így F F G és G F G, amiből F G F G. (3) Az olvasóra bízzuk, hogy az előző érvek mitájára lássa be ezeket az összefüggéseket is. Megjegyzés (2)-be és (3)-ba a tartalmazás helyett általába em állhat egyelőség. Íme a példák: F :=]0, 1[ és G:=[1, 2[ eseté F G=]0, 2[, de F G=]0, 2[\{1}, F G=, de F G={1}.
2. Nyílt halmazok és zárt halmazok 23 2.14. Defiíció Legye H és F a K N két részhalmaza. Azt modjuk, hogy H sűrű F -be, ha H F H. H mideütt sűrű, ha sűrű K N -be, azaz H=K N. Megjegyzés A 2.12. állítás szerit H akkor és csak akkor mideütt sűrű, ha mide x K N és r>0 eseté G r (x) H. A 2.4. állítás szerit a racioális koordiátájú potok halmaza sűrű K N -be, azaz P N =K N.
N 24 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI 2.15. Feladatok 1. Adjuk meg a következő halmazok belső potjait, éritkezési potjait, határpotjait, torlódási potjait, izolált potjait. (i) {(x, y) R 2 xy 1}, (ii) {(x, y) R 2 0 x<1}, (iii) {(x, y) R 2 x 2 +y=0}, (iv) {(x, y) C 2 x = y }, (v) {1/ N} R. 2. Ha x belső potja a K N H részhalmazáak, akkor x torlódási potja is H-ak. 3. Igazoljuk, hogy (i) G r (x) határpotjaiak halmaza S r (x), (ii) G r (x)=b r (x). 4. Mutassuk meg, hogy mide x K N és r>0 eseté S r (x) zárt halmaz (a komplemetere yílt). 5. Mi az 1. feladatba szereplő halmazok belseje és lezártja? 6. Bizoyítsuk be, hogy Q= és R\Q=. 7. Igazoljuk, hogy K N bármely H részhalmazára ( H ) =H és ( ) H = H. Ezekből következik, hogy ( ( ) ) H= H és H= H. 8. Ha F yílt, H zárt halmaz, akkor F \H yílt, H\F zárt. 9. Bármely H K N, x K N és 0 α K eseté (i) ha H yílt, akkor x+h és αh is yílt, (ii) ha H zárt, akkor x+h és αh is zárt. Mit tuduk modai, ha α=0? 10. Ha F, G K N, A K, 0/ A, és F yílt, akkor F +G és AF is yílt. (Nyílt halmazok uiója yílt.) Ha F zárt, F +G és AF em feltétleül zárt. (Például, ha F egy elemű, G és A yílt.) 11. Mutassuk meg, hogy (i) G r (x) átmérője 2r (vegyük egy x-e áthaladó egyeest). (ii) G r (x) és G s (y) távolsága max{0, d(y, x) r s} (vegyük egy x-e és y-o áthaladó egyeest). 12. Legye x H, diam(h)<r; ekkor H G r (x). 13. Bizoyítsuk be, hogy
3. Kompakt halmazok 25 (i) ha H R korlátos, akkor sup H= sup H és if H= if H. (ii) ha H K N, akkor diam(h)=diam(h). (Tegyük fel, hogy va olya x, y H, amelyre d(x, y)>diam(h), és jussuk elletmodásra a 11. feladat segítségével.) Következésképpe korlátos halmaz lezártja is korlátos. 14. A H K N potosa akkor korlátos, ha mide x K N eseté létezik r > 0 úgy, hogy H G r (x). 15. Bármely H K N és x K N eseté d(x, H)=d(x, H), továbbá d(x, H) = 0 potosa akkor, ha x H. 16. Legye x K N és y K M, r, s > 0. Ekkor G r (x) G s (y) G t (x, y), ahol t := mi{r, s}. 17. Ha F K N és G K M yíltak (zártak), akkor F G yílt (zárt) K N+M - be. 3. Kompakt halmazok 3.1. Defiíció Egy K N részhalmazaiból álló (G i ) i I redszert a H K N részhalmaz lefedéséek evezük, ha H i I G i. Ha J I olya részhalmaz, hogy (G i ) i J is lefedése H-ak, akkor a (G i ) i J redszert a (G i ) i I lefedés részlefedéséek evezzük. A H halmaz (G i ) i I lefedése yílt, ha mide i I eseté G i yílt halmaz. A H halmaz (G i ) i I lefedése véges, ha az I idexhalmaz véges. 3.2. Defiíció A K K N halmaz kompakt, ha mide yílt lefedéséek létezik véges részlefedése. Tehát a K K N halmaz potosa akkor kompakt, ha mide (G i ) i I yílt lefedése eseté létezik az I idexhalmazak olya F véges részhalmaza, hogy (G i ) i F is lefedése K-ak. Az üres halmaz yilvávalóa kompakt. Kompaktak a véges részhalmazok is. K N em kompakt, mert (G (0)) N olya yílt lefedése, amelyek em létezik véges részlefedése. 3.3. Álĺıtás Kompakt halmaz zárt.
N 26 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI Bizoyítás Az üres halmazra igaz az állítás. Legye =K K N kompakt halmaz és a/ K. Mide x K eseté r x := d(x, a)/2 > 0, és (G rx (x)) x K yílt lefedése K-ak, ezért létezik K-ak Z véges részhalmaza úgy, hogy G rz (z) K. Világos, hogy r := mi{r z z Z} > 0, z Z és G r (a) G rz (z)= mide z Z eseté, azaz ( ) G r (a) G rz (z) K, z Z tehát a belső potja K -ek. Következésképpe K yílt, így K zárt. Nem zárt halmaz tehát em lehet kompakt; ez azt jeleti, hogy va olya yílt lefedése, amelyek ics véges részlefedése. Például a ]0, 1[ yílt itervallum (]1/, 1 1/[) N yílt lefedése ilye. Ugyais ha vola véges részlefedés, akkor léteze N úgy, hogy ami em lehet. ]0, 1[ ]1/k, 1 1/k[ ]1/, 1 1/[, k=1 3.4. Álĺıtás Kompakt halmaz korlátos. Bizoyítás Legye K K N kompakt halmaz. Ekkor tetszőleges x K N eseté (G (x)) N yílt lefedése K-ak, következésképpe létezik F N véges részhalmaz úgy, hogy G (x) K. F Legye m:= max F ; ekkor K G m (x), következésképpe K korlátos. Nem korlátos halmaz tehát em kompakt. Például (] 1/, +1+1/[) N az R + -ak olya yílt lefedése, amelyek ics véges részlefedése. 3.5. Álĺıtás Kompakt halmaz zárt részhalmaza kompakt. Bizoyítás Legye K K N kompakt halmaz és A K zárt részhalmaz. Ha A üres, akkor ics mit bizoyítai. Legye tehát A, továbbá (G i ) i I yílt lefedése A-ak. A zárt, ezért A yílt, és ( ) G i A K. i I
3. Kompakt halmazok 27 K kompakt, így létezik F I véges úgy, hogy ( ) G i A K. i F Ha x A, akkor x/ A, viszot x K, így x i F G i A. i F G i, tehát 3.6. Álĺıtás Kompakt halmaz végtele részhalmazáak va torlódási potja a kompakt halmazba. Bizoyítás Legye K K N kompakt halmaz és H K. Tegyük fel, hogy K egyetle potja sem torlódási potja H-ak. Ekkor mide x K eseté létezik r x >0 úgy, hogy G rx (x)\{x}) H =, ( ) azaz G rx (x) H legfeljebb egyelemű. (G rx (x)) x K yílt lefedése K-ak, ezért létezik a K-ak olya véges Z részhalmaza, hogy G rz (z) K. Ezért z Z (G rz (z) H) H, z Z Ebből pedig ( ) miatt következik, hogy H véges. 3.7. Álĺıtás (Cator-féle közösrész-tétel) Legye (K i ) i I kompakt halmazok olya redszere, hogy az I mide F véges részhalmaza eseté K i. Ekkor K i. i F i I Bizoyítás Tegyük fel, hogy K i =, és legye i 0 I tetszőleges. Ekkor i I K i = K i0 i I i I\{i 0} K i =, következésképpe K i0 i I\{i 0} K i.
N 28 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI K i0 kompakt, és mide i I\{i 0 } eseté K i yílt, következésképpe létezik F I\{i 0 } véges részhalmaz úgy, hogy K i. K i0 Ekkor F {i 0 } I véges részhalmaz, és i F {i 0} i F K i =, ami elletmodás. Megjegyzések (i) A kompakt halmazok redszeréek metszete kompakt, hisze zárt halmazok metszete zárt, és a metszet része a redszer bármelyik tagjáak, tehát a 3.4. állítás szerit kompakt. (ii) Gyakra előforduló speciális eset az, amikor adott a (K ) N em üres kompakt halmazok mooto fogyó ( egymásba skatulyázott ) redszere, azaz mide N eseté K +1 K. Ekkor yilvávaló, hogy véges részredszerek metszete em üres, tehát K. N 3.8. Az előbbi megjegyzésük szerit em üres kompakt halmazok mooto fogyó redszeréek metszete em üres. Tudjuk továbbá, hogy kompakt halmaz korlátos és zárt. A valós számokkal kapcsolatba már megismerkedtük a Cator-féle közösrész-tétellel, amely ott úgy szólt, hogy korlátos és zárt itervallumok mooto fogyó redszeréek metszete em üres. Egyszerű következméye eek, hogy K N - beli korlátos és zárt téglák mooto fogyó redszeréek metszete em üres, azaz ha (T ) N korlátos és zárt téglák olya redszere, hogy mide N eseté T +1 T, akkor T. N Nem meglepő tehát a következő eredméy. Álĺıtás K N -beli korlátos és zárt tégla kompakt. Bizoyítás Legye T korlátos és zárt tégla K N -be. Tegyük fel, hogy T em kompakt. Ekkor létezik T -ek olya (G i ) i I yílt lefedése, amelyek ics véges részlefedése. A T összes projekcióját megfelezve és a fele agyságú zárt oldalak meghatározta téglákat véve a T -t előállítjuk 2 N illetve 2 2N darab zárt tégla uiójakét, attól függőe, hogy K=R vagy K=C. Ezek közül legalább egy em fedhető le a (G i ) i I redszer véges sok elemével, mert ellekező esetbe vola (G i ) i I -ek a T -t lefedő véges részredszere. Legye T 1 egy ilye tulajdoságú zárt tégla. Ekkor tehát T 1 T, diam(t 1 ) = 1 diam(t ). 2
3. Kompakt halmazok 29 Ha a T 1 projekcióit is megfelezzük, akkor kapuk legalább egy olya 2 N -ed illetve 2 2N -ed részt, amely em fedhető le a (G i ) i I redszer véges sok elemével, legye ez T 2. Az eljárást folytatva, K N -beli korlátos és zárt téglák olya (T ) N redszerét kapjuk, amelyre teljesülek a következők: (1) T +1 T, (2) diam(t ) = 1 diam(t ), 2 (3) T em fedhető le a (G i ) i I redszer véges sok elemével. Az így megadott egymásba skatulyázott korlátos és zárt téglák metszete em üres, azaz létezik x T. N Mivel x T, létezik i 0 I úgy, hogy x G i0. G i0 yílt, ezért va olya r>0, hogy G r (x) G i0. A {2 N} halmaz em korlátos R-be, így létezik N úgy, hogy 2 > diam(t ). r Ekkor diam(t ) = 1 diam(t ) < r, 2 és x T, következésképpe (lásd a 2.14.11. feladatot) T G r (x) G i0, ez pedig elletmod (3)-ak, tehát T kompakt. 3.9. Ha H K N korlátos halmaz, x H és α>diam(h), akkor H G α (x) T α (x) (lásd 2.2.). Ez azt is maga utá voja, hogy mide korlátos halmaz bee va egy korlátos és zárt téglába. 1. Álĺıtás (Heie Borel-tétel) K N egy részhalmaza potosa akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Bizoyítás Kompakt halmaz a 3.3. és 3.5. állítások szerit korlátos és zárt. Ha viszot H K N korlátos és zárt, akkor bee va egy korlátos és zárt téglába, amely kompakt 3.8. szerit. Ezért H, mit kompakt halmaz zárt részhalmaza a 3.4. szerit kompakt. 2. Álĺıtás (Bolzao Weierstrass-tétel) K N -be korlátos és végtele halmazak va torlódási potja. Bizoyítás Legye H korlátos és végtele halmaz K N -be. H korlátossága miatt létezik T K N korlátos és zárt tégla úgy, hogy H T. T kompakt, ezért a 3.6. szerit H-ak va torlódási potja T -be.
N 30 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI Jegyezzük meg, hogy ha H em zárt, akkor a torlódási potja em feltétleül tartozik H-hoz. 3.10. Feladatok 1. Igazoljuk a kompakt halmazok defiíciójából (yílt lefedéssel), hogy (i) akárháy kompakt halmaz metszete kompakt, (ii) véges sok kompakt halmaz uiója kompakt. 2. Ugyacsak yílt lefedéssel bizoyítsuk be, hogy ha K K N kompakt halmaz, x K N és 0 α K, akkor x+k és αk is kompakt. 3. Legye (K ) N emüres kompakt halmazok redszere úgy, hogy mide N eseté K +1 K. Igazoljuk, hogy a K halmaz potosa akkor egyelemű, ha if{diam(k ) N}=0. 4. Mutassuk meg, hogy ha K kompakt, H zárt halmaz K N -be és K H =, akkor d(k, H) > 0. Hozzuk példát arra, ez em igaz, ha K-tól csak azt követeljük meg, hogy legye zárt. N 4. Összefüggő, kovex és csillagszerű halmazok 4.1. Emlékeztetük, hogy a K N x és y elemét összekötő szakasz [x, y] = x + [0, 1](y x) = {(1 α)x+αy α [0, 1]}. ( ) Defiíció A K N -beli H részhalmaz (1) kovex, ha mide x, y H eseté [x, y] H, (2) csillagszerű, ha létezik olya x 0 H csillagcetrum, hogy mide x H eseté [x 0, x] H. Nyilvávaló, hogy az üres halmaz kovex, és em üres kovex halmaz mide eleme csillagcetrum, következésképpe kovex halmaz csillagszerű. Magától értetődik, hogy K N kovex, sőt K N mide lieáris altere kovex. 4.2. Álĺıtás Mide gömb és mide tégla kovex. Bizoyítás Legye x K N és r>0. A G r (x) bármely y és z elemét összekötő szakasz tetszőleges (1 α)y + z alakú potjára ( (1 α)y+αz ) x = (1 α)(y x)+α(z x) (1 α) y x +α z x < (1 α)r+αr = r,
4. Összefüggő, kovex és csillagszerű halmazok 31 tehát [y, z] G r (x). Ha y, z T r (x), akkor mide k=1, 2,..., N eseté Re((1 α)y k +αz k ) Re(x k ) = (1 α)re(y k x k )+αre(z k x k ) (1 α) Re(y k x k ) +α Re(z k x k ) < (1 α)r+αr = r, és ugyaígy járhatuk el a képzetes részeket illetőe, tehát az [y, z] mide eleme bee va T r (x)-be. 4.3. Defiíció Az E és F K N -beli részhalmazok szétesők, ha E F = és E F =. H K N összefüggő, ha em áll elő két em üres, széteső halmaz uiójakét. Az üres halmaz összefüggő. Széteső halmazok diszjuktak, viszot diszjukt halmazok em szükségképpe szétesők; példa erre [0, 1[ és [1, 2]. Természetese diszjukt zárt halmazok szétesők. Az az érdekes, hogy ez yílt halmazokra is igaz. Álĺıtás Diszjukt yílt halmazok szétesők. Bizoyítás Legyeek E és F diszjukt yílt halmazok. E F = azt jeleti, hogy E F. F zárt, ezért E F, azaz E F =. Hasolóa látható be, hogy E F =. 4.4. Álĺıtás Ha H i (i I) összefüggő halmazok és H i, akkor összefüggő. i I H i i I Bizoyítás Jelölje H az uiót, és tegyük fel, hogy széteső, azaz va olya E és F emüres halmaz, hogy H = E F, E F =, E F =. Ekkor a halmazműveletek disztributivitása miatt H = i I( (Hi E) (H i F ) ). Mide i-re H i = (H i E) (H i F ), és az uióba szereplő halmazok szétesők (egyik lezártja sem metsz bele a másikba); a H i -k összefüggősége miatt tehát H i E = vagy H i F =. Bármely x H i a H eleme, ezért vagy az E-hez, vagy az F -hez tartozik; legye például x E. Ekkor mide i I eseté x H i E és így H i F =, tehát F = (H i F ) =, ami elletmodás. i I i I
N 32 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI 4.5. Defiíció Legye H a K N tetszőleges részhalmaza. A H egy C részhalmazát a H összefüggő kompoeséek evezzük, ha C összefüggő és maximális a tartalmazás tekitetébe, azaz ha A összefüggő, C A H, akkor A = C. Álĺıtás (1) A H halmaz külöböző összefüggő kompoesei diszjuktak. (2) Mide x H eseté létezik egyetle olya összefüggő kompoes, amelyek x az eleme, evezetese {C H x C, C összefüggő}. Bizoyítás (1) Ha C 1 és C 2 a H összefüggő kompoese és C 1 C 2, akkor az előzőek szerit C 1 C 2 is összefüggő, amely tartalmazza C 1 -et is és C 2 -t is, és léve ezek maximális összefüggő részhalmazai H-ak, C 1 = C 1 C 2 = C 2. (2) Az eddigiekből yilvávaló. 4.6. Álĺıtás K N csillagszerű részhalmaza összefüggő. Bizoyítás Megmutatjuk, hogy em összefüggő halmaz em lehet csillagszerű. Legye H K N em összefüggő halmaz. Ekkor létezek E és F em üres halmazok úgy, hogy H=E F, E F = és E F =. Legye x E és y F és β := sup{α [0, 1] (1 α)x+αy E}, z := (1 β)x+βy. A szuprémum ismert tulajdosága alapjá mide r>0 eseté létezik olya α ]β r/ y x, β], hogy (1 α)x+αy E. Ekkor α β < r/ y x, így (1 α)x+αy z = α β y x < r, azaz G r (z) E. Következésképpe z E, és így z / F. Most két esetet kell megkülöböztetük. (1) Ha z / E, akkor (1 β)x+βy = z / E F =H,
4. Összefüggő, kovex és csillagszerű halmazok 33 (2) Ha z E, akkor z / F, így létezik r>0 úgy, hogy G r (z) F =. Ekkor bármely α ]β, β+r/ y x [ eseté (1 α)x+αy / E F =H. A fetiek alapjá megállapíthatjuk, hogy ha x E és y F, akkor [x, y] H, következésképpe sem E-beli, sem F -beli csillagcetruma ics H-ak, tehát H em csillagszerű. 4.7. Összefoglalva az eddigieket: kovex halmaz csillagszerű, csillagszerű halmaz összefüggő. Eredméyük egy érdekes következméye: Álĺıtás K N -be csak az üres halmaz és maga K N zárt. lehet egyszerre yílt és Bizoyítás Tegyük fel, hogy H em üres valódi részhalmaza K N -ek, amely yílt is, zárt is. Ekkor H is em üres valódi részhalmaza K N -ek, amely yílt is, zárt is, így a H és H halmazok szétesők, és H H =K N. Ez azt jeleti, hogy K N em összefüggő, ami em lehet, mert K N kovex. 4.8 A valós számok összefüggő részhalmazairól az eddigiekél több modható. 1. Álĺıtás R összefüggő részhalmaza kovex. Bizoyítás Legye H R em kovex halmaz. Ekkor létezik x, y H, x<y és α [0, 1] úgy, hogy z := (1 α)x+αy / H. Legye E := H ], z[ és F := H ]z, + [. Ekkor z / H miatt E F =H, x E és y F miatt E, F, és triviális, hogy E F =, E F =, azaz H em összefüggő. 2. Álĺıtás R emüres részhalmaza potosa akkor kovex, ha itervallum vagy egypot-halmaz. Bizoyítás Mivel az R-beli szakaszok éppe a korlátos és zárt itervallumok, az itervallumok és egy elemű halmazok yilvávalóa kovexek. Ha viszot I kovex és em egy elemű, akkor mide x, y I, x<y eseté [x, y] I. Nyilvávaló, hogy I [if I, sup I]. Legye x ] if I, sup I[. A szuprémum és az ifimum ismert tulajdosága alapjá létezik y, z I úgy, hogy y<x<z. Az I kovexsége miatt x I, tehát ] if I, sup I[ I [if I, sup I],
N 34 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI azaz I itervallum if I és sup I végpotokkal. Az előző pot és az ittei állítások szerit tehát az R egy emüres részhalmazára a következők ekvivalesek: (i) kovex, (ii) csillagszerű, (iii) összefüggő, (iv) iterallum vagy egypothalmaz. 4.9. Feladatok 1. Dötsük el, hogy a következő halmazok közül melyik kovex, csillagszerű, összefüggő: (i) {(x, y) R 2 x 2 +y 2 =1}, (ii) {(x, y) R 2 xy 1}, (iii) {(x, y) R 2 xy=1}, (iv) {(x, y) R 2 y= x }. 2. Legye a>0. Milye b>a eseté csillagszerű az {(x, y) R 2 a x 2 +y 2 b, x 0, y 0} halmaz? Mutassuk meg, hogy ilye halmaz em lehet kovex. 3. Bizoyítsuk be, hogy kovex halmaz lezártja is kovex. (Útmutatás: legye H em üres és em egy elemű kovex halmaz, x, y H, x y. Legye α [0, 1] és z := (1 α)x+αy. Bármely r>0 eseté va x G r (x) H, y G r (y) H. Mutassuk meg, hogy (1 α)x +αy G r (z), azaz z H.) 4. Igazoljuk, hogy összefüggő halmaz lezártja is összefüggő. 5. Bizoyítsuk be, hogy egy yílt halmaz összefüggő kompoesei is yíltak. 6. Törött voalak hívuk K N -be egy Z részhalmazt, ha va olya N és a 0, a 1,..., a K N, hogy Z= [a i, a i 1 ]. Általáosítsuk a 4.6. állítást így: ha i=i egy halmaz bármely két potja törött voallal összeköthető (azaz va olya törött voal, amely tartalmazza a két potot), akkor a halmaz összefüggő. 7. Igazoljuk, hogy a K N összefüggő yílt részhalmazáak bármely két potja törött voallal összeköthető. 8. Ha F K N és G K M kovex (csillagszerű), akkor F G is kovex (csillagszerű).
5. Részhalmazra voatkozó yíltság, zártság 35 5. Részhalmazra voatkozó yíltság, zártság 5.1. Defiíció Legye R a K N tetszőleges részhalmaza és H R. Az x R (1) belső potja H-ak R-re ézve, ha létezik r>0 úgy, hogy G r (x) R H, (2) éritkezési potja H-ak R-re ézve, ha mide r>0 eseté G r (x) R H. Megjegyzés Mivel H R, az igaz, hogy G r (x) R H=G r (x) H, következésképpe x R potosa akkor éritkezési potja H-ak R-re ézve, ha éritkezési potja H-ak. Ezért H-ak az R-re voatkozó éritkezési potjaiból álló halmaz H R. 5.2. Defiíció Legye R a K N tetszőleges részhalmaza és H R. (1) H yílt R-re ézve, ha mide potja belső pot R-re ézve, (2) H zárt R-re ézve, ha tartalmazza mide R-re voatkozó éritkezési potját. Adott H K N halmazak egy R-re voatkozó yíltsága illetve zártsága erőse függ R-től. Például ömagára ézve mide halmaz yílt is és zárt is. A ]0, 1[ C halmaz yílt R-be, de em yílt C-be. Álĺıtás Legye R K N tetszőleges részhalmaz. A H R halmaz potosa akkor yílt (zárt) R-re ézve, ha létezik A K N yílt (zárt) halmaz úgy, hogy H=A R. Bizoyítás Legye A K N yílt halmaz úgy, hogy H=A R. Mide x H eseté x A, így A yíltsága miatt létezik r>0 úgy, hogy G r (x) A. Ekkor G r (x) R A R=H, tehát x belső potja H-ak R-re ézve, következésképpe H yílt R-re ézve. Ha H yílt R-re rézve, akkor mide x H eseté létezik r x >0 úgy, hogy G rx (x) R H. Ekkor A := G rx (x) x H olya yílt halmaz K N -be, hogy H=A R.
N 36 I. K TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI Legye A K N zárt halmaz úgy, hogy H=A R. H A, így H A. Ha x éritkezési potja H-ak R-re ézve, akkor az előző megjegyzés szerit x H R A R=H, tehát H zárt R-re ézve. Ha H zárt R-re ézve, akkor A:=H zárt K N -be, és H=A R. Következméy Ha R K N yílt (zárt) halmaz, akkor H R potosa akkor yílt (zárt) R-re ézve, ha yílt (zárt) K N -be. 5.3. Álĺıtás Legye R a K N tetszőleges részhalmaza. A K R halmaz potosa akkor kompakt, ha mide R-re ézve yílt halmazokból álló lefedéséek létezik véges részlefedése. Bizoyítás Tegyük fel, hogy K kompakt, és legye (A i ) i I R-re ézve yílt halmazokból álló lefedése K-ak. Ekkor az 5.2.állítás szerit mide i I eseté létezik G i K N yílt halmaz úgy, hogy A i =G i R. Mivel (G i ) i I yílt lefedése K-ak, létezik F I véges részhalmaz úgy, hogy G i K. Ekkor R K miatt i F A i = ( ) (G i R) = G i R K. i F i F Megfordítva, legye K R olya halmaz, melyek mide R-re ézve yílt halmazokból álló lefedéséek létezik véges részlefedése, és legye (G i ) i I yílt lefedése K-ak. Ekkor (G i R) i I R-re ézve yílt halmazokból álló lefedése K-ak, így létezik F I véges részhalmaz úgy, hogy (G i R) K. Nyilvá G i K még ikább teljesül, tehát K kompakt. Az állításba szereplő feltétellel értelmezheték azt a fogalmat, hogy K kompakt R-re ézve. Azoba az állítás szerit ez a tulajdoság függetle lee R-től abba az értelembe, hogy adott K K N halmaz eseté K mide R K halmazra ézve egyszerre lee kompakt vagy em kompakt. Ilye értelembe a kompaktság abszolút fogalom, em úgy, mit a yíltság vagy zártság. 5.4. Feladatok 1. Melyek a yílt illetve zárt halmazok N-be, mit R részhalmazába? 2. Nyílt-e, zárt-e [0, 1[-re ézve a [0, 1/2[ illetve az [1/2, 1[ halmaz? 3. Legye R K N tetszőleges részhalmaz, és H R. Igazoljuk, hogy H-ak R-beli lezártja vagyis a legszűkebb H-t tartalmazó R-re ézve zárt halmaz megegyezik a H R halmazzal. Mutassuk meg, hogy H-ak R-beli belsejére em áll fe hasoló összefüggés. 4. Nyílt-e, zárt-e Q-ba az {x Q 2 x 2 3} halmaz? 5. Egy H K N halmaz lokálisa zárt, ha mide H-beli potak va olya V köryezete, hogy V H zárt V -re ézve. Mutassuk meg, hogy a lokálisa zárt halmazok éppe az U F alakú halmazok, ahol U K N yílt és F K N zárt. i F i F i F
6. Sorozatok kovergeciája 37 II. SOROZATOK 6. Sorozatok kovergeciája 6.1. Ugyaúgy, mit valós és komplex értékű függvéyek esetébe, K N értékű függvéyekre is értelmezhetjük a potokéti műveleteket. Ha X em üres halmaz, f, g : X K N, ϕ : X K és α K, akkor f+g :Dom(f) Dom(g) K N, ϕf :Dom(ϕ) Dom(f) K N, αf :Dom(f) K N, f, g :Dom(f) Dom(g) K, f :Dom(f) R + 0, x f(x)+g(x), x ϕ(x)f(x), x αf(x), x f(x), g(x), x f(x). Az f:x K N függvéyt korlátosak evezzük, ha Ra(f) a K N korlátos részhalmaza. 1.9 szerit az f függvéy potosa akkor korlátos, ha sup{ f(x) x Dom(f)} <, vagy ami ezzel egyeértékű, létezik olya K > 0 valós szám, hogy f(x) K mide x Dom(f) eseté. 6.2. Ebbe a részbe N K N függvéyekkel foglalkozuk, amelyeket sorozatokak evezük. E voatkozásba N elemeit idexekek evezzük; az a:n K N sorozatak az idexe felvett értékét általába a -el jelöljük és a sorozat -edik tagjáak hívjuk. Magát a sorozatot sokszor az (a ) N formába adjuk meg. 6.3. Defiíció Az x K N sűrűsödési helye az a:n K N sorozatak, ha mide r>0 eseté az { N a G r (x)} halmaz végtele. Más szóval egy pot akkor sűrűsödési helye a sorozatak, ha a pot mide köryezetébe eső tagok idexeiek halmaza végtele. Vegyük azoba észre, ez
38 II. SOROZATOK em jeleti azt, hogy az {a N} G r (x) halmaz azaz Ra(a) G r (x) végtele. Például az N R, ( 1) sorozatak 1 és 1 sűrűsödési helye, azoba Ra(a)={1, 1} véges. Ha viszot Ra(a) G r (x) végtele mide r > 0 eseté, akkor x sűrűsödési helye a sorozatak, hisze yilvávaló, hogy az { N a G r (x)} halmaz agyobb vagy egyelő számosságú a feti halmazál. A 2.5. állítás szerit a modottakat így fogalmazhatjuk át: Álĺıtás Egy sorozat értékkészletéek torlódási potjai a sorozat sűrűsödési helyei. 6.4. Álĺıtás Egy sorozat sűrűsödési helyeiek halmaza zárt K N -be. Bizoyítás x K N az a:n K N sorozatak akkor és csak akkor sűrűsödési helye, ha mide r>0 és m N eseté {a m} G r (x), ami azzal egyeértékű, hogy mide m N eseté x {a m}, ami viszot azzal egyeértékű, hogy x m N {a m}. 6.5. 1. Álĺıtás K N -be korlátos sorozatak va sűrűsödési helye. Bizoyítás Legye a:n K N korlátos sorozat. Ha Ra(a) véges, akkor létezik x Ra(a) úgy, hogy {k N a k =x} végtele, tehát x sűrűsödési helye a-ak. Ha Ra(a) végtele, akkor a Bolzao Weierstrass-tétel szerit létezik torlódási potja, mely az előző állítás szerit sűrűsödési helye a-ak. 2. Álĺıtás K N kompakt részhalmazába futó sorozatak va sűrűsödési helye, amely a kompakt halmaz eleme. Bizoyítás Legye K kompakt halmaz, és a:n K sorozat. Ha Ra(a) véges, akkor létezik x Ra(a) úgy, hogy {k N a k =x} végtele, tehát x sűrűsödési helye a-ak. Ha Ra(a) végtele, akkor a 3.6. állítás szerit létezik torlódási potja K-ba, és ez sűrűsödési helye a-ak.
6. Sorozatok kovergeciája 39 6.6. Defiíció Az x K N az a:n K N sorozat határértéke, ha mide ε>0 eseté létezik ε N úgy, hogy mide ε eseté d(a, x) < ε, vagy másképpe ugyaez, {a ε } G ε (x). A sorozat koverges, ha létezik határértéke. ε -t szokás az ε-hoz tartozó küszöbidexek evezi. Kostas sorozat, vagyis olya, amelyek mide tagja ugyaaz, koverges; határértéke a sorozat kostas értéke. Nem koverges sorozatot divergesek is moduk. Továbbá gyakori szóhaszálat, hogy a sorozat tart a határértékéhez, azt mide határo túl megközelíti. A defiíció szerit a határérték sűrűsödési hely. Méghozzá, mit láti fogjuk, külöleges sűrűsödési hely. Álĺıtás x K N akkor és csak akkor határértéke az a:n K N sorozatak, ha mide ε>0 eseté az { N a / G ε (x)} halmaz véges, azaz az x pot mide köryezeté kívül eső tagok idexeiek halmaza véges. Bizoyítás Legye x az a sorozat határértéke, és ε>0 eseté legye ε N olya, hogy {a ε } G ε (x). Ekkor { N a / G ε (x)} { N < ε } és a jobb oldalo álló halmaz véges. Tegyük fel most, hogy ε>0 eseté { N a / G ε (x)} véges. Nyilvávaló, hogy jó lesz ε-hoz tartozó küszöbidexek. ε := max{ N a / G ε (x)}+1 6.7. Álĺıtás Egy sorozat határértéke ha létezik a sorozat egyetle sűrűsödési helye. Bizoyítás Legye x K N határértéke az a:n K N sorozatak. Ha y K N, y x, akkkor d(x, y) r:= > 0, 2 és G r (x) G r (y)=, következésképpe { N a G ε (y)} { N a / G ε (x)}.
40 II. SOROZATOK Mivel x határértéke a-ak, a jobb oldali halmaz véges, így a bal oldali is, tehát y em sűrűsödési helye a-ak. Következméy Koverges sorozat határértéke egyértelmű. Ha a:n K N koverges sorozat és x K N az a határértéke, akkor a lim a := lim a := lim a := x jelöléseket haszáljuk. 6.8. Álĺıtás Koverges sorozat korlátos. Bizoyítás Legye x K N az a:n K N koverges sorozat határértéke. Ekkor létezik 1 N úgy, hogy {a 1 } G 1 (x) Az {a < 1 } halmaz véges, így korlátos, és G 1 (x) is korlátos, következésképpe korlátos halmaz K N -be. Ra(a) {a < 1 } G 1 (x) 6.9. Most megaduk a kovergeciára voatkozó éháy egyszerű ismeretet, amelyekek jó haszát vesszük a továbbiakba. 1. Álĺıtás Legye a:n K N sorozat és x K N. Ekkor a következők ekvivalesek: (1) x határértéke a-ak, (2) mide ε>0 eseté létezik ε N úgy, hogy mide ε természetes számra d(a, x) ε, (3) létezik α>0, hogy mide ε>0 eseté létezik ε N úgy, hogymide ε természetes számra d(a, x)<αε. Bizoyítás (1)-ből yilvávalóa következik (2) a határérték defiíciója szerit. (2)-ből következik (3) α := 2 választással. Megmutatjuk, hogy (3)-ból következik (1). Legye α>0 a megadott tulajdoságú. ε>0 eseté ε/α>0 ezért (3) szerit létezik ε/α N úgy, hogy mide ε/α eseté tehát x határértéke a-ak. d(a, x) < α ε α = ε,
7. A kovergecia kapcsolata K N struktúrájával 41 2. Álĺıtás Legye a:n K N és b:n K M sorozat, x K N és y K M. Ekkor a következők egyeértértékűek: (1) lim a = x és lim b = y, (2) mide ε>0 eseté létezik ε N úgy, hogy mide ε természetes számra d(a, x)<ε és d(b, y)<ε. Bizoyítás (2) yilvá maga utá voja (1)-et. Ha pedig (1) teljesül, akkor va az ε-hoz az a sorozatak a ε, a b sorozatak b ε küszöbidexe, és ε := max{ a ε, b ε}. Nyilvávaló, hogy értelemszerű átfogalmazással igaz az állítás kettő helyett véges sok sorozatra is. 6.10. A kovergecia a sorozatok legfotosabb tulajdosága. Az eddigiektől egy kicsit eltérő szóhaszálattal úgy is fogalmazhatuk, hogy az a:n K N sorozatak x K N potosa akkor határértéke, ha mide ε>0 eseté a G ε (x) teljesül véges sok N kivételével. Ezért a kovergecia téyét em befolyásolja, ha egy sorozat véges sok tagját megváltoztatjuk. Potosabba, ha a koverges és b =a véges sok kivételével, akkor b is koverges és lim a= lim b. Így a kovergecia szempotjából érdektele, hogya va értelmezve a sorozat az elejé, és az is, hogy va-e egyáltalá értelmezve. Sorozatak szoktuk tekitei ezért olya N K N függvéyeket is, amelyek véges sok idexre icseek értelmezve. Például, ha az α:n K sorozatak csak véges sok tagja ulla, akkor 1 α : N K is sorozat. Végül megemlítjük, hogy olykor N 0 K N függvéyeket célszerű tekitei; természetese ez is léyegtele módosítás, ezeket is sorozatokak evezzük. 6.11. Feladatok 1 1. Igazoljuk, hogy lim = 0! Adjuk küszöbidexet 10 3 -hoz! (Útmutatás: legye ε>0; haszáljuk ki N arkhimédeszi tulajdoságát 1 -ra voatkozóa!) ε 2. Koverges-e az N C, + i sorozat? 3. Koverges-e az N C, i sorozat? 4. Legye a olya sorozat, amelyek az értékkészlete véges. Igazoljuk, hogy a potosa akkor koverges, ha véges sok idextől eltekitve kostas sorozat, azaz va olya 0 N, hogy mide 0 eseté a =a 0.