Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba helyezhető maximális térfogatú henger adatait. Legyen x 2 + y 2 + z 2 a 2 b = 1 2 r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2. A mellékfeltétel tehát r 2 a + h2 2 4b = 1. 2
Általános megoldás Tételezzük fel, g egyenértékű az explicit y = φ(x) összefüggéssel. Az u(x) f (x, φ(x)) függvény deriváltja Ugyanakkor Kiküszöbölve φ (x)-et du dx = fx + fy φ (x). g x + g y φ (x) = 0. f x g x = fy g y, g(x, y) = 0. A fenti egyenletrendszer megoldása legyen (, y 0). Ekkor f x(, y 0) fy (x0, y0) = g x(, y 0) g y (, y = λ 0) tehát a keresett szélsőértékpont kielégíti a következő egyenletrendszert: f x + λg x = 0, f y + λg y = 0, g = 0 ; (1)
A fenti három egyenlet egyenértékű az f x + λg x = 0, f y + λg y = 0, g = 0 ; (2) F (x, y; λ) = f (x, y) + λg(x, y) háromváltozós segédfüggvény mellékfeltétel nélküli szélsőértékeire kirótt feltételeivel, azaz: F x = 0, F y = 0, F λ = 0, λ-t a Lagrange féle multiplikátornak nevezzük.
Példa Az elipszoidba írt maximális térfogatú henger esetében: ( ) F (r, h, λ) = πr 2 r 2 h + λ a + h2 2 4b 1 2 A szélsőértékhelyeket a. F r = 2πrh + 2λ r a 2 = 0, F h = πr 2 + λ h 2b 2 = 0, F λ = r 2 a + h2 2 4b 1 = 0. 2 egyenletrendszer megoldásai szolgáltatják. Ezek: (3) és r 0 = 2 3 a, h0 = 4 3 b, λ0 = V max = 4π 3 a 2 b. 9 4 3 πa2 b,
Funkcionálok A függvények tulajdonságaiktól függően végtelen számosságú halmazokba sorolhatók. Példa C n (R) n-szeresen folytonosan deriválható valós függvények halmaza; L 2 (C) négyzetesen integrálható függvények halmaza; b a f (x) 2 dx < + ; egy felület két pontját összekötő görbék. A függvényeket egyetlen számmal jellemezzük leképezésa függvények és a számok halmaza között funkcionál F : X f Y, ahol X f függvények és Y pedig számok halmaza.
Példák Függveny normája + N[y] y = y(x) 2 dx. Függvény maximuma az [x 1, x 2] intervallumon M[y] = max y(x). x [x 1,x 2 ] Egy y(x) síkgörbe alatti terület S[y] = y(x)dx ; Megtett útnak változó sebességtől való függése Egy síkgörbe ívhossza l[y] = x[v] = t1 t 0 v(t)dt ; 1 + y (x) 2 dx ;
Egy T hőmérsékleten egyensúlyban levő gáz szabadenergiája F [H] = kt log dr 1... dr N dp 1... p N e H(r 1,...,r N,p 1,...,p N )/kt, ahol k a Boltzmann állandó és H pedig a gáz Hamilton-függvénye. Az integrálás a térkoordináták esetén a gázt tartalmazó edény belterére, míg az impulzusok esetén a teljes R 3N térre történik.
A variációs feladat A szélsőérték feladatok egy nagy osztálya esetében nem egy értéket keresünk, hanem egy függvényt. Értelmezhető a funkcionál szélsőértékének fogalma. Egy adott funkcionál esetén keressük, hogy mely függvények esetén vesz fel szélsőértéket.
Példák: Legegyszerűbb variácios feladat Adott az I [y] = F (x, y, y )dx funkcionál, ahol az F függvényt alapfüggvénynek nevezzük. Keressük azt az y kétszer folytonosan deriválható egyváltozós függvényt, melyre adott y() = y0 és y(x 1) = y1 feltételek mellett az I [y] szélsőértéket vesz fel.
brachisztochron probléma Johann Bernoulli 1696 (brachisztochron=legrövidebb idő) tehát azaz a v = dl dt, dl dt = v, dl = dx 2 + dy 2 = 1 + y 2 dx, E P = mv 2 2 mgy = E P 0 = 0 v = 2gy, dt = T [y] = funkcionál szélsőértékét keressük. 1 + y 2 2gy dx, 0 1 + y 2 dx 2gy
I Adott hosszu sa gu egyeneshez illeszkedo go rbe alatti teru let sze lso e rte ke. Z x1 S[y ] = ydx x0 sze lso e rte ket keressu k a ko vetkezo melle kfelte tellel: Z x1 p 1 + y 02 dx. l= x0
Variáció fogalma és az Euler-Lagrange egyenlet Tekintsük az I [y] = F (x, y, y )dx (4) funkcionált, melyben y = y(x) egy megfelelően sima tetszőleges egyváltozós valós függvény és kielégíti az y() = y 0 és y(x 1) = y 1 peremfeltételek. Miképpen a függvények szélsőértékének meghatározásakor történt, a funkcionálok esetében is szükséges bevezetnünk a funkcionál argumentumának, azaz az y függvény közvetlen kis környezetének fogalmát. Ez alatt az y + δy ún. variált függvényt értjük, ahol δy egy megfelelően sima kis variáció. Szigorúbb matematikai értelemben az y(x) variált függvénye alatt egy Y (x) = y(x) + ɛη(x) függvényt, variációja alatt pedig a δy = ɛη függvényt értjük, ahol η(x) egy megfelelően sima, de amúgy tetszőleges valós függvény, ɛ pedig egy tetszőlegesen kis valós paraméter. Az I [Y ] I (ɛ) = F (x, Y, Y ). variált funkcionált egyúttal ɛ függvényeként foghatjuk fel.
A peremfeltételek rögzített végpontok esetén δy() = δy(x 1) = 0, azaz η() = η(x 1) = 0 δy = ɛη = (δy) A Taylor képlet alapján δi [y] = I [y + δy] I [y] > 0, δy. I (ɛ) I (0) > 0, η(x). δi [y] = [ F (x, y + δy, y + δy ) F (x, y, y ) ] dx = ( = Fy δy + F y δy ) dx + 1 2 ( = ɛ Fy η + F y η ) dx + ɛ2 2 A stacionaritás feltétele δ 1 I [y] = ( F yy δy 2 + 2F yy δyδy + F y y δy 2) dx + = ( F yy η 2 + 2F yy ηη + F y y η 2) dx +.... ( Fy δy + F y δy ) dx ún. első variációnak az eltűnése, azaz di dɛ = 0 ɛ=0
δ 1 I [y] = F y δy F y δy = d dx (F y δy) ( d dx F y ) δy. x x1 1 + A peremfeltételek miatt az első tag eltűnik és az (F y ddx F y ) δydx = 0, δy (5) F y d dx F y = 0 (6) Euler-Lagrange egyenlet
Annak szükséges feltétele, hogy az y függvény az I funkcionál relatív maximumát (minimumát) adja, intervallum minden egyes pontjában fennálljon az F y y 0(illetveF y y 0), x [x0, x1] Legendre-feltétel. A függvényeknél az y () < 0[y () > 0] feltételek a maximum (illetve minimum) elégséges feltételei. Funkcionálok esetében a Legendre feltétel csupán szükséges, de általában nem elégséges.
Az Euler-Lagrange egyenlet kifejtett alakja F y F xy y F yy y F y y = 0, (7) azaz a variációs feladatot visszavezettük egy másodrendű differenciálegyenlet integrálására. Ennek y = y(x, C 1, C 2) általános megoldásában megjelenő két tetszőleges integrációs állandót a megadott peremfeltételekből határozhatjuk meg. Ha a keresett y függvény az és x 1 pontok egyikében (vagy mindkettőben) nem rögzített, tehát δy() 0 vagy δy(x 1) 0 akkor az (5) elsőrendű variáció eltűnéséhez az Euler-Lagrange egyenleten kívül még az F y = 0, F y = 0 x=x0 x=x1 feltételek is szükségesek, amelyek segítségével meghatározhatók az integrációs állandók. Az így kapott függvény természetesen a funkcionál egy erősebb szélsőértékét adja, mint rögzített végpontok esetében, a fent kiszabott peremfeltételek ugyanis egyenértékűek az I [y(x, C 1, C 2)] kétváltozós (C 1 és C 2) függvény szélsőértékének szükséges feltételeivel.
Példa Adott az: I [y] = 2 1 (y 2 2xy)dx y(1) = 0, y(2) = 1. F (x, y, y ) = y 2 2xy, és F y = 2x; F y = 2y ; df y /dx = 2y : 2x 2y = 0 y(x) = x 3 + C1x + C2 6 általános megoldás. A peremfeltételekből C 1 + C 2 = 1 6 2C 1 + C 2 = 1 3 ahonnan C 1 = 1 6 csak az és C2 = 0 következik. Tehát ha létezik a szélsőérték, akkor az y(x) = x 6 (1 x 2 ) egyenletű görbe lehet. Mivel F y y = 2 > 0 az [1,2] intervallum minden pontjában, a szélsőérték minimum kell hogy legyen, és ennek értéke 223 = 2.477... 90
Peremfeltételeket teljesítő más függvényekre: 8 y = x + 1 egyenes esetében: = 2.66.... 3 y(x, a) = ax 2 (3a + 1)x + 2a + 1 parabola esetében I [y(x, a)] = 1 6 (2a2 + 3a + 15). Minimum az a = 3 4 értékre következik be y(x) = 1 4 (3x 2 5x + 2) I = 119 48 = 2.479
Ha az x = 2 pontban nem rögzítjük az y értéket. Az y(1) = 0 peremfeltételből, y(x, C 1) = x3 + C1x + 1 C1 görbesereg 6 6 ahol a C 1 paramétert az F y = 2y (2) = 0 feltételből határozhatjuk me. x=2 C 1 = 2 értéket kapunk y = 1 (x 3 12x + 11) a funkcionál minimuma pedig 53, ( erősebb ). 6 60 Másképpen: kiszámítjuk az I [y(x, C 1)] C 1-ben egyváltozós függvényt, és keressük ennek a minimumát: I [y(x, C 1)] = C 2 1 4C 1 + 187 60, amelynek C 1 = 2-ben, éppen 53 -nal egyenlő minimuma van. 60
Az Euler-Lagrange egyenletek invarianciája Sok feladatban hasznos, hogy az I [y] = F (x, y, y )dx funkcionálban áttérjünk az x = x(u, v) és y = y(u, v) transzformációk segítségével az új u, illetve v változókra. Ekkor u1 ] F (x, y, y yu + yv v )dx = F [x(u, v), y(u, v), (x x u + x v v u + x v v )du u 0 u1 Φ(u, v, v )du, u 0 a keresett extremális görbe v = v(u), és ennek (u szerinti) deriváltját jelöltük v -tel. A szélsőérték szükséges feltétele most már a Euler-Lagrange egyenlet, amelyet az Φ u d du Φ v = 0, F y d dx F y = 0 egyenletből közvetlenül is megkaphatnánk a transzformációk felhasználásával, de jóval hosszadalmasabb számítások után. Ez az Euler-Lagrange-egyenletek invarianciáját fejezi ki a transzformációkkal szemben.
Ha a transzformáció során a független paraméter nem változik, azaz x = u, akkor x u = 1 és x v = 0, ahonnan Φ(u, v, v ) = F [ u, y(u, v), y u + y v v ]. Mechanikai rendszerek esetén, a kényszerek vagy valamilyen szimmetriák miatt elvégzett koordinátatranszformációk esetén is ez a helyzet áll fenn.